Вопросы к экзамену по математике (ИЭиТ, специальность

Вопросы к экзамену по математике
(ИЭиТ, специальность 140100.62)
1-й семестр
1. Матрицы, виды матриц. Операции над матрицами.
2. Определители второго и третьего порядка, их нахождение. Миноры и
алгебраические дополнения. Свойства определителей.
3. Обратная матрица и способы ее нахождения.
4. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц.
5. Понятие системы линейных уравнений, основная и расширенная матрицы,
матричная запись систем линейных уравнений. Совместная и несовместная
системы уравнений. Определенные и неопределенные системы линейных
уравнений. Равносильные системы уравнений. Элементарные преобразования
системы линейных уравнений.
6. Теорема Кронекера–Капели. Системы линейных однородных уравнений.
Существование ненулевых решений систем линейных однородных уравнений.
7. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
8. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.
9. Метод обратной матрицы при решении систем линейных уравнений.
10. Векторы, их обозначения. Противоположный вектор. Длина вектора. Нулевой и
единичный вектор. Коллинеарные, равные векторы. Компланарные векторы.
11. Сумма векторов. Правила нахождения суммы двух, трех векторов.
12. Разность векторов. Способы нахождения разности векторов.
13. Произведение вектора на число. Свойства линейных операций над векторами.
14. Скалярное произведение векторов и его основные свойства. Механический и
геометрический смысл скалярного произведения. Проекция вектора на ось.
15. Векторное произведение векторов и его основные свойства. Механический и
геометрический смысл векторного произведения.
16. Смешанное произведение векторов, его основные свойства и геометрический
смысл.
17. Прямоугольная система координат в пространстве. Разложение вектора по ортам
координатных осей.
18. Координаты вектора. Длина вектора. Направляющие косинусы.
19. Арифметические действия над векторами в координатной форме.
20. Критерий коллинеарности двух векторов.
21. Вывод формулы, выражающей скалярное произведение двух векторов через их
координаты. Критерий ортогональности двух векторов.
22. Вывод формулы, выражающей векторное произведение двух векторов через их
координаты.
23. Вывод формулы, выражающей смешанное произведение трех векторов через их
координаты. Критерий компланарности трех векторов.
24. Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость и линейная
независимость
векторов.
Критерий
линейной
зависимости.
Базис
пространства. Ортонормированный базис.
25. Прямоугольная и полярная системы координат на плоскости. Связь между
прямоугольными и полярными координатами точки на плоскости.
26. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в заданном отношении.
Площадь треугольника. Расстояние от точки до прямой.
27. Общее, каноническое, параметрическое уравнения прямой на плоскости.
28. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки.
Уравнение прямой «в отрезках».
29. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Частные случаи. Уравнение
прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение
прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.
30. Угол между двумя прямыми на плоскости. Условия параллельности и
перпендикулярности прямых на плоскости.
31. Уравнение прямой в пространстве (общее, каноническое, проходящей через две
точки, параметрическое, проходящей через данную точку параллельно заданному
вектору).
32. Уравнение плоскости в пространстве (общее, проходящей через три заданные
точки, в отрезках).
33. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности
плоскостей.
34. Угол между прямыми в пространстве. Условие параллельности и
перпендикулярности прямых в пространстве.
35. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой
и плоскостью. Нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости.
36. Линии второго порядка. Общее уравнение линии второго порядка. Окружность.
Каноническое уравнение окружности.
37. Эллипс. Вывод канонического уравнения эллипса. Фокусы, эксцентриситет,
директрисы эллипса.
38. Гипербола. Вывод канонического уравнения гиперболы. Фокусы, эксцентриситет,
директрисы, асимптоты гиперболы. Равносторонняя гипербола.
39. Парабола. Вывод канонического уравнения параболы. Фокус, эксцентриситет,
директриса параболы.
40. Исследование и построение поверхностей второго порядка методом сечений.
41. Понятие множества. Виды множеств. Операции над множествами.
42. Функция одного переменного: определение функции одного переменного;
обратная функция; сложная функция; общие свойства функций.
43. Элементарные функции. Графики элементарных функций.
44. Теория пределов: окрестность точки, предельная точка множества; числовая
последовательность; предел числовой последовательности; свойства предела
числовой последовательности.
45. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Теоремы о
бесконечно малых последовательностях.
46. Арифметические операции над пределами.
47. Неопределенные выражения. Раскрытие неопределенностей.
48. Предел функции на бесконечности.
49. Конечный предел функции в точке, бесконечный предел функции в точке.
50. Односторонние пределы.
51. Непрерывность функции в точке и на множестве. Непрерывность элементарных
функций, непрерывность сложной функции,
52. Классификация точек разрыва функции.
53. Свойства непрерывных на отрезке функций (теоремы Больцано-Коши,
Вейерштрасса).
54. Первый замечательный предел и следствия из него.
55. Второй замечательный предел и следствия из него.
56. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые
функции и их применение для вычисления пределов.
57. Равномерная непрерывность.
58. Задачи, приводящие к понятию производной; производная функции в точке,
механический и геометрический смысл производной функции в точке.
59. Непрерывность функции, имеющей производную.
60. Дифференцируемость функции, имеющей производную.
61. Правила вычисления производных.
62. Производная сложной функции, производная обратной функции.
63. Таблица производных.
64. Производная функции, заданной параметрически.
65. Производная функции, заданной неявно.
66. Логарифмическая производная, производная степенно-показательной функции.
67. Теоремы о среднем дифференциального исчисления (Ферма, Роля, Лагранжа,
Коши).
68. Правило Лопиталя.
69. Функция производной. Производные высших порядков функции одного
переменного. Механический смысл второй производной.
70. Дифференциал функции и его свойства; инвариантность формы записи
дифференциала 1-го порядка; применение дифференциала в приближенных
вычислениях. Дифференциалы высших порядков функции одного переменного.
71. Формула Лейбница.
72. Применение дифференциального исчисления к анализу и построению графиков
функций: возрастание и убывание функций, максимум и минимум функций,
точки экстремума. Выпуклость (вогнутость) графика функции. Точки перегиба.
Асимптоты графика функции.
73. Общая схема исследование и построения графика функции.
74. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
75. Формула Тейлора, формула Маклорена. Разложение элементарных функций по
формуле Маклорена.
12/12/2010
Попов В.Н.