Лекция 3. Отношения на множествах. Свойства. Формула

Лекция 3. Отношения на множествах. Свойства.
Формула включений-исключений. Отношение
эквивалентности. Отношение частичного
порядка.
Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна
Лекции по “Дискретным моделям”.
Магистратура, 1-й курс,
факультет ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова
Лекции на сайте http://mathcyb.cs.msu.su
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Отношения
Для решения различных задач часто подходящими и удобными
являются отношения.
Отношение является базовым понятием в математике.
Некоторые виды отношений настолько важны, что они имеют
свои названия.
Такие отношения достаточно изучены и широко применяются в
приложениях.
Вспомним некоторые определения.
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Определение отношения
Пусть A – множество и h ≥ 1. h-арным отношением на
множестве A называют произвольное подмножество Ah .
Т.е. если R (h) ⊆ Ah , то R (h) является h-арным отношением на
множестве A.
При этом число h называется арностью (или местностью)
отношения.
Часто, когда из контекста понятна арность отношения, при его
обозначении верхний индекс опускают. Пишут: R – h-арное
отношение на множестве A.
Если h = 1, то отношение называется унарным, или
свойством.
Если h = 2, то отношение называется бинарным.
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Свойства
Как понятно из названия, унарными отношениями
описываются свойства объектов.
Если R – унарное отношение на множестве A, то любой
элемент множества A либо обладает свойством R, либо не
обладает свойством R.
Пример 3.1. 1. Если A – множество букв русского алфавита,
то подмножество R согласных букв является свойством на
множестве A.
Например, a ∈
/ R, c ∈ R, т.к. буква а не является согласной, а
буква с является согласной.
2. Если A – множество студентов факультета ВМК в 2013 г., то
подмножество R студентов 1-го курса магистратуры является
свойством на множестве A.
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Изучение свойств
Связанный со свойствами вопрос, который часто бывает важен:
если нам известно, сколько элементов множества A обладают
свойством R1 и сколько элементов множества A обладают
свойством R2 , то сколько элементов множества A обладают
свойством R, полученным теоретико-множественными
операциями из R1 и R2 ?
Например, пересечением R1 и R2 ; объединением R1 и R2 ;
разностью R1 и R2 ; и т.д.
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Пример о числе булевых функций
Относительно операции пересечения в общем случае ничего
сказать нельзя.
Для двух других операций верны свойства
|R1 ∪ R2 | = |R1 | + |R2 | − |R1 ∩ R2 |;
|R1 \ R2 | = |R1 | − |R1 ∩ R2 |.
Этими свойствами вы пользовалися в осеннем семестре при
подсчете числа булевых функций от n переменных в различных
классах.
Пример 3.2. Подсчитать число булевых функций от
переменных x1 , . . . , xn в множестве T0 ∪ L.
Решение.
n
n
|T0n ∪ Ln | = |T0n | + |Ln | − |T0n ∩ Ln | = 12 22 + 2n+1 − 2n = 12 22 + 2n .
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Пример о студентах
Но очень часто у нас не два исходных свойства, а больше.
Пример 3.3. При исследовании читательских интересов
студентов оказалось, что 60% студентов читают журнал А, 50%
– журнал В, 50% – журнал С, 30% – журналы А и В, 50% –
журналы А и С, 20% – журналы В и С, 20% – журналы А, В
и С.
Сколько процентов студентов не читают ни одного из журналов
A, B и C ?
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Пример о студентах (продолжение)
Переформулируем задачу с математической точки зрения.
Пусть A – множество студентов.
Введем свойства:
AA ⊆ A – студенты, которые читают журнал A,
AB ⊆ A – студенты, которые читают журнал B,
AC ⊆ A – студенты, которые читают журнал C .
Тогда математически вопрос формулируется так: найти число
элементов множества A \ (AA ∪ AB ∪ AC ).
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Формула включений-исключений
Метод решения подобных задач дает принцип
включений-исключений.
Теорема 3.1. Пусть A – конечное множество, и A1 , . . . , An ⊆ A
– свойства на нем.
Тогда
|A1 ∪ · · · ∪ An | =
n
X
r =1
(−1)r −1
X
|Ai1 ∩ · · · ∩ Air |.
1≤i1 <···<ir ≤n
Доказательство. Рассмотрим произвольный элемент a из
множества A1 ∪ · · · ∪ An .
Определим, сколько раз он будет подсчитан по формулам в
утверждении теоремы 3.1 в левой и правой частях.
В левой части он учитывается 1 раз.
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Формула включений-исключений
Доказательство (продолжение). Перейдем к правой части.
Если a ∈
/ Aij для некоторого индекса ij , то
a∈
/ Ai1 ∩ · · · ∩ Aij ∩ · · · ∩ Air . Поэтому в таких пересечениях он
не учитывается.
Пусть элемент a принадлежит в точности множествам
Ai1 , . . . , Aik . Тогда он будет содержаться во всех возможных
пересечениях из этих множеств и только в них.
Число самих множеств –
число их попарных пересечений –
число их пересечений по три –
...
число их пересечений по k –
k = Ck1 ;
Ck2 ;
Ck3 ;
1 = Ckk .
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Формула включений-исключений
Доказательство (продолжение).
Тогда по формуле в правой части элемент a подсчитается
(−1)0 Ck1 + (−1)1 Ck2 + · · · + (−1)k−1 Ckk раз.
Воспользуемся свойствами биномиальных коэффициентов
(теорема 2.3) и получим:
!
!
k
k
X
X
(−1)r −1 Ckr = −
(−1)r Cnr +1−1 =
r =1
r =1
=−
k
X
(−1)r Cnr
!
!
−1
= 1.
r =0
Следовательно, в правой части каждый такой элемент
учитывается тоже ровно 1 раз. Формула доказана.
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Решение задачи о студентах
Пример 3.3. При исследовании читательских интересов
студентов оказалось, что 60 % студентов читают журнал А, 50
% – журнал В, 50 % – журнал С, 30 % – журналы А и В, 50 %
– журналы А и С, 20 % – журналы В и С, 20 % – журналы А, В
и С. Сколько процентов студентов не читают ни одного из
журналов из A, B и C ?
Решение. По формуле включений-исключений получаем:
|AA | = 60; |AB | = |AC | = 50;
|AA ∩ AB | = 30; |AA ∩ AC | = 50; |AB ∩ AC | = 20;
|AA ∩ AB ∩ AC | = 20.
Тогда
|AA ∪ AB ∪ AC | = (60 + 50 + 50) − (30 + 50 + 20) + (20) =
160 − 100 + 20 = 80.
Т.е. хотя бы один журнал читают 80% студентов. А значит, ни
одного журнала не читают
|A \ (AA ∪ AB ∪ AC )| = 100% − 80% = 20% студентов.
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Продолжение задачи о студентах
Пример 3.3 (продолжение). В условиях этого примера можно
задавать другие вопросы.
Например, сколько процентов студентов читают не менее двух
журналов?
Или, сколько процентов студентов читают ровно два журнала?
Ответы на эти вопросы можно получить на основе следующих
теорем.
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Производные случаи формулы включений-исключений
Формула включений-исключений для числа элементов,
обладающих в точности m свойствами:
Теорема 3.2. Пусть A – конечное множество, и A1 , . . . , An ⊆ A
– свойства на нем.
Тогда число элементов множества A, обладающих в точности
m свойствами из свойств A1 , . . . , An , где 0 ≤ m ≤ n, можно
найти по формуле
n−m
X
r =0
(−1)r
X
m
Cm+r
|Ai1 ∩ · · · ∩ Aim+r |.
1≤i1 <···<im+r ≤n
Доказательство проведем аналогично теореме 3.1.
Рассмотрим произвольный элемент a, обладающий не менее
m свойствами из A1 , . . . , An .
Определим, сколько раз он будет подсчитан по формулам в
утверждении теоремы 3.2 в левой и правой частях.
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Формула включений-исключений
Доказательство (продолжение). В левой части он
учитывается 1 раз.
Перейдем к правой части.
Пусть элемент a принадлежит в точности множествам
Ai1 , . . . , Aik , причем k ≥ m (Почему?). Тогда он будет
содержаться во всех возможных пересечениях из этих
множеств и только в них.
Число их пересечений по m + 0 –
число их пересечений по m + 1 –
...
число их пересечений по m + (k − m) –
Ckm ;
Ckm+1 ;
m+(k−m)
1 = Ck
.
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Формула включений-исключений
Доказательство (продолжение). Тогда по формуле в правой
k−m
P
m C m+r раз.
части элемент a подсчитается
(−1)r Cm+r
k
r =0
Рассмотрим произведение
k!
(m + r )!
m
·
=
Cm+r
Ckm+r =
m!r !
(m + r )!(k − m − r )!
k!
(k − m)!
r
·
= Ckm · Ck−m
.
m!(k − m)! r !(k − m − r )!
Следовательно, применяя теорему 2.3, получаем:
k−m
k−m
X
X
1, k − m = 0;
m+r
r m
m
r r
(−1) Cm+r Ck
= Ck
(−1) Ck−m =
0, k − m ≥ 1.
=
r =0
r =0
Следовательно, в правой части элемент a учитывается ровно 1
раз в том случаее, когда он обладает в точности m
свойствами. В остальных случаях он не учитывается. Формула
доказана.
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Производные случаи формулы включений-исключений
Формула включений-исключений для числа элементов,
обладающих не менее m свойствами:
Теорема 3.3. Пусть A – конечное множество, и A1 , . . . , An ⊆ A
– свойства на нем.
Тогда число элементов множества A, обладающих не менее m
свойствами из свойств A1 , . . . , An , где 0 ≤ m ≤ n, можно найти
по формуле
n−m
X
r =0
(−1)r
X
m−1
Cm+r
−1 |Ai1 ∩ · · · ∩ Aim+r |.
1≤i1 <···<im+r ≤n
Доказательство предлагается провести самостоятельно.
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Решение продолжения задачи о студентах
Пример 3.3. При исследовании читательских интересов
студентов оказалось, что 60 % студентов читают журнал А, 50
% – журнал В, 50 % – журнал С, 30 % – журналы А и В, 50 %
– журналы А и С, 20 % – журналы В и С, 20 % – журналы А, В
и С.
Решение (продолжение). По формулам теорем 3.2 и 3.3
найдем ответы на поставленные вопросы.
1. Не менее двух журналов читают
1
1
(−1)0 C2+0−1
(30 + 50 + 20) + (−1)1 C2+1−1
(20) = 100 − 2 · 20 = 60
процентов студентов.
2. Ровно два журнала читают
2
2
(30 + 50 + 20) + (−1)1 C2+1
(20) = 100 − 3 · 20 = 40
(−1)0 C2+0
процентов студентов.
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Пример о простых числах
Конечно же, принцип включения-исключения чаще является
подходящим средством для решения математических задач.
Пример
3.4. Пусть p1 , . . . , pn – все простые числа от 1 до
√
b Nc.
Найдите формулу для количества простых чисел от 1 до N.
Решение. Сначала заметим, что количество чисел от 1 до N,
делящихся на некоторое число p, равно b Np c (Почему?).
А значит, по принципу включений-исключений получаем
формулу количества чисел от 1 до N, которые делятся хотя бы
на одно из чисел p1 , . . . , pn :
n
X
r =1
(−1)r −1
X
1≤i1 <···<ir ≤n
b
N
c.
pi1 · · · · · pir
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Пример о простых числах
Решение (продолжение).
Теперь несложно получить формулу (заметим, что число 1 не
является простым):


n
X
X
N
n + N −
(−1)r −1
b
c −1.
pi1 · · · · · pir
r =1
1≤i1 <···<ir ≤n
Например, пусть p1 = 2, p2 = 3. Тогда количество простых
чисел от 1 до 15 равно:
2 + (15 − b
15
15
15
c − b c + b c) − 1 = 2 + (15 − 7 − 5 + 2) − 1 = 6.
2
3
6
В самом деле, эти простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13.
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Бинарные отношения
Большие возможности для применения предлагают бинарные
отношения.
Напомним, что бинарное отношение R ⊆ A2 на множестве A
называется
рефлексивным, если ∀x ∈ A верно R(x, x);
иррефлексивным, если ∀x ∈ A не верно R(x, x);
симметричным, если ∀x, y ∈ A из R(x, y ) следует R(y , x);
антисимметричным, если ∀x, y ∈ A из R(x, y ) и R(y , x)
следует x = y ;
транзитивным, если ∀x, y , z ∈ A из R(x, y ) и R(y , z) следует
R(x, z).
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Отношение эквивалентности
Одним из важных и часто встречающихся видов бинарных
отношений является отношение эквивалентности.
Бинарное отношение R ⊆ A2 на множестве A называется
отношением эквивалентности на множестве A, если оно
рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Отношение эквивалентности, как правило, обозначается ∼.
Если a, b ∈ A и a ∼ b, то говорят, что элементы a и b
эквивалентны.
Пример 3.5. Пусть A – множество имен.
Тогда отношение R ⊆ A2 , которое верно на парах имен,
начинающихся с одной и той же буквы, и только на них,
является отношением эквивалентности.
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Классы эквивалентности
Пусть R ⊆ A2 – отношение эквивалентности на множестве A.
Классом эквивалентности (по отношению R) по элементу
a ∈ A называется множество всех элементов множества A,
эквивалентных a .
Класс эквивалентности по элементу a ∈ A обозначется [a]R .
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Пример об именах
Пример 3.5. Пусть A = {Алексей, Иван, Петр, Александр,
Павел, Андрей} – множество имен.
Рассмотрим отношение эквивалентности R, введенное выше, и
найдем некоторые классы эквивалентности по нему:
[Алексей] = {Алексей, Александр, Андрей};
[Иван] = {Иван};
[Петр] = {Петр, Павел};
[Андрей] = {Алексей, Александр, Андрей}.
Можно заметить, что классы эквивалентности могут содержать
различное число элементов. В этом примере они или не
пересекаются, или совпадают. Мы увидим дальше, это верно
всегда.
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Теорема о классах эквивалентности
Теорема 3.4. Пусть R ⊆ A2 – отношение эквивалентности на
множестве A.
1. Если верно R(a, b), где a, b ∈ A, то [a]R = [b]R .
Класс эквивалентности порождается любым своим элементом.
2. Если не верно R(a, b), где a, b ∈ A, то [a]R ∩ [b]R = ∅.
Классы эквивалентности или не пересекаются, или совпадают.
Доказательство предлагается провести самостоятельно,
воспользовавшись свойствами отношения эквивалентности.
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Фактор-множество
Следствие 3.4.1. Отношение эквивалентности разбивает
множество, на котором оно задано, на классы эквивалентности.
Пусть R ⊆ A2 – отношение на множестве A.
Множество классов эквивалентности по отношению R
называется фактор-множеством множества A по отношению
R и обозначается A/R.
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Пример о словаре
Отношения эквивалентности применяются во многих областях
знаний и деятельности, не только в математике.
Например, в представлении знаний, когда базу знаний
необходимо разбить на меньшие базы по каким-то признакам.
При этом облегчается поиск в ней.
Пример 3.6. Показательный пример – словарь.
Два слова эквивалентны, если и только если они начинаются
на одну и ту же букву.
Тогда класс эквивалентности – слова, начинающиеся на одну и
ту же букву.
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Пример об организации учебного процесса
Пример 3.7. Рассмотрим всех студентов бакалавриата
факультета ВМК.
Введем отношение эквивалентности: два студента связаны этим
отношением, если и только если они учатся на одном курсе.
Тогда классы экввивалентности – студенты 1-го, 2-го, 3-го и
4-го курсов соответственно.
Фактор-множество состоит из 4 элементов: 1-го, 2-го, 3-го и
4-го курсов.
Если необходимо донести информацию до каждого студента,
например, 1-го курса, нет необходимости сообщать о ней
каждому студенту лично.
Достаточно, математически говоря, обратиться к элементу
фактор-множества !1-й курс!. Проще говоря, вывесить
объявление для первого курса.
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Пример о классах вычетов по модулю 2
Но, конечно же, отношения эквивалентности повсеместно
применяются в математике.
Пример 3.8. Пусть Z – множество целых чисел, а R ⊆ Z2 –
отношение, выполняющееся на парах чисел, разность которых
делится на 2.
Тогда отношение R является отношением эквивалентности.
Оно порождает два класса эквивалентности:
[0] – множество всех целых чисел, делящихся на 2;
[1] – множество всех целых чисел, дающих при делении на 2
остаток 1.
Поле F2 вычетов по модулю 2, которым в некоторых случаях
удобно пользоваться в булевой алгебре, определяется над
этими классами эквивалентности.
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Отношение частичного порядка
Бинарное отношение R ⊆ A2 на множестве A называется
отношением частичного порядка на множестве A, если оно
рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.
Отношение частичного порядка, как правило, обозначается ≤.
Если a, b ∈ A и a ≤ b, то говорят, что элемент a предшествует
или равен элементу b, или элемент b следует или равен
элементу a.
Пример 3.9. Пусть A – множество фамилий студентов группы.
Тогда отношение ≤, которое верно на парах фамилий, первая
из которых располагается по алфавиту не позже второй, и
только на них, является отношением частичного порядка.
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Сравнимые и несравнимые элементы
Пусть R ⊆ A2 – отношение частичного порядка на множестве A.
Если для элементов a, b ∈ A верно R(a, b) или верно R(b, a), то
элементы a и b называются сравнимыми.
Элементы a, b ∈ A, не являющиеся сравнимыми, называются
несравнимыми.
Если все пары элементов множества A сравнимы относительно
порядка R, то порядок R называется линейным.
Множество A с заданным на нем частичным порядком R
называется частично упорядоченным множеством (ЧУМ) и
обозначается (A; R).
Если частичный порядок R является линейным, то ЧУМ (A; R)
называвется линейно упорядоченным множеством.
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Примеры частично упорядоченных множеств
Пример 3.10.
1. Множество N натуральных чисел с обычным сравнением
чисел ≤ – это линейно упорядоченное множество.
2. Введем на множестве N натуральных чисел отношение
R ⊆ N2 следующим образом: для произвольных чисел a, b ∈ N
верно R(a, b), если число a является делителем числа b.
Несложно проверить, что введенное отношение R является
отношением частичного порядка.
Но, например, неверно R(4, 15) и неверно R(15, 4), поэтому
числа 4 и 15 – несравнимые элементы этого частичного
порядка.
Множество N натуральных чисел с так введенным отношением
R является частично упорядоченным множеством, но не
является линейно упорядоченным множеством.
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Некоторые производные отношения
Пусть (A; ≤) – частично упорядоченное множество.
Если для элементов a, b ∈ A верно a ≤ b и a 6= b, то пишут
a < b и говорят, что элемент a строго предшествует элементу
b, или что элемент b строго следует за элементом a.
Если для элементов a, b ∈ A верно a < b и не существует
такого элемента c ∈ A, что a < c < b, то пишут a l b и говорят,
что элемент a непосредственно предшествует элементу b,
или что элемент b непосредственно следует за элементом a.
Например, в множестве N натуральных чисел с обычным
сравнением чисел ≤ верно: 3 < 7; 3 l 4.
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Диаграмма Хассе
Конечные ЧУМ удобно задавать диаграммой Хассе.
Диаграмма Хассе ЧУМ (A; ≤) – это ориентированный граф
GA = (VA , EA ), в котором VA = A, EA = {(a, b) | a l b}.
Пример 3.11. Построим диаграмму Хассе ЧУМ (B 2 ; ≤), где
B = {0, 1}, и (a1 , a2 ) ≤ (b1 , b2 ), если a1 ≤ b1 , a2 ≤ b2 .
(1, 1)
@
I
@
@
(0, 1)
@ (1, 0)
I
@
@
@
@
(0, 0)
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Наименьший и минимальные элементы
Пусть ≤ – отношение частичного порядка на множестве A.
Элемент a ∈ A называется наименьшим (относительно
частичного порядка R), если для всех элементов x ∈ A верно
a ≤ x.
Другими словами, элемент наименьший, если все другие строго
следуют за ним.
Элемент a ∈ A называется минимальным (относительно
частичного порядка R), если не существует таких элементов
x ∈ A, что верно x < a.
Т.е. элемент минимальный, если нет элементов, строго
предшествующих ему.
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Наименьший и минимальные элементы в диаграмме
Хассе
В диаграмме Хассе GA ЧУМ (A; ≤)
вершина a ∈ VA ссответствует наименьшему элементу, если
существует ориентированный путь из вершины a в любую
другую вершину;
вершина a ∈ VA ссответствует минимальному элементу, если
в нее дуги не входят (т.е. ее полустепень захода равна нулю).
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Свойства наименьшего элемента
Теорема 3.5. Для произвольного частично упорядоченного
множества (A; ≤) верно:
1. Наименьший элемент является и минимальным элементом.
Обратное в общем случае не верно.
2. Наименьший элемент, если он есть, всегда единственен.
Доказательство. 1. Вполне очевидно.
2. Пусть a1 и a2 – наименьшие элементы относительно
частичного порядке ≤ на множестве A. Тогда т.к. a1 –
наименьший элемент, верно a1 ≤ a2 ; а т.к. a2 – наименьший
элемент, верно a2 ≤ a1 . Откуда по аксиоме антисимметричности
частичного порядка ≤ заключаем, что a1 = a2 .
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Наибольший и максимальные элементы
Аналогично вводятся понятия наибольшего и максимального
элементов относительно частичного порядка.
Для них верны аналогичные свойства.
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Пример: словарь
Отношение частичного порядка точно также, как и с отношение
эквивалентности, широко применяется в представлении знаний.
Пример 3.12. Рассмотрим словарь. Введем отношение
(линейного) порядка на множестве слов этого словаря по
алфавиту.
Тогда поиск в словаре, например, слова март“ осуществляется
”
в соответствиии с этим порядком.
Откроем словарь наугад. Пусть увидели слово весна“.
”
Сравниваем слова март“ и весна“: весна“ ≤ март“.
”
”
”
”
Поэтому для поиска слова март“ надо рассматривать слова
”
правее (т.е. большие“) слова весна“.
”
”
Далее увидели слово туча“. Сравниваем его со со словом
”
март“, и т.д. пока не найдем слово март“ в словаре.
”
”
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Пример: организация учебного процесса
Пример 3.13. Рассмотрим студентов и администрацию
бакалавриата факультета ВМК.
Введем отношение частичного порядка по правилу
подчиненности в процессе обучения. Тогда каждый студент 1-го
курса подчинен себе, начальнику 1-го курса, декану; каждый
студент 2-го курса подчинен себе, начальнику 2-го курса,
декану; и т.д.
Понятно, что два студента 1-го курса несравнимые элементы“
”
в этом частичном порядке, т.к. ни один из них не отчитывается
перед другим об учебе. Cтудент 1-го курса и начальник 2-го
курса также несравнимые элементы“, т.к. студент 1-го курса
”
не отчитывается по своей учебе перед начальником 2-го курса
(и в обратном порядке, конечно, тоже неверно).
Но все отчитываются перед деканом, т.е. он наибольший“ (и,
”
соответственно, единственный максимальный“) элемент в
”
этом частичном порядке.
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Задачи для самостоятельного решения
1. Группа туристов состоит из 15 человек, из которых 2
человека не знают ни одного иностранного языка, 10 человек
знают английский язык, 7 человек – немецкий язык, 6 человек
– французский язык. Пять человек группы знают английский и
немецкий, четыре человека – английский и французский и три
человека – немецкий и французский.
Определить, сколько человек группы
1) знают все три языка;
2) знают ровно два языка;
3) знают только английский язык;
4) не знают английского языка?
2. Является ли отношением эквивалентности на множестве
букв русского алфавита множество, состоящее из всех пар
согласных букв одинакой звонкости?
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Литература к лекции 3
1. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.:
Высшая школа, 2001. Ч. II, с. 189-190.
2. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по
дискретной математике. М.: Физматлит, 2004. Гл. VIII с.
262-265.
3. Селезнева С.Н. Основы дискретной математики. М.: МАКС
Пресс, 2010
(http://mathcyb.cs.msu.su/paper/selezn/selezn-odm.pdf).
Ч. 1.5-1.6, с. 17-19.
Отношения Свойства Принцип включений-исключений Бинарные отношения Отношение эквивалентности Отн
Конец лекции 3