ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5 многочлена.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5
В.Н. Демидов
Тема работы: Нелинейная регрессия. Выбор оптимальной степени обобщенного
многочлена.
Цель работы: Вычисление коэффициентов нелинейной регрессионной зависимости;
подбор эмпирической формулы оптимальным образом описывающей экспериментальные
данные.
Задание: В результате серии экспериментальных измерений получены значения yi в
заданных точках xi . Величины yi измерены независимо друг от друга и с одинаковой
среднеквадратичной ошибкой  .
Используя метод наименьших квадратов и полиномы Чебышева построить
регрессионную зависимость y  f x  в виде обобщенного многочлена. Определить
оптимальную степень многочлена. Основываясь на результатах статистического анализа
обосновать оптимальность полученной эмпирической зависимости.
Теоретическая часть
В инженерной практике часто возникает задача подбора эмпирической формулы,
адекватно описывающей имеющийся экспериментальный материал. Обычно формула
строится в виде обобщенного многочлена
y  f x; a0 ,a1 ,am   a00 x   a11 x     amm x  ,
(1)
где
0 x , 1 x ,  ,  m x 
(2)
заданная система линейно независимых базисных функций, a0 , a1 , , a m - параметры
формулы, являющиеся коэффициентами обобщенного многочлена. Оценки параметров,
определяемые по методу наименьших квадратов, находятся из системы нормальных
уравнений
a  P ,
где

 0 xi  0 xi 
 0 xi 1 xi 

 0 xi  m xi  



1 xi  0 xi 
1 xi 1 xi 

1 xi  m xi   ,









 m xi  0 xi 
 m xi 1 xi 

 m xi  m xi 




y i  0  xi  



yi 1 xi   .
P





y i  m  xi 















С вычислительной точки зрения наиболее целесообразным представляется
использование в качестве базисных функций (2) какой-либо ортогональной (на множестве
точек x1 , x2 , , xn ) системы функций, например, полиномов Чебышева. В этом случае
матрица системы нормальных уравнений  становится диагональной и хорошо
обусловленной. В силу этого, во-первых, чрезвычайно облегчается задача вычисления
коэффициентов обобщенного многочлена, во-вторых, при последовательном уточнении
эмпирической формулы на каждом этапе вычисляется лишь один новый коэффициент a k ,
в-третьих, данный вычислительный алгоритм может быть применен при любой степени
обобщенного многочлена. Отметим, что широко используемая при полиномиальной
аппроксимации система функций
0 x  1, 1 x  x,  , m x  x m ,
приводящая к классическим алгебраическим многочленам, применяется лишь при m  5 .
Если m  5 , то, как правило, нормальная система уравнений настолько плохо
обусловлена, что вычисленные на ее основе параметры a0 , a1 , , a m оказываются
полностью искаженными ошибками округления.
Ортогональные многочлены Чебышева
Q0 , Q1 ,  , Qi ,
определяются рекуррентным соотношением
H
Qi 1  x    x  i 1 Qi  x   i Qi 1  x 
i  1, 2, ,
(3)
H i 1
где
n
Hi 

Qi2
xk 
1
i 1 
Hi
k 1
n
 x Q x 
k
2
i
k 1
Чтобы воспользоваться этой рекуррентной
полиномы нулевой и первой степени; они имеют вид:
Q1 x  x  x ,
Q0 x   1 ,
i  0,1, .
k
формулой,
1
x
n
необходимо задать
n
x .
k
k 1
Эмпирическая формула (1) с использованием многочленов Чебышева запишется в виде
 


y  a0 Q0 x   a1Q1 x     am Qm x  .
(4)
Вычисление оценок коэффициентов многочлена осуществляется по формуле:
1

ai 
Hi
n
 y Q x  ,
k
i
i  0, 1, , m .
k
(5)
k 1
Хорошее сглаживание ошибок эксперимента при среднеквадратичной
аппроксимации наблюдается когда m  n . Но если m слишком мало, то для описания
сложной нелинейной зависимости yx  коэффициентов многочлена может не хватить.
Ясно, что в каждом конкретном случае должно существовать какое-то оптимальное число
коэффициентов. Определяется оно следующим образом.
Задавшись некоторым числом m и определив согласно (5) соответствующие
коэффициенты, вычислим остаточную дисперсию
1
Dm 
n  m  1
n
  y  y 
2
i
i 1
i
(6)
и сравним ее с известной точностью эксперимента  по критерию Фишера. Если
Dm
 f1 ,
(7)
2
то математическая погрешность аппроксимации (значимо) больше физической
погрешности исходных данных, и формула (5) нуждается в уточнении. Поэтому

увеличиваем m на единицу, вычисляем по формуле (5) коэффициент a m1 и повторяем
проверку качества аппроксимации согласно (6), (7).
Обычно расчет начинают с m  1 , когда (при нелинейной зависимости)
неравенство (7) заведомо выполнено, и увеличивают число коэффициентов до тех пор,
пока при некотором значении m не выполнится условие
Dm
(8)
 f1 .
2
Это условие означает, что дисперсия Dm (при данном m ) образована только за счет
случайных ошибок измерений и, следовательно, дополнительные слагаемые в функции (4)
не способны эту дисперсию уменьшить. Следовательно, полученное значение m является
оптимальной степенью аппроксимирующего многочлена, и эмпирическая формула (4)
считается окончательной. Если при этом m  n , то вид аппроксимирующей функции (в
форме обобщенного многочлена) выбран удачно, в противном случае следует поискать
более подходящий вид аппроксимирующей функции.
В соотношении (7) f1  - квантиль распределения Фишера, т. е. корень уравнения
Fnm1,  f1   1   ,
где Fnm1, x  - функция распределения Фишера с n  m  1 и  степенями свободы (т.е.
считаем, что генеральная дисперсия  2 известна из большого числа предыдущих опытов,
поэтому приписываем ей бесконечно большое число степеней свободы),  - уровень
значимости.
Порядок выполнения задания
1. Присвойте переменной ORIGIN значение равное единице.
2. Из файлов Lab5 kx и Lab5 ky (k – номер варианта задания) введите исходные данные и
разместите их в массивах (x) и (y).
3. Постройте полиномы Чебышева нулевого и первого порядков ( m  1 ).
4. Вычислите коэффициенты a 0 , a1 и постойте согласно (4) аппроксимирующий
многочлен первого порядка.
5. Постройте график линии регрессии и изобразите на нем исходные экспериментальные
точки. Оцените визуально качество аппроксимации.
6. Задавшись определенным уровнем значимости и используя критерий Фишера,
выясните, нуждается ли построенная регрессионная зависимость в уточнении.
7. Если уточнение необходимо, увеличьте значение m на единицу; постройте многочлен
Чебышева Qm .
8. Вычислите очередной коэффициент am и постройте обобщенный многочлен степени
m.
9. Последовательно повторяйте пункты 5-8 до тех пор, пока не выполнится неравенство
(8).
10. Сохраните рабочий документ на диске.