Кинематическая модель движения человека и идентификация ее

Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.2. С. 107–111
Механика
УДК 531/534:57
Кинематическая модель движения человека
и идентификация ее параметров
Е. Д. Грязева, В. И. Желтков, И. А. Портненко, П. И. Толкачев
Аннотация. Рассматривается модель движения человека,
основанная на представлении опорно-двигательного аппарата
как системы твердых элементов (костей), которые приводятся в
движение вязкоупругими нитями, способными только к сокращению.
Каждая нить заменяет один актон — сгибатель или разгибатель.
Предлагается вариант наследственно-вязкоупругих соотношений
для стареющего материала, что позволяет моделировать усталость
и восстановление в процессе движения. Параметры модели актона
предлагается определять по результатам упражнений на спортивных
тренажерах.
Ключевые слова: движения человека, опорно-двигательный
аппарат, стареющий вязкоупругий материал.
Жизнедеятельность человека неразрывно связана с движениями,
которые могут быть циклическими (ходьба, бег и т.п), стационарными
(поднятие тяжестей), импульсными (метание) процессами или их
сочетаниями. Данная классификация больше относится к различным видам
спорта — легкая атлетика, тяжелая атлетика. В игровых видах спорта
отдельные виды движений сочетаются случайным образом, так что здесь
можно говорить о случайном процессе. Аналогично можно рассуждать и о
движениях операторов технологических установок, водителях транспортных
средств. Но такие комплексы движений неразрывно связаны с усталостью
— снижением усилий, развиваемых различными группами мышц; здесь
не рассматриваются психологические аспекты усталости. Таким образом,
моделирование движения человека востребовано разработкой методик
спортивных тренировок, эргономикой и другими науками, связанными с
деятельностью человека.
Моделирование движений человека возможно, если рассматривать его
опорно-двигательный аппарат (ОДА) как систему, управляемую сигналами
головного мозга, передающимися по нервам к скелетным мышцам. Другие
системы организма — дыхательная, пищеварительная — при изучении
движений можно рассматривать как инертные грузы. Таким образом,
движение можно рассматривать как результат взаимных поворотов костей,
108
Е. Д. Грязева, В. И. Желтков, И. А. Портненко, П. И. Толкачев
образующих скелет, относительно суставов, обусловленных сокращением
скелетных мышц. Отметим, что мышцы развивают тяговую силу только
при сокращении; увеличение или уменьшение углов между парами костей,
соединенными в одном суставе, обеспечивается различными группами
мышц — сгибателями и разгибателями. Очевидно, что кинематические
характеристики движения — взаимные положения костей, скорости,
ускорения — обусловлены тяговыми силами мышц. В то же время
последние связаны с текущими длинами мышц, определяемыми взаимными
положениями костей. Таким образом, моделирование движений организма
требует изучения связей «тяговая сила — длина». Подобные соотношения
строились рядом авторов (см. [3]) в виде структурных моделей типа
стандартного линейного тела [4], причем отдельные элементы модели
ассоциировались со структурными элементами мышцы. Однако такие
соотношения являются частным случаем наследственных соотношений
Больцмана–Вольтерра [4]:
σ(t) =
Zt
R(t, τ, ε)dε(τ ),
(1)
0
или более сложных, использующих нелинейный принцип суперпозиции
Больцмана. В этих соотношениях σ — напряжение; ε — деформация; R —
функция релаксации — аналог модуля упругости; t — момент наблюдения;
ε(τ ) — история процесса деформирования.
Если представить себе опыт на растяжение, в котором деформация в
момент времени 0+ приобретает значение ε0 и далее остается постоянной, то
отношение σ(t)/ε0 — наблюдаемый модуль упругости. Он представляет собой
непрерывную гладкую монотонно убывающую кривую, на бесконечности
обладающую асимптотой:
R∞ = E∞ > 0.
(2)
Величина E∞ называется долговременным или равновесным модулем.
Значение указанного отношения при t → 0+ также конечно и называется
мгновенным модулем упругости Е0 > E∞ . Если функция релаксации зависит
только от разности t − τ , то материал называется стабильным, E0 , E∞ —
постоянные; в противном случае — стареющим.
Отметим, что модель мышцы должна принадлежать классу стареющих
материалов, так как усталость человека при выполнении циклических
движений предполагает уменьшение тяговой силы с увеличением количества
циклов. Примем линейную модель наследственного типа, связывающую
тяговую силу мышцы с ее текущей длиной:
F (t, l) = C0 [t, l(t)]
Zt
0
R(t − τ )dl(τ ).
(3)
Кинематическая модель движения человека и идентификация ее параметров
109
Здесь С0 — мгновенная жесткость, измеряемая в Н/м; l(t) — текущая длина
мыщцы; t — время, отсчитываемое от начала первого цикла движения;
R(t) — безразмерная функция релаксации, которая может быть принята
либо в аналитической форме [4], либо представлена сплайном [2]. Такой
вид соотношений определяет реологические свойства мышцы (второй
сомножитель в (3)), что является общепринятым фактом [3], и зависимость
жесткости мышцы (первый сомножитель в (3)) от ее текущей длины и
времени, прошедшего с начала движения.
Отметим, что мышца под нагрузкой работает только
на
¡ dl
¢ растяжение,
то есть может только сокращать свою длину dt
6 0 ; если длина
¢
¡ dl
> 0 , то нагрузка
мышцы увеличивается до ее начального значения l0 dt
воспринимается мышцей-антагонистом. (Более строго следует говорить об
актонах-антагонистах — группах мышц, соответствующих определенному
движению [3]). Примем, что в фазе сокращения мышцы накапливается
усталость, то есть жесткость мышцы уменьшается, а в фазе удлинения
жесткость восстанавливается — мышца отдыхает. Тогда зависимость
мгновенной жесткости от времени и длины может быть представлена в виде:
½ −
dl
60
ϕ [t, l(t)] ∀ dt
,
(4)
C0 [t, l(t)] = E0
dl
+
ϕ [t, l(t)] ∀ dt > 0
где ϕ− — функция усталости — нормированная монотонно убывающая
функция длины; ϕ+ — функция восстановления — нормированная монотонно
возрастающая функция длины. Примером таких функций может служить:
ϕ− = eα
− ·ε(t)
;
+ ·ε(t)
ϕ+ = 1 − eα
,
ε(t) =
l(t) − l0
< 0.
l0
(5)
Здесь l0 — длина мышцы при полном расслаблении; l(t) — текущая длина;
α− , α+ — постоянные параметры мышцы.
Если такие соотношения построены, то определена структурная
кинематическая модель ОДА, отличающаяся тем, что в ее основе которой
лежат чисто кинематические факторы. Для кинематической модели
описание свойств скелетных мышц (актонов) является определяющим.
Отметим основные свойства предлагаемой здесь модели:
1. Актон предполагается нитью, работающей только на сокращение. Тем
самым предполагается, что состояние сокращенной мышцы — одноосное
растяжение.
2. Материал актона предполагается наследственно-вязкоупругим,
стареющим в смысле переменного мгновенного модуля упругости.
Параметры актона Е0 , α− , α+ , R(t) подлежат определению из
эксперимента. Имеются обширные данные [3], полученные на мертвых
мышцах (in vitro). Следует отметить, что применение этих данных к
моделированию движений представляется сомнительным, так как живые
и мертвые мышцы даже в механическом аспекте — объекты с разными
110
Е. Д. Грязева, В. И. Желтков, И. А. Портненко, П. И. Толкачев
физическими свойствами. Достоверные результаты по свойствам мышц
могут быть получены in vivo, без нарушения их условий существования по
упражнениям на спортивных тренажерах [2].
Спортивный тренажер, как правило, представляет собой механизм,
позволяющий либо перемещать груз, либо деформировать упругий элемент
за счет определенного движения человека, например, сгибания руки в
локтевом суставе. Характеристикой движения при этом является локтевой
угол — угол между прямыми, соединяющими плечевой и локтевой суставы
и локтевой сустав с основанием кисти. Динамическая характеристика —
ускорение фиксированного груза. Обе эти характеристики — объективно
измеряемые: первая фиксируется с помощью скоростной киносъемки,
вторая измеряется пъезоакселерометром, установленным в центре
масс груза. Математическая модель тренажера составляется методами
теоретической механики. Неизвестными в ней являются параметры
актонов сгибателя и разгибателя, которые считаются вязкоупругими
нитями, работающими только на растяжение, начальные и текущие
длины актонов, параметры функций релаксации актонов, параметры
функций усталости и восстановления. Тем самым определена обратная
задача, решить которую можно, используя метод наименьших квадратов.
Применяя различные тренажеры, нагружающие разные группы мышц,
можно получить практически полную информацию о свойствах скелетных
мышц.
Идентификация соотношений, описывающих усталость и восстановление
мышц (3–5) требует циклического выполнения одного и того же упражнения.
Назначая между циклами перерывы разной длительности при расслаблении
в перерывах, нетрудно получить характеристики функции восстановления.
При обработке результатов измерений первый цикл следует использовать
как эталонный, определяющий длины и плечи мышц; в дальнейшем
эти величины считаются известными и исключаются из неизвестных,
подлежащих определению, в последующих циклах.
Список литературы
1. Борисов А.В., Чигарев А.В. Биомеханика ходьбы человека. Учебное пособие //
М.: Изд-во Спутник+, 2009. 200 с.
2. Грязева Е.Д. Идентификация механических характеристик моделей мышц по
результатам упражнений на тренажерах // Тула: Изд-во ТулГУ, 2010. 96 с.
3. Зациорский В.М. Биомеханика двигательного аппарата человека // М.:
Физкультура и спорт, 1981. 143 с.
4. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости // М.: Наука, 1970. 270 с.
Грязева Елена Дмитриевна, к.т.н., доцент, зав. кафедрой, кафедра
физического воспитания и спорта, Тульский государственный университет.
Кинематическая модель движения человека и идентификация ее параметров
111
Желтков Владимир Иванович (glob4361@mail.ru), д.ф.-м.н., профессор,
кафедра математического моделирования, Тульский государственный
университет.
Портненко Иван Александрович, аспирант, кафедра физического
воспитания и спорта, Тульский государственный университет.
Толкачев Павел Игоревич, аспирант, кафедра физического воспитания и
спорта, Тульский государственный университет.
The kinematic model of human movement and identification of
its parameters
E. D. Gryazeva, V. I. Zheltkov, I. A. Portnenko, P. I. Tolkachev
Abstract. A model of human movement, based on the idea of musculoskeletal
system as a system of rigid elements (bones), which are driven by viscoelastic
filaments only able to reduction is considered. Each strand replaces one flexor or
extensor Acton. A version of hereditary viscoelastic ratios for the aging of the
material, which allows us to simulate fatigue and recovery in motion is offered.
The model parameters Acton is proposed to determine by the results of exercise
at sport gym.
Keywords: human movement, locomotor apparatus, aging viscoelastic material.
Gryazeva Elena, candidate of technical sciences, associate professor, head of
department, department of physical education and sport, Tula State University.
Zheltkov Vladimir (glob4361@mail.ru), doctor of physical and mathematical
sciences, professor, department of mathematical modeling, Tula State University.
Portnenko Ivan, postgraduate student, department of physical education and
sport, Tula State University.
Tolkachev Pavel, postgraduate student, department of physical education and
sport, Tula State University.
Поступила 15.06.2013