

Анализ функции одной переменной с помощью пределов и
производных
5.1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть функция f (x) определена на множестве A  E1 . Точка
x 0  A называется точкой локального максимума функции f (x)
на множестве A , если для всех точек x  A и близких к точке x 
справедливо неравенство
f ( x)  f ( x 0 )
Само частное значение f ( x  ) называется локальным
максимумом функции f (x) (на множестве A ). Пусть в точках
x  A , близких к точке x  и x  x  справедливо неравенство
f ( x ) f ( x  ) .
Тогда локальный максимум f ( x  ) называется сильным, в
противном случае – слабым.
5.1.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть функция f (x) определена на множестве A  E1 . Точка
x 0  A называется точкой глобального максимума функции f (x)
(на множестве A ), если для всех точек x  A справедливо
неравенство
f ( x)  f ( x 0 ) .
Само частное значение f ( x  ) называется глобальным
максимумом функции f (x) (на множестве A ).
5.1.3. Для локального и глобального минимума определения
формулируются аналогично. Вместо двух терминов (максимум,
минимум) используется один термин (экстремум).
5.1.4. Глобальный максимум (минимум) является в то же
время локальным, обратное, вообще говоря, неверно.
5.1.5. В качестве множества A обычно фигурирует
промежуток
(конечный
или
бесконечный),
отрезок,
полупромежуток. Если множество A есть промежуток, то
1
уточнение (на множестве A ) для локального максимума и
минимума не делается.
5.1.6. На рис. 5.1. изображен график Г функции y  f (x) ,
определенный в промежутке A  (a, b).
График функции y  f (x)
Рис. 5.1
Точки a1 и a3 являются, очевидно, точками локального
максимума, а точки a 2 и a4 - точками локального минимума.
Точка b точкой локального минимума не является, ибо не
принадлежит промежутку A  (a; b) . Однако, если y  f (x)
определена в промежутке (a; c) , то b - точка локального
максимума. Около точек a1 , f (a1 )  и b, f (b))  график функции
y  f (x) имеет вид «шапочки», около точки a3 , f (a3 )  ,
a4 , f (a4 ) - вид перевернутых «шапочек», около точки
a3 , f (a3 )  график функции y  f (x) имеет вид «клюва»,
направленного острием вверх.
В приведенном примере локальный минимум f (a4 ) оказался
больше локального максимума f (a1 ) . Это не удивительно, ибо
локальный минимум – это наибольшее частное значение функции
2
по сравнению с ее частными значениями в близких точках.
Аналогичны рассуждения и для локального минимума.
Точка a3 является также точкой глобального максимума
функции y  f (x) , определенной в промежутке (a, b) . Если
функция y  f (x) определены в промежутке (a, c) , то имеем две
точки глобального максимума: точку a и точку b .
Точка a2 - точка глобального минимума функции y  f (x) ,
определенной в промежутке (a, c) .
5.2.1. ТЕОРЕМА (ФЕРМА).
Пусть функция f (x) определена в промежутке (a, b) , пусть
точка x   (a, b) - точка локального максимума, пусть в точке x 
функция имеет конечную производную f ' ( x  ) . Тогда
f ' ( x )  0 .

5.2.2. Для x  (a, b) и близких к x имеем
f ( x)  f ( x  )  0 .
При x  x 
f ( x)  f ( x  )
Откуда следует, что
0  lim
x  x 0
xx

f ( x)  f ( x  )
xx
 0.
 f  ( x  )  f ' ( x   0) .

При x  x 
f ( x)  f ( x  )
Откуда следует, что
0  lim
x x 0
Из
неравенств
x  x
f (x  f (x  )
x  x
f ' (x )  0
 0.
 f  ( x  )  f ( x   0) .
и
f ' (x )  0
следует,
что
f ' ( x  )  0 , что и требовалось доказать.
3
5.2.3. Для точки локального минимума формулировка
теоремы Ферма дословно повторяется, а доказательство
проводится с незначительной корректировкой.
5.2.4. Теорема Ферма дает необходимое условие (равенство
нулю
производной)
локального
экстремума
функции,
определенной в промежутке и имеющий конечную производную
в точке экстремума. Равенство нулю производной достаточным
условием не является, как показывается следующий простой
пример.
Пусть функция y  x 3 определена в промежутке  1, 1 . Из
y '  3x 2  0 следует, что x  0 , однако функция y  x 3 в точке
x  0 не имеет ни локального максимума, ни локального
минимума (см. рис. 1.12).
5.2.5. Из теоремы Ферма (см. раздел 5.2.1.) следует, что если
в каждой точке промежутка функции y  f (x) имеет конечную
производную, то точки локального экстремума следует искать
только среди нулей производной f (x) (решений уравнения
f ' ( x)  0) , принадлежащих промежутку). Решения уравнения
f ' ( x)  0 называется критическими точками функции.
5.3.1. ТЕОРЕМА (РОЛЛЬ)
Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке a, b , имеет
конечную производную f (x) в каждой точке промежутка a, b  и
пусть f (a)  f (b) . Тогда существует хотя бы одна точка c  a, b
такая, что f ' (c)  0 .
5.3.2.□ По теореме Вейерштрасса функция f (x) имеет на
отрезке a, b глобальный максимум M и глобальный минимум
m . Если M  m , то функция f (x) постоянна на отрезке a, b , её
производная равна нулю во всем промежутке a, b , так что в
качестве точки c можно взять любую точку промежутка. Если
M  m , то точки глобального максимума и минимума
одновременно не могут быть концами отрезка a, b , ибо
4
f (a)  f (b) , а M  m . Пусть для определенности точка c
глобального максимума не является концевой, т.е. c  a, b .
Точка c глобального максимума является точкой локального
максимума, c  a, b и в точке c производная конечна. Все
условия теоремы Ферма выполнены и поэтому f ' (c)  0 .
Случай, когда точка глобального минимума функции f (x)
принадлежит промежутку a, b , рассматривается аналогично.
Теорема Ролля доказана.
5.3.3 Геометрическая интерпретация теоремы Ролля является
прозрачной: если хорда, соединяющая концы графика Г
непрерывной функции f (x) , имеющей во всех точках
промежутка конечную производную, горизонтальна, то график Г
обязательно имеет горизонтальную касательную (см. Рис. 5.2, на
котором приведет график Г, у которого две горизонтальные
касательные).
График функции y  f (x) , f (a)  f (b)
Рис. 5.2
5.3.4. Легко построить пример функции y  f (x) , для
которой точка c является единственной, и пример функции, для
которой точек c будет несколько.
5.3.5. Следует обратить внимание на то, что утверждение
теоремы Ролля может оказаться несправедливым для функций, не
имеющих конечной производной хотя бы в одной точке
5
2
x3
промежутка a, b . Для функции y 
 1 на отрезке  1;1
выполнены все условия теоремы Ролля, кроме условия
дифференцируемости: в точке x  0 функция конечной
производной не имеет и, следовательно, в точке 0;1 график Г
невертикальной касательной не имеет. В самом деле, здесь
x  0, x  x  x , f ( x )  f (0)  1, f ( x) 
0
0
0
f ( x )
0
0
2
x3
2
x3
 1,
1
 .
x 0 x 0
x 0 x
x 0 x
Теорема Ролля перестает быть справедливой: в промежутке
lim
 lim
 lim 3
1
2 3
 1;1 нет ни одной точки x , с которой бы производная y'  x
3
данной функции обращалась в нуль (ибо уравнение y '  0 не
имеет решений). На Рис.5.3 изображен график Г, около точки
0;1 он имеет форму «клюва».
График функции y 
Рис. 5.3
2
x3
1
x  0;1 ,
f (1)  0 имеет
x  0,1 .
всех
Очевидно
f (0)  f (1)  0 . Однако x 0  1 есть точка разрыва функции f (x) ,
5.3.6. Функция
f ( x)  x ,
производную
для
f ' ( x)  1
6
т.е. не выполнено условие теоремы Ролля о непрерывности
функции f (x) на отрезке 0;1. Заключение теоремы Ролля в
рассматриваемом случае не имеет смысла (см. Рис. 5.4).
График функции y  x, x  0,1, y(1)  0
Рис. 5.4
5.3.7. Для функции f ( x)  x , x  0,1 выполнены все условия
теоремы Ролля, кроме условия f (0)  f (1) . Заключение теоремы
Ролля здесь также не имеет места (см. рис. 5.5).
График функции y  x, x  0, 1
Рис. 5.5
5.3.8. Приведенные примеры 5.3.5; 5.3.6.; 5.3.7 показывают,
что если ослабить условие теоремы Ролля, то ее результаты
( f ' (c)  0) уже перестает быть справедливым. Отсюда следует,
что условие теоремы Ролля ослаблять нельзя.
5.4.1. ТЕОРЕМА (КОШИ)
7
Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны на отрезке a, b ,
имеют конечные производные f ' ( x) и g (x) в каждой точке
промежутка a, b  и пусть g ' ( x)  0 для любого числа x  a, b .
Тогда существует хотя бы одна точка c  a, b такая, что
f (b)  f (a) f ' (c)
.

g (b)  g (a) g ' (c)
5.4.2. Отметим, что g (a)  g (b) . Пусть это не так, т.е.
g (a)  g (b) . Тогда для функции g (x) выполнены все условия
теоремы Ролля и поэтому существует число d  a, b такое, что
g ' (d )  0. Последнее равенство противоречит условию, g ' ( x)  0
для любого числа x  (a, b) .
Таким образом, g (a)  g (b) и поэтому запись
f (b)  f (a)
g (b)  g (a)
корректна.
Рассмотрим вспомогательную функцию
f (b)  f (a)
h( x )  f ( x )  f ( a ) 
 ( g ( x)  g (a)).
g (b)  g (a)
Непосредственно проверяется, что
f (b)  f (a)
h( a )  f ( a )  f ( a ) 
 ( g (a)  g (a))  0 ,
g (b)  g (a)
f (b)  f (a)
 ( g (b)  g (a))  0 .
g (b)  g (a)
Функция h(x) непрерывна на отрезке a, b и имеет конечную
производную во всех точках промежутка (a, b) , ибо функция h(x)
есть сумма функций f (x) и g (x) (Функция g (x) имеет
f (b)  f (a)
коэффициент 
) и постоянного слагаемого
g (b)  g (a)
f (b)  f (a)
 f (a) 
 g (a).
g (b)  g (a)
h(b)  f (b)  f (a) 
8
Таким образом, для функции h(x) выполнены все условия
теорема Ролля и, следовательно, существует число c  (a, b)
такое, что h' (c)  0
Имеем
f (b)  f (a)
h' ( x )  f ' ( x ) 
g ' ( x) .
g (b)  g (a)
Полагая x  c , получаем
f (b)  f (a)
h ' (с )  f ' (с ) 
g ' (с )  0 ,
g (b)  g (a)
откуда сразу следует требуемая формула
f (b)  f (a) f ' (c)
.

g (b)  g (a) g ' (c)
Теорема Коши доказана.
5.4.3. Как и в случае теоремы Ролля, можно привести
примеры, которые показывают, что условия теоремы Коши
ослабить нельзя.
5.5.1. ТЕОРЕМА (ЛАГРАНЖ)
Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке a, b , имеет
конечную производную f ' ( x) в каждой точке промежутка (a, b) .
Тогда существует хотя бы одна точка c  a, b такая, что
f (b)  f (a)  f ' (c)(b  a) .
5.5.2. Положив в теореме Коши g ( x)  x (функция y  x
удовлетворяет всем требованиям, которые теорема Коши
налагает на функцию g (x) ), получим выражение
f (b)  f (a)
 f (c ) ,
(5.1)
ba
Откуда и следует требуемая формула.
Теорема Лагранжа доказана.
5.5.3. Положим a  x, b  x  x . Пусть на отрезке x, x  x
выполнены все условия теоремы Лагранжа, тогда
(5.2)
f ( x)  f ( x  x)  f ( x)  f ' (c)x .
9
В главе 4 фигурировало приближенное равенство
(5.3)
f ( x)  f ( x  x)  f ( x)  f ' ( x)  x
Из теоремы Лагранжа следует, что число x
можно
«пошевелить» так, чтобы из приближенного равенства (5.3)
следовало точное равенство (5.2).
5.5.4. Равенство (5.1) означает, что в промежутке (a, b)
существует хотя бы одна точка c такая, что касательная К к
графику функции y  f (x) в точке (c, f (c)) параллельна хорде S,
соединяющей точки a, f (a)  , (b, f (b)) , которые являются
концами графика Г функции y  f (x) (см. Рис.5.6, на котором
приведен график Г функции y  f (x) , имеющий единственную
касательную К, параллельную хорде S).
График функции y  f (x) , f (c)  tg 
Рис. 5.6
5.5.5. Легко построить примеры функции y  f (x) , для
которой точек c будет несколько.
5.5.6. Условия теоремы Лагранжа (как и условия теоремы
Ролля и Коши) ослабить нельзя.
5.6.1. ТЕОРЕМА (ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ)
10
Пусть функции
y  f (x) , y  g (x) имеют конечные
производные при, близких к a и не равных a (т.е. при
0  x  a  h , где h - некоторое малое число), и производная
одной из них (например, производная g ' ( x) ) не обращается в
нуль при 0  x  a  h . Пусть при x  a обе эти функции
бесконечное малые (или бесконечно большие), т.е. пусть при
f ( x)
0

x  a дробь
есть неопределённости вида   либо   .
g ( x)
0

Тогда, если предел (конечный или бесконечный) отношения
производных существует:
f ' ( x)
lim
 ,
x a g ' ( x)
то предел отношения функций существует, и эти пределы равны.
f ( x)
f ' ( x)
lim
 lim
 .
x a g ( x)
x a g ' ( x)
Аналогично формулируется правило Лопиталя для случая,
когда x   .
5.6.2.
Правило
Лопиталя – это метод раскрытия
0

неопредёленностей
и
 
  . Правило раскрытия
0
 

0
неопределённости   называется первым правилом Лопиталя,
0

правило раскрытия неопределённости   называется вторым

правилом Лопиталя.
Для раскрытия других неопределённостей ( (0  ) ,    ,
1 , 0 


и т.п.) правило Лопиталя непосредственно не
применяется. Путем тождественных преобразований выражений
стоящих под знаком предела, эти неопределённости сводят к
0

неопределённости   и   . После этого уже применяется
0

правило Лопиталя. Правило Лопиталя полезно комбинировать с
другими приемами раскрытия неопределённостей.
11
Применение правила Лопиталя ни в коем случае нельзя
путать с правилом нахождения производной дроби (при
использовании правила Лопиталя производные числителя и
знаменателя берутся отдельно).
Правило Лопиталя ценно еще и тем, что его можно
применять несколько раз, пока не получится ответ.
5.6.3. Первое правило Лопиталя будет доказано для случая
f ( x)
f ' ( x)
lim
 lim
x a  0 g ( x)
x а  0 g ' ( x)
(см. ниже раздел 5.6.4.).
Остальные
случаи
( x  a  0, x  a  0, x   )
доказывается
аналогично.
В
процессе
доказательство
используется то обстоятельство, что в операции предельного
перехода переменная является «немой» в том смысле, что все
равно как ее обозначать:
f ( x)
f (t )
f (c )
.
lim
 lim
 lim
x a  0 g ( x)
t a  0 g (t )
c  a  0 g (c )
Доказательство второго правила Лопиталя является
необязательным и поэтому не приводится.
5.6.4. (Доказательство теоремы раздела 5.6.1).
Рассмотрим функции
xa
xa
 0,
 0,
~
f ( x)  
, g~ ( x)  
.
f
(
x
),
g
(
x
),
a xb
a xb


(Приведенное построение называется доопределением по
непрерывности функций f (x) и g (x) в точке x  a ).
~
Для функций f ( x) и g~( x) на отрезке a, t  ( a  t  b )
выполнены все условия теоремы Коши, поэтому существует
точка c  (a, t ) такая, что
~
~
~
~
~
f (t ) f (t ) f (t )  f (a) T ( K ) f ' (c) f ' (c)
.
(5.4)


 ~

g (t ) g~(t ) g~(t )  g~(t )
g ' (c) g~' (c)
В цепочке (5.4), выбрав первое и последнее звенья, будем
иметь
12
~
f (t ) f (c)
.
(5.5)

g (t ) g~ (c)
Из того, что t  a  0 следует, что c  a  0 , ибо a  c  t .
Принимая во внимание это обстоятельство, осуществим
предельный переход в правой и левой частях равенства (5.5).
f (t )
f ' (c ) *
f ' (c) **
f ' (t )
(5.6)
lim
 lim
 lim
 lim
t a  0 g (t )
t a  0 g ' (c) c a  0 g ' (c) t a  0 g ' (t )
f (t )
f ' (t )
.
lim
 lim
t a  0 g (t )
t a  0 g ' (t )
Таким образом, если правый предел существует (конечный
или бесконечный), то и левый предел существует, и они равны.
Теорема (раздела 5.6.1) доказана.
5.6.5. В цепочке (5.6) переход (*) сделан на основании того,
что из t  a  0 следует, что c  a  0 . В цепочке (5.6) переход
(**) означает, что при отыскании пределов (предельных
значений) не имеет значения, каким символом обозначена
независимая переменная. Отметим, что в доказательстве теоремы
раздела 5.6 существенно была использована теорема Коши (см.
раздел 5.4.1).
5.6.6. ПРИМЕР
Имеем
1
lim
x 0
tgx  sin x
x3
 cos x
2
(tgx  sin x)'
0 
cos x
    lim

lim

x 0
 0  x 0
( x 3 )'
3x 2
1  cos3 x 1
1  cos3 x
1
1
1  cos3 x
 lim 2
 lim
lim
 lim

x 0 3x cos 2 x
x 0 cos 2 x
3 x 0
3 x 0
x2
x2
(1  cos 3 x)  1
3 cos 2 x  sin x
0  1
    lim
 lim

3 x 0
2x
 0  3 x 0
( x 2 )

1
sin x 1
lim cos 2 x  lim

x 0 x
2 x 0
2
13
5.6.7. Пример.
Имеем
1
x 
1
(ln x)'
ln x    
lim x  ln x  (0  )  lim
    lim
 lim
x 0  0
x 0  0 1
x 0  0
   x0 0 ( 1 )'
 2
x
x
x
  lim x  0
x 0
.
Если тождественные преобразования под знаком предела
0
выполнять иначе, то получится неопределенность   . В этом
0
случае правило Лопиталя ответа не дает:
x
1
 0  ()
lim x  ln x  (0  )  lim
    lim

x 0  0
x 0  0 1
x

0

0
1
0
 

ln x
x  ln 2 x
  lim x  ln 2 x.
x 0 0
Этот пример показывает, что тождественное преобразование
0
под знаком предела может привести к неопределенности   или
0

  , для раскрытия которых правило Лопиталя применять

бесполезно.
5.6.8. ПРИМЕР.
Имеем
1
(e)
L  lim (cos x) x  (1 )  lim e ln(cos x )
2

x 0
ln cos x 
lim
2
e x 0 x
x 0
1
x2
ln(cos x )
 lim e
x 0
x2

 e L1
14
L1  lim
x 0
ln(cos x)
x2
(ln cos x)'
 0  ()
     lim
 lim
2
x 0
x 0
0
(x )

sin x
cos x 
2x
1
sin x
1
1
1
  lim
 lim
  1   .
2 x 0 x x 0 cos x
2
2
откуда
1
e
Поясним приведенное решение. Имеем неопределенность
L  (1 ) , для раскрытия которой нельзя непосредственно
использовать
правило
Лопиталя.
После
применения
логарифмического тождества вида b  e ln b (что показано
символом (e) ), задача свелась к вычислению предела L1 путем
0
раскрытия неопределенности   . С помощью правила Лопиталя
0
эта неопределенность раскрывается и получается ответ для L1 и
потом для L .
L  e L1 
5.6.9. Утверждение, обратное к теореме раздела 5.6.1, не
имеет места. Конкретно, если предел отношения производных не
существует, то отсюда не следует, что предел отношения
функций также не существует. Иными словами, предел
отношения производных может не существовать, а предел
отношения функций при этом существует. Приведем простой
пример, который иллюстрирует это положение.
Имеем
x  sin x   
sin x
lim
    lim (1 
)  1,
x 
x
x
   x
( x  sin x) 
1  cos x
lim
 lim
не существует.
x  
x



x
1
5.6.10. Для вычисления пределов функций натурального
аргумента (числовых последовательностей) правило Лопиталя
непосредственно применять нельзя, ибо понятия производной для
функции натурального аргумента не существует. Однако можно
15
использовать следующую теорему. Пусть lim f ( x) существует и
x 
равен  (  может равняться  ), тогда lim f (n) существует и
n 
равен  (теорема о «погружении» дискретного аргумента в
непрерывный). Обратное утверждение неверно, как показывает
простой пример: lim sin n  0 , а lim sin x - не существует (ни
n
x 
конечный, ни бесконечный). Для вычисления предела lim f ( x)
x 
правило Лопиталя применяется непосредственно или в
комбинации с другими приемами раскрытия неопределенностей.
Имеем
L  lim n n 
n
1
lim n n
n
(e)
 ( 0 ) 
ln n
lim e n
n
e
ln n
n n
lim
 e L1 .
1
ln n   
ln x   
L1  lim
    lim
    lim
 lim x  0
n
x  1
n
   x  x
   x   x 
Кратко поясним приведенное решение. Для вычисления предела
осуществляем "погружение" (что показано символом (x)) и вычисляем
ln x
предельное значение с помощью правила Лопиталя. Поскольку lim
x   x
ln n
существует (и равен нулю), постольку существует lim
и они равны.
n
n
Вместо символа lim f (n) часто используют более краткий символ
( x)
()
ln x 
n
lim f (n) , ибо натуральное n может только неограниченно возрастать.
n
5.6.11. С помощью правила Лопиталя можно получить формулы для
вычисления (конечных и бесконечных) односторонних производных.
Имеет место следующая теорема:
ТЕОРЕМА.
Пусть функция y  f (x) непрерывна на промежутке x 0 , b и
пусть она имеет в каждой точке x промежутка ( x 0 , b) , конечную
производную, пусть существует конечный или бесконечный предел
производной f ' ( x) при x  x 0  0


16
0
lim
f
'
(
x
)

f
'
(
x
 0) .
0
x x 0
Тогда в точке x 0 существует (конечная или бесконечная) правая
производная f  ' ( x 0 )  f ' ( x 0  0)
 Доказательство элементарно
( def )
f ( x)  f ( x 0 )  0 
f ' (x0 )
0
f  ' ( x )  lim
    lim
 f ( x 0  0).
0
0
x x 0
 0  x x 0 1
xx
Левая производная f  ' ( x 0 ) (конечная или бесконечная)
вычисляется аналогично.
5.6.12. Метод отыскания односторонних (конечных или
бесконечных) производных, данный в разделе 5.6.11, сводится к
операции предельного перехода для производной f ' ( x) (а не
функции f (x) ).
5.6.13. ПРИМЕР.
Найти
односторонние
производные
функции
2x
в точке x   1. Эта функция нечетная
f ( x)  arcsin
2
1 x
( f ( x)   f ( x)) и определена на (;) .
Имеем
2
2

2 2(1  x )  4 x
 2x 
(1  x )

2
2x
(1  x 2 ) 2
1

x


f ' ( x)  (arcsin
)' 


2
4
2
2x 2
1  x2
1  2x  x  4x
1 (
)
2
1 x
2  2x2
2(1  x 2 )


,
2
2
2
2
4
(1  x ) 1  x
(1  x ) 1  2 x  x
 2
 1  x 2 , x  1,
f ' ( x)  
2

, x  1,
 1  x2
а тогда
2
 1,
x 1 0 1  x 2
f  ' (1)  lim f ' ( x)  lim
x 1 0
17
f  ' (1)  lim f ' ( x)  lim (
x 1 0
Аналогично имеем
x 1 0
2
)  1.
1  x2
2
)  1
x  1 0
x  1 0 1  x 2
2
f  ' (1)  lim f ' ( x)  lim
 1.
x  1 0
x  1 0 1  x 2
Отметим, что в рассматриваемом случае с помощью формул
f  ' ( x  )  lim f ' ( x) и f  ' ( x  )  lim f ' ( x) мы легко и быстро
f  ' (1)  lim f ' ( x)  lim (
x x 0
x x 0
получили ответы. Решение задачи с помощью «лобовых» формул
определения
f ( x)  f ( x  )
f ( x)  f ( x  )


и f  ' ( x )  lim
в
f  ' ( x )  lim




x x 0
x x 0
xx
xx
рассматриваемом случае было бы более сложным.
2x
График функции y  arcsin
представлен на рис.5.7.
2
1 x
График функции y  arcsin
Рис. 5.7
2x
1  x2
5.7.1. Пусть функция y  f (x) имеет все производные до
порядка k+1 включительно в некотором промежутке,
содержащем точку a (таким промежутком может быть  окрестность точки U 1 (, a)  (a  , a  ) ). Найдём многочлен
18
Pk (x) степени не выше k, значение которого в точке x  a
равняется значению функции f (x) в этой точке, а значения его
производных до k-ого порядка в точке x = a равняются значениям
соответствующих производных от функции f (x) в этой точке
Pk (a )  f (a ), Pk  (a )  f (a ), Pk  (a)  f (a), ..., 
(5.6)

k 
k 
Pk (a)  f (a)

Естественно ожидать, что такой многочлен в некотором
смысле “близок” к функции f (x) .
Будем искать этот многочлен в форме многочлена по
степеням ( x  a) с неопределёнными коэффициентами:
Pk ( x)  C  C1 ( x  a)  C 2 ( x  a) 2  C3 ( x  a) 3  ...  
(5.7)

k

 C k ( x  a) .
Неопределённые коэффициенты С 0 , C1 , C 2 ,..., C k , определим
так, чтобы удовлетворялись условия (5.6).
Найдём производные от Pk (x) :
Pk  ( x)  С1  2C2 ( x  a )  3C3 ( x  a ) 2  ...  kCk ( x  a ) k 1 , 


k 2 
Pk ( x)  2  1  C2  3  2C3 ( x  a )  ...  k (k  1)Ck ( x  a ) ,
 (5.8)
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ., 

Pkk  ( x) 
k (k  1)  ...  2  1Ck . 
Подставляя в левые и правые части равенств (5.7) и (5.8)
вмеcто x значение a и заменяя на основании равенств (5.6) Pk (a)

на f (a) , Pk (a ) на f (a) и т.д., получим
f (a)  C 0 , f (a)  C1 , f (a)  2 1  C 2 , f (a)  3  2 1  C 3 ,
f ( k ) (a)  k (k  1)(k  2)  2  1Ck ,
откуда находим
C 0  f (a) ,
Сk 
С1  f (a) ,
С2 
1
f (a ) ,
1 2
С3 
1
f (a) ,…,
1 2  3
1
f k  ( a )
1  2  3  ...  k (k  1)
19
1
1

f (a ), C3 
f (a )
1 2
1 2  3

(5.9)
.
1
k 

Ck 
f (a)

1  2  3  ...  (k  1)  k
Подставляя найденные значения С 0 , С1 , С 2 ,…, С k в
формулу (5.7), получим искомый многочлен
f ' (a)
f ' ' (a)
Pk ( x, a)  f (a) 
( x  a) 
( x  a)  ...
1!
2!
(5.10)
f ( k ) (a)

( x  a) k ,
k!
который называется многочленом Тейлора функции y  f (x) с
центром в точке a .
Если a  0 , то имеем многочлен Маклорена.
C0  f (a ), C1  f (a ), C2 
5.7.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Разность
f ( x)  Pk ( x, a)  rk ( x, a)
называется остаточным членом, а выражение
f ( x)  Pk ( x, a)  rk ( x, a)
(5.11)
формулой Тейлора функции y  f (x) с центром в точке a .
При a  0 , имеем формулу Маклорена.
Для остаточного члена rk ( x, a) существует несколько форм
представления, некоторые из них рассмотрены ниже.
5.7.3. ТЕОРЕМА.
Пусть функция y  f (x) имеет в  -окрестности точки a все
производные до порядка
k  1 включительно. Пусть
x  (a  , a  ) и p - некоторое положительно число.
Тогда существует точка c (c  (a, x)) такая, что справедлива
формула Тейлора (5.7) функция y  f (x) с центром в точке a с
остаточным членом rk ( x, a) в общей форме
( x  a) p  ( x  c) k  p 1
rk ( x, a) 
f
k! p
5.7.4. Имеем формулу (5.6) и
( k 1)
(c).
(5.8)
20
rk  f ( x)  Pk ( x, a).
(5.9)
Равенство (5.9) для остаточного члена перепишем иначе
r ( x, a)
.
(5.10)
0  f ( x)  Pk ( x, a)  ( x  a) p  k
p
( x  a)
Пусть число p - фиксировано и для определенности пусть
x  a. Пусть число t  (a; x) , рассмотрим вспомогательную
функцию
h(t )  f ( x)  Pk ( x, t )  ( x  t ) p  Q( x) ,
(5.11)
где Q( x) 
rk ( x, a)
( x  a)
p
.
Покажем, что функция h(t ) на отрезке a, x удовлетворяет
всем условиям теоремы Ролля, а именно:
1. Функция h(t ) непрерывна на отрезке a, x, ибо все
производные
рассматриваются
как
f (l )
(l  0,1,2,...k )
самостоятельные функции, непрерывные на отрезке a, x.
2. Функция h(t ) имеет конечную производную в каждой
точке промежутка a, x  , ибо функция f (t ) имеет в промежутке
a, x  все производные до порядка k  1 включительно.
3. При t  a
r ( x)
h(a)  f ( x)  Pk ( x, a)  ( x  a) p  k
 0 (см. (5.10)),
p
( x  a)
при t  x
h( x)  f ( x)  Pk ( x, x)  x  x  p  Q( x)  0 .
По теореме Ролля существует такое число c  (a, x) , такое,
что
h' (c)  0
Имеем
21

k   

f (t )
f (t )
f
(t )
2
  
h (t )    f (t ) 
(x  t) 
( x  t )  ... 

1!
2!
k! 


 p ( x  t ) p 1 Q( x)   f (t )  f (t )  f (t )( x  t )  f (t )( x  t ) 
 (5.12)
f k 1 (t )

 ... 
( x  t ) k  p( x  t ) p 1 Q( x) 

k!

k 1
f
(
t
)

 p ( x  t ) p 1 Q( x) 
(x  t) k

k!
Взяв первое и последнее звенья аналитической цепочки
(5.12), получим
f ( k 1) (c)
p 1
h' ( c )  p ( x  c ) Q ( x ) 
( x  c) k  0.
k!
откуда
f ( k 1) (c)
Q( x) 
( x  c) k  p 1 .
k! p
Остаточный член rk ( x)  Q( x)( x  a) p и, следовательно,
( k 1)
(c )
( x  a) p ( x  c) k  p 1 ,
k! p
где точка c  c(a, x, k , p) , т.е. получаем выражение (5.8).
Теорема доказана.
rk ( x) 
f
(5.13)
5.7.5. Положив в (5.13) p  k  1, получим остаточный член в
форме Лагранжа
f ( k 1) (c)
rk ( x) 
( x  a) k 1 ,
(k  1)!
или
f ( k 1) (a  ( x  a))
rk ( x) 
( x  a) k 1
(k  1)!
(число   (0,1) определяется так: c  a  ( x  a) , откуда
c  a  ( x  a) ).
5.7.6. Положив в (5.13) p  1 получим остаточный член в
форме Коши
22
f ( k 1) (c)
rk ( x) 
( x  a )( x  c) k ,
k!
или
rk ( x) 
f
( k 1)
(a  ( x  a))
( x  a) k 1 (1  ) k .
(k  1)!
5.7.7. Имеем для функции f ( x)  e x :
f ' ( x)  e x ; f ' ' ( x)  e x ;...; f
(k )
( x)  e x ; f
( k 1)
 ex;
f (0)  1; f ' (0)  1;...; f ( k ) (0)  1; f ( k 1) (x)  ex ,
Подставив полученные выражения в формулу Маклорена
f ' (0)
f ' ' (0) 2
f ( k ) (0)
f ( x)  f (0) 
x
x  ... 
 rk ( x)
1!
2!
k!
f ( k 1) (x) k 1
x
с остаточным членом rk ( x) 
в форме Лагранжа,
(k  1)!
получим представление функции e x ( x  (,)
x x2
xk
e x
e  1 
 ... 

x k 1 .
1! 2!
k! (k  1)!
Откуда при x  1 имеем представление для числа e
x
1 1
1
e
e  1    ...  
1! 2!
k! (k  1)!
(5.14)
(5.15)
5.7.8. Вычислим с точностью   10 5 квадратный корень
1
из числа е. Воспользуемся формулой (5.14) при х  , так что
2
е

e2
1
1
1
 2  ... 

 pk  rk .
1!2 2!2
k!2 k (k  1)!2 k 1
Оценим остаточный член rk сверху
e  1
23
rk 

e2
k 1

e
k 1

3
k 1
 Rk .
(k  1)!2
(k  1)!2
(k  1)!2
Выберем номер k таким, чтобы
3
5
..
Rk 



10
k 1
(k  1)!2
Неравенство (5.16) эквивалентно следующему
(k  1)!2 k 1  300000.
Непосредственно проверяем, что при k  5
(k  1)!2 k 1  6!2 6  46080  300000,
а при k  6
(k  1)!2 k 1  7!2 7  645120  300000.
Итак, при k  6
rk  R k  10 5 .
(5.16)
Для вычисления квадратного корня е с точностью 10 5
осталось просчитать сумму
1
1
1
1
1
1
P6  1   2  3  4  5  6
1!2 2!2 3!2 4!2 5!2 6!2
Выполнив вычисления с 5 знаками после запятой, получим
e  1,64872
5.7.9. Имеем для функции f ( x)  sin x


f ( x)  sin x, f ' ( x)  sin( x  ),..., f ( k ) ( x)  sin( x  k ).
2
2

f ( k 1) ( x)  sin( x  (k  1) ) .
2


f (0)  0; f ' (0)  sin  1;.. f ( k ) (0)  sin k .
2
2
 k
f (x)  sin( x   ) .
2 2
Подставив найденные выражения в формулу Маклорена с
остаточным членом в форме Лагранжа, получим представление
функции ( x  (,))
24



sin 2
sin 3
2 x
2  x2 
2 x 3  ... 
sin x  sin 0 
1!
2!
3!


sin 2l
sin( x   l)
2l 1
x
2 x 2l 
2
 (1)l 1 

2 2l 1
(2l  1)!
(2l )!
(2l  1)!
или в окончательном варианте
x3 x5
x 2l 1
cos x 2l 1
l 1
sin x  x    ...  (1) 
 (1)l 
x
3! 5!
(2l  1)!
(2l  1)!
( x  (,)).
Для записи остаточного члена была использована формула


f ( 2l 1) (x)  sin( x   l)  sin( x   l) 
2
2


 sin x cos(  l)  cos x sin(  l)  (1) l cos x.
2
2
sin
5.7.10. Аналогично для f ( x)  cos x получается формула
2l
x2 x4
cos x 2l  2
l x
cos x  1 

 ...  (1)
 (1) l 1
x
.
2! 4!
(2l )!
(2l  2)!
5.7.11. Для функции f ( x)  ln(1  x) имеем
f ' ( x)  (1  x) 1 ,...; f
f ' (0)  1,..., f
(k )
(k )
( x)  (1) ( k 1) (k  1)! (1  x) k ;
(0)  (1)
k 1
(k  1)!; f (x) 
(1) k  k!
;
(1  x) k 1
k
x 2 x3
x k 1
k 1 x
k
ln (1  x)  x   ...  (1)   (1) 
x  1
x
3
k
(k  1)(1  x)
5.7.12. Для функции f ( x)  (1  x)  имеем
f ( k ) ( x)  (  1)(  2)  ...  (  k  1)(1  x)k ;
25
f
( k 1)
(x)  (  1)(  2)  ...  (  k )(1  x) k 1 ;
f ( k ) ()  (  1)(  2)  ...  (  k  1).
Подставив найденные выражения в формулу Маклорена с
остаточным
членом
в
форме
Лагранжа,
получим
представление бинома
(  1) 2
(  1)  ...  (  k  1) k
(1  x)   1  x 
x  ... 
x 
2!
k!
(  1)  ...  (  k ) x k 1
.
k 1
(k  1)! (1  x)
Упражнения.
1.Многочлен P3 ( x)  1  5 x  6 x 2  4 x 3 разложить в
сумму по целым неотрицательным степеням двучлена
( x  1) .
2.Написать формулу Тейлора с центром в точке x  2 с
остаточным членом в форме Лагранже для функции y  e x
(k  5) .
3.Написать Формулу Тейлора с центром в точке ( x  1) с
остаточным членом в форме Коши для функции y  ln x
(k  5).
4.Написать формулу Маклорена с остаточным членом в

1
2
форме Лагранже для функции y  (1  x) (k  4).
5.Написать формулу Маклорена, не выписывая
остаточный член для функции y  ln cos x (k  4).
6.Написать формулу Маклорена, не выписывая
остаточный член для функции y  sin(sin x) (k  3).
7.С помощью формулы Тейлора приближенно
вычислить:
3
29; ln 1,2; arctg 0,9; arcsin 0,5; (1,2)1, 2
и
оценить
погрешность.
5 (с точностью до 10 5 ), sin 1 (с
8.Вычислить
7
точностью до 10  7 ), cos 10  (с точностью до 10 ).
26
5.8.1.Теорема. Пусть функция y  f (x) имеет конечную
производную в каждой точке промежутка (a, b) , пусть
f ' ( x)  0 ( f ' ( x)  0) в каждой точке x  (a, b) , тогда функции
f (x) в промежутке строго возрастает (убывает) .
5.8.2. Пусть x1  (a, b) x 2  (a, b) , x1  x 2 . По теореме
Лагранжа (см. раздел 5.5.1), примененной к отрезку x1 , x 2  (все
условия теоремы Лагранжа здесь выполнены), существует точка
c  ( x1 , x 2 ) , такая, что
(5.17)
f ( x 2 )  f ( x1 )  f ' (0)( x 2  x1 ).
Из неравенств f ' (c)  0 ( f ' (c)  0) , x 2  x1  0 , принимая во
внимание (5.17), получаем, что f ( x 2 )  f ( x1 ) ( f ( x 2 )  f ( x1 )) .
Итак, из x 2  x1 следует, что f ( x 2 )  f ( x1 ) ( f ( x 2 )  f ( x1 )) , т.е.
функция f (x) строго возрастает (строго убывает) в промежутке
(a, b) .
Теорема доказана.
5.8.3. Обратная теорема неверна, т.е. из того, что функция
f (x) , имеющая в каждой точке промежутка (a, b) конечную
производную, строго возрастает (строго убывает) в промежутке
(a, b) , не следует, что в каждой точке промежутка (a, b) f ' ( x)  0
( f ' ( x)  0).
Например, функция y  x 3 в промежутке (1;1) строго
возрастает (проверяется непосредственно) и в то же время ее
производная ( f ' ( x)  3x 2 ) при x  0 равна нулю.
5.8.4. Теорема раздела 5.8.1. содержит достаточное условие
f ' ( x)  0  f ( x)  0 ) строгого возрастания (строго убывания
функции в промежутке (a, b) ). В разделе 5.8.3. было показано,
что это достаточное условие f ' ( x)  0 ( f ' ( x)  0) не является
необходимым условием строгого возрастания (строго убывания)
функции f (x) .
27
5.8.5. Теорема раздела 5.8.1. наглядно иллюстрируется на
Рис.5.8а и 5.8б.
Достаточное условие строгого возрастания функции в
промежутке
Рис. 5.8.а
Достаточное условие строгого убывания функции в промежутке
Рис. 5.8.б
5.9.1. ТЕОРЕМА. Пусть функция y  f (x) в каждой точке x
промежутка (a, b) имеет конечную производную f ' ( x) , пусть
точка x 0  (a, b) и пусть f ' ( x 0 )  0 . Пусть существует число
  0 такое, что
при x 0    x  x 0 производная f ' ( x)  0,
при x 0  x  x 0   производная f ' ( x)  0.
Тогда x 0 - точка (сильного) локального максимума функции
f (x) .
28
5.9.2.

Возьмем x  ( x 0  , x 0 ) (очевидно, x 0  x  0 ). Для

отрезка x, x  выполнены все условия теоремы Лагранжа (см.
раздел 5.5.1), поэтому существует точка c  ( x, x 0 ) (в этой точке
по условию f ' (c)  0) , такая что
f ( x 0 )  f ( x)  f ' (c)( x 0  x)  0
Откуда следует неравенство
(5.18)
f ( x 0 )  f ( x).
Таким образом, для любой точки x  ( x 0  , x 0 ) имеет место
неравенство (5.18.)
Аналогично рассуждение проводится для случая, когда точка
x  ( x 0 , x 0  ) , и опять получается неравенство (5.18.), т.е.
действительно, точка x 0 - точка сильного локального максимума
функции f (x) (см. определение точки сильного локального
максимума в разделе 5.1.1.).
Теорема доказана.
5.9.3. Теорема раздела 5.9.1. дает первое достаточное условие
(сильного) локального максимума. Она наглядно иллюстрируется
на Рис.5.9.
Первое достаточное условие сильного локального максимума
(«шапочка»)
Рис.5.9
Даже на схеме видно, что при выполнении условия теоремы
раздела 5.9.1. (производная f ' ( x) в точке x 0 равна нулю, а при
переходе точки x через точку x 0 производная меняет знак с
29
плюса на минус) график функции f (x) около точки ( x 0 , f ( x 0 ))
имеет вид «шапочки».
5.9.4. Приведем пример, который показывает, что первое
достаточное условие (сильного) локального максимума (точнее:
f ' ( x)  0, при x  ( x 0  , x 0 ) и f ' ( x)  0 при x  ( x 0 , x 0  ) ) не
является необходимым.
Для функции
1
 4
x0
 x (1  sin 2 2 )
при
f ( x)  
x
x0

0
точка 0 есть точка сильного локального максимума (на самом
деле она точка сильного глобального максимума), ибо при
x  0 выражение
1
 x 4 (1  sin 2 )  0,
x
а при x  0 имеем f ( x)  0 .
Производная функции f (x) имеет вид
1
2
f ( x)  4 x 2 (1  sin 2 )  x 2 sin
при x  0 ,
x
x
1
 x 4 (1  sin 2 )
f ( x)  f (0)
x 
f ' (0)  lim
 lim
x 0
x 0
x0
x
1
  lim x 3 (1  sin 2 )  0
x 0
x
При x  0 и при x  0 и близких к нулю производная f ' ( x)
бесконечно много раз меняет свой знак.
5.9.5. ТЕОРЕМА. Пусть функция f (x) в каждой точке x
промежутка (a, b) имеет конечную производную f ' ( x) , пусть
  0 такое, что при x 0    x  x 0 производная f ' ( x)  0 , при
x 0  x  x 0   производная f ' ( x)  0. Тогда x 0 - точка (сильного
локального минимума функции f (x) .
30
5.9.6. Доказательство теорема раздела 5.9.5. (она дает первое
достаточное условие (сильного) локального минимума)
аналогично доказательству теорема раздела 5.9.1. и поэтому не
приводится. Теорема раздела 5.9.5. наглядно иллюстрируется на
Рис.5.10.
Первое достаточное условие сильного локального минимума
(«перевёрнутая шапочка»)
Рис.5.10
На схеме видно, что при выполнении условия раздела 5.9.5.
график функции f (x) около точки ( x  , f ( x  )) имеет вид
перевернутой «шапочки».
5.10.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Пусть функция f (x) определена в промежутке (a, b) . Точка
x 0  (a, b) называется критической точкой функции f (x) , если
при x  x  функции f (x) непрерывна и имеет место один из трех
случаев: 1) f ' ( x 0 )  0, 2) f ' ( x 0 )   , 3) f ' ( x 0 ) - не существует
(т.е. не существует ни конечной, ни бесконечной производной).
Точки локального экстремума (максимума или минимума)
функции, определенной в промежутке (a, b) , следует искать
только среди критических точек этой функции.
5.10.2. ТЕОРЕМА. Пусть функция
f (x) непрерывна в
промежутке (a, b) , пусть точка x 0  (a, b) и пусть в каждой точке
промежутка (a, b) , кроме точки x 0 , функция f (x) имеет
конечную производную. Пусть при x  x 0 производная f ' ( x)
31
равна  или не существует. Пусть существует число   0 такое,
что
при x 0    x  x 0 производная f ' ( x)  0,
при x 0  x  x 0   производная f ' ( x)  0.
Тогда x 0 - точка (сильного) локального максимума функции
f (x) .
5.10.3. Доказательство теоремы раздела 5.10.2. повторяет
доказательство теорема раздела 5.9.1. и поэтому не приводится.
Теорема раздела 5.10.2. дает первое достаточное условие
(сильного) локального максимума функции f (x) в случае, когда
производная f ' ( x) в точке x 0 равна  или не существует.
Напомним, что случай, когда f ' ( x 0 )  0, был рассмотрен в
разделе 5.9.1.
Дадим наглядную иллюстрацию теоремы раздела 5.10.2. для
случая, когда f ' ( x 0 )   (см. Рис.5.11), и для случая, когда f ' ( x)
не существует (см. Рис. 5.12).
Первое достаточное условие сильного локального максимума
(«клюв»)
Рис.5.11
32
Первое достаточное условие сильного локального максимума
(«угловая точка»)
Рис.5.12
5.10.4.ТЕОРЕМА. Пусть функция
f (x) непрерывна в
промежутке (a, b) , пусть точка x 0  (a, b) и пусть в каждой точке
промежутка (a, b) , кроме точки x 0 , функция f (x) имеет
конечную производную. Пусть при x  x 0 производная f ' ( x)
равна  или не существует. Пусть существует число   0 такое,
что
при x 0    x  x 0 производная f ' ( x)  0,
при x 0  x  x 0   производная f ' ( x)  0.
Тогда x 0 - точка (сильного) локального максимума функции
f (x) .
5.10.5.
Доказательство
раздела
5.10.4.
аналогично
доказательству теоремы раздела 5.9.1. и поэтому не приводятся.
Теорема раздела 5.10.4. дает первое достаточное условие
(сильного) локального минимума функции f (x) в случае, когда
производная f ' ( x) в точке x  равна  или не существует.
Случай, когда f ' ( x 0 )  0, , рассматривался в разделе 5.9.5.
Дадим наглядную иллюстрацию теорема раздела 5.10.4. для
случая, когда f ' ( x 0 )   (см. Рис.5.13), и для случая, когда
f ' ( x 0 ) не существует (см. Рис. 5.14).
33
Первое достаточное условие сильного локального минимума
(«перевёрнутый клюв»)
Рис.5.13
Первое достаточное условие сильного локального минимума
(«перевёрнутая угловая точка»)
Рис.5.14
5.10.6. Точки максимума и минимума функции y  f (x)
находят по следующей схеме. После того, как получена
производная y'  f ' ( x) , определяют критические точки функции
y  f (x) , т.е. точки, принадлежащие области определения
функции f (x) , в которых производная f (x) обращается в нуль, в
бесконечность и в которых она вовсе не существует (см. раздел
5.10.1.). Точки экстремума, т.е. экстремальные точки, могут быть
только среди критических точек. Если критических точек нет, то
нет и точек экстремума. Используя первое достаточное условие
экстремума (см. разделы 5.9.1, 5.9.5, 5.10.2 и 5.10.4.), выбирают
точки экстремума среди критических точек.
34
5.11.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Пусть функция y  f (x) определена для всех положительных
x . Прямая y  k _ x  b _ называется невертикальной (наклонной)
асимптотой графика Г функции y  f (x) при x  
lim ( f ( x)  k  x  b )  0 ,
x 
(т.е. при больших по модулю и отрицательных x график Г, грубо
говоря, устроен как прямая y  k  x  b ) (см. Рис.5.15)
График функции y  f (x) и его невертикальной асимптоты
Рис 5.15
Частный случай невертикальной асимптоты – горизонтальная
асимптота – рассматривался, когда иллюстрировалось понятие
предела (предельного значения) функции при x   .
5.11.2.ТЕОРЕМА. Для того, чтобы график Г функции
y  f (x) имел невертикальную асимптоту y  k  x  b при
x   , необходимо и достаточно, чтобы существовали
конечные пределы (предельные значения)
f ( x)
k   lim
,
(5.19)
x   x
(5.20)
b  lim ( f ( x)  k  x) .
x 
5.11.3. (Необходимость). Пусть график Г функции y  f (x)
имеет невертикальную асимптоту y  k  x  b при x   , тогда
имеют место формулы (5.19.),(5.20).
В самом деле, положим
35
тогда, очевидно, что
f ( x )  k  x  b    ( x ) ,
b
 ( x)
f ( x)
 k  x)  lim (    )  0
x 
x  x
x
x
b  ( x)
(ибо функции  , 
, при x   - бесконечно малые), откуда
x
x
f ( x)
lim
 k .
x   x
Далее, ясно, что
lim ( f ( x)  k  x)  lim (b    ( x)) b  .
lim (
x 
x 
5.11.4. (Достаточность). Пусть существуют конечные
пределы (предельные значения) (5.19.) и (5.20.)
Из (5.20) следует, что
0  lim ( f ( x)  k  x)  b  lim ( f ( x)  k  x  b ),
x 
x 
т.е.
прямая
действительно
является
y  k  x  b
невертикальной асимптотой графика Г функции y  f (x)
при x   .
Теорема раздела 5.11.2. доказана.
5.11.5. Если хотя бы один из пределов (5.19.) или (5.20.)
равен бесконечности, либо не существует, невертикальной
асимптоты при x   у графика Г нет.
5.11.6. Теорема о существовании невертикальной
асимптоты y  k  x  b графика Г функции y  f (x)
формулируется и доказывается аналогично. Вместо
формулы (5.19.) и (5.20.) фигурируют формулы
f ( x)
k   lim
,
x   x
b  lim ( f ( x)  k  x) .
x
5.11.7. Прямые y  k  x  b и y  k  x  b могут быть
различными. Может случится так, что при x   асимптота не
существует, а при x   - существует.
36
5.11.8. Найдем
невертикальную асимптоту
графика
Г
функции y  33 x 2 ( x  1) :
33 x 2 ( x  1)
f ( x)

k   lim
 lim
 ( )  3,
x  x
x 
x

b  lim ( f ( x)  k  x)  3 lim ( x 2 ( x  1)  x)  (  ) 
x  
 3 lim
x 
x 
x 2 ( x  1)  x 3
2
 1)) 3
1
 1)) 3
 1.
(x 2 (x
 x( x 2 ( x
 x2
При x   график Г имеет невертикальную асимптоту
y  3x  1 . Эта прямая является также невертикальной асимптотой
при x   (покажите!).
5.11.9. Пример. Найдем невертикальные асимптоты функции
y  x  arctgx.
1)Имеем:
x  arctgx

k   lim
 lim arctgx 
x 
x 
x
2

b  lim ( f ( x)  k  x)  lim ( x  arctgx  x)  (  ) 
x  
x  
2
1


()
2
0
x2
1

x
2
 lim
 ( )  lim
  lim
 1
2
1
1
x  
x  
0
1 x
 2
x
x
Итак, при x   график Г имеет невертикальную
асимптоту

y  x 1.
2
2)Имеем
f ( x)
x  arctgx

k   lim
 lim
 lim arctgx   ; b  1.
x   x
x  
x  
x
2
arctgx 
37
Итак,
при
x  
график
Г
имеет
невертикальную

x 1
2
График Г функции y  x  arctgx представлен на Рис. 5.16.
асимптоту y  
График функции y  x  arctg x
Рис. 5.16
5.12.1. Схема исследования функции
y  f (x) (с
использованием y ' ):
1)найти «естественную» область определения;
2)определить область непрерывности функции, найти точки
разрыва. Найти пределы функции, когда аргумент стремиться к
границе области определения и точке разрыва определения или
не принадлежит. Указать область постоянства знака функции;
3)найти
производную
функции
и
найти
точки,
принадлежащие области определения функции y  f (x) , в
которой производная обращается в нуль, в бесконечность или не
существует;
4)составить таблицу для критических точек. К критическим
точкам относятся точки, которые принадлежит области
определения функции и в которых производная обращается в
нуль, в бесконечность или не существует. Удобно граничные
точки, критические точки и точки разрыва располагать в таблице
в возрастающем порядке;
38
5)на основании полученных данных построить график
функции. Схема исследования функции y  f (x) и её реализация
представляет собой материал, особо важный для экономистов.
В разделах 5.10.7, 5.11.6 и 5.11.8 с помощью
дифференциального исчисления анализировались отдельные
«узлы» графика Г функции y  f (x) (участки возрастания и
убывания функции, точки ее локального экстремума, асимптоты).
Реализация схемы представляет собой «сборку» графика Г из
этих «узлов».
5.13.1. ОПРДЕЛЕНИЕ. Говорят, что график Г функции
y  f (x) в промежутке (a, b) имеет вогнутость вверх (вниз), если
в пределах указанного график Г расположен выше (ниже) любой
своей (невертикальной) касательной (см. Рис.5.17 и Рис. 5.18).
График функции y  f (x) , x  a, b  ,
вогнутость вверх
Рис. 5.17
39
График функции y  f (x) , x  a, b  ,
вогнутость вниз
Рис. 5.18
5.13.2. В определении раздела 5.13.1. речь идет о графике Г
функции y  f (x) , которая в каждой точке x промежутке (a, b)
имеет конечную производную. Термин вогнутость вверх (вниз)
варьируется в широких пределах. В частности говорят, что
график Г вогнут вверх (вниз) в промежутке (a, b) , что функция
y  f (x) вогнута вверх (вниз) в промежутке (a, b) . Для графика Г
и функции y  f (x) используется также термин – выпуклость:
график Г (функция y  f (x) ) является выпуклым вниз (вверх),
если он (она) является вогнутым вниз (вверх). Если функция
y  f (x) выпукла вниз (вверх) в промежутке (a, b) , то
используют
компактную
запись
f ( x)  C  (a, b)
( f ( x)  C  (a, b) ). Есть функции y  f (x) , которые в промежутке
(a, b) не являются ни выпуклыми вверх ни выпуклыми вниз.
Например, функция y  sin x в промежутке (; ) не является ни
выпуклой вниз, ни выпуклой вверх, а в промежутке (0; )
функция y  sin x выпукла вверх.
Понятие вогнутости (выпуклости) существенно используется
в математическом моделировании фрагментов экономической
реальности.
5.13.3.□ ТЕОРЕМА. Пусть в каждой точке x промежутка
(a, b) функция y  f (x) имеет конечную вторую производную
f ' ' ( x) , пусть в каждой точке x промежутка (a, b) f ' ( x)  0
( f ' ' ( x)  0 ).
Тогда график Г (функция y  f (x) ) вогнут вверх (вниз) в
промежутке (a, b) .
Теорема дает достаточное условие вогнутости вверх (вниз)
(выпуклости вниз (вверх)) графика Г.
40
5.13.4. Пусть для определенности f ' ' ( x)  0 в каждой точке
промежутка (a, b) . Пусть x  (a, b) . Уравнение касательной K к
графику Г функции y  f (x) в точке ( x , f ( x )) имеет вид
Y  f ( x 0 )  f ( x 0 )( x  x 0 ) .
Условия
доказываемой
теоремы
(конечная
вторая
производная f ' ' ( x) существует) позволяет использовать формулу
Тейлора с центром в точке x 0 с остаточным членом в форме
Лагранжа при k  1 (см. разделы 5.7.2, 5.7.4). Имеем
f ' ' (c )
y  f ( x)  f ( x 0 )  f ' ( x  )  ( x  x 0 ) 
 (x  x0 )2
2!
0
(c  ( x , x)  (a, b)), или
f ' ' (c )
f ( x)  f ( x 0 )  f ( x 0 )  ( x  x  ) 
 (x  x0 )2
2!
| ____________________________|
Y
откуда
f ' ' (c )
 (x  x0 )  0.
2!
Теорема раздела 5.13.3. доказана.
f ( x)  Y 
5.13.5. Если f ' ' ( x)  0 в промежутке (a, b) , то f ' ( x)  d ( d постоянная) в промежутке (a, b) .
Действительно, возьмем точки x 0 и x промежутка (a, b) и
применим на отрезке x 0 , x к функции g (t )  f ' (t ) (t  x 0 , x )
теорему Лагранжа (см. раздел 5.5.1.
g ( x)  g ( x 0 )  g ' (c)( x  x 0 )






(с  x 0 , x или, возвращаясь к первоначальной символике
( g (t )  f ' (t ) ),
f ' ( x)  f ' ( x 0 )  f ' ' (c)( x  x 0 )  0 .
в промежутке (a, b) , т.е. f ' ( x)  f ( x 0 )  d .
Если f ' ( x)  d в промежутке (a, b) , то f ( x)  dx  d1 в
промежутке (a, b) .
41
Действительно, возьмем точки x 0 и x из промежутка (a, b) и
применим на отрезке x 0 , x к функции f (t ) (t  x 0 , x ) теорему
Лагранжа (см. раздел 5.5.1)
f ( x)  f ( x 0 )  f ' ( s)( x  x 0 )




( s  ( x 0 , x) ), или, полагая f ' (s)  d , получаем
f ( x)  f ( x 0 )  d ( x  x 0 ) или f ( x)  dx  d1 , ( d1  f ( x 0 )  dx 0 ).
Таким образом, доказано, что если в каждой точке
промежутка (a, b) f ' ( x)  0 , то обязательно f ( x)  dx  d1 ,
которая одновременно вогнута и вверх и вниз.
5.13.6. ТЕОРЕМА. Пусть функция y  f (x) в каждой точке x
промежутка (a, b) имеет конечную вторую производную f ' ' ( x) ,
пусть x 0  (a, b) , пусть f ' ' ( x 0 )  0 и пусть f ' ' ( x) непрерывна в
точке x 0 .
Тогда существует число   0 такое, что в промежутке
0
( x  , x 0  ) график Г (функция f (x) ) вогнут вверх.
5.13.7. Применим к функции f ' ' ( x) теорему об устойчивости
знака функции, непрерывной в точке x 0 . На основании этой
теоремы существует число   0 такое, что в каждой точке x из
промежутка f ' ' ( x)  0 .
К промежутку ( x 0  , x 0  ) применим теорему раздела
5.13.3. и получим, что в промежутке ( x 0  , x 0  ) функция
f (x) вогнута вверх.
Теорема раздела 5.13.6. доказана.
5.13.8. Если в условии теоремы раздела 5.13.6. неравенство
f ' ' ( x 0 )  0 заменить неравенством f ' ' ( x 0 )  0 , то в утверждении
теоремы речь пойдет о графике Г (функции y  f (x) ) вогнутом
вниз.
5.14.1. Пусть функция y  f (x) определена в промежутке
(a, b) . Пусть точка x 0  (a, b) и пусть в точке M 0  x 0 , f ( x 0 )


42
график Г
имеет касательную (невертикальную или
вертикальную). Пусть существует число   0 такое, что в
промежутке ( x   , x  ) и ( x  , x   ) график Г имеет разные
направления вогнутости.
Тогда точка ( x  , f ( x  )) называется точкой перегиба графика
Г функции y  f (x) .
5.14.2. Точкой перегиба принято называется также абсциссу
x  точки ( x  , f ( x  )) . Принято также говорить о точке перегиба
функции y  f (x) .
5.14.3. ТЕОРЕМА. Пусть функция y  f (x) в каждой точке
промежутка (a, b) имеет конечную вторую производную f ' ' ( x) ,
пусть точке x 0  (a, b) , пусть x 0 - точка перегиба функции
y  f (x) и пусть f ' ' ( x) непрерывна в точке x 0 .
Тогда f ' ' ( x 0 )  0 .
5.14.4. Теорема дает необходимое условие точки перегиба
функции.
5.14.5.Пусть для определенности f ' ' ( x 0 )  0 , тогда по
теореме раздела 5.13.6. существует число   0 такое, что в
промежутке ( x 0  , x 0  ) функция y  f (x) вогнута вверх, что
противоречит тому, что по разные стороны от точки x 0 функция
имеет разные направления вогнутости. Предположим, что
f ' ' ( x 0 )  0 , опять получим противоречие.
Следовательно, f ' ' ( x 0 )  0 .
Теорема раздела 5.14.3. доказана.
5.14.6. ТЕОРЕМА. Пусть в каждой точке промежутка
( x   , x   ) функция y  f (x) имеет вторую конечную
производную, пусть f ' ' ( x  )  0 , пусть в промежутках ( x   , x  )
и ( x  , x   ) вторая производная f ' ' ( x) имеет разные знаки.
43
Тогда x 0 - точка перегиба функции y  f (x) .
5.14.7. Из существования второй конечной производной
f ' ' ( x 0 ) следует, что существует первая (конечная) производная
f ( x 0 ) и поэтому график Г функции y  f (x) в точке ( x 0 , f ( x 0 ))
имеет невертикальную касательную K . Из того, что слева и
справа от точки x 0 вторая производная f ' ' ( x) имеет разные
знаки, следует, что слева и справа что точки x 0 функция имеет
разные направления вогнутости, т.е. x 0 - точка перегиба.
Теорема раздела 5.14.6. доказана.
5.14.8. Теорема раздела 5.14.6. дает достаточное условие
точки перегиба. Эта теорема наглядно иллюстрируется Рис.5.19а
и Рис.5.19б.
Достаточное условие точки перегиба
(невертикальная касательная)
Рис. 5.19.а
Достаточное условие точки перегиба
(невертикальная касательная)
44
Рис. 5.19.б
5.14.9. В теореме раздела 5.14.6. условие существования
конечный второй производной в точке x 0 и ее равенство нулю
( f ' ' ( x 0 )  0 ) можно заменить на непрерывность функции в точке
x 0 и существования касательной K (которая может быть как
вертикальной, так и невертикальной) к графику Г функции
y  f (x) в точке ( x 0 , f ( x 0 )) . Пусть все остальные условия
теоремы раздела 5.14.6. сохраняются, т.е. в каждой точке
промежутков ( x 0  , x 0 ) и ( x 0 , x 0  ) существует конечная
производная и в этих промежутках она имеет равные знаки.
Тогда x 0 - точка перегиба. Эта ситуация иллюстрируется
Рис.5.19в и Рис.5.19г в случае вертикальной касательной K к
графику Г в точке ( x 0 , f ( x 0 )) .
Достаточное условие точки перегиба
(вертикальная касательная)
Рис. 5.19.в
45
Достаточное условие точки перегиба
(вертикальная касательная)
Рис. 5.19.г
5.14.10. ТЕОРЕМА. Пусть функция y  f (x) определена в
промежутке (a, b) . Пусть точка x 0  (a, b) . Пусть в точке x 0
существует конечная вторая производная f ' ' ( x 0 ) (тогда
существует число   0 такое, что в каждой точке промежутка
( x 0  , x 0  ) существует конечная первая производная f ' ( x) ).
Пусть f ' ( x 0 )  0 и f ' ' ( x 0 )  0 ( f ' ' ( x 0 )  0 ).
Тогда x 0 - точка (сильного) локального минимума
(максимума).
5.14.11. Имеем по определению
0
f ' ( x)  f ' ( x 0 ) ( f '( x ) 0)
f ' ( x)
0
f ' ' ( x )  lim

lim
 0,
x  x x  x 0
x  x0
x x
тогда существует число 1 (1   ) такое, что в каждой точке x
из промежутка ( x 0  , x 0  ) дробь
f ' ( x)
(5.21)
 0.
x  x0
Пусть x  x 0 тогда на основании неравенства (5.21)
f ' ( x)  0 .
Пусть x  x 0 , тогда на основании неравенства (5.21)
f ' ( x)  0 .
Таким образом, при переходе через точку x 0 первая
производная меняет свой знак с минуса (через нуль) на плюс. На
основании первого достаточного условия локального экстремума
(см. теорему раздела 5.9.1.) x 0 - точка (сильного) локального
минимума. Случай, когда f ' ' ( x  )  0 , разбирается аналогично.
Теорема раздела 5.14.10. доказана.
5.14.12. Теорема раздела 5.14.10. дает второе достаточное
условие ( f ' ' ( x 0 )  0 ( f ' ' ( x 0 )  0 )) (сильного) локального
экстремума. Запоминание второго достаточного условия сильно
облегчает «правило зонтика» (см. Рис.5.20).
46
Правило «зонтика»
Рис. 5.20
5.15.1. Пусть функция y  f (x) определена на отрезке a; b .
Определение локального экстремума, сформулированное в
разделе 5.1.1. в случае множества А, для отрезка имеет вид:
Говорят, что точка x  x 0 , принадлежащая отрезку a; b ,
является точкой локального максимума (локального минимума)
функция y  f (x) на a; b , если для всех x, принадлежащих a; b ,
близких к x , выполняется неравенство
f ( x)  f ( x 0 ) ( f ( x)  f ( x 0 )) .
Само частное значение f ( x 0 ) называется локальным
максимумом (локальным минимумом) функции f (x) на отрезке
a; b, что обозначается так:
f ( x 0 )  (l ) max f ( x) ( f ( x 0 )  (l ) min f ( x)) .
a;b 
На рис.5.21 изображен график
определенной на отрезке a; b .
a ,b 
Г
функции
y  f (x) ,
График функции y  f (x) , x  a, b
Рис. 5.21
47
Очевидно, что точки a, a 2, b - точки локального минимума,
точки a1, a3 - точки локального максимума. Причем точки
a1 , a 2 , a 3 - точки внутреннего локального экстремума (ибо каждая
из них «окружена» точками x  a, b ), а точки a и b - точки
граничного (краевого) локального экстремума. Заметим, что если
функция y  f (x) определена в промежутке (a, b) , то у нее могут
быть только точки внутреннего локального экстремума и никогда
не бывает точек граничного (краевого) экстремума.
Если функция y  f (x) дифференцируема (т.е. имеет
конечную производную) в каждой точке отрезка a; b и если
точка x  x - точка внутреннего локального экстремума, то
f ' ( x )  0 . Это предложение ничем не отличается от теорем
раздела 5.2.1.
Если же точка x  x 0 - точка граничного (краевого)
экстремума, то f ' ( x 0 ) может и не равняться нулю, т.е. теорема из
раздела 5.2.1. применима только к точкам внутреннего
локального экстремума.
Для функции y  x 2 , определенной на отрезке  1;2 , точка
x 0  1 является, очевидно, точкой краевого локального
максимума (Рис.5.22), но в этой точке производная y '  2 x не
равна нулю, а равна -2.
График функции y  x 2 , x   1, 2
Рис. 5.22
48
Если дифференцируемая функция y  f (x) рассматривается
в промежутке (a, b) и если f ' ( x 0 )  0 для всех x  (a, b) , то
экстремумов они не имеет (это следует из теоремы раздела 5.2.1.)
Рассмотрим функции y  2 x в промежутке (0;1). Ее производная
y ' равна 2 и, следовательно, не равна нулю; значит, это функция
в (0;1) не имеет ни минимумов, ни максимумов, т.е. в промежутке
(0;1) нельзя указать такую точку x 0  (0;1) , что 2 x 0  2 x для всех
x  (0;1) , x  x 0 и близких к x 0 и нет такой точки x1  (0;1) , что
2 x1  2 x для всех x  (0;1) , x  x1 (Рис.5.23).
График функции y  2 x , x  0,1
Рис.5.23
Если функция y  f (x) определена на отрезке a; b и если
f ' ( x)  0 для всех x  (a, b) , то отсюда еще не следует, что у нее
вообще не экстремумов. Рассмотрим функцию y  2 x на 0;1.
Здесь y '  2  0 , но x 0 - точка локального минимума, ибо
2  0  2 x для всех x  0;1 x  0 , а x1  1 - точка локального
максимума, ибо 2  2 x для всех x  0;1, x  1 (см. Рис.5.24).
49
График функции y  2 x , x  0, 1
Рис.5.24
5.16.1. Глобальный экстремум функции (см. раздел 5.1.1.)
Пусть функция y  f (x) определена в промежутке (a, b) .
Точка x  x 0  (a; b) называется точкой глобального
максимума (глобального минимума) функции y  f (x) в
промежутке (a, b) , если для всех x, принадлежащих промежутку
(a, b) выполняется неравенство f ( x)  f ( x 0 ) ( f ( x)  f ( x 0 )) .
Само частное значение
f ( x  ) называется глобальным
максимумом (глобальным минимумом) функции y  f (x) в
промежутке (a, b) , что обозначается так
f ( x 0 )  ( g ) max f ( x)
( f ( x 0 )  ( g ) min f ( x))
( a ;b )
( a ,b )
Функция y  f (x) , определенная в промежутке (a, b) , может
иметь локальный минимум (даже не один) и в то же время не
иметь глобального максимума (см. приведенные выше Рис.5.23),
на котором изображен график Г функции y  2 x , не имеющий в
промежутке (0,1) самой высокой точки - «макушки».
Аналогичная ситуация имеет место для локального
минимума функции y  f (x) , которая определена в промежутке
Определение
понятия
глобального
максимума
(a, b) .
(глобального минимума) для y  f (x) , рассматриваемой на
отрезке a; b , повторяется дословно. Только в данном выше
определении следует везде заменить (a, b) на a; b .
50
Необходимо помнить, что функция y  f (x) , определенная и
непрерывная на отрезке a; b , всегда имеет глобальный
максимум и глобальный минимум (теорема Вейерштрасса)
В учебниках глобальный максимум (глобальный минимум)
обычно называется наибольшим(наименьшим) значением
функции y  f (x) в промежутке (a, b) (на отрезке a; b )
Во многих прикладных задачах требуется найти именно
глобальный максимум (глобальный минимум) функции y  f (x) ,
определенной на отрезке. Для этого не требуется проводить то
детальное исследование функции, аналогичное проводимому в
разделе 5.14.13.Точки глобального максимума и глобального
минимума непрерывной функции y  f (x) на отрезке a; b
находятся по следующей схеме
1) находят критические точки функции y  f (x) в (a, b) , т.е.
точки, принадлежащие промежутку (a, b) , в которых f ' ( x)
обращается в нуль или в бесконечность, или не существует.
Пусть это будут точки a1, a 2 ,..., a k ;
2) вычисляют частное значение функции y  f (x) в найденных
критических точках и в обоих концах отрезка a; b
f (a1 ), f (a 2 ),..., f (a k ), f (a), f (b).
Среди этих частных значений выбирают наибольшее
(наименьшее). Это и есть глобальный максимум (глобальный
минимум) y  f (x) на a; b , а соответствующая точка (или
точки) являются точкой (точками) глобально максимума
(глобального минимума).
5.16.2. Пример. Найти глобальный максимум и глобальный
минимум функции
x3
y
 2x 2
3
на отрезке [-1;3].
1.Находим критические точки функции y в (-1;3). Имеем
y   x 2  4x .
Т.е. функция y имеет конечную производную для всех
x  (1;3) .
51
Решая уравнение y '  0 получает критические точки a1  0 ,
a 2  4 . Тоска a 2  4 не принадлежит промежутку (-1;3), поэтому
ее мы рассматривать не будем.
2. Находим частные значения функции y при x  a  1,
7
x  a1  0 , x  b  3, y (1)  ; y(3)  9 .
3
3. Итак, x  3 - точка глобального максимума функции y , точка
x  0 - точка глобального минимума функции y на отрезке [-1;3]
и
9  y(3)  ( g ) max y, 0  y(0)  ( g ) min y
График Г функции y изображен на рис.5.25.
x3
График функции y    2 x 2 , x   1, 3
3
Рис. 5.25
5.17.1. Пример нахождения экстремума в негеометрической
задаче, которая является аналогом классической задачи
железнодорожных изысканий.
По прямой AEMKB проходит уже построенная железная
дорога (ж.д.) (рис.5.26).
52
Схема задачи о железнодорожных изысканиях
Рис. 5.26
В стороне от нее на расстоянии r км расположен пункт С, где
обнаружили сырье, необходимое предприятиям пункта К.
Требуется найти место для построение узловой станции М, чтобы
суммарные затраты на строительство новой ж.д. из пункта С в
пункт М и на перевозку Т тонн сырья из С и К по маршруту СМК
были минимальными. Известно, что затраты Z1 на строительство
ж.д. длинной в x км исчисляются по формуле Z1    x
( , ,  ,  - положительные постоянные в условиях данной
задачи). Расстояние от Е до К равно S км.
Обозначит через x расстояние между пунктами Е и М, тогда
затраты на прокладку ж.д. из С в М исчисляются по формуле
Z1     x 2  r 2 ,
в затраты на перевозку Т тонн груза из С в К по маршруту СМК
составят
Z 2  T (   ( x 2  r 2  S  x)) .
Требуется определить локальный минимум функции
y  Z1  Z 2 на отрезке O, S , ибо расстояние x должно быть
больше нуля и не больше S.
Имеем
y '  ( Z 1  Z 2 )'  (  T  TS  (  T) x 2  r 2  Tx)' 

(  T ) x
x r
2
2
 T .
53
Откуда следует, что
y '  0 , если
x
rT
 2  2 T
 x0
x  x 0 - критическая точка функции y .
Очевидно, x 0  0 , ибо   0, r  0, T  0 . Если S – достаточно
rT
велико, точнее, если S 
, то S  x 0 . Случай, когда
 2  2 
S  x 0 , рассмотрим позже.
Таким образом, если расстояние между Е и К велико, то x 0 «внутренняя» точка отрезка O; S , и для исследования точки x 0
на экстремум воспользуемся теоремой раздела 5.14.10.(т.е.
вторым достаточных условием локального экстремума).
Поскольку
(  T )  r 2
.
y' 
3
(проверьте!), т.е.
(x 2  r 2 ) 2
и при x  x 0 вторая производная y ' '  0 , точка x  x 0 - точка
локального минимума функции y . А требуется найти глобальный
минимум функции y на O; S . Согласно разделу 5.16.1, для
нахождения глобального минимума, вообще говоря, необходимо,
вычислить частное значение функции y при x  0 , x  x 0 , x  S
и сопоставить их между собой.
Однако в данном конкретном случае этого можно не делать.
Поскольку график Г функции y на O; S  вогнут вверх (ибо
y ' '  0 )(см. теорему раздела 5.13.3.), точка x 0 локального
минимума (см. Рис. 5.27, на котором схематически изображен
график Г функции y ).
График функции затрат y  f (x) , x 0  0, S 
54
Рис. 5.27
Таким образом, узловую станцию М следует строить на
расстоянии x  x 0 км от пункта E.
Осталось рассмотреть случай, когда при решении уравнения
y '  0 окажется, что x 0  S . Но тогда на отрезке O; S  первая
производная y '  0 , т.е. функция y на O; S  монотонно убывает,
поэтому x  S - точка глобального минимума функции y на
O; S  (см. Рис.5.28, на котором схематически изображен график
Г функции y для этого случая).
График функции затрат y  f (x) , x 0  S
Рис. 5.28
Выходит, если расстояние между Е и К достаточно мало
r T
(точнее, если S 
), выгоднее проводить ж.д. прямо
2
  2 T
из С в К.
Упражнения.
1.Данное положительное число разложить на два слагаемых
так, чтобы их произведение было наибольшим.
2.Забором фиксированной длины l погонных метром
оградить прямоугольный участок наибольшей площади.
3. Забором фиксированной длины l погонных метров
оградить прямоугольный участок наибольшей площади,
прилегающий к данной каменной стене.
55
4.Открытый бак с квадратным основанием должен иметь
емкость v литров. При каких его размерах расход железного
листа будет минимальным?
56