1-1. Аналого-цифровое и цифро-аналоговое преобразование

1-1. Аналого-цифровое и цифро-аналоговое
преобразование. Параметры типичных АЦП и
ЦАП.
При аналого-цифровом преобразовании АЦП содержит
компараторы на каждый дискретный уровень входного
сигнала, и при определении уровня только
компараторы, соответствующие уровням ниже уровня
входного сигнала, выдают на выходе сигнал. Также
существуют
АЦП,
которые
последовательно
приближаются к входному уровню, с каждым шагом
отнимая по верхнему разряду и замеряющие
следующий разряд. При обратном преобразовании
стабильный источник напряжения включается на время,
пропорциональное преобразуемому цифровому коду, а
затем сигнал фильтруется ФНЧ. Разрядность - важная
характеристика ЦАП/АЦП, определяет количество
дискретных уровней, которые может определить
устройство, то есть его точность. Определяется в битах.
Частота оцифровки - частота, с которой снимаются
сигналы на АЦП и выдаются на ЦАП, требуется, чтобы
она была хотя бы в два раза больше, чем частота
максимального входного сигнала, иначе результат на
выходе будет некорректен. Частоты современных АЦП
применяемых, например, в осциллографах составляет
около 50-200Мгц, а для мощных систем типа
многоканальных приемников сотовых сетей составляют
и гигагерцы. АЦП считается высокоточным уже при 14
разрядах (16 тысяч дискретных значений), но
современные АЦП доходят и до 24 разрядов (16
миллионов дискретных значений).
1-2. БИХ фильтры и их свойства. Устойчивость
БИХ фильтров.
БИХ фильтр - фильтр с бесконечной импульсной
характеристикой, то есть использующий свой же выход
в качестве входа, образуя обратную связь. Основное
свойство фильтра в том, что импульсная переходная
характеристика имеет бесконечную длину во времени, а
передаточная функция записывается в дробнорациональном виде. Разностное уравнение БИХфильтра
записывается
таким
образом:
, где P порядок входного сигнала, Q - порядок обратной связи,
- коэффициенты входного сигнала, - коэффициента
обратной связи,
- входной сигнал,
- выходной
сигнал. Передаточная функция БИХ-фильтра:
Для устойчивости БИХ-фильтра необходимо и
достаточно, чтобы все полюса его передаточной
функции по модуля были меньше единицу (лежали
внутри единичного круга на z-плоскости).
Структурная
схема
БИХ-фильтра:
По передаточной функции легко отличить БИХ фильтр от
КИХ фильтра: в БИХ-фильтре присутствует обратная
связь.
2-1. Дискретные сигналы, стандартные
дискретные сигналы. Линейные дискретные
системы с постоянными параметрами.
Дискретный сигнал - сигнал, принимающий конечно
число значений. Цифровой сигнал - дискретный,
принимающий свои значения в конечные моменты
времени. Дельта-функция Дирака - функция, имеющая
значение бесконечности в точке
, а в остальных
точках имеющая значение 0, но при этом
.
Цифровой сигнал обычно выражается набором
ступенчатых сигналов конечного числа высот. Зная
импульсную характеристику систему и входной сигнал,
можно узнать выходной сигнал как их свертку:
, где
2-2. Преобразование Фурье периодического
сигнала. Преобразование Фурье дискретного
сигнала.
Преобразование Фурье - разложение исходной функции
на элементарные гармонические колебания различных
частот. Для периодического сигнала преобразование
будет иметь конечное число членов, так как исходный
сигнал уже является гармоникой или их суммой, а
значит преобразование будет иметь вид ступенчатых
функций на частотах, обратных периоду исходного
сигнала. Для дискретного сигнала преобразование
будет иметь бесконечное число членов, так как каждый
член - приближение к дискретному значению, но
идентичность с исходным сигналом будет достигнута
только при бесконечно большом количестве членов.
Если
подвергнуть
исходный
сигнал
преобразованию Фурье, то получившаяся функция будет
называться
спектральной
плотностью
. Обратное же преобразование
Фурье
проводится
так:
.
Спектральное разрешение (мера количества возможных
частот при преобразовании Фурье) зависит от
временного окна, которое может позволить иметь
меньшее разрешение по времени, но большее по
частоте.
Оконное
преобразование
Фурье
это
, где
–
оконная функция, позволяющая исследовать сигнал
1
только на каком-то определенном промежутке
времени, так как в реальных устройствах неизвестно
предыдущее состояние сигнала и будущее. С ее
помощью возможно выделить основную частоту при
растекании спектра, а остальные заметно ослабить.
Одним из важных свойств преобразования Фурье
является линейность, то есть спектр суммы сигналов
равен сумме спектров сигналов. Также при изменении
масштаба оси времени, то есть замены
на
его
спектр будет равен
.
какой-то
момент
времени
его
импульсная
характеристика становится равной точно нулю.
Разностное уравнения КИХ-фильтра записывается таким
образом:
, где P - порядок
входного сигнала, - коэффициенты входного сигнала,
- входной сигнал. Передаточная функция БИХфильтра:
. КИХ-фильтры всегда
устойчивы, так как не требуют наличия обратной связи.
Общая
схема
реализации
КИХ-фильтра:
Преобразование Фурье дифференцированного сигнала
будет равно преобразованию Фурье исходного,
помноженного на
, а преобразование Фурье
интегрированного сигнала будет равно преобразованию
Фурье исходного, деленного на .
, где A – линейный оператор,
и
– входные сигналы. Система называется
устойчивой, если с течением времени
стремится к
конечному значению (асимптотически устойчивой, если
к
нулю).
Примеры
систем:
Bode Diagram
Bode Diagram
0
Magnitude (dB)
Линейная система – система, в которой выполняется
принцип
линейности,
то
есть
и
На основе КИХ можно создавать фильтры низких и
высоких частот, а также полосо-пропускающие или
полосо-заграждающие фильтры. Типичная ЛАЧХ
фильтров низких и высоких частот соответственно:
Magnitude (dB)
3-1. Понятие устойчивости дискретной
линейной системы. Критерий устойчивости.
-20
-40
-2
И
10
для
0
0
-10
-20
-30
-2
10
10
полосно-пропускающего
Frequency (rad/s)
чтобы все корни характеристического уравнения
системы лежали в пределах единичного круга (на
плоскости z).
3-2. КИХ фильтры и их свойства. Устойчивость
КИХ фильтров.
КИХ фильтр – фильтр с конечной импульсной
характеристикой, чье основное свойство в том, что в
2
50
-10
40
Magnitude (dB)
В нелинейных системах может не выполняться условие
линейности:
. Например, если
нелинейный элемент – зона насыщения, то
:
1
Если сумма
A=0.5
импульсных
A=1
0.5
характеристи
к
системы
0
конечна, то
система
называется
-0.5
устойчивой.
Для анализа
-1
0
2
4
6
8
10
устойчивости
систем можно применять критерии устойчивости,
например, критерий Найквиста, который гласит, что
система устойчива, если ее годограф при изменении
частоты от 0 до
охватил точку -1 полраза. Или
Magnitude (dB)
Bode Diagram
0
-20
-30
-40
-50
0
10
иFrequency
режекторного:
(rad/s)
Bode Diagram
30
20
10
0
10
0
0
10
Frequency (rad/s)
Полосно-пропускающий
фильтр – это Frequency
свертка(rad/s)
фильтра
низких и высоких частот, а режекторный – их сумма.
Фильтр высоких частот на КИХ можно получить,
используя оконное преобразование
.
4-1. Теорема Котельникова. Основная
интерполяционная формула, ее достоинства
и недостатки.
Теорема Котельникова гласит, что если аналоговый
сигнал имеет ограниченный спектр, то он может быть
восстановлен без потерь по своим дискретным
отсчетам, взятым с частотой больше удвоенной верхней
частоты его спектра. При дискретизации с частотой
меньше удвоенной верхней частоты спектра сигнала
возникает алиасинг, то есть частота, которая выходит за
пределы половины частоты дискретизации, отражается
в спектральной области относительно верхней частоты
спектра сигнала. Основная интерполяционная формула,
по которой, при соблюдении теоремы Котельникова,
может
быть
восстановлен
исходный
сигнал:
, где
дискретизации,
.
– период
Для
устранения
высокочастотных помех с сигнала перед его
оцифровкой устанавливается ФНЧ, также это позволяет
гарантированно получить сигнал без алиасинга. Для тех
же целей ФНЧ устанавливается на выходе ЦАП. Для
оцифровки узкополосного высокочастотного сигнала он
переносится в силу тригонометрии в начало спектра и
там уже оцифровывается, а при восстановлении
учитывается этот перенос.
4-2. Виды ошибок квантования в цифровых
фильтрах.
Шум
аналого-цифрового
преобразования в случае округления и
усечения.
Разрядность - важная характеристика ЦАП/АЦП,
определяет количество дискретных уровней, которые
может определить устройство, то есть его точность.
Определяется в битах. Частота оцифровки - частота, с
которой снимаются сигналы на АЦП и выдаются на ЦАП,
требуется, чтобы она была хотя бы в два раза больше,
чем частота максимального входного сигнала, иначе
результат на выходе будет некорректен. В связи с этим
при умножении или сложении чисел некоторый разряд
будет округляться, и это является ошибкой квантования.
Также среди ошибок квантования стоит отметить шум
аналого-цифрового квантования (чаще всего он
является белым, но не всегда) и неточность реализации
характеристик цифрового фильтра из-за округления их
параметров. Ошибку квантования можно представить в
виде модели
идеального фильтра
(с
неквантованными коэффициентами
и
) и
паразитного фильтра
, коэффициенты которого
зависят от погрешностей
, рассматриваемых
как статически независимые величины с равномерными
распределениями. Джиттером называются случайные
фазовые
или
частотные
отклонения
сигнала,
возникающие вследствие нестабильности исходного
сигнала или различной скорости распространения
частотных составляющих одного сигнала. В АЦП джиттер
вызван тем, что у кварцевого генератора, который
задает частоту дискретизации, имеются ненулевые
фазовые шумы, таким образом, моменты времени
получения отсчетов расположены на временной оси не
совсем равномерно, это приводит к размыванию
спектра и ухудшению качества сигнала.
3
4
13-1.
Фильтры
Бесселя,
Баттерворта,
Чебышева, Гаусса и Эллиптические.
(Пусть передаточная функция W s  , тогда амплитудно-
G()  W ( j) , фазочастотная характеристика: ф( )   arg(W ( j )) ,
dф
групповая задержка: D ( )  
.) Фильтр –
d
частотная характеристика:
линейная электрическая цепь, обладающая свойством
избирательного пропускания сигналов разных частот.
Линейная – в том смысле, что подача на нее
синусоидального сигнала не приводит к искажению его
формы. Полосовые фильтры пропускают сигналы,
лежащие выше определенной нижней, но ниже
определенной верхней частоты.
Фильтр Бесселя (относится к БИХ) – один из наиболее
распространенных
типов
линейных
фильтров,
отличительной особенностью которого является
максимально гладкая групповая задержка (линейная
фазо-частотная характеристика). Передаточная функция:
W s  
 n ( 0)
n (
s
0
, где
0 -
частота среза,
 n (s )
Фильтр Чебышева (относится к БИХ) – один из типов
линейных аналоговых или цифровых фильтров,
отличительной особенностью которого является более
крутой спад АЧХ и существенные пульсации АЧХ на
частотах полос пропускания (1 рода) и подавления (2
рода), чем у фильтров других типов. Передаточная
функция:
W s  
1

n
k 1

pm
(s  s )
, где
s pm - только те
полюса, которые имеют отрицательную действительную
часть. АЧХ:
-
)
обратный многочлен Бесселя. График АЧХ (красный) и
групповой задержки (зеленый):
Фильтр Баттерворта (относится к БИХ) – отличается от
других методом проектирования – проектируется так,
чтобы его амплитудно-частотная характеристика была
максимально гладкой на частотах полосы пропускания.
Передаточная функция:
W s  
G0

n
k 1
(s 
sk
c
, где G0
)
– коэффициент усиления по постоянной составляющей
(усиление на нулевой частоте), c - частота среза
(частота, на которой амплитуда равна -3дБ),
полюс. АЧХ:
5
sk -k-ый
Фильтр Гаусса (относится к КИХ) – электронный фильтр,
спроектированный таким образом, чтобы не иметь
перерегулирования
в
переходной
функции
и
максимизировать постоянную времени. Обычно
используется в цифровом виде для обработки
двумерных сигналов с целью снижения уровня шума.
Эллиптический фильтр (фильтр Кауэра) – электронный
фильтр, характерной особенностью которого является
пульсации АЧХ как в полосе пропускание, так и в полосе
подавления. Другой отличительной особенностью
является
очень
крутой
спад
амплитудной
характеристики, поэтому можно достигать более
эффективного разделения частот. Если пульсации равны
нулю в полосе подавления, то это есть фильтр
Чебышева 1 рода, если в полосе пропускания – фильтр
Чебышева 2 рода, если пульсаций нет на всей
амплитудной
характеристике,
то
это
фильтр
Баттерворта. АЧХ:
13-2. Проектирование цифровых фильтров в
среде LabVIEW и MATLAB.
Для расчета цифровых фильтров в среде MATLAB
имеются следующие функции:
BESSELF – проектирование аналогового фильтра
Бесселя. BUTTER – проектирование цифрового и
аналогового фильтров Баттерворта.
CHEBY1 –
проектирование цифрового и аналогового фильтров
Чебышева 1 рода. CHEBY2 – проектирование цифрового
и аналогового фильтров Чебышева 2 рода. ELLIP –
проектирование
эллиптического
цифрового
и
аналогового фильтров. Выбор порядка фильтра
осуществляется с помощью следующий функций:
BUTTORD, CHEB1ORD, CHEB2ORD, ELLIPORD. Но еще
лучше проектировать с помощью встроенных в Матлаб
средств GUI FDATool, это специальное средство для
проектирования фильтров. Обращение из окна
Матлаба: fdatool.
Инструментарий проектирования (синтеза) цифровых
фильтров (ИПЦФ) в LabVIEW (LabVIEW Digital Filter Design
Toolkit) состоит из нескольких расширенных средств для
проектирования фильтра, анализа и моделирования
цифровых фильтров с фиксированной и с плавающей
запятой.
Процесс
проектирования
является
итерационным. Необходимо экспериментировать с
различными
техническими
требованиями
при
проектировании или выбирать методы разработки
соответствующего цифрового фильтра для приложения.
Иногда,
возможно,
потребуется
пересмотреть
технические требования или изменить метод
проектирования после проверки фильтра, особенно при
разработке фильтров с фиксированной запятой из-за
конечной точности коэффициентов.
14-1. Дискретное преобразование Фурье.
Оценка спектра непрерывного сигнала по его
дискретным отсчетам.
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) – один из
видов преобразования Фурье, требующее в качестве
входа дискретную функцию. Прямое преобразование:
N 1
X k   xn e

2i
kn
N
,
обратное
n 0
1
xn 
N
6
N 1
X
n 0
k
e
2i
kn
N
, где:
преобразование:
N – количество значений сигнала, измеренных за
период, а также количество компонент разложения, xn
– измеренные значения сигнала (в дискретных
временных точках с номерами n = 0…N-1, которые
являются
входными
данными
для
прямого
преобразования и выходными для обратного), Xk – Nштук комплексных амплитуд синусоидальных сигналов,
слагающих исходный сигнал, являются выходными
данными для прямого преобразования и входными для
обратного. Преобразование раскладывает сигнал на
синусоидальные составляющие (которые называются
гармониками) с частотами от N колебаний за период до
одного колебания за период. Поскольку частота
дискретизации сама по себе равна N отсчетов за
период, то высокочастотные составляющие не могут
быть корректно отображены. Это приводит к тому, что
вторая половина из N комплексных амплитуд,
фактически, является зеркальным отображением
первой и не несет дополнительной информации. ДПФ
обладает
свойством
линейности
ax(n)  by (n)  aX (k )  bY (k ) ,
сдвигом
по

2i
kn
x(n  m)  X (k )e N , периодичностью
X (k  rN )  X (k ) ,
обладает
спектральной
времени
плотностью S ( k )  x ( k ) .
2
14-2. Актуальность цифровых методов
обработки для задач телемедицины. GRIDтехнология на службе здоровья.
Телемедицина – направление медицины, основанное
на
использовании
компьютерных
и
телекоммуникационных технологий для обмена
медицинской информацией между специалистами с
целью повышения качества диагностики и лечения
конкретных
пациентов.
Одним
из
основных
направлений телемедицины является дистанционная
диагностика – консультации в режиме реального
времени.
Их
проводят
с
использованием
широкополосных каналов связи. Сеанс связи обычно
проходит между лечащим врачом и пациентом. В любое
время врач посредством сети Интернет и необходимых
пакетов программных обеспечений должен получать
данные о состоянии здоровья пациентов на любую
цифровую систему (комп, ноут, телефон). Поэтому
использование цифровых методов обработки особо
актуально для телемедицины, которая опирается на эти
цифровые методы обработки и хранения медицинских
диагностических данных и методы надежной передачи
данных по каналам связи.
Грид-вычисления
–
это
форма распределённых
вычислений
(когда
используются
несколько
компьютеров,
объединенных
в
параллельную
вычислительную систему), в которой «виртуальный
суперкомпьютер»
представлен
в
виде кластеров, соединённых
с
помощью
сети,
слабосвязанных,
гетерогенных
компьютеров,
работающих вместе для выполнения огромного
количества заданий. Основным преимуществом
распределённых вычислений является то, что отдельная
ячейка вычислительной
системы может быть
приобретена как обычный неспециализированный
компьютер. Таким образом, можно получить
практически те же вычислительные мощности, что и на
обычных суперкомпьютерах, но с гораздо меньшей
стоимостью. Типы GRID: Вычислительные GRID ориентированы
на
то,
чтобы
объединять
вычислительную
мощность
для
ресурсоемких
вычислительных проектов. Информационные GRID обеспечивают вычислительные ресурсы, для анализа
крупномасштабных
баз
данных
коллективного
пользования. Коллаборационные GRID - нацелены на
работу
с
большими
сложными
группами
взаимодействующих пользователей (используются,
например, для совместного моделирования и
проектирования).
15-1. Теорема
применимости.
дискретизации.
Котельникова. Условия
Частоты
Найквиста
и
Теорема Котельникова – любой сигнал с ограниченным
спектром можно восстановить без потери информации
по своим дискретным отсчетам, взятым с частотой, в 2
раза превышающую максимальную частоту в спектре
( f c ). Такая трактовка рассматривает идеальный случай,
когда сигнал начался бесконечно давно и никогда не
закончится, а также не имеет во временно́ й
характеристике точек разрыва. Основным условием
применимости
теоремы
является
наличие
ограниченного частотами среза спектра сигнала.
Ограничение спектра сигнала часто выполняется
фильтром низких частот. Обычно, реальные сигналы
конечны во времени и имеют разрывы во временной
характеристике, поэтому их спектр бесконечен, и
полное восстановление сигнала невозможно. Тогда
говорят о восстановлении с какой-либо точностью.
Теорема Котельникова утверждает, что непрерывный
сигнал
x(t)
можно
представить
в
виде
интерполяционного
ряда:
x(t ) 


 x(k) sin c[  (t  k)] , где sinc(x)=sin(x)/x
k  
–
интегральный
синус,
интервал
дискретизации
1
ограничивается 0   
, мгновенные значения
2 fc
данного ряда есть дискретные отсчеты сигнала x(k ) .
Частота дискретизации – частота взятия отсчетов
непрерывного во времени сигнала при его
дискретизации. Частота Найквиста – частота, равная
половине
частоты
дискретизации.
Из теоремы
Котельникова следует,
что
при дискретизации аналогового
сигнала
потерь
информации не будет только в том случае, если спектр
(спектральная плотность) сигнала равен нулю выше
частоты Найквиста. В противном случае при
восстановлении аналогового сигнала будет иметь место
7
наложение спектральных «хвостов» (подмена частот,
маскировка частот), и форма восстановленного сигнала
будет искажена. Если спектр сигнала не имеет
составляющих выше частоты Найквиста, то он может
быть (теоретически) продискретизирован и затем
восстановлен без искажений.
15-2. Импульсная характеристика дискретной
линейной системы.
Импульсная характеристика h(k) дискретной системы
является откликом системы на единичную функцию
x0(k), являющуюся аналогом дельта-функции при
описании дискретных систем и представляющую собой
единичный
отсчет
с
единичным
значением:
1, k  0
.
x0 (k )  
0, k  0
y (k ) 

 x ( m)  h ( k  m)
-
m  
Дискретная линейная свертка входного сигнала и
импульсной характеристики. Для того чтобы система
была физически реализуема, ее импульсная переходная
функция должна удовлетворять условию: h(t)=0 при t<0.
В противном случае система нереализуема, так как она
нарушала бы причинно-следственную связь: отклик
появляется на выходе раньше, чем на вход поступило
воздействие. Импульсная характеристика является
основной характеристикой линейной системы. Чтобы ее
рассчитать, необходимо решить соответствующие
разностные уравнения дискретной системы вида
n
m
i 0
j 1
y(k )   bi  x(k  i)  a j  y(k  j ) , где bi , a j вещественные
коэффициенты,
называемые
внутренними параметрами линейной дискретной
системы, x(k ) , y (k ) - воздействие и реакция.
Линейное разностное уравнение является аналогом
линейного
дифференциального
уравнения
для
аналоговой системы.
16-1.
Основные
методы
обработки
изображений, используемые в сканирующей
зондовой микроскопии.
Сканирующий зондовый микроскоп (СЗМ) – микроскоп
для получения изображения поверхности и ее
локальных
характеристик.
Позволяет
получить
трехмерное изображение поверхности (топографию) с
высоким разрешением. Для регистрации различных
эффектов используются разные сенсоры. Обычно,
снятое на СЗМ изображение трудно поддается
расшифровке из-за искажений, и почти всегда
результаты подвергаются математической обработке. В
случае СЗМ кадра преобразование Фурье производится
над
дискретными
величинами.
Фурье-образ
поверхности можно получить по следующим формулам:
Fab 
1
N2
мнимая
Z
ij
exp[ 2v(
ij
единица.
a i b j

)] , где v –
N
N
Обратное
преобразование:
Z ij   Fab exp[ 2v(
ab
a i b j

)] .
N
N
При
Фурье-
фильтрации
производится
преобразования
над
пространственным
спектром
поверхности.
Преобразованный Фурье-образ поверхности запишется
в виде:
F ' ab  Fab H ab , где H ab - спектральная
функция
применяемого
фильтра.
Наиболее
распространенными являются фильтры низких и
высоких частот с круговыми и квадратными окнами.
16-2.
Примеры
проектирования
фильтров и БИХ-фильтров.
КИХ-
КИХ-фильтр – один из видов линейных фильтров с
ограниченной
по
времени
импульсной
характеристикой. Еще называется не рекурсивным, изза
отсутствия
обратной
связи.
Знаменатель
передаточной функции такого фильтра – константа.
Неканоническая
Разностное
y (n)   bi x(n  i ) ,
уравнение:
уравнениям:
b z
передаточная функция: W ( z ) 
i 0
i
i
которая
подчиняется
w(n)   a(k ) w(n  k )  x(n) и
k 1
i 0
P
структура,
N
P
M
. КИХ фильтры
y (n)   b(k ) w(n  k ) . Ее схема:
k 0
могут
быть
реализованы
с
использованием
умножителей, сумматоров и блока задержки:
БИХ-фильтр – один из видов линейных фильтров,
импульсная
характеристика
которого
имеет
бесконечную длину во временной области, а
передаточная функция имеет дробно-рациональный
вид. Еще называется рекурсивным, потому что
использует один или более своих выходов в качестве
входа, то есть образует обратную связь. Если
рассматривается
передаточная
функция
вида
M
Y ( z)
W ( z) 

X ( z)
b z
k 0
N
Если объединить задержки, получим каноническую
форму:
k
k
1   ak z
, то ей соответствует
k
k 1
разностное
уравнение:
N
M
k 1
k 0
y ( n)    a ( k ) y ( n  k )   b( k ) x ( n  k ) .
Такая
форма построения цепи называется прямой формой:
17-1. Прямое и обратное
преобразование Фурье
Прямое преобразование:
Обратное преобразование:
8
дискретное
Обозначения:
N — количество значений сигнала, измеренных за
период, а также количество компонент разложения;
xn — измеренные значения сигнала (в дискретных
временных точках с номерами , которые являются
входными данными для прямого преобразования и
выходными для обратного;
Xk — N комплексных амплитуд синусоидальных
сигналов, слагающих исходный сигнал; являются
выходными данными для прямого преобразования и
входными для обратного; поскольку амплитуды
комплексные, то по ним можно вычислить
одновременно и амплитуду, и фазу;
Xk / N - обычная (вещественная) амплитуда k-го
синусоидального сигнала;
arg(Xk) — фаза k-го синусоидального сигнала (аргумент
комплексного числа);
k — частота k-го сигнала, равная , где T — период
времени, в течение которого брались входные данные.
Из
последнего
видно,
что
преобразование
раскладывает сигнал на синусоидальные составляющие
(которые называются гармониками) с частотами от N
колебаний за период до одного колебания за период.
Поскольку частота дискретизации сама по себе равна N
отсчётов за период, то высокочастотные составляющие
не могут быть корректно отображены — возникает
муаров эффект. Это приводит к тому, что вторая
половина из N комплексных амплитуд, фактически,
является зеркальным отображением первой и не несёт
дополнительной информации.
Рассмотрим некоторый периодический сигнал x(t) c
периодом равным T. Разложим его в ряд Фурье:
Эта
формула
описывает
прямое
дискретное
преобразование Фурье.
В литературе принято писать множитель 1/N
в
обратном преобразовании, и поэтому обычно пишут
формулы
преобразования
в
следующем
виде:
17-2. Роль и место цифровой обработки
сигналов в системе наук и ее использование в
медицине.
В течение всего 20-го века в медицине и биологии
продолжали развиваться методы анализа сигналов и
находили применение всѐ большее количество
передовых матема- тических методов. Для иллюстрации
этого тезиса достаточно назвать только некоторые
области исследований в этих направлениях: анализ
физиологических сигналов, матема- тические модели
физиологических
и
патологических
процессов,
поддержка принятия решений (методы искусственного
интеллекта), анализ и моделирование макромолекул
(фармакология,
геномика,
протеомика),
математическое
моделирование
лекарственных
препаратов,
математическое
моделирование
фармакокинетики лекарств и их метаболи- тов, методы
нелинейной динамики для описания физиологических и
патологических процессов. Наиболее известными
исследованиями на стыке медицины, биологии и математики в последние десятилетия стали работы по
расшифровке генома человека и компьютерному
моделированию лекарств.
Проведем дискретизацию сигнала так, чтобы на
периоде было N отсчетов. Дискретный сигнал
представим в виде отсчетов: xn = x(tn), где ,
тогда эти отсчеты через ряд Фурье
следующим
Используя
запишутся
образом:
соотношение:
,
получаем:
где
Таким образом мы получили обратное дискретное
преобразование Фурье.
Умножим теперь скалярно выражение для xn на
и получим:
Здесь использованы: а) выражение для суммы
конечного числа членов (экспонент) геометрической
прогрессии, и б) выражение символа Кронекера как
предела отношения функций Эйлера для комплексных
чисел. Отсюда следует, что:
9
18-1.Идея быстрого преобразование Фурье.
Выигрыш в сравнении с обычным ДПФ.
Быстрое преобразование Фурье (БПФ, FFT) — это
алгоритм
быстрого
вычисления
дискретного
преобразования Фурье (ДПФ). То есть, алгоритм
вычисления за количество действий, меньшее чем
O(N2), требуемых для прямого (по формуле)
вычисления ДПФ. Иногда под БПФ понимается один из
быстрых
алгоритмов,
называемый
алгоритмом
прореживания по частоте/времени или алгоритмом по
основанию 2, имеющего сложность O(Nlog(N)).
Вывод преобразования из ДПФ
Дискретное преобразование Фурье для вектора
,
состоящего из N элементов, имеет вид:
элементы
матрицы
Пусть N четно, тогда
следующим образом:
имеют
.
ДПФ
можно
вид:
переписать
Коэффициенты
и
следующим образом (M=N/2):
можно переписать
В результате получаем:
То есть дискретное преобразование Фурье от вектора,
состоящего из N отсчетов, свелось к линейной
композиции двух ДПФ от N/2 отсчетов, и если для
первоначальной задачи требовалось N2 операций, то
для полученной композиции —
. Если M является
степенью двух, то это разделение можно продолжать
рекурсивно до тех пор, пока не дойдем до двух
точечного преобразования Фурье, которое вычисляется
по следующим формулам:
1. Частотные характеристики являются непрерывными
функциями частоты.
2. При дискретизации данных по интервалам Dt
функция H(w) является периодической. Период функции
H(w) равен частоте дискретизации входных данных F =
1/Dt. Первый низкочастотный период (по аргументу w
от -p/Dt до p/Dt, по f от -1/2Dt до 1/2Dt) называется
главным частотным диапазоном. Граничные частоты
главного частотного диапазона соответствуют частоте
Найквиста wN, wN = p/Dt. Частота Найквиста
определяет предельную частоту
данных, которую
способен обрабатывать фильтр.
3. Для фильтров с вещественными коэффициентами
импульсной реакции h(nDt) функция АЧХ является
четной, а функция ФЧХ - нечетной. С учетом этого
частотные характеристики фильтров обычно задаются
только на интервале положительных частот 0-wN
главного частотного диапазона. Значения функций на
интервале отрицательных частот являются комплексно
сопряженными
со
значениями
на
интервале
положительных частот.
Виды АЧХ для разных шкал:
18-2. Основные требования к средствам ЦОС
при обработке аудио и видеоинформации.
????????????????????????????????????????????
19-1.Частотные характеристики цифровых
фильтров. Свойства частотных характеристик,
примеры частотных характеристик.
Цифровой фильтр — в электронике любой фильтр,
обрабатывающий цифровой сигнал с целью выделения
и/или подавления определённых частот этого сигнала. В
отличие от цифрового аналоговый фильтр имеет дело с
аналоговым сигналом, его свойства недискретны,
соответственно передаточная функция зависит от
внутренних свойств составляющих его элементов.
Частотная характеристика фильтра представляет собой
Фурье-образ его импульсной реакции, и наоборот. При
Dt = 1:




n  
H(w) =
h(n) exp(-jwn) ; h(n) = (1/2p)   H(w)
exp(jwn) dw.
В общем случае H(w) является комплексной функцией,
модуль которой R(w) называется амплитудно-частотной
характеристикой (АЧХ), а аргумент j(w) – фазовочастотной характеристикой (ФЧХ).
Re H ( )  Im H ( )
2
2
A(w) = |H(w)| =
j(w) = arctg(-Im H(w)/Re H(w)).
Основные свойства частотных характеристик цифровых
фильтров:
10
19-2. Необратимость процесса обработки
изображений. Теряемая и выявляемая при
фильтрации информации.
Суть цифрового преобразования при фильтрации
состоит в отсечении вычислительными методами
ненужных гармоник. Поступающий на вход каскада
сигнал X(N) сдвигается на один такт, умножается на
заранее
рассчитанный
коэффициент
C(K),
определяющий полосу пропускания фильтра, и затем
суммируется с накоплением результата. Применение
цифровой обработки в данном случае дает
преимущества гибкого изменения полосы пропускания
программными
методами,
технологичности
и
температурной
стабильности,
недостигаемой
аналоговыми методами.
20-1.Двумерные
цифровые
сигналы.
Двумерное ƒѕ‘, способы его вычисление и
примеры использование.
Условимся называть изображением объекта двумерный
сигнал, представляющий распределение в картиннои
плоскости
значений
интенсивности
(яркости)
отраженного от объекта сигнала или интенсивности
собственного
свечения
отдельных
элементов
объекта.Цифровые данные получаются путем выборки и
квантования интенсивности точек из исходных
изображений (изображений-оригиналов). Элементы
цифрового изображения f (i, j) в iм столбце и j-й строке могут быть заданы как бинарные
черно-белые (две градации), многоградационные
(например,
256
градаций)
или
в
виде
многоградационного вектора (например, с 256
градациями по каждой из составляющих — красной,
зеленой и синей).
Двумерное преобразование Фурье(n=2)
Преобразование Фурье функций, заданных на
пространстве
, определяется формулой
Здесь ω и x — векторы пространства , — их скалярное
произведение. Обратное преобразование в этом случае
задается формулой
Эта формула может быть интерпретирована как
разложение функции f в линейную комбинацию
(суперпозицию) «плоских волн» вида с амплитудами ,
частотами ω и фазовыми сдвигами соответственно. Как
и прежде, в разных источниках определения
многомерного преобразования Фурье могут отличаться
выбором константы перед интегралом.
20-2. Характерные примеры сигналов и
спектров, с которыми сталкиваются медики.
??????????????????????????????????????
11