Трещина в прямоугольнике

6.4. Трещина в прямоугольнике
Теорию решения краевых задач теории упругости для тел конечных
размеров, развитую выше, можно усовершенствовать так, что при этом удается
получить точные решения краевых задач плоской упругости для тел конечных
размеров с трещинами. Основные идеи метода разбираются на примере
горизонтальной полосы с вертикальным разрезом.
Рассмотрим бесконечную горизонтальную полосу { x  , y  1} с
центральной, симметричной трещиной { x  0, y   (  1)} . Стороны полосы не
нагружены, а на разрезе задана величина разрыва перемещений (продольных или
поперечных) или напряжений. Будем рассматривать бесконечную полосу как
стык двух полубесконечных полос: левой { : x  0,| y | 1} и правой
{ : x  0,| y | 1} .
Решение в правой полуполосе будем искать в таком виде

 x ( x, y )   2 Re{ak x (k , y )e x }   x0 ( x, y )
k
k 1

 y ( x, y )   2 Re{ak y (k , y )e x }   y0 ( x, y )
k
k 1

 xy ( x, y )   2 Re{ak xy (k , y )e x }   xy0 ( x, y )
k
k 1

U ( x, y )   2 Re{akU (k , y )e }  U ( x, y )
k x
(4.1)
0
k 1

V ( x, y )   2 Re{akV (k , y )ek x }  V 0 ( x, y )
k 1

( x, y )   2 Re{ak (k , y )ek x }   0 ( x, y )
k 1
U ( x, y )  Gu( x, y ) ,
Здесь
введены
следующие
обозначения:
V ( x, y )  Gv( x, y ) , ( x, y )  G( x, y ) , где u( x, y ) - продольное (вдоль оси x ),
v( x, y ) - поперечное (вдоль оси y ) перемещения,  ( x, y ) - угол поворота, G модуль сдвига,  - коэффициент Пуассона, ak (k  1) - неизвестные
коэффициенты разложений, которые нужно найти из решения краевой задачи.
Через  x (k , y ),  y (k , y ), и т.д. обозначены функции Фадля-Папковича. Если
задача симметрична относительно оси x , то числа k ( k  1) являются теми
комплексными корнями трансцендентного уравнения
(4.2)
  sin  cos   0
у которых Re(k )  0 . Для вычисления корней этого уравнения используется
следующая асимптотическая формула


 i
k   k    k   ln  4k     k 
4

 2
(4.3)
1
k 
ln  4k   
4k
А если задача асимметрична относительно оси x , то числа k будут
комплексными корнями уравнения ( Re(k )  0 )
(4.4)
  sin  cos   0
Для вычисления корней этого уравнения используется асимптотическая формула
3 i
k   k  2   
 ln  4( k  2)  3 
(4.5)
4 2
Через  x0 ( x, y),  0y ( x, y) и т.д. обозначены элементарные решения,
соответствующие нулевым корням уравнений (4.2) или (4.4). Эти решения имеют
следующий вид:
для задачи, симметричной относительно оси x
 x0 ( x, y )  C1 ,  0y ( x, y )   xy0 ( x, y )   0 ( x, y )  0,
(4.6)
C0
C1
 yC1
U 0 ( x, y ) 

x, V 0 ( x, y ) 
2(1   ) 2(1   )
2(1   )
для задачи, несимметричной относительно оси x
 x0 ( x, y )  12(1   )C4 y,  0y ( x, y )   xy0 ( x, y )  0,
U 0 ( x, y )  2(C3  3C4 x ) y ,  0 ( x, y )  4(C3  3C4 x ),
V ( x, y )  (C2  2C3 x  3C3 x )  (2   )C4  3C4 y
0
2
(4.7)
2
Решение в левой полуполосе тоже ищется в форме (4.1), но при Re(k )  0 .
Функции, стоящие слева в равенствах (4.1), связаны следующими
известными соотношениями
2  U ( x, y )
V ( x, y ) 
 x ( x, y ) 


,
1    x
y 
 y ( x, y ) 
2  V ( x, y )
U ( x, y ) 


,
1    y
x 
 U ( x, y ) V ( x, y ) 
 xy ( x, y )  

,
x 
 y
 U ( x, y ) V ( x, y ) 
( x, y )  

,
x 
 y
Введем две функции
dV ( , y ) 1  
( , y )   xy ( , y )  i[(1   )

 x ( , y )]
dy
2
dU ( , y ) 3  
( , y )  (1   )

 xy ( , y ) 
dy
2
dV ( , y )
 i[2(1   )
  x ( , y )]
dy
Здесь U ( , y ), V ( , y ),  x ( , y ),  xy ( , y ) - соответствующие
(4.8)
(4.9)
порождающие
функции, а i  1 -мнимая единица.
В некоторых случаях полезно следующее эквивалентное представление
функций ( , y ) и  (  , y )
где
i
( , y )   xy ( , y )  [ y ( , y )   x ( , y )]
2
1 
(  , y ) 
( , y )   xy ( , y )  i y ( , y )
2
(4.10)
U ( , y )
 V ( , y )
y
Симметричная задача. Рассмотрим симметричную задачу, считая, что на
разрезе задан скачок продольных перемещений. Тогда условия стыка правой и
левой полуполос можно записать следующим образом
f ( y ) | y | 
U  (0, y )  U  (0, y )  U * ( y ) 
,
0
| y | 
(4.11)
(  , y ) 
V  (0, y )  V  (0, y ),  x (0, y )   x (0, y ),  xy (0, y )   xy (0, y )
Функция f ( y ) четна, непрерывна на отрезке | y |  и равна нулю на концах
отрезка, то есть f (  )  0 .
Функции Фадля-Папковича, входящие в формулы (4.1), в этом случае имеют
следующий вид
 x (k , y )  (1   )k  sin k  k cos k  cos k y  k y sin k sin k y 
 y (k , y )  (1   )k  sin k  k cos k  cos k y  k y sin k sin k y 
(4.12)
 xy (k , y)  (1   )k2 cos k sin k y  k y sin k cos k y 
1 
1 
1 

U (k , y )  
sin k 
k cos k  cos k y 
k y sin k cos k y
2
2
 2

1 
1 

V (k , y )  
k cos k  sin k  sin k y 
k y sin k sin k y
2
 2

(k , y)  2k sin k sin k y
Соответствующие порождающие функции  x ( , y ),  y ( , y )
и
т.д.
получаются из формул (4.12) заменой k на параметр  . Порождающие функции
( , y ), (  , y ) можно представить так
( , y )  S ( , y )  iC ( , y )
(4.13)
( , y )  S ( , y )  iC ( , y )
где
S ( , y )   xy ( , y ), C ( , y )   y (  , y)
C ( , y )  (1   ) 2 (cos  cos  y  y sin  sin  y )
S ( , y )  (1   )[ ( cos   sin  ) sin  y   y sin  cos  y ]
Для функций (4.13) имеется также другое представление
( , y )  (1   ) 2 (i cos   y sin  )ei y
( , y )  (1   )[i( cos   sin  )   y sin  ]ei y
Функции (4.15) связаны следующим образом
d (  , y )
 i  (  , y )
dy
(4.14)
(4.15)
(4.16)
Их
можно связать также с
Обозначим
k ( y)  kS ( y)  ikC ( y),
потенциалами
Колосова-Мусхелишвили.
(4.17)
 k ( y)   kS ( y)  i kC ( y)
- функции, удовлетворяющие равенствам

 L(  ) 
 2 L(  )

(

,
y
)

(
y
)
dy

,

(

,
y
)

(
y
)
dy

k
k


  k 
  k

(4.18)
L( )    sin  cos 
где числа k - все комплексные корни уравнения (4.2).
Подставляя сюда выражения (4.13), (4.17), можно получить следующие
соотношения


 L( )
 2 L(  )
S
S

(

,
y
)

(
y
)
dy

,
 C ( , y ) kC ( y )dy  2k 2
k
2
2


  k
  k

(4.19)


2
 k L( )
 2 L(  )
S
S
C
C
  ( , y ) k ( y)dy   2  k2 ,   ( , y) k ( y)dy   2  k2

Полагая здесь   m ( m  1, 2,...) , найдем выражения для функций  kS ( y ),  kC ( y ) ,
 kS ( y ) ,  kC ( y ) :
 kS ( y ) 
sin k y
 cos k y
,  kC ( y ) 
,
2(1   ) sin k
2(1   ) sin k
 kS ( y ) 
k sin k y
,
2(1   ) sin k
 kC ( y ) 
1  k cos k y  ( y  1)   ( y  1) 



(1   )  2sin k
2

(4.20)
 - дельта-функция. Удовлетворим граничным условиям (4.11) на стыке
полуполос и прейдем в них к функциям (k , y), (k , y) в соответствии с
формулами (4.9). В результате получим два разложения


k 1
k 1
 2 Re(ak( k , y))   2 Re(ak(k , y))  1 ( y)  i2 ( y)


 2 Re(a (  , y))   2 Re(a ( , y))   ( y)  i

k
k 1
Здесь
через
a k
k
k 1
обозначены

k
k
неизвестные
1
(4.21)
2
( y)
коэффициенты
разложений

k
в
представлении (4.1) решения для левой полуполосы, через a аналогичные
коэффициенты для правой полуполосы. Кроме того, k  k ; 1 ( y ) , 2 ( y ) ,
 1 ( y) ,  2 ( y ) - известные функции, которые находятся при заданных на разрезе
скачках перемещений и напряжений по формулам (4.9) или (4.10). В
рассматриваемом случае
dU * ( y )
(4.22)
1 ( y)  2 ( y)   2 ( y)  0,  1 ( y)  2(1   )
dy
Обозначим
1  1 , 2  1 , 3  2 , 4  2 ,...
ak  Ak , ak   Ak
Тогда равенства (4.21) можно записать следующим образом
(4.23)

 2 Re( A ( , y))   ( y)  i ( y),
k
k 1
k
1
2
(4.24)

 2 Re( A ( , y))   ( y)  i
k
k 1
k
1
2
( y)
Пользуясь соотношениями биортогональности (4.18), для каждого номера k  1
получим систему из двух алгебраических уравнений
Akk M k  Akk M k  1k   2 k
(4.25)
Akk 2 M k  Akk 2 M k   1k  2 k
где
dL( )
Mk 
 2cos2 k
(4.26)
d   k
Числа 1k ,  2k ,  1k ,  2k находятся по формулам
1
1k   1 ( y ) kS ( y )dy  0
1
(4.27)
1
1
1
1
 2 k   i 2 ( y )( i kC ( y ))dy    2 ( y ) kC ( y )dy  0
1

1

 1k    1 ( y ) kS ( y )dy 
1
k sin k y
df
 2(1   ) dy 2(1   ) sin  dy
k
1
(4.28)
 2 k   i 2 ( y )( i ( y ))dy    2 ( y ) ( y )dy  0
C
k
1
C
k
1
Решая систему уравнений (4.25), найдем
   2 k  k (1k   2 k )
 1k
Ak  1k

k (k  k ) M k
k (k  k ) M k
(4.29)
По формулам (4.29), (4.23) найдем неизвестные коэффициенты разложений a k и
a k , подставляя которые в выражения (4.1), получим окончательное решение
задачи. Из этого решения нужно, как это делалось раньше, выделить нуль-ряды.
Окончательно получим такие формулы (так как задача симметрична относительно
оси x , то ниже приводятся формулы только для правой полуполосы)
c x

sin bk x  
U (k , y )e k  1k 
U ( x, y )   2 Re 
 cos bk x  ck

k 
bk  
k 1
 k M k
c x

sin bk x  
V (k , y )e k  1k 
V ( x, y )   2 Re 
 cos bk x  ck

Mk
bk  
k k 
k 1


c x
sin bk x  
  x (k , y )e k  1k 
 cos bk x  ck

Mk
bk  
k k 

 x ( x, y )   2 Re 
k 1
(4.30)

  y (k , y )eck x

sin bk x  
 1k  cos bk x  ck

2
bk  
 k M k

 y ( x, y )   2 Re 
k 1

 xy (k , y )eck x
sin bk x 
 1k

k M k
bk 

 xy ( x, y )   2 Re 
k 1
Асимметричная задача. Будем считать теперь, что на стыке полуполос
задан разрыв поперечных перемещений V (0, y )  V * ( y ) . Таким образом, на стыке
полуполос имеем следующие условия
h( y ) | y | 
V  (0, y )  V  (0, y )  V * ( y ) 
,
0
| y | 
(4.31)
U  (0, y )  U  (0, y ),  x (0, y )   x (0, y ),  xy (0, y )   xy (0, y )
Причем, функция h ( y ) нечетна, непрерывна на отрезке | y |  и равна нулю на
концах отрезка, то есть h(  )  0 .
Функции Фадля-Папковича, входящие в формулы (4.1), на этот раз имеют
вид
 x (k , y )  (1   )k  2sin k  k cos k  sin k y  k y sin k cos k y 
 y (k , y)  (1   )k2 cos k sin k y  y sin k cos k y 
 xy (k , y)  (1   )k (sin k  k cos k )cos k y  k y sin k sin k y 
1 
1 


U (k , y )   sin k 
k cos k  sin k y 
k y sin k cos k y

2

(4.32)
2
1 
1 
1 

V (k , y )   
sin k 
k cos k  cos k y 
k y sin k sin k y
2
2
 2

Соответствующие порождающие функции  x ( , y ),  y ( , y ) и т.д.
получаются из формул (4.32) заменой k на параметр  . Порождающие функции
( , y ), (  , y ) можно представить в виде (4.14)
( , y )  S ( , y )  iC ( , y )
( , y )  S ( , y )  iC ( , y )
где
S ( , y )   xy ( , y ), C ( , y )   y ( , y )
S ( , y )  (1   ) 2 (cos  cos  y  y sin  sin  y)
C ( , y )  (1   )[( cos   sin  ) sin  y   y sin  cos  y]
Имеется также другое представление функций ( , y ), (  , y )
( , y )  (1   ) 2 (cos   iy sin  )ei y
( , y )  (1   )[( cos   sin  )  i y sin  ]ei y
Они связаны так же, как и в симметричной задаче
d (  , y )
 i  (  , y )
dy
Снова введем функции
k ( y)  kS ( y)  ikC ( y),
(4.33)
 k ( y)   kS ( y)  i kC ( y)
такие, что выполняются равенства

L(  )
 ( , y)k ( y)dy    k ,

 ( , y)
k
( y )dy 

 L(  )
  k
(4.34)
L( )    sin  cos 
Числа k - все комплексные корни уравнения (4.4).
Отсюда можно получить следующие соотношения


 L(  )
L(  )
S
S
C
C
  ( , y)k ( y)dy   2  k2 ,   ( , y)k ( y)dy   k2  k2
(4.35)
k L( )  C
 2 L(  )
C
  ( , y) ( y)dy   2  k2 ,   ( , y) k ( y)dy   2  k2
Полагая здесь   m ( m  1, 2,...) , найдем выражения для функций
S
 k ( y ),  kC ( y ) ,  kS ( y ) ,  kC ( y ) для асимметричной задачи:

S
S
k
 sin k y

 cos k y
1
,  kC ( y )  
 y ,

2k (1   )sin k
2(1   )k  sin k

(4.36)
cos

y
sin

y
k
k
 kS ( y )  
,  kC ( y )  
2(1   )sin k
2(1   )sin k
Удовлетворим граничным условиям (4.31) на стыке полуполос и прейдем в
них к функциям (k , y), (k , y) . В результате получим следующие два
разложения
kS ( y ) 


k 1
k 1
 2 Re(ak( k , y))   2 Re(ak(k , y))  1 ( y)  i2 ( y)


 2 Re(a (  , y))   2 Re(a ( , y))   ( y)  i
k 1

k
k
k 1

k
k
1
(4.37)
2
( y)
Здесь, как и выше, через a k обозначены неизвестные коэффициенты разложений
в представлении (4.1) решения для левой полуполосы, через a k аналогичные
коэффициенты для правой полуполосы. Кроме того, k  k ; 1 ( y ) , 2 ( y ) ,
 1 ( y) ,  2 ( y ) - известные функции, которые находятся при заданных на разрезе
скачках перемещений и напряжений по формулам (4.9) или (4.10). В
рассматриваемом случае
dV * ( y )
dV * ( y )
(4.38)
1 ( y)   1 ( y)  0, 2 ( y)  (1   )
,  2 ( y)  2(1   )
dy
dy
Обозначим опять
1  1 , 2  1 , 3  2 , 4  2 ,...
(4.39)
ak  Ak , ak   Ak
Тогда равенства (4.37) можно записать следующим образом

 2 Re( A ( , y))   ( y)  i ( y),
k
k 1
k
1
2
(4.40)

 2 Re( A ( , y))   ( y)  i
k
k 1
k
1
2
( y)
Пользуясь соотношениями биортогональности (4.35), для каждого номера k  1
получим систему из двух алгебраических уравнений
Akk M k  Akk M k  1k   2 k
(4.41)
Akk 2 M k  Akk 2 M k   1k  2 k
где
dL( )
Mk 
 2sin 2 k
(4.42)
d   k
Числа 1k ,  2k ,  1k ,  2k находятся по формулам
1
1k   1 ( y ) kS ( y )dy  0
1
1
 2 k   i 2 ( y )( i kC ( y ))dy 
(4.43)
1


 (1   )

 sin k y

dh( y )
1
 y dy

dy 2(1   )k  sin k

1
 1k    1 ( y ) kS ( y )dy  0
1
(4.44)
 sin k y 
dh( y )
1
 2 k   i 2 ( y )( i ( y ))dy   2(1   )


dy 2(1   )k  sin k 
1

Решая систему уравнений (4.41), найдем
 2 k  k 2 k )
Ak 
(4.45)
k (k  k ) M k
Окончательное решение задачи с выделенными нуль-рядами имеет вид
U ( x, y ) 

1
C
k
c | x|

1 
U (k , y )e k  2 k
2
Re



1   k 1
Mk

 k

V ( x, y ) 

sin bk | x | 
2 k sin bk | x |  
cos
b
x

c





 k k
k
k
bk
k
bk




c | x|

sin bk | x |   
1 
V (k , y )e k  2 k  sin bk | x |  2 k 

2 Re 




 cos bk x  ck
 
1   k 1
bk
bk
 k 
 
 M k / k  k 


(4.46)
 x ( x, y ) 
  x (k , y )eck |x|  2 k  sin bk | x |  2 k
1 
2
Re
  M /    b  
1   k 1

k
k
k
k

 k 

sin bk | x |   
cos
b
x

c

 
k
k
bk

  
 y ( x, y ) 
c | x|

sin bk | x | 
2 k sin bk | x |  
1 
 y (k , y )e k  2 k 
2 Re 



 cos bk x  ck
  k k
1   k 1
M k k
bk
k
bk



 k 


 xy ( x, y ) 
c | x|

sin bk | x |   
1 
 xy (k , y )e k  2 k  sin bk | x |  2 k 

2 Re 




 cos bk x  ck
 
1   k 1
Mk
bk
bk
 k 
 


 k 

Для симметричной и асимметричной задач ck  Re(k ), bk  Im(k ) .
Формулами (4.30), (4.46) дается окончательное решение задачи при
заданных на разрезе продольных и поперечных перемещениях.