10-17Urok4

Урок 4. Изображение комплексных чисел векторами
План урока






Модуль комплексного числа.
Аргумент комплексного числа.
Тригонометрическая форма ненулевого комплексного числа.
Вычисление модуля и аргумента комплексного числа.
Проверь себя. Изображение комплексных чисел векторами.
Домашнее задание
Цели урока
Показать, как комплексные числа изображаются векторами, связанными с началом
системы координат, и определить тригонометрическую форму ненулевого комплексного
числа.
Модуль комплексного числа.
Комплексное число z  a  bi , где a и b действительные числа, можно изобразить точкой
(a b) координатной плоскости. Иногда удобно считать, что комплексное число ( a  bi )
изображается вектором, связанным с началом O системы координат, концом которого
служит точка M ( a b) (рисунок 1).
Определение. Длина вектора OM , изображающего комплексное число z , называется
модулем числа z и обозначается как  z  .
По формуле, выражающей длину вектора через его координаты, получаем равенство
 z  a 2  b 2 
Таким образом, модуль комплексного числа
z  a  bi
— это неотрицательное
действительное число
a  b , геометрическим смыслом которого является длина
связанного вектора, изображающего число z .
2
2
Вопрос. Какими точками изображаются комплексные числа, модуль которых равен 1 ?
(Ответ: точками окружности радиуса 1 с центром в начале системы координат)
Аргумент комплексного числа.
Рассмотрим комплексное число z  a  bi , отличное от нуля. Оно изображается вектором
длины r  0 , идущим из начала координат в точку M ( a b) .
Определение. Направленный угол  между осью Ox и вектором OM называется
аргументом комплексного числа z (рисунок 2).
Аргумент  комплексного числа z  0 можно вычислить по-разному, с точностью до
углов, кратных 2 . Это значит, что если угол  есть аргумент числа z , то угол   2 n ,
где n  Z , также является аргументом числа z .
Пример 1. Вычислим аргумент числа 3  i .
Решение. Изобразим в комплексной плоскости число z  3  i точкой M (рисунок 3).
Опустим перпендикуляр MP на ось Ox .
Тогда  OP  3 ,  MP  1 , а поэтому MOP  13 . Следовательно, в треугольнике OMP
угол MOP равен 6 а направленный угол между Ox и вектором OM , отсчитываемый в
отрицательном направлении, равен  6 . Выбирая для вектора OM направленный угол в
положительном направлении, получаем, что в качестве аргумента числа z  3  i можно
взять угол   2  6 (рисунок 4).
Аналогично в качестве аргумента числа z  3  i можно взять любой угол вида
   6  2 k , где k  Z .
Пример 2. Вычислим аргумент числа 2  3i .
Решение. Изобразим в комплексной плоскости число
z  2  3i точкой K (2 3)
(рисунок 5). Тогда OK  z  4  9  13 . Пусть  – направленный угол, который
образует вектор OK с осью Ox . Тогда из определения тригонометрических функций
направленного угла получаем sin   313 , cos    213 . Так как вектор OK во второй
четверти и cos   
2
13

, то за аргумент числа z можно взять угол   arc cos 
2
13
.
Таким образом, для каждого ненулевого комплексного числа z определяется его
аргумент. Аргумент комплексного числа можно вычислить по-разному, но при этом
разность между любыми двумя аргументами кратна 2 . Для комплексного числа нуль
аргумент не определяется.
Вопрос Какой аргумент имеет комплексное число 5 ?
(Ответ:  )
Тригонометрическая форма ненулевого комплексного числа.
Пусть ненулевое комплексное число z  a  bi изображается точкой M ( a b)
координатной плоскости и модуль числа z равен r , а аргумент равен  . Это означает,
что точка M расположена на расстоянии r от начала O , а луч OM образует угол  с
положительным лучом оси Ox (рисунок 6). Поэтому координаты точки M можно
записать в виде (r cos   r sin  ) . Следовательно,
a  r cos   b  r sin  
Отсюда
z  a  bi  r cos   ir sin   r (cos   i sin  )
В результате получаем, что комплексное число z можно записать в виде
z  r (cos   i sin  )
(1)
где r — модуль,  — аргумент числа z . Полученная форма записи числа z  0
называется тригонометрической формой комплексного числа.
Пример 3 Запишем число z  2  3i в тригонометрической форме.
Решение. В примере 2 из предыдущего пункта было найдено, что r  z  13 , а аргумент

числа z равен   arccos 
2
13
 . Поэтому
 2 
где   arccos  

 13 
В итоге число z  2  3i записано в тригонометрической форме.
z  13(cos   i sin  )
Вопрос Как записать в тригонометрической форме число 2i ?
(Ответ: 2i  2(cos 2  i sin 2 ) )
Вычисление модуля и аргумента комплексного числа.
В простейших примерах модуль r и аргумент  ненулевого комплексного числа
z  a  bi удобно находить из чертежа. В общем случае можно рассмотреть равенства
a  r cos   b  r sin  
Отсюда следует, что при a  0 аргументы числа z нужно искать среди корней уравнения
cos x  0 . При a  0 можно получить равенство tg   ba , а поэтому аргументы числа z
являются некоторыми из корней уравнения tg x  ba .
Утверждение Общее правило для вычисления аргумента  комплексного числа z  a  bi
может быть таким:
  2 
при a  0 и b  0
  32 
при a  0 и b  0
при a  0
  arctg ba 
  arctg ba   
при a  0
Доказательство. Поскольку a и b не обращаются в ноль одновременно, то возможны
лишь четыре случая перечисленные выше.
1) a  0 и b  0 . В этом случае точка (0;b), изображающая комплексное число z, лежит на
оси Oy выше начала координат и поэтому аргумент   2 .
2) a  0 и b  0 . Снова точка (0;b), изображающая число z, лежит на оси Oy, но ниже
начала координат. Направленный угол  между осью Ox и вектором OM , где M —
точка (0;b), равен 32 .
3) a  0 . В этом случае вектор OM , изображающий число z, лежит в правой
полуплоскости от оси Oy и составляет с осью Ox угол лежащий в промежутке   2 ; 2  .
Существует единственный угол  в этом промежутке, такой что tg   ba . Это угол
  arctg ba .
4) a  0 и, следовательно, вектор OM , изображающий число z, лежит в правой
полуплоскости от оси Oy. Угол  между осью Ox и вектором OM можно записать в
виде      , где  принадлежит промежутку   2 ; 2  . Следовательно
  arctg ba   .
Обратите внимание, что это не единственное правило вычисления аргумента.
Мини исследование Выведите другое правило вычисления аргумента комплексного
числа.
(В качестве примера можно предложить решение уравнения a  r cos   На промежутке
  ;   оно имеет два решения    arccos ar . Осталось определить правило выбора знака
в зависимости от знака b.)
Проверь себя. Изображение комплексных чисел векторами.
Задание 1.
Выбрать из предложенных вариантов ответов правильные. Правильных ответов может
быть несколько. В этом случае надо выбрать все правильные.
Аргумент числа 1  3i равен
1.  3 .
2. 2 .
3. 32 .
4. 53 .
Ответ: 1, 4.
Числа z такие, что |z| = 1 изображаются в комплексной плоскости
1. точками, лежащими на оси Ox.
2. точками, лежащими на прямой.
3. точками, лежащими на луче.
4. точками, лежащими на окружности.
Ответ: 4.
Числа z такие, что аргумент z равен α изображаются в комплексной плоскости
1. точками, лежащими на оси Ox.
2. точками, лежащими на прямой.
3. точками, лежащими на луче.
4. точками, лежащими на окружности.
Ответ: 3.
Числа z такие, что z  1  z  i изображаются в комплексной плоскости
1. точками, лежащими на оси Ox.
2. точками, лежащими на прямой.
3. точками, лежащими на луче.
4. точками, лежащими на окружности.
Ответ: 2.
Задание 2.
Выбрать правильные ответы.
Модуль числа 1  3i равен
1. 1.
2.
2.
3. 2.
4. 4.
Ответ: 3.
Найти минимальный положительный аргумент числа 1–2i.
1. arctg 2.
2. arctg (–2).
3.   arctg 2 .
4. 2  arctg 2 .
Ответ: 4.
Найти минимальный положительный аргумент числа –1+2i.
1. arctg 2.
2. arctg (–2).
3.   arctg 2 .
4. 2  arctg 2 .
Ответ: 3.
Записать число 3  3i в тригонометрической форме.
1. 2 3  cos 6  sin 6  .
2.
6  cos 6  sin 6  .
3. 2 3  cos   6   sin   6   .
4.
6  cos   6   sin   6   .
Ответ: 3.
Домашнее задание.
1. Изобразите векторами комплексные числа:
2i ,
2i ,
2  i ,
2  i .
2. Докажите, что комплексно-сопряженные числа имеют одинаковые модули.
3. Комплексные числа z1 и z2 изображаются векторами OM 1 и OM 2  Каким вектором
можно изобразить разность z1  z2 ?
4. Докажите, что  z1  z2  z1    z2  , при любых комплексных z1 и z2 .
5. Комплексное число z имеет аргумент  . Какой аргумент имеет:
а) противоположное число  z ;
б) комплексно сопряженное число z ?
6. Вычислите модуль и аргумент комплексного числа:
а) 1  i ;
б) 1  i ;
в) 12  23 i ;
г) 4  i ;
д)  1  2  i .
7. Запишите в тригонометрической форме комплексное число:
а)  3  i ;
б) 1  i ;
в)  12  23 i ;
г) 1 ;
д) 1  5i ;
е)   cos 6  i sin 6 ;
ж)  cos 6  i sin 6 ;
з)  1  2  i .
8. Модули комплексных чисел z1 , z2 , z3 , z4 , z5 , z6 равны 1 , а аргументы равны
соответственно 0 , 60 , 120 , 180 , 240 , 300  Вычислите сумму
z1  z2  z3  z4  z5  z6 .
9. Какое множество точек комплексной плоскости задается условием:
а)  z  1  1 ;
б)  z  1  1 ; в)  z  i  1 ;
г) 3  z  i  5 ?
10. Какое множество точек комплексной плоскости задается условием:
а)  z  2  z  4i  ; б) аргумент z равен 60 ; в) z  z  iz  iz ?
Словарь терминов
Модулем комплексного числа называется длина вектора OM , изображающего
комплексное число z .
Аргументом комплексного числа называется направленный угол  между осью Ox и
вектором OM .
Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1 —10-14-06.eps
Рисунок 2 —10-14-07.eps
Рисунок 3 —10-14-08.eps
Рисунок 4 —10-14-09.eps
Рисунок 5 —10-14-10.eps
Рисунок 6 —10-14-11.eps