Математика и информатика ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

Математика и информатика
УДК 517.968
А.Л. ГРИНЬКО, А.А. КИЛБАС
ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТИПА АБЕЛЯ И ЛОКАЛЬНЫЕ
ДРОБНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ПРОИЗВОДНЫЕ
Abel type integral equation is considered in a neighborhood of a finite point of the real line.
Solvability conditions in the space of summable functions are proved and its solution in closed form is
constructed. Some properties of local fractional derivatives are investigated. In particular, local
fractional derivatives of power and logarithmic functions are evaluated.
Хорошо известно [1], что решение классического интегрального уравнения
Абеля
с0<
< 1 на конечном отрезке [a; b] вещественной оси выражается формулой
Левая часть (1) и правая часть (2) известны как дробный интеграл и дробная
производная Римана - Лиувилля соответственно [1]
71
Вестник БГУ. Сер. 1. 2007. № 1
Настоящая работа посвящена решению видоизмененного уравнения Абеля
в пространстве суммируемых функций в окрестности конечной точки вещест­
венной оси. Докажем необходимые и достаточные условия существования и
единственности решения уравнения (5) в виде
На основании формул (5) и (6) по аналогии с (3) и (4) введем локальные дроб­
ные интегралы и производные: правосторонний дробный интеграл
и правостороннюю дробную производную
Приведем некоторые свойства таких конструкций. В частности, покажем, что
локальная дробная производная (8) от степенной и логарифмической функции
выражается в терминах гипергеометрической функции Гаусса [2].
Заметим, что локальная дробная производная вида (8) была введена в рабо­
те [3], а операторы локального дробного дифференцирования, подобные (8),
широко применяются в приложениях (см., например, [4]).
Обозначим через АС[а;b] класс абсолютно непрерывных функций на ко­
нечном отрезке [a; b] действительной оси R =
. Имеет место сле­
дующая
Теорема 1. Пусть 0< <1,
> 0, f(x) - данная функция на [b;b+ ],
продолженная константой на [b - ;b]: f(x) = f(b), для х b. Для того чтобы
уравнение типа Абеля
имело, и притом единственное, суммируемое решение
необходимо и достаточно, чтобы
и
Д о к а з а т е л ь с т в о . Необходимость. Пусть уравнение (9) разрешимо в
. В качестве обратного оператора для левой части (9) используем
оператор (8). Сначала решим (9) на отрезке [b - , b]. Из [5, теорема 1] имеем
72
Математика и информатика
где
Следовательно, можем записать
На основании [5, теорема 2] решением уравнения (11) является константа
Решим далее (9) для
Следовательно,
:
. Из [5, равенство 13] имеем
как сумма трех абсолютно непрерывных функций есть
абсолютно непрерывная функция и условия (10) выполнены.
Д о с т а т о ч н о с т ь . Дифференцируя по х обе части (12), запишем решение
(9) для
:
Поскольку
, из равенства (13) следует, что функция
(x ) существует почти всюду на [b - ; b + ] и
что функция
(t)
. Проверим,
(х), определенная равенством (13), является решением (9). Для
этого подставим
(х) в правую часть (9), а результат обозначим через g(x):
Для доказательства теоремы мы должны показать, что почти всюду на
g(x) = f(x). Уравнение (14) заведомо разрешимо. Функция
(s)
абсолютно непрерывна по условию. Абсолютная непрерывность
дует из равенства (12),
в которое вместо
(t) сле­
(t) подставлена функция
73
Вестник БГУ. Сер. 1. 2007. № 1
(?) и вместо
(s) -решение (13). Следовательно,
суммируема и для
существует,
имеет место равенство
Поскольку уравнение (14) для
принимает вид
то получаем, что
и, следовательно,
Таким образом, равенство (15) с учетом (17) примет вид
Из равенства производных и того, что согласно условию (10) для
получаем
(t)
=
(t) для
Учитывая (16) и то, что
, имеем
Поскольку второе уравнение в (18) есть уравнение Абеля, а уравнение Абе­
ля имеет единственное решение, то
f(x) = g(x) для почти всех
Достаточность доказана.
Из теоремы 1 вытекает
Теорема 2. Пусть
,
,
, b<d. Пусть fk (х) = f(x),
если
, и fk(х) = 0, если
. Уравнение (9) на отрезке
решение вида:
для
для .
а для произвольного
74
, где
имеет единственное
Математика и информатика
Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим случай, когда
найдем решение для х < Ъ , потом - для
при
,
Сначала
и т. д.
Причем при вычислении решения на некотором отрезке используются полу­
ченные ранее решения на предыдущих отрезках. Последовательно выполняя
эти действия, приходим к явному виду решения, данному в равенствах (19) - (22)
при f(b) = 0.
Общий случай, когда
, может быть сведен к предыдущему случаю.
Для этого представим функцию f(x) в виде
Решим сначала уравнение (9) с правой частью f(b), а затем с
ченные решения обозначим
и
. Полу­
соответственно. Имеем:
Складывая
равенства (24) и (25) и учитывая (23), получаем, что
будет решением уравнения (9). Из теоремы 1 следует, что
решение будет единственным. Теорема доказана.
Рассмотрим некоторые свойства локальных дробных интегралов и произ­
водных (7), (8).
1) Для интеграла (7) имеет место равенство
где Ф(х) - первообразная функция
2) Если
,
3) Введем обозначение для
, то для любого
и
верна формула
:
75
Вестник БГУ. Сер. 1. 2007. № 1
Если
где
,
, то справедлива формула
- гипергеометрическая функция Гаусса [2]. В частности, для
целочисленных значений
где
и
,
- символ Похгаммера [2].
4) Если
, то для
справедливы следующие равенства:
Формулы (26) и (27) доказываются непосредственно из определения (8)
с использованием интегрального представления гипергеометрической функции
Гаусса
справедливого при
5) Из представлений (26) вытекает, что для функции
ной дробной производной
знак локаль­
будет определяться знаком члена наименьшего
порядка малости относительно е и меняется с минуса для х < х0 на плюс для
76
Математика и информатика
Следовательно, функция
имеет в точке х0 минимум, хотя односторон­
ние предельные значения дробных производных для
Из результатов работы [3] следует, что функция
в точке х0.
6) Из формулы (27) для функции
ная производная
не равны нулю:
имеет минимум
следует, что локальная дроб­
положительна для любого х>0.
Свойства 1)-6) также справедливы для левосторонних операторов локаль­
ного интегродифференцирования.
В заключение отметим, что в случае
правосторонний локальный
дробный интеграл (7) в точке
сводится к левостороннему дробному
интегралу Римана - Лиувилля (3).
Работа выполнена при поддержке БРФФИ (проект Ф05МС-050).
1.Самко С . Г . , К и л б а с А . А . , М а р и ч е в О. И. Интегралы и производные дробного
порядка и некоторые их приложения. Мн., 1987.
2. Б э й т м е н Г . , Э р д е й и А. Высшие трансцендентные функции. В 3 т. Т. 1. Гипергео­
метрическая функция. Функции Лежандра. М, 1965.
З . Г р и н ь к о А . П . , К а р п у к М.М. // Тр. Ин-та математики НАН Беларуси. 2004. Т. 12.
№ 1. С. 38.
4 . K o l w a n k a r K . M . , G a n g a l A. D. // Chaos. 1996. Vol. 6. №4. P. 505.
5 . Г р и н ь к о А . П . // Докл. HAH Беларуси. 2006. Т. 50. № 5. С. 16.
Поступила в редакцию 04.01.06.
Александр Петрович Гринько - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры ин­
формационных технологий БрГУ им. А.С. Пушкина.
Анатолий Александрович Килбас - доктор физико-математических наук, профессор, заве­
дующий кафедрой теории функций.
77