Асимптоты . Общий план исследования функции

1
С.А. Лавренченко
Лекция 11
Асимптоты. Общий план исследования функции
1. Горизонтальные асимптоты
Определение 1.1. Прямая
или
называется горизонтальной асимптотой, если
.
Пример 1.2. Нетрудно найти, что
асимптота. Аналогично,
. Следовательно,
— горизонтальная
.
2. Бесконечные пределы в бесконечности
Определение 2.1. Если значения
достаточно большими, то пишут
можно сделать как угодно большими, беря иксы
, и говорят что предел функции при ,
стремящемся к бесконечности, равен бесконечности.
Аналогичные смыслы несут в себе следующие три записи:
и
,
.
Пример 2.2.
и
Пример 2.3.
поделили на
стремится к
.
. Здесь числитель и знаменатель данной дроби
, старшую степень в знаменателе. Числитель получившейся дроби
, а знаменатель — к
.
3. Наклонные асимптоты
Некоторые кривые имеют асимптоты, которые ни горизонтальны, ни вертикальны.
Более конкретно, если
или
, то прямая
при
называется наклонной асимптотой. Геометрический смысл
наклонной асимптоты состоит в том, что вертикальное расстояние между графиком
и прямой
стремится к . Для рациональных функций наклонные
,
2
асимптоты имеют место, когда степень числителя на единицу больше степени
знаменателя, как в примере 4.2 ниже. В примере 4.2 предлагается метод нахождения
наклонных асимптот.
4. Общий план исследования функции
I.
Область определения. Для исследования функции
надо сначала определить
— множество всех
определена.
и построения ее графика,
, в которых
II.
Нули функции. Найти, в каких точках график пересекает оси координат. Для
этого найти, в каких функция обращается в , а также вычислить
.
Чтобы найти нули функции, надо решить уравнение
. (Если уравнение
трудно решить, пропустите этот шаг.)
III.
Симметрии.
а) Если функция четна, ее график симметричен относительно оси
.
б) Если функция нечетна, ее график симметричен относительно начала
координат.
IV.
Периодичность. Если существует положительное число такое, что
для всех из
, то
— периодическая функция.
Наименьшее такое положительное
— ее период. (Например,
имеет
период
,а
имеет период .) В таком случае, надо построить график на
каком-нибудь отрезке
, и затем переносить его параллельно на
единиц вправо и влево (где целое), что приводит к полному графику.
V.
Асимптоты. (Они обычно изображаются пунктирными линиями.)
а) Горизонтальные асимптоты.
б) Вертикальные асимптоты.
в) Наклонные асимптоты.
VI.
Промежутки возрастания/убывания определяются при помощи первой
производной.
VII.
Локальные максимумы и минимумы. Найти критические точки функции
исследовать при помощи первой производной (или при помощи второй
производной).
VIII.
Выпуклость и точки перегиба. Вычислить
найти точки перегиба.
IX.
Построить график, используя информацию, полученную на шагах I — VIII.
Отметить точки пересечения с осями, экстремумы и точки перегиба. Затем
провести через отмеченные точки кривую, поднимая и опуская ее согласно
шагу VI, делая выпуклости вверх или вниз согласно шагу VIII, и приближая
график к асимптотам.
и
, исследовать на выпуклость, и
3
Пример 4.1. Используя общий план, построить график функции
.
Решение:
I. Область определения
II. Точка
III. Т.к.
.
--единственная точка пересечения графика с осями координат.
, функция
четна, и ее график симметричен относительно оси
IV. Функция рациональная, поэтому непериодическая.
V. Ищем горизонтальные асимптоты:
. Следовательно, прямая
асимптота. Поскольку знаменатель обращается в
пределы:
,
,
при
,
— горизонтальная
, вычисляем следующие
.
Следовательно, прямые
и
— вертикальные асимптоты.
Полученная информация уже позволяет изобразить предварительный эскиз
графика, как на рис. 1.
Рис. 1. Предварительный эскиз графика функции из примера 4.1.
.
4
VI. Находим производную:
(
. Т.к.
)и
при
(
, и убывает на
и на
). Следовательно,
.
возрастает на
VII.
— единственная критическая точка (точки
определения). Т.к. меняет знак в нуле с + на –, то
и
при
и на
не входят в область
— локальный максимум.
VIII. Находим вторую производную:
.
Поскольку
при всех , имеем:
,и
. Следовательно кривая выпукла вниз на интервалах
и
выпукла вверх на
. Точек перегиба нет, т.к. точки и
не входят в область
определения.
,и
IX. Используя полученную информацию, завершаем график; см. рис. 2. ■
Рис. 2. Окончательный график функции из примера 4.1.
Пример 4.2. Построить график функции
.
Решение:
I. Область
.
II. График пересекается с осями координат в точке
III. Поскольку
координат.
, то
и только в этой точке.
нечетна и ее график симметричен относительно начала
IV. Периодичность для рациональной функции не имеет места.
V. Поскольку
, вертикальных асимптот нет. Далее, т.к.
при
,и
при
, горизонтальных асимптот тоже нет. Исследуем на наклонные
асимптоты. Чтобы найти уравнение асимптоты рациональной функции, надо многочлен в
числителе поделить уголком на многочлен в знаменателе. Тогда частное от деления и
покажет уравнение наклонной асимптоты. В самом деле,
,
откуда:
5
при
откуда прямая
,
— наклонная асимптота.
VI.
. Т.к.
возрастает на
при всех
(кроме
), то
.
VII. Хотя
, производная
экстремумов нет.
не меняет знак в нуле, и поэтому локальных
VIII.
. Поскольку
при
или
,
, имеем следующую таблицу. Точки перегиба:
,и
.
Интервал
IX. График
–
–
+
+
Выпукла ↓
на
–
+
+
–
Выпукла ↑
на
+
+
+
+
Выпукла ↓
на
+
–
+
–
Выпукла ↑
на
изображен на рис.3. ■
Рис. 3. График функции из примера 4.2.
Упражнения для самопроверки
1. Написать словами смысл каждой из следующих трех записей,
,и
,
, по аналогии с данным определением 2.1.
[Решение: Например, запись
означает, что значения функции
можно сделать как угодно большими по модулю отрицательными числами, беря
иксы достаточно большими по модулю отрицательными числами.]
2. Найти
и
.
6