Прогрессия - МАОУ Лицей №1 имени А.С. Пушкина

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
гимназия №1 имени А. С. Пушкина города Томска
ПРОГРЕССИЯ
пособие в помощь выпускникам 9, 11 классов и
учителю математики для подготовки к ГИА и ЕГЭ
Составитель: Шишковская Т.А., учитель математики
высшей квалификационной категории
Томск 2011
Содержание
Пояснительная записка .................................................................................................................3
Опорный конспект по теме « Прогрессия» .................................................................................4
Основные типы задач по теме «Прогрессия» и их решения .....................................................5
Задачи для самостоятельной работы .........................................................................................15
Ответы к заданиям .......................................................................................................................18
Список использованных источников.........................................................................................19
Пояснительная записка
Данное пособие представляет собой сборник задач разного уровня сложности по
теме «Прогрессия» и ориентировано на обучающихся профильных классов, имеющих
навыки решения задач по данной теме. С понятиями арифметической и геометрической
прогрессий школьники впервые знакомятся в 9 классе, на эту тему отводится от 21 до 30
часов, в зависимости от количества часов в неделю и автора учебника. Для успешного
освоения данной темы необходима организация самостоятельной работы обучающихся,
настоящее пособие призвано помочь в организации самостоятельной работы.
Психические и физические особенности подросткового возраста требуют
возвращение к ранее изученному материалу через определенный промежуток времени,
особенно актуально повторение в период подготовки к ГИА, а затем (по прошествии двух
лет) при подготовке к ЕГЭ. Предложенные упражнения направлены на повторение
данной темы обучающимися 9 класса и для итогового повторения и самостоятельной
подготовки к решению задач части С ЕГЭ в 11 классе. Задачи призваны помочь
школьникам в повторении понятий, свойств и формул по предложенной тематике и
основных типов заданий по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии».
Для успешного решения предложенных задач, необходимо повторить
теоретический материал по данной теме: определения арифметической/геометрической
прогрессии, формулу n-ого члена арифметической/геометрической прогрессии,
нахождение суммы n первых членов этих прогрессий.
Пособие состоит из двух частей в первой приведены задачи и способы их решения,
во второй – задачи для самостоятельной отработки.
Целью данного пособия является развитие предметных компетентностей
обучающихся по математике.
Задачи пособия:
1. повторить известные из школьной программы методы решений задач с
применением арифметической и геометрической прогрессий;
2. сформировать навыки решения некоторых видов задач по данной теме;
3. сформировать умения применять известные алгоритмы решений к новым
условиям задач;
4. развивать аналитические навыки обучающихся при решении задач.
В результате работы с пособием обучающиеся научатся:
 Применять формулы прогрессии при решении задач различного уровня
сложности;
 Решать задачи с параметром, используя свойства прогрессий.
 Использовать определенный алгоритм при решении типовых задач.
Опорный конспект по теме « Прогрессия»
определение
формула общего члена
характеристическое
свойство
формула суммы первых
членов прогрессии
Арифметическая
прогрессия
Арифметической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой,
начиная со второго, равен
предыдущему, сложенному
с одним и тем же числом,
называемым разностью
арифметической
прогрессии
an=а1+(n1)·d
Любой член арифметической прогрессии равен
среднему арифметическому членов прогрессии,
равноудалённых от данного члена прогрессии
Геометрическая
прогрессия
Геометрической прогрессией называется последовательность чисел,
каждый член которой,
начиная со второго, равен
предыдущему умноженному на одно и то же
число, называемым знаменателем геометрической прогрессии
bn=b1·qn-1
Любой член геометрической прогрессии равен
среднему геометрическому членов прогрессии,
равноудалённых от данного члена прогрессии
Sn 
Sn 
a1  an
n
2
2a  n  1d
Sn  1
n
2
bn q  b1
q 1
b1  q n  1
Sn 
q 1
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле.
q <1,
S
b1
1 q
Основные типы задач по теме «Прогрессия» и их решения
Задача 1. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4, а
сумма кубов ее членов равна 192. Найдите первый член прогрессии.
Решение задачи
Запишем формулу суммы бесконечно убывающей прогрессии
S
b1
b
, 1  4
1 q
1 q
(1)

3
2
Сумма кубов b1  b1 q   b1 q
3

3
 ...  192
b13
 192 (2)
преобразуем это выражение b 1  q  q ...  192 
1  q3
b13
*
*
 43 получим
разделим (2) на (1 ), где (1 )
3
1  q 
3
1
3
1  q 3  3 1  q 3  ,
6
решая это уравнение
1  q 31  q  q 2   1  q 2   0
1  q  2q
2
 5q  2  0

q  1

 q  2  q   1

2 т.к. прогрессия убывающая

1
q  
2

b1  41  q  b1  6
Ответ: 6
Задача 2. Три числа, сумма которых равна 93, составляют геометрическую
прогрессию. Их можно рассматривать как первый, второй и седьмой члены
арифметической прогрессии. Найдите разность этой арифметической прогрессии.
Решение задачи
b1  b1q  b1q  93; a1  b1 ; a 2  b1 q ; d  a 2  a1  b1 q  1
a 7  b1 q 2  a1  6d
2
b1 q 2  b1  6b1 q  1  q 2  6q  5  0
q  5;
q  1;  q  5, то b1  3

найдём d  35  1  12
Ответ: 12
Задача 3. Известно, что 19 февраля длина световой части дня составила 10 часов.
Через сколько суток она увеличится на 6 %, если каждый день к световой части суток
прибавляется 4,5 минуты.
Решение задачи
10 февраля световой день 10 часов; а1= 10 ч.
аn=10,6; d  4,5  3
60 40
3
10  n  1 
 10,6 ;
40
0,6
 8, то n=9
3
40
Ответ: через 8 суток
n 1 
Задача 4. Если к четырем числам a ,b, c и d составляющим геометрическую
прогрессию, прибавить соответственно 4, 21, 29 и 1, то получатся четыре числа,
составляющие арифметическую прогрессию. Найдите сумму чисел a, b, c и d,
Решение задачи
a  b1 ; b  b1 q; c  b1 q 2 ; d  b1 q 3
- геометрическая прогрессия
b1  4 ; b1q  21; b1q  29 ; b1q  1 - арифметическая прогрессия
по свойству арифметической прогрессии
2
3
b1q 2  2 b1q  b1 9
2b1q  21  b1q 2  29  b1  4
 b1q3  2 b1q 2  b1q 36 

2
3
2b1q  29   b1q  1  b1q  21
b1 q  12  9
 q  4, a b1  1.

b1 qq  12  36
Следовательно, числа:1; 4; 16; 64. В ответе сумма их 85
Ответ: 85
Задача 5. Определите , при каких х три числа a ,b ,c, взятые в указанной
последовательности, образуют арифметическую прогрессию , если a=lq2, b=lq(3x3),
c=lq(3x+9)
Решение задачи
a = lg2; b = lg(3x3); c = lg(3x+9) по свойству арифм. прогрессии
2b = a+c
x
2lg(3 3) = lg2+lg(3x+9);
(3x-3)2 = 2·3x+18, заменим 3x = m > 0
(m3)2 = 2m+18  m28m9 = 0
m  9
x
m  1  m  9; 3  9; x  2.

Ответ: x = 2
Задача 6. Длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую
прогрессию. Найдите тангенс меньшего из углов треугольника.
Решение задачи
a+d α
a+2d
tgα=?
По теореме Пифагора
(а+2d)2=(a+d)2+a2;
2
a
a
a
a22ad3d2=0     2  3  0 т.к. d≠0
d
d 
a
d  3
a
  3  a  3d

 a  1 d
 d
a
 1 - не удовлетворяет условию
d
tg 
a
3d
3

  0,75
a  d 3d  d 4
Ответ: 0,75
Задача 7. Первым четырехугольником является прямоугольник со сторонами 2см
и9 см. Для того, чтобы получить второй четырехугольник, соединили середины сторон
первого четырехугольника. Для того, чтобы получить третий четырехугольник, соединили
середины сторон второго четырехугольника и т.д. Укажите номер четырехугольника,
начиная с которого , периметры четырехугольников будут меньше 1 мм.
Решение задачи
Р1 = (9+2)·2 = 22см = 220мм, т.к. Р2; Р4; Р6-…ромбы
Р3 = 110мм Р1; Р3; Р5; Р7…прямоугольники
9 см
{Рn}-образуют геометрическую
прогрессию с q= 1
2 см
n 1
2
1
Pn = 220·   <1мм
2 
n 1
1
log2 220 + log2   < log21
2
log2 220(n1) < 0
(n1) <  log2 220
n > 1+ log2 220
т.к. log2 220> log2128;
n > 1+7, n > 8
начиная с 9 впереди было 8 ромбов, 9+8=17
Ответ: 17
Задача 8. При каком значении параметра а числа S1, S2, S3 образуют три
последовательных члена арифметической прогрессии? Найдите разность этой прогрессии.
y
f ( x) 
0
1
x2
S1 S
2
S3
1 a 2a 3
2
x
Решение задачи
1
1 1
1 1
S1 = 2  ; S2 =  ; S3=  ;
a 2a
2a 3
a
1 1
1 1
1
2S2=S1+S3  2   
 2
a
 a 2a  2 a 3
9
8
5
1
a  , значит, S1 = ; S2 = ; d = S2 S1 = 
10
9
9
3
1
Ответ: 
3
Задача 9. При каком значении параметра а числа S1, S2, S3 образуют три
последовательных члена геометрической прогрессии? Найдите знаменатель этой
прогрессии.
y
f ( x) 
0
S1 S
2
S3
2
1 a a 27
1
x2
x
Решение задачи
1
1 1
1
1
S1 = 1 ; S2 =  2 ; S3 = 2 
a
a a
a 27
2
2
 a  1  a  1  27  a 
S22 = S1· S3;  2  
;
a  27a 2
 a 
a  1
S2 1
2
2

;
S
=
;
S
=
;
q=

a

3
1
2
a  3
S
3
3
9

1
1
Ответ:
3
Задача 10. Найдите сумму площадей бесконечного количества фигур,
заштрихованных на рисунках
y
1
y
sin x
1
x
0
0
y
sin 2 x
1
x
sin 4 x
0
x
y
1
0
sin 8 x
x
Решение задачи
sin nx=0  x 


n
2
Sn =  sin nx dx  , где n = 1, n = 2, ……
n
0
1 1
2
Sn = 2+1+   ... 
= 4 (ед2)
1
2 4
1
2
Ответ: 4
n
Задача 11. Одиннадцатый член арифметической прогрессии равен -89, а сумма
первых двадцати членов равна -1810. Найдите число членов прогрессии, содержащихся
на интервале (0;16).
Решение задачи
a11= 89;
S20=1810.
an (0; 16)
a11  a1  10d  89
a  10d  89
a  119

 1
 1

2a1  19d
 20  1810 2a1  19d  181 d  3
S20 
2
an = a1+(n1)d
0 < 119+3(n1) <16
1
40 < n<46, т.к. n N
3
Ответ: 5 чисел 41; 42; 43; 44; 45
Задача 12. Стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию с
разностью равной 2.Найдите площадь треугольника, если известно, что произведение
радиусов описанной и вписанной окружностей равно 130.
Решение задачи
R. r = 130 a>0
SΔ=?
abc
S
R=
; r= ;
4S
P
a+2
a
a+4
a a  2  a  4  S
 130  a a  4  780
3a  2
24S 
2
a2+4a780=0
a  26
a  30  a  26

Стороны треугольника 26; 28; 30.
Площадь треугольника вычисляем по формуле Герона
SΔ=336.
Ответ: 336
Задача 13. На каком месте последовательности 1  17 n  3  5n, n  N , стоит,
ее наибольший член.
Решение задачи
1+17 n  3  5n, n  N
зададим функцию
f(n) = 5n+17 n  3 +1
f(n) = 5(n3)+17 n  3 14
n  3 =t
2
f(t) = 5t +17t14
Графиком функции является парабола. Ветви направлены
17
вниз и наибольшее значение принимает при t = =1,7
10
n 3 = 2,89
n = 5,89
т.к. n N, то наибольшее значение будет принимать при
n=6
Ответ: 6
Задача 14.Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна
наибольшему значению функции f(х)=х³ +3х-9 на отрезке [-2;3], если разность первого и
второго членов =f '(0).Чему равен знаменатель этой прогрессии.
Решение задачи
f(x) = x3+3x9 на  2; 3; a1 a2= f(0) q=?
D (f)=R;
f۱(x) =3x2+3;
3x2+3=0, корней нет
f۱(x) =0
b
f (2)= 23. f (3)= 27  S  1 =27;
1 q
a2  a1 = 3;
b1q b1 = 3;
3
= b1
1 q
1
3
= 27; (1q)2 = ;
2
9
1  q 
1
2


1

q

q



2
3
3
q ;


3
1  q   1
q  4


3
3
т. к. прогрессия бесконечно убывающая
2
Ответ: q 
3
b1 (q1) = 3; 
Задача 15. Сумма первых девяти членов арифметической прогрессии равна 80. Её
пятый член равен 6. Найдите сумму второго и четвертого членов прогрессии.
Решение задачи
S10 =
2a1  9d  16 a1  10
2a1  9d

10  80 
a

4
d

6
2
d  4
 1
a5=6
В ответе a2+ a4 = 2a1+4d = 20+16= 4
Ответ: 4
Задача 16. При каком наименьшем значении n длины сторон n-угольника могут
образовывать геометрическую прогрессию со знаменателем q=1,8?.
Решение задачи
А4
А3
1,8 а
А2
1,82a
aаа
1,83 а
А5
а
А6
А1
..
.
Аn
A1An< A1A2+ A2A3+…+ An-1An
a 1,8n1  1
n-1
;
a ·1,8 <
0,8
0,8 ·a·1,8n-1 <a(1,8n-11)  1,8n-1 >5,
(n1) ·log1,81,8 < log1,85,
n >1+ log1,85, так как
log1,85 >2
n >1+2
n >3, n N
Ответ:n = 4
Задача 17. За 10 дней Карл украл 165 кораллов и из них 147 в первые 7 дней.
Каждый день он крал на одно и то же число кораллов меньше , чем в предыдущий день.
Сколько кораллов Карл украл в десятый день.
Решение задачи
S10 = 165;
 2a1  9d
 10  165
 2
2a  9d  33
 1

a1  3d  21
 2a1  6d  7  147
 2
a1  30

d  3
S7 = 147
a10=30+9·(3)=3
Ответ:3
Задача 18. Найдите все значения параметра а, при которых множество решений
неравенства
х·(х10)  (а+5)·(|х5|5) содержит все члены некоторой геометрической прогрессии с
первым членом , равным 5,3, и знаменателем прогрессии меньше -1.
Решение задачи
x(x10)  (a+5) ·( x  5  5 )
x1 = 5,3; q < 1
x210x+2525  (a+5)·( x  5  5 )
( x  5  25 )  (a+5)·( x  5  5 )
x 5  m
( x  5  5 )·  x  5  5  a  5  0
( x  5  5 )·( x  5  a )  0
(m5)·(ma)  0
 x  5  5  x  10
a= x  5  5 

 x  5  5  x  0
не является решением т.к. x=5,3.
1.
2.
a
5
m
x 5  5
x 5  a
a  x5  a
5a  x  a+5
x  10
x0
x   a  5; 0  10; a  5
наш корень x=5,3 не входит ни в один из отрезков
x  5  a x  5  a
x  a  5

x  5  5  x  5  a  x  5  a
3.
5
a
m
5  x 5  5, 0  x  10
x  0;  a  5  a  5; 10-чтобы вошли x=5,3 и q=
1
надо a+5  5,3; a  0,3
0
-a+5
10
a+5
Ответ: a  0,3;  
Задача 19. Найдите все значения параметра а, при которых множество решений
неравенства
х·(х+6)  (а-4)·(|х+3|3) содержит все члены некоторой геометрической прогрессии с
первым членом , равным - 5, и знаменателем прогрессии больше 1.
Решение задачи
x(x+6)  (a4)( x  3  3 )
b1 = 5; q > 0
Решение № 44
x(x+6)  (a4)( x  3  3 )
x2+6x+99  (a4)( x  3  3 )
( x  3  9 )  (a4)( x  3  3 )
( x  3  3 )( x  3  3 (a4))  0
( x  3  3 )( x  3  3 a+4)  0
( x  3  3 )( x  3 (a7))  0
Речь идёт о решении неравенства то (m3)(m(a7))  0
промежуток 3; a7.
2
Рассмотрим три случая
x  7
 x  13 -решение при а=10

условие задачи не выполнимо, т. к. не содержит x= 5
a7=3;  a=10.
1.
2.
3
промежутку
a-7 m
x  3  10
m  3; a  7
3 x 3  a 7
3 x 3 a 7
 a  7  x  3  3
0  x  a 10 и a4  x  6
x1= 5 не принадлежит
x   a  4;  6  0; a  10
3.
a-7
3 m
a7  x+3  3 и 3  x+3  a+7
a10  x  0
6  x  a+4
x   6;  a  4  a  10; 0
и чтобы x= 5 и q>0
a+4  5
a  9
a9
Ответ: a   ; 9
Задачи для самостоятельной работы
Задача 1. Если к четырем числам a ,b ,c и d составляющим геометрическую
прогрессию прибавить соответственно 88, 140, 160 и 20, то получатся четыре числа ,
составляющие арифметическую прогрессию. Найдите сумму чисел a, b, c и d
Задача 2. Цифры трехзначного числа в порядке следования
образуют
возрастающую геометрическую прогрессию. Если вторую цифру искомого числа
увеличить на 2, то цифры полученного числа образуют арифметическую прогрессию.
Найдите это число.
Задача 3. Первым треугольником является треугольник со стонами 5см, 12 см и 13
см. Для того, чтобы получить второй треугольник соединили середины сторон первого
треугольника. Для получения третьего треугольника соединили середины сторон второго
треугольника и т.д. Укажите номер треугольника, начиная с которого, периметры
треугольников будут меньше 3 мм.
Задача 4. Планируя подготовку к экзамену, учащийся определил, что ему для этого
надо решить не менее 1100 задач. Каждый последующий день , начиная со второго, он
решал на 3 задачи больше, чем в предыдущий. За первые 10 дней удалось решить 185
задач. За какое количество дней учащемуся удаться добиться поставленной цели.
Задача 5. Планируя выпуск новой микросхемы, специалисты завода определили,
что в первую неделю может быть изготовлено 900 микросхем. Далее завод будет
ежедневно увеличивать выпуск на 40 штук. Сколько недель количество выпускаемых
микросхем будет больше 1000, но меньше 1500 штук.
Задача 6. Найдите значение х такое, что числа log42; log4 (2x4); log4 (323·2x)
образуют арифметическую прогрессию.
Задача 7. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если
сумма и произведение трех ее первых членов соответственно равны 63 и 1728.
Задача 8. Найдите такие значения а и b, что S1: S2: S3=1:2:3.
y
f ( x) 
0
S1 S
2
S3
1 a b 9
1
x
x
Задача 9. Найдите четыре числа , из которых первые три составляют
геометрическую прогрессию, а последние три – арифметическую , если сумма крайних
членов равна 14, а сумма средних 12.
Задача 10. Сумма первых 40 членов арифметической прогрессии равна 6440, а
двадцать первый член равен 159. Найдите число членов прогрессии, принадлежащих
интервалу(17;0).
Задача 11.
последовательности
При каком значении параметра
a  9 n  4 −3n, n  N , равен 9 2 .
а
наибольший
член
Задача 12. Периметр прямоугольного треугольника равен 12. Найдите радиус
вписанной окружности, если известно, что стороны треугольника образуют
арифметическую прогрессию.
Задача 13. Первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии
относится к сумме второго и третьего как 9:10. Найдите первый член прогрессии, если ее
сумма равна 12.
Задача 14. При делении девятого члена арифметической прогрессии на ее второй
член в частном получается 5, а при делении тринадцатого члена этой прогрессии на ее
шестой член в частном получается 2 и в остатке 5. Найдите ее первый член и разность
прогрессии.
Задача 15. Определите при каких значениях х три числа a1, a2, a3 взятые в
указанном порядке a1=lg2, a2= lg(2x 6), a3 = lg(2x +34) образуют арифметическую
прогрессию.
Задача 16.При каком значении параметра а найдутся такие х , что числа
a
5x 1  5x 1 ; ; 25x  25 x (в указанном порядке) образуют арифметическую прогрессию.
2
Задача 17. При каком наименьшем значении n длины сторон n-угольника могут
образовывать геометрическую прогрессию со знаменателем q=1,7?.
Задача 18. Даны числа 32 x 1 ;  1 
 3
Найдите х.
2
4 x 1
;
 3
2 x 2 6 x 2
образующие геометрическую прогрессию.
Задача 19. Сумма первых трех членов бесконечно убывающей геометрической
прогрессии равна 10,5, сумма прогрессии равна 12. Найдите ее первый член и
знаменатель.
Задача 20. Найдите число членов конечной геометрической прогрессии, у которой
первый, второй и последний члены равны соответственно 3, 12 и 3072.
Задача 21. Сумма четвертого и первого членов геометрической прогрессии равна
27, а их разность 21. Найдите сумму первых пяти членов прогрессии.
Задача 23. Три положительных числа образуют арифметическую прогрессию.
Третье число больше первогона 14.Если к третьему прибавить первое, а остальные два
оставить без изменения, то получится геометрическая прогрессия. Найдите произведение
этих чисел.
Задача 24. При подготовке к экзамену ученик каждый день увеличивал количество
решенных задач на одно и то же число. С 3мая по 6 мая включительно он решил 24
задачи, а с 5мая по 10 мая- 72 задачи. Сколько задач решил ученик с 3по 10 мая
включительно.
Задача 25. В течении календарного года зарплата каждый месяц повышалась на
одно и то же число рублей. За июнь, июль и август зарплата в сумме составила 9900
рублей, а за сентябрь, октябрь и ноябрь-10350 рублей. Найдите сумму зарплат за весь год.
Задача 26. Первоначальная цена товара на торгах повышалась на одно и то же
количество рублей. После третьего повышения цена равнялась 1200 рублей, а после
двенадцатого повышения-1650 рублей. Через сколько повышений первоначальная цена
удвоилась.
Ответы к заданиям
1.6 2.12 3.через 8 дней 4.85 5.312 6.х=2 7.139 8.0,85 9.17 10.8 11.26 12. 12.
13.3 14. Первый член=3, знаменатель 4 или 48 и 0,25 15.знаменатель=- ⅓ 16. ⅓
17. Знаменатель=³√3,первый член=3. 18.4 19.2;4;8;12 или 12,5;7,5;4,5;1,5 20.4 21.5 22.6
23. 12 24. 336.
25.1 26. 4 27. ⅔ 28. 3 и 4. 29. 4 30. 2 31. Больше 12 32. 4 33.4 34.6(³√15-1) ,³√15∕2
35.2, -⅓ . 36 .6 37. 3
38. 2058 39. 80 40. 39300 41. 3 42 . 21 43. а>= 0,3 . 44 .а<=9.
Список использованных источников
1. Пособие для подготовки к ЕГЭ в 2005г. – Москва, 2005.
2. Пособие для подготовки к ЕГЭ в 2003, 2004. – Москва, 2004.
3. Сборник задач по математике для подготовительных курсов ТУСУР. – ТОМСК,1998.
4. Задачи повышенной трудности. – Москва: Просвещение, 1990.
5. Сборник заданий для повторения курса алгебры и начала анализа.
6. Система тренировочных задач и упражнений по математике. - Москва:
Просвещение,1991.