ТЕМА 12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

ТЕМА 12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Термин «Электромагнитные колебания» объединяет явления двух
видов. Прежде всего, электромагнитными колебаниями (ЭМК) принято
называть изменения по закону синуса или косинуса силы тока, напряжения и
электрического заряда на различных элементах в цепях с переменным
синусоидальным током. Такой ток создает в окружающей среде переменное
магнитное поле, которое, как уже отмечалось, порождает вихревое
электрическое поле. В свою очередь, вихревое электрическое поле создает
переменное магнитное поле, и т.д. Переменные поля, взаимно порождающие
друг друга, также называются электромагнитными колебаниями. Опыт
показывает, что они не локализованы в том месте, где находится
электрическая цепь, но распространяются в виде электромагнитной волны со
скоростью 3 108 м/с (в вакууме) даже после выключения тока в цепи. Следуя
такой классификации, вначале мы познакомимся с электромагнитными
колебаниями в цепи, а затем перейдем к электромагнитным волнам. По
аналогии с механическими колебаниями прежде будут рассмотрены
свободные ЭМК, а затем затухающие и вынужденные колебания.
12.1. Свободные электромагнитные колебания
Простейшая цепь, в которой возникают свободные электромагнитные
колебания, называется колебательным контуром. Он состоит из конденсатора
и катушки индуктивности, соединенных параллельно. Если конденсатор
предварительно зарядить и замкнуть цепь, то вследствие самоиндукции ток
будет постепенно увеличиваться до тех пор, пока конденсатор не разрядится.
После этого ток станет постепенно уменьшаться при неизменном
направлении, в результате чего конденсатор вновь зарядится, но с
противоположной полярностью. Далее процесс повторится с той лишь
разницей, что направление тока будет противоположным. В результате этого
конденсатор вновь зарядится с первоначальной полярностью, т.е. одно
полное колебание завершится.
Для составления дифференциального уравнения электромагнитных
колебаний напишем обобщенный закон Ома для цепи 1  L  2 (рис. 12.1):
IR  1   2    . Если учесть, что
dI
    L dt , 
1
 2  
q
(q  0), R  0
С
(колебания незатухающие), получим:

q
dI
d 2q q
d 2q
1
L
0 L 2  0 2 
q 0.
C
dt
C
LC
dt
dt
Если ввести обозначение 1 / LC  0 2 , придем к уравнению, аналогичному
дифференциальному уравнению свободных механических колебаний:
1

С
1
L
 2
Рис. 12.1
d 2q
2
 0 q  0 .
2
dt
Его решением является функция q  q0 sin( 0 t   0 ) , где q 0 – максимальный
заряд,  0 – начальная фаза. Поскольку напряжение на конденсаторе U  q / C ,
U  U 0 sin( 0 t   0 ) , где U 0  q0 / C (максимальное напряжение). Так как
I  dq / dt , имеем:


I   0 q 0 cos( 0 t   0 )  I 0 sin   0 t   0   ,
2

где I 0   0 q0 – максимальная сила тока. Отсюда следует, что ток в
колебательном контуре опережает напряжение на конденсаторе на четверть
периода.
Преобразуем равенство I 0   0 q0 :
1 / LC   0   0 
2
Поскольку q0 / C  U 0 , то I 0 
1
LC
U0
L
C
, I0 
q0
L C

q0
L
C
C

q0
L
C
C
.
. Легко видеть, что последнее равенство
напоминает закон Ома для однородного участка цепи. Поэтому величина
L / C , которая имеет размерность 1 Ом, называется волновым
сопротивлением контура (забегая вперед, можно сказать, что волновое
сопротивление принципиально отличается от активного тем, что на
волновом сопротивлении не выделяется тепло).
В колебательном контуре происходят периодические изменения
энергии электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки
индуктивности с частотой, равной удвоенной частоте колебаний:
q 2 q 0 sin 2 ( 0 t   0 )
LI 2 LI 0 cos 2 ( 0 t   0 )
WC 


, WL 
.
2C
2C
2
2
2
2
Можно показать, что изменения энергии магнитного поля катушки
опережают по фазе на половину периода изменения энергии конденсатора.
Это означает, что если энергия магнитного поля максимальна, энергия
электрического поля равна нулю, и наоборот. Легко видеть также, что
суммарная энергия электрического и магнитного поля в любой момент
времени одинакова. Это вполне понятно, поскольку речь идет об
2
электромагнитных колебаниях в контуре с нулевым электрическим
сопротивлением, т.е. о незатухающих колебаниях.
12.2 Затухающие электромагнитные колебания
Учтем, что проводники колебательного контура обладают
электрическим сопротивлением, на которых выделяется теплота ДжоуляЛенца. Для этого введем в схему контура на рис. 12.1 резистор
сопротивлением R и запишем обобщенный закон Ома:
IR  1   2    .
В результате преобразований, аналогичных уже проведенным выше для
свободных колебаний, придем к уравнению:
IR 
q
dI
d 2q
dq q
d 2 q R dq
1
L
0 L 2 R
 0 2 

q  0.
C
dt
dt C
L dt LC
dt
dt
Используя обозначения
R
1
2
 2 ,
  0 , получим линейное однородное
L
LC
уравнение второго порядка:
d 2q
dq
2
 2
 0 q  0 .
2
dt
dt
Легко видеть, что это уравнение аналогично уравнению затухающих
механических колебаний. Если электрическое сопротивление колебательного
контура невелико, т.е.   0 , его решением является функция
q  q 0 e  t cos(t   0 ) .
(12.1)
Здесь q o – максимальный заряд конденсатора,    0 2   2 – частота
затухающих колебаний (понятно, что   0 ). Поскольку q / C  U , найдем
напряжение на конденсаторе:
U
q0
q
cos(t   0 ); 0  U 0 , U  U 0 cos(t   0 ) .
C
C
Производная функции (12.1) по времени дает зависимость от времени силы
тока в контуре:
I  q 0 e  t   cos(t   0 )   sin( t   0 )  .
Умножив правую часть на дробь
0
2   2
 1,
получим:




I   0 q 0 e  t  
cos(t   0 ) 
sin( t   0 )  .


2   2
2   2


Поскольку
3
2




2   2

будем полагать, что


 
2
2
 

 
  2   2
 
 соs ,
2

  1,



 2
2
 sin  .
С учетом этого имеем:
I   0 q0 e  t cos(t     0 );  0 q0  I 0 , I  I 0 e  t cos(t     0 ) .
Поскольку sin   0, cos   0, значение параметра  находится во второй
четверти: 0     . Графики зависимости от времени величины заряда,
напряжения и силы тока аналогичны соответствующим графикам в случае
затухающих механических колебаний.
Затухание электромагнитных колебаний характеризуется временем
релаксации, логарифмическим декрементом и добротностью. Временем
релаксации называется временной промежуток, в течение которого
амплитуда заряда конденсатора уменьшается в e раз:
q0
1
 e   .
 

q0 e
Логарифмический декремент затухания – это натуральный логарифм
отношения заряда конденсатора в момент времени t и спустя период:
  ln
q(t )
.
q(t  T )
Можно показать, что   T . Поскольку   R / 2 L, T  2 /  ,  
R
.
L
Если затухание невелико (   0 ), то
  0 
1
LC
, 
R LC
L

R
L
С
.
Следовательно, значение логарифмического декремента затухания
определяется отношением активного и волнового сопротивления контура.
Если R  0 , то и   0 ; это значит, что волновое сопротивление не вызывает
затухания. Добротность колебательного контура:
Q  2
W
W
(здесь W – энергия электромагнитных колебаний в определенный момент
времени, W – уменьшение энергии за один период). Ранее было показано,
что в случае механических колебаний Q   /  . Поскольку   R / L , для
слабого затухания (   1 / LC ) Q 
1 L
. В случае сильного затухания,
R C
когда   0 , вместо электромагнитных колебаний происходит т.н.
апериодический разряд конденсатора. Сопротивление колебательного
контура, при котором такой процесс имеет место, называется критическим;
оно находится из условия   0 :
4
RK
1
L
.

 RK  2
2L
C
LC
График зависимости q  q (t ) в случае апериодического разряда приведен на
рис. 12.2.
q
О
t
Рис. 12.2
12.3. Вынужденные электромагнитные колебания
Для получения вынужденных электромагнитных колебаний в контур,
схема которого приведена на рис. 12.1, необходимо включить источник тока,
э.д.с. которого изменяется по гармоническому закону. В этом случае
обобщенный закон Ома имеет вид:
IR  1   2   si   (t ) .
Учитывая, что
1   2  
q
dI
,  si   L ,
C
dt
имеем:
d 2 q R dq
1
1


q   (t ) .
2
L dt LC
L
dt
Обозначив R / L  2 , 1/ LC  0 2 , получим:
d 2q
dq
1
2
 2
  0 q   (t )
2
dt
L
dt
Ранее, рассматривая вынужденные механические колебания, мы
пришли к выводу, что в начальный короткий промежуток времени (т.н.
переходный период) вынужденные колебания происходят с частотой
собственных затухающих колебаний. Далее колебания происходят с частотой
внешней вынуждающей силы (такие колебания называются
установившимися). Аналогично, если э.д.с. в контуре изменяется по
гармоническому закону    0 cos t , то установившиеся электромагнитные
колебания происходят с частотой  . В частности, заряд на обкладках
конденсатора изменяется по закону
q  q0 cost    ,
(12.2)
5
где  – смещение по фазе изменений заряда и э.д.с. Численные значения
величин q 0 и  находятся по формулам, аналогичным соответствующим
формулам для вынужденных механических колебаний:
q0 

0
L 0  
2

2 2
 4 2  2
, tg 
2
.
0 2   2
(12.2А)
Учитывая, что R / L  2 , 1/ LC  0 2 , в результате тождественных
преобразований имеем:
q0 
0
1 

 R 2   L 

C 

2
, tg 
R
1
L 
C
.
(12.3)
0
 q0   0 C , т.е. заряд
0 2 L
на обкладках конденсатора имеет максимальное значение. Если же    ,
то q0  0,    . В случае, когда   0 ,
Из 12.2А) видно, что если   0 , то   0, q0 
q0 
0

 0
0 R R
C

,  .
2
L
Зависимость q0  q0 () имеет резонансный характер, значение резонансной
частоты определяется условием минимума подкоренного выражения в
равенстве (12.2А):  р  0 2  2 2 . График зависимости    () аналогичен
соответствующему графику для механических колебаний.
Продифференцировав по времени равенство (12.2), найдем силу тока в
контуре:


I  q 0 sin( t   )  q 0 cos t     .
2

С учетом формулы (12.3) имеем:
q 0  I 0 
0


, I  I 0 cos t     .
2

1 

R 2   L 

C 

2
(12.4)
Зависимость I 0  I 0 () имеет резонансный характер; ее график аналогичен
графику зависимости от частоты амплитуды механических колебаний.
Далее найдем напряжение на элементах колебательного контура:
q q


U R  IR  I 0 R cos t     , U C   0 cos(t   ) .
2
C C

Напряжение на клеммах катушки индуктивности следует из закона Ома:
IR L  U L  L
dI
.
dt
dI
. Поэтому
dt

dI
 

UL  L
 L  I 0  sin  t       LI 0  cost      .
dt
2 


Если полагать RL  0 , то U L  L
6
Следовательно, напряжение на активном сопротивлении изменяется в фазе с
током, напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на  / 2 ,
напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на  / 2 .
В результате элементарных преобразований имеем:
U 0C 
q0 q0 
1
.

 I0 
C C
C
Поскольку это равенство формально соответствует закону Ома, а
размерность произведения 1/ С равна 1Ω, физическую величину 1 / С
принято называть емкостным сопротивлением:
1
 XC .
C
(12.5)
Аналогично, амплитудное напряжение на катушке: U 0 L  q0   L  I 0  L .
Поскольку размерность произведения L также 1 Ω, его принято называть
индуктивным сопротивлением:
(12.6)
L  X L .
Используя обозначения (12.5) и (12.6), имеем:
I0 
0
R 2  X L  X C 
2
0

R2  X 2
, tg 
R
.
X
Опыт показывает, что на индуктивном и емкостном сопротивлении не
выделяется теплота. Поэтому величины X L и X C называются реактивными
сопротивлениями, R 2  X 2  Z – полным сопротивлением цепи переменного
тока. При электрическом резонансе, когда   0 и X L  X C , полное
сопротивление становится минимальным, а сила тока имеем максимальное
значение. Если же в колебательном контуре действует несколько э.д.с. с
различными частотами, т.е.     0i cos  i t , ток в цепи будет состоять из
i
синусоидальных токов с такими же частотами: I   I 0i cos( i t   i ) .
i
Вследствие электрического резонанса колебательный контур сильнее всего
реагирует на составляющую э.д.с, частота которой наиболее близка к частоте
собственных колебаний. Поэтому ток в контуре будет определяться именно
этой составляющей. На этом явлении основано действие всех
радиоприемных устройств, неотъемлимой частью которых является
колебательный контур с конденсатором переменной емкости. Вращая ручку
настройки, мы тем самым подстраиваем частоту собственных колебаний
контура к частоте электромагнитной волны, попадающей на приемную
антенну.
Работа переменного тока на участке цепи за элементарный промежуток
времени dt : dA  Udq. Поскольку U  IR, dq  Idt , dA  I 2 Rdt . Работа за
промежуток времени  выражается определенным интегралом:

A   I 2 Rdt .
0
7
На практике для характеристики работы переменного тока
используется т.н. действующее значение силы тока – сила такого
постоянного тока, который один и тот же промежуток времени выделяет
такое же количество теплоты, что и переменный ток. Для промежутка
времени, равного периоду тока, имеем:
T
T
1 2
I Д RT  R  I dt  I Д 
I dt .
T 0
0
2
2
Можно показать, что если сила тока изменяется по гармоническому закону,
то I Д  I 0 / 2 . Аналогично, действующее значение напряжения на участке
цепи: U Д  U 0 / 2 . Среднее за период значение мгновенной мощности
переменного тока называется активной мощностью:
T
P
1
IUdt  I ДU Д cos  .
T 0
Здесь  – разность фаз изменений напряжения и тока, величина cos 
называется коэффициентом мощности электрической цепи.
8