Три-ткани, определяемые системой обыкновенных

Три-ткани, определяемые системой
обыкновенных дифференциальных уравнений
А. А. ДУЮНОВА
Московский педагогический
государственный университет
e-mail: duyunova_anna@mail.ru
УДК 514.763.7
Ключевые слова: многомерная три-ткань, система обыкновенных дифференциальных уравнений, аффинная связность.
Аннотация
Рассматривается три-ткань W (1, n, 1), образованная на гладком многообразии размерности n + 1 двумя n-параметрическими семействами кривых и однопараметрическим семейством гиперповерхностей. Для таких тканей определено семейство адаптированных реперов, найдена система структурных уравнений, исследованы дифференциально-геометрические объекты, возникающие в дифференциальной окрестности
до третьего порядка. Показано, что всякая система обыкновенных дифференциальных уравнений однозначно определяет некоторую три-ткань W (1, n, 1). Это даёт возможность описывать свойства системы обыкновенных дифференциальных уравнений
в терминах соответствующей три-ткани. В частности, найдено условие автономности
системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Abstract
A. A. Duyunova, Three-webs defined by a system of ordinary differential equations,
Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 16 (2010), no. 2, pp. 13—31.
We consider a three-web W (1, n, 1) formed by two n-parametric family of curves and
one-parameter family of hypersurfaces on a smooth (n + 1)-dimensional manifold. For
such webs, the family of adapted frames is defined and the structure equations are found,
geometric objects arising in the third-order differential neighborhood are investigated. It
is showed that every system of ordinary differential equations uniquely defines a three-web
W (1, n, 1). Thus, there is a possibility to describe some properties of a system of ordinary
differential equations in terms of the corresponding three-web W (1, n, 1). In particular,
autonomous systems of ordinary differential equations are characterized.
Классическую геометрию три-тканей, образованных слоениями одинаковых
размерностей, начал развивать в своих работах В. Бляшке в двадцатых годах прошлого века. Современная теория тканей создавалась М. А. Акивисом,
его учениками и коллегами начиная с 1960-х годов. Основные результаты этой
теории содержатся в [4, 15].
Теорией тканей, образованных слоями разных размерностей, занимались
М. А. Акивис [2—4, 15], В. В. Гольдберг [2, 3, 9], ученики А. М. Васильева
Фундаментальная и прикладная математика, 2010, том 16, № 2, с. 13—31.
c 2010 Центр новых информационных технологий МГУ,
Издательский дом «Открытые системы»
14
А. А. Дуюнова
Н. Х. Азизова [1, 13, 14], Ю. А. Апресян [5—8], Нгуен Зоан Туан [11, 12] и
Г. А. Толстихина (см. [4, гл. 9]).
В настоящей статье рассматривается три-ткань W (1, n, 1), образованная двумя семействами кривых и одним семейством гиперповерхностей. Найдены структурные уравнения такой ткани, их первое и второе дифференциальные продолжения, структурные тензоры ткани, условия, при которых на ткани W (1, n, 1)
возникает аффинная связность. Показано, что с системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка ẋ = (x, t) связана три-ткань W (1, n, 1).
Компоненты тензоров ткани вычислены через функции, определяющие эту систему. Показано, что к системе естественным образом присоединяется аффинная
связность, которая названа канонической. В терминах ткани найдено условие автономности системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
1. Пусть M — гладкое многообразие размерности n + 1. Рассмотрим на нём
три-ткань W (1, n, 1), заданную двумя семействами кривых λ1 , λ3 и одним семейством гиперповерхностей λ2 . Обозначим Tp (M ) касательное пространство
к многообразию M в точке p, а Tp (Fα ), α = 1, 2, 3, — касательные пространства
к слоям Fα ткани W в этой точке. Рассмотрим в точке p многообразие реперов
ea , a, b, . . . = 1, 2, . . . , n + 1, первые n векторов которых лежат в Tp (F2 ), вектор en+1 — в Tp (F1 ), а вектор en − en+1 — в Tp (F3 ). Пусть ω a — двойственный
корепер, т. е.
ω a (eb ) = δba ,
где δba — символ Кронекера. Тогда для любого вектора ξ из Tp имеем
ξ = ω a (ξ)ea ,
(1)
а значит, семейства λ1 и λ2 этой ткани задаются следующими уравнениями
Пфаффа:
(2)
λ1 : ω i = 0, λ2 : ω n+1 = 0 (i, j, . . . = 1, 2, . . . , n).
Чтобы записать уравнения третьего семейства, рассмотрим произвольный вектор ξ из Tp (F3 ):
(3)
ξ = ω(ξ)(en − en+1 ).
Сравнивая равенства (1) и (3), находим уравнения третьего семейства ткани:
λ3 : ω u = 0, ω n + ω n+1 = 0
(u, v, . . . = 1, 2, . . . , n − 1).
(4)
Заметим, что базис кольца дифференциальных форм на M образуют как формы
ω u , ω n , ω n+1 , так и формы ω u , ω n (или ω n+1 ), ω n + ω n+1 . При этом базисныe
формы определены с точностью до преобразований
ω̃ u = auv ω v , ω̃ n = anv ω v + aω n , ω̃ n+1 = aω n+1 ,
det(auv ) = 0, anv = 0, a = 0,
сохраняющих вид уравнений (2) и (4). Базисные векторы eu , en , en+1 преобразуются также согласованно:
ẽu = avu ev + anu en ,
ẽn = aen ,
ẽn+1 = aen+1 .
Три-ткани, определяемые системой обыкновенных дифференциальных уравнений
Таким образом, группа допустимых преобразований
Tp (M ) состоит из матриц вида
 1
a1
a21
. . . an−1
an1
1
n−1
2
 a12
a2
. . . a2
an2

 ..
..
..
..
..
 .
.
.
.
.

n−1
2
n
a1
 n−1 an−1 . . . an−1 an−1
 0
0
...
0
a
0
0
...
0
0
15
репера ea пространства

0
0

.. 
.
.
0

0
a
Эти преобразования образуют группу Ли G — подгруппу полной линейной группы GL(n + 1, R). Таким образом, с тканью W (1, n, 1) связана G-структура [10].
Системы форм, определяющие слоения ткани, должны быть вполне интегрируемыми. Согласно теореме Фробениуса условия полной интегрируемости
слоений λ1 и λ2 (см. (2)) имеют вид
dω i = ω j ∧ ωji ,
ωji ,
n+1
dω n+1 = ω n+1 ∧ ωn+1
,
(5)
n+1
ωn+1
где
— дифференциальные формы, содержащие дифференциалы параметров, определяющих положение репера eu , en , en+1 . Разобьём уравнения (5)
на три части:
dω u = ω v ∧ ωvu + ω n ∧ ωnu ,
dω n = ω u ∧ ωun + ω n ∧ ωnn ,
dω
n+1
=ω
n+1
∧
(6)
n+1
ωn+1
.
Из (6) выводим следующие выражения для форм ω u и ω n + ω n+1 , задающих
третье семейство ткани:
dω u = ω v ∧ ωvu + (ω n + ω n+1 ) ∧ ωnu − ω n+1 ∧ ωnu ,
n+1
d(ω n + ω n+1 ) = ω u ∧ ωun + (ω n + ω n+1 ) ∧ ωnn + ω n+1 ∧ (ωn+1
− ωnn ).
(7)
Система форм ω u , ω n +ω n+1 , определяющая кривые третьего семейства, должна
быть вполне интегрируемой. Пользуясь теоремой Фробениуса, из (7) получим
ω n+1 ∧ ωnu = 0,
n+1
ω n+1 ∧ (ωn+1
− ωnn ) = 0.
Отсюда следуют равенства
ωnu = µu ω n+1 ,
n+1
ωn+1
− ωnn = µω n+1 .
(8)
Подставив (8) в (6), получим первую серию структурных уравнений рассматриваемой ткани W :
dω u = ω v ∧ ωvu + µu ω n ∧ ω n+1 ,
dω n = ω u ∧ ωun + ω n ∧ ωnn ,
(9)
dω n+1 = ω n+1 ∧ ωnn .
2. Найдём дифференциальное продолжение уравнений (9). Дифференцируя
внешним образом первое уравнение, с учётом этого же уравнения получим
u
(dµu + µv ωvu − 2µu ωnn ) ∧ ω n ∧ ω n+1 − (dωvu − ωvw ∧ ωw
− µu ωvn ∧ ω n+1 ) ∧ ω v = 0.
16
А. А. Дуюнова
Введём обозначения
∇µu = dµu + µv ωvu − 2µu ωnn ,
(10)
−
(11)
Ωuv
=
dωvu
ωvw
∧
u
ωw
.
Тогда предыдущее уравнение примет вид
(Ωuv − µu ωvn ∧ ω n+1 ) ∧ ω v − ∇µu ∧ ω n ∧ ω n+1 = 0.
(12)
Дифференцируя второе уравнение системы (9) и обозначая
Ωnu = dωun − ωuv ∧ ωvn − ωun ∧ ωnn ,
(13)
Ωnu ∧ ω u + (dωnn − µu ω n+1 ∧ ωun ) ∧ ω n = 0.
(14)
придём к уравнению
Дифференцирование третьего уравнения (9) даёт
dωnn ∧ ω n+1 = 0.
(15)
Итак, внешнее дифференцирование уравнений структуры (9) приводит к уравнениям (12), (14), (15).
Решим эти уравнения. Из уравнения (15) по обобщённой лемме Картана
выводим, что
dωnn = θ ∧ ω n+1 ,
(16)
где θ — некоторая 1-форма. Подставив (16) в уравнение (14), получим
Ωnu ∧ ω u − (θ + µu ωun ) ∧ ω n ∧ ω n+1 = 0.
(17)
Запишем формы θ + µu ωun , Ωnu в виде
θ + µu ωun = tu ω u + tn ω n + tn+1 ω n+1 + ϑ,
Ωnu = hnuvw ω v ∧ ω w + hnuvn ω v ∧ ω n + hnuv n+1 ω v ∧ ω n+1 +
+
hnun n+1 ω n
где ϑ, ϑnuv , ϑnun
u
n
n+1
∧ω
n+1
+
ϑnuv
∧ω +
v
ϑnun
∧ω +
n
ϑnu n+1
∧ω
(18)
n+1
+
ϑnu ,
и ϑnu n+1 — некоторые 1-формы, не зависящие от базисных
а ϑnu — некоторая 2-форма, не содержащая базисных форм и
,
ω ,ω иω
ϑnuv , ϑnun и ϑnu n+1 . Подставив (18) в уравнение (17), получим
форм
форм
(hnun n+1 − tu )ω u ∧ ω n ∧ ω n+1 + hn[uvw] ω v ∧ ω w ∧ ω u +
+ hn[uv]n ω v ∧ ω n ∧ ω u + hn[uv] n+1 ω v ∧ ω n+1 ∧ ω u + ϑn[uv] ∧ ω v ∧ ω u +
+ ϑnun ∧ ω n ∧ ω u + ϑnu n+1 ∧ ω n+1 ∧ ω u + ϑnu ∧ ω u − ϑ ∧ ω n ∧ ω n+1 = 0.
Так как все слагаемые, входящие в это тождество, линейно независимы между
собой, то каждое из них должно быть равно нулю в отдельности, поэтому
hnun n+1 − tu = 0,
ϑn[uv]
= 0,
ϑnun = 0,
hn[uv]n
ϑnu n+1 = 0,
=
hn[uv] n+1
=
ϑnu = 0,
n
h[uvw] = 0.
ϑ = 0,
(19)
Три-ткани, определяемые системой обыкновенных дифференциальных уравнений
17
В результате уравнения (18) примут вид
θ + µu ωun = tu ω u + tn ω n + tn+1 ω n+1 ,
Ωnu = hnuvw ω v ∧ ω w + hnuvn ω v ∧ ω n + hnuv n+1 ω v ∧ ω n+1 +
+ tu ω ∧ ω
n
n+1
+
ϑnuv
(20)
∧ω ,
v
причём входящие сюда величины удовлетворяют условиям (19). Согласно первому уравнению (20) уравнение (16) имеет вид
dωnn = tu ω u ∧ ω n+1 + µu ω n+1 ∧ ωun + tn ω n ∧ ω n+1 .
(21)
Обозначим
n
ωuv
= ϑnuv − hnuvw ω w − hnuvn ω n − hnuv n+1 ω n+1 .
Тогда второе уравнение (20) примет вид
n
Ωnu = tu ω n ∧ ω n+1 + ωuv
∧ ωv ,
(22)
при этом согласно соотношениям (19) будут выполняться условия
n
n
= ωvu
.
ωuv
(23)
Ωuv − µu ωvn ∧ ω n+1
в виде
u
u
u
w
n+1
ω w ∧ ω s + rvwn
ω w ∧ ω n + rvw
+
Ωuv − µu ωvn ∧ ω n+1 = rvws
n+1 ω ∧ ω
(24)
Наконец, решим уравнение (12). Запишем формы ∇µ ,
u
u
∇µu = kvu ω v + knu ω n + kn+1
ω n+1 + ϑu ,
+
u
n
rvn
n+1 ω
∧ω
n+1
+
ϑuvw
∧ω +
u
w
ϑuvw ,
ϑuvn
ϑuvn
∧ω +
n
ϑuv n+1
∧ω
n+1
+
ϑuv ,
ϑuv n+1
причём, как и выше, формы ϑ ,
и
не содержат базисных форм
ω u , ω n и ω n+1 , а формы ϑuv не содержат базисных форм и форм ϑuvw , ϑuvn и
ϑuv n+1 . Внося эти разложения в уравнения (12), получим
u
u
u
w
n+1
ω w ∧ ω s ∧ ω v + r[vw]n
ω w ∧ ω n ∧ ω v + r[vw]
∧ ωv +
r[vws]
n+1 ω ∧ ω
u
n
n+1
∧ ω v + ϑu[vw] ∧ ω w ∧ ω v + ϑuvn ∧ ω n ∧ ω v +
+ rvn
n+1 ω ∧ ω
+ ϑuv n+1 ∧ ω n+1 ∧ ω v + ϑuv ∧ ω v − kvu ω v ∧ ω n ∧ ω n+1 − ϑu ∧ ω n ∧ ω n+1 = 0.
Поскольку все слагаемые, входящие в это тождество, линейно независимы между собой, то каждое из них должно быть равно нулю:
u
u
ϑuvn = 0, ϑuv n+1 = 0, ϑuv = 0,
rvn
n+1 − kv = 0,
u
u
u
ϑu[vw] = 0, r[vw]n
= r[vw]
n+1 = r[vws] = 0.
ϑu = 0,
(25)
В результате уравнения (24) примут следующий вид:
u
ω n+1 ,
∇µu = kvu ω v + knu ω n + kn+1
u
∧ ωw ,
Ωuv = µu ωvn ∧ ω n+1 + kvu ω n ∧ ω n+1 + ωvw
где использовано обозначение
u
u
u
u
n+1
ωvw
= ϑuvw − rvws
ω s − rvwn
ω n − rvw
,
n+1 ω
(26)
18
А. А. Дуюнова
причём в силу (25) справедливы равенства
u
u
= ωwv
.
ωvw
(27)
Итак, первое дифференциальное продолжение уравнений структуры (9) имеет
вид (21), (22), (26), или
u
u
dωvu = ωvw ∧ ωw
+ µu ωvn ∧ ω n+1 + kvu ω n ∧ ω n+1 − ω w ∧ ωvw
,
n
,
dωun = ωuv ∧ ωvn + ωun ∧ ωnn + tu ω n ∧ ω n+1 − ω v ∧ ωuv
dωnn
u
=µ ω
n+1
∧
ωun
+ tu ω ∧ ω
u
n+1
+ tn ω ∧ ω
n
n+1
(28)
,
и
u
dµu = −µv ωvu + 2µu ωnn + kvu ω v + knu ω n + kn+1
ω n+1 ,
n
причём формы ωuv
и
a
3. Формы ω , ωba
u
ωvw
(29)
симметричны по нижним индексам.
(a, b, . . . = 1, 2, . . . , n + 1), входящие в структурные уравнения, зависят от главных параметров — локальных координат на многообразии M — и от вторичных параметров, определяющих положение репера ea
в касательном пространстве. Зафиксируем главные параметры, определяющие
положение точки p на M , положив ω a = 0. Получим формы πba = ωba |ωc =0 ,
определяющие инфинитезимальное перемещение репера в пространстве Tp :
δea = πab eb ,
где символ δ означает дифференцирование по вторичным параметрам. Тогда из
уравнений (28) и (29) получим
u
,
δπvu = πvw ∧ πw
δπun = πuv ∧ πvn + πun ∧ πnn ,
δπnn = 0,
δµu + µv πvu − 2µu πnn = 0.
Первые три уравнения являются уравнениями Маурера—Картана группы G допустимых преобразований репера в точке p многообразия M . Последнее уравнение этой системы показывает, что величины µu образуют тензор. Следуя [3],
назовём этот тензор первым структурным тензором G-структуры, определяемой
тканью W (1, n, 1), или, короче, первым структурным тензором этой три-ткани.
Известно (см., например, [10]), что если на многообразии M задана аффинная связность, то формы Пфаффа θa , θba , a, b, . . . = 1, 2, . . . , n + 1, определяющие
эту связность, удовлетворяют уравнениям вида
a b
θ ∧ θc ,
dθa = θb ∧ θba + Rbc
a
dθba = θbc ∧ θca + Rbcd
θc ∧ θd ,
a
a
, Rbcd
— тензоры кручения и кривизны этой связности соответственно,
где Rbc
a b
a
θ ∧ θc и Ωab = Rbcd
θc ∧ θd — формы кручеа квадратичные формы Ωa = Rbc
ния и кривизны этой связности. Как видно из уравнений (9) и (28), они не
19
Три-ткани, определяемые системой обыкновенных дифференциальных уравнений
являются структурными уравнениями
уравнениях обозначить
 u
θv
θa = (ω u , ω n , ω n+1 ), θba =  θun
θun+1
аффинной связности. Однако если в этих
  u
u
θn+1
ωv
n 
θn+1
= ωun
n+1
0
θn+1
θnu
θnn
θnn+1

0
0 ,
ωnn
µu ω n+1
ωnn
0
мы получим следующую теорему.
Теорема 1. Уравнения (9) и (28) определяют на M аффинную связность без
n
u
и ωvw
выражаются через
кручения в том и только том случае, если формы ωuv
u
n
n+1
.
базисные формы ω , ω и ω
В частности, если эти формы равны нулю, то существенные компоненты
тензора кривизны выражаются через компоненты тензора {kvu , tu , tn }.
4. Найдём дифференциальное продолжение уравнений (28), (29). Дифференцируя внешним образом первое уравнение (28), с учётом уравнений (9), (28),
(29) получим
u
u w
u
− kw
ωv − knu ωvn − 2kvu ωnn − µw ωvw
) ∧ ω n ∧ ω n+1 +
(dkvu + kvw ωw
u
s
u
s
u
u n
+ ωsu ∧ ωvw
− ωvs ∧ ωsw
− ωw
∧ ωvs
+ kw
ωv ∧ ω n+1 −
+ (dωvw
n
n
∧ ω n+1 + kvu ωw
∧ ω n+1 ) ∧ ω w = 0.
− µu ωvw
Введём обозначения
u
u w
− kw
ωv − knu ωvn − 2kvu ωnn ,
∇kvu = dkvu + kvw ωw
Ωuvw
=
u
dωvw
+
ωsu
∧
s
ωvw
−
ωvs
∧
u
ωsw
−
s
ωw
∧
u
ωvs
−µ
u
n
ωvw
(30)
∧ω
n+1
.
(31)
Тогда предыдущее уравнение примет вид
u
u n
n
) ∧ ω n ∧ ω n+1 + (Ωuvw + kw
ωv ∧ ω n+1 + kvu ωw
∧ ω n+1 ) ∧ ω w = 0. (32)
(∇kvu − µw ωvw
Дифференцируя внешним образом второе уравнение (28), с учётом уравнений (9) и (28) имеем
n
n
w
n
) ∧ ω n ∧ ω n+1 + (dωuv
− ωuv
∧ ωw
−
(dtu + kuv ωvn − tv ωuv − tn ωun − tu ωnn − µv ωuv
n
n
n
− ωuv
∧ ωnn + tv ωun ∧ ω n+1 + tu ωvn ∧ ω n+1 + ωuw
∧ ωvw ) ∧ ω v = 0,
− ωuw ∧ ωwv
или
n
)∧ω n ∧ω n+1 +(Ωnuv +tv ωun ∧ω n+1 +tu ωvn ∧ω n+1 )∧ω v = 0, (33)
(∇tu +kuv ωvn −µv ωuv
где обозначено
∇tu = dtu − tv ωuv − tu ωnn − tn ωun ,
(34)
n
w
n
n
n
n
Ωnuv = dωuv
− ωuv
∧ ωw
− ωuw ∧ ωwv
− ωuv
∧ ωnn + ωuw
∧ ωvw .
(35)
20
А. А. Дуюнова
Дифференцируя третье уравнение (28) и обозначая
∇tn = dtn − 2tn ωnn ,
(36)
придём к уравнению
n
(∇tu + kuv ωvn − µv ωvu
) ∧ ω u ∧ ω n+1 + (∇tn + knu ωun ) ∧ ω n ∧ ω n+1 = 0.
(37)
Дифференцируя внешним образом уравнение (29), с учётом (9), (28) и (29)
получим
u
u
u w
− µw ωwv
− knu ωvn − kw
ωv − 2kvu ωnn ) ∧ ω v +
(dkvu + kvw ωw
+ (dknu + knv ωvu − 3knu ωnn ) ∧ ω n +
u
v
u
+ kn+1
ωvu − 3kn+1
ωnn − 3µu µv ωvn ) ∧ ω n+1 +
+ (dkn+1
+ 2µu tv ω v ∧ ω n+1 + 2µu tn ω n ∧ ω n+1 = 0.
Обозначим
∇knu = dknu + knv ωvu − 3knu ωnn ,
u
∇kn+1
=
u
dkn+1
+
v
kn+1
ωvu
−
(38)
u
3kn+1
ωnn .
(39)
Тогда предыдущее уравнение примет вид
u
(∇kvu − µw ωwv
) ∧ ω v + ∇knu ∧ ω n +
u
− 3µu µv ωvn + 2µu tv ω v + 2µu tn ω n ) ∧ ω n+1 = 0.
+ (∇kn+1
(40)
Таким образом, дифференцирование второй серии структурных уравнений (28),
(29) приводит к уравнениям (32), (33), (37) и (40).
Решим эти уравнения. Из уравнения (40), пользуясь леммой Картана, получаем
huvw
huwv ,
u
= huvw ω w + huvn ω n + huv n+1 ω n+1 ,
∇kvu − µw ωwv
(41)
∇knu = hunv ω v + hunn ω n + hun n+1 ω n+1 ,
u
∇kn+1
− 3µu µv ωvn + 2µu tv ω v + 2µu tn ω n =
= hun+1 v ω v + hun+1 n ω n + hun+1 n+1 ω n+1 ,
(42)
huvn
hunv ,
huv n+1
hun+1 v ,
=
=
=
где
в уравнение (32), придём к соотношениям
hun n+1
=
hun+1 n .
(43)
Подставив (41)
u n
n
ωv ∧ ω n+1 + kvu ωw
∧ ω n+1 ) ∧ ω w = 0.
huvw ω w ∧ ω n ∧ ω n+1 + (Ωuvw + kw
u n
n
Запишем формы Ωuvw + kw
ωv ∧ ω n+1 + kvu ωw
∧ ω n+1 в виде
u n
n
ωv ∧ ω n+1 + kvu ωw
∧ ω n+1 =
Ωuvw + kw
u
u
u
s
n+1
ω s ∧ ω p + rvwsn
ω s ∧ ω n + rvws
+
= rvwsp
n+1 ω ∧ ω
u
n
n+1
+ ϑuvws ∧ ω s + ϑuvwn ∧ ω n + ϑuvw n+1 ∧ ω n+1 + ϑuvw , (44)
+ rvwn
n+1 ω ∧ ω
21
Три-ткани, определяемые системой обыкновенных дифференциальных уравнений
где ϑuvws , ϑuvwn и ϑuvw n+1 — некоторые 1-формы, не содержащие базисных форм
ω u , ω n и ω n+1 , а ϑuvw — некоторая 2-форма не содержащая базисных форм и
форм ϑuvws , ϑuvwn и ϑuvw n+1 . Подставив эти разложения в предыдущие уравнения,
получим
u
w
n
n+1
u
+ rv[wsp]
ωs ∧ ωp ∧ ωw +
(huvw + rvwn
n+1 )ω ∧ ω ∧ ω
u
u
s
n+1
ω s ∧ ω n ∧ ω w + rv[ws]
∧ ω w + ϑuv[ws] ∧ ω s ∧ ω w +
+ rv[ws]n
n+1 ω ∧ ω
+ ϑuvwn ∧ ω n ∧ ω w + ϑuvw n+1 ∧ ω n+1 ∧ ω w + ϑuvw ∧ ω w = 0.
Так как все слагаемые входящие в это тождество линейно независимы между
собой, то каждое из них должно равняться нулю:
u
huvw + rvwn
n+1 = 0,
ϑuv[ws]
= 0,
ϑuvwn = 0, ϑuvw n+1 = 0,
u
u
u
rv[wsp] = rv[ws]n
= rv[ws]
n+1
ϑuvw = 0,
= 0.
(45)
Учитывая эти соотношения, получаем, что (44) примет вид
u n
n
u
Ωuvw + kw
ωv ∧ ω n+1 + kvu ωw
∧ ω n+1 = −huvw ω n ∧ ω n+1 + ωvws
∧ ωs ,
(46)
где используется обозначение
u
u
u
u
n+1
= ϑuvws − rvwsp
ω p − rvwsn
ω n − rvws
,
ωvws
n+1 ω
причём в силу (45) справедливы равенства
u
u
= ωvsw
.
ωvws
(47)
n
Рассмотрим уравнение (37). Запишем формы ∇tu +kuv ωvn −µv ωvu
и ∇tn +knu ωun
в виде
n
= muv ω v + mun ω n + mu n+1 ω n+1 + ϑu ,
∇tu + kuv ωvn − µv ωvu
∇tn + knu ωun = mnu ω u + mnn ω n + mn n+1 ω n+1 + ϑn ,
где ϑu и ϑn — некоторые 1-формы, не содержащие базисных форм. Подставив
эти разложения в уравнения (37), получим
m[uv] ω v ∧ ω u ∧ ω n+1 + ϑu ∧ ω u ∧ ω n+1 +
+ (mnu − mun )ω u ∧ ω n ∧ ω n+1 + ϑn ∧ ω n ∧ ω n+1 = 0.
Так как все слагаемые, входящие в это тожество, линейно независимы, имеем
mnu = mun ,
m[uv] = 0,
ϑu = 0,
ϑn = 0,
n
и ∇tn + knu ωun примут вид
поэтому формы ∇tu + kuv ωvn − µv ωvu
n
= muv ω v + mun ω n + mu n+1 ω n+1 ,
∇tu + kuv ωvn − µv ωvu
(48)
∇tn +
(49)
knu ωun
u
n
= mun ω + mnn ω + mn(n+1) ω
n+1
,
22
А. А. Дуюнова
причём справедливы равенства
(50)
muv = mvu .
Решим уравнение (33). С учётом (48) его можно записать в виде
muv ω v ∧ ω n ∧ ω n+1 + (Ωnuv + tv ωun ∧ ω n+1 + tu ωvn ∧ ω n+1 ) ∧ ω v = 0.
Формы Ωnuv + tv ωun ∧ ω n+1 + tu ωvn ∧ ω n+1 запишем в виде
n
n
Ωnuv + tv ωun ∧ ω n+1 + tu ωvn ∧ ω n+1 = luvws
ω w ∧ ω s + luvwn
ωw ∧ ωn +
n
w
n+1
n
n
n+1
+ luvn
+ ϑnuvw ∧ ω w +
+ luvw
n+1 ω ∧ ω
n+1 ω ∧ ω
+ ϑnuvn ∧ ω n + ϑnuv n+1 ∧ ω n+1 + ϑnuv ,
(51)
где ϑnuvw , ϑnuvn , ϑnuv n+1 — некоторые 1-формы, не содержащие базисных форм
ω u , ω n и ω n+1 , а ϑnuv — некоторые 2-формы, не содержащие базисных форм и
форм ϑnuvw , ϑnuvn , ϑnuv n+1 . Подставив это выражение в предыдущее уравнение,
получим
n
v
n
n+1
n
n
(muv + luvn
+ lu[vws]
ω w ∧ ω s ∧ ω v + lu[vw]n
ωw ∧ ωn ∧ ωv +
n+1 )ω ∧ ω ∧ ω
n
w
n+1
∧ ω v + ϑnu[vw] ∧ ω w ∧ ω v + ϑnuvn ∧ ω n ∧ ω v +
+ lu[vw]
n+1 ω ∧ ω
+ ϑnuv n+1 ∧ ω n+1 ∧ ω v + ϑnuv ∧ ω v = 0.
Так как все слагаемые в этом тождестве линейно независимы, имеем
n
muv + luvn
n+1 = 0,
ϑnu[vw] = 0,
ϑnuvn = 0,
ϑnuv n+1 = 0,
ϑnuv = 0,
n
n
n
lu[vw]n
= lu[vw]
n+1 = lu[vws] = 0.
(52)
C учётом этих соотношений выражение (51) может быть записано в виде
n
Ωnuv + tv ωun ∧ ω n+1 + tu ωvn ∧ ω n+1 = −muv ω n ∧ ω n+1 + ωuvw
∧ ωw ,
(53)
где
n
n
n
n
n+1
ωuvw
= ϑnuvw − luvws
ω s − luvwn
ω n − luvw
,
n+1 ω
причём в силу соотношений (52) будут выполняться условия
n
n
ωuvw
= ωuwv
.
(54)
Итак, дифференциальное продолжение второй серии структурных уравнений
(28), (29) имеет вид
23
Три-ткани, определяемые системой обыкновенных дифференциальных уравнений
u
s
u
s
u
n
+ ωsu ∧ ωvw
− ωvs ∧ ωsw
− ωw
∧ ωvs
− µu ωvw
∧ ω n+1 =
dωvw
u n
n
u
ωv ∧ ω n+1 − kvu ωw
∧ ω n+1 − huvw ω n ∧ ω n+1 + ωvws
∧ ωs ,
= −kw
n
w
n
n
n
n
dωuv
− ωuv
∧ ωw
− ωuw ∧ ωwv
− ωuv
∧ ωnn + ωuw
∧ ωvw =
n
∧ ωw ,
= −tv ωun ∧ ω n+1 − tu ωvn ∧ ω n+1 − muv ω n ∧ ω n+1 + ωuvw
n
,
dtu − tv ωuv − tu ωnn − tn ωun + kuv ωvn = muv ω v + mun ω n + mu n+1 ω n+1 + µv ωvu
dtn − 2tn ωnn + knu ωun = mun ω u + mnn ω n + mn(n+1) ω n+1 ,
u
u w
u
− kw
ωv − knu ωvn − 2kvu ωnn = huvw ω w + huvn ω n + huv n+1 ω n+1 + µw ωwv
,
dkvu + kvw ωw
dknu + knv ωvu − 3knu ωnn = huvn ω v + hunn ω n + hun n+1 ω n+1 ,
u
v
u
dkn+1
+ kn+1
ωvu − 3kn+1
ωnn =
= 3µu µv ωvn + (huv n+1 − 2µu tv )ω v + (hun n+1 − 2µu tn )ω n + hun+1 n+1 ω n+1 ,
(55)
причём справедливы равенства
huvw = huwv ,
muv = mvu ,
n
n
ωuvw
= ωuwv
,
u
u
ωvws
= ωvsw
.
Из (55) видно, что при закреплённой точке p ∈ M
n
,
δtu = tv πuv + tu πnn + tn πun − kuv πvn + µv πvu
δtn = 2tn πnn − knu πun ,
u
u w
u
δkvu = −kvw πw
+ kw
πv + knu πvn + 2kvu πnn + µw πwv
,
δknu = −knv πvu + 3knu πnn ,
u
v
u
δkn+1
= −kn+1
πvu + 3kn+1
πnn + 3µu µv πvn ,
a
a
= ωbc
|ωd =0 — формы, определяющие инфинитезимальное
где πba = ωba |ωc =0 , πbc
перемещение репера в пространстве Tp . Эти уравнения означают, что величины
u
}, {µu , kvu , knu }, {µu , tu , tn , kvu , knu } являются тензорами.
{knu }, {tn , knu }, {µu , kn+1
5. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
dxi
= f i (t, xj ) (i, j, . . . = 1, 2, . . . , n).
dt
(56)
С этой системой связана три-ткань W (1, n, 1), заданная на многообразии переменных xi , t, состоящая из семейств λα :
λ1 : xi = const,
λ2 : t = const,
λ3 : ϕi (t) = ci = const,
причём последнее семейство состоит из интегральных кривых системы уравнений (56).
Исключая из первых n − 1 уравнений системы (56) dt, получим эквивалентную систему
f n dxu − f u dxn = 0,
dxn − f n dt = 0,
24
А. А. Дуюнова
где, как и ранее, u, v, . . . = 1, 2, . . . , n − 1. Обозначим
ω u = f n dxu − f u dxn ,
dxn
ωn = n ,
f
n+1
ω
= −dt.
(57)
Тогда слоения ткани W (1, n, 1) имеют вид
λ1 : dxi = 0, или ω i = 0,
λ2 : dt = 0, или ω n+1 = 0,
λ3 : dϕi (t, xj ) = 0, или ω u = 0, ω n + ω n+1 = 0.
Следовательно, структурные уравнения три-ткани W , связанной с системой
обыкновенных дифференциальных уравнений, должны иметь вид (9).
Из (57) находим, что
dxu = (f n )−1 ω u + f u ω n ,
dxn = f n ω n ,
dt = −ω
n+1
(58)
.
Так как dω n+1 = 0, то из (9) следует, что
ωnn = λ ω n+1 = −λ dt.
Дифференцируя внешним образом второе равенство (57), имеем
n
n
dx
∂f
∂f n u
1
−df n ∧ dxn
n
dt +
=− n 2
dx ∧ dxn ,
dω = d
=
fn
(f n )2
(f )
∂t
∂xu
или, учитывая (58),
dω n = ω n ∧
1 ∂f n
1 ∂f n n
u
dt
+
ω
∧
−
dx
.
f n ∂t
(f n )3 ∂xu
Сравнивая полученное выражение со вторым уравнением (9), находим, что
ωnn =
1 ∂f n
1 ∂f n
dt,
λ
=
−
,
f n ∂t
f n ∂t
1 ∂f n
ωun = − n 3 u dxn .
(f ) ∂x
(59)
(60)
Продифференцировав первое равенство (57), получим
dω u = df n ∧ dxu − df u ∧ dxn =
∂f n
∂f n
∂f u
∂f u
∂f n
dt ∧ dxu + v dxv ∧ dxu + n dxn ∧ dxu −
dt ∧ dxn − v dxv ∧ dxn ,
=
∂t
∂x
∂x
∂t
∂x
Три-ткани, определяемые системой обыкновенных дифференциальных уравнений
25
или, учитывая (58),
1 ∂f n
f u ∂f n
u
dt
∧
ω
dt ∧ dxn +
+
f n ∂t
f n ∂t
1 ∂f n
+ n 2 v (ω v ∧ ω u + f v dxn ∧ ω u + f u ω v ∧ dxn ) +
(f ) ∂x
1 ∂f n
∂f u
1 ∂f u
dt ∧ dxn − n v ω v ∧ dxn =
+ n n dxn ∧ ω u −
f ∂x
∂t
f ∂x
w
n
u
1
f
∂f
∂f
∂f n n
1
1 ∂f n
v
u
n
dt +
=ω ∧
dx
−
dx
−
dx
+
f n ∂xv
f n ∂xv
(f n )2 ∂xw
f n ∂t
∂f n
∂f u
1 ∂f n
− fn
+ n n dxn δvu − f u
ω n+1 ∧ ω n .
f ∂x
∂t
∂t
dω u =
Сравнивая полученное равенство с первым уравнением (9), получаем
∂f n
∂f u
− fn
,
∂t
∂t
n
1 ∂f
1 ∂f u
ωvu = n v dxu − n v dxn −
f ∂x
f ∂x
w
n
f ∂f
∂f n n
1
∂f n
n
dt
+
− n δvu
dx
+
dx
.
f
f n ∂xw
∂t
∂xn
µu = f u
(61)
(62)
Теорема 2. Система обыкновенных дифференциальных уравнений автономна в том и только том случае, если µu и ωnn равны нулю.
Доказательство. Пусть система дифференциальных уравнений автономна,
т. е. функции f i в правой части (56) зависят только от xj . Тогда из (61) следует,
что µu = 0, а из (59) получаем, что ωnn = 0.
n
Обратно, пусть µu = 0 и ωnn = 0. Тогда из (59) следует, что ∂f
∂t = 0, а
u
=
0,
т.
е.
система
дифференциальных
уравнений
из (61) получаем, что ∂f
∂t
автономна.
Найдём выражение форм и тензоров ткани следующей дифференциальной
окрестности через производные от функций f i . Дифференцируя (59), получим
dωnn
n
∂f
∂f n
1
1 ∂f n ∂f n u
∧ dt + n d
=d
dx ∧ dt −
∧ dt = − n 2
∂t
f
∂t
(f ) ∂t ∂xu
1 ∂f n ∂f n n
1 ∂2f n
1 ∂2f n
u
dx
dxn ∧ dt,
− n 2
dx
∧
dt
+
∧
dt
+
(f ) ∂t ∂xn
f n ∂xu ∂t
f n ∂xn ∂t
1
fn
или, учитывая (58),
26
А. А. Дуюнова
∂f n ∂f n
1 ∂2f n
=
− n 2 u
ω u ∧ ω n+1 +
(f n )3 ∂t ∂xu
(f ) ∂x ∂t
n
u
1 ∂f n n
u ∂f
n ∂f
−f
dx ∧ ω n+1 −
+ f
∂t
∂t
(f n )3 ∂xu
u 2 n
f ∂ f
∂2f n
1 ∂f n ∂f n
1 ∂f n ∂f u
+
−
−
− n u
ω n ∧ ω n+1 .
f n ∂xu ∂t ∂xn ∂t f n ∂t ∂xn
f ∂x ∂t
dωnn
1
Сравнивая полученное равенство с последним уравнением (28), находим, что
1 ∂2f n
∂f n ∂f n
−
,
(f n )3 ∂xu ∂t
(f n )2 ∂xu ∂t
n n
2 n
∂f n ∂f u
1 ∂f ∂f
∂2f n
u ∂ f
+
−
f
.
tn = n
−
f
∂xn ∂t
∂xu ∂t
∂xu ∂t
∂xn ∂t
tu =
1
(63)
(64)
Дифференцируя внешним образом (60) и подставляя в получившееся выражение (58), получаем
dωun =
∂f n ∂f n
3 ∂f n ∂f n v
n
dt
∧
dx
+
ω ∧ dxn −
(f n )4 ∂xu ∂t
(f n )5 ∂xu ∂xv
∂2f n
1
1 ∂2f n
n
dt
∧
dx
−
ω v ∧ dxn .
− n 3
(f ) ∂t∂xu
(f n )4 ∂xv ∂xu
3
Теперь, поскольку
ωuv ∧ ωvn = −
(f n )5
имеем
dωun
∂f n ∂f n v
1 ∂f n ∂f n
dt ∧ dxn ,
ω ∧ dxn + n 4 u
u
v
∂x ∂x
(f ) ∂x ∂t
1 ∂f n ∂f n n
ωun ∧ ωnn = − n 4 u
dx ∧ dt,
(f ) ∂x ∂t
1
−
ωuv
∧
ωvn
−
ωun
1 ∂2f n
∂f n ∂f n
− n 2
∧
=
ω n ∧ ω n+1 +
(f n )3 ∂xu ∂t
(f ) ∂t∂xu
∂2f n
4 ∂f n ∂f n v
1
n
+ n 5 u
ω
∧
dx
−
ω v ∧ dxn .
(f ) ∂x ∂xv
(f n )4 ∂xv ∂xu
ωnn
1
Сравнивая полученный результат со вторым уравнением (28) и учитывая найденные выше выражения для коэффициентов tu , находим, что
2 n
∂ f
1
4 ∂f n ∂f n
n
ωuv
= n 4
−
(65)
dxn .
(f )
∂xv ∂xu
f n ∂xu ∂xv
Дифференцирование (61) даёт
u n
2 n
2 u
∂f ∂f
∂f n ∂f u
u
u ∂ f
n ∂ f
+f
−
−f
dµ =
dxv +
∂xv ∂t
∂xv ∂t
∂xv ∂t
∂xv ∂t
u n
2 n
2 u
2 n
2 u
∂f ∂f
∂f n ∂f u
u ∂ f
n ∂ f
n
u∂ f
n∂ f
+
f
−
−
f
+
+
f
−
f
dt.
dx
∂xn ∂t
∂xn ∂t ∂xn ∂t
∂xn ∂t
∂t2
∂t2
27
Три-ткани, определяемые системой обыкновенных дифференциальных уравнений
Так как
µ ∧
v
ωvu
=
f v ∂f n ∂f n
∂f v ∂f n
−
f n ∂t ∂xv
∂t ∂xv
dx −
u
fu
fn
∂f n
∂t
2
∂f u ∂f n
−
∂t ∂t
dt +
f v ∂f n ∂f u
∂f v ∂f u
f u f v ∂f n ∂f n
f v ∂f u ∂f n
+
−
+
−
f n ∂t ∂xv
∂t ∂xv
(f n )2 ∂t ∂xv
f n ∂t ∂xv
∂f u ∂f n
f u ∂f n ∂f n
+
dxn
− n
f ∂t ∂xn
∂t ∂xn
+ −
и
u
µ
ωnn
fu
= n
f
∂f n
∂t
2
dt −
∂f u ∂f n
dt,
∂t ∂t
то с учётом (58) получаем
dµu + µv ∧ ωvu − 2µu ωnn =
n 2
2 u
2 n
u
u
n
∂f
∂f
∂
f
∂
f
f
∂f
ω n+1 +
+3 n
−3
= fn 2 − fu
∂t
∂t2
f
∂t
∂t ∂t
1 ∂f u ∂f n
∂f n ∂f u
∂2f n
∂2f u
+ n
+ fu v −
− fn v +
v
v
f
∂x ∂t
∂x ∂t
∂x ∂t
∂x ∂t
w
n
n
w
n
f ∂f ∂f u ∂f ∂f u v
+ n
δ −
δ ω +
f ∂t ∂xw v
∂t ∂xw v
∂2f n
∂2f u
∂f u ∂f n
∂2f n
+ f uf n n −
+ f uf v v − f v f n v + f n n
∂x ∂t
∂x ∂t
∂x ∂t
∂x ∂t
2 u
v
u
n
n
w
n
n 2 ∂ f
n ∂f ∂f
u ∂f ∂f
u ∂f ∂f
− (f )
+f
−f
−f
ωn .
∂xn ∂t
∂t ∂xv
∂t ∂xn
∂t ∂xw
Сравнивая полученное выражение с уравнением (29), находим, что
2 n
∂f u ∂f n
∂f n ∂f u
u ∂ f
+
f
−
−
∂xv ∂t
∂xv ∂t
∂xv ∂t
f w ∂f n ∂f n u ∂f w ∂f n u
∂2f u
− fn v + n
δ
−
δ
,
∂x ∂t
f ∂t ∂xw v
∂t ∂xw v
∂2f n
∂2f u
∂2f n
∂2f u
knu = f u f v v − f v f n v + f u f n n − (f n )2 n +
∂x ∂t
∂x ∂t
∂x ∂t
∂x ∂t
u
n
v
u
n
n
v
n
n ∂f ∂f
n ∂f ∂f
u ∂f ∂f
u ∂f ∂f
+f
+f
−f
−f
,
n
v
n
∂x ∂t
∂t ∂x
∂t ∂x
∂t ∂xv
2
∂2f u
∂2f n
f u ∂f n
∂f u ∂f n
u
kn+1
.
= fn 2 − fu
+
3
−3
2
n
∂t
∂t
f
∂t
∂t ∂t
kvu
1
= n
f
(66)
(67)
(68)
28
А. А. Дуюнова
Наконец, дифференцируя (61), получаем
n u
2 u
∂f ∂f
1
f w ∂f n ∂f n u
u
n ∂ f
dωv = − n 2
+
2
δ
−
f
−
v
(f )
∂t ∂xv
f n ∂t ∂xw
∂t∂xv
∂2f n u
∂f n ∂f w u
δv − f w
− w
δ dxn ∧ dt −
∂x ∂t
∂t∂xw v
1 ∂f n ∂f n w
1 ∂2f n
u
− n 2 w
dx
∧
dx
+
dxw ∧ dxu +
(f ) ∂x ∂xv
f n ∂xw ∂xv
n
2 u
∂f ∂f u
f s ∂f n ∂f n u ∂f n ∂f n u
1
n ∂ f
+
2
δ
+
δ
−
f
−
+ n 2
(f ) ∂xw ∂xv
f n ∂xw ∂xs v
∂xw ∂xn v
∂xw ∂xv
2 n
2 n
∂f n ∂f s u
s ∂ f
u
n ∂ f
−
δ
−
f
δ
−
f
δ u dxw ∧ dxn +
∂xs ∂xw v
∂xw ∂xs v
∂xw ∂xn v
1 ∂2f n
1 ∂f n ∂f n
1 ∂f n ∂f n u w
u
u
+ n
dt
∧
dx
δ dx ∧ dt −
dt
∧
dx
−
+
f ∂t∂xv
(f n )2 ∂xv ∂t
(f n )2 ∂xw ∂t v
1 ∂2f n
1 ∂f n ∂f n n
1 ∂2f n
dx ∧ dxu .
− n w δvu dxw ∧ dt + n n v dxn ∧ dxu − n 2 n
f ∂x ∂t
f ∂x ∂x
(f ) ∂x ∂xv
Пользуясь тем, что
u
ωvw ∧ ωw
=
n
∂f ∂f n w
∂f u ∂f n w
∂f n ∂f w u
1
u
n
n
dx ∧ dx −
dx ∧ dx +
dx ∧ dx
= n 2
(f )
∂xv ∂xw
∂xw ∂xv
∂xw ∂xv
и
µu ωvn ∧ ω n+1 =
f u ∂f n ∂f n n
1 ∂f u ∂f n n
dx
∧
dt
−
dx ∧ dt,
(f n )3 ∂t ∂xv
(f n )2 ∂t ∂xv
учитывая (58), получаем
1 ∂f n ∂f u
f w ∂f n ∂f n u
+ n
δ −
n
v
f
∂t ∂x
f ∂t ∂xw v
2 n
∂2f u
∂f n ∂f w u ∂f u ∂f n
u ∂ f
δ
− fn
−
−
+
f
ω n ∧ ω n+1 +
∂t∂xv
∂xw ∂t v
∂t ∂xv
∂t∂xv
n
∂f ∂f u
f s ∂f n ∂f n u ∂f n ∂f n u
1
+2 n w
δ + w n δv −
+ n 3
w
v
(f ) ∂x ∂x
f ∂x ∂xs v
∂x ∂x
2 u
n
s
2 n
∂ f
∂ f
∂2f n
∂f ∂f u
− fn w v −
δv − f s w s δvu − f n w n δvu +
s
w
∂x ∂x
∂x ∂x
∂x ∂x ∂x ∂x
2 n
∂f u ∂f n
∂
f
f u ∂f n ∂f n
+ w
−2 n w
+ f u w v ω w ∧ dxn +
∂x ∂xv
f ∂x ∂xv
∂x ∂x
1
∂2f n
1
2 ∂f n ∂f n
f w ∂f n ∂f n
w
u
+ n 3 − n w
+
∧
ω
+
+
ω
−2
(f )
f ∂x ∂xv
∂xw ∂xv
(f n )3
f n ∂xw ∂xv
2 n
∂2f n
∂f n ∂f n
∂f n ∂f w
n ∂ f
+ fw w v −
+
f
+
dxn ∧ ω u +
∂x ∂x
∂xn ∂xv
∂xn ∂xv
∂xw ∂xv
u
dωvu − ωvw ∧ ωw
− µu ωvn ∧ ω n+1 =
Три-ткани, определяемые системой обыкновенных дифференциальных уравнений
29
1 ∂f n ∂f n
∂2f n
−
+ n 2
ω u ∧ dt +
(f )
f n ∂xv ∂t
∂t∂xv
1 ∂f n ∂f n u
1
∂2f n u
δ −
δ ω w ∧ dt.
+ n 2
(f )
f n ∂xw ∂t v
∂xw ∂t v
1
Сравнивая полученный результат с первым уравнением (28) и учитывая найденные ранее выражения для коэффициентов kvu , находим, что
2 ∂f n ∂f n
∂2f n
= n 3
−
ωu +
(f )
f n ∂xw ∂xv
∂xw ∂xv
1
1 ∂f n ∂f n u
∂2f n u
∂2f n u
1 ∂f n ∂f n u
δ −
δ +
δ dt +
+ n 2 − n v
δ +
(f )
f ∂x ∂t w f n ∂xw ∂t v
∂t∂xv w ∂xw ∂t v
∂f u ∂f n
f s ∂f n ∂f n u
f s ∂f n ∂f n u
∂f n ∂f u
1
−
−
2
δ
−
2
δ −
+ n 3 − w
(f )
∂x ∂xv
∂xw ∂xv
f n ∂xw ∂xs v
f n ∂xs ∂xv w
∂f n ∂f n u ∂f n ∂f s u ∂f n ∂f s u
∂f n ∂f n
δ +
δ +
δ +
− w n δvu −
∂x ∂x
∂xn ∂xv w ∂xs ∂xw v
∂xs ∂xv w
∂2f n
∂2f n u
∂2f n
∂2f n u
+ f s w s δvu + f s s v δw
+ f n w n δvu + f n n v δw
+
∂x ∂x
∂x ∂x
∂x ∂x
∂x ∂x
2 n
2 u
f u ∂f n ∂f n
u ∂ f
n ∂ f
+2 n w
−
f
+
f
(69)
dxn .
f ∂x ∂xv
∂xw ∂xv
∂xw ∂xv
u
ωvw
1
n
u
и ωvw
выраФормулы (65) и (69) показывают, что трёхиндексные формы ωuv
жаются через базисные формы ω u , ω n и ω n+1 . Это означает, что к динамической
системе dxi = f i (t, xj ) dt естественным образом присоединяется аффинная связность. Назовём её канонической связностью динамической системы.
Ненулевые компоненты тензора кривизны находим из предыдущих соотношений:
2 ∂f n ∂f n
∂2f n
=− n 3
− w v δsu ,
(f )
f n ∂xw ∂xv
∂x ∂x
n
u
u
∂f
∂f n
1
∂f
f s ∂f n ∂f n u
∂f
u
=−
−
−
2
δ −
−
Rvwn
2(f n )2
∂xw ∂xv
∂xw ∂xv
f n ∂xw ∂xs v
∂f n ∂f n u ∂f n ∂f n u ∂f n ∂f s u
f s ∂f n ∂f n u
δ
−
δ −
δ +
δ +
−2 n
w
f ∂xs ∂xv
∂xw ∂xn v
∂xn ∂xv w ∂xs ∂xw v
2 n
2 n
2 n
∂f n ∂f s u
s ∂ f
u
s ∂ f
u
n ∂ f
δ
+
f
δ
+
f
δ
+
f
δu +
+
w
v
w
∂xs ∂xv
∂xw ∂xs
∂xs ∂xv
∂xw ∂xn v
2 n
2 u
∂2f n u
f u ∂f n ∂f n
u ∂ f
n ∂ f
+ f n n v δw
+2 n w
−
f
+
f
,
∂x ∂x
f ∂x ∂xv
∂xw ∂xv
∂xw ∂xv
1
1 ∂f n ∂f n u
∂2f n u
∂2f n u
1 ∂f n ∂f n u
u
δ
δ
δ
=
−
+
δ
+
Rvw
−
,
n+1
2(f n )2
f n ∂xv ∂t w f n ∂xw ∂t v
∂t∂xv w ∂xw ∂t v
u
Rvws
1
30
А. А. Дуюнова
u n
2 n
∂f ∂f
∂f n ∂f u
1 u
1
u ∂ f
+
f
−
−
= kv = n
2
2f
∂xv ∂t
∂xv ∂t
∂xv ∂t
∂2f u
f w ∂f n ∂f n u ∂f w ∂f n u
− fn v + n
δ −
δ ,
∂x ∂t
f ∂t ∂xw v
∂t ∂xw v
2 n
∂ f
1
4 ∂f n ∂f n
n
=−
−
Ruvn
,
2(f n )3 ∂xv ∂xu
f n ∂xu ∂xv
1 ∂f n ∂f n
1
1
∂2f n
n
n
t
=
R
=
=
−
Run
,
u
n+1
nu n+1
2
2(f n )2 f n ∂t ∂xu
∂xu ∂t
n n
2 n
∂f ∂f
1
1
∂f n ∂f u
1 ∂2f n
n
u ∂ f
t
−
f
.
=
=
+
Rnn
−
n
n+1
n
n
u
u
2
2f
∂t ∂x
∂x ∂t
∂x ∂t
2 ∂xn ∂t
u
Rvn
n+1
Вернёмся к автономным системам. Следующее утверждение проясняет геометрический смысл условий, найденных в теореме 1.
Теорема 3. Условие µu = 0 необходимо и достаточно для того, чтобы многообразие M ткани W (1, n, 1) расслаивалось на двумерные подмногообразия,
несущие слои первого и третьего слоений этой ткани. Поверхности V являются многообразиями абсолютного параллелизма тогда и только тогда, когда
выполняются ещё и условия ωnn = 0.
Доказательство. Как видно из первого уравнения системы (9), условие
µu = 0 необходимо и достаточно для того, чтобы система уравнений ω u = 0
была вполне интегрируемой. Отсюда следует первая часть теоремы.
Согласно теореме 2 условия автономности системы имеют вид µu = 0 и
n
ωn = 0. Первые равенства, как только что было показано, означают, что система
ω u = 0 вполне интегрируема и многообразие ткани расслаивается на двумерные
поверхности V . Из выражений для компонент тензора кривизны следует, что
u
u
n
, Rvwn
, Ruvn
. Поэтому на поверхностях V ,
ненулевыми являются только Rvws
u
определяемых уравнениями ω = 0, форма кривизны канонической связности
обращается в нуль, т. е. эти поверхности являются поверхностями абсолютного
параллелизма относительно этой связности.
Обратно, пусть V — поверхности абсолютного параллелизма относительно
канонической связности. Тогда формы кривизны этой связности должны обращаться на поверхности V в нуль. Это требование даёт равенство нулю компоu
u
n
, Rvwn
, Ruvn
, что в свою очередь даёт ωnn = 0.
нент Rvws
Литература
[1] Азизова (Селиванова) Н. Х. О тканях из кривых и поверхностей // Ученые записки
МГПИ. Вопросы дифференциальной геометрии. — 1970. — Т. 374, № 1. — С. 7—17
[2] Акивис М. А., Гольдберг В. В. О многомерных три-тканях, образованных поверхностями разных размерностей // ДАН СССР. — 1972. — Т. 203, № 2. — С. 263—266.
Три-ткани, определяемые системой обыкновенных дифференциальных уравнений
31
[3] Акивис М. А., Гольдберг В. В. О многомерных три-тканях, образованных поверхностями разных размерностей // Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом. Тр. геом.
сем. — 1973. — Т. 4. — С. 179—204.
[4] Акивис М. А., Шелехов А. М. Многомерные три-ткани и их приложения. — Тверь:
Тверской гос. ун-т., 2010.
[5] Апресян Ю. А. О многомерных три-тканях, образованных двумя семействами гиперповерхностей и одним семейством кривых // Изв. высш. учебн. завед. Математика. — 1977. — № 4. — С. 132—135.
[6] Апресян Ю. А. Три-ткани из кривых и гиперповерхностей и семейства диффеоморфизмов одномерных многообразий // Дифференциальная геометрия. — Калинин:
Калининский гос. ун-т, 1977. — С. 10—12.
[7] Апресян Ю. А. Трёхпараметрическое семейство диффеоморфизмов кривой на кривую, содержащее два линейных комплекса однопараметрических подсемейств специального типа // Ткани и квазигруппы. — Калинин: Калининский гос. ун-т, 1984. —
С. 8—15.
[8] Апресян Ю. А. Об одном классе три-тканей на четырёхмерном многообразии и
соответствующем дифференциальном уравнении третьего порядка // Изв. высш.
учебн. завед. Математика. — 1985. — № 1. — С. 3—8.
[9] Гольдберг В. В. Трансверсально-геодезические, шестиугольные и групповые
три-ткани, образованные поверхностями разных размерностей // Сборник статей по дифференциальной геометрии. — Калинин: Калининский гос. ун-т, 1974. —
С. 52—69.
[10] Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. —
М.: Моск. педагогич. гос. ун-т., 2003.
[11] Нгуен Зоан Туан. О многомерных три-тканях типа W (P, P, Q) // Геометрия погружённых многообразий. — М.: Моск. гос. пед. ин-т, 1986. — С. 101—112.
[12] Нгуен Зоан Туан. Некоторые подклассы три-тканей W (P, P, Q) с постоянными компонентами основного тензора // Ткани и квазигруппы. — Калинин: Калининский
гос. ун-т, 1987. — С. 82—87.
[13] Селиванова (Азизова) Н. Х. Интранзитивные семейства преобразований // Изв.
высш. учебн. завед. Математика. — 1984. — № 12. — С. 69—71.
[14] Селиванова (Азизова) Н. Х. О три-ткани из кривых и гиперповерхностей и однопараметрическом семействе диффеоморфизмов // Горьковский инж.-строит. ин-т. —
Горький, 1988. — Деп. в ВИНИТИ АН СССР 6.06.1988; № 4448-В88.
[15] Akivis M. A., Shelekhov A. M. Geometry and Algebra of Multidimensional
Three-Webs. — Dordrecht: Kluwer Academic, 1992.