лабораторная работа n 4 определение момента инерции

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
СЛОЖНОЙ ФОРМЫ
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Научиться производить приближенный численный расчет момента инерции
тела сложной формы.
При вращательном движении твердого тела мерой инертности является
момент инерции твердого тела относительно оси вращения.
Если разбить тело на N элементарных объемов ∆Vi ( i ∈ 1, N ), массы
которых соответственно будут ∆mi , то момент инерции приблизительно
можно представить как
N
X
I1 ≈
ri2 ∆mi
(1)
i=1
здесь ri – расстояние от центра объема ∆Vi до оси.
Если тело однородно ( плотность постоянна ), то удобно построить кубическую
сетку с шагом h и заменить рассматриваемое тело ( тело 1 ) на другое ( тело
2 ), границы которого совпадают с гранями сетки и которое заключает в
себе только те ячейки сетки, которые более чем на половину находятся
внутри тела 1. Пронумеруем ячейки тела 2 от 1 до N , тогда в силу равенства
масс всех ячеек момент инерции тела 2 будет равен
I2 = ∆m
N
X
ri2
(2)
i=1
где ∆m – масса одной кубической ячейки с шагом h.
Чем меньше шаг h тем точнее результат расчета по формуле (2) соответствует
моменту инерции тела 1. В случае плоской фиигуры производится двумерное
разбиение. а ∆m – масса двумерной ячейки.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Нанести на миллиметровую бумагу предложенную преподавателем
плоскую фигуру и оси координат.
2. Разбить фигуру на квадраты со стороной 2 см.
3. Выделить те ячейки , в которых не менее половины площади находится
внутри фигуры. Пронумеровать их от 1 до N (N – количество таких ячеек).
4. Обвести контур приближенной фигуры ( см. рисунок )
5. Нанести точки центров всех квадратов, входящих в обведенную фигуру,
и определить их координаты ( xi , yi ) ( i ∈ 1, N ).
6. Определить координаты точки O, относительно которой ищется момент
инерции ( x0 , y0 ). Удобнее помещать точку O в начало системы координат
и относительно нее строить сетку.
1
Примечание: Координаты x0 , y0 определяются с точностью до 0.5 мм,
как координаты вершины ближайшей клетки.
7. Принимая массу каждого квадратного сантиметра за единицу ( 1
грамм ), посчитать массу каждой ячейки выделенной фигуры ∆mi = ∆m.
8. Определить момент инерции выделенной фигуры по формуле
I2 = ∆m
N
X
((xi − x0 )2 + (yi − y0 )2 )
(3)
i=1
9. Повторить пункты 1 - 8 для квадратов со стороной 1 см.
10. Сравнить результаты вычислений моментов инерции.
11. В каком случае результат больше соответствует моменту инерции
заданной фигуры. Пояснить.
12. Заменив точку O на точку O1 , повторить пункты 1 - 8.
13. Сравнить результаты вычислений моментов инерции относительно
разных осей. Пояснить.
2
14. Ответить на следующие вопросы:
а) Как получить формулу (3) из формулы (2).
б) Как иначе, не выполняя пункт 12, определить момент инерции относительно
точки O1 . Выполните этот расчет и сравните результаты.
УКАЗАНИЯ ПО ОФОРМЛЕНИЮ ОТЧЕТА
Отчет должен содержать 3 рисунка на миллиметровой бумаге с разбиениями
фигуры на ячейки, значения N и I2 для каждого из случаев, ответы на
вопросы и выводы.
3