АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЗАДАЧ РАЗРУШЕНИЯ Вершинин С.В. Екатеринбург, Россия

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЗАДАЧ РАЗРУШЕНИЯ
Вершинин С.В.
Екатеринбург, Россия
В работе рассмотрены конструктивные методы асимптотического анализа,
примененные для задач разрушения. Решения для реальных задач с учетом свойств
материала и типов нагружения можно построить только комбинируя
феноменологические, численные, аналитические и экспериментальные методы и при этом
не выходя за рамки результатов, полученных в классической теории катастроф с одной
стороны и существующих моделей сплошной среды (упругость, пластичность, хрупкость
и т.д.) с другой стороны. Ключевым моментом при исследовании задач разрушения
является выделение и локализация особенностей процесса для корректной формализации
задачи с учетом допустимой сложности выбранной модели и применимости
соответствующей комбинации методов (феноменология, вычисления, аналитика).
Поскольку адекватность нелинейных моделей существенно выше чем линейных, то
представленные в работе результаты ориентированы в первую очередь на анализ
нелинейных задач.
Асимптотические решения для задач механики сплошной среды обладая
универсальностью для описания особенностей нелинейных задач, требуют аналитической
трудоемкости для проведения асимптотических оценок. На конкретных примерах
нелинейных дифференциальных моделей для задач разрушения демонстрируются
преодолимые трудности построения аналитических решений. Развивающиеся методы
компьютерной математики обеспечивают полную проверяемость при проведении очень
сложных аналитических выкладок.
Таким образом в данной работе приведены решения для задач статики и динамики,
описываемых в классах элиптических и гиперболических уравнений, которые имеют
приложения в нелинейной механике трещин, износостойкости режущего инструмента,
ударного взаимодействия упругопластического стержня с преградой и задачи о пробое
диэлектрика.
1. Особенности бигармонического уравнения
Для линейноупругого материала функция напряжения Эри F (r ,  ) ,
удовлетворяющая бигармоническому уравнению [1,16,25,29,30]
 2 ( 2 F )  0
(1.1)
при использовании связи с компонентами тензора напряжений в полярной системе
координат
 r  2 F  ,
 
2F
r
2
,  r  
 1 F
(
)
r r 
(1.2)
позволяет определять решения в виде рядов вида
F (r ,  ) 

 f n ( )r 
n
(1.3)
n 0
где  n определяется из задачи на собственные значения, а f n определяется в классе
периодических функций. Даже для линейной задачи, каковой является задача о
всестороннем или одностороннем растяжении пластины с круговым вырезом, возникает
концентрация напряжения, которая, например, для правой точки определяется по
формулам
    0 (1  a 2 / r 2 )
(1.4)
3 0 2 2

(a / r  a 4 / r 4 ) ,    0 (2  a 2 / r 2  3a 4 / r 4 )
2
2
(1.5)
 rr   0 (1  a 2 / r 2 ) ,
для всестороннего и
 rr 
для одностороннего растяжения. [16,25] При усложнении геометрической (круг, эллипс,
щель, трещина) или структурной (пластичность, вязкость, усталость) компонент задачи, а
также с добавлением кинетического уравнения, даже в случае статики, возникают
нелинейности в постановках соответствующих задач, для анализа которых традиционно
применяются методы асимптотического анализа [1].
2. Удар стержня о преграду
Задача о динамическом взаимодействии упругопластического стержня с жесткой
преградой исследовалась многими авторами [11,14,22] и является содержательной
моделью для определения соотношения упругих, хрупких и пластических свойств
материала на примере нелинейного волнового уравнения [17,20]. Схема взаимодействия
носит простой характер и позволяет смоделировать ситуацию краевой задачей для
нелинейного волнового уравнения
utta(  ) uxx0
(2.1)
( a(  ) - скорость распространения продольных волн в стержне, зависящая от решения





u( t, x ) ; u - перемещение,  u - удлиннение, t - время, a(  )
;  x

напряжение,  - плотность; напряжения  - и удлиннения  связаны зависимостью
(  ) )
Начальные условия имеют вид
u( 0, x )0
ut( 0, x )f( x )
(2.2)
Краевые условия представлены в виде
u( t, 0 )0
ux( t, L )0
(2.3)
(f(x) - гладкая функция в пределе стремящаяся к ступенчатой в нуле функции, L - длина
стержня)
Решения поставленной задачи для определенных классов зависимости напряжения от
деформации были получены в работах [6,7] в виде асимптотических рядов

u( t, x )  bk( x ) uk( t )
k0
(2.4)
с рекуррентно определяемыми коэффициентами bk( x ) и специально подобранным
базисом uk( t ) .
Построенные решения позволяют моделировать отскок стержня от преграды,
явления откола или прилипания стержня с помощью аналитических оценок длительности
удара.
В момент удара у левого конца стержня возникает центрированная волна Римана
[20,22], которая может быть аналитически описана с помощью построенных решений.
Для тестирования построенных решений используется механически эквивалентная задача
об ударе по полубесконечному стержню [22] в автомодельной постановке.
Для описания явления теплового удара исследована дифференциальная система
для изменения деформаций и температуры в полной нелинейной постановке
 2  
(2.5)
  2 u   - уравнение движения
 t  x


( s1 )
T
Tt( T ) - уравнение теплопроводности ( ( T )
, 1s )
s1
xx
( , T ) - уравнение состояния
Для этого использовано построенное автором решение для нелинейного уравнения
теплопроводности
( s1 )
T
Tt( T ) ( ( T )
, 1s )
s1
xx
 
( sk ) 

xa0( t )  ak( t, s ) T
 k1

Добавляя сюда решение для нелинейного волнового уравнения
(2.6)
(2.7)

u  bk( x, T ) t k
k0
(2.8)
получим в неявном виде решение задачи, моделирующей явление теплового удара [27].
3. Уравнение износа и поврежденность
3.1 Зона резания
Задача об ортогональном резании [13,21,22] схематически может быть
представлена в виде взаимодействия резца, детали и стружки. В окрестности основания
стружки образуется зона пластичности, которую в классе дифференциальных моделей
можно трактовать как пересечение волны нагрузки, распространяющейся в деталь и
волны разгрузки, распространяющейся в стружку. При исследовании зоны резания с
помощью метода конечных элементов определяется конфигурация зоны пластичности в
виде криволинейного треугольника, топологически эквивалентного области определения
двойной волны для задачи об угловом поршне. Это позволяет трактовать условно зону
пластичности в задаче резания как двойную волну в упругопластической среде.
Задача об ортогональном резании исследовалась автором в работах [4,5] с помощью
комбинирования численных и аналитических методов в приложении к важной
технологической проблеме о создании погранслоев в твердом теле с помощью методов
конденсации ионной бомбардировкой (КИБ) и ионной имплантации (ИИ) (упрочняющие
технологии).
Наряду с полями напряжений и деформаций в зоне резания определялось тепловое
поле с помощью решения краевой задачи для двумерного нелинейного уравнения
теплопроводности [23]



c ( T )  T ( ( T ) Tx ) ( ( T ) Ty ) c ( T )  vx  T vy  T  W
 t 
  x 
 y  
x
y
2
(T(x,y,t) - температура в точке (x,y) в момент времени t; ( T )a0a1 Ta2 T -
(3.1)
2
коэффициент теплопроводности; c ( T )b0b1 Tb2 T - объемная теплоемкость; c удельная теплоемкость;  - плотность; ai , bi - зависят от химического состава и
термообработки; vx , vy - проекции на координатные оси вектора скорости перемещения
внешних источников теплоты; W - мощность источников теплоты).
Найденное решение нелинейного уравнения теплопроводности в свою очередь
использовалось для моделирования динамики изменения поверхностной твердости в
задаче об увеличении износостойкости имплантированных токарных пластин [5].
3.2 Напыление и имплантация
Среди множества задач, реализуемых при создании упрочняющих технологий, можно
выделить задачу по созданию тонких погранслоев в твердом теле с помощью методов
конденсации ионной бомбардировкой (КИБ) и ионной имплантации (ИИ). Для режущего
клина в задаче ортогонального резания создание погранслоя можно изобразить простой
схемой (в методе КИБ погранслой наружный, а в методе ИИ внутренний) с внутренним и
внешним погранслоем. Поскольку погранслой создается с целью увеличения
износостойкости, то эффективность метода можно проиллюстрировать асимптотическими
решениями уравнения Арчарда ( dh / dt ~ P / H , h – линейный износ, P – контактное
давление, H – твердость), где h(t) - решение уравнения Арчарда (h - износ, t - время) и
метод является эффективным, если t1t2 ( t1 и t 2 - время катастрофического износа для
обычной и модифицированной пластин). Моделирование процесса создания погранслоя в
режущем клине проведено в работе [5]. Задача разбивалась на три части (создание
погранслоя в режущем клине, исследование динамических и термических нагрузок на
режущий клин с модифицированой поверхностью в зоне резания и определение износа с
помощью уравнения Арчарда). Причем, в силу доступности данных эксперимента,
наиболее подробно, путем подбора подходящей структуры уравнения Арчарда,
исследовалась трибологическая часть модели. Доступная библиография по задаче
напыления и имплантации приведена в работе [5].
4. Пробой диэлектрика
В задаче о пробое диэлектрика со времени опубликования монографий В. Франца и
А.А. Воробьева [9,28] реализованы как методы физического [2,8,26] так и
математического [3,26] эксперимента. Обнаружены эффекты электронной детонации (ЭД)
в твердых диэлектриках и световой детонации (СД) в газах, причем выявлена некоторая
аналогия процесса детонации взрывчатых веществ (ВВ), электронной и световой
детонации. Ниже приведены,некоторые результаты по аппроксимации данных
физических экспериментов, аналитическое определение давление в канале пробоя в
рамках гидродинамической модели, а также учет явления детонации, нелинейного
уравнения теплопроводности и библиографические ссылки на способ реализации
фрактальной модели и модели взаимодействия взрывчатых веществ с цилиндрической
оболочкой.
4.1 Физический эксперимент
Ниже приведена простейшая статистическая обработка некоторых параметров,
полученных в результате физических экспериментов по пробою твердых диэлектриков и
приведенных в работе [8] .
Примеры аппроксимации параметров, описывающих динамику канала
( 4 )
12
Пример 1: радиус канала ( r0 , 10
см) (y), коэффициент сжимаемости (k, 10 Па)
(x)(табл. 9.1 [8], LiF,NaCl,KCl,KBr,MgO, Al2 O3 ,Si O2 - тип диэлектрика)
Пример1 применения сплайн-аппроксимации (зависимость радиуса канала от
коэффициента сжимаемости диэлектрика)
readlib(spline):X:='X':Y:='Y':X:=[3.92,5.62,15.49,17.71,42.73,54
.91,60.35]:Y:=[3.5,2.5,1.5,6.0,5.0,9.0,12.0]:
f1:=spline(X,Y,x,linear);fc:=spline(X,Y,x,cubic):fq:=spline(X,Y,
x,quadratic):fq1:=spline(X,Y,x,quartic):
x5.62
 5.805879.5882342 x

x15.49
 3.069402.1013171 x
 29.898622.027026 x
x17.71
f1 := 
x42.73
 6.707836.0399681 x

x54.91
 9.032850.3284074 x
 21.28127.5514710 x
otherwise

3
10
Пример 2 давление в канале( p 10 Па) (y), скорость электронной детонации ( DÝÄ 10 м/с)
(x) (табл.9.2 [8])
Пример2 применения сплайн-аппроксимации (зависимость давления в канале от скорости
электронной детонации)
readlib(spline):X:='X':Y:='Y':X:=[5.5,10.0,13.0,16.9,20.0,26.0]:
Y:=[1.4,5.6,13.5,18.3,28.0,34.5]:
f1:=spline(X,Y,x,linear);fc:=spline(X,Y,x,cubic):fq:=spline(X,Y,
x,quadratic):fq1:=spline(X,Y,x,quartic):
x10.0
 3.733333333.9333333333 x
 20.733333312.633333331 x
x13.0

f1 :=  2.5000000131.230769232 x
x16.9
 34.580645063.129032252 x
x20.0

 6.3333333261.083333334 x
otherwise

( 4 )
3
Пример 3: радиус канала ( r0 , 10
см) (y), скорость разряда ( vpa , 10 м/с ) (x)(табл. 9.5,
[8])
Пример3 применения сплайн-аппроксимации (зависимость радиуса канала от скорости
разряда)
readlib(spline):X:='X':Y:='Y':X:=[6.0,180,250,490,890,1150.0]:Y:
=[0.5,2.0,5.0,7.5,9.0,12.9]:
f1:=spline(X,Y,x,linear);fc:=spline(X,Y,x,cubic):fq:=spline(X,Y,
x,quadratic):fq1:=spline(X,Y,x,quartic):
x180
 .4482758622.008620689653 x
 5.714285714.04285714286 x
x250

f1 :=  2.395833334.01041666666 x
x490
 5.662500002.003749999995 x
x890

 4.349999984.01499999998 x
otherwise

Пример4 применения сплайн-аппроксимации (скорость распространения канала анодного
разряда в NaCl в зависимости от напряжения возникновения разряда)
readlib(spline):X:='X':Y:='Y':X:=[50.0,120,140.0,175,220,315.0]:
Y:=[6.0,180,250,490,890,1150.0]:
f1:=spline(X,Y,x,linear);fc:=spline(X,Y,x,cubic):fq:=spline(X,Y,
x,quadratic):fq1:=spline(X,Y,x,quartic):
x120
 118.28571432.485714286 x
 240.00000023.500000002 x
x140.0

f1 :=  710.00000006.857142857 x
x175
 1065.5555568.888888891 x
x220

 287.89473722.736842103 x
otherwise

4.2 Типы моделей
Литературный обзор позволяет выделить следующие основные типы
дифференциальных моделей
1.Гидродинамическая модель (гиперболическая система-переменные Эйлера, Лагранжа)
2.Учет детонации (ВВ-ЭД-СД)
3.Тепловой пробой (Нелинейное уравнение теплопроводности)
4.Модель ВВ-цилиндр (Люкшин Б.А. и др.)
5.Фрактальная модель (Уравнение Лапласа-метод релаксации)
4.3 Реализация
Численная или аналитическая реализация этих моделей приведена в работах
[2,3,26] с различной степенью строгости
1.Рассмотрим гидродинамическую модель задачи о пробое диэлектрика реализованную
численно в переменных Лагранжа с помощью схемы Неймана-Рихтмайера в работе [3].
В переменных Эйлера задача ставится следующим образом
Гиперболическая система (цилиндрическая симметрия)
 ( utu ur )Pr0
r ( tu r ur ) u0
2 ( Etu Er )P ( tu r )0
PP( , E )
(u - скорость,  - плотность, P - давление, E - энергия)
Итерационная процедура определения переменных
Предполагая, что уравнение состояния задано в виде сходящегося по своим переменным
двойного ряда

 

P( , E )  En   pm n m 
 m0

n0
Разыскивая решение исходной системы в виде степенных рядов по t

u( t, r )  ui( r ) t i
i0

( t, r )  j( r ) t j
j0

P( t, r )  pk( r ) t k
k0

E( t, r )  El( r ) t l
l0
получим итерационную цепочку нелинейных уравнений.
Так для u1 , 1 , E1 получим


0 u0  u0( r )  p0( r ) 
 r
  r

u1
0


r  u0  0( r ) 0  u0( r )  0 u0
r

 r

1  
r
2


0 u0  E0( r ) 1 p0u0 p0  0( r ) 
 r

 r

E1
2
0
Определение давления в канале
Коэффициенты pk определятся тогда из уравнения состояния соответствующей
итерационной процедурой, которая хорошо реализуется в среде компьютерной
математики, но в данной работе опущена из за громоздкости.
2. Учет детонации допускает перенос некоторых аналитических результатов из [7] для
показателя  отличного от константы для твердых диэлектриков.
3. Модель теплового пробоя требует привлечение нелинейного уравнения
теплопроводности и может быть реализована с привлечением решений, построенных
выше, а также некоторых из решений, построенных в работе [24].
4. В работе [18] численно исследована задача о взрывном разрушении замкнутых
цилиндров, результаты которой могут быть также использованы для аппробации
неодномерных моделей.
5. И, наконец, для реализации фрактальной модели пробоя диэлектрика [10] следует
воспользоваться методом релаксации [19], который позволит определить геометрическую
картину канала пробоя диэлектрика.
Таким образом в данном пункте проведен библиографический обзор основных
математических моделей для реализации задачи о пробое диэлектрика. Некоторые из этих
моделей хорошо реализуются в среде компьютерной математики [12].
Литература
1. В.И. Астафьев, Ю.Н. Радаев, Л.В. Степанова Нелинейная механика разрушения.-Самара: Изд. Самарский
университет, 2001.-632 с.
2.В.И. Берзин , В.В. Захаров , И.И. Каляцкий , Б.В. Семкин Об измерении давления в канале импульсного
пробоя твердых диэлектриков//Электронная обработка материалов.1975.№ 5.с.37-38.
3.В.В. Буркин , П.В. Макаров , Б.В. Семкин , Б.Г. Шубин К расчету поля давлений вокруг искры в твердых
диэлектриках//ЖТФ.Т.XLV.вып.11.с.2395-2399.
4.С.В. Вершинин Исследование зоны резания в случае плоского напряженно-деформированного
состояния//Прогрессивные технологические процессы в тяжелом машиностроении. Свердловск.:
НИИТяжмаш.1990.С.98-101.
5.С.В. Вершинин Математическое моделирование при исследовании трибологических свойств
имплантированных токарных пластин//Препринт. Свердловск.: ИМАШ УрО АН СССР.1990.22 с.
6.С.В. Вершинин Некоторые нелинейные модели для задачи динамического взаимодействия
упругопластического стержня с жесткой преградой//Труды 9-ой конференции по прочности и
пластичности.Москва.ИПМех.1996.
7.С.В. Вершинин Асимптотические решения для нелинейных задач механики сплошной
среды/Препринт.Екатеринбург.Имаш УрО РАН.1998.
8.Ю.Н. Вершинин Электронно-тепловые и детонационные процессы при электрическом пробое твердых
диэлектриков. Екатеринбург.2000.
9.А.А. Воробьев , Г.А. Воробьев Электрический пробой и разрушение твердых
диэлектриков.Москва.Высшая школа.1966.
10.Х. Гулд, Я. Тобочник Компьютерное моделирование в физике: В 2-х частях.Москва. Мир.1990.
11.А.И. Гулидов , В.М. Фомин Численное моделирование отскока осесимметричных стержней от твердой
преграды//Журнал ПМТФ.1980.№ 3.С.126-132.
12.В.П. Дьяконов Компьютерная математика.Теория и практика. М.Нолидж.2000.1296 с.
13.Н.Н. Зорев Вопросы механики процессов резания металлов. М.: Машгиз. 1956.
14.А.Ю. Ишлинский , Д.Д. Ивлев Математическая теория пластичности.Москва.Физматлит.2001.
15.А.Г. Куликовский , Н.В. Погорелов , А.Ю. Семенов Математические вопросы численног о решения
гиперболических систем уравнений. Москва.Физматлит.2001.
16. А.И. Лурье Нелинейная теория упругости. М.: Наука. 1980. 512 с.
17.А.А. Локшин , Е.А. Сагомонян Нелинейные волны в механике твердого тела.Москва.Из-во МГУ.1989.
18.Б.А. Люкшин ,А.В. Герасимов , Р.А. Кректулева , П.А. Люкшин Моделирование физико-механических
процессов в неоднородных конструкциях.Новосибирск.Из-во СО РАН.2001.
19.Г.И. Марчук Методы вычислительной математики. Новосибирск.: Наука. 1973.
20.В.К. Новацкий Волновые задачи теории пластичности.М.Мир.1978.
21.В.А. Остафьев Расчет динамической прочности режущего инструмента. М.: Машиностроение.1979.
22.Х.А. Рахматулин , Ю.А. Демьянов Прочность при интенсивных кратковременных
нагрузках.М.Физматгиз.1961.
23.А.Н. Резников Теплофизика процессов механической обработки материалов.М.: Машиностроение.1981.
24.А.А. Самарский , В.А. Галактионов , С.П. Курдюмов , А.П. Михайлов Режимы с обострением в задачах
для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука. 1987.
25.Л.И. Седов Механика сплошной среды. В 2-х т. М.: Наука.1973.
26.Б.В. Семкин , А.Ф. Усов , В.И. Курец Основы электроимпульсного разрушения материалов.СПб.Наука.1995.
27.Ю.П. Суворов Распространение температурных напряжений в упруго-пластическом
стержне//ПММ.1963.Т.XXVII.Вып.2.С.383-389.
28.В. Франц Пробой диэлектриков.Москва.Из-во иностр.лит.1961.
29. К. Хеллан Введение в механику разрушения М.: Мир. 1988. 364 с.
30..К.Ф. Черных Нелинейная упругость (теория и приложения).-СПб.: изд.Соло,2004.-420 с.