ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÅËÜ ÏÐÎÖÅÑÑÀ ÑÌÀ×ÈÂÀÍÈß ÏÐÈ ÄÂÈÆÅÍÈÈ ÆÈÄÊÎÑÒÈ Â ÂÅÐÒÈÊÀËÜÍÎÉ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ Îëèôåðîâè÷ Í. Ì., Ãðèíþê Ä. À., Îðîáåé È. Î. Êàôåäðà àâòîìàòèçàöèè òåõíîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññîâ è ýëåêòðîòåõíèêè , Áåëîðóññêèé ãîñóäàðñòâåííûé òåõíîëîãè÷åñêèé óíèâåðñèòåò Ìèíñê, Ðåñïóáëèêà Áåëàðóñü E-mail: bogosnadya@rambler.ru Äëÿ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ïðîöåññàìè ñìà÷èâàíèÿ íåîáõîäèìî ïîëó÷åíèå çàêîíîâ, îïèñûâàþùèõ äàííîå ÿâëåíèå. Àâòîðàìè áûëî ðàçðàáîòàíî óñòðîéñòâî, êîòîðîå ïîçâîëÿåò ïî íàðàñòàíèþ åìêîñòè êîíäåíñàòîðà îïðåäåëÿòü âðåìÿ êàïèëëÿðíîãî âïèòûâàíèÿ òåñòîâîé áóìàãîé. Êîíñòðóêöèÿ ïåðâè÷íîãî ïðå- Р îáðàçîâàòåëÿ äàííîãî ïðèáîðà ïðåäóñìàòðèâàåò ðàäèàëüíîå èëè âåðòèêàëüíîå ðàñïðîñòðàíåíèå ôðîíòà ñìà÷èâàíèÿ. Äëÿ èíòåðïðåòàöèè ïîêàçàíèé ïðèáîðà íåîáõîäèìà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü, êîòîðàÿ îòîá- БГ УИ ðàæàåò çàâèñèìîñòü èçìåíåíèÿ ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè ñìî÷åííîé áóìàãè îò âðåìåíè.  äàííîé ðàáîòå ïðåäñòàâëåíà ìîäåëü, ïîëó÷åííàÿ äëÿ ñëó÷àÿ âåðòèêàëüíîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ ôðîíòà. Ââåäåíèå f1,r = 2πr (σ12 − σ13 ) , (1) ãäå σ12 , σ13 ìåæôàçíîå íàòÿæåíèå ¾òâåðäîå òåëî ãàç¿ è ¾òâåðäîå òåëî æèäêîñòü¿ ñîîòâåòñòâåííî. Ýòà ñèëà îïðåäåëÿåòñÿ êîëè÷åñòâîì êàïèëëÿðîâ, ïðèõîäÿùèìñÿ íà ïåðèìåòð òåêóùåãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ ôðîíòà, ò.å. ек а Èññëåäîâàíèå ïîâåðõíîñòíûõ ÿâëåíèé íà ãðàíèöàõ ðàçäåëà ñïîñîáñòâóåò èíòåíñèôèêàöèè èçâåñòíûõ è ñîçäàíèþ íîâûõ òåõíîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññîâ äëÿ âûñîêîäèñïåðñíûõ ñèñòåì. Áîëüøîå çíà÷åíèå ïðèîáðåòàåò èññëåäîâàíèå ÿâëåíèé íà ãðàíèöå ðàçäåëà òâåðäîãî òåëà ñ æèäêîñòüþ. Ýòè ýôôåêòû ÿâëÿþòñÿ íà÷àëüíûìè è ñóùåñòâåííûìè ñòàäèÿìè ðàçíûõ òåõíîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññîâ. Ðàçðàáîòêà ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ñìà÷èâàíèÿ òâåðäîãî òåëà îòêðûâàåò íîâûå âîçìîæíîñòè óïðàâëåíèÿ ýòèìè ïðîöåññàìè [1-3]. Âêëàä ñèëû ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ îäíîãî êàïèëëÿðà èìååò âèä [4]: f1 = 2πr (σ12 − σ13 ) lnhn, (2) ãäå n êîëè÷åñòâî êàïèëëÿðîâ ïî ôðîíòó ðàñïðîñòðàíåíèÿ æèäêîñòè. n ÷åðåç âåëè÷èíó ïîðèÎöåíêó äèíàìèêè ïðîöåññà âïèòûâàíèÿ ñòîñòè ìàòåðèàëà γ âûðàæàåòñÿ â âèäå: ìîæíî ïðîèçâîäèòü ïî íàáëþäåíèþ çà ïðîöåññîì γ = Vnn /V0 , (3) ïðîïèòêè ôèëüòðîâàëüíîé áóìàãè ñ çàðàíåå èçâåñòíûìè ñâîéñòâàìè. Ðàññìîòðèì âàðèàíò äâè- ãäå Vnn = xhln2 πr2 îáúåì ïîðîâîãî ïðîæåíèÿ æèäêîñòè ïî êàïèëëÿðàì ïîðèñòîãî òåëà ñòðàíñòâà ïî ôðîíòó ðàñïðîñòðàíåíèÿ æèäêîñòè, V0 = xhl îáúåì îáðàçöà, ñìî÷åííûé æèäâ âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè (ñì.ðèñ. 1). êîñòüþ. Òîãäà ôîðìóëà (3) ïðèìåò âèä: Би бл ио т Îñíîâíàÿ ÷àñòü γ= xyln2 πr2 = n2 πr2 . xyl Âûðàçèâ n è ïîäñòàâèâ â (2), ïîëó÷èì: f1 = 2πr (σ12 − σ13 ) ãäå 2lhγ (σ12 − σ13 ) (4) r êîýôôèöèåíò, êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ ïàðàìåòðàìè áóìàãè (òîëùèíîé, ïîðèñòîñòüþ è ðàçìåðàìè ïîð), à òàêæå êîýôôèöèåíòàìè ìåæôàçíîãî íàòÿæåíèÿ ¾òâåðäîå òåëî ãàç¿ è ¾òâåðäîå òåëî æèäêîñòü¿. Èç ïîëó÷åííîãî ðåçóëüòàòà âèäíî, ÷òî âêëàä ñèëû ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíîé ïîñòîÿííîé è íå áóäåò çàâèñèòü îò óðîâíÿ ïîäúåìà ôðîíòà ñìà÷èâàíèÿ x. Äåéñòâèå ñèëû òÿæåñòè áóäåò îïðåäåëÿòü äàâëåíèå æèäêîñòè ρgx, êîòîðàÿ ïåðåìåùàåòñÿ A1 = Ðèñ. 1 Ãåîìåòðè÷åñêèå ïàðàìåòðû èçìåðèòåëüíîãî ïðåîáðàçîâàòåëÿ Îáðàçåö ôèëüòðîâàëüíîé áóìàãè èìååò òîëùèíó h, øèðèíó l, ñ îñíîâíûì ýôôåêòèâíûì ðàçìåðîì êàïèëëÿðà r. Ñîãëàñíî ïîðèñòîñòè γ íà 1 ìåòð äëèíû ïîìåùàåòñÿ n êàïèëëÿðîâ ðàäèóñîì r. lhγ 2lhγ = (σ12 − σ13 ) = A1 , 2 r π r 224 ïî êàïèëÿðàì ôèëüòðîâàëüíîé áóìàãè, ãäå ρ ïëîòíîñòü æèäêîñòè, g óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ, õ óðîâíü ïîäúåìà ôðîíòà ñìà÷èâàíèÿ. Ýòà ñèëà áóäåò çàìåäëÿòü ïðîöåññ âïèòûâàíèÿ, åå âêëàä ìîæíî ïðåäñòàâèòü: f2 = P S = ρgxS, (5) èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà ñëåäóåò, ÷òî íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ìàññó òîëüêî òåõ êàïèëëÿðîâ, êîòîðûå ñîïðèêàñàþòñÿ íåïîñðåäñòâåííî ñ ñîñóäîì. Ò.å γ m = ρV = ρlhn2 xπr2 = ρlh 2 xπr2 = ρlhγx = F1 x, r π ãäå F1 = ρlhγ. (11) Р ãäå S ñóììàðíàÿ ïëîùàäü ýòèõ êàïèëëÿðîâ. S ìîæíî ðàññ÷èòàòü ïî ôîðìóëå: Òîãäà γ 2 2 2 2 dm S = nhnlπr = n hlπr = 2 hlπr = hlγ. = F1 ẋ. (12) r π dt Îêîí÷àòåëüíî âûðàæåíèå äëÿ äåéñòâèÿ ñèÏîäñòàâèâ çíà÷åíèÿ ñèë f1 , f2 , f3 , à òàêæå ëû òÿæåñòè ïðèìåò âèä: âûðàæåíèå, ïîëó÷åííîå äëÿ ìàññû m, â óðàâíåíèå (10), ïîëó÷èì: f2 = ρgxγhl = xC1 , A1 − xC1 − D1 xẋ = F1 ẋ2 + F1 xẍ. ãäå а БГ УИ C1 = ρgγhl. (6) Ïðåîáðàçóåì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå: Ïðè ðàñ÷åòå äèíàìèêè âïèòûâàíèÿ äëÿ ó÷åẋ2 1 A1 C1 D1 ẋ − + − ẍ = − òà âëèÿíèÿ äâèæåíèÿ æèäêîñòè â êàïèëëÿðàõ F1 x x F1 F1 ïðèíèìàþò óñëîâèå î êâàçèñòàöèîíàðíîì òå÷åÏîäñòàâèâ çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ (4), íèè (ò. å. äëÿ áîëüøèõ âðåìåí t ) è ïîëüçóþòñÿ (6), (9), (11), ïîëó÷èì: ôîðìóëîé Ïóàçåéëÿ: ẋ2 1 2∆σ 8η f3 = −8πη xẋ. (7) + −g ẍ = − 2 ẋ − r ρ x x rρ Èñïîëüçóåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó ïîñòðîåèëè íèÿ êàïèëëÿðîâ â áóìàãå (ñì. ðèñ. 2). ẋ2 1 ẍ = −b0 ẋ − + b1 − b2 . x x Âûïîëíèâ ïîäñòàíîâêó ек x = exp(y); ẋ = ẏ exp(y); ẍ = ÿ exp(y)+ẏ 2 exp(y), ïîëó÷èì: т ÿ = −b0 ẏ − 2ẏ 2 + 1 b2 b1 − . exp(2y) exp(y) (13) Çàêëþ÷åíèå Би бл ио Ðåøåíèå ïîëó÷åííîãî íåëèíåéíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (13) ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü çàâèñèìîñòü ôðîíòà ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñìîÐèñ. 2 Ñèñòåìà ïîñòðîåíèÿ êàïèëëÿðîâ ïðè ÷åííîé ïîâåðõíîñòè áóìàãè îò âðåìåíè ïðè âåðâåðòèêàëüíîì ðàñïðîñòðàíåíèè æèäêîñòè òèêàëüíîì ðàñïîëîæåíèè îáðàçöà. Ïîëó÷åííàÿ Îòäåëüíûå êàïèëëÿðû îäèíàêîâû, èìåþò ìîäåëü ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà äëÿ èíòåðïðåäëèíó x0 è ñå÷åíèå Sr , ïðè÷åì êîëè÷åñòâî êàïèë- òàöèè ïîêàçàíèé ïðèáîðà íåïðåðûâíîãî èçìåëÿðîâ â êàæäîì èç ðÿäîâ îäèíàêîâî. Èñõîäÿ èç ðåíèÿ ïðîöåññà ñìà÷èâàíèÿ [5] ïðè èñïîëüçîâàíèè ïåðâè÷íîãî ïðåîáðàçîâàòåëÿ ñ âåðòèêàëüôîðìóëû Ïóàçåéëÿ äëÿ îäèíî÷íîãî êàïèëëÿðà íûì ðàñïðîñòðàíåíèåì ôðîíòà ñìà÷èâàíèÿ. f3,r = −8πη x0 ẋ. (8) Ñèëà âÿçêîãî òå÷åíèÿ äëÿ âñåãî ñìî÷åííî1. ãî ó÷àñòêà áóìàãè îïðåäåëÿåòñÿ ñóììîé âêëàäîâ êàæäîãî ðÿäà â ñèëó âÿçêîãî òå÷åíèÿ: X 8ηγhl 2. f3 = f3,r,i = − 2 xẋ = −D1 xẋ, r 3. ãäå 8ηγhl D1 = . (9) r2 4. Ðàâíîäåéñòâóþùàÿ òðåõ ñèë d dm 5. f = f1 − f2 + f3 = (mẋ) = ẋ + mẍ. (10) dt dt Âåëè÷èíà m áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ êîëè÷åñòâîì æèäêîñòè â êàïèëëÿðàõ. Âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî ñêîðîñòü è óñêîðåíèå áóäóò íåðàâíîìåðíûìè, è ñ óäàëåíèåì îò êðàÿ áóäóò óìåíüøàòüñÿ, 225 Ñïèñîê ëèòåðàòóðû Ñóìì, Á. Ä. Ôèçèêî-õèìè÷åñêèå îñíîâû ñìà÷èâàíèÿ è ðàñòåêàíèÿ / Á. Ä. Ñóìì, Þ. Â. Ãîðþíîâ Ì.: Õèìèÿ, 1976. 232 ñ. Áûõîâñêèé, À. È. Ðàñòåêàíèå / À. È. Áûõîâñêèé. Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1983. 192 ñ. Waschburn, E. W. The dynamics of capillary ow / E. W. Waschburn // Phys. Rev. 1921. 17. P. 273283. Äåðÿãèí, Á. Â. Ñêîëüæåíèå æèäêîñòåé â êàïèëëÿðàõ / Á. Â. Äåðÿãèí, Í. Í. Ôåäÿêèí // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. - 1968. 6, ñ. 1300 1302. Ãðèíþê, Ä. À. Óñòðîéñòâî íåïðåðûâíîãî èçìåðåíèÿ ïðîöåññà ñìà÷èâàíèÿ/ Ä. À. Ãðèíþê, È. Î. Îðîáåé, Í. Ì. Áîãîñëàâ // Òðóäû ÁÃÒÓ. Ñåð. VI, Ôèç.ìàò. íàóêè è èíôîðìàòèêà. 2011. Âûï. XVIII. Ñ.108112.