Дифференциальные и интегральные уравнения 1 ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КРАЙКО Николаев Ю.В. Проблема управляемого термоядерного синтеза приводит к необходимости решения задач о безударном сильном сжатии первоначально однородного и покоящегося газа. Одной их таких задач является задача об изэнтропическом переходе идеального газа из однородного состояния покоя в другое однородное состояние покоя с большим значением плотности, задача предложенная А.Н. Крайко [2]. Решение построено для плоских, цилиндрических и сферических слоев идеального газа. Сжимающие течения возникают под действием двух поршней, один из которых неподвижная стенка. Детальное исследование задачи Крайко, проведенное С.П. Баутиным [1], привело к постановке трех начально-краевых задач для системы уравнений газовой динамики, последовательное решение которых дает решение задачи Крайко. Решение первой задачи непрерывно примыкает к фоновому течению, описывающему несжатый газ. Решение второй задачи состыкуется с решением первой задачи через характеристику и удовлетворяет условию непротекания на неподвижной стенке, т.е. скорость вдоль стенки равна нулю. Решение третьей задачи с одной стороны примыкает к решению второй задачи, с другой стороны к течению описывающему сжатый покоящийся газ. В работе [1] показано существование локально-аналитических решений, но доказанные теоремы не позволяют определить массу газа и плотность сжатого газа, для которых возможно существование решения задачи Крайко. Ответ на этот вопрос можно получить с помощью численных методов. В данном сообщении рассказывается о решении задачи Крайко, полученном с помощью численного алгоритма расчета течений, в основе которых лежит известный метод характеристик, позволяющий достаточно точно рассчитывать одномерные нестационарные течения газа. Рассчитаны течения возникающие при изэнтропическом переходе газа из первоначально однородного и покоящегося с плотностью ρo = 1 в однородный покоящийся газ с плотностью ρ = ρ∗ . Рассматривается политропный газ с уравнением состояния p=ργ /γ, где p давление; γ = const > 1. Для описания одномерных изэнтропических течений идеального политропного газа в исследуемой задаче Крайко рассматривается система уравнений газовой динамики для скорости газа u и скорости звука c = ρ(γ−1)/2 ( νu ct + ucr + (γ−1) 2 c(ur + r ) = 0, (1.1) 2 ut + (γ−1) ccr + uur = 0. Математическое исследование решения задачи Крайко [1] показало, что в рассчитываемом течении особенность возникнет на поршне в момент сильного сжатия . А именно, в этой точке будет скачок по плотности от ρ∗ до 0 (задача об истечении газа в вакуум). Течение в некоторой ненулевой окрест- 2 Труды XXXIII Молодежной школы-конференции ности этой точки является обобщением центрированной волны Римана, а в самой точке имеет место связь(см.[3]): γ−1 u, 2 Рассматривается случай сжатия снаружи. Получены конкретные значения массы газа при ρ∗ = 104 −105 , для которых возможно решение задачи Крайко. Расчеты проводились для газа с показателем политропы γ = 1.4 и γ = 53 . c=1+ Список литературы [1]. Баутин С.П. О существовании решений задачи А.Н. Крайко. - Прикладная математика и механика, 2000, т. 41, N 3, 48-55. [2]. Крайко А.Н. Вариационные задачи газовой динамики. - М.: Наука, 1979. [3]. Баутин С.П. Математическая теория безударного сильного сжатия идеального газа. - Наука, Новосибирск, 1997.