Модель поведения потребителя

Работа посвящена исследованию оптимального поведения потребителя, который стремится
оптимальным образом распределить свое благосостояние между безрисковым активом и
рискованной покупкой неликвидного товара. Риск порожден трудностью или даже
невозможностью продать или купить товар в произвольный момент времени. Это моделируется
предположением, что неликвидный товар может торговаться в случайные дискретные моменты
времени. Предполагается, что покупатель получает полезность, связанную с объемом имеющегося
товара. Представлена и проанализирована стохастическая оптимизационная модель поведения
торгующего товаром потребителя. Исследовано оптимальное поведение потребителя. Это
описание применено к модели рынка с большим числом торговцев.
Введение
Целью данной работы является исследование поведения рацонального агента на рынке
неликвидного товара длительного пользования. Товар длительного пользования неликвиден в том
смысле, что он может быть продан или куплен не в произвольный момент времени, а только в
некоторые, возможно, случайные, моменты времени. Другой причиной неликвидности могут быть
транзакционные издержки, связанные с покупкой или продажей товара. Этот случай был
рассмотрен в известной статье [1]. В ней рациональный агент принимает решения о том, каким
образом перераспределять свое благосостояние между вложением в безрисковые или рискованные
активы и покупкой товара длительного пользования, а также моментом совершения этой покупки.
Момент покупки может быть выбран произвольным образом. Однако в присутствии
транзакционных издержек при торговле товаром длительного пользования, агент ждет наиболее
выгодного момента для торговли. Авторы [1] отмечают, что для лучшего соответствия реальности,
модель должна учесть такую осбенность торговли товарами длительного пользования, как
случайность возможных моментов сделок.
В данной работе мы концентрируемся на неликвидности, связанной с моментами сделок и
пока исключаем транзакционные издержки из рассмотрения. Мы немного отходим от привычных
для портфельной теории рамок моделей CAPM или CCAPM, учитывающих возможность
вкладывать средства в рискованные активы. В представленной здесь модели отсутствует риск
непредвиденного изменения цен на какие-либо товары и активы. Траектории всех цен здесь
известны заранее. Однако, для каждого отдельного агента на рынке присутствует риск, что сделка
в нужный момент будет невозможна и придется ждать подходящего предложения. Мы
предполагаем, что моменты возможных сделок имеют пуассоновское распределение, как если бы
каждый агент ожидал встречи с контрагентом для совершения сделки купли или продажи.
Основная часть работы посвящена решению задачи одного агента, где строго выводятся
достаточные условия отпимальности и доказывается их выполнимость для данной задачи. Также,
кратко рассматривается результат исследования рановесия на рынке недвижимости. Показано,
что динамика цены может иметь форму «пузыря», несмотря на то, что в рамках модели все агенты
этот пузырь предвидят совершенно точно и по срокам и по размерам.
Модель поведения потребителя
Рассмотрим потребителя, который получает доход в виде процента по сбережениям и от продажи
недвижимости, а расходует его на покупку новой недвижимости и обслуживание имеющейся.
Особенность описания рынка недвижимости в модели состоит в предположении о его неполной
ликвидности. Агент не всегда может сразу продать то, что он имеет или найти подходящую
покупку. Ему приходится ждать момента, когда он может осуществить сделку. Других
особенностей рынка ликвидности – разнокачественность и ограниченная неделимость, большие
транзакционные издержки и т. п. – мы здесь не учитываем.
Опишем поведение агента формально. Объем сделки по торговле недвижимости, совершенной
агентом в момент t обозначаем M (t ) . При M  0 это покупка, а при M  0 продажа
недвижимости. В этот момент объем недвижимости агента N(t ) скачком меняется на величину
M (t ) , а сбережения S(t ) опять-таки скачком изменяются на величину  p(t )M (t ) . Здесь p(t ) –
текущая цена недвижимости. Функция p(t ) предполагается неслучайной, настолько гладкой,
насколько потребуется, отделенной от 0 и не слишком быстро растущей при t   .
p(t )  pm  0 ,
p(t )
 ,   0.
p(t )
Мы рассматриваем модель в рамках принципа рациональных ожиданий и считаем, что агент знает
правильный прогноз этой цены на все будущее время. Остальные цены, которые появятся в
модели, считаются постоянными.
В промежутках между сделками недвижимость не изменяется, а сбережения растут за счет
непрерывного начисления процента по фиксированной ставке  . Кроме того, считаем, что
содержание недвижимости требует непрерывных расходов q N  t  .
В рамках модели агент выбирает только величину M (t ) – величину покупки / продажи если t –
возможный момент сделки. Если считать, что время ожидания следующей сделки не зависит от
S(t ) и N(t ) и того, сколько эту сделку уже ждали, то можно считать, что моменты сделок
образуют пуассоновский поток (t ) с частотой  . Этот процесс имеет кусочно-постоянные
реализации, которые мы будем считать непрерывными слева. Ассоциированный с процессом
() поток сигма-алгебр обозначаем через { t }t0 , а естественную меру на { t }t0 – через  .
Все встречающиеся ниже ожидания являются интегралами именно по этой мере.
Назовем неупреждающим управлением M (t ) 
1
процесс, измеримый относительно { t }t0 с
непрерывными слева реализациями, ограниченными на каждом конечном интервале.


M (t )  M (t  0) , M (t )  E M (t ) t ,  
Теперь динамику состояния агента S (t ) , N (t ) можно описать стохастическими
дифференциальными уравнениями
dN (t )  M (t ) d (t ) ,
dS (t )   S (t ) dt  q N (t ) dt  p(t ) M t  d (t ) ,
t   0,   , S (0)  S0 , N (0)  N0 .
В качестве решений этих уравнений мы снова рассматриваем непрерывные слева случайные
функции N(t ) и S(t ) . Из такого построения очевидно следует, что S (t ) , N (t ) будут
неупреждающими процессами.




N (t )  N (t  0) , N (t )  E N (t ) t ,   , S (t )  S (t  0) , S (t )  E S (t ) t ,   .
Процесс изменения количества сбережений и недвижимости можно реализовать и непрерывными
справа функциями. Все зависит от того, как определить значения на разрыве для исходного
«генератора случайности» – кусочно-постоянной функции   t  . Содержательно эти процессы
отвечают разным условиям информированности агента: Процесс, непрерывный слева, который мы
и будем изучать, соответствует ситуации, когда агент выставляет объявлении о продаже или
покупке недвижимости (возможно, меняя условия каждый день), но когда появляется контрагент,
сделка заключается согласно объявлению. Так происходят, например, сделки на бирже,
работающей по правилу двойного аукциона. В случае процесса, непрерывного справа объявление
играет роль рекламы, а определение объема сделки происходит по факту появления контрагента.
Более наглядно эта разница проявляется при традиционном подходе к решению задачи
стохастического оптимального управления методом динамического программирования. Процессу
непрерывному справа соответствует уравнение Беллмана с усреднением максимального значения,
а процессу непрерывному слева – уравнение с максимизацией условного среднего. Собственно и
приводимые ниже результаты исследования модели были первоначально получены из уравнения
Беллмана. Однако если доказать существование единственного непрерывного решения уравнения
Беллмана для рассматриваемой задачи сравнительно несложно, то обосновать корректность его
асимптотического разложения при большой частоте сделок, как всегда, очень затруднительно.
Поэтому мы избрали здесь несколько необычный подход на основе достаточных условий
оптимальности.
Процесс непрерывный справа (с торгом по факту сделки) содержательно может показаться более
реалистичным и такой подход широко распространен в моделировании скачкообразных
процессов. Однако, при увеличении частоты продаж такое описание приводит к тривиальной и
нереалистичной динамике детерминированной задачи. В то же время процесс непрерывный слева
имеет при увеличении частоты продаж нетривиальный предел, который мы и предлагаем
рассматривать как модель рынка недвижимости.
Задача потребителя
Считаем, что интересы потребителя заключается в максимизации ожидаемой полезности от
 U  N   e d . Мы рассматриваем случай полезности с
обладания недвижимостью E


0
постоянным относительным отвращением к риску (CRRA), в частности, логарифмической
полезности. Ее выражение имеет следующий вид
N a 1
U (N ) =
, a   0,1 .
a
Такая функция полезности часто встречается в анализе финансовых рынков и формирования
оптимального портфеля (непример, классические работы Каратцаса и Мертона). Эта задача
исследована с применением достаточных условий оптимальности в форме Лагранжа.
Равновесие рынка недвижимости в случае логарифмической полезности и большой
частоты сделок
Полученное решение задачи отдельного экономического агента применяется к моделированию
рынка недвижимости в целом. Получено приближенное выражение для оптимальной стратегии
агента в случае логарифмической полезности и большой частоты сделок. В предельном случае
стратегия очень просто выражается через состояние и допускает агрегирование для большого
числа разнотипных независимых потребителей. Полученное выражение имеет вид
1

d


s(t )  


W
N  M  X (t ,W ) 
min   t ,   ,1 ,   t ,     max 0,   dt
 .
s
(
t
)
s(t )


 



На основе найденной оптимальной стратегии покупки вводится описание групп однородных
агентов. Предполагается, что имеется много агентов с одним и тем же предпочтением времени 
(и одной и той же функцией полезности), примерно одинаковыми начальными значениями
сбережений и недвижимости, а также независимыми потоками моментов сделок с одной и той же
частотой  . Согласно оптимальной стратегии поведения все они будут действовать одинаково.
Такую совокупность агентов называем макроагентом. Сбережения, недвижимость и покупки
макроагента суть суммы соответствующих величин по отдельным (микро)агентам, составляющим
макроагента. А поскольку это суммы независимых величин одного порядка, по закону больших
чисел при достаточно большом числе (микро)агентов, их можно считать детерминированными
величинами равными своим средним значениям. В дальнейшем мы будем использовать только
средние значения, а не реализации. Наконец, поскольку уравнения динамики благосостояния и
количества недвижимости линейны, мы получаем для суммарных показателей макроагента
уравнения того же вида.
Анализ макроагентов можно распространить и на множество неоднородных торговцев. В этом
случае предполагается, что совокупность участников рынка распадается на группы, которые
можно считать макроагентами. Считаем, что агентов (макро) на рынке тоже много. Они могут
различаться величиной предпочтения времени (при одной и той же функции полезности). Из
анализа модели следует, что оптимальные стратегии агента существенно различаются в
зависимости от параметра предпочтения времени. Агенты первого класса (с небольшими
значениями параметра предпочтения времени) ведут себя как стандартные потребители. Они
диверсифицируют распределение своего богатства между вложениями в полезный актив и
вложениями в доходный актив. Агенты второго класса (с большими значениями параметра
предпочтения времени) ведут себя как спекулянты. Они вкладывают все доступные средства в
недвижимость.
Основное наше предположение относительно рынка состоит в том, что цена недвижимости p(t )
в каждый момент времени выравнивает спрос и предложение на эту недвижимость.
Спрос агентов на недвижимость складывается из суммы величин покупок по всем агентам.
Предложение недвижимости в модели складывается из двух частей: предложения продаваемой
агентами уже имеющейся у них недвижимости (вторичный рынок) и предложения новой
недвижимости производителями (первичный рынок), которое растет с постоянным темпом. Из
равенства спроса и предложения с учетом динамики сбережений и количества недвижимости
получаем условие равновесия рынка в виде. Траектория равновесной цены определяется из
условия равновесия. В некоторых случаях траектория цены может иметь вид, характерный для
рынка недвижимости, так называемый «пузырь».
Важно подчеркнуть, что в рамках данной модели «пузырь» цены является разумным
компромиссом (конкурентным рыночным равновесием) между рациональными агентами,
предвидящими такую динамику.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научных проектов №№ 1101-00644, 11-01-12136-офи-м-2011, 12-01-00916-а (2011-2012), 12-01-31333, 12-01-31189; при
финансовой поддержке РГНФ в рамках научно-исследовательского проекта РГНФ («Построение
многопродуктовой макроэкономической модели на основе дезагрегирования финансовых
балансов»), проект №11-02-00241а; ПФИ ОМН РАН №3, проект 3.14; ПФИ Президиум РАН №14,
проект 109. Исследование осуществлено в рамках программы фундаментальных исследований
НИУ ВШЭ в 20.. году. Расчеты выполнены на суперкомпьютере МВС-100К МСЦ РАН.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 Grossman S.J., Laroque Guy Asset Pricing and Optimal Portfolio Choice in the Presence of
Illiquid Durable Consumption Goods // Econometrica. – 1990. V. 58. P. 25-51.