Франц Герман Franz Hermann Франц Герман Уравнение перетока для сообщающихся сосудов. 1.Общее уравнение Рассмотрим классическую задачу гидравлики: переток жидкости в сообщающихся сосудах. Пусть имеем два одинаковых резервуара, соединённых трубопроводом. Один полностью заполненый, другой пустой. Для простоты будем считать, что резервуары расположены на одном уровне (Рис. 1) и имеют постоянную продольную (параллельно зеркалу жидкости) площадь сечения. В абсолютном большинстве учебников по гидравлике рассматривается задача: за какое время в обоих резервуарах уровень жидкости установится одинаковым. Мы будем считать, что время перетока нам известно. Нас будет интересовать вид самого дифференциального уравнения, описывающего данный процесс. Рис. 1 Действующей силой данного процесса является сила тяжести, поэтому по аналогии с процессом свободного падения материальной точки можем записать: d 2H = − kg , dt 2 (1) здесь Н – напор (уровень жидкости), g – ускорение свободного падения, t – время, k – неизвестный пока коэффициент. Знак минус в уравнении стоит потому, что процесс явялется равнозамедленным, в отличие от равноускоренного процесса свободного d 2S падения ( 2 = g ). dt Решение уравнения (1) имеет вид: H = −k gt 2 + C1t + C 2 , 2 (2) здесь C 1 и C 2 - константы интегрирования, определяемые из начальных и граничных условий. Рассмотрим данный процесс относительно полного резервуара, из которого жидкость вытекает. При t = 0 H = H 0 . Отсюда получаем: C 2 = H 0 . При t = Т (время 1 Франц Герман Franz Hermann процесса, за которое происходит выравнивание уровней в резервуарах) H = H0 . Т. е. 2 можем записать: H0 1 = − kgT 2 + C 1T + H 0 . 2 2 kgT 2 − H 0 . Откуда получаем: C 1 = 2T В точке t = T должен быть экстремум (минимум, т. к. процесс останавливается, Рис. 2) Н H0 H0 2 t Т Рис. 2 Т. е. можем записать: • H = − kgt + C 1 = 0 (3) Откуда, при t = T , получаем: C 1 = kgT . Приравнивая два выражения для C 1 , kgT 2 − H 0 получаем такое равенство: = kgT . Из этого равенства находим выражение 2T для константы k: k=− H0 gT 2 (4) H0 . T Подставляя найденные константы в (2), получаем уравнение, показывающее зависимость напора (уровня) от времени для первого резервуара. И с учётом (4): C 1 = − H= ( H0 2 t − 2Tt + 2T 2 2T 2 ) (5) Рассмотрим данный процесс относительно второго резервуара, в который жидкость втекает. При t = 0 H = 0 . Отсюда получаем: C 2 = 0 . При t = Т (время 2 Франц Герман Franz Hermann процесса, за которое происходит выравнивание уровней в резервуарах) H = H0 . Т. е. 2 H0 kgT 2 =− + C 1T . 2 2 В точке t = T также должен быть экстремум (максимум, Рис. 3) можем записать: Н H0 H0 2 t Т Рис. 3 Рис. 4 Рассуждая аналогично предыдущему, получаем: k= H0 gT 2 (6) H0 . T Подставляя найденные константы в (2), получаем уравнение, показывающее зависимость напора (уровня) от времени для второго резервуара (приток жидкости). и C1 = H=− H0 t (t − 2T ) 2T 2 (7) С учётом найденных констант, уравнение (1) принимает вид: H d 2H = ± 20 2 dt T (8) Если перед правой частью уравнения (8) стоит плюс, то мы имеем уравнение, описывающее процесс убывания уровня жидкости для первого резервуара. Если – 3 Франц Герман Franz Hermann стоит минус, то получаем описание симметричного процесса – притока жидкости во второй резервуар. На Рис. 5 показаны диаграммы практического эксперимента перетока воды из резервуара Р1 в резервуар Р2 (данные эксперимента на диаграмме показаны точками, а теоретические кривые , построенные по формулам (5) и (7), показаны сплошной линией.) 18 16 P1_H P2_H 14 H1 H2 H [sm] 12 10 8 6 4 2 0 0 10 20 30 40 t[min] 50 60 70 80 2. Экспоненциальный вид уравнения Экспоненциальную функцию e − x можно разложить в ряд следующим образом: x2 −L 2 e−x = 1 − x + Запишем равенство (5) в таком виде: 2 ⎛ H0 2 t 1 ⎛ t ⎞ ⎞⎟ 2 ⎜ H (t ) = t − 2Tt + 2T = H 0 1 − + ⎜ ⎟ ⎜ T 2 ⎝ T ⎠ ⎟⎠ 2T 2 ⎝ ( ) Очевидно, что в скобках последнего выражения стоят три первых члена разложения экспоненциальной функции. Т. о. Можем записать: H (t ) ≈ H 0 e − t T (9) По аналогии с предыдущим равенство (7) будет иметь вид: ⎛ −t ⎞ H (t ) ≈ − H 0 ⎜⎜ e T + 1 ⎟⎟ ⎝ ⎠ 4 (10) Франц Герман Franz Hermann 3. Формула скорости воды в трубопроводе сообщающихся сосудов Формула для вычисления скорости жидкости в трубопроводе имеет вид: w= q , s (11) где q - расход жидкости, s - сечение трубопровода. Расход жидкости вычисляется по формуле: V (t ) (12) q= t V (t ) S ⋅ H (t ) = S = const . Тогда можем записать: q = . Подставляя H (t ) t полученное выражение в (11) и с учётом (9), получаем формулу скорости жидкости в трубопроводе, соединяющем наши резервуары. По условию задачи w≈ S ⋅ H 0 − Tt e s⋅t (13) Под конец хотелось бы отметить, что Природа очень насыщена законами, которые имеют вид экспоненциальных функций. И, видимо, гидродинамика здесь не является исключением. Не задаваясь какими-то объяснениями и коментариями мы просто просмотрели справочник по физике и выписали некоторые классические законы (см. Приложение). Данную задачу не сложно обобщить на случай резервуаров, расположенных на разных уровнях и имеющих другие начальные условия. Приложение Экспоненциальные законы физики 1. Механические колебания A = A0 e − btω 0 2n 2. Кинетическая теория газов Распределение Максвелла dn = ku 2 du ⋅ e ⎛ u ⎞ ⎜ ⎟ ⎜−u ⎟ ⎝ n⎠ Распределение молекул по энергиям dn w = ξdW ⋅ e Закон распределения свободных пробегов 5 − Wn kT 2 Франц Герман Franz Hermann dw ( x ) = nσ ⋅ dx ⋅ e − nσx 3. Статистическая физика Распределение Гиббса ω (E ) = Ω(E ) − Θ e Z E Барометрическая формула P = P0 e − mgz kT 4. Квантовая статистика Распределение Бозе - Эйнштейна w−µ gi = e kT − 1 Ni Распределение Ферми - Дирака w−µ gi = e kT + 1 Ni 5. Второй закон термодинамики (статистический смысл) P=e S k 6. Броуновское движение dw = ξ ⋅ e ⎛ x2 ⎜− ⎜ 2 ∆2 x ⎝ 7. Теория жидкостей Вязкость η = Te W kT Коэффициент диффузии D = ξ ⋅e − W kT − Te 2T 8. Теплоёмкость твёрдых тел Длина свободного пробега фотона λ = k⋅e 6 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ dx Франц Герман Franz Hermann 9. Теория плазмы Потенциал поля точечного заряда ϕ = ς ⋅e − r D 10. Теория полупроводников Концентрация электронов проводимости и дырок n= p= N C NV ⋅ e − ∆W 2 kT Зависимость тока от внешнего напряжения ⎛ eU ⎞ I = I 0 ⎜⎜ e kT − 1 ⎟⎟ ⎝ ⎠ Эмиссионные явления в металлах. Зависимость плотности тока холодной эмиссии от напряжённости j = ξ ⋅e − E0 E − Rt L Явление самоиндукции I = I 0e 11. Электромагнитные колебания Амплитуда затухающих колебаний A = A0 e − βt 12. Основы акустики Уравнение сферической волны ϕ= A i (kr − wt ) e r 13. Молекулярная оптика Закон Бутера - Ламберга I = I 0 e −αd 14. Тепловое излучение Формула Планка 7 Франц Герман Franz Hermann ε = ξe − hν kT 15. Квантовая механика Решение уравнения Шрёдингера − it E h f (t ) = e Объёмная плотность электрического заряда ρ = ρ0e − r a 16. Элементарные частицы Волновая функция Aα ( x ) = ξ α e iPx Потенциал взаимодействия Юкавы V (r ) = ge − mCr h 17. Электротехника падение напряжения и тока в цепи CR U = U 0e − t CR I = I 0e 8 − t CR