Чтобы понять, что такое квантовый компьютер, требуется всего

Министерство образования Российской Федерации
Ростовский государственный университет
Физический факультет
Кафедра «Биофизики и биокибернетики»
Цыганков В.С., Сементин С.А., Кучеренко А.О
Учебно-методическое пособие
Квантовые компьютеры
Ростов-на-Дону
2001
Пособие рассчитано на студентов физического факультета, имеющих основные понятия в
квантовой механике, функциональном анализе, а также теории вероятности и статистики.
Материал прежде всего рассчитан на читателей имеющих горячие желание к самообразованию и здоровое чувство любопытства. Чтение данного пособия предполагает наличие у вас в
руках карандаша и листа бумаги, где бы вы могли делать основные расчеты. Иными словами
мы вам не обещаем легкого чтения.
Желаем успехов.
2
Чтобы понять, что такое квантовый компьютер,
требуется всего лишь несколько относительно простых
понятий квантовой механики. Тонкость состоит в том,
чтобы научиться работать с этими положениями. Является ли такой компьютер неизбежностью, или построить его будет слишком сложно?
Введение
Для решения многих задач, не только связанных с вычислениями, человек в помощь
себе изобрел компьютер. Это был цифровой компьютер, основанный на полупроводниковых
элементах. Компьютерная техника стремительно развивалась, находя себе применение во
многих областях деятельности человека. Уменьшались размеры машин, повышалось быстродействие, возможности компьютеров возрастали. Современные компьютеры, обладая
большим
быстродействием,
способны
решать
сложнейшие
задачи
при
физико-
математических расчетах, оперировать сложными системами в биологических исследованиях, управлять гигантскими комплексами на производствах. Однако существуют задачи, которые не могут быть решены на обычных классических компьютерах, основанных на полупроводниковых элементах (в дальнейшем просто классический компьютер). Достаточно наглядным примером является задача коммивояжера. В ее условии фигурирует N городов, которые нужно объехать, вернувшись в исходный, но так, чтобы общий путь оказался минимальным. Как ни проста эта задача на первый взгляд, ее решение на компьютере пока возможно только путем полного перебора всех вариантов. Есть способы, позволяющие сократить его объем, но общей картины они не меняют. А время, требуемое на полный перебор, с
увеличением числа N растет катастрофическими темпами: скажем, при N = 100, по сравнению с N = 99, оно возрастет в 100 раз. Нетрудно подсчитать значение N, при котором время
вычислений на обычном ПК превысит человеческую жизнь. Прибавив к этому N десяток-другой, вы обнаружите, что всех ПК планеты Земля, работающих параллельно, не хватит,
чтобы успеть решить эту задачу в приемлемые сроки. Если прибавить еще, окажется, что
компьютер массой с Солнечную систему также окажется неспособен сделать это. В то же
время не приходится сомневаться, что эта задача разрешима в принципе для любого N, но на
практике от этого мало толку. Здесь не поможет ни быстрый компьютер (весь запас скорости
будет "съеден" при небольшом увеличении размерности), ни параллельные (многопроцес-
3
сорные) вычисления, поскольку значение производительности процессора на единицу объема или массы чипа остается постоянным. Вот если бы все вычисления происходили параллельно, но не на разных процессорах, а внутри одного устройства с ограниченным объемом и
массой!
Для решения подобных задач классическому компьютеру требуется большое количество времени либо он вообще не может решить их из-за своих технических особенностей. В
последнее время мы порой так сильно увлекаемся беспрецедентной гонкой гигантов процессорной индустрии, что совершенно забываем о пределах возможного. Не за горами появление процессоров с тактовой частотой 1500 MHz, еще немного усилий – и этот показатель дотянут до нескольких тысяч, но, в конце концов, барьер, непреодолимый для существующих
процессорных технологий, уже довольно близок. Даже сегодня в процессоростроении существует серьезная проблема – изделия чрезмерно нагреваются, и выделяемое ими тепло нужно
отводить. Если этого не делать, неизбежны ошибки: нельзя будет достоверно сказать, какие
числа хранятся в ячейках памяти процессора, и появятся отклонения в его работе. Но проблема отвода тепла вторична. В основе всего здесь лежит сам принцип хранения информации в современных процессорах. Для того чтобы представить один бит данных в элементарном участке полупроводника, необходимо сообщить ему некоторый электрический заряд.
Чем больше информации мы хотим упаковать в кремниевую пластину (а без этого тактовую
частоту не поднимешь), тем меньше будут эти участки и, следовательно, ощутимее их взаимное влияние друг на друга, которое и мешает надежному хранению информации.
Кроме того, возможны внешние воздействия. Ведь существуют в мире такие явления,
как радиационный фон, различные другие виды излучений. Например, альфа--частица из
космоса, "несанкционированно" пронизывающая полупроводник, оказывает влияние на элементарный участок. Нет проблем, если его заряд достаточно большой, скажем, эквивалентный миллиону электронов. Но чем меньше становятся такие участки, тем меньше можно их
зарядить и тем существеннее влияние внешних эффектов. Качество самого полупроводника,
т. е. его однородность, тоже играет все более заметную роль, однако его нельзя повышать
бесконечно, да еще и за приемлемую цену. Другими словами, "стена" уже достаточно близка,
и, похоже, при нынешней гонке в нее врежутся на полном ходу.
Комбинаторные и им подобные задачи требуют нового подхода, новых технических
решений. Но где их взять? Как перейти от классических алгоритмов, реализованных в обычных компьютерах, к новым, абсолютно не похожим на прежние? Ответы на эти вопросы дала теория квантовых компьютеров. В самом деле, ведь мы живем в квантовом мире, и мы
4
можем создать компьютер, все процессы в котором будут подчиняться законам квантовой
механики. Идею о возможности создания квантовых компьютеров впервые высказал в 1985
году Р. Фейнман.
Многие физические процессы для наглядности моделируются на компьютере, что позволяет проводить сложные дорогостоящие эксперименты виртуальным образом. Изменяя
параметры программы и отслеживая выход мы можем прогнозировать дальнейшую эволюцию системы. Но это приближенное моделирование, в котором мы строим численные алгоритмы для дифференциальных уравнений и затем используем компьютер для вычислений
этих алгоритмов и получаем приближенную картину того, чем должна быть физика. Хотелось бы большего, т. е. точного моделирования, когда компьютер делает точно то же, что и
природа. Физический мир – мир квантовой механики, и, следовательно, истинная проблема –
моделирование квантовой физики! Как бы мы не пытались, смоделировать какой-либо квантовый процесс на классическом компьютере не получится, а было бы не плохо. Как быть? Р.
Фейнман высказал идею о моделировании квантовых объектов на самих же квантовых объектах, т. е. обратил внимание на возможность построения процессора, работающего по квантово-механическим принципам. Этот момент считается рождением теории квантовых компьютеров.
Квантовые вычисления и компьютеры
Обратимые и необратимые классические процессоры. Изложению основных принципов
квантовых вычислений и квантовых компьютеров предпошлем описание некоторых аспектов
действия обычных – классических – компьютеров, не претендуя на полноту описания, а ставя целью наглядность перехода к обсуждению особенностей квантовых вычислений.
Классические компьютеры, как устройства для вычислений, должны оперировать с
числами. Простейшее устройство, способное представлять числа, – это устройство, которое
имеет два устойчивых состояния. Так проводники с током могут находиться в двух состояниях: когда нет тока, соответствующих значению 0, а когда есть, – 1. Использование таких
устройств для проведения действий над числами возможно благодаря двоичной записи чисел. Для примера, натуральное число 9 в двоичной системе запишется, как 1001 = (1×23) +
(0×22) + (0×21) + (1×20), а сложение чисел выполняется согласно таблице
5
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1 + 0 = 0 (1 в следующем разряде, ″ в уме ″).
В настоящее время придумано множество различных устройств, осуществляющих такую операцию сложения. Для наглядности приведем вариант механического устройства для
сложения (рис. 1).
Рис. 1.
Механическая схема суммирующего процессора на шариках. Данное устройство состоит из заслонок (вентилей) и каналов, соединяющих их. По каналам могут двигаться под действием силы тяжести шарики, переводящие при этом движение заслонки в одном из двух возможных положений. Т-состоянию заслонки приписывается значение 0, а повернутому, λ-состоянию, – значение 1. в состав устройства входят два типа заслонок: заслонки А и С, обозначенные серой штриховкой и выполняющие функцию записи состояния канала, в котором
они расположены, а также заслонки В, обозначенные черным цветом и выполняющие функцию логических
вентилей (тех самых gates) сложения двух битов. (а) Исходное состояние процессора: на состояниях заслонок
6
(В4, В3, В2, В1), ″записано″ число 5 = 10; на входе в устройство с помощью шариков ″приготовлено″ другое число: 3 = 11. (б) Состояние суммирующего процессора после действия шарика из первого разряда: на регистре
{Ai} ″записалось″ число 1, а на регистре {Bi} – число 110 (5+1). (в) Конечное состояние суммирующего процессора после действия шарика из второго разряда: на регистре {Ai} записано исходное число 11, регистр {Bi}
переведен в состояние, соответствующее сумме 101+11=1000 (5+3=8).
Действительно, каждый вентиль В имеет один подводящий канал (слева) и два отводящих
(справа), из которых нижний соответствует биту переноса в следующий разряд, а верхний
предназначен для сбора шариков. Если считать, что наличие шарика на входе в вентиль В
соответствует 1, а его отсутствие – 0, то данный логический блок осуществляет свое действие согласно табл. 1.
Таблица 1
Начальное состояние
Начальное состояние
Конечное состояние
Конечное состояние
входа в вентиль В
заслонки В
заслонки В
нижнего канала вы-
(наличие шарика – 1,
(Т=0, λ=1)
хода (канала бита пе-
его отсутствие – 0)
реноса)
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
Это действие эквивалентно операции сложения двух битов, если под первым складываемым битом понимать состояние входа В, а под вторым слагаемым – начальное состояние
заслонки В, конечное состояние которой и есть результат сложения совместно с конечным
состоянием бита переноса. Объединяя такие логические вентили в сеть путем присоединения
канала переноса к каналу входа логического вентиля следующего разряда, получим процессор для суммирования чисел любой разрядности.
Следует отметить важные обстоятельства действия такого процессора. 1)Добавляя в
рассмотрение состояние заслонок А и С, цель которых записывать состояние входов Ai и битов переноса Ci каждом разряде, получаем обратимый сумматор. Действительно, если перевернуть относительно горизонтальной оси это устройство (рис. 1в) и последовательно ″за-
7
пустить″ шарики, попавшие в каналы сброса, то конечное состояние устройства будет совпадать с начальным.
2) Этот процессор будет выполнять операцию сложения и без наличия заслонок А и С. В
этом случае действие сумматора будет необратимым, так как первое условие для того, чтобы
детерминированное устройство было обратимым, состоит в том, что входные и выходные
данные должны единственным образом восстанавливаться друг из друга (это называется логической обратимостью, а если в дополнение к логической обратимости устройство может
реально действовать в обратном направлении по времени, тогда оно называется физически
обратимым), а преобразование ″два входа → один выход″ (начальное состояние входа в вентиль В, начальное состояние заслонки В → конечное состояние заслонки В) не позволяет
различить по конечному состоянию выхода, что было на входе (сравнить вторую и третью
строчки в табл. 1) и, следовательно, обратить операцию.
Работа по классическим обратимым вычислениям заложила основы для развития
квантово-механических компьютеров. На квантовом компьютере программы выполняются
посредством унитарной эволюции входных данных, которые задаются состоянием системы.
Так как унитарные операторы U обратимы, и U-1 = U+, то на квантовом компьютере вычисления всегда можно обратить.
Логические вентили (гейты от англ. gate). Рассмотрим теперь основные логические элементы, используемые в вычислении, и объясним, как обычные компьютеры могут быть использованы для любого ″разумного″ вычисления. Разумное вычисление – такое, которое может
быть записано в терминах некоторого (возможно большого) булевского выражения, и любое
булевское выражение может быть построено из фиксированного набора логических гейтов.
Таблица 2. определение действия некоторых логических гейтов. Каждая строка показывает два входных
значения А и В и соответствующие выходные значения для гейтов AND, OR и XOR. Выход для NOT гейта показан только для входа В.
8
Такой набор (например, AND (И), OR (ИЛИ) и NOT (НЕ)) называется универсальным. В
действительности можно обойтись только двумя гейтами, такими как AND и NOT, или OR и
NOT. Действуя альтернативным способом, мы можем заменить некоторые из этих примитивных гейтов другими, такими как исключающее ИЛИ (XOR); тогда AND и XOR образуют
универсальный набор. Pезультаты действия этих гейтов приведены в таблице 2. Любое устройство, которое может смонтировать произвольные комбинации логических гейтов из универсального набора, является универсальным компьютером. Встает вопрос – какие из приведенных гейтов обратимы? Первый из них – NOT, котoрый, очевидно, не теряет информацию
и является обратимым, обращение достигается его повторным действием. Поскольку AND,
OR и XOR – oперации, отображающие много данных в одно, то в том виде, как они заданы,
они не являются логически обратимыми. В 1973 году Чарльз Беннет показал, что все логические операции для построения компьютера могут быть обратимыми. Прежде чем обсудить,
как эти логические гейты могут быть сделаны обратимыми, мы рассмотрим некоторые нестандартные гейты.
FANOUT (разворачивание) и ERASE (стирание) Хотя приведенные вышe гейты достаточны для математического аппарата логики, они недостаточны для построения практической вычислительной машины. Для этого требуются еще гейты FANOUT и ERASE (риc. 2)
Рис. 2
Два нестандартных гейта, которые, в дополнение к универсальному набору, требуются для построения компьютера: (а) FANOUT гейт, который дублирует входные данные А и (b) ERASE гейт, который уничтожает входные данные.
В начале рассмотрим гейт FANOUT. Является ли он обратимым? Очевидно, никакая информация не разрушается, поэтому он , по крайней мере, логически обратим. Ландауэр показал,
что он может быть также и физически обратим. С этим гейтом все ясно. Теперь рассмотрим
операцию ERASE, которая требуется для периодической ″чистки″ памяти компьютера от
″мусора″. Мусор содержит информацию, необходимую для обращения процесса. Один тип
9
стирания может быть проведен обратимым образом. Если у нас есть продублированная копия некоторой информации, то мы можем стереть добавочные копии, т. е. провести операцию, обратную той, что совершает FANOUT гейт. Tрудность возникает, когда мы хотим стереть имеющуюся последнюю копию, т. е. совершить так называемое примитивное стирание
(примитивный ERASE). Вообще говоря, гейт примитивный ERASE нe является абсолютно
необходимым в вычислениях. Чтобы понять, почему это так, рассмотрим, что требуется для
вычисления произвольных функций, использующего обратимую логику (где примитивный
ERASE запрещeн). Ландауэр показал, как любая функция f(a) может быть воспроизведена
взаимно однозначно с ее аргументом (один к одному) в результате сохранения копии входных данных:
f: a → (a, f(a)).
Круглые скобки означают здесь упорядоченный набор величин, в данном случае двух. Дополнительные ″щели″ будут добавлены (или удалены), как потребуется в нашем дальнейшем
обсуждении.
Как этот трюк может быть использован для выполнения обратимой логики? Одно решение было найдено в 1980 г. Томом Тоффоли. Он нашел, как можно описать обратимыми
вычисления, используя традиционный язык булевских логических гейтов, подобных AND,
OR и т. д., но обладающих свойствами обратимости. Одним из таких логических гейтов, который, как оказалось впоследствии, очень важен для квантовых вычислений, является логический гейт, выполняющий операцию контролируемого НЕ (рис. 3). Он выполняет функции
сразу двух гейтов: обратимого XOR и FANOUT. Его суть: есть два бита a и b на вxоде и a’, b’
на выходе. а = а’ всегда, а бит b’ = NOT(b) тогда и только тогда, когда бит а = 1.
10
Рис. 3.
Графическое представление и таблица истинности для элементарного логического гейта контролируемого
NOT.
Другой интересный гейт – это т. н. Тоффоли гейт, с помощью которого, как показал
Тоффоли, может быть построен любой обратимый процессор, используя один только этот
гейт. Вентиль Тоффоли – это универсальный трехбитовый логический гейт, выход которого
может быть разложен в различные гейты. Его структура и таблица истинности представлены
на рис. 4. Гейт Тоффоли имеет смысл контролируемого-контролируемого НЕ (CONTROLED
CONTROLED NOT). Используются три бита a, b и рабочий бит с. Состояние бита c меняется
тогда и только, когда оба неизменяемых бита источников (a, b) имеют значение 1. Разложим
вентиль Тоффоли на элементарные булевские гейты. Здeсь биты А и В равны на входе и на
выходе гейта, а бит С на выходе имеет вид: С = С ⊕ А.В.
А.В,
C ⊕ A.B =
для
А ⊕ С,
Ĉ,
для
А для
С=0
для
(AND)
В=1
(XOR)
А=В=1
(NOT)
С = 0, В = 1
(FANOUT)
Мы видим, что этот гейт является универсальным, поскольку он выполняет AND, XOR, NOT
или FANOUT, в зависимости от того, что имеется на входе.
Комбинация многих таких гейтов может затем использоваться для любого вычисления и будет оставаться обратимой.
11
Рис.4.
Графическое представление и таблица истинности для трехбитового логического вентиля Тоффоли, являющегося универсальным для построения обратимой булевской логики.
Как было замечено Ландауэром, эта процедура приводит к прямой проблеме из-за отсутствия примитивного ERASE. Чем больше гейтов мы используем, тем больше ″мусорных″
битов мы накопим: в каждом гейте мы должны хранить входные биты для сохранения обратимости. Другими словами, компьютер, построенный из логически обратимых гейтов вместо
обычных, логически необратимых гейтов, вел бы себя, как
f: a → (a, j(a), f(a)),
с большим числом дополнительных мусорных битов j(a).
Беннет решил эту проблему, показав, что мусорные биты могут быть обратимым образом стерты на промежуточных шагах с минимальными затратами времени и памяти. Идею
решения Беннета можно истолковать на языке следующей процедуры:
f: a → (a, j(a), f(a)),
FANOUT: (a, j(a), f(a)) → (a, j(a), f(a), f(a)),
f+: (a, j(a), f(a), f(a)) → (a, f(a)),
где f+ обозначает возвращение к не вычисленному f, как противоположное к вычислению f –
1
.Сначала вычисляется f и при этом получаются мусорные биты и искомый выходной ре-
зультат. затем применяется FANOUT-гейт для дублирования выходного результата. В конце
12
мы возвращаемся к не вычисленной исходной функции f, выполняя в обратную сторону операцию ее вычисления. Эта процедура удаляет мусорные биты и первоначальный выходной
результат. Однако дубликат остается!
Это завершает наше обсуждение устройства обратимых классических компьютеров.
Мы установили, что требование обратимости не является препятствием для логической конструкции вычислительных машин.
Квантовые компьютеры. На сегодняшний момент описано много типов квантовых компьютеров, основанных на различных подходах, принципах. Как отметил акад. К. А. Валиев на
семинаре по квантовым вычислениям, огромный поток все новых и новых предложений по
реализации квантовых компьютеров связан с тем, что в настоящее время ученые выдумывают такой компьютер из подручных средств, т.е. на основе тех физических объектов, изучением которых они заняты много лет. В самом деле, квантовые вычисления можно устроить
практически на любой квантовой системе. Надо только придумать способы внешнего воздействия, реализующие те или иные алгоритмы, и позаботиться о достаточно большом времени нарушения когерентности системы или о приемах исправления ошибок. В самом общем виде что такое квантовый компьютер можно описать следующим образом.
Квантовые компьютеры – это физические устройства, выполняющие логические операции над квантовыми состояниями путем унитарных преобразований, не нарушающих
квантовые суперпозиции в процессе вычислений. Очень схематично работа квантового компьютера может быть представлена как последовательность трех операций:
1. запись (приготовление) начального состояния;
2. вычисление (унитарные преобразования начальных состояний);
3. вывод результата (измерение, проецирование конечного состояния).
Рассмотрим каждую из этих операций в отдельности.
1)
Как продемонстрировано выше, классический компьютер оперирует с битами – бу-
левскими переменными, принимающими значения 0 или 1 – и на любом этапе вычислений
компьютер имеет определенные значения в каждом бите, используемом для вычислений.
Причем эти значения можно измерить. На первом этапе вычислений необходимо записать
исходные данные в регистр – набор битов, каждый из которых должен иметь определенные
значения (0 или 1).
Квантовый компьютер оперирует с состояниями. Простейшей системой, выполняющей функцию, аналогичную битам в классических компьютерах, является система с двумя
13
возможными состояниями. Для обозначения состояния такой квантовой двухуровневой системы предложен специальный термин: q-бит (от англ. quantum bit, qubit) – квантовый бит
информации – состояния квантовой системы с двумя возможными базовыми состояниями |0⟩
и |1⟩. Общее состояние такой системы есть суперпозиция
|q⟩ = c0|0⟩ + c1|1⟩,
нечто большее, чем булевское 0 или 1; q-бит – это квантовая суперпозиция двух чисел: нуля
и единицы! Физическими системами, реализующими q-биты, могут быть любые объекты,
имеющие два квантовых состояния: поляризационные состояния фотонов, электронные состояния изолированных атомов или ионов, спиновые состояния ядер, нижние состояния в
квантовых точках и др. Напридумывать q-битов, т.е. двухуровневых квантовых систем, можно великое множество. Гораздо сложнее придумать, как устроить управление отдельными qбитами, организовать взаимодействие между ними и обеспечить достаточно большое время
декогеренции. Именно эти затруднения не позволяют каждому из живущих на Земле физиков изобрести собственный квантовый компьютер.
Уже первая операция всех (классических и квантовых) вычислений – приготовление
начального состояния регистра – демонстрирует возможные преимущества квантовых операций с q-битами. При наборе начального числа на классическом регистре, состоящем из n
битов, нам потребуется n операций – на каждом бите установить значение 0 или 1. При этом
будет записано только одно число длинной n. При совершении n унитарных операций с каждым q-битом в квантовом регистре – устройстве, состоящем, например, из n ядерных спинов
– мы приготовим когерентную суперпозицию всех Q = 2n состояний общей системы квантового регистра. Тем самым мы приготовим вместо одного числа сразу 2n возможных значений
регистра – когерентную суперпозицию всех возможных для данного регистра чисел. Естественно, это свойство может быть использовано для квантовых параллельных вычислений.
2)
Применяя к приготовленным состояниям унитарные преобразования, можно реализо-
вать собственно квантовый процессор. Роль соединений (проводов) в классических компьютерах играют q-биты, а роль логических блоков (гейтов), на которые разбивается весь процесс вычислений как в классическом, так и квантовом процессоре, – унитарные преобразования. Покажем, как операторным формализмом можно реализовать такие логические гейты
как NOT, CONTROLED NOT.
TNOT = |0⟩⟨1| + |1⟩⟨0|,
этот оператор действует на одиночный q-бит и меняет его состояние:
TNOT |0⟩ = |1⟩,
TNOT |1⟩ = |0⟩.
14
Операция CONTROLED NOT (своего рода XOR гейт) представима в виде:
TXOR = |0⟩11⟨0| Î2 + |1⟩11⟨1| TNOT,
применяемая к двум q-битам, первый из которых не меняет состояние под действием TXOR , а
второй меняет, но в зависимости от состояния первого q-бита. Например,
TXOR (α |0⟩1+ β|1⟩1) |0⟩2 = α |0⟩1 |0⟩2 + β|1⟩1 |1⟩2 ,
т. е. операция TXOR трансформирует суперпозиционные состояния в перепутанные и обратно. Квантовые логические гейты, объединенные вместе и в определенной последовательности действующие на состояния q-битов, образуют квантовую сеть.
3)
Операция вывода результата вычисления для классического компьютера ничем не от-
личается от любой другой операции во время вычислений. Вычисления могут быть остановлены в любом месте, промежуточные результаты прочитаны и вычисления продолжены. В
квантовом компьютере это не так. Конечным результатом квантовых вычислений является
состояние квантового регистра после совершенных унитарных преобразований, представляющие собой когерентную суперпозицию всех возможных для данного регистра состояний.
Очевидно, что мы не можем получить все амплитуды вероятностей Сi в разложении этого
суперпозиционного. Все, что мы можем получить от этого одиночного квантового объекта,
что доступно нам согласно квантовой теории – квадратичные формы Σi,jСiСi*Rij, соответствующие измерению среднего значения некой физической, которой соответствует оператор R.
Причем очевидно, что конечный результат квантовых вычислений будет флуктуировать от
вычисления к вычислению. Здесь используются специальные ошибко-корректирующие коды. Однакo даже в таких условиях квантовых неопределенностей квантовые компьютеры
могут дать существенное ускорение вычислений некоторых математических задач.
Теперь посмотрим, как квантовые вычисления можно реализовать на практике. В качестве q-бита здесь будет использована модель элементарной частицы со спином ½, такой,
как, например, протон. В этом случае можно различить состояние ″спин вверх″, обозначаемое как |1⟩, и ″спин вниз″, обозначаемое как |0⟩. Такой формализм характерен для т. н. ЯМР
квантовых компьютеров, которые на сегодняшний день считаются наиболее перспективными. Здесь управление эволюцией состояния q-бита осуществляется с помощью ЯМР спектроскопической техники. Но прежде чем вести речь о принципах работы ЯМР квантовых
компьютеров стоит пояснить, что есть сам ЯМР.
Основы ЯМР. Ядерный магнитный резонанс (ЯМР) – избирательное поглощение электромагнитной энергии веществом, обусловленное ядерным парамагнетизмом. ЯМР – один из
15
методов радиоспектроскопии, наблюдается, когда на исследуемый образец действует взаимно перпендикулярные магнитные поля: сильное постоянное H0 слабое радиочастотное H1
(106 – 107 Гц). Являясь квантовым эффектом, ЯМР, как и другие виды магнитного резонанса,
допускает классическое объяснение некоторых своих особенностей. Большинство атомных
ядер имеют собственный момент импульса J = Iћ, где I – ядерный спин. Спин обуславливает
дипольный магнитный момент ядра:
µ = γЈ = γћI = gβI.
Здесь γ – гиромагнитное отношение (для протона γp = 2·675 рад/с), g – безразмерная величина, определяемая структурой ядра (ядерный g-фактор), по порядку равная несколько единиц;
β = eћ/ mpc – ядерный магнетон. В магнитном поле H0 на магнитный диполь действует вращающий момент [µ H0], и вектор µ прецессирует вокруг направления H0 с частотой
ω0 = γH0
под неизменным углом φ. Такая прецессия создает переменный магнитный момент µsinφ,
вращающийся в плоскости, перпендикулярной H0 (рис. 5). Поле H1 , вращающеeсся в той жe
плоскости с частотой ω, взаимодействует с моментом µ; взаимодействие становится заметным, если частота ω близка к ω0 , а направление вращения µ и поля H1одинаковы. При ω = ω0
наступает резонанс, если даже под действием очень слабого поля H1 проекция магнитного
диполя на H0 изменяется по величине.
Рис. 5.
Проекция магнитного момента µ ядра в поле H0; φ – угол прецессии.
16
Coглacнo квантовой модели, в поле H0 состояния ядерного спина квантованы, т. е. его
проекция mI на направление поля может принимать только одно из значений: I, I – 1, … – I,
всего (2I + 1) целочисленных значений.
В простейшем случае изолированных, невзаимодействующих ядер энергия взаимодействия
их магнитных моментов µ с полем описывается гамильтонианом, собственные значения которого характеризуют систему 2I + 1 эквидистантных энергетических уровней (рис. 6):
E = – γяћH0mI.
Расстояние между ними ∆E = γяћH0. Переменное электромагнитное поле может вызвать переходы между этими уровнями в соответствии с правилами отбора ∆mI = ±1.
Е
mI = – ½
hν = gяβH0
mI = + ½
Поэтому при наличии поперечного осциллирующего магнитного поля, удовлетворяющего
условию резонанса, происходит поглощение электромагнитной энергии:
ћω0 = ∆E = γяћH0.
Из этого выражения видно, что измерение резонансной частоты ω0 позволяет определить γя,
gя и, следовательно, идентифицировать исследуемые ядра.
Релаксационные процессы. О поглощении энергии электромагнитного поля при резонансных переходах можно говорить, если число индуцированных переходов с нижнего уровня на
верхний превышает число переходов в обратном направлении. При тепловом равновесии
нижний уровень Е1 более заселен, чем верхний Е2, в соответствии с распределением Больцмана:
N1/ N2 = e∆Ε/kT.
17
При непрерывном воздействии резонансным радиочастотным полем величины N1 и N2 могут выровняться и резонансное поглощение может прекратиться (т. е. наступит насыщение).
Однако наряду с выравниванием населенностей уровней при резонансном поглощении энергии имеют место релаксационные процессы взаимодействия спиновой системы со
всей совокупностью окружающих ее частиц, обладающих всеми, кроме спиновой, степенями
свободы движения, – с атомами кристаллической решетки, с частицами жидкости или газа и
т. п. (процессы т. н. спин-решеточной релаксации). Они сопровождаются безызлучательными
переходами между различными состояниями ядер. Спин-фононное взаимодействие вследствие конечного времени жизни τ1 возбужденного состояния ядра и к размытию энергии системы спинов в поле H0 , определяемой продольной (вдоль H0) компонентой проекции магнитного момента. Поэтому τ1 называется временем продольной релаксации.
В твердых телах и жидкостях существенны также процессы спин-спинового взаимодействия ядер. Они вызывают относительное изменение энергии спиновых состояний (т. е.
вызывают размытее уровня), не изменяя времени жизни состояния. Полная энергия всей
спиновой системы не изменяется. Спин-спиновая релаксация характеризуется временем τ2 .
Примером спин-спиновых взаимодействий может служить прямое магнитное дипольдипольное взаимодействие магнитных моментов соседних ядер в кристаллической решетки.
Каждый из двух взаимодействующих одинаковых диполей создает вместе расположения
другого локальное магнитное поле Hлок . Полное поле, воздействующее на ядерный магнитный момент, определяется суммой H0 + Hлок , а также поперечной составляющей H(t) поля,
создаваемого проекцией магнитного момента прецессирующего соседнего диполя. Переменное поперечное поле H(t) будет действовать подобно радиочастотному полю, приводя к релаксации (со временем τ2) поперечной составляющей вектора магнитного момента (от сюда
термин ″время поперечной релаксации″). Эффективное время поперечной релаксации τ2 ∝
1/γ∆Η, где ∆Н – ширина линии ЯМР. В непроводящих электрический ток твердых телах и в
полупроводниках обычно τ1 >> τ2. Значение τ1 лежат в широких пределах от 10-4с для растворов парамагнитных солей до нескольких часов для чистых диамагнитных кристаллов.
Значения τ2 изменяются от 10-4с для кристаллов до нескольких секунд для диамагнитных
жидкостей.
Линия ЯМР имеет лоренцеву форму, определяемую в основном спин-спиновым взаимодействием, и ширину ∆ω, пропорциональную 1/ τ2 . В кристаллах спин-спиновое взаимодействие ядер обычно так велико, что линия расщепляется на несколько компонентов. На
форму линий оказывает влияние электрический квадрупольный момент ядер, взаимодейст-
18
вующий внутрикристаллическим, электрическим полем. В сложных молекулах спектр одинаковых ядер атомов, занимающих неэквивалентные положения, состоит из ряда линий. Например: 6 атомов водорода этилового спирта вызывают появление трех линий, расстояние
между которыми значительно больше ширины линий (при частоте 40МГц и H0 = 9350 Э это
расстояние δH = 24 Э). Этот, т. н. химический сдвиг, возникает как следствие различного
взаимодействия электронов неэквивалентных атомов с полем H0 . Химический сдвиг позволяет судить о структуре молекул вещества. Спектры ЯМР усложнены из-за т. н. непрямого
спин-спинового воздействия ядер, осуществляемое через посредство спиновых и орбитальных моментов электронов. В металлах в результате взаимодействие электронов проводимости с ядрами возникает сдвиг частоты (сдвиг Найта).
С учетом перечисленных факторов гамильтониан системы парамагнитных ядер в
твердом теле может быть предоставлен в виде:
Õ = Õ H + Õ d + Õ Q + Õ σ + Õ N.
Здесь Õ H – оператор взаимодействия с магнитным полем (зеемановский член), Õ d – гамильтониан спиновых (диполь-дипольных) взаимодействий, Õ Q – гамильтониан квадрупольных
взаимодействий, Õ σ – химический сдвиг, Õ N – сдвиг Найта.
ЯМР наблюдают с помощью ЯМР спектрометров. Образец исследуемого вещества
помещают как сердечник в катушку генерирующего контура (поля H1 ), расположенного в
зазоре магнита, создающего поле H0 так, что H1 ⊥ H0 (рис.7). При ω = ω0 наступает резонансное поглощение, что вызывает падение напряжения на контуре, в схему которого включена катушка с образцом. Падение напряжения детектируется, усиливается и подается на
развертку осциллографа. Поле H0 модулируется так, что оно меняется на несколько эрстед с
частотой от 50 Гц до 1 кГц. Этой же частотой осуществляется горизонтальная развертка осциллографа. На экране виден повторенный дважды сигнал поглощения. Аппаратура, применяемая для исследования различных тонких эффектов ЯМР, сложнее, она снабжена автоматическими устройствами для записи спектров и т. п.
19
Рис. 7.
Схема ЯМР спектрометра: 1 – катушка с образцом; 2 – полюса магнита; 3 – ВЧ генератор; 4 – усилитель и детектор; 5 – генератор модулирующего напряжения; 6 – катушки модуляции поля Н0.
Спиновая химия. Рассмотрим как с помощью ЯМР техники можно управлять эволюцией
спина, а точнее суммарного спина молекул. Образец, содержащий ядра со спином Ι ≠ 0 и гиромагнитным отношением γ, помещают в постоянное магнитное поле Н0 и подвергают действию радиочастотных импульсов линейно поляризованного магнитного поля 2Н1соsωt,
удовлетворяющем условиям ЯМР: Н1 ⊥ Н0; ω = γΗ0. Удобно перейти в систему координат,
вращающуюся с частотой ω вокруг оси z ║Н0 в ту же сторону, что и ларморовская прецессия
ядерных спинов. В этой системе координат циркулярно поляризованная в указанном направлении компонента радиочастотного поля становится статической и определяет направление
оси х. Если ударить по системе спинов т. н. π/2-импульсом, то равновесная ядерная намагниченность М, первоначально направленная вдоль Н0, после включения поля Н1 начинает
20
Рис. 8.
а – поворот намагниченности М под действием π/2-импульса; б – расфазировка спинов, имеющих различные
частоты прецессии, и их повторная фазировка после π-импульса.
прецессировать вокруг него с угловой частотой ω = γΗ0 и через время t1 = π/2γΗ0 оказывается направленной вдоль оси у (рис. 8а). В этот момент π/2-импульс РЧ-поля отключается.
Последующая процессия вектора М вокруг Н0 плоскости ху наводит приемный катушке спектрометра ЯМР сигнал свободной индукции. Со временем этот сигнал затухает
(поперечная релаксация), так как ядерные спины находятся в разных локальных магнитных
полях и, как следствие, имеет различающиеся частоты прецессии. Это связано как с неоднородностью внешнего магнитного поля Н0, так и с внутренними магнитными полями, создаваемыми ядрами друг на друга.
На рис. 8б показаны траектории движения двух ядерных спинов. Угловые частоты их
процессии отличаются от ω на малые величины и равны соответственно ω+δ1 и ω-δ2, поэтому
во вращающейся системе координат они поворачиваются в плоскости ху за время τ на углы
φ1 = δ1τ и φ2 = -δ2τ от оси у. Если теперь подать на образец второй радиочастотный импульс,
аналогичный первому, но с длительностью t2=2t1 (π-импульс), то импульс повернутся вокруг
оси х на угол π и займут положение φ1’= π- φ1 и φ2’= π- φ2. Двигаясь затем с прежними угловыми скоростями и в том же направлении, оба спина спустя время τ после второго импульса
одновременно достигнут направления –у, т. е. произойдут фазировка ядерных магнитных
моментов и повторное появление сигнала индукции. Описанный механизм действия двух
21
РЧ-импульсов (π/2 и π соответственно) носит название спиновое эхо и действует при одном
важном условии t1 , t2 << τ2 , что эквивалентно требованию Н1 >> ∆Η.
Квантовые логические гейты. Квантовые логические гейты представляют собой фундаментальные примеры условной квантовой динамики. Они могли бы служить строительными
блоками для общих квантовых систем передачи информации. Мы опишем простейшие квантовые логические гейты, квантовое НЕ (NOT) и квантовое управляемое НЕ (XOR).
Для реализации NOT-гейта достаточно одного q-бита. Смысл этого гейта состоит в
переориентации спина. Если спин находился в состоянии ″вверх″, то он перейдет в состояние ″вниз″ и наоборот. Переключение осуществляется РЧ-импульсом длительностью π (πимпульс). Гамильтониан спинового состояния, находящегося под воздействием комбинации
стационарного и зависящего от времени магнитных полей, имеет вид:
Н = gµ[Н0σz + Н1σуР(t)sinωt],
где σz и σу – спиновые матрицы Паули, а Р(t) – огибающая импульса, показанная как прямоугольный импульс на рис. 9.
Рис. 9.
Действие NOT-гейта или гейт-инвертора. (А) – временная зависимость магнитного поля опрокидывающего импульса в данном случае представляет собой синусоиду с частотой ω, умноженная на ступнькообразную функцию Р(t), отличную от нуля только на промежутках от t до Т. (В) – диаграмма энергетических уровней для qбита. Опрокидывающий импульс находится в резонансе с соответствующей разностью энергий между двумя
стационарными уровнями |0⟩ и |1⟩. (С) – диаграмма эволюции состояний, показывающая пути переходов двух
основных состояний, π на диаграмме означает, что выделенный этой буквой путь приобретает сдвиг фаз, равный 180˚ (в предположении, что ωТ = 0, а ΩТ = π).
22
Во время действия опрокидывающего импульса переменное магнитное поле находится в резонансе с разностью энергий между двумя спиновыми состояниями: ћω = 2πgµН0. Тогда, если представить состояния спин ″вверх″ и спин ″вниз″ как (1 0) и (0 1), соответственно, то
наиболее общему унитарному преобразованию отвечает матрица 2×2 вида
в которой обычно полагают δ = σ = τ = 0. Используя этот оператор, мы можем инвертировать
биты:
Uπ|0⟩ = -|1⟩, Uπ|1⟩ = |0⟩.
Происшедшее изменение знака означает появление фазового множителя, который не влияет
на логическую операцию гейтов и может быть опущен, если мы захотим, сразу или на более
позднем этапе. Такие однобитные вычисления изображены схематично на рис. 10.
Рис.10.
Схематичная диаграмма квантового цикла для однобитного гейта. Линия изображает один квантовый бит (такой, как задает частица со спином ½). Первоначально этот бит имеет состояние, описываемое вектором |А⟩;
после того, как он пройдет через эту цепь, он выйдет в состоянии Uθ|А⟩.
23
Другой важный однокубитный гейт – это U-π/2, который отображает состояние со спином вниз в равную суперпозицию состояний со спином вниз и со спином вверх Для по-
строения XOR-гейта потребуется уже два q-бита. Для построения такой системы используем
два связанных ядра со спином ½ (например 1Н и 13С в молекуле хлороформа). При наложение на образец внешнего магнитного поля вдоль оси z, гамильтониан этой системы запишется как
Н = 0,5gfµН0σa z + 0,5gbµH0σb z + Jσa zσb z + H(t),
(∗)
где индексы a и b означают принадлежность к спину a или b соответственно. Н(t) – зависящий от времени гамильтониан, описывающий последовательность опрокидывающих импульсов. Без опрокидывающих импульсов такой гамильтониан описывает просто стационарную квантовую систему с четырьмя энергетическими уровнями (рис. 11A). Из-за спинспинового взаимодействия разности энергий между любой парой энергетических уровней
этой четырехуровневой системы будут различными. Это позволяет подобрать для каждого
конкретного резонанса свою последовательность опрокидывающих импульсов. Если в момент времени t1 приложить импульс, частота которого настроена на переход |01⟩ – |11⟩, т. е.
ω1 (рис. 11A), а угол поворота выбрать равным π, то к окончанию импульса t2, будет выполнен желаемый XOR-гейт. Опрокидывая спин а, если спин b находится в состоянии |1⟩, и ничего не предпринимая в противном случае, этот импульс переводит спин а в XOR начальных
состояний а и b, оставляя спин b в первоначальном состоянии, как показано в первых двух
столбцах таблицы истинности на рисунке 11C. Обозначение операции, выполняющей XORгейт, показано на рис. 11D.
Эта цепь эквивалентна элементарной команде: если |b⟩ = |1⟩, то |а⟩ → NOT(|a⟩), что можно
понимать как пример программы для квантового компьютера.
24
Рис. 11.
Действие двухкубитного XOR-гейта. (А) Диаграмма энергетических уровней для двухкубитной системы, на
которой показано четыре стационарных состояния гамильтониана (∗). Эти состояния обозначены по направлению спинов |ab⟩. (В) Временные эволюционные пути квантовой системы под действием опрокидывающих импульсов. Снова, под π обозначается сдвиг фаз на 180˚ вдоль обозначенного ей пути. (С) таблица истинности,
суммирующая результаты временной эволюции операции от начального состояния (t1), после первого (t2) и после второго (t3) опрокидывающих импульсов. (D) Обозначение гейта, производящего XOR-гейт, получаемое
путем использования первых двух импульсов. В результате действия этого гейта состояние кубита b не изменяется, а состояние кубита а становится равным сумме a ⊕ b.
Унитарный оператор, отвечающий XOR-гейту, может быть записан следующим образом. Если представить двухчастичные базисные состояния как векторы
то XOR-гейт можно записать следующим образом:
25
Здесь первая частица действует как условный гейт для инвертирования состояния второй
частицы. Легко проверить, что состояние второй частицы отвечает действию XOR-гейта, заданного в таблице рис. 11С.
Квантовые сети.
Представленные два квантовых гейта (NOT-гейт и XOR-гейт) образуют универсальный набор, с помощью которого, в принципе, любая квантовая унитарная операция на системе кубитов может быть получена как совокупность этих гейтов. Имеется в виду, что любое унитарное преобразование в 2n-мерном гильбертовом пространстве, натянутом на n-кубитов,
может быть разложено в сеть таких универсальных гейтов, последовательно применяемых к
кубитам. Поэтому, даже несмотря на то, что это выходит за рамки наших сегодняшних экспериментальных возможностей, мы можем построить любое квантовое вычисление (которое
включают все обыкновенные булевы операции и нечто большее), применяя эти операции последовательно действующие на определенные кубиты и пары кубитов для построения сетей
любой сложности. В качестве примера использования этих гейтов для эффективного квантового вычисления, рассмотрим построение квантового AND-гейта, показанного на рис. 12
26
Рис. 12.
Рис.12. Конструкция AND-гейт. (А) Обозначение для AND-гейта, а также конструкция AND-гейта, использующая три XOR-гейта и четыре однобитных вращения. Этот π/4 гейт связан с действиями, описанными формулой (×) с параметрам θ=π/4. Если рабочий кубит будет в начальный момент в состоянии |0⟩, то в конечный
момент он перейдет в состояние |a.b⟩. (В) Полная таблица истинности для трехбитного AND-гейта. (С) Диаграмма эволюции состояний для AND-гейта, отмеченных в промежуточных состояниях времени, указаны на
рисунке (А). Здесь появилась новая особенность: для некоторых начальных состояний промежуточное состояние представляет собой суперпозицию двух вычислительных путей, но конечное состояние снова становится
определенным, так как конструктивная интерференция разрешает существовать только одному конечному значению, а те пути, которые интерферируют деструктивно – исчезают.
. Эта операция включает в себя три бита потому, что начальные биты a и с остаются неизменными во время операции. Рабочий бит b в начале находится в состоянии |0⟩, а в результате операции переходит в состояние (a AND c). Хорошо известно, что двубитная операция
AND необратима, но ее можно сделать обратимой, введя в рассмотрение еще один бит. Поскольку унитарные операции, которые используются в квантовых вычислениях, обратимы,
27
квантовый AND-гейт также должен содержать три бита. Изображенный на рис. 12А ANDгейт содержит три XOR-гейта, в каждом из них результат размещается в b-кубите, который
при этом проходит сквозь однобитные гейты, каждый из которых поворачивает кубит на ±
45°. При описанной реализации AND-гейта конечные состояния приобретают фазовые факторы, которые (кроме одного) можно привести к единицы, а состояние |110⟩ переходит в |110⟩. Во многих случаях эти изменения фазы могут быть приемлемы при построении гейтов
(например, если известно, что начальный кубит b может быть переведен в |0⟩), но если необходимо, чтобы все фазовые факторы были равными единице, тогда реализация AND-гейта
будет сложнее и потребует шести XOR-гейтов и восьми однобитных гейтов.
Диаграммы типа тех, что изображены на рис. 12А, дают обманчивое представление о
простоте, с которой элементарные квантово-механические манипуляции могут быть использованы для проведения квантовых вычислений. При реализации AND-гейта и несколько однобитных гейтов. Теперь мы рассмотрим, что следует понимать под этими связями. Пока
действует XOR-гейт, связывающий кубиты b и c, спины b и с должны взаимодействовать
предписанным им способом, в то время как взаимодействие между спинами a и с, должно
быть равно нуля. Когда же начнет действовать второй XOR-гейт, микроскопическое взаимодействие должно быть переупорядочено, теперь взаимодействие спинов а и b должно быть
ненулевым. Это сделать непросто.
Проблема «взаимосвязи», вероятно, будет решена, но это одна из тех задач, предлагаемых в настоящее время, решение которых требует спекулятивных и необычных методов.
Алгоритмы для квантовых компьютеров.
В этом разделе мы покажем готовые алгоритмы квантовых вычислений для решения
конкретных математических задач в которых квантовые компьютеры имеют преимущества
над классическими. Это алгоритм Шора – задача факторизации большого n-значного числа.
Другой алгоритм Дойча, который определяет, является ли неизвестная функция постоянной
или сбалансированной. И третий алгоритм Гровера – задача полного перебора.
Алгоритм Шора. Задача факторизации – задача о нахождении простых сомножителей. В
качестве примера: задача вычисления произведения двух простых чисел, скажем 521 и 809,
не вызывает никаких затруднений (521×809=421489). Однако обратная задача: нахождение
простых сомножителей числа 421489, потребует определенного времени. Известно что это
время (при использовании известных теперь классических алгоритмов) растет с ростом
28
длинны n факторизуемого числа, как exp(n1/3). Достижение Шора в том, что он нашел алгоритм, уменьшающий рост этого времени до полиномиального (n2).
Алгоритм решения задачи факторизации опирается на сводимость ее к нахождению
периода вспомогательной функции. Такой функцией является остаток от деления степенной
функции ха на целое число N:
fN= хаmodN.
Мы хотим факторизовать число N. Достаточно найти хотя бы один множитель, так
как затем мы можем свести задачу к более простой. Прежде всего, выберем число х.
С помощью алгоритма Евклида можно эффективно вычислить общие множители у N
и х, и редуцировать задачу. Поэтому прежде в качестве приложения рассмотрим алгоритм
Евклида.
Алгоритм Евклида. Его суть в нахождении наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел n0 ≥ n1. Алгоритм осуществляется как последовательное деление с остатком следующих
чисел:
n0 = d1 × n1 + n2
n1 = d2 × n2 + n3
…
nm-1 = dm-1 × nm-1 + nm
nm-1 = dm × nm + 0,
где dm – частные, т. е. это целая часть от выражения: nm-1/nm; nm-1 ≥ nm на каждом шаге. Последний ненулевой остаток nm дает ответ, т. е. НОД(n0, n1) = nm. Например, последовательность делений
91 = 3 × 28 + 7
28 = 4 × 7 + 0,
дает НОД(28, 91) = 7 прямо за два шага. В худшем случае число шагов, требуемых для выполнения алгоритма Евклида, равно О(logn1).
Рассмотрим последовательность, образованную функцией f(a) = xa mod N. Последовательности {xa} и {xa mod N} выглядят, соответственно, как
1, х, … , хr-1, xr, xr+1, …
1, x, … , , 1, x, … , , 1, x, … , ,
r членов
r членов r членов
29
Число r – это минимальная степень, для которой хr mod N = 1. Используя стандартные алгоритмы, этот период для длинных последовательностей получить весьма непросто. Однако,
как будет описано ниже, алгоритмом для квантового компьютера он (период) может быть
вычислен эффективным образом. Эта возможность, как мы сейчас продемонстрируем, открывает новый способ найти множители числа N.
Предположим, что нам удалось получить период r. Если он четный мы можем приступать к алгоритму факторизации. Если нет, мы должны выбрать другое х и начать сначала.
Случайным образом выбранное х приведет к подходящему четному периоду r в пятидесяти
процентах случаев, поэтому понадобится не так много попыток.
Приступим теперь к алгоритму факторизации. Выбрав х так, что последовательность
{ха mod N} имеет четный период r, перепишем соотношение хr mod N = 1 как разность двух
квадратов:
(хr/2)2 – 1 ≡ 0 (mod N).
Выражая левую сторону как произведение суммы и разности, получим
(хr/2 + 1)( хr/2 – 1) ≡ 0 (mod N).
Это просто означает, что произведение двух сомножителей слева кратно числу N, которое
мы хотим факторизовать. Таким образом, или один, или другой сомножитель должен иметь
общий множитель с N. Окончательный этап алгоритма состоит в вычислении наибольшего
общего делителя каждого из этих сомножителей с N (эффективный классический алгоритм
представил Евклид). Любой нетривиальный общий делитель является множителем, который
мы искали. Таким образом, поиск будет завершен.
В качестве примера рассмотрим число N=91. Выбирая х =3, найдем, что последовательность {3а mod N} имеет вид
а: 0, 1, 2, 3,
4,
5,
6,
7,
8…
3а: 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561 …
3а mod 91: 1, 3, 9, 27, 81,
61,
1,
3,
9…
Квантовый компьютер может вычислять период параллельно, однако здесь достаточно взглянуть невооруженным глазом, чтобы заметить, что последовательность имеет период
r = 6 (так как он четный, можно преступать к алгоритму).
Переписывая соотношение 36 mod 91 ≡ 1 как сказано выше, получим
28 × 26 ≡ 0
(mod 91).
30
Это означает, что либо НОД(28, 91), либо НОД(26, 91) являются нетривиальными делителями 91. в действительности, в этом случае оба члена дают различные множители, соответственно, 7 и 13. Это завершает разложение числа 91 на простые множители: 91 = 7 × 13.
Достижение Шора в том, что он показал, что процедура нахождения периода функции
с помощью квантовых вычислений значительно ускоряется.
Рассмотрим последовательность
f(0), f(1), … , f(q-1),
где q = 2k; чтобы найти ее период, мы используем квантовый параллелизм. Начнем с совокупности частиц, спины которых первоначально направлены вниз. Сгруппируем их в два набора, в два квантовых регистра (регистр х – вход и регистр у – выход), или квантовые переменные:
|0;0⟩ = |↓, ↓, …;↓,↓,…⟩,
при этом первый ряд содержит k битов, и число битов в другом достаточно для наших целей.
(В действительности, требуются и другие регистры, но зная решение Беннета задачи об
уборки мусора, пока о них можно умолчать.)
Применив к каждому биту первого регистра однобитную операцию U-π/2, получим суперпозицию всех возможных двоичных строк длинны k в этом регистре:
Следующий шаг состоит в том, что вычисление функции f(a) разбивается на ряд однобитных
и двубитных унитарных операций. Последовательность операций конструируется таким образом, чтобы преобразовать состояние |а;0⟩ в состояние |а; f(a)⟩ для любого а. Число битов,
необходимых для второго регистра, должно быть, по крайней мере, достаточным для того,
чтобы вместить самый длинный результат f(a) для любого из этих вычислений. Когда эта последовательность операций применяется к нашей экспоненциально большой суперпозиции, а
не к одному состоянию на входе, мы получаем
Экспоненциально большое число вычислений проводится по существу бесплатно.
31
Конечный вычислительный шаг, также как и первый, опять является чисто квантовомеханическим. Рассмотрим дискретное «квантовое» преобразование Фурье первого регистра
(х). Этот шаг является сердцем алгоритма Шора.
Легко заметить, что оно обратимо в результате обратного преобразования (нетрудно проверить, что оно унитарно). Эффективный способ вычислений этого преобразования с помощью
однобитных и двубитных гейтов был описан Копперсмитом (рис. 13).
Рис. 13.
Цепь для квантового преобразования Фурье переменной |ак-1 … а1а0⟩, использующая метод Копперсмита быстрого преобразования Фурье. Двубитные «Хn»-гейты, в свою очередь, могут быть разложены в некоторые однобиттные и XOR-гейты.
Когда это квантовое преобразование Фурье применяется к нашей суперпозиции, мы
получаем
Вычисление теперь завершено, и мы восстанавливаем результат на выходе квантового компьютера, измеряя состояние всех спинов в первом регистре (для первых k битов). В действи-
32
тельности, как только преобразование Фурье выполнено, второй регистр может быть даже
отброшен.
Как будет выглядеть выход?
Предположим, что f(a) имеет период r, т. е. f(a+r) = f(a). Сумма по а приводит к конструктивной интерференции коэффициентов, только когда с/q кратно обратному периоду 1/r.
При всех других значениях с/q происходит в большей или меньшей степени деструктивная
интерференция. Таким образом, распределение вероятности найти первый регистр с различными значениями схематично показано на рис. 14.
Один полный цикл работы квантового компьютера дает случайное значение c/q, соответствующее одному из пиков вероятности каждого результата prob(c). Иначе говоря, мы получаем случайное значение, кратное обратному периоду. Для выделения самого периода нам
нужно только повторить это квантовое вычисление, грубо говоря, log(r/k) раз для того, чтобы
получить высокую вероятность, по крайней мере, одному из кратных быть взаимно простым
с периодом r – тогда он однозначно определяется. Таким образом, этот алгоритм дает только
вероятностный результат. К счастью, мы можем сделать эту вероятность настолько большой,
насколько захотим.
Рис. 14.
График зависимости вероятности каждого результата относительно с/q. Конструктивная интерференция дает
узкие пики при значениях c/q, кратных обратному периоду последовательности 1/r.
33
Вся описанная выше работа может показаться несколько обескураживающей. При
конструировании квантового компьютера для поиска периода последовательности придется
столкнуться с большими трудностями. Преимущество, однако, состоит в том, что последовательность вычисляется параллельно и является экспоненциально длинной – даже для малого
количества битов, скажем k = 140, в первом регистре квантовый компьютер получал и сохранял больше результатов, чем число частиц во вселенной.
В заключении описания алгоритма Шора отметим, что на сегодняшний день его реализация не была осуществлена.
Алгоритм Гровера. Рассмотрим задачу полного перебора. Из списка N предметов требуется
определить один, удовлетворяющий какому-либо специфическому свойству. Любой классический алгоритм, вероятностный или детерминированный, должен будет исследовать, по
крайней мере, N/2 предметов, чтобы преуспеть с вероятностью 1/2. Квантовые компьютеры
могут находиться в состоянии суперпозиции, благодаря чему могут исследовать большое
число предметов одновременно. Недавно было показано, что квантовый компьютер мог исследовать список меньше чем за
N шагов. Этот результат вызвал значительный интерес,
потому что существует много проблем, решаемых полным перебором, например работа с неупорядоченными базами данных. Приведу еще один интересный пример преимущества алгоритма Гровера над классическими алгоритмами. Широко используемый Стандарт Шифрования Данных полагается на 56-битный ключ. Чтобы его взломать требуется подобрать ключ
из 256 = 7 × 1016 возможных ключей. Классические методы позволяют сделать это примерно
за 3,5 × 1016 число испытаний, что требует времени более, чем 1000 лет. Квантовому алгоритму требуется всего около 200 миллионов испытаний, что во временном эквиваленте составляет меньше, чем 4 минуты! Преимущество очевидно.
Классические алгоритмы не могут быть улучшены за счет изобретения каких-либо
новых, эффективных алгоритмов. Эти новые алгоритмы все равно будут нуждаться в среднем в N/2 числе испытаний, поэтому преимущество алгоритма Гровера будет сохраняться.
Компьютер, работая по алгоритму Гровера, начинает исследование с приведения испытуемой системы к состоянию суперпозиции всех N возможных решений, что позволяет
исследовать все N предметов одновременно. Далее, чередующиеся последовательности комбинаций фазового вращения и квантовой диффузии работают так, чтобы привести систему к
состоянию, близкому к чистому, рекуррентному состоянию. Фазовым вращением выделяется
состояние, соответствующее требуемому решению; диффузия, приводя амплитуду всех со-
34
стояний к суперпозиции, забирает часть ее у всех состояний и передает ее требуемому решению, обеспечивая гарантированное накопление амплитуды в этом состоянии. После определенного числа таких повторений появляется возможность определить требуемый элемент с
высокой вероятностью. Процедура выделения из списка нужного элемента для наглядности
показана на рис. 15.
Рис. 15.
Действием квантового алгоритма поиска (т. е. последовательностью простых унитарных операций) вероятность
желаемого состояния усиливается за счет уменьшения остальных.
Точное число повторений, оптимизирующих амплитуду состояния решения, было определено Бассардом и его коллегами. Они показали, что каждое повторение соответствует
вращению на угол θ, где sinθ = 1/ N и угол π/4 соответствует желаемому решению. Для
больших N после π N /4 числа повторений вероятность получения неправильного результата меньше чем 1/N. Однако если увеличивать число повторений, то вероятность успеха начнет снижаться!
Рассмотрим пошаговое действие алгоритма Гровера.
Шаги алгоритма.
1)
(1
Начальное
N ,1
N , ...,1
состояние
системы
описывается
как
суперпозиция:
N ), т.е. в каждом состоянии одна и та же амплитуда. Это
достигается применением Н операции
H =
1 1 1
2 1 −1
35
Если, например, бит находится в состоянии “0”, то после воздействия данной операции он переходит в суперпозицию двух состояний (1
позицию (1
2 ,1 2 ); если бит в “1”, то в супер-
2 , − 1 2 ). Видно, что амплитуда в каждом состоянии одна и та же (1 2 ),
но в “1” состоянии фаза инвертирована. Достигается это за О(log N) шагов [7,8].
2) Шаг, в котором следующие унитарные операции повторяются О( N ) раз.
а) Если C(S)=1, поворачиваем фазу на π радиан.
Если C(S)=0 операция не производится.
б) Диффузионное преобразование с использованием матрицы D, которую можно
представить как произведение 3-х операторов D=WRW; где:
Dij =
2
2
, если i ≠ j и Dii = −1+
N
N
W- матрица преобразования Волш-Хадамарда;
W ij = −2 − n 2 ( −1)i⋅ j , i двоичное представление i;
i ⋅ j обозначает произведение двух n-битных строк i и j
R- матрица вращения:
R ij = 0 , если i ≠ j ; R ii = 1 , если i=0;
R ii = −1, если i ≠ 0
Подробно о данных операциях в [3,4,7,8].
3) Измеряем полученное состояние. Это будет состояние SV с вероятностью не менее
0,5.
Шаг 2) является сердцем АГ. Каждая итерация в этом шаге повышает амплитуду желаемого состояния и в результате О( N ) повторений, амплитуда вероятности этого состояния стремится к О(1).
Описанные шаги алгоритма Гровера можно представить как показано на рис. 16.
36
Рис. 16.1) Инициализация. Компьютер приводит систему в состояние суперпозиции всех возможных решений
от 1 до N. Это делается следующим образом: n кубитов представляющих N=2n возможных решений, по очереди, независимо друг от друга, приводится к суперпозиции
0 + 1
2
. 2) Фазовое вращение. Для каждого со-
стояния |r⟩ компьютер проверяет, есть ли найденный элемент в записываемой r базе данных. Если это так, то
фаза состояния изменяется на π. Это аналогично умножению правильного |m⟩ состояния на -1. Компьютер может делать это для всех N состояний в суперпозиции за один шаг. 3) Диффузия. Этот шаг имеет смысл «инверсии относительно среднего»: состояние с амплитудой ϖ отображается само в себя с амплитудой 2А-ϖ, где А –
средняя амплитуда (включая фазу) N состояний. На первой иллюстрации рис.2 средняя амплитуда немного
меньше чем 1/
N . Инверсия относительно среднего зеркально отражает амплитуду правильного m состояния
до немного меньшего, чем 3/
N , а амплитуды неправильных состояний немного уменьшаются.
Ядерные спины и алгоритм Гровера. Представленный выше алгоритм Гровера можно
описать с позиций спектроскопии ядерно-магнитного резонанса (ЯМР). Действительно, состояние квантового бита (кубита) “1”, есть спиновое состояние обозначается как
37
+
⎛1⎞
⎛0⎞
1
1
= ⎜⎜ ⎟⎟ , “0” состояние − = ⎜⎜ ⎟⎟ . Операция Н может быть получена с использова2
2
⎝0⎠
⎝1⎠
нием ЯМР при помощи селективных импульсов.
A
A
⎡π ⎤
⎡π ⎤
A
[
]
π
−
−
x
⎢⎣ 4 ⎥⎦
⎢⎣ 4 ⎥⎦
x
−y
Это так же можно записать как
H
0 ⎯⎯→
H
1 ⎯⎯→
0 +1
2
0 −1
2
~ Ix
~ −I x
или
⎛
⎛1⎞
1 ⎛1 1 ⎞ ⎜
⎟ =⎜
⎜
⎜ ⎟⊗
⎝ 0⎠
2 ⎝ 1 − 1⎠ ⎜
⎜
⎝
1 ⎞
⎟
2⎟
1 ⎟
⎟
2⎠
⎛ 1 ⎞
0
1
1
⎞ ⎜ 2 ⎟
⎛ ⎞
1 ⎛
⎟
⎟ =⎜
⎜
⎜ ⎟⊗
⎝1⎠
2 ⎝ 1 − 1⎠ ⎜ − 1 ⎟
⎜
⎟
⎝
2⎠
Что соответствует классическому ЯМР эксперименту Карра-Парселла, в котором
⎡π ⎤
после воздействия двумя радиочастотными импульсами - ⎢ ⎥ , создающего суперпозицию,
⎣2 ⎦
и
[π ], переворачивающего фазу спинов, наблюдается сигнал ядерной индукции, в нашем
случае это соответствует выбираемому состоянию.
В заключении отметим, что версия этого алгоритма была недавно успешно осуществлена для частного случая четырех кубитов с помощь техники ЯМР на молекуле хлороформа,
где использовались спиновые состояния ядер 1Н и 13С.
Алгоритм Дойча. Суть этого алгоритма – определение, является ли неизвестная функция
постоянной или сбалансированной. Постоянная функция f(х) от N битов до одного либо
f(х)=0 для всех х, либо f(х)=0 для всех х. Сбалансированная функция f(х)=0 ровно для половины ее аргументов, и f(х)=1 для других. Чтобы с уверенностью определить, является ли
38
функция постоянной или сбалансированной, на детерминированном классическом компьютере требуется до 2N-1+1 вызовов функции: даже если взять половину аргументов и найти
f(х)=0 для каждого, все еще нельзя с уверенностью заключить, что функция постоянна. Напротив, алгоритм Дойча позволяет квантовому компьютеру определить, является ли f(х) постоянной или сбалансированной, используя только один вызов функции.
Алгоритм хорошо иллюстрируется его самым простым возможным случаем, когда f
преобразует один бит в другой; это тот случай, который был экспериментально реализован.
Имеется четыре возможных значения f, два из которых постоянны, f1(х)=0, f2(х)=1, а оставшиеся два имеют равное число 0 и 1 значений: f3(х)=х, f4(х)=NOTх. Значения этой функции
приведены в таблице 3.
x
f00(x)
f01(x)
f10(x)
f11(x)
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
Таблица 3. Первая группа - «постоянные» функции, для которых f(x) не зависит от x (f00 и f11) и вторая группа - «переменные» функции, зависящие от х (f01 и f10). Если у нас имеется некая неизвестная функция f и мы
знаем, что она одна из четырех рассматриваемых функций, то можно узнать ее тип - «постоянная» или «переменная», подавая на вход «0» и «1».
Выяснение, является ли такая функция постоянной или сбалансированной, аналогично задаче, является ли монета настоящей – с орлом на одной стороне и с решкой на другой, или
фальшивой – с орлом на двух сторонах. В классическом случае нужно смотреть на монету
дважды: сначала на одну сторону, затем на другую, чтобы определить – настоящая это монета или фальшивая. Дойча алгоритм использует квантовую когерентность, чтобы определить,
является ли квантовая «монета» настоящей или фальшивой, посмотрев на нее всего один раз.
Алгоритм требует одного «входящего» спина и одного «рабочего» спина, и схематично
представлен на рис. 17.
39
Экспериментально этот квантовый алгоритм был осуществлен с использованием
ядерных спинов атомов 1Н и 13С в помеченных углеродом-13 молекулах хлороформа (СНСl3)
как входящий и рабочий кубит.
Рис. 17.
На рис. 17 представлена квантовая реализация алгоритма Дойча. (Т0) Начинаем с обоих
«входящего» и «рабочего» кубитов (А и В) в состоянии |0⟩. (Т1) Выполняем преобразование
Y: |0⟩ → (|0⟩+|1⟩)/21/2, |1⟩ → (-|0⟩+|1⟩)/21/2, к А, и обратное преобразование Ỳ к В, в итоге получаем состояние 0,51Σх=0 |х⟩(|0⟩ - |1⟩). Входящий кубит в некотором квантовом смысле регистрирует и 0 и 1 одновременно. (Т2) Вызываем функцию: применяем f к А, и прибавляем результат к В по модулю 2. До тех пор, пока квантовые логические операции, необходимые для
вычисления f, выполняются когерентно, рабочий кубит в некотором квантовом смысле теперь содержит значения f при всех возможных аргументах; это результат, названный Дойчем
«квантовым параллелизмом». Два кубита находятся теперь в состоянии 0,51Σх=0 |х⟩(|0 + f(x)⟩ |1 + f(x)⟩) = 0,51Σх=0 (-1)f(x)|х⟩(|0⟩ - |1⟩). Выполняем инверсию преобразования (Т1), вследствие
чего получаем кубиты в суперпозиции состояний. Если f постоянна, то множители (-1)f(x)
есть либо +1, либо все –1, и результат преобразования в этом шаге – состояние ± |00⟩. Если f
является сбалансированной, то ровно половина множителей (-1)f(x) есть +1, и половина –1, и
результат преобразования – состояние ± |10⟩. (Т4) Читаем А. Если это 0, то f постоянная; если 1, то f сбалансированная.
В заключении алгоритма отметим, что его экспериментальная реализация была успешно произведена Л. Чуангом и коллегами (IBM Almaden Research Centre) на молекуле
хлороформа при использовании ЯМР техники.
40
Возможные пути создания квантовых компьютеров.
В этом параграфе мы рассмотрим несколько перспективных вариантов построения
квантового компьютера. Кроме рассмотренного выше ЯМР типа квантовых компьютеров,
где в качестве кубитов используются спиновые состояния ядер молекул, предложен еще ряд
не бесперспективных моделей квантового компьютера.
Berman et.al. (Los Alamos Nat. Lab) предлагают использовать магнитный атомно-силовой
микроскоп с крошечным (4нм) магнитом на острие кантилевера. Оказывается, что такой
микроскоп позволяет измерять чистое состояние отдельного ядерного спина (спин вверх или
спин вниз кубит). Система спинов помещается во внешнее постоянное магнитное поле, созданное сверхпроводящим магнитом. Измерение состояния выделенного кубита производится
при подведении к нему острия микроскопа и включении радиочастотного (РЧ) электромагнитного поля на частоте ЯМР. Для повышения чувствительности микроскопа амплитуда этого поля промодулирована с резонансной частотой колебаний кантилевера. Авторы показали,
как можно с помощью предложенной конструкции не только считывать результат расчетов,
но и осуществлять квантовую операцию CNOT, перемещая кантилевер от одного кубита к
другому. Наличие механических частей в компьютере как-то настораживает, но при этом надо вспомнить, что реализация процедуры вскрытия классических кодов на квантовом компьютере дает экспоненциально большой выигрыш по числу операций по сравнению с классическим компьютером, так что даже механический квантовый компьютер может обогнать
быстродействующий классический.
Квантовые точки для квантовых компьютеров. Недавние предложения по реализации
квантового компьютера на основе квантовых точек подстегнули интерес к этим объектам.
Сбой фазы волновой функции электрона (декогеренция), по-видимому, является главной
опасностью для работы квантового компьютера. Тонкие эксперименты, выполненные учеными из Stanford University и University of California (США), позволили измерить время сбоя
фазы в открытой квантовой точке, т.е. точке, через которую проходят электроны между слабо связанными с ней контактами. Структура сформирована с помощью технологии расщепленного затвора. По мнению авторов, основным механизмом сбоя фазы является межэлектронное рассеяние. Предлагаемая ими методика измерения в значительной степени напоминает методику измерения времени сбоя фазы, основанную на эффекте слабой локализации с
учетом того обстоятельства, что длина замкнутых электронных траекторий с конструктивной
41
интерференцией не может превышать длину сбоя фазы. Внешнее магнитное поле начинает
разрушать прежде всего самые длинные из указанных траекторий. Температурная зависимость времени сбоя фазы для открытой квантовой точки оказалась совершенно отличающейся от зависимости Т-2 , ожидаемой для изолированной квантовой точки. Обнаружено поразительное количественное согласие с временем сбоя фазы в неупорядоченном 2DEG.
Ученые из Delft University of Technology (Нидерланды) также с помощью технологии
расщепленного затвора сформировали структуру с двумя туннельно связанными квантовыми
точками и просмотрели изменение спектра состояний этой системы при увеличении магнитного поля, воочию наблюдая кросинг и антикросинг термов.
Американские ученые D.P.DiVincenzo (IBM Research Division) и D.Loss (University of
California) предложили двухкубитный логический вентиль (затвор - gate) на основе двух
квантовых точек. Такие квантовые точки (QDs) могут быть сформированы привычной сейчас
технологией расщепленного затвора, размещенного над структурой с 2DEG. QDs настолько
малы, что в них помещается только один электрон (второй отталкивается кулоновским взаимодействием). Кубитами является состояние спина электрона. Перемешивание кубитов осуществляется с помощью управления прозрачностью потенциального барьера потенциалом
расщепленного затвора. Барьер более низкий (low) при более положительном напряжении на
затворе и более высокий (high) при более отрицательном напряжении на затворе (на рис.
изображены эквипотенциальные контуры).
Для управления состоянием отдельного кубита предлагается использовать не локальное магнитное поле, а перескок электрона на соседнюю ферромагнитную точку (FM). Для измерения
спина электрона предлагается два варианта. Первый - с помощью туннелирования (T) электрона на парамагнитную точку (PM). Она находится в переохлажденном состоянии, электрон
вызывает спонтанную намагниченность в ней в направлении своего магнитного момента.
Другой вариант использует туннелирование электрона через спиновый клапан - SV (поляризатор) на соседнюю точку, заряд которой затем измеряется электрометром (E).
Квантовый компьютер на квантовых точках. Группа физиков из North Carolina State
University преподносит квантовый компьютер на основе стопки квантовых точек, которая
формируется из слоистого пирога AlGaAs/GaAs. Структура состоит из несимметричных
квантовых ям, содержащих широкие и узкие слои AlGaAs c различным содержанием алюминия. В качестве кубита выступают два наинизших электронных состояния в несимметричной
квантовой яме, при этом в одном из них электрон преимущественно находится с одной сто-
42
роны ямы, а во втором - с другой. Таким образом, состояния отличаются дипольным моментом. Управление отдельным кубитом производится освещением структуры инфракрасным
излучением, вызывающим резонансные переходы в квантовой точке между двумя указанными выше уровнями. Для обеспечения доступа к отдельным кубитам расстояние между этими
уровнями в различных квантовых точках, естественно, должно быть различным, а для этого
все несимметричные квантовые ямы в структуре тоже должны быть различными. Дипольдипольное взаимодействие между соседними квантовыми точками обеспечивает возможность выполнения двухкубитных операций. А дальше пускается в дело т.н. инженерия квантовых ям, хорошо известная в каскадных лазерах, которая позволяет увеличить матричные
элементы полезных переходов электронов в квантовых точках и подавить нежелательные.
Нейроны и квантовые измерения В литературе проскакивают идеи о том, что мозговая
деятельность напоминает квантовый компьютер. На “подозрении” находятся синапсы, которые открывают и перекрывают нервные волокна за счет, как полагают, туннельных переходов ионов Ca2+. Кроме того, т.н. микротубулы, которые входят в состав почти всех клеток,
своим строением и поведением весьма напоминают клеточные автоматы.
Доклад сотрудников ИФТТ РАН (Черноголовка) С.Молоткова и С.Назина был посвящен квантовым измерениям вообще и, в частности, тому, как можно измерить состояние
спина отдельного электрона (не только чистое, но и смешанное). Для этого привлекается
вспомогательная квантовая система (ancilla), которая приводится на некоторое время во
взаимодействие с электроном и над которой затем и производится измерение. В качестве
ancilla предлагается структура, напоминающая спиновый транзистор: три туннельно связанные квантовые точки, поляризованные электроны поступают в крайнюю квантовую точку из
ферромагнитного контакта с определенным направлением магнитного момента. Провзаимодействовав с тестовым электроном, находясь при этом в центральной квантовой точке, они
проходят через третью точку в другой ферромагнитный контакт. Изменяя поляризацию контактов и проводя многократное измерение тока через структуру, можно определить спиновое
состояние электрона. Пока участникам семинара не удалось разобраться в том, что предложенный способ измерения, который, в принципе, дает сколь угодно точную информацию о
квантовой системе, не противоречит теореме о невозможности ее клонирования.
Квантовый компьютер на электронных волнах Организация оптического квантового
компьютера хорошо известна. Но ее не торопятся воплощать в жизнь ввиду малой пригодно-
43
сти для практических целей - слишком громоздки оптические элементы, делители, фазовращатели. Идея использовать электронные волны вместо оптических является настолько общепризнанной, что трудно установить ее изначальное авторство. Заслуга сотрудников
Engineering Department, University of Cambridge (Англия) состоит в том, что они детально
разработали устройство на электронных волнах, выполняющее квантовые логические алгоритмы (см. рис.18).
Рис. 18.
Действительно, одномерные квантовые каналы (квантовые проволоки) для электронов часто
называют волноводами. И это вполне правильно до некоторого момента: фотоны не взаимодействуют, а электроны взаимодействуют кулоновским образом. Для достижения полной
аналогии с фотонами в канале должен быть только один электрон. Но это как раз можно сейчас устроить с помощью т.н. одноэлектронных насосов (electron pumps). Кубит представляет
собой два состояния электрона: электрон находится в одном канале, либо в другом. Если каналы соприкасаются друг с другом на некотором протяжении, то электрон полностью переходит из одного канала в другой. Это и есть операция изменения состояния отдельного кубита. Операцию взаимодействия кубитов можно организовать с помощью соприкосновения каналов, в которых находятся разные электроны. Кулоновское взаимодействие изменяет фазу
волновой функции.
Квантовый компьютер на жидком гелии Американские физики P.M.Platzman (Bell
Laboratories, Lucent Technologies) и M.I.Dykman (Michigan State University) разработали устройство квантового компьютера на электронах, плавающих на поверхности жидкого сверхтекучего гелия. Как известно, электроны, находящиеся вблизи границы жидкого гелия и вакуума, попадают в потенциальную яму сил изображения и создают двумерный электронный
газ. Наинизшее и первое возбужденное состояние электрона в этой яме может служить квантовым битом (qubit).
44
Локализация электронов в плоскости двумерного электронного газа обеспечивается
отдельными электродами, размещенными под слоем жидкого гелия. Причем, электроны, рассыпанные по поверхности гелия, сами скатываются к этим электродам, их не надо специально размещать над ними. Операции над отдельными кубитами выполняются с помощью электромагнитных импульсов, переводящих электроны с нижнего на верхний уровень и наоборот. Доступ к отдельным кубитам осуществляется подачей напряжения на электрод, которое
изменяет энергетический зазор между уровнями в данном кубите, иными словами, либо вводит в резонанс с электромагнитной волной, либо выводит из резонанса. Взаимодействие соседних кубитов обеспечивается кулоновскими силами между электронами.
Очень интересно задуман процесс считывания результата. При этом надо было определить, в каком состоянии находится тот или иной кубит, т.е. узнать, на каком уровне сидит
электрон, на нижнем или на верхнем. Это можно сделать, если разместить над электроном
электрод и подать на него положительное напряжение. Электрон с верхнего уровня гораздо
быстрее протуннелирует на этот электрод, чем электрон с нижнего уровня.
Квантовый компьютер на основе сверхпроводимости. В совместной работе сотрудников
Института теоретической физики им. Л.Д.Ландау (Москва), ETH-Honggerberg (Цюрих,
Швейцария) и Rutgers University (Piscataway, США) предложена твердотельная реализация
кубита в петле СКВИДа. Идея основана на использовании "необычных" сверхпроводников, у
которых симметрия параметра сверхпроводящего параметра порядка D ниже симметрии
кристаллической решетки. Примером такого сверхпроводника является ВТСП YBa2Cu3O7,
имеющий d-волновую симметрию D в сверхпроводящих слоях CuO2: в импульсном пространстве функция D (p) представляет собой "цветок" с четырьмя "лепестками", такой что D
(p)>0 на двух "лепестках" (ориентированных, например, вдоль оси a) и D (p)<0 на двух других "лепестках", ориентированных вдоль оси b; поэтому D (p) четыре раза меняет знак при
повороте вокруг оси c, перпендикулярной плоскости a-b. Из d-волнового и s-волнового
сверхпроводников можно сконструировать "интерференционную петлю" с двукратно вырожденным основным состоянием (напомним, что у s-волнового сверхпроводника параметр
порядка D (p) знакопостоянен). При этом джозефсоновское взаимодействие имеет два разделенных барьером минимума при значениях разности фазы f = 0 и p . Каждое из основных состояний является бестоковым. Отличить одно из них от другого можно, например, по току,
индуцируемому при подключении контакта к внешней индуктивности. Эти два состояния и
образуют в своей совокупности двухуровневую систему для реализации кубита.
45
Предлагается изготавливать СКВИДовскую петлю из контакта SDS? (между dволновым и двумя s-волновыми сверхпроводниками), емкости C и обычного джозефсоновского контакта (между двумя s-волновыми сверхпроводниками). Если петля имеет малую
индуктивность L (то есть IJL << F0 , где IJ – критический ток петли, F0 – квант магнитного
потока), то она не может захватывать магнитный поток. В этом состоит принципиальное отличие предлагаемого устройства от обсуждавшихся в литературе конструкций с большой L.
В последних низколежащие состояния различаются величиной захваченного потока, и для
манипуляции этими состояниями необходимо использовать магнитные поля или токи, что
приводит к нежелательному взаимодействию с внешним миром и потере когерентности.
Операции с кубитами предлагается осуществлять с помощью двух переключателей, находящихся в различных участках СКВИДовской петли, что сводит контакт с окружением к минимуму.
В литературе детально описаны процедуры осуществления однокубитных операций,
равно как и двухкубитной операции CNOT. Таким образом, в рамках предложенной схемы в
принципе может быть реализована любая логическая функция. К сожалению, оценки дают
очень низкую величину рабочей температуры T << 0.1К. Что же касается декогерентности,
то авторы ограничиваются лишь кратким перечислением ее основных механизмов (возбуждение квазичастиц и низкочастотный шум) и возможных путей их подавления. Для дальнейшего развития (или закрытия?) красивой идеи «квантового ВТСП-компьютера» требуется
эксперимент.
Квантовая логика на оптической решетке. Исследователи из University of New Mexico и
University of Arizona (США) предлагают устройство квантового компьютера, которое, по
крайней мере, теоретически совмещает эти противоречивые требования. Идея заключается в
помещении нейтральных атомов в потенциальные ямы в оптической решетке, наподобие того, как помещают яйца в картонных упаковках. Управлять атомами можно с помощью лазерного излучения, вызывающего резонансные переходы между состояниями, одно из которых можно считать нулем, а другое – единицей (кубит). Перед работой компьютера атомы
следует предварительно охладить, т.е. перевести в основное состояние. К сожалению, авторы
не рассматривают спонтанные излучательные переходы атомов, которые могут стать основным процессом декогеренции в системе.
46
Квантовые компьютеры реальные и реалистические О реальных, т.е. работающих в настоящее время квантовых компьютерах (QC), ПерсТ сообщал неоднократно. Имеются в виду
недавние эксперименты по реализации некоторых квантовых алгоритмов. По всем признакам, используемые установки являются действительно компьютерами: в них загружаются
исходные данные, затем проводится их обработка и считывается результат. Но пока эти
"компьютеры" обладают исключительно малой оперативной памятью (всего несколько кубитов) и низким быстродействием. Так, операция выборки всего из 4 элементов осуществлена
на двух кубитах за десятки миллисекунд. Общий недостаток этих установок в том, что они
не способны развиться до состояния конкурентоспособности с современными классическими
компьютерами. Рассматриваемые ниже реалистические твердотельные квантовые компьютеры не обладают этим принципиальным ограничением, однако их воплощение потребует значительного продвижения в области нанотехнологии.
Квантовый компьютер на основе квантового эффекта Холла предлагают ученые из
Clarkson University, Potsdam (США), Grenoble High Magnetic Field Laboratory (Франция) и
Technion- Israel Institute of Technology, Haifa (Израиль). Состояние двумерного электронного
газа (2GEG) в магнитном поле H при целом заполнении уровней Ландау является недиссипативным - магнитосопротивление приближается к нулю. Это позволяет рассчитывать на то,
что когерентность электронной системы будет на высоком уровне. Кубитами являются
опять-таки полуцелые спины ядер, помещенных в 2DEG, а управление их состоянием осуществляется подачей радиочастотных импульсов. Чтобы обеспечить доступ к каждому кубиту в
отдельности предлагается использовать различные ядра со спином 1/2, благо их наберется
несколько десятков в таблице Менделеева. Тогда и частоты ЯМР у них будут разные. Предполагается, что взаимодействие отдельных кубитов (ядерных спинов) будет осуществляться
за счет сверхтонкого взаимодействия электронов, движущихся по ларморовским орбитам, с
магнитным моментом ядер. Т.к. это взаимодействие экспоненциально спадает для расстояний между ядрами, превышающих магнитную длину (квантовый ларморовский радиус (h
c/eH)1/2, который обычно составляет 100A), взаимодействующие ядра (кубиты) не должны
быть удалены друг от друга на большие расстояния. Однако еще труднее управлять этим
взаимодействием, т.е. включать и выключать его. Пока авторы не придумали ничего лучшего, чем помещать между ядрами атом примеси, ионизация которого импульсом света временно приводит к локальному нарушению когерентности в электронной системе.
Наиболее реалистический квантовый компьютер из кремния предложил B.E.Kane из
University of New South Wales, Sydney (Австралия). Каждый кубит в нем реализован на осно-
47
ве отдельного атома изотопа фосфора - 31P, ядро которого имеет спин 1/2 (см. рис. ниже).
Атом помещается на поверхности кремния, например, с помощью щупа туннельного микроскопа STM. Над ним располагается затвор A, который управляет формой электронного облака. При взаимодействии с орбитальным моментом электрона спин ядра поляризуется. Надобность во внешнем магнитном поле пропадает. Управление спином ядра производится с
помощью радиочастотных импульсов. Разное напряжение на затворах А позволяет обеспечить доступ к отдельному спину ввиду различия частот ЯМР. Затворы J регулируют перекрытие электронных облаков соседних
атомов и таким образом включают или выключают взаимодействие соседних кубитов. Отметим, что характерные размеры в структуре порядка 100A. Это и вызывает огромные технологические трудности в ее реализации.
Помимо технологических трудностей рассмотренные структуры имеют еще один общий недостаток. В них не организовано непосредственное взаимодействие каждого кубита с каждым. Хотя и разработаны процедуры передачи состояния одного кубита другому по цепочке
N кубитов, однако при этом число операций умножается на O(N). В этом случае теряется
преимущество большинства квантовых алгоритмов перед классическими, за исключением
алгоритма Шора, имеющего практическое применение только в криптографии.
Проблема декогеренции. Несмотря на то, что мы получили формальные указания на огромные возможности, которыми обладает квантовый компьютер, работающий в соответствии с
законами квантовой физики, имеется несколько принципиальных физических помех, которые надо будет преодолеть, прежде чем квантовый компьютер будет построен в лаборатории. Эти помехи делают путь построения квантового компьютера трудным и долгим одновременно, и на преодоление его уйдет, наверное, немало лет. Можно выделить две такие
48
принципиальные трудности: коррекция ошибок и проблема декогеренции. Мы не будем обсуждать проблему коррекции ошибок, которая в конечном счете может оказаться очень
сложной, так как, вероятно, небольшая неточность в реализации. например, импульса π или
других элементов квантового вычисления может в конечном счете привести к абсолютно неправильному ответу. Некоторые авторы, изучая возникающие проблемы, начали предлагать
наброски схем коррекции таких ошибок. Небольшие ошибки, например, в алгоритме Шора
могут быть скорректированы просто путем повторения этого вычисления несколько раз, пока правильный ответ не будет получен. Его к тому же просто проверить путем перемножения
получаемых факторов. ( На самом деле алгоритм Шора, как впрочем, и другие, не гарантирует правильного ответа с первой попытки даже в случае отсутствия ошибок.)
Кажется, что именно проблема декогерентности становиться даже по современным
представлениям наиболее серьезной проблемой в реализации квантовых вычислений. Декогерентность представляет собой следующее явление: если квантовая система не является
изолированной от окружающей её среды и квантовая динамика окружающей аппаратуры будет также зависеть от операции квантового компьютера, то подобные эффекты могут сделать
эволюцию компьютера не унитарной. Так как пути параллельных вычислений, разделившись
в начале вычисления, собираются только в конце, то потеря фазовой когерентности вдоль
таких путей испортит картину конструктивной и деструктивной интерференции, которая является важнейшим моментом квантовых вычислений. Следовательно, время декогерентности
tΦ должно быть много больше ожидаемого времени квантового вычисления. К счастью, проблема декогерентности относится к числу тех проблем, для которых продолжающееся совершенствование в искусстве проведения эксперимента способно произвести существенные
изменения. Улучшение изолированности квантовой системы от окружающей её среды, которая дополняется совершенствованием технологии использования высокоточных измерений
экспериментальной физики, возможно, приведет к увеличению времени декогерентности tΦ ,
что позволит производить эффективные квантовые вычисления. В таблице 4 приведены значения времен декогерентности tΦ для довольно широкого набора известных в настоящее
время двухуровневых квантовых систем. В силу большой разницы в расстояниях между
уровнями допустимая скорость работы (время переключения) квантовых гейтов изменяется
на 16 порядков. Столь же велики различия в существующих на сегодняшний день технологических возможностях использования опрокидывающих импульсов в таких системах. спектроскопия γ-излучения, необходимая для манипуляций мессбауэровскими ядрами на сегодняшний день не существует, тогда как высокоточные радиочастотные технологии для изго-
49
товления опрокидывающих импульсов в ядерном магнитном резонансе (ЯМР) очень хорошо
разработаны. Кроме того, технология может не позволить полностью использовать потенциальную скорость для любого данного кубита. Например, при недавних попытках реализовать
квантовый компьютер с помощью линейных ионных ловушек, время переключения было
порядка 10-5 , что гораздо больше, чем 10-14 , потому что оно оказалось ограниченно раскодированием кубита за счет квантовых вибраций иона внутри ловушки.
Не менее велик разброс времени декогерентности для различных систем (таблица 4).
Отношение времени переключения ко времени декогерентности является важной чертой
квантового компьютера. Оно определяет число шагов вычисления, которое можно совершить, пока декогентность не нарушит соотношений между фазами.
Вычисления Унргу показывают, что для реализации схем, подобных алгоритму Шора, число
нужных вычислений должно быть порядка куба от числа битов, содержащихся в целом числе, которое надо факторизовать. Когерентность существующих в настоящее время кубитов
не позволяет. например, факторизовать 104-битное число (задача, выходящая за пределы
возможностей любого из существующих классических компьютеров). Тем не менее, в настоящий момент проводятся обнадеживающие эксперименты, в которых создаются элементарные квантовые гейты, использующие оптические микрополости, а также ионные ловушки. Технологии, используемые в последнем случае, возникли из обобщения исследований
атомных часов. Это представляется крайне важным, так как квантовые вычисления требуют
большого времени дефазирования, наряду с большим временем декогерентности. Дефазирование – потеря точности в фазовых факторах, должно быть при квантовых вычислениях сведено к минимуму.
50
Квантовые
tswitch
tΦ
Число
системы
(сек.)
(сек.)
шагов
Мессбауэровские ядра
10-19
10-10
109
Электроны: GaAs
10-13
10-10
103
Электроны: Au
10-14
10-8
106
Ионные ловушки
10-14
10-1
1013
Электронный спин
10-7
10-3
104
Электронная квантовая точка
10-6
10-3
103
Ядерные спины
10-3
104
107
Таблица 4. в таблице представлены двухуровневые квантомеханические системы, которые могут быть использованы в качестве квантового бита. tswitch – минимальное время, за которое можно возбудить квантовую систему;
оно выражается, как ħ/δЕ, где δЕ – характерный масштаб энергий для двухуровневой систем. Время квантовой
декогерентности tΦ – максимальное время, в течение которого при квантовых вычислениях процессы декогерентности не будут существенны. Оно определяется экспериментально. Отношение этих двух времен дает нам
количество шагов, которое может совершить квантовый компьютер, используя такой квантовый бит.
Взгляд в будущее
Из обзора нынешнего состояния квантовой экспериментальной физики становится
ясно, что создание квантовых компьютеров находится сейчас в зачаточном состоянии, и реализация даже такой процедуры, как факторизационный алгоритм Шора, потребующий проведения миллионов операций над тысячами битов, кажется сейчас абсолютно абсурдным
предприятием. Однако даже гораздо долее скромный квантовый компьютер позволит уже
решать задачи, представляющие большой научный интерес. Например, квантовый компьютер всего с несколькими битами может быть крайне полезен при проведении так называемых
измерений Белла, которые могут быть использованы при реализации квантовой телепортации, при которой заранее неизвестное квантовое состояние может быть перенесено на удаленное расстояние. Вполне возможно, что порядка 10 бит хватит, чтоб на квантовом компьютере стало возможным реализовать квантовое кодирование Шумахера, которое представляет интерес при реализации эффективной квантовой криптографии. И, возможно, 100 бит хватит для того, чтобы квантовый компьютер смог стать эффективным ретранслятором шумовой (возможно частично декогерентной) квантовой криптографической связи. Вероятно, в
качестве приложений окажется возможным создавать пары Эйнштейна-Подольского-Розена,
51
разделенные на большие расстояния, что позволит осуществить новые строгие эксперименты
по проверке справедливости квантовой теории. Сейчас и в физике, и в компьютерной науке
ведутся активные поиски новых путей использования квантовых компьютеров.
Использование квантовых гейтов, описанное в общих чертах в этой работе, кажется
достаточно сложным для элементарных реализаций квантового компьютера, и возможно, что
будут использованы другие парадигмы, обеспечивающие более простые пути реализации
квантовых вычислений, например, возможно, что естественная временная эволюция какойнибудь простой квантовой системы, такой как кристалл, может сама по себе производить полезные вычисления. Можно указать на работы, касающиеся «квантовых клеточных автоматов». Возможно, что наши сегодняшние представления о необходимости строгой изоляции
квантовой вычислительной системы являются неверными; вполне возможно, что временная
эволюция матрицы плотности открытой квантовой системы окажется также применима для
проведения вычислений, или что новый подход к коррекции ошибок позволит допускать
шумы в кубитах квантового компьютера. Так или иначе, следующие несколько лет в тематике квантовых вычислений обещают быть очень интересными.
52
Литература
1. Phys.Rev.Lett., 1998, 81, p.200
2. Phys.Rev.Lett., 1998, 80, p.4951
3. L.B.Ioffe et al., Nature, 1999, 398, p.679
4. M.F.Bocko et al., IEEE Trans. Appl. Supercond., 1997, 7, p.3638
5. Physics Letters, 1998, A239, p.143
6. Phys.Rev, 1998, A57, p.121
7. Nature, 1998, 393, p.133
8. Р. Фейнман. Лекции по физике т. 9, «Квантовая физика», М: Мир, 1978
9. Р. Фейнман «Моделирование физики на компьютере», Квантовый компьютер, 1998
10. Р. Фейнман «Кватовомеханический компьютер», Квантовый компьютер, 1998
11. А. Чуанг, Д. Лиюнг «Экспериментальная реализация квантового алгоритма», Квантовый
компьютер, 1998
12. Д. Дойч «Квантовая теория, принцип Черча-Тьюринга и универсальный квантовый компьютер», Квантовый компьютер, 1998
13. П. Шор «Полиномиальные по времени алгоритмы разложения числа на простые множители и нахождение дискретного логарифма для квантового компьютера», Квантовый
компьютер
53