Тема 2. Методы определения усилий от неподвижной нагрузки

Тема 2. Методы определения усилий от неподвижной нагрузки.
Лекция 2.1. Методы определения усилий в статически
определимых системах.
2.1.1 Статический метод.
Основными методами определения усилий в элементах статически
определимых систем являются статический и кинематический методы.
Статический метод определения усилий основан на использование
уравнений статического равновесия и на методе сечений известного из курса
сопротивления материалов. Метод сечений заключается в том, что тело,
стержень или конструкция мысленно рассекаются плоскостью либо поверхностью на две части, взаимодействие частей заменяется внутренними силами
или напряжениями, которые принимаются за внешние по отношению к оставшейся части и определяются из уравнений статического равновесия этой
части.
Например, имеем статически определимую балку под действием равномерно распределенной нагрузки, и растягивающейся продольной силы в
которой известны опорные реакции.
(Рис.1)
Проведем сечение на расстоянии x от левой опоры, разделив балку на
две части, и рассмотрим равновесие левой части балки.
(Рис.2)
Запишем условия статистического равновесия:
+
Отсюда получим
;
отсюда
Основываясь на методе сечений с учётом правила знаков усилий, выражения усилий можно записать сразу, не составляя условия статистического
равновесия.
Для изгибающих моментов
Для поперечных сил
Для продольных сил
Аналогично определяются усилия в статически определимых рамах,
арках, фермах и т.д.
2.1.2. Кинематический метод.
Кинематический метод определения усилий основан на принципе возможных перемещений. Согласно этому принципу механическая система находится в равновесии тогда и только тогда, когда работа всех внешних и
внутренних сил на любом возможном перемещении равна нулю.
V + U = 0,
где V – работа внешних сил;
U – работа внутренних сил.
Возможным перемещением называется любое бесконечно малое перемещение, совместимое со связями системы.
Для использования кинематического метода надо выбрать основную
систему. Основная система получается из заданной путем отбрасывания той
связи, в которой определяется усилие, и заменой её неизвестным усилием.
Таким образом, основная система представляет собой изменяемую систему с
одной степенью свободы.
Для определения усилия надо в основной системе задать малое положительное перемещение по направлению от брошенной связи, получить картину деформаций, называемой эпюрой перемещений, и составить выражение
работы всех внешних сил. Из выражения работы определяется искомое усилие.
Пример. Определим реакцию опоры
в простой балке под действием
распределённой нагрузки. Для этого отбросим опорный стержень, восприни-
мающий реакцию
, и заменим его неизвестной силой Х. В результате по-
лучим основную систему.
Заданная система
Основная система
(Рис.3)
Распределенную нагрузку заменим её равнодействующей Q = ql.
Точке В в направлении силы Х дадим малое перемещение
Основная система является изменяемой системой, поэтому усилия в
балке от перемещения
возникать не будут, работа внутренних сил будет
равна нулю (U = 0). Запишем возможную работу всех внешних сил в основной системе.
V = 0; X
Q = ql;
=
В результате получим
X
Аналогично выбирается основная система и определяются внутренние
силы: изгибающие моменты, поперечные и продольные силы.
Аналогично выбирается основная система и определяются внутренние
силы: изгибающие моменты, поперечные и продольные силы.
Например,
Для определения изгибающего момента в заданном сечении основная
система выбирается путем отбрасывания связи, воспринимающей изгибающий момент. В сечении возникает шарнир, отброшенная связь заменяется
парой моментов Х.
(Рис.4)
Для определения поперечной силы в заданном сечении основная система выбирается путем отбрасывания связи, воспринимающей поперечную
силу. В сечении возникает поперечный ползун, отброшенная связь заменяется парой поперечных сил.
(Рис. 5)
Для определения продольной силы в заданном сечении основная система выбирается путем отбрасывания связи, воспринимающей продольную
силу. В сечении возникает продольный ползун, отброшенная связь заменяется
(Рис.6)
2.1.3. Понятие о статически определимых балках
Статически определимые балки бывают нескольких видов:
1. Простые – балки на двух опорах по концам.
2. Консольные – балки на двух опорах со свешивающимися концами –
консолями.
Бывают – одно консольные, двух консольные, лево консольные, право
консольные.
3. Консоли – балки, защемлённые одним концом.
Бывают – левая консоль, правая консоль.
4. Многопролётные балки.
Многопролётной статически определимой балкой называется статически
определимая геометрически определимая неизменяемая система, состоящая
из ряда однопролётных балок, соединенных между собой шарнирами. Пример.
(Рис.7)
Для закрепления многопролётной балки от горизонтального смещения
достаточно одной горизонтальной связи (точка А).
2.1.4. Расчёт многопролётных балок
Теория расчёта многопролётных статически определимых балок была
разработана русским инженером Г. Семиколеновым ещё в 1871 году. Эта
теория основана на построении поэтажной расчетной схемы. Чтобы построить поэтажную схему нужно выделить из многопролётной балки основные и
подвесные однопролётные балки.
Балки, способные работать самостоятельно, называются основными
(АВС); если разрезать многопролётную балку по шарнирам, то эти балки не
упадут.
Балки, не способные работать самостоятельно без поддержки соседних
балок, называются подвесными (СDE, EF); если разрезать многопролётную
балку по шарнирам, эти балки упадут.
В поэтажной расчетной схеме подвесные балки опираются на основные в
определенном порядке.
(Рис.8)
Поэтажная расчетная схема.
В поэтажной схеме нагрузка с вышележащих балок передаётся на нижележащие, а с нижележащих балок на вышележащие нагрузка не передаётся
(например, этажи здания). Поэтому расчет многопролётной балки сводится к
расчёту однопролётных балок в следующем порядке.
1. Определяются реакции опор и строятся эпюры усилий в балке самого верхнего этажа, т.е. в балке, на которую не опираются другие балки (балка EF).
2. Находится давление, передаваемое с верхней балки на нижележащую; давление будет равно одной из реакций верхней балки и противоположно направлению этой реакции. Пример.
V=
(Рис. 9)
3. Определяются реакции опор и строятся эпюры усилий в нижележащей
балке от действующей на неё нагрузки и от давления вышележащей балки.
4. Опять находится давление, передаваемое с вышележащей балки на нижележащую и производится расчет этой нижележащей балки.
И так далее, расчет ведется последовательно до балки самого нижнего
этажа.
Лекция 2.2. Плоские фермы.
2.2.1. Понятие о ферме.
Фермой называется конструкция, стержни которой работают в основном
на осевую продольную силу.
В реальных фермах стержни в узлах соединены сваркой, заклепками или
болтами, т.е. жестко. Однако за расчетную схему фермы обычно принимается шарнирно - стержневая система с идеальными шарнирами в узлах соединения стержней. Пример.
Расчетная схема узла (Рис 1.)
В стержнях реальных ферм возникают продольные силы, поперечные силы и изгибающие моменты, однако напряжения, возникающие от изгибающих моментов и поперечных сил, малы по сравнению с напряжениями от
продольных сил. Это достигается тем, что все стержни в узлах сцентрированы, т.е. центральные оси стержней, сходящихся в узле, пересекаются в одной
точке, нагрузка к ферме прикладывается только в узлах.
В стержнях ферм с идеальными шарнирами в узлах возникают только
продольные силы. Поэтому расчет реальных ферм, основанный на шарнирностержневой расчетной схеме, является приближенным, так как не учитывается жесткость узловых соединений.
Однако, как показывают сравнительные расчеты и эксперименты, усилия в
стержнях металлических ферм с жесткими узлами при действие узловой нагрузки мало отличаются от усилий идеально шарнирной фермы (
.
Поэтому для инженерных расчетов строительных ферм принимается шарнирно - стержневая расчетная схема.
Фермы состоят из панелей, элементов верхнего пояса, элементов нижнего
пояса, раскосов и стоек.
Пример:
Рис 2.
На ферме показано: d – длина панели; h – высота панели и фермы; l – пролет
фермы; 1- элементы верхнего пояса; 2- элементы нижнего пояса; 3- раскосы (
наклонные элементы ); 4- стойки ( вертикальные элементы, элементы, нормальные продольной оси фермы ).
2.2.2. Способы определения усилий в стержнях ферм.
Аналитическое определение продольных усилий в стержнях ферм производится статическим методом совместно с методом сечений, известным из
курса сопротивления материалов. Согласно методу сечений из фермы мысленно выделяется какая-либо часть и рассматривается ее равновесие. При
этом внутренние силы в перерезанных стержнях рассматриваются как внешние по отношению к оставшейся части фермы и определяются из условий
статического равновесия.
В статический метод входят три способа:
1. способ вырезания узлов;
2. способ моментной точки;
3. способ проекций.
Рассмотрим эти способы.
1. Способ вырезания узлов
Способ вырезания узлов является самым общим способом определения усилий в стержнях ферм. Его сущность состоит в следующем. Из расчетной схемы вырезается узел. Внутренние силы в перерезанных стержнях фермы принимаются за внешние по отношению к узлу и определяются из условий равновесия всех сил в узле на какие - либо оси. Для каждого узла плоской фермы можно составить два условия равновесия.
Расчет начинается с узла с двумя сходящимися стержнями, затем
можно перейти к следующему узлу с тремя или более стержнями, в двух из
которых усилия неизвестны. Пример:
Рис.3.
Вырежем из фермы узел и рассмотрим его равновесие.
Рис 4
Запишем условия статического равновесия узла:
Далее можно перейти к узлу 11, затем к узлу 1 и так далее.
Способ вырезания узлов имеет некоторые недостатки:
1) при переходе от узла к узлу происходит постепенное нарастание погрешностей вычислений;
2) способ вырезания узлов не позволяет сразу определить усилие в нужном стержне без расчета все фермы или части фермы ( например , стержни 34, 3-9, 9-10 и другие ).
2. Частные случаи вырезания узлов.
Рассмотрим некоторые частные случаи, встречающиеся при вырезание узлов.
1. двух стержневой узел без нагрузки.
Рис 5.1
. трех стержневой узел без нагрузки, причем 2 стержня лежат на одной
прямой.
Рис 5.2
3. трех стержневой узел с нагрузкой, причем два стержня лежат на одной
прямой, сила совпадает с направлением примыкающего стержня.
Рис 6
4. четырех стержневой узел без нагрузки, причем стержни попарно являются продолжением один другого.
Рис. 7
3. Способ моментной точки.
Способ моментной точки в наиболее простой ферме применяется в фермах, в которых можно провести сечение через три стержня, не пересекающихся в одной точке. Моментная точка для интересующего стержня находится на пересечение двух других стержней, попавших в сечение.
Условие равновесия оставшейся части фермы составляется как сумма
моментов всех внешних сил относительно моментной точки. При этом внутренние силы в перерезанных стержнях фермы принимаются за внешние.
Например, определим усилие в стержне 9-10
. Моментная точка
находится в узле 3. Запишем условие равновесия:
Моментная точка в узле 10.
Моментная точка в узле 6.
Моментная точка =? Для этого стержня способ моментной точки
неприменим.
4. Способ проекций .
Способ проекций применяется в том случае, если моментная точка находится в бесконечности, т.е. при параллельности двух других стержней, попавших в сечение. Поэтому этот способ широко применяется в фермах с параллельными поясами.
Условие равновесия оставшейся части фермы составляется в виде суммы
проекций всех сил на соответствующие оси.
Например, определим усилие в стержне 3-10,
равновесия:
Запишем условие
Определим усилие в стержне 3 - 9,