Производная функции в точке

§ Производная функции в точке
Определение
приращения
аргумента x
Приращением аргумента x функции y  f (x )
называется разность между значением аргумента
в точке x  x 0 и любой другой точке из некоторой
окрестности точки x 0 : x  x  x 0 , x U  ( x 0 ) .
Определение
y
приращения
функции y  f (x )
y  f (x ) ,
y
Приращением
функции
соответствующим приращению аргумента x в
точке
x  x 0 называется разность между
значением функции в точке x  x 0  x и в точке
x  x 0 : y  f ( x 0  x )  f ( x 0 ) .
Определение
Пусть функция y  f (x ) определена в некоторой
производной
окрестности точки x  x 0 . Предел отношения
функции y  f (x ) в
приращения  y функции в этой точке (если он
точке x  x 0
существует) к приращению x аргумента, когда
x  0 , называется производной функции
y  f (x ) в точке x  x 0 .
Обозначается производная y  f (x ) в точке
x  x 0 одним из следующих способов:
f / ( x 0 ) , или y / ( x 0 ) , или
df ( x 0 )
,
dx
f
/
x  x0
.
Таким образом,
f ( x 0  x )  f ( x 0 )
y
.
f / ( x 0 )  lim
 lim
x 0 x
x 0
x
Таблица эквивалентных бесконечно малых функций
( x)  0 при х  а
a(x) 1~(x)ln a
e(x) 1~(x)
loga(1+(x))~  ( x)
1
2
3
sin (x)~(х)
tg (x)~(x)
arcsin (x)~(x)
6
6а
7
4
5
arctg (x)~(x)
7а
ln(1+(x))~(x)
8 (1+(x)) 1~ (x)
1cos (x)~ ( ( x))
2
2
ln a
§ Дифференциал функции в точке
Определение
дифференцируемой
в точке функции
Пусть функция y  f (x ) определена в некоторой
окрестности точки x 0 . Если приращение  y
функции y  f (x ) можно представить в виде
y  A  x   ( x )  x ,
где A – постоянное число в точке x 0 ;
 ( x ) - бесконечно малая функция при x  0 ,
то функция y  f (x ) называется дифференцируемой
в точке x 0 .
Определение
дифференциала
функции
Главная часть приращения  y дифференцируемой в
точке x 0 функции y  f (x ) , то есть
A  x
называется дифференциалом функции в точке x 0 и
обозначается dy или df ( x 0 ) :
dy  df ( x0 )  A  x .
Замечание. Если
y  x , то dy  dx  x .
Теорема о связи Функция y  f (x ) дифференцируема в точке
функции, имеющей x тогда и только тогда, когда в этой точке
0
производную,
и
/
дифференцируемой существует конечная производная f ( x 0 ) , при этом
в точке
A  f / ( x0 ) .
Следовательно,
dy  df ( x0 )  f / ( x0 )  dx .
Геометрический
смысл
дифференциала
Дифференциал функции в точке x 0 равен
приращению ординаты касательной, проведенной к
графику функции в этой точке, соответствующему
приращению аргумента x
Теорема
Если функция дифференцируема в точке x 0 , то она
о непрерывности и непрерывна в этой точке.
дифференцируемой
функции
§ Уравнения касательной и нормали
к графику функции
Определение
Касательной к графику функции в точке M 0 ( x 0 , y 0 )
касательной
к называют
предельное
положение
секущей,
графику функции
соединяющей точки M 0 ( x 0 , y 0 ) и M ( x, y ) графика,
при стремлении точки M к точке M 0 по графику.
Геометрический
Производная функции y  f (x ) в точке x 0 равна
смысл производной тангенсу угла, образованного касательной к графику
функции в этой точке и положительным
направлением оси Ox :
y / ( x 0 )  tg ,
где  - угол между касательной к графику функции
в точке x 0 и положительным направлением оси Ox .
Уравнение
касательной
Пусть
функция
производную
y  f (x )
в
точке
x0
имеет
y / ( x 0 )  tg . Тогда в точке
M 0 ( x 0 , y 0 ) существует касательная к графику этой
функции, уравнение которой:
y  y 0  f / ( x 0 )( x  x 0 ) .
Определение
нормали
Прямая линия, проходящая через точку касания,
перпендикулярно
касательной,
называется
нормалью к кривой.
Уравнение
нормали
Пусть
функция
y  f (x )
в
y / ( x 0 )  tg .
производную
точке
x0
имеет
Тогда
в
точке
M 0 ( x 0 , y 0 ) существует нормаль к графику этой
функции, уравнение которой:
y  y0  
1
( x  x0 ) .
f ( x0 )
/
f / ( x0 )  0
Если
(то
есть
касательная
горизонтальна), то нормаль вертикальна и имеет
уравнение x  x 0 .
Угол
между Пусть даны две пересекающиеся в точке M 0 ( x 0 , y 0 )
линиями в точке кривые y  f ( x) и y  f ( x) , причем обе функции
1
2
их пересечения
имеют производные в точке x 0 . Тогда углом между
этими
кривыми
называется
угол
между
касательными к ним, проведенными в точке
M 0 ( x0 , y0 ) .
Этот угол  можно найти из формулы:
f 2/ ( x 0 )  f 1/ ( x 0 )
tg 
.
1  f 1/ ( x 0 )  f 2/ ( x 0 )
§ Основные правила
дифференцирования функций
Основные правила Пусть с – константа, а u(x ) и v (x ) имеют
дифференцировапроизводные в некоторой точке x. Тогда функции
ния функций
u( x )
u( x )  v ( x ) , c  u ( x ) , u ( x )  v ( x ) и
(где
v( x )
v ( x )  0 ) также имеют производные в этой точке,
причем
1. (u  v ) /  u /  v / - производная суммы функций
2.
3.
4.
5.
равна сумме производных этих функций;
производная
(u  v ) /  u /  v  u  v /
произведения
функций
равна
сумме
произведений производной первой функции на
вторую и первой функции на производную
второй;
u
1
( )/   u/
постоянный
(сu ) /  cu / ,
c
c
множитель выносят за знак производной;
u
u / v  uv /
- производная отношения двух
( )/ 
v
v2
функций (частного) равна отношению разности
произведений производной числителя на
знаменатель и числителя на производную
знаменателя к квадрату знаменателя;
пусть функция y  F (u ) имеет производную в
точке u 0 , а функция u   (x ) - в точке
u0   ( x0 ) .
Тогда
сложная
функция
y  F (u ( x )) также имеет производную в точке
x 0 , причем
y / ( x 0 )  Fu/ (u 0 )  u x/ ( x 0 )
- производная
сложной функции равна производной этой функции
по промежуточному аргументу u, умноженной на
производную от промежуточного аргумента u по
основному аргументу x.
Теорема
Если функция y  f (x ) непрерывна и строго
о
производной монотонна в некоторой окрестности точки x и
0
обратной функции
дифференцируема в этой точке, то обратная
функция x  f 1 ( y) имеет производную в точке
y0  f ( x0 ) , причем
df 1 ( y0 )
1

.
df ( x0 )
dy
dx
Теорема
Если функция y  f (x ) задана параметрически
о
производной дифференцируемыми в точке t
функциями
0
параметрически
 x  x(t )
заданной функции
, причем одна из них, например,

 y  y (t )
x(t ) непрерывна и строго монотонна в некоторой
x / (t0 )  0 .
t0 и
окрестности
точки
Тогда
y x/ ( x0 ) 
yt/ (t0 )
.
xt/ (t0 )
§ Производные и дифференциалы
высших порядков
Определение
производной
второго порядка
Производная от функции f / ( x ) (производной
первого порядка) называется производной второго
порядка от функции f ( x ) (или второй производной)
и обозначается f // ( x ) .
x
1
x 1 1
x
y /  (ln sin ) / 
cos   ctg ;
x
4
4 4 4
4
sin
4
1
x
1
1
1
y //  ( ctg ) /  
 
x 4
x
4
4
4 sin 2
16 sin 2
4
4
Определение
производной
n– го порядка
Производная от функции f ( n1) ( x ) (производной энминус первого порядка) называется производной
энного порядка от функции f ( x ) (или энной
производной) и обозначается
f ( n ) ( x) .
y (5)  (34 x ) (5)  4 5 (ln 3) 5 34 x ,
поскольку при каждом последовательном дифференцировании добавляется сомножитель
4 ln 3 .
Производная второго порядка функции, заданной
Производная
высших порядков
 y  y (t ); , может быть
параметрически
уравнениями
 x  x (t )
параметрически

заданной
( y x/ ) t/
функции
//
найдена по формуле: y xx 
,
/
xt
а производная энного порядка – по формуле:
y
(n)
x
( y x( n 1) ) t/

xt/
.
2

Найдем сначала производную первого порядка функции  y  3t ; .
 x  4t
/
y
6t 3
y x/  t/   t .
4 2
xt
//
Производная второго порядка данной функции равна y xx
3
3
( t ) t/
3
 2 /  2  .
4 8
( 4t ) t
ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ
1. (сonst ) /  0;
степенные функции
2. (u n ) /  n  u n 1  u / ;
2a. ( x ) /  1;
2b. (u 2 ) /  2  u  u / ;
1
1
2c. ( ) /   2  u / ;
u
u
1
2e. ( u ) / 
 u/;
2 u
m
m

1
m
n
n
( x x ;
x n)
m
n
x
показательные функции
3. (a u ) /  a u  ln a  u / ;
3a. (e u ) /  e u  u / ;
логарифмические функции
1
u/;
4. (log a u ) / 
u  ln a
4a. (ln u ) / 
1 /
u ;
u
a
 ln a  ln b; ln a n  n ln a )
b
тригонометрические функции
5. (sin u) /  cos u  u / ;
( ln
6. (cos u) /   sin u  u / ;
1
u/;
7. (tg u ) / 
2
cos u
1
8. ( ctg u ) /   2  u / ;
sin u
обратные тригонометрические функции
1
9. (arcsin u) / 
 u/;
2
1 u
1
10. (arccos u) /  
 u/ ;
2
1 u
1
 u/;
11. ( arctg u ) / 
2
1 u
1
 u/;
12. ( arcctg u ) /  
2
1 u
гиперболические функции
13. ( sh u) /  ch u  u / ;
14. (ch u) /  sh u  u / ;
1
 u/;
15. (th u ) / 
2
ch u
16. ( cth u ) /  
1
u/;
2
sh u
показательно – степенные функции
17. (u v ) /  u v  ln u  v /  v  u v 1  u / .
модуль функции
18. u  sgn u  u / , ( u  sgn u  u) ,
/
 1, u  0

где sgn u   1, u  0; – функция знак u
 0, u  0.
(сигнум u).
Правила дифференцирования
1. (сu ) /  c  u / ;
u
1
1a. ( ) /   u / ;
c
c
/
2. (u  v)  u /  v / ;
3. (u  v ) /  u /  v  u  v / ;
u
u/  v  u  v/
;
4. ( ) / 
v
v2
5. сложная функция
( F (u( x )) /  Fu/  u x/ ;
6. параметрически заданная функция
/
/ /
 x  x(t ),  y /  y t ; y //  ( y x ) t ;
 y  y (t )
x
xx
x t/
x t/

7.
неявно
заданная
функция
y  y (x ) уравнением
F ( x, y )  0;  чтобы найти производную
неявно
заданной
функции,
нужно
продифференцировать обе части уравнения
F ( x, y )  0, считая
y функцией от х и
применяя правило 5 дифференцирования
сложной функции;
8. логарифмическое дифференцирование
y  f ( x )  ln y  ln f ( x );
1 /
 y  (ln f ( x )) / .
y