ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КИНЕМАТИКИ 1

Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова
Физика атомного ядра и элементарных частиц.
Общий курс физики, III семестр. Семинары.
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ
КИНЕМАТИКИ
1
Система единиц Гаусса
Время
Энергия, масса
E = mc2
Энергия покоя
1с
1 эВ= 1, 6 · 10−12 эрг= 1, 6 · 10−19 Дж.
1 эВ =10−3 кэВ = 10−6 МэВ = 10−9 ГэВ = 10−12 ТэВ
Длина
Скорость света в вакууме
Заряд электрона
Постоянная Планка
Константы
2
электрона 0,511 МэВ
протона 938,232 МэВ
нейтрона 939,566 МэВ
1 фм (ферми)= 10−13 см
1 Å (ангстрем)= 10−8 см
c = 3 · 1010 см·с−1
4, 8 · 10−10 ед. СГС
h
= 6, 28 · 10−22 МэВ·c
h̄ = 2π
e2
1
h̄c = 197 МэВ·фм, h̄c
= 137
Натуральная система единиц (система Хевисайда)
В данном разделе используется специальная система единиц, в которой постоянная
Планка h̄ и скорость света c считаются безразмерными единичными постоянными: h̄ =
c = 1. В этой системе единиц, естественной для релятивиской физики элементарных
частиц,
[длина] = [время] = [энергия]−1 = [масса]−1 .
Поэтому масса (m) частицы равна ее энергии покоя (mc2 ) , а также ее обратной комптоновской длине волны (mc/h̄). Например,
me = 9, 109 · 10−28 г = 0, 511 МэВ = (386, 2 фм)−1 .
1
Для перевода велечин удобно пользоваться константой h̄c = 197 МэВ·фм. Некоторые
переводные множители:
(1 МэВ)/c2 = 1, 783 · 10−21 г;
(1 Мэв)−1 (h̄c) = 197, 3 · 10−13 см = 197.3 фм;
(1 ГэВ)−2 (h̄c)2 = 0, 3894 мбарн
1 барн = 10−24 см2 = 100 фм2
Энергии пучков ускоренных частиц всегда выражаются в электронвольтах. Выбор
энергетической переменной не является единственным, на практике используются следующие варианты:
1. Кинетическая энергия частицы T = E −m используется в той области энергий, где
энергия покоя существенно превышает кинетическую энергию; T является стандартной
переменной в ядерной физике.
2. Полная энергия E частиц используется в области высоких энергий ( E ≥ 1 ГэВ).
3. Импульс p частиц (в единицах МэВ/c).
Все эти переменные равнозначны, а при E m они становятся равными друг другу.
Для фотонов это равенство справедливо при любых энергиях.
Задача 2.1 Выразить размерности величин энергии E, импульса p, времени t,
длины l, сечения σ в единицах массы [m].
Решение Размерность любой величины можно выразить как комбинацию единиц
массы, длины и времени: [A] = mx ly tz . Например, [h̄] = Дж·c = Н·м·с = кг· м2 ·с−1 ,
[c] = м·c. Поскольку в естественной системе единиц h̄ = c = 1, то [h̄/c] = 1 = кг·м,
следовательно, [l] = 1/m. Размерность [h̄/c2 ] = 1 = кг·с, ⇒ [t] = 1/m.
Энергия [E] = Дж = кг· м2 ·с−2 = [m]1−2+2 = m,
импульс [p] = [mv] = кг· м·с−1 = [m]1−1+1 = m, сечение [σ] = см2 = [m]−2 .
Задача 2.2 Показать, что в естественной системе единиц (h̄ = c = 1):
а) 1 ГэВ−2 = 0,389 мб (миллибарн).
б) 1 м = 5,068·1012 МэВ−1
в) 1 c = 1,5·1024 ГэВ−1
Решение h̄c = 197, 3 МэВ·фм. В естественной системе единиц h̄ = c = 1, следовательно
1 = 197, 3 МэВ·фм = 0, 1973 ГэВ ·10−13 см. Соответственно:
а) 1 ГэВ−2 = 0,389 миллибарн, б) 1 м = 5,068·1012 МэВ−1 .
в) h̄ = 1 = 1, 055 · 10−34 Дж·с = 1, 055 · 10−34 Дж·с /1,6·10−10 Дж/ГэВ, следовательно
1 c = 1,5·1021 ГэВ−1
2
3
Преобразования Лоренца
Рассмотрим материальную точку с массой покоя m. Ее координаты в инерциальной
системе отсчета S определяются как (t, r) = (t, x, y, z), а скорость u = |u|. Координаты
той же точки в другой инерциальной системе отсчета S 0 (t0 , x0 , y 0 , z 0 ), движущейся относительно S вдоль оси z с постоянной скоростью v, связаны с координатами в системе
S через преобразования Лоренца (рис. 1).
x’
x
S
v
S’
r',t
'
M
r,t
z
y
z’
y’
Рис. 1: Штрихованная система S 0 движется относительно системы S со скоростью v вдоль оси z.
В случае, если координатные оси систем z и z 0 сонаправлены с вектором v и в начальный момент времени t = t0 = 0 начала координат обеих систем совпадали, то
преобразования Лоренца даются выражениями:
x0 = x; y 0 = y; z 0 = γ(z − βct); ct0 = γ(ct − βz),
где β =
v
c
(1)
= v - скорость системы отсчета в единицах c (0 ≤ β ≤ 1), а
γ=√
1
– лоренц-фактор.
1 − β2
Скорость частицы u0 в системе S 0 связана со скоростью u в системе S соотношением:
ux
uy
uz − v
u0x =
; u0y =
; u0z =
,
(2)
2
2
γ(1 − uz v/c )
γ(1 − uz v/c )
1 − uz v/c2
Обратные преобразования Лоренца получаются взаимной заменой координат ri ↔ ri0 ,
ui ↔ u0i и учетом изменения направления вектора скорости v → −v. При малых скоростях преобразования Лоренца совпадают с выражениями для нерелятивистских преобразований Галилея.
Относительность пространственных расстояний (Сокращение ЛоренцаФитцджеральда): l0 = l/γ.
Относительность промежутков времени между событиями (релятивистское замедление времени): ∆t0 = γ∆t.
Относительность одновременности событий. Если в системе S для событий A и
B tA = tB и xA 6= xB , то в системе S 0 t0A = t0B + γv/c2 (xB − xA ).
3
В общем случае преобразования Лоренца записываются в терминах 4-векторов a =
(a , a) = (a0 , a1 , a2 , a3 ). При относительном движении систем S и S 0 , рассмотренном
выше (рис. 1), 4-вектор a преобразуется следующим образом:
0
a00 = γ(a0 − βv 3 ), a01 = a1 , a02 = a2 , a03 = γ(a3 − βa0 ).
Скалярное произведение двух 4-векторов a и b в 4-мерном пространстве времени
определяется как:
X
X
a·b=
aµ b µ =
gµν aµ bν = a0 b0 − ab
(3)
µ
µν
и является инвариантом, то есть сохраняется во всех инерциальных системах отсчета. Таким образом, квадрат 4-вектора также является инвариантом. Например, квадрат
4-вектора координаты (x)2 = (ct, r)2 = c2 t2 − (r)2 = τ 2 определяет "собственное"время
частицы (т.е. время в ее системе отсчета). 4-вектор скорости u = γ(c, v) вводится таким
образом, чтобы (u)2 = c2 .
Основной 4-вектор кинематики, 4-импульс, определяется как
P = mu = mγ(c, v) = (E/c, p).
Так как u2 = c2 , то (P )2 = m2 c2 = (E/c)2 − (p)2 , или
E 2 = c2 p2 + (mc2 )2 .
Следовательно,
E = γmc2 = γm, p = γmv, v = c2 p/E = p/E.
(Далее мы будем работать в системе естественной единиц h̄ = c = 1)
Преобразования Лоренца для 4-импульса:
E 0 = γ(E − βpz ), p0x = px , p0y = py , p0z = γ(pz − βE)
(4)
Скалярное произведение импульсов является инвариантом по определению (3). Вместо произведения импульсов двух частиц, например P1 P2 , обычно используют квадрат
инвариантной массы двух частиц (s-инвариант):
s12 = (P1 + P2 )2 = m21 + m22 +
2(E1 E2 − p1 p2 )
.
(5)
или квадрат переданного импульса (t-инвариант)
t12 = (P1 − P2 )2 = m21 + m22 − 2(E1 E2 − p1 p2 ).
Эффект Доплера. Если в системе S (рис. 1) в направлении оси z испущен фотон
энергии E0 = |p0 |, то его энергия в системе отсчета S 0 составит
E = γ(E0 − β|p0 |) = γE0 (1 − β),
4
E
ν
λ0
=
=
=
E0
ν0
λ
s
1−β
.
1+β
Параметр смещения в этом случае z = (λ − λ0 )/λ0 > 0, что соответствует красному
смещению λ > λ0 . Если скорость системы S 0 направлена в противоположную сторону
(наблюдатель приближается к источнику света), то знаки меняются на противоположные:
s
E
1+β
ν
λ0
=
=
=
.
E0
ν0
λ
1−β
В данном случае наблюдается синее смещение: λ < λ0 . Поскольку в общем случае
преобразование Лоренца запивывается как E = γ(E0 − (vp)/c2 ), то, в отличие от классической физики, в релятивистском случае возможен поперечный эффект Доплера :
ν/ν0 = γ.
Задача 3.1 Из формул, соответствующих синему смещению, получить классическую
формулировку эффекта Доплера.
Решение Используя разложение в ряд:
ν
=
ν0
s
1+β
β
β
= (1 + + . . .)(1 + − . . .) = 1 + β + (O),
1−β
2
2
для относительного изменения частоты излучения получим: 4ν/ν0 = β = v/c, что
соответствует классической формулировке эффекта Доплера (без учета среды):
ν = ν0 (1 + v/vsound ).
4
Системы отсчета
Рассмотрим двухчастичный процесс a+b → c+d. 4-х импульсы сталкивающихся частиц
Pa = (Ea , pa ) и Pb = (Eb , pb ) соответственно. Обычно используются следующие системы
отсчета (рис. 2):
pa*
pa
Система центра инерции (СЦИ)
pa
x’
x
pb*
pb = 0
θ
pb
S
S’
Система встречных пучков
Система покоя мишени
(Лабораторная система)
y
Рис. 2: Определение некоторых систем отсчета
1. Система центра инерции (СЦИ) – система, в которой p∗a + p∗b = 0. Величины в
СЦИ будут отмечаться звездочкой.
5
y’
В СЦИ |p∗a | = |p∗b | = |p|.
s12 = (P1 + P2 )2 = (Ea∗ + Eb∗ )2 =⇒
√
s = (Ea∗ + Eb∗ )
(6)
2. Система покоя мишени – система, в которой частица b (мишень) покоится, pb = 0,
Eb = mb . Обычно под лабораторной системой (ЛС) отсчета подразумевается именно
система покоя мишени. s-инвариант в системе покоя мишени:
s = m2a + m2b + 2Ea mb .
Энергия налетающей частицы, выраженная через s–инвариант:
s − (ma )2 − (mb )2
,
2mb
Ea =
(7)
3. Система встречных пучков – система, в которой частицы равной массы и равных
по абсолютной величине импульсов сталкиваются под углом π − θ. При θ = 0 совпадает
с СЦИ. В общем случае в данной системе массы и импульсы сталкивающихся частиц
могут различаться.
Задача 4.1 Получить выражение для пороговой энергии реакции в СЦИ и в лабораторной системе отсчета в релятивистском и нерелятивистском случаях. Выписать
выражения через массы частиц и через энергию реакции Q.
Решение Рассмотрим реакцию a + b → c + d + f... Пороговая энергия реакции – это
дополнительная кинетическая энергия, необходимая для осуществления эндотермической реакции (Q < 0). Данное значение энергии соответствует предельному случаю,
когда продукты реакции образуются с нулевыми импульсами в СЦИ. Таким образом
s-инвариант в конечном состоянии равен квадрату суммы масс конечных продуктов:
P
P
s = ( f Pf∗ )2 = ( f mf )2 (индекс f соответствует конечным (final) продуктам реакции
P
). В начальном состоянии в СЦИ s = ( i Pi∗ )2 = (Ea∗ + Eb∗ )2 . Следовательно, суммарP
ная энергия должна быть Ea∗ + Eb∗ = f mf ; пороговая кинетическая энергия в СЦИ:
P
P
Ta∗ + Tb∗ = f mf − i mi = |Q|.
В лабораторной системе отсчета импульс частицы-мишени pb = 0 и Eb = mb . Соответственно, s-инвариант в лабораторной системе в начальном состоянии равен:
s = (Pa + Pb )2 = (Ea + Eb )2 − (pa − pb )2 = m2a + m2b − 2Ea mb .
Приравнивая s в начальном и конечном состояниях, получаем:
P
Ea =
(
f
mf )2 − m2a − m2b
,
2mb
mf )2 − (ma + mb )2
.
2mb
Раскладывая разность квадратов и выделяя Q, получим:
Ta = Ea − ma =
(
(8)
P
f
Ta = −Q 1 +
6
ma
−Q
+
mb 2mb
(9)
(10)
Значение пороговой энергии реакции в лабораторной системе всегда больше соответствующего значения в системе центра инерции. Их разность (добавка в (10) определяет
ту часть энергии, которая идет на движение центра инерции в лабораторной системе.
В нерелятивистском пределе кинетическая энергия (и Q-реакции) значительно
меньше масс частиц, поэтому вкладом последнего слагаемого в (10) можно пренебречь.
Задача 4.2 В электрон-протонном коллайдере электронный пучок с энергией Ee
(Ee me ) сталкивается с протонным пучком энергии Ep (Ep mp ) под углом θ.
Рассчитать полную энергию столкновения в системе центра масс и оценить, какая
энергия электронного пучка потребовалась бы для создания эквивалентной установки
с фиксированной мишенью.
∗
=
Решение Энергия столкновения ECM
4-х импульсов сталкивающихся частиц:
√
s, где s - инвариант есть квадрат суммы
s = (Pe∗ + Pp∗ )2 = (Pe∗ )2 + (Pp∗ )2 + 2Pe∗ Pp∗ = m2e + m2p + 2(Ep∗ Ee∗ − (~p∗e p~∗p ))
Поскольку массами электрона me и протона mp при данных энергиях пучков можно
пренебречь, окончательно получим (с учетом p∗ = |~p∗ | = E ∗ ):
s = 2Ep∗ Ee∗ − 2p∗e p∗p cos(π − θ) = 2Ee∗ Ep∗ (1 − cos(π − θ∗ ))
В лабораторной системе отсчета (pp = 0, Ep = mp ) s - инвариант равен:
s = (Pe + Pp )2 = Pe2 + Pp2 + 2Pe Pp = m2e + m2p + 2mp Ee
Соответственно, энергия пучка в ускорителе с неподвижной мишенью:
EL = Ee =
s − m2e + m2p
s
≈
2mp
2mp
Что касается массы рождающихся частиц, то для ee - коллайдеров она меньше или
√
равна s ускорителя. Если же в столкновении участвуют адроны, следует учитывать
наличие у них внутренней структуры. Поскольку кварки несут лишь часть полной
√
энергии адрона, масса рождающихся частиц может быть существенно меньше s.
5
Распады частиц
При распаде частицы X энергия реакции Q = (mX − mf ) распределяется среди продуктов распада в качестве их кинетических энергий. В случае двухчастичного распада
X → A + B число уравнений (закон сохранения энергии и закон сохранения импульса) соответствует числу неизвестных, поэтому энергии и импульсы продуктов распада
определяются однозначно из соотношения масс частиц. Соответственно, энергетический
спектр продуктов распада имеет дискретный характер.
P
7
x’
x
ma ,pa*,E*a
ma ,pa ,Ea
mx ,px ,Ex
θa
mx
θb
θ*
a
θ*
b
mb,pb ,Eb
S
mb,pb*,E*b
y
Система центра инерции (СЦИ)
Лабораторная система отсчета
Рис. 3: Кинематика двухчастичного распада X → A + B в различных системах отсчета.
В случае трехчастичного распада X → A + B + C, поскольку число неизвестных возрастает и определение импульсов продуктов распада в СЦИ зависит от их направления,
спектры продуктов реакции носят непрерывный характер. Верхняя граница спектра частицы A соответствует кинематическому пределу - максимальному значению импульса
|pA |, которое достигается в том случае, если импульсы двух остальных частиц pB и
pC сонаправлены и, соответственно, их инвариантная масса mBC = mB + mC . Таким
образом, максимальные значения для энергии EA и импульса pA определяются соотношениями для двухчастичного распада X → A + BC.
Задача 5.1 Для распада X → A + B в СЦИ получить выражение для энергий и
импульсов продуктов распада через массы частиц в релятивистском случае.
Решение СЦИ связана с распадающейся частицей X, ее энергия в данной системе
EX = mX , продукты распада разлетаются под углом 180◦ . Законы сохранения энергии
и импульса:

 E +E
A
B = mX

|pA | = |pB |
Учитывая, что E 2 = p2 +m2 и подставляя выражение EB через EA во второе уравнение,
получим:
EA2 − m2A = (mX − EA )2 − (mB )2 .
Отсюда для частицы A:
m2X − m2B + m2A
2mX
(mX − mA + mB )(mX − mA − mB )
Q
mB
TA =
=Q
+
,
(11)
2mX
2mX mX
Выражения для частицы B получаются перестановкой соответствующих индексов,
EA =
8
S’
y’
причем выражение для импульса p инвариантно относительно такой перестановки:
q
|pA | = |pB | = c
(m2X − (mA + mB )2 )(m2X − (mA − mB )2 )
2mX
Полезно выписать выражения для энергий продуктов распада в некоторых частный
случаях:
а) Распад на частицы равной массы mA = mB .
TA =
mX (mX − mA − mB )
Q
=
2mX
2
(12)
б) Образование частицы с нулевой массой mA = 0.
EA =
m2X − m2B
(mX − mB )2
Q2
, TB =
=
2mX
2mX
2mX
(13)
Задача 5.2 Рассчитать верхнюю границу спектра e− в распаде мюона: µ− → e− +
ν¯e +νµ . Определить максимальные энергии нейтрино и антинейтрино. mµ = 105, 65 МэВ,
me = 0, 511 МэВ, нейтрино проиближенно считать безмассовыми.
Решение Верхняя граница спектра электронов (максимальная кинетическая энергия) достигается в случае, если импульсы нейтрино и антинейтрино сонаправлены
и направлены в противоположную сторону от импульса электрона. Поскольку массы нейтрино полагаем равными нулю, то данный случай соответствует двухчастичному распаду с образованием безмассовой частицы (13): Tµ = Q2 /(2mµ ) = 52, 3 МэВ.
Максимальные энергии нейтрино и антинейтрино совпадают и соответствуют случаю, когда импульсы электрона и антинейтрино (нейтрино) сонаправлены. Из (13)
Eν = (m2µ − m2e )/2mµ = 52, 83 МэВ.
Задача 5.3 Исходя из соотношений для двухчастичного распада получить расчетные формулы для энергий в α, β и γ - распадах.
A−4
4
Решение α-распад представляет собой двухчастичный распад A
Z X →2 He+Z−2 B, где
A и Z - массовое число и заряд ядра. Известно, что энергия α-распада Q = (mX −(mα +
mB ))c2 составляет несколько МэВ, что много меньше масс продуктов распада. Тогда,
используя соотношение mX ≈ mα + mB , из (11) получим для кинетической энергии
α-частицы
mB
A−4
Tα = Q
≈Q
mα + mB
A
и для энергии отдачи дочернего ядра
TB = Q
mα
4
≈Q .
mα + mB
A
Данные выражения для кинетических энергий соответствуют нерелятивистскому приближению.
β-распад представляет собой трехчастичный распад:
β − − распад :
A
ZX
9
−
→A
Z+1 B + e + ν¯e
β + − распад :
A
ZX
+
→A
Z−1 B + e + νe
Верхняя граница β-распад – максимальная кинетическая энергия электрона (позитрона) – соответствует случаю, когда импульсы дочернего ядра и антинейтрино (нейтрино) сонаправлены. Тогда в соответствии с (11) и учитывая, что me mX , mB , то есть
mX ≈ mB и (mX − mB )c2 ≈ Q, получим:
Te = Q
(mX − me + mB )
≈ Q.
2mX
Энергия отдачи дочернего ядра
TB = Q
(mX + me − mB )
Q2
≈
.
2mX
2mX
Максимальная энергия ν¯e (νe )определяется по соотношениям (13):
Eν =
m2X − (mB + me )2
mX + mB + me
=Q
≈ Q.
2mX
2mX
Таким образом, приближенно значение максимальной энергии нейтрино совпадает с
верхней границей спектра β - распада и спектр нейтрино зеркально симметричен спектру электронов (Nν (E) = Ne (Q − E)).
A
Третий случай β-распада, e-захват A
Z X + e →Z−1 B + νe , поскольку Te me , фактически соответствует двухчастичному распаду системы с массой mX + me . Спектр
продуктов распада носит дискретный характер, согласно (13) энергия отдачи дочернего ядра TB = Q2 /(2mX c2 ) и энергия нейтрино:
mX + mB + me
(mX + me )2 − m2B
=Q
≈ Q.
Eν =
2mX
2mX
γ-распад представляет собой процесс излучения γ-квантов ядром, находящимся в воз∗
A
бужденном состоянии: A
Z X →Z X + γ. Поскольку при возбуждении ядра его энергия связи изменяется на энергию возбуждения, m(X ∗ ) 6= m(X). С учетом того, что
Eγ mX и m(X ∗ ) ≈ m(X), из соотношений для двухчастичного распада (13) энергия
отдачи ядра TX = Q2 /(2mX ) и энергия γ-кванта:
Eγ =
m2X ∗ − m2X
mX ∗ + mX
=Q
≈ Q.
2mX
2mX
10