2011 - alenn.ru

Финалы России, 9 класс
1999
1. В числе A цифры идут в возрастающем порядке (слева направо). Чему равна сумма цифр числа 9A ?
2. В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены беспосадочными рейсами одной из N авиакомпаний, причем из каждого города есть по одному рейсу каждой из авиакомпаний. Известно, что из любого
города можно долететь до любого другого (возможно, с пересадками). Из-за финансового кризиса был закрыт
N-1 рейс, но ни в одной из авиакомпаний не закрыли более одного рейса. Докажите, что по-прежнему из любого
города можно долететь до любого другого.
3. Треугольник ABC вписан в окружность S . Пусть A0 - середина дуги BC окружности S, не содержащей A ; C0 середина дуги AB , не содержащей C. Окружность S1 с центром A0 касается BC , окружность S2 с центром C0 касается AB. Докажите, что центр I вписанной в треугольник ABC окружности лежит на одной из общих внешних
касательных к окружностям S1 и S1 .
4. Числа от 1 до 1 000 000 покрашены в два цвета - черный и белый. За ход разрешается выбрать любое число от 1
до 1 000 000 и перекрасить его и все числа, не взаимно простые с ним, в противоположный цвет. Вначале все
числа были черными. Можно ли за несколько ходов добиться того, что все числа станут белыми?
5. Правильный треугольник разбит на правильные треугольники со стороной 1 линиями, параллельными его сторонам и делящими каждую сторону на n частей. Какое наибольшее число отрезков длины 1 с концами в вершинах этих треугольников можно отметить так, чтобы не нашлось треугольника, все стороны которого состоят из
отмеченных отрезков?
n2
6. Докажите, что при любом натуральном n справедливо неравенство
{ k } 
k 1
n 2 1
2
7. Окружность, проходящая через вершины A и B треугольника ABC , пересекает сторону BC в точке D . Окружность, проходящая через вершины B и C, пересекает сторону AB в точке E и первую окружность вторично в
точке F . Оказалось, что точки A , E , D , C лежат на окружности с центром O . Докажите, что угол BFO - прямой.
8. В микросхеме 2000 контактов, первоначально любые два контакта соединены отдельным проводом. Хулиганы
Вася и Петя по очереди перерезают провода, причем Вася (он начинает) за ход режет один провод, а Петя - либо
один, либо три провода. Хулиган, отрезающий последний провод от какого-либо контакта, проигрывает. Кто из
них выигрывает при правильной игре?
2000
1. Различные числа a, b и с таковы, что уравнения x2+ax+1=0 и x2+bx+c=0 имеют общий действительный корень.
Кроме того, общий действительный корень имеют уравнения x2+x+a=0 и x2+cx+b=0. Найдите сумму a+b+c.
2. Таня задумала натуральное число x≤100, а Cаша пытается его угадать. Он выбирает пару натуральных чисел m
и n, меньших 100, и задаёт вопрос: "Чему равен наибольший общий делитель x+m и n ?" Докажите, что Саша
может угадать танино число, задав 7 таких вопросов.
3. Пусть O - центр описанной окружность  остроугольного треугольника ABC. Окружность 1 с центром K проходит через точки A, O, C и пересекает стороны AB и BC в точках M и N. Известно, что точки L и K симметричны относительно прямой NM. Докажите, что BL перпендикулярно AC.
4. В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены дорогами. При этом из каждого города выходит хотя бы 3 дороги. Докажите, что существует циклический маршрут, длина которого не делится на 3.
5. На доску последовательно выписываются числа a1=1, a2, a3, ... по следующим правилам: an+1=an-2, если число
an-2 - натуральное и ещё не выписано на доску, в противном случае an+1=an+3. Докажите, что все квадраты
натуральных чисел появятся в этой последовательности при прибавлении 3 к предыдущему числу.
6. В некоторых клетках доски 2n×2n стоят чёрные и белые фишки. С доски сначала снимают все чёрные фишки,
которые стоят в одной вертикали с какой-либо белой, а затем все белые фишки, стоящие в одной горизонтали с
какой-либо из оставшихся чёрных. Докажите, что либо чёрных, либо белых фишек на доске осталось не более
n2.
7. На медиане CD треугольника ABC отмечена точка E. Окружность S1, проходящая через E и касающаяся прямой
AB в точке A, пересекает сторону AC в точке M. Окружность S2, проходящая через Е и касающаяся прямой AB в
точке B, пересекает сторону BC в точке N. Докажите, что описанная окружность треугольника CMN касается S1
и S2.
8.
По окружности расставлено 100 натуральных чисел, взаимно простых в совокупности. Разрешается прибавлять
к любому числу наибольший общий делитель его соседей. Докажите, что при помощи таких операций можно
сделать все числа попарно взаимно простыми.
Финалы России, 9 класс
2001
1. Числа от 1 до 999999 разбиты на две группы: в первую отнесено каждое число, для которого ближайшим к нему
квадратом является квадрат нечетного числа, во вторую - числа, для которых ближайшими являются квадраты
четных чисел. В какой группе сумма чисел больше?
2. Два многочлена P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d и Q(x)=x2+px+q принимают отрицательные значения на некотором интервале I длины более 2, а вне I - неотрицательны. Докажите, что найдется такая точка x0, что P(x0)<Q(x0).
3. Внутри параллелограмма ABCD выбрана точка K таким образом, то середина отрезка AD равноудалена от точек
K и C, а середина отрезка CD равноудалена от точек K и A. Точка N - середина BK. Докажите, что углы NAK и
NCK равны.
4. Дан выпуклый 2000-угольник, никакие три диагонали которого не пересекаются в одной точке. Каждая из его
диагоналей покрашена в один из 999 цветов. Докажите, что существует треугольник, все стороны которого целиком лежат на диагоналях одного цвета. (Вершины треугольника не обязательно должны оказаться вершинами
исходного многоугольника.)
5. Юра выложил в ряд 2001 монету достоинством 1, 2 и 3 копейки. Оказалось, что между любыми двумя копеечными монетами лежит хотя бы одна монета, между любыми двумя двухкопеечными монетами лежат хотя бы
две монеты, а между любыми двумя трехкопеечными монетами лежат хотя бы три монеты. Сколько у Юры
могло быть трехкопеечных монет?
6. В компании из 2n+1 человек для любых n человек найдется отличный от них человек, знакомый с каждым из
них. Докажите, что в этой компании найдется человек, знающий всех.
7. На большей стороне AC треугольника ABC взята точка N так, что серединные перпендикуляры к отрезкам AN и
NC пересекают стороны AB и BC в точках K и Mсоответственно. Докажите, что центр O описанной около треугольника ABC окружности лежит на окружности, описанной около треугольника KBM.
8. Найдите все нечетные натуральные числа n (n>1) такие, что для любых взаимно простых делителей a и b числа
n число a+b-1 также является делителем n.
2002
1. Можно ли в клетках таблицы 2002×2002 расставить натуральные числа от 1 до 20022 так, чтобы для любой
клетки этой таблицы из строки или из столбца, содержащих эту клетку, можно было бы выбрать тройку чисел,
одно из которых равно произведению двух других?
2. На одной стороне угла с вершиной O взята точка A, а на другой - точки B и C так, что B лежит между O и C.
Проведена окружность с центром O1, вписанная в треугольник OAB, и окружность с центром O2, касающаяся
стороны AC и продолжений сторон OA, OC треугольника OAC. Докажите, что если O1A=O2A, то треугольник
ABC - равнобедренный.
3. На плоскости отмечено 6 красных, 6 синих и 6 зелёных точек, причём никакие 3 из отмеченных точек не лежат
на одной прямой. Докажите, что сумма площадей треугольников с вершинами одного цвета составляет не более
четверти суммы площадей всех треугольников с отмеченными вершинами.
4. Гидры состоят из голов и шей (любая шея соединяет ровно две головы). Одним ударом меча можно снести все
шеи, выходящие из какой-то головы A гидры. Но при этом из головы A мгновенно вырастает по одной шее во
все головы, с которыми A не была соединена. Геракл побеждает гидру, если ему удастся разрубить её на две не
связанные шеями части. Найдите наименьшее N, при котором Геракл сможет победить любую стошеюю гидру,
нанеся не более, чем N ударов.
5. На шахматной доске стоят 8 ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что среди попарных расстояний между
ними найдутся два одинаковых. (Расстояние между ладьями - это расстояние между центрами клеток, в которых они стоят.)
6. Имеется одна красная и k (k>1) синих ячеек, а также колода из 2n карт, занумерованных числами от 1 до 2n.
Первоначально вся колода лежит в произвольном порядке в красной ячейке. Из любой ячейки можно взять
верхнюю карту и переложить её либо в пустую ячейку, либо поверх карты с номером, большим на единицу.
При каком наибольшем n можно такими операциями переложить всю колоду в одну из синих ячеек?
7. Пусть O - центр описанной окружности треугольника ABC. На сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно таким образом, что 2MON=AOC. Докажите, что периметр треугольника MBN не меньше стороны
AC.
8. Из промежутка (22n, 23n) выбрано 22n-1+1 нечётное число. Докажите, что среди выбранных чисел найдутся два,
квадрат каждого из которых не делится на другое.
Финалы России, 9 класс
2003
1. Числовое множество M, содержащее 2003 различных числа, таково, что для любых двух различных элементов
2.
3.
4.
5.
6.
a, b из M число a 2  b 2 рационально. Докажите, что для любого a из M число a 2 рационально.
Окружности S1 и S2 с центрами O1 и O2 соответственно пересекаются в точках A и B. Касательные к S1 и S2 в
точке A пересекают отрезки BO1 и BO2 в точках K и L соответственно. Докажите, что KL параллельно O1O2.
На прямой расположены 2k-1 белый и 2k-1 черный отрезок. Известно, что любой белый отрезок пересекается
хотя бы с k черными, а любой черный – хотя бы с k белыми. Докажите, что найдутся черный отрезок, пересекающийся со всеми белыми, и белый отрезок, пересекающийся со всеми черными.
Последовательность {an} строится следующим способом: a1=p – простое число, имеющее ровно 200 ненулевых
цифр, an+1 – период десятичной дроби 1/an, умноженный на 2. Найдите число a2003.
В стране N городов. Между любыми двумя из них проложена либо автомобильная, либо железная дорога. Турист
хочет объехать страну, побывав в каждом городе ровно один раз, и вернуться в город, с которого он начинал путешествие. Докажите, что турист может выбрать город, с которого он начнет путешествие, и маршрут так, что ему придется поменять вид транспорта не более одного раза.
Пусть a, b, c – положительные числа, сумма которых равна 1. Докажите неравенство:
1
1
1
2
2
2





.
1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c
7. Можно ли в клетках бесконечного клетчатого листа расставить натуральные числа таким образом, чтобы при любых
натуральных m,n>100 сумма чисел в любом прямоугольнике m×n делилась на m+n?
8. На сторонах AP и PD остроугольного треугольника APD выбраны соответственно точки B и С. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке Q. Точки H1 и H2 являются ортоцентрами треугольников APD и BPC соответственно. Докажите, что если прямая H1H2 проходит через точку X пересечения описанных окружностей треугольников ABQ и CDQ, то она проходит и через точку Y пересечения описанных окружностей треугольников BQC и AQD
(XQ, YQ).
2004
1. Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют.
Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов
2. Четырехугольник ABCD описан около окружности. Биссектрисы внешних углов A и B пересекаются в точке K,
внешних углов B и C – в точке L, внешних углов C и D – в точке M, внешних углов D и A – в точке N. Пусть K1,
L1, M1, N1 – точки пересечения высот треугольников ABK, BCL, CDM, DAN соответственно. Докажите, что четырехугольник K1L1M1N1 – параллелограмм.
3. На столе стоят 2004 коробочки, в каждой из которых лежит по одному шарику. Известно, что некоторые из шариков – белые, и их количество четно. Разрешается указать на любые две коробочки и спросить, есть ли в них
хотя бы один белый шарик. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно определить какие-нибудь две коробочки, в которых лежат белые шарики?
4. Даны натуральное число n > 3 и положительные числа x1, x2, …, xn, произведение которых равно 1. До-
кажите неравенство
1
1
1


 1.
1  x1  x1 x 2 1  x 2  x 2 x3
1  x n  x n x1
5. Существуют ли такие попарно различные натуральные числа m, n, p, q, что m + n = p + q и
m 3 n 
p  3 q  2004 ?
6. В кабинете президента стоят 2004 телефона, любые два из которых соединены проводом одного из четырех
цветов. Известно, что провода всех четырех цветов присутствуют. Всегда ли можно выбрать несколько телефонов так, чтобы среди соединяющих их проводов встречались провода ровно трех цветов?
7. Натуральные числа от 1 до 100 расставлены по кругу в таком порядке, что каждое число либо больше обоих соседей,
либо меньше обоих соседей. Пара соседних чисел называется хорошей, если при выкидывании этой пары вышеописанное свойство сохраняется. Какое минимальное количество хороших пар может быть?
8. Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, T – центр описанной окружности треугольника AOC, M – середина AC. На сторонах AB и BC выбраны точки D и E соответственно так, что
BDM = BEM = ABC. Докажите, что прямая BT перпендикулярна DE.
Финалы России, 9 класс
2005
1. Дан параллелограмм ABCD (AB < CD). Докажите, что окружности, описанные около треугольников APQ, для
всевозможных точек P и Q, выбранных на сторонах BC и CD соответственно так, что CP = CQ, имеют общую
точку, отличную от A.
2. Леша поставил в клетки таблицы 22×22 натуральные числа от 1 до 22². Верно ли, что Олег может выбрать такие
две клетки, соседние по стороне или вершине, что сумма чисел, стоящих в этих клетках, делится на 4?
3. Сумма чисел a1, a2, a3, каждое из которых больше единицы, равна S, причем
Докажите, что
ai2
 S для каждого i = 1, 2, 3.
ai 1
1
1
1


 1.
a1  a 2 a 2  a3 a3  a1
4. На столе лежат 365 карточек, на обратной стороне которых написаны различные числа. За один рубль Вася может выбрать три карточки и попросить Петю положить их слева направо так, чтобы числа на карточках располагались в порядке возрастания. Может ли Вася, потратив 200 рублей, с гарантией выложить все 365 карточек на
стол слева направо так, чтобы числа на них располагались в порядке возрастания?
5. Десять попарно различных ненулевых чисел таковы, что для любых двух из них либо сумма этих чисел, либо их
произведение - рациональное число. Докажите, что квадраты всех чисел рациональны.
6. Сколькими способами числа 20, 21, 22, …, 22005 можно разбить на два непустых множества A и B так, чтобы уравнение x2 – S(A)x + S(b) = 0, где S(M) – сумма чисел множества M, имело целый корень?
7. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1. на дуге ACB описанной окружности треугольника ABC выбрана точка D. Пусть прямые AA1 и BD пересекаются в точке P, а прямые BB1 и AD пересекаются в
точке Q. Докажите, что прямая A1B1 проходит через середину отрезка PQ.
8. За круглым столом сидят 100 представителей 50 стран, по двое от каждой страны. Докажите, что их можно разбить на две группы таким образом, что в каждой группе будет по одному представителю от каждой страны, и
каждый человек находился в одной группе не более чем с одним своим соседом.
2006
1. Дана доска 15×15. некоторые пары центров соседних по стороне клеток соединили отрезками так, что получилась замкнутая несамопересекающаяся ломаная, симметричная относительно одно из диагоналей доски.
Докажите, что длина ломаной не больше 200.
2. Докажите, что найдутся 4 таких целых числа a, b, c, d,
по модулю больших 1 000 000, что
1 1 1 1
1
   
.
a b c d abcd
3. Петя раскрашивает 2006 точек, расположенных по окружности, в 17 цветов. Затем Коля проводит хорды с
концами в отмеченных точках так, чтобы концы любой хорды были одноцветны и хорды не имели общих
точек (в том числе и общих концов). При этом Коля хочет провести как можно больше хорд, а Петя старается помешать ему. Какое наибольшее количество хорд заведомо сможет провести Коля?
4. Дан треугольник ABC. Окружность ω касается описанной окружности треугольника ABC в точке А, пересекает сторону AB в точке K, а также пересекает сторону BC. Касательная CL к окружности ω такова, что отрезок KL пересекает сторону BC в точке Т. Докажите, что отрезок BT равен по длине касательной из точки B
к ω.
5. Пусть a1, a2, …, a10 – натуральные числа, a1 < a2 <…< a10. Пусть bk – наибольший делитель ak таковой, что
bk < ak. Оказалось, что b1 > b2 > …>b10. Докажите, что a10 > 500.
6. На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC выбраны точки P, Q, R соответственно таким образом, что
AP = CQ и четырехугольник RPBQ – вписанный. Касательные к описанной окружности треугольника ABC
в точках A и C пересекают прямые RP и RQ в точках X и Y соответственно. Докажите, что RX = RY.
7. Клетчатый квадрат 100×100 разрезан на доминошки: прямоугольники 1×2. двое играют в игру. Каждый ходом игрок склеивает две соседние по стороне клетки, между которыми был проведен разрез. Игрок проигрывает, если после его хода фигура получилась связной, т.е. весь квадрат можно поднять со стола, держа
его за одну клетку. Кто выигрывает при правильной игре – начинающий или его соперник?
8. Дан квадратный трехчлен f(x) = x2 + ax +b. Уравнение f(f(x)) = 0 имеет четыре различных действительных
корня, сумма двух из которых равна –1. докажите, что b ≤ –¼.
Финалы России, 9 класс
2007
1.
Приведенные квадратные трехчлены f(x) и g(x) таковы, что уравнения f(g(x)) = 0 и g(f(x))= 0 не вещественных корней. Докажите, что хотя бы одно из уравнений f(f(x)) = 0 и g(g(x)) =0 тоже не имеет вещественных корней.
2.
На доске написали 100 дробей, у которых в числителях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу, и в знаменателях стоят
все числа от 1 до 100 по одному разу. Оказалось, что сумма этих дробей есть несократимая дробь со знаменателем 2. Докажите, что можно поменять местами числители двух дробей так, чтобы сумма стала несократимой дробью с нечетным
знаменателем.
3.
два игрока по очереди проводят диагонали в правильном (2n+1)-угольнике (n>1). Разрешается проводиьт диагональ, если
она пересекается (по внутренним точкам) с четным числом ранее проведенных диагоналей (и не была проведена ранее).
Проигрывает игрок, который не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре?
4.
В треугольнике ABC проведена биссектриса BB1. Перпендикуляр из B1 на BC пересекает дугу BC описанной окружности
треугольника ABC в точке K. Перпендикуляр из B на AK пересекает AC в точке L.. Докажите, что точки K, L и середина
дуги AC (не содержащей точку B) лежат на одной прямой.`
5.
В каждой вершине выпуклого 100-угольника написано по два различных числа. Докажите, что можно вычеркнуть по одному числу в каждой вершине так, чтобы оставшиеся числа в любых двух соседних вершинах были различными.
6.
Дан остроугольный треугольник ABC. Точки M и N – середины сторон AB и BC соответственно, точка H – основание высоты, опущенной из вершины B. Описанные окружности треугольников AHN и CHM пересекаются в точек P (P≠H). Докажите, что прямая PH проходит через середину отрезка MN.
7.
В таблице 10×10 расставлены числа от 1 до 100: в первой строчке – от 1 до 10 слева направо, во второй – от 11 до 20 слева
направо и т.д. Андрей собирается разрезать таблицу на прямоугольники 1×2, посчитать произведение чисел в каждом прямоугольнике и сложить полученные 50 чисел. Он стремится получить как можно меньшую сумму. Как ему следует разрезать квадрат?
8.
Дима посчитал факториалы всех натуральных чисел от 80 до 99, нашел числа, обратные к ним, и напечатал получившиеся
десятичные дроби на 20 бесконечных ленточках (например, на последней ленточке было напечатано число 1/99! =
0,00…010715…, после запятой идет 155 нулей). Саша хочет вырезать из одной ленточки кусок, на котором записано N
цифр подряд и нет запятой. При каком наибольшем N он сможет это сделать так, чтобы Дима не смог определить по этому
куску, какую ленточку испортил Саша?
2008
1. Существуют ли такие 14 натуральных чисел, что при увеличении каждого из них на 1 произведение всех чисел
увеличится ровно в 2008 раз?
2. Числа a, b, c таковы, что уравнение x3+ax2+bx+c = 0 имеет три действительных корня. Докажите, что если –
2≤a+b+c≤0, то хотя бы один из этих корней принадлежит отрезку [0,2].
3. В неравнобедренном треугольнике ABC точки H и M – точки пересечения высот и медиан соответственно. Через вершины A, B и C проведены прямые, перпендикулярные прямым AM, BM, CM соответственно. Докажите,
что точка пересечения медиан треугольника, образованного проведенными прямыми, лежит на прямой MH.
4. В НИИЧАВО работают несколько научных сотрудников. В течении 8-часового рабочего дня сотрудники ходили в буфет, возможно, по нескольку раз. Известно, что для каждых двух сотрудников суммарное время, в течении которого в буфете находился ровно один из них, оказалось не менее x часов (x>4). Какое наибольшее количество научных сотрудников могло работать в этот день в НИИЧАВО (в зависимости от x)?
5. Расстоянием между двумя клетками бесконечной шахматной доски назовем минимальное число ходов в пути
короля между этими клетками. На доске отмечены три клетки, попарные расстояния между которыми равны
100. Сколько существует клеток, расстояния от которых до всех трех отмеченных равны 50?
6. Вписанная окружность касается сторон AB и AC треугольника ABC в точках X и Y соответственно. Точка K –
середина дуги AB описанной окружности треугольника ABC. Оказалось, что прямая XY делит отрезок AK пополам. Чему может быть равен угол BAC?
7. На доске написано натуральное число. Если на доске написано число x, то можно дописать на нее число 2x+1
или
x
. В какой-то момент выяснилось, что на доске присутствует число 2008. Докажите, что оно там было
x2
с самого начала.
8. В нашем распоряжении имеются 32k неотличимых по виду монет, одна из которых фальшивая – она весит чуть
легче настоящей. Кроме того, у нас есть трое двухчашечных весов. Известно, что двое весов исправны, а одни –
сломаны (показываемый ими исход взвешивания никак не связан с весом положенных на них монет, т.е. может
быть как верным, так и искаженным в любую сторону, причем на разных взвешиваниях – искаженным поразному). При этом неизвестно, какие именно весы исправны, а какие – сломаны. Как определить фальшивую
монету за 3k+1 взвешивание?
2009
Финалы России, 9 класс
1. Знаменатели двух несократимых дробей равны 600 и 700. Найдите наименьшее возможное значение знаменателя их суммы (в несократимой записи).
2. В треугольнике ABC проведена биссектриса BD (точка D лежит на отрезке AC). Прямая BD пересекает
окружность S, описанную около треугольника ABC, в точках B и E. Окружность s, построенная на отрезке
DE как на диаметре, пересекает окружность S в точках E и F. Докажите, что прямая, симметричная прямой
BF относительно прямой BD, содержит медиану треугольника ABC.
3. Дано натуральное число n>1. Число a > n2 таково, что среди чисел a+1, a+2, …, a+n есть кратные каждого
из чисел n2+1, n2+2, …, n2+n. Докажите, что a > n4–n3.
4. По кругу стоят 100 наперстков. Под одним из них спрятана монетка. За один ход разрешается перевернуть
четыре наперстка и проверить, лежит ли под одним из них монетка. После этого их возвращают в исходное
положение, а монетка перемещается под один из соседних с ней наперстков. За какое наименьшее число ходов наверняка удастся обнаружить монетку?
5. Числа a, b и c таковы, что (a+b)(b+c)(c+a) = abc, (a3+ b3) (b3+ c3) (c3+ a3) = a3b3c3. Докажите, что abc = 0.
6. Можно ли раскрасить натуральные числа в 2009 цветов так, чтобы каждый цвет встречался бесконечное
число раз, и не нашлось бы тройки чисел, покрашенных в три различных цвета, таких, что произведение
двух из них равно третьему?
7. Восемь клеток одной диагонали шахматной доски назовем забором. Ладья ходит по доске, не наступая на
одну и ту же клетку дважды и не наступая на клетки забора (промежуточные клетки не считаются посещенными). Какое наибольшее число прыжков через забор может совершить ладья?
8. Треугольники ABC и A1B1C1 имеют равные площади. Всегда ли можно построить при помощи циркуля и
линейки треугольник A2B2C2, равный треугольнику A1B1C1 и такой, что прямые AA2, BB2 и СС2 будут параллельны?
2010
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Имеется 24 карандаша четырех цветов – по 6 карандашей каждого цвета. Их раздали 6 ребятам так, что каждый
получил по 4 карандаша. Какое наименьшее количество ребят всегда можно выбрать, чтобы у них гарантированно нашлись карандаши всех цветов, вне зависимости от распределения карандашей?
По окружности расставлено 100 попарно различных чисел. Докажите, что можно выбрать 4 подряд стоящих
числа таким образом, что сумма двух крайних чисел этой четверки была строго больше суммы средних.
Прямые, касающиеся окружности S в точках A и B, пересекаются в точке O. Точка I – центр S. На меньшей дуге AB окружности S выбрана точка C, отличная от середины дуги. Прямые AC и OB пересекаются в точке D, а
прямые BC и OA- в точке E. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников ACE, BCD
и OCI лежат на одной прямой.
В буфете лежат 100 яблок суммарного веса 10 кг, каждое весит не меньше 25 г. буфетчице нужно разрезать их на части и раздать 100 детям, каждому по 100 г. Докажите, что она может это сделать так,
чтобы любой кусок яблока весил не меньше 25 г.
Различные действительные числа a и b таковы, что уравнение (x2+20ax+10b)( x2+20bx+10a) = 0 не
имеет корней. Докажите, что число 20(b–a) не является целым.
У каждого из 1000 гномов есть колпак, синий снаружи и красный внутри (или наоборот). Если на
гноме надет красный колпак, то он может только лгать, а если синий – только говорить правду. НА
протяжении одного дня каждый гном сказал каждому: «На тебе красный колпак!» (при этом некоторые гномы в течение дня выворачивали свой колпак наизнанку). Найдите наименьшее возможное количество выворачиваний.
x2 1
Назовем натуральное число n неудачным, если его нельзя представить в виде n  2
при натуральy 1
ных x, y > 1. Конечно или бесконечно количество неудачных чисел?
8.
В остроугольном треугольнике ABC медиана AM длиннее стороны AB. Докажите, что треугольник ABC можно
разрезать на три части, из которых складывается ромб.
Финалы России, 9 класс
2011
1.
2.
3.
4.
Квадратный трехчлен P(x) с единичным старшим коэффициентом таков, что многочлены P(x) и P(P(P(x)))
имеют общий корень. Докажите, что P(0) P(1) = 0.
Дан остроугольный треугольник ABC. Окружность, проходящая через вершину B и центр O его описанной
окружности вторично пересекает стороны BC и BA в точках P и Q соответственно. Докажите, что точка
пересечения высот треугольника POQ лежит на прямой AC.
На доске нарисован выпуклый 2011-угольникю Петя последовательно проводит в нем диагонали так, чтобы каждая вновь проведенная диагональ пересекала по внутренним точкам не более одной из проведенных ранее диагоналей. Какое наибольшее количество диагоналей может провести Петя?
Существуют ли три взаимно простых в совокупности натуральных числа, квадрат каждого из которых делится на сумму двух оставшихся?
5.
6.
7.
8.
оказаться так, что ровно треть выписанных сумм делится на 3, и еще ровно треть из них дают остаток 1
при делении на 3?
У Пети и Коли в тетрадях записаны по два числа; изначально это числа 1 и 2 у Пети и 3 и 4 – у Коли. Раз в
минуту Петя составляет квадратный трехчлен f(x), корнями которого являются записанные в его тетради
два числа, а Коля – квадратный трехчлен g(x), корнями которого являются записанные в его тетради два
числа. Если уравнение f(x)=g(x) имеет два различных корня, то один из мальчиков заменяет свою пару чисел на эти корни, иначе ничего не происходит. Какое второе число могло оказаться у Пети в тетради в тот
момент, когда первое стало равным 5?
Пусть ABC – правильный треугольник. НА его стороне AC выбрана точка T, а на дугах AB и BC его описанной окружности выбраны точки M и N соответственно так, что MT параллельно BC и NT параллельно
AB. Отрезки AN и MT пересекаются в точке X, а отрезки CM и NT – в точке Y. Докажите, что периметры
многоугольников AXYC и XMBNY равны.
В некоторых клетках доски 100×100 стоит по фишке. Назовем клетку красивой, если в соседних с ней по
сторонам клетках стоит четное число фишек. Может ли ровно одна клетка доски быть красивой?
2012
1. Пусть a1, a2, …a11 – различные натуральные числа, не меньшие 2, сумма которых равна 407. Могло ли оказаться,
что сумма остатков от деления некоторого натурального числа n на 22 числа a1, a2, …a11, 4 a1, 4a2, …4a11 равна 2012?
2. На окружности отмечены 2012 точек, делящих её на равные дуги. Из них выбрали k точек и построили выпуклый
k-угольник с вершинами в выбранных точках. При каком наибольшем k могло оказаться, что у этого многоугольника нет параллельных сторон?
3. Дан параллелограмм ABCD с тупым углом A. Точка H – основание перпендикуляра, опущенного из точки A на
BC. Продолжение медианы треугольника ABC, проведенной из вершины C, пересекает описанную около него
окружность в точке K. Докажите, что точки H, K, C и D лежат на одной окружности.
4. Положительные действительные числа a1, a2, …an и k таковы, что a1+a2+…+an = 3k, a12+a22+…+an2 = 3k2, ,
a13+a23+…+an3 > 3k3+k. Докажите, что какие-то два из чисел a1, a2, …an отличаются более, чем на 1.
5. По кругу стоит 101 мудрец. Каждый из них либо считает, что Земля вращается вокруг Юпитера, либо считает,
что Юпитер вращается вокруг Земли. Один раз в минуту все мудрецы одновременно оглашают свои мнения. Сразу
после этого каждый мудрец, оба соседа которого думают иначе, чем он, меняет своё мнение, а остальные – не меняют. Докажите, что через некоторое время мнения перестанут меняться.
6. Точки A1, B1, C1 выбраны на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC соответственно. Оказалось, что AB1–
AC1= CA1–CB1 = BC1–BA1. Пусть IA, IB, IC – центры окружностей, вписанных в треугольники AB1C1, A1BC1, A1B1C
соответственно. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника IAIBIC совпадает с центром
окружности, вписанной в треугольник ABC.
7. Изначально на доске записано 10 последовательных натуральных чисел. За одну операцию разрешается выбрать
любые два числа на доске ( обозначим их a и b) и заменить их на числа a2–2011b2 и ab. После нескольких таких
операций на доске не осталось ни одного из исходных чисел. Могли ли там опять оказаться 10 последовательных
натуральных чисел?
8. В некотором городе сеть автобусных маршрутов устроена так, что любые два маршрута имеют ровно одну общую остановку, и на каждом маршруте есть хотя бы 4 остановки. Докажите, что все остановки можно распределить
между двумя компаниями так, что на каждом маршруте найдутся остановки обеих компаний.
Финалы России, 9 класс
2013
1. Даны различные действительные числа a, b, c. Докажите, что хотя бы два из уравнений (x–a)(x–b) = x–c, (x–
c)(x–b) = x–a, (x–c)(x–a) = x–b имеют решения.
2. Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность . Касательные, проведенные к  в точках B и C,
пересекаются в точке P. Точки D и E – основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые AB и
AC. Докажите, что точка пересечения высот треугольника ADE является серединой отрезка BC.
3. На доске написали 100 попарно различных натуральных чисел a1, a2, …, a100. Затем под каждым числом ai
написали число bi, полученное прибавлением к ai наибольшего общего делителя остальных 99 исходных чисел. Какое наименьшее количество попарно различных чисел может быть среди b1, b2, …, b100?
4. На плоскости проведены n прямых, среди которых нет параллельных. Никакие три из ни не пересекаются в
одной точке. Докажите, что существует такая n-звенная несамопересекающаяся ломаная A0A1A2…An, что на
каждой из n прямых лежит ровно по одному звену этой ломаной.
5. По кругу расставлены 2n действительных чисел, сумма которых положительна. Для каждого из них рассмотрим обе группы из n подряд идущих чисел, в которых это число является крайним. Докажите, что найдется число, для которого сумма чисел в каждой из двух таких групп положительна.
6. Петя и Вася придумали десять квадратных трехчленов. Затем Вася по очереди называл последовательные
натуральные числа ( начиная с некоторого), а Петя каждое названное число подставлял в один из трехчленов
по своему выбору и записывал полученные значения на доску слева направо. Оказалось, что числа, записанные на доске, образуют арифметическую прогрессию ( именно в этом порядке). Какое максимальное количество чисел Вася мог назвать?
7. На сторонах остроугольного треугольника ABC вне него построены квадраты CAKL и CBMN. Прямая CN
пересекает отрезок AK в точке X, а прямая CL пересекает отрезок BM в точке Y. Точка P, лежащая внутри треугольника ABC, является точкой пересечения окружностей, описанных около треугольников KXM и LYM. Точка S – середина отрезка AB. Докажите, что ACS = BCP.
8. Из клетчатого квадрата 5555 вырезали по границам клеток 400 трехклеточных уголков ( повернутых как
угодно) и еще 500 клеток. Докажите, что какие-то две вырезанные фигуры имеют общий отрезок границы.