Аннотация курса “Теория рассеяния для систем нескольких частиц” Направление 510400 “Физика” Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц является одним из основных средств описания процессов столкновений ядер, атомов, молекул и т.д. Элементы теории рассеяния для систем двух частиц являются частью стандартного курса квантовой механики. Целью представляемого курса является не только более глубокое изучение вопросов, относящихся к двухчастичной тематике, но и представление существенно более трудных результатов теории рассеяния для систем, содержащих три и более частиц. В частности, в настоящем курсе предусматривается изложение аппарата уравнений Фаддеева для системы трех частиц и уравнений Якубовского для системы четырех частиц. Цель изучения дисциплины: формирование у студентов, обучающихся по учебному плану кафедры теоретической физики, представления о основных методах описания процессов столкновений, упругого рассеяния и перестройки в системах нескольких квантовых частиц. Задачи курса: ознакомление студентов с основными концепциями и математическим аппаратом квантовой теории рассеяния, изучение ими основных закономерностей в процессах рассеяния квантовых частиц. Пререквизиты курса: необходимо знание основного курса квантовой механики, должны быть усвоены курсы линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений и теории функций комплексной перменной; знакомство с курсом уравнений математической физики желательно, но не обязательно; также желательно (но не обязательно) знание ряда элементов функционального анализа и теории операторов; предполагается, что все необходимые факты из теории самосопряженных операторов в гильбертовых пространствах будут сообщаться непосредственно при прохождении курса. 1 Программа курса “Теория рассеяния для систем нескольких частиц” Направление 510400 “Физика” 1. Физическая постановка задачи рассеяния. Нестационарный подход в теории рассеяния. Оператор эволюции и его свойства. Изменение векторов состояния во времени; приходящие и уходящие состояния. Волновые операторы и их свойства. Оператор рассеяния. Оператор рассеяния и матрица рассеяния в задаче двух частиц. 2. Стационарный постановка задачи рассеяния. Резольвента оператора Шредингера и ее основные свойства. Импульсное и координатное представления. T -матрица. Волновые функции непрерывного спектра в импульсном представлении как ядра волновых операторов. Оператор рассеяния и матрица рассеяния для системы двух частиц в рамках стационарного подхода. 3. Уравнение Липпмана-Швингера для двухчастичной T -матрицы и его свойства. Оптическая теорема. Аналитическое продолжение двухчастичной T -матрицы на нефизический лист энергии. Явные представления для двухчастичных T - и S-матриц на нефизическом листе. Связанные состояния и резонансы системы двух частиц как полюса и нули матрицы рассеяния на физическом листе. 4. Вероятность перехода в единицу времени; дифференциальное и полное сечения рассеяния в задаче двух частиц. Дифференциальное сечение рассеяния и T -матрица. Нормировка волновых функций непрерывного спектра. 5. Функция Грина для системы двух частиц в координатном представлении. Координатные асимптотики волновых функций рассеяния для системы двух частиц. 6. Рассеяние бесспиновых частиц в центральном поле. Парциальные разложения. Парциальные амплитуды рассеяния и S-матрица в базисе из собственных функций момента импульса. Представления S-матрицы для сферически-симметричного потенциала. Фазы рассеяния. Функция спектрального сдвига и формула Бирмана-Крейна. 7. Функция Йоста для ℓ = 0, ее аналитические свойства и связь с матрицей рассеяния. Функции Йоста для произвольных ℓ. Теорема Левинсона. Аналитические свойства функций Йоста и парциальных матрицы рассеяния на комплексной плоскости k. Движение связанных состояний и резонансов при изменении параметров потенциала. 8. Рассеяние частицы на короткодействующем потенциале при низких энергиях. Длина рассеяния. Приближение эффективного радиуса. Рассеяние медленных частиц на резонансном состоянии. Рассеяние на потенциалах нулевого радиуса и точечных потенциалах с внутренней структурой. Модель граничных условий и потенциал твердого кора. 9. Резонансное рассеяние медленных частиц с произвольным моментом импульса на сферически-симметричной прямоугольной потенциальной яме. 10. Рассеяние частицы на кулоновском потенциале. Параболические координаты. Парциальные волны. Рассеяние частицы на комбинации кулоновского и короткодействующего потенциалов. 2 11. Рассеяние частиц высокой энергии. Борновское приближение. 12. Квазиклассическое приближение в рассеянии на сферически-симметричных потенциалах. Квазиклассические особенности дифференциального сечения рассеяния: радужное рассеяние и глория. 13. Рассеяние в многоканальных системах с бинарными каналами. Многоканальные T матрица и матрицы рассеяния; амплитуды и сечения рассеяния. Риманова поверхность энергии в многоканальной задаче. Строение многоканальных T -матриц и матриц рассеяния на нефизических листах энергии. Связанные состояния и резонансы как полюса и нули матриц рассеяния на физическом листе. 14. Кинематика в системе трех частиц. Координаты и импульсы Якоби. Нефредгольмовость уравнений Липпмана-Швингера для T -матрицы и резольвенты в задаче трех частиц. Интегральные уравнения Фаддеева для компонент резольвенты. Интегральные уравнения Фаддеева для компонент T -матрицы. Строение T -матрицы и функции Грина для системы трех частиц с быстроубывающими взаимодействиями на основании анализа интегральных уравнений Фаддеева в импульсном представлении. Строение оператора и матрицы рассеяния. 15. Волновые функции непрерывного спектра для системы трех частиц в импульсном и координатном представлении. Метод эйконала в теории потенциального рассеяния. Аналогия между задачей рассеяния для системы нескольких частиц и задачей дифракции. Использование эйконалов при записи координатных асимптотик волновых функций рассеяния и функций Грина. Координатные асимптотики волновых функций рассеяния для процессов 2 → 2, 3 и 3 → 2, 3. Амплитуды и фазы упругого рассеяния, амплитуды перестройки и развала. 16. Дифференциальные уравнения Фаддеева для компонент волновой функции в координатном представлении. Координатные асимптотики для компонент Фаддеева волновых функций системы трех частиц и краевые задачи для дифференциальных уравнений Фаддеева. Краевые задачи для дифференциальных уравнений Фаддеева в случае потенциалов с твердым кором. Трехмерные дифференциальные уравнения Фаддеева в представлении полного момента. Система двумерных интегро-дифференциальных уравнений Фаддеева как результат разложения дифференциальных уравнений Фаддеева по бисферическому базису. 17. Универсальные закономерности в задаче трех квантовых частиц при ультранизких энергиях. Эффект Томаса для системы трех частиц с потенциалами нулевого радиуса. Эффект Ефимова для системы трех бозонов с бесконечными парными длинами рассеяния. Уравнения Скорнякова–Тер-Мартиросяна как специальный случай уравнений Фаддеева. Объяснение эффектов Ефимова и Томаса на основании уравнений Скорнякова–Тер-Мартиросяна. 18. Кинематика в системе четырех частиц. Относительные координаты и импульсы. Разбиения 3 + 1, 2 + 2, 2 + 1 + 1 и 1 + 1 + 1 + 1. Цепочки разбиений и определение компонент Якубовского волновых функций и резольвенты. Вывод дифференциальных уравнений Якубовского для системы четырех частиц. Краевые задачи для дифференциальных уравнений Якубовского в случае процессов с двумя кластерами в начальном состоянии. 3 Рекомендуемая литература 1. А. И. Базь, Я. Б. Зельдович, А.М.Переломов, Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике, М.: Наука, 1971. 2. В. Б. Беляев, Лекции по теории малочастичных систем, М.: Энергоатомиздат, 1986. 3. С. П. Меркурьв, Л. Д. Фаддеев, Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц, М.: Наука, 1985. 4. Р. Ньютон, Теория рассеяния волн и частиц, М.: Мир, 1969. 5. Дж. Тейлор. Теория рассеяния. Квантовая теория нерелятивистских столкновений, М.: Мир, 1975. 6. Л. Д. Фаддеев, О. А. Якубовский, Лекции по квантовой механике для студентовматематиков, Л.: Изд-во ЛГУ, 1980. 4