В.К. Махлаёв - Томский Государственный Архитектурно

Федеральное агентство по образованию
Томский государственный
архитектурно-строительный университет
Институт заочного и дистанционного обучения
В.К. Махлаёв
ГИДРАВЛИКА.
ГИДРОСТАТИКА
Учебное пособие
Изательство Томского государственного
архитектурно-строительного университета
Томск 2007
1
УДК 532.1 (075)
М 363
Махлаёв, В.К. Гидравлика. Гидростатика [Текст]: учебное пособие / В.К. Махлаёв. – Томск : Изд-во Том. гос. архит.-строит. ун-та,
2007. – 46 с. – ISBN 5-93057-168-6
В учебном пособии содержатся краткие сведения об основных
физических свойствах жидкости, правила для определения давления
жидкости в точке и силы давления жидкости на плоские и криволинейные поверхности, а также примеры решения задач и контрольное
задание № 1 по курсу «Гидравлика» (раздел «Гидростатика»).
Учебное пособие предназначено для студентов всех форм обучения специальности 270112 «Водоснабжение и водоотведение».
Илл. 17, табл. 7, прил. 2, библиогр. 6 названий.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
ТГАСУ.
Рецензенты:
руководитель группы перспективного развития ОАО «Томскводоканал», член-корреспондент ЖКА РФ В.И. Черкашин;
доцент кафедры гидрологии Томского государственного университета, к.г.н. А.В. Мезенцев
ISBN 5-93057-168-6
2
© Томский государственный
архитектурно-строительный
университет, 2007
ВВЕДЕНИЕ
Гидравлика – это наука, изучающая законы равновесия и
механического движения жидкости и разрабатывающая методы
применения этих законов для решения задач инженерной практики. Гидравлика является инженерной (технической) дисциплиной, так как её выводы направлены на решение технических
задач. Это одна из наук, составляющих фундамент инженерных
знаний.
Гидравлика подразделяется на гидростатику, кинематику
жидкости, гидродинамику и изучает движение воды в трубопроводах, в открытых руслах (реках и каналах), в водопроводных, в водоотводных и гидротехнических сооружениях, движение грунтовых вод, а также движение других жидкостей (нефть,
нефтепродукты, различные растворы и т.п.) в трубопроводах и
сооружениях.
Гидравлика опирается на такие науки, как высшая математика, физика, теоретическая механика и начертательная геометрия. В свою очередь, гидравлика является базой для гидравлических расчётов в курсах «Гидрология, гидрометрия и гидротехнические сооружения», «Насосные и воздуходувные станции», «Водопроводные сети», «Водозаборные сооружения»,
«Водопроводные очистные сооружения», «Водоснабжение промышленных предприятий», «Водоотводящие сети», «Очистка
сточных вод», «Водоотводящие системы промышленных предприятий», «Санитарно-техническое оборудование зданий»,
«Эксплуатация систем водоснабжения и водоотведения».
Современная гидравлика представляет собой техническую
механику жидкости, опирающуюся на теоретическую гидромеханику и проведённые на высоком уровне экспериментальные
исследования.
Настоящее учебное пособие имеет целью оказать помощь
студентам при изучении раздела «Гидростатика» курса «Гидравлика», а также при выработке навыков в применении теории
3
к решению конкретных задач, встречающихся в инженерных
расчётах.
Автор считает своим долгом выразить глубокую благодарность старшему преподавателю кафедры водоснабжения и водоотведения ТГАСУ А.Ф. Тернову за ценные замечания, сделанные им в процессе работы над рукописью.
4
1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЧАСТИ КУРСА
Одним из разделов гидравлики является гидростатика.
Гидростатика изучает законы равновесия жидкости и воздействия покоящейся жидкости на погружённые в неё твёрдые тела.
1.1. Определение жидкости
Жидкостью называется физическое тело, обладающее способностью легко изменять свою форму под действием даже
весьма незначительных сил. Наиболее характерное свойство
жидкости – текучесть. Текучесть – это легкоподвижность частиц жидкости, обусловливаемая неспособностью её воспринимать касательные напряжения в состоянии покоя. Жидкость не
может сохранять собственную форму, она принимает форму сосуда, в котором находится.
С точки зрения механических свойств жидкости разделяются на два класса: несжимаемые (капельные) и сжимаемые (газообразные). Несжимаемые жидкости – это вода, нефть, масла,
ртуть и др., сжимаемые жидкости – это воздух, кислород и другие газы при обычных условиях.
Капельная жидкость имеет собственный объём, а сжимаемая жидкость собственного объёма не имеет и занимает весь
объём резервуара, в который помещена.
Капельная жидкость имеет свободную поверхность, т.е.
поверхность раздела её с газом; сжимаемая жидкость свободной
поверхности не имеет.
В отличие от твёрдых тел капельная жидкость легко изменяет свою форму, но с трудом изменяет свой объём, в отличие
от газов; а газы легко изменяют как форму, так и объём.
5
С позиций физики капельная жидкость значительно отличается от газа; с позиций механики жидкости различие между ними
не так велико, и часто законы, справедливые для капельных жидкостей, могут быть применены и к газам в случаях, когда сжимаемостью последних можно пренебречь.
1.2. Основные физические свойства жидкости
Как и любые физические тела, жидкость обладает массой, а
следовательно, и весом. Одной из важнейших физических характеристик жидкости является плотность ρ , кг/м3, определяемая
как отношение массы жидкости M, кг, к её объёму W, м3:
M
.
(1.1)
ρ=
W
Плотность капельной жидкости, как правило, уменьшается при
увеличении температуры (исключением является вода). При изменении давления плотность капельных жидкостей изменяется
незначительно.
Удельным весом жидкости γ , Н/м3, называется отношение
веса жидкости G, Н, к её объёму W, м3:
G
(1.2)
γ= .
W
Между плотностью и удельным весом существует связь:
γ = ρg ,
(1.3)
2
где g – ускорение свободного падения, м/с .
Сжимаемость жидкости под действием давления характеризуется коэффициентом объёмного сжатия βW , Па-1, представляющим собой относительное изменение объёма жидкости при
изменении давления на единицу:
∆W
βW =
,
(1.4)
W0 ∆р
где W0 – первоначальный объём жидкости, м3;
6
∆W – изменение объёма, м3;
∆ р – изменение давления, Па.
Величина, обратная коэффициенту объёмного сжатия, называется модулем упругости жидкости Е, Па:
1
.
(1.5)
βW
Температурное расширение – это свойство жидкости изменять свой объём с изменением температуры. Характеризуется оно
коэффициентом температурного расширения βt , К −1 (град −1 ) , выражающим относительное изменение объёма жидкости при изменении температуры на 1 градус:
E=
∆W
,
(1.6)
W0 ∆t
где W0 – первоначальный объём жидкости, м3;
∆W – изменение объёма, м3;
∆t – изменение температуры, К (град).
Вязкость – это свойство жидкости сопротивляться касательным усилиям при движении. В текущей жидкости между её
бесконечно тонкими слоями, движущимися со скоростями, отличающимися на величину du, возникают касательные напряжения τ:
du
τ = ±µ
,
(1.7)
dy
где dу – расстояние между слоями жидкости;
du
– градиент скорости;
dy
µ – динамический коэффициент вязкости.
βt =
Единицей измерения динамического коэффициента вязкости является
7
H
2
[µ] = [τ] = мм = Н ⋅2с = Па ⋅ с (паскаль-секунда).
м
 du 
 dy  с ⋅ м
 
Выражение (1.7) предложено Н.П. Петровым и отражает
гипотезу Ньютона о внутреннем трении между частицами жидкости.
Отношение динамического коэффициента вязкости µ к
плотности ρ называется кинематическим коэффициентом вязкости жидкости ν:
µ
ν= ,
(1.8)
ρ
единица измерения которого равна
[ν] = [µ] = Пакг⋅ с = Н ⋅2с ⋅ м
м ⋅ кг
[ρ]
3
=
кг ⋅ м с ⋅ м 3
м2
=
.
с 2 м 2 ⋅ кг
с
м3
Вязкость практически не изменяется с изменением давления, но зависит от температуры. С увеличением температуры
вязкость капельной жидкости существенно уменьшается, а вязкость газов увеличивается.
1.3. Гидростатическое давление
Гидростатическое давление р представляет собой напряжение сжатия в точке, расположенной внутри покоящейся жидкости:
∆F
∆ω → 0 ∆ω
р = lim
8
(1.9)
или
р=
dF
,
dω
(1.10)
где ∆F – сила давления жидкости, приходящаяся на элементарную площадку ∆ω , содержащую рассматриваемую
точку.
Гидростатическое давление измеряется в паскалях
(1 Па = 1 Н/м2), килопаскалях (1 кПа = 103 Па), мегапаскалях
(1 МПа = 106 Па).
Гидростатическое давление характеризуется двумя основными свойствами:
1) гидростатическое давление направлено нормально к поверхности, на которую оно действует, и создаёт только сжимающие напряжения;
2) в любой точке жидкости гидростатическое давление
одинаково по всем направлениям.
В наиболее распространённом случае, когда действует
лишь сила тяжести, гидростатическое давление р, Па, в точке
определяется по формуле:
p = p0 + ρgh ,
(1.11)
где р0 – давление на свободной поверхности жидкости, Па;
ρ – плотность жидкости, кг/м3;
g – ускорение свободного падения, g = 9,81 м/с2;
h – глубина погружения точки от свободной поверхности
жидкости, м.
Формула (1.11) является основным уравнением гидростатики в простейшей гидравлической форме, а давление, определяемое по этой формуле, называется абсолютным гидростатическим давлением:
рабс = р0 + ρgh .
(1.12)
9
Если р0 = р атм (атмосферному давлению), то уравнение
(1.12) принимает вид:
рабс = ратм + ρgh.
(1.13)
Разность между абсолютным и атмосферным давлениями
называется избыточным гидростатическим давлением:
ризб = рабс − ратм .
(1.14)
Если р0 = ратм , то
ризб = рабс − ратм = ρghp ,
(1.15)
отсюда
ризб рабс − ратм
=
,
ρg
ρg
где hp – пьезометрическая высота.
hp =
(1.16)
Если абсолютное давление меньше атмосферного (р абс < р атм ),
то разность между атмосферным и абсолютным давлениями называется вакуумметрическим давлением, или вакуумом:
рвак = ратм − рабс = ρghвак ,
(1.17)
рвак ратм − рабс
=
,
ρg
ρg
(1.18)
отсюда
hвак =
где hвак – вакууметрическая высота.
В дальнейшем изложении избыточное гидростатическое
давление будет обозначаться буквой р без индекса.
10
1.4. Поверхность уровня и её свойства
Поверхностью уровня называется такая поверхность, все
точки которой имеют одно и то же значение рассматриваемой
функции, например поверхность равной температуры, поверхность равного потенциала и т.д. В гидравлике особо важное значение имеет поверхность равного давления.
Поверхности уровня имеют следующие свойства:
1) две поверхности уровня не пересекаются между собой;
2) внешние массовые силы направлены нормально к поверхности уровня.
Из уравнения (1.12) вытекает, что в однородной жидкости
при равновесии её под действием только силы тяжести все точки поверхности равного давления должны иметь одинаковую
глубину погружения h, следовательно, эта поверхность будет
горизонтальной плоскостью. Иными словами, горизонтальная
плоскость есть плоскость равного давления. Частным случаем
поверхности равного давления является свободная поверхность
жидкости.
Действительно, при равновесии жидкости только под действием силы тяжести свободная поверхность жидкости в сосуде (резервуаре) является поверхностью равного давления,
ро = const. Эта поверхность – горизонтальная плоскость. Проведя на любом расстоянии h i от свободной поверхности горизонтальную плоскость, во всех точках её получим абсолютное давление рабс i = ро + ρghi = const . Это будет поверхность равного
давления.
1.5. Сила давления жидкости на плоские поверхности
Сила весового гидростатического давления жидкости F, H,
на плоскую стенку (рис. 1.1) определяется по формуле:
11
F = рc ω
(1.19)
или
F = ρghc ω,
(1.20)
2
где ω – смоченная площадь стенки, м ;
рс – весовое давление в центре тяжести смоченной площади (на рис. 1.1 – точка С), Па;
hc – глубина погружения центра тяжести смоченной площади стенки, м.
Рис. 1.1
Точка приложения силы давления называется центром давления (на рис. 1.1 – точка Д). Для негоризонтальных стенок центр
весового давления расположен ниже центра тяжести смоченной
площади стенки. Его положение определяется формулой:
•
I
YД = YC + C ,
(1.21)
YC ω
где YД – расстояние от центра весового давления до оси ОХ
(линии пересечения плоскости стенки со свободной
12
поверхностью жидкости), м;
YC – расстояние от центра тяжести смоченной поверхности
стенки до оси ОХ, м;
•
I C – момент инерции смоченной площади стенки относительно оси, проходящей через центр тяжести этой
площади параллельно оси ОХ.
Для вертикальной стенки положение центра весового давления определяется формулой:
•
I
hД = hС + C .
(1.22)
hC ω
При графоаналитическом методе расчёта сила весового
гидростатического давления на прямоугольные стенки может
быть определена как объём эпюры давления:
F = WЭП .
(1.23)
Центр давления будет находиться в месте приложения равнодействующей силы давления, проходящей через центр тяжести эпюры давления.
При треугольной эпюре давления сила давления F на прямоугольную стенку вычисляется по формуле:
1
F = WЭП = ωЭП b = ρ ghab ,
(1.24)
2
где ωЭП – площадь эпюры давления;
b – ширина стенки.
Центр давления (точка Д) находится на расстоянии 2/3 высоты эпюры «а» от её вершины (рис. 1.2).
При трапецеидальной эпюре давления сила давления F на
прямоугольную стенку вычисляется по формуле:
F = WЭП = ωЭП b =
ρgh1 + ρgh2
ρg (h1 + h2 )
ab =
ab .
2
2
(1.25)
13
Графический способ нахождения центра давления (точка Д)
показан на рис. 1.3.
Рис. 1.2
Рис. 1.3
14
1.6. Сила давления жидкости на криволинейные
поверхности
Сила весового гидростатического давления жидкости F на
криволинейную поверхность может быть выражена геометрической суммой её составляющих: горизонтальной FГ и вертикальной FВ, т.е.
F = FГ2 + FВ2 .
(1.26)
Горизонтальная составляющая FГ силы весового гидростатического давления жидкости на криволинейную стенку равна
силе давления жидкости на вертикальную проекцию ωВ этой
стенки:
FГ = рС ωВ = ρghС ωВ .
(1.27)
Вертикальная составляющая FВ силы весового гидростатического давления равна весу жидкости в объёме тела давления Wт.д:
FВ = ρgWт.д .
(1.28)
Телом давления называется объём жидкости, заключённый между самой криволинейной поверхностью и её проекцией ω XOY на свободную поверхность жидкости. С боков тело
давления ограничено проектирующими поверхностями. Тело
давления, заполненное жидкостью, называется действительным,
тогда вертикальная составляющая FВ направлена вниз и считается положительной (рис. 1.4, а). Если объём тела давления находится с несмачиваемой стороны стенки, т.е. тело давления не
заполнено жидкостью, оно называется фиктивным, вертикальная составляющая FВ направлена вверх и считается отрицательной (рис. 1.4, б). Фиктивное тело давления иногда называется
телом выпора.
15
б)
а)
Рис. 1.4
Направление вертикальной составляющей FВ также можно определить, разложив вектор гидростатического давления p
в любой точке криволинейной поверхности на горизонтальную pГ
и вертикальную pВ составляющие.
На рис. 1.5, а вертикальная составляющая pВ гидростатического давления для любой точки криволинейной поверхности
направлена вниз, следовательно, и равнодействующая FВ будет
направлена вниз. На рис. 1.5, б вертикальная составляющая pВ
гидростатического давления для любой точки криволинейной
поверхности направлена вверх, следовательно, и равнодействующая FВ будет направлена вверх.
б)
а)
Рис. 1.5
Вертикальная составляющая FВ силы давления проходит
через центр тела давления.
16
Направление равнодействующей силы давления F характеризуется углом наклона β её к горизонту (рис. 1.6):
F
F
tgβ = В ,
β = arctg В .
(1.29)
FГ
FГ
Если образующая криволинейной поверхности описывает
окружность, равнодействующая F пройдет через центр окружности (рис. 1.6).
Рис. 1.6
Если на часть криволинейной поверхности (АВ) жидкость
давит сверху вниз, а на другую часть (ВС) – снизу вверх, то тело
давления определяется как сумма тел давления на каждую часть
с учётом их знаков (рис. 1.7).
Рис. 1.7
17
2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Определить объём воды, который необходимо дополнительно подать в водовод (рис. 2.1) диаметром d = 600 мм и
длиной ℓ = 1,0 км для повышения давления на величину
∆р = 1,5 · 106 Па. Деформацией трубопровода можно пренебречь.
Рис. 2.1
Решение. Определяем вместимость водовода WВ:
3,14 ⋅ 0,6 2
πd 2
WВ = ωВ l =
l=
1000 = 282,6 м3.
4
4
Первоначальный объём воды W0 состоит из объёма водовода WB и дополнительного объёма ∆W , первоначально хранящегося в дополнительной ёмкости и поданного затем насосом
в водовод.
Из соотношения (1.4)
βW =
∆W
∆W
=
W0 ⋅ ∆р (WВ + ∆W ) ⋅ ∆р
находим объём воды ∆W , который необходимо дополнительно подать в водовод для повышения давления:
18
∆W =
βW ⋅WВ ⋅ ∆р
.
1 − βW ⋅ ∆р
Принимаем βW = 5,0 ⋅ 10−10 Па −1 , тогда
∆W =
5 ⋅10 −10 ⋅ 282,6 ⋅1,5 ⋅10 6
= 0,212 м3.
−10
6
1 − 5,0 ⋅10 ⋅1,5 ⋅10
Задача 2. Замкнутый сосуд заполнен водой при температуре t = 20 0C. Определить
абсолютное и избыточное давление в точке
на дне сосуда, если давление на свободной
поверхности жидкости р0 = 150000 Па, а
высота слоя воды в сосуде Н = 6,5 м
(рис. 2.2).
Рис. 2.2
Решение. Плотность воды при температуре t = 20 0C составляет ρ = 998,23 кг/м3 (прил. 1).
Абсолютное давление в точке на дне сосуда вычисляем по
формуле (1.12):
рабс = ро + ρgH = 150000 + 998,23 ⋅ 9,81 ⋅ 6,5 = 213652 Па ≈
≈ 0,214 МПа.
Избыточное давление в точке на дне сосуда определяем по
формуле (1.14):
ризб = рабс − ратм = 213652 − 101325 = 112327 Па ≈ 0,112 МПа ,
где ратм = 101325 Па – атмосферное давление при стандартных
физических условиях (t = 20 0C) [2].
Задача 3. В U-образный сосуд (рис. 2.3) налиты ртуть и во-
да. Линия раздела жидкостей расположена ниже свободной поверхности ртути на величину hрт = 15 см. Определить разность
19
уровней h в обеих частях сосуда, если температура t = 20 0C.
Рис. 2.3
Точки А и В расположены в одной горизонтальной плоскости, проходящей через ртуть и являющейся поверхностью равного
давления, следовательно, давление в этих точках одинаково:
рабсА = рабс B .
Но
рабсА = ратм + ρ В ghB ,
рабсВ = ратм + ρ РТ ghРТ ,
тогда
ратм + ρ В ghB = ратм + ρ РТ ghРТ ,
откуда
hB =
ρ РТ hРТ
.
ρB
Разность уровней:
h = hB − hPT =
20

ρ
ρ РТ hРТ
− hPT = hPT  РТ − 1 .
ρB

 ρB
Принимая плотность ртути равной ρ PT = 13550 кг/м3
(прил. 1), а плотность воды ρ В = 998,23 кг/м3 (прил. 1), вычисляем значение h:
 13550

h = 0 ,15
− 1 = 1,89 м.
 998,23 
Задача 4. Построить эпюру избыточного гидростатического давления воды на ломаную стенку резервуара (рис. 2.4, а) и
определить силы давления и точки их приложения на каждый
участок стенки шириной b = 1,0 м, если Н1 = 4,5 м, Н2 = 2,0 м,
α = 60 0 , плотность воды ρ = 1000 кг/м3.
Решение. По формуле (1.15) определяем избыточное давление в характерных точках:
р А = ρg ⋅ 0 = 0;
рB = ρgH1 = 1000 ⋅ 9 ,81 ⋅ 4 ,5 = 44145 Па;
р Е = ρg ( H1 + H 2 ) = 1000 ⋅ 9,81(4,5 + 2,0) = 63765 Па .
В каждой характерной точке стенки в направлении, перпендикулярном самой стенке, откладываем в масштабе значения
давления. Полученные концы векторов соединяем прямыми линиями и получаем эпюру избыточного гидростатического давления (рис. 2.4, а).
Аналитическое решение
По формулам (1.19), (1.20) определяем силу весового давления на каждый участок стенки:
F1 = FAB = рC1 ω1 = ρghC1 ω1 = ρg
= 1000 ⋅ 9,81
H1
H1в =
2
4,5
4,5 ⋅1,0 = 99326 H;
2
21
а)
б)
Рис. 2.4
H2
H
) BЕ ⋅ b = ρg ( Н1 + 2 ) ×
2
2
H
2,0  2,0

× 2 b = 1000 ⋅ 9,81 4,5 +
1,0 = 124607 H.

sin α
2  sin 60o

Положение центров давления вычисляем по формулам
(1.21), (1.22).
3
H1
•
b
I С1
H
12 = H1 + H1 = 2 H = 2 4 ,5 = 3,0 м;
= 1+
h Д1 = hС1 +
1
hС1 ω1
2 H1 H b
2
6 3
3
1
2
( BE ) 3
•
b
I С2
BE 

12
=  ОB +
=
YД 2 = YС2 +
+
BE 
YС2 ω 2 
2  
 OB +
 BE ⋅ b
2 

F2 = FBЕ = ρghC2 ω 2 = ρg ( Н1 +
3
1,0  H 2 


H2 
12  sin α 
 H1
=
+
=
+
 sin α 2 sin α   H 1 + H 2  H 2 1,0


 sin α 2 sin α  sin α
22
3
1 2 


 4 ,5
2 ,0 
12  sin 60o 
+
= 
+
=
o
2 sin 60 o   4 ,5
2,0  2,0
 sin 60


+
1,0
o
2 sin 60 o  sin 60 o
 sin 60
= 6,42 м.
Графоаналитическое решение
По формуле (1.24) вычисляем силу давления на участке АВ:
1
1
F1 = FAB = WЭП1 = ω ЭП1 b = рB H1b = 44145 ⋅ 4,5 ⋅1,0 = 99326 H.
2
2
Сила давления F1 приложена в центре тяжести треугольной
2
эпюры давления, т.е. на расстоянии H1 от вершины треуголь3
2
ника, что составляет 4,5 = 3,0 м.
3
Силу давления на участке ВЕ вычисляем по формуле
(1.25):
р + рE
р + рE H 2
F2 = FBE = WЭП 2 = ω ЭП 2 b = B
ВЕ ⋅ b = B
b=
2
2
sin α
44145 + 63765 2
=
1,0 = 124607 H.
2
sin 60o
Выполнив построение по определению положения центра
давления на участке ВЕ (рис. 2.4, б), графически определяем
значение YД 2 , в данном случае YД 2 = 6,42 м.
Таким образом, результаты расчётов графоаналитическим
методом полностью совпали с результатами расчётов аналитическим методом.
Задача 5. Построить эпюру избыточного гидростатического
давления воды на стенку шириной b = 4,0 м, представляющую со23
бой четверть кругового цилиндра радиусом r = 1,5 м (рис. 2.5).
Определить горизонтальную и вертикальную составляющие силы весового давления, а также равнодействующую сил весового
давления и её линию действия. Плотность воды принять равной
ρ = 1000 кг/м3 .
Решение. Так как ро = ратм, то ризб = рвес = ρgh .
По формуле (1.15) определяем избыточное давление в характерных точках при hi = 0; 0,25 r; 0,5 r; 0,75 r; r:
р1 = ρgh1 = ρg ⋅ 0 = 0;
р2 = ρgh2 = ρg ⋅ 0 ,25r = 1000 ⋅ 9,81 ⋅ 0,25 ⋅ 1,5 = 3678,75 Па;
р3 = ρgh3 = ρg ⋅ 0 ,5r = 1000 ⋅ 9 ,81 ⋅ 0 ,5 ⋅ 1,5 = 7357 ,5 Па;
р4 = ρgh4 = ρg ⋅ 0 ,75r = 1000 ⋅ 9 ,81 ⋅ 0 ,75 ⋅ 1,5 = 11036,25 Па;
р5 = ρgh5 = ρg ⋅ r = 1000 ⋅ 9,81 ⋅ 1,5 = 14715 Па.
Учитывая, что давление направлено перпендикулярно
стенке, и, следовательно, по радиусу, проведённому в данную
точку стенки, строим эпюру давления (рис. 2.5, а).
Горизонтальная составляющая FГ силы весового давления
на криволинейную поверхность равна силе весового давления
на вертикальную проекцию ω В этой поверхности, её вычисляем по формуле (1.27):
r
r2
FГ = рC ⋅ ω B = ρghC ω B = ρg rb = ρg b =
2
2
2
1,5
= 1000 ⋅ 9,81
4,0 = 44145 Н.
2
Так как эпюра давления на стенку ω В имеет вид треуголь2
ника, то сила FГ приложена на расстоянии r от вершины
3
2
треугольника (рис. 2.5, б), что составляет 1,5 = 1,0 м.
3
24
б)
а)
Рис. 2.5
Вертикальная составляющая FB силы весового давления
равна весу жидкости в объёме тела давления WТ.Д и направлена
вниз. Значение силы FB вычисляем по формуле (1.28):
1
π
FB = ρgWТ.Д = ρg(r ⋅ r − πr 2 )b = ρgr 2b( 1 − ) =
4
4
 3,14 
= 1000 ⋅ 9 ,81⋅1,52 ⋅ 4 ,0 1 −
 = 18982 H.
4 

Сила FB приложена в центре тяжести тела давления (фигура 155'), т.е. на расстоянии 0,223 r (прил. 2) от вертикали 55', что
составляет 0,223 ⋅ 1,5 = 0,33 м .
Силу суммарного давления F воды вычисляем по формуле
(1.26):
F = FГ2 + FB2 = 441452 + 189822 = 48053 H .
По формуле (1.29) вычисляем угол наклона β равнодействующей сил давления к горизонту:
F
18982
tg β = B =
= 0,43;
FГ 44145
β = arctg 0,43 = 23o16'.
25
Так как образующая криволинейной поверхности описывает окружность, то линия действия равнодействующей F пройдёт
через центр окружности (точка О).
Задача 6. Построить эпюру избыточного гидростатического давления воды на подпорную комбинированную стенку
шириной b = 4,0 м (рис. 2.6). Определить горизонтальную и вертикальную составляющие силы давления воды на криволинейный участок АВ стенки, а также равнодействующую сил давления и её линию действия, если Н1 = 3,0 м; r = 2,0 м; Н2 = 4,0 м.
Плотность воды принять равной ρ = 1000 кг/м3.
Решение. По формуле (1.15) определяем избыточное давление в характерных точках:
р1 = ρgh1 = ρg ⋅ 0 = 0;
р A = ρghA = ρgH1 = 1000 ⋅ 9 ,81 ⋅ 3,0 = 29430 Па;
р2 = ρgh2 = ρg ( H1 + r ) = 1000 ⋅ 9,81(3,0 + 2,0) = 49050 Па;
рB = ρghB = ρg ( H1 + 2r ) = 1000 ⋅ 9 ,81(3,0 + 2 ⋅ 2,0) = 68670 Па;
р3 = ρgh3 = ρg ( H1 + 2r + H 2 ) = 1000 ⋅ 9,81(3,0 + 2 ⋅ 2,0 + 4,0) =
= 107910 Па.
Учитывая, что давление направлено перпендикулярно поверхности стенки, строим эпюру давления (рис. 2.6, а).
Горизонтальная составляющая FГ силы весового давления
на криволинейную поверхность АВ равна силе давления на вертикальную проекцию ω В ( A′B′) этой поверхности, её вычисляем
по формуле (1.27):
FГ = рC ω В = ρghC ω В = ρg ( H1 + r )2rb = 1000 ⋅ 9,81×
× (3,0 + 2,0) 2 ⋅ 2,0 ⋅ 4,0 = 784800 H = 784,8 кН.
Так как эпюра давления на стенку ω В имеет вид трапеции,
то линия действия силы FГ проходит через центр тяжести трапеции (рис. 2.6, б).
26
б)
а)
Рис. 2.6
Вертикальная составляющая FВ силы давления равна весу
жидкости в объёме тела давления WТ.Д и направлена вверх. Значение силы FВ вычисляем по формуле (1.28):
πr 2
3,14 ⋅ 2 ,0 2
4 ,0 =
b = 1000 ⋅ 9 ,81
2
2
= 246427 ,2 H ≈ 246,4 кH.
FВ = ρgWТ.Д = ρg
Линия действия силы FВ проходит через центр тяжести тела
давления (фигура А2В), т.е. на расстоянии 0,424 r (прил. 2) от
вертикали АВ, что составляет
0,424 · 2,0 = 0,85 м.
Силу суммарного давления F воды на криволинейный участок стенки вычисляем по формуле (1.26):
F = FГ2 + FB2 = 784,82 + 246,4 2 = 822,6 кН.
27
По формуле (1.29) вычисляем угол наклона β равнодействующей сил давления к горизонту:
tg β =
FB 246,4
=
= 0,314;
FГ 784,8
β = arctg 0,314 = 17 o 26′.
Так как образующая криволинейной поверхности описывает окружность, то линия действия равнодействующей F проходит через центр окружности (точка О).
28
3. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № 1
3.1. Общие положения
Изучая раздел «Гидростатика», студент должен выполнить
одну контрольную работу. В состав контрольной работы входят
письменные ответы на три теоретических вопроса и решение
пяти задач.
Номера теоретических вопросов выбираются по числам,
заканчивающимся последней цифрой шифра зачётной книжки.
Например, если шифр заканчивается цифрой 3, студенту необходимо ответить на вопросы 3, 13, 23; если шифр заканчивается
цифрой 0, студенту необходимо ответить на вопросы 10, 20, 30
и т.д.
При решении задач номер схемы выбирается по последней
цифре шифра зачётной книжки, а номер варианта – по предпоследней цифре. Например, если шифр заканчивается цифрами 37,
принимается схема 7, вариант 3; если шифр заканчивается цифрами 20, принимается схема 0, вариант 2 и т.д.
3.2. Вопросы к контрольной работе № 1
1. Дайте определение гидравлики как научной дисциплины. Укажите её связь с другими дисциплинами. Что изучается в
разделе «Гидростатика»?
2. В чём состоит значение гидравлики для специалистов в
области водоснабжения и водоотведения?
3. Перечислите основные физические свойства жидкостей.
4. В чём состоит отличие жидкостей от твёрдых тел и газов?
5. Какая связь существует между плотностью и удельным
весом жидкостей?
29
6. Укажите размерность удельного веса в Международной
системе единиц (СИ).
7. Что такое коэффициент объёмного сжатия жидкости?
Какова его связь с модулем упругости?
8. Что называется вязкостью жидкости?
9. В чём состоит закон вязкости Ньютона?
10. Какая связь существует между динамическим и кинематическим коэффициентами вязкости?
11. Укажите размерность динамического коэффициента
вязкости в Международной системе единиц (СИ).
12. Какими приборами измеряется вязкость жидкостей?
13. Что понимают под идеальной жидкостью?
14. Приведите значения удельного веса, плотности и вязкости воды при t = 20 0C.
15. Что называется гидростатическим давлением?
16. Перечислите основные свойства гидростатического давления.
17. Напишите дифференциальные уравнения равновесия
жидкости Эйлера.
18. Разъясните физический смысл величин, входящих в
дифференциальные уравнения равновесия жидкости.
19. Напишите основное уравнение гидростатики в простейшей гидравлической форме и объясните физический смысл
входящих в него величин.
20. В чём состоит закон Паскаля?
21. Дайте определение абсолютного и избыточного гидростатического давления.
22. Что такое вакуум и как его измеряют?
23. В каких единицах измеряется гидростатическое давление?
24. Какими приборами можно измерить гидростатическое
давление?
25. Что такое поверхность равного давления? Напишите
дифференциальное уравнение поверхности равного давления в
общем виде.
30
26. Объясните, как определяется сила весового гидростатического давления жидкости на плоскую вертикальную стенку и
на дно сосуда.
27. Что такое центр давления?
28. Почему центр давления для негоризонтальных стенок
всегда находится ниже центра тяжести смоченной поверхности
стенки?
29. В чём состоит закон Архимеда?
30. Что такое подъёмная сила? Где находится точка приложения подъёмной силы?
3.3. Задачи к контрольной работе № 1
Задача 1. Определить объём воды, который необходимо
дополнительно подать в водовод диаметром d длиной ℓ для повышения давления на величину ∆р . Деформацией трубопровода
можно пренебречь. Коэффициент объёмного сжатия воды принять равным βW = 5,0 · 10-10 Па-1. Исходные данные приведены
в табл. 3.1 и 3.2.
Таблица 3.1
Схемы исходных данных
Схема
d, мм
ℓ, км
1
2
3
4
5
300
350
400
500
600
0,95
0,90
0,85
0,80
0,75
Схема
6
7
8
9
0
d, мм
ℓ, км
700
800
900
1000
1200
0,70
0,65
0,60
0,55
0,50
31
Таблица 3.2
Варианты исходных данных
Вариант
1
2
3
4
5
∆ р , МПа
1,5
1,4
1,3
1,2
1,1
Вариант
6
7
8
9
0
∆ р , МПа
1,5
1,4
1,3
1,2
1,1
Задача 2. Замкнутый сосуд заполнен жидкостью при температуре t 0C. Определить абсолютное, а также избыточное
или вакуумметрическое давления в точке на дне сосуда, если
давление на свободной поверхности жидкости р0, а высота
слоя жидкости в сосуде равна Н. Исходные данные приведены на рис. 3.1, в табл. 3.3 и 3.4.
Рис. 3.1
Таблица 3.3
Схемы исходных данных
Схема
1
2
3
4
5
32
Жидкость
Вода
Вода
Вода
Вода
Вода
Температура
t, 0C
10
20
30
40
50
Схема
Жидкость
6
7
8
9
0
Бензин
Глицерин
Керосин
Нефть
Ртуть
Температура
t, 0C
20
20
20
20
20
Таблица 3.4
Варианты исходных данных
Вариант
1
2
3
4
5
ро, кПа
25
50
75
100
125
Н, м
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
Вариант
6
7
8
9
0
ро, кПа
150
175
200
225
250
Н, м
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
Задача 3. Определить абсолютное р0 , а также избыточное р0изб или вакуумметрическое р0вак давления на свободной поверхности жидкости в закрытом сосуде К при температуре t = 20 0C. Исходные данные приведены на рис. 3.2 и в
табл. 3.5.
Рис. 3.2. Схемы сосудов (см. также с. 34)
33
Рис. 3.2. Окончание
Таблица 3.5
Варианты исходных данных
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
h1, м
2,0
2,2
2,5
2,8
3,1
3,4
3,7
4,0
4,3
4,5
h2, м
0,10
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
h3, м
0,40
0,50
0,65
0,80
0,95
1,10
1,25
1,40
1,55
1,65
Примечание. Если в таблице исходных данных больше, чем это необходимо
для данной схемы, то при решении задачи следует выбирать только необходимые
данные.
34
Задача 4. Построить эпюру избыточного гидростатического давления воды на ломаную прямоугольную стенку шириной b. Определить силу весового давления воды и точку приложения силы давления (центр давления) на каждый участок стенки аналитическим и графоаналитическим методами. Плотность
воды принять равной ρ = 1000 кг/м3. Исходные данные приведены на рис. 3.3 и в табл. 3.6
Рис. 3.3. Схемы подпорной стенки
35
Таблица 3.6
Варианты исходных данных
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
Н1, м
3,0
4,0
4,0
2,0
4,0
2,0
2,0
3,0
3,0
5,0
Н2, м
4,0
3,0
5,0
4,0
2,0
5,0
3,0
2,0
5,0
3,0
а, м
2,0
2,0
2,0
3,0
3,0
3,0
4,0
4,0
4,0
4,0
b, м
5,0
6,0
6,0
5,0
5,0
4,0
5,0
5,0
2,0
2,0
Примечание. Если в таблице исходных данных больше, чем это необходимо
для данной схемы, то при решении задачи следует выбирать только необходимые
данные.
Задача 5. Построить эпюру избыточного гидростатического давления воды на подпорную стенку шириной b. Определить
горизонтальную и вертикальную составляющие силы давления
воды на криволинейный участок АВ стенки, а также равнодействующую сил давления и её линию действия. Плотность воды
принять равной ρ = 1000 кг/м3. Исходные данные приведены на
рис. 3.4 и в табл. 3.7.
36
Рис. 3.4. Схемы подпорной стенки
37
Таблица 3.7
Варианты исходных данных
Вариант
r, м
H, м
b, м
Вариант
r, м
H, м
b, м
1
2,0
3,0
4,0
6
4,0
3,0
6,0
2
3,0
2,0
4,0
7
2,0
4,0
3,0
3
3,0
4,0
5,0
8
4,0
2,0
3,0
4
4,0
3,0
5,0
9
4,0
3,0
2,0
5
4,0
5,0
6,0
0
3,0
4,0
2,0
Примечание. Если в таблице исходных данных больше, чем это необходимо
для данной схемы, то при решении задачи следует выбирать только необходимые
данные.
38
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящем учебном пособии содержатся краткие теоретические сведения по разделу «Гидростатика» курса «Гидравлика», приведены примеры решения наиболее характерных задач этой части курса, содержится контрольное задание, включающее в себя теоретические вопросы и практические задачи,
предназначенные для самостоятельной работы студентов.
Представленный в учебном пособии материал окажет помощь при изучении теоретической части курса и выработке
навыков в применении теоретических знаний при решении
конкретных инженерных задач. Освоение этого материала поможет студентам лучше подготовиться к изучению многих последующих дисциплин по специальности «Водоснабжение и
водоотведение».
При изучении курса «Гидравлика» студентам следует обратить внимание на то обстоятельство, что при кажущейся
внешней простоте и доступности изложенного материала этот
курс является довольно сложным и в теоретическом, и в практическом плане и требует постоянных ежедневных усилий для
его освоения.
Настоящее учебное пособие может оказаться полезным
специалистам, работающим в области проектирования, строительства и эксплуатации систем водоснабжения и водоотведения, а также специалистам других отраслей.
39
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Константинов, Ю.М. Гидравлика / Ю.М. Константинов.
– Киев : Выща школа, Головное издательство, 1988. –
398 с.
2. Альтшуль, А.Д. Гидравлика и аэродинамика / А.Д. Альтшуль,
П.Г. Киселев. – М. : Стройиздат, 1975. – 323 с.
3. Чугаев, Р.Р. Гидравлика / Р.Р. Чугаев. – Л. : Энергоиздат,
Л. отделение, 1982. – 672 с.
4. Примеры расчётов по гидравлике / под ред. А.Д. Альтшуля. – М. : Стройиздат, 1976. – 255 с.
5. Примеры гидравлических расчётов / под ред. Н.М. Константинова. – М. : Транспорт, 1987. – 440 с.
6. Примеры гидравлических расчётов / под ред. А.И. Богомолова. – М. : Транспорт, 1977. – 526 с.
40
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Плотность ρ некоторых жидкостей
Жидкость
Температура
ρ , кг/м3
0
t, C
Бензин
20
739 – 780
Вода
0
999,87
Вода
4
1000,0
Вода
10
999,73
Вода
20
998,23
Вода
30
995,67
Вода
40
992,24
Вода
50
988,07
Глицерин
20
1250
Керосин
20
792 – 860
Масло касторовое
20
970
Масло льняное
20
930
Масло минеральное
20
877 – 892
Нефть
20
760 – 900
Ртуть
20
13550
41
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Положение центра тяжести (x), площадь (ω)
•
и моменты инерции ( Ic ) некоторых плоских фигур относительно горизонтальной оси,
проходящей через центр тяжести С
Форма поперечного
сечения
42
•
x
ω
Ic
H
2
bH
bH 3
12
H
3
1
bH
2
bH 3
36
Продолжение прил. 2
Форма поперечного
сечения
x
H 2b + a
3 a+b
D
=r
2
0,424r
•
ω
Ic
a+b
H
2
H 3 a 2 + 4ab + b 2
36(a + b )
πD 2
=
4
= πr 2
πD 4 πr 4
=
64
4
πD 2
=
8
πr 2
=
2
(
)
9π2 − 64 4
r ≈
72π
≈ 0,11r 4
43
Окончание прил. 2
Форма поперечного
сечения
44
•
x
ω
Ic
0,424r
πD 2 πr 2
=
16
4
0,0547r 4
0,223r
0,215r 2
0,00755r 4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение………………………………………………………...
1. Основные сведения по теоретической части курса……..
1.1. Определение жидкости…………………………………..
1.2. Основные физические свойства жидкости……………..
1.3. Гидростатическое давление……………………………..
1.4. Поверхность уровня и ее свойства………………….......
1.5. Сила давления жидкости на плоские поверхности……
1.6. Сила давления жидкости на криволинейные поверхности……………………………………………………....
2. Примеры решения задач…………………………………..
3. Контрольное задание № 1………………………………….
3.1. Общие положения………………………………………..
3.2. Вопросы к контрольной работе № 1…………………….
3.3. Задачи к контрольной работе № 1………………….......
Заключение…………………………………………………….
Список рекомендуемой литературы………………………..
Приложения……………………………………………………..
3
5
5
6
8
11
11
15
18
29
29
29
31
39
40
41
45
Учебное издание
ВАСИЛИЙ КУЗЬМИЧ МАХЛАЁВ
ГИДРАВЛИКА. ГИДРОСТАТИКА
Учебное пособие
Редактор Т.С. Володина
Компьютерная вёрстка Н.К. Чегошева
Подписано в печать 28.02.07 г.
Формат 60х90/16. Бумага офсет. Гарнитура Таймс. Печать офсет.
Усл. печ. л. 2,8. Уч-изд. л. 2,5. Тираж 200 экз. Заказ № 22.
Изд-во ТГАСУ, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2.
Отпечатано с оригинал-макета в ООП ТГАСУ.
634003 г. Томск, ул. Партизанская, 15.
46