A q

Лекция 9.
Автор:
Муравьев Сергей Евгеньевич
кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры теоретической ядерной физики НИЯУ МИФИ
На сколько увеличится внутренняя энергия одноатомного
идеального аза в процессе изобарического расширения, если
газу сообщили при этом количество теплоты Q  30 кДж?
Домашнее задание
Некоторое количество идеального одноатомного газа сначала
расширяется изотермически. При этом газ совершает работу
A  103 Дж. Затем газ нагревают изобарически, сообщая ему в
n  2 раза большее количество теплоты. Какую работу
совершит газ во втором случае?
Для изотермического процесса ( U  0 )
QA
В изобарическом процессе сообщенное газу тепло телится в
пропорции 2:3 между работой и изменением внутренней энергии.
Поэтому
2
2
A1  Q  A
5
5
отдает холодильнику количество теплоты 100 Дж. Какую работу
совершает двигатель за цикл?
1. 25 Дж
2. 30 Дж
3. 35 Дж
4. 40 Дж
Домашнее задание
Тепловой двигатель, КПД которого равен 25 %, в течение цикла
совершает работу 100 Дж. Какое количество теплоты двигатель
отдает холодильнику за цикл?
1. 150 Дж 2. 200 Дж 3. 250 Дж 4. 300 Дж
Qн 
A

Ответ 4.

Qх  Qн  A 
A(1   )

 300 Дж
Взаимодействие электрических зарядов
Тела могут обладать таким свойством, которое называется электрический
заряд. В этом случае они называются заряженными. Заряды бывают двух
типов – положительные и отрицательные.
Зарядом обладают частицы, из которых состоит все наше вещество –
электроны (отрицательный заряд) и протоны (положительный заряд). Для
того чтобы зарядить макроскопическое тело, ему нужно сообщить (или
забрать у него) электроны или протоны. Если тело ни с кем не контактирует
(является замкнутой системой) – его заряд не может измениться (закон
сохранения электрического заряда).
Пример 1. Маленькая капелька воды, имеющая заряд
q  10e ( e – заряд протона), при освещении светом потеряла три электрона. Каким стал заряд капельки?
1. q  13e
2. q  7e
3. q  3e
4. q  0
Был избыток электронов (10 штук). Стало 7 лишних электронов - q  7e .
Ответ 2.
Взаимодействие электрических зарядов
Был избыток электронов (10 штук). Стало 7 лишних электронов - q  7e .
Ответ 2.
Заряженные тела участвуют в электрических взаимодействиях. Сила
взаимодействия двух точечных зарядов определяется законом Кулона
F
Коэффициент
k | q1 || q2 |
r2
пропорциональности
k
часто
выражают
через
постоянную
k
1
4 0
Направление силы:
Разноименные заряды притягиваются, одноименные - отталкиваются
другую
Взаимодействие электрических зарядов
1. Заряды должны быть в вакууме. Если заряды находятся в
диэлектрической
среде,
заполняющей
все
пространство
уменьшается. Величина уменьшения зависит от среды
k
1
4 0
,
  1 - диэлектрическая проницаемость среды.
2. Заряды должны покоиться
3. Заряды должны быть точечными!
–
сила
Взаимодействие электрических зарядов
Пример 2. Два маленьких шарика с массами m и 2m заряжены зарядами Q
и 2Q соответственно. Шарики удерживают на некотором расстоянии друг от
друга, а затем одновременно отпускают. Сравнить ускорения шариков. Никакие силы, кроме кулоновской, на шарики не действуют.
1. 2am  a2 m
2. am  2a2 m
3. am  a2 m
4. am  4a2 m
Силы, действующие на заряды одинаковы (третий закон Ньютона).
a  F /m
Ускорение больше у того заряда, у которого меньше масса.
Ответ 2.
Взаимодействие электрических зарядов
q2
q2
q1
q1
q3
q3
q2
q2
q1
q1
q3
q3
Взаимодействие электрических зарядов
Пример 3. В центре квадрата, в вершинах которого находятся положительные точечные заряды q , помещен отрицательный точечный заряд. Какова
величина этого заряда, если система зарядов находится в равновесии
Рассмотрим
силы,
находящийся
в
действующие
вершине.
На
на
него
заряд,
действуют
остальные заряды, причем каждая из этих сил может
Q
быть найдена по закону Кулона. Приравнивая к нулю
сумму всех сил, действующих на рассматриваемый
заряд, получим
k

Qq
2a / 2

2
q2
 2k 2 2  k
a

q2
2a

2
q
q
q
q
.
где k - постоянная закона Кулона, a - сторона квадрата. Отсюда находим
Q

.
q 2 2 1
4
Взаимодействие электрических зарядов
Равномерно заряженная сфера. Пусть имеется сфера радиуса
R,
равномерно заряженная зарядом Q , и точечный заряд q , находящийся на
расстоянии r от центра сферы. Можно доказать на основе принципа
суперпозиции, что сила взаимодействия точечного заряда и сферы строго
равна нулю, если заряд находится внутри сферы, и определяется формулой
Кулона, если заряд находится снаружи:
0,

F   | q || Q |
k
,
2


r
где k - коэффициент закона Кулона.
rR
rR
,
Взаимодействие электрических зарядов
Пример 4. Имеются три концентрических сферы радиусов R , 2R и 3R , заряженные зарядами Q , 2Q и 3Q - соответственно. Точечный заряд q расположен на расстоянии r  5R / 2 от общего центра сфер (между второй и третьей сферами). Найти силу, действующую на точечный заряд.
Согласно принципу суперпозиции каждая сфера
оказывает воздействие на точечный заряд
независимо от других сфер. Внешняя сфера не
действует на точечный заряд
F3  0 ,
средняя - дает силу притяжения (считаем, что
Q, q  0 ) величиной
k 2Qq
8kQq
.
F2 

(5R / 2)2 25R 2
Внутренняя сфера дает силу отталкивания величиной
kQq
4kQq
F1 

(5R / 2)2 25R 2
Отсюда находим
4kQq
.
F
25R 2
Взаимодействие электрических зарядов
Равномерно
заряженная
плоскость.
Пусть
имеется очень большая плоскость с площадью S
q
Q
заряженная зарядом Q и точечный заряд q . Сила взаимодействия заряда и
плоскости определяется соотношением
F
Qq
q

2 0 S 2 0
Взаимодействие электрических зарядов
Пример 5. Имеются две очень больших, параллельных плоскости, равномерно заряженных с
поверхностной плотностью  и 3 . На какомто расстоянии от плоскостей далеко от их краев
расположен точечный заряд q . Найти силу, действующую на точечный заряд со стороны плоскостей.
Согласно принципу суперпозиции каждая
плоскость действует на точечный заряд
независимо от другой. По формуле для
силы взаимодействия точечного заряда и
плоскости находим
q
3 q
.
F1 
F2 
2 0
2 0
3 q  q  q
Результирующая сила
.
F


2 0 2 0  0
q

3
F1
q
F2

3
Электрическое поле
Электрическое поле
Электрическое поле – «объективная реальность, данная нам в ощущениях»
(тихий ужас!)
Сельскохозяйственный термин (?)
Нет, «физический»! - место, где действуют электрические силы (не только в
русском языке: картофельное field, электрическое field)
Как осуществляется действие зарядов:
Непосредственно – один на другой («дальнодействие»)
Каждый меняет свойства пространства, которое действует на второй
(«близкодействие»)
Что правильно(?)
Электрическое поле
q1
q2
q2
А сила в течение какого-то времени осталась!
Кто действует? Пространство, измененное зарядом
Электрическое поле!
И наоборот
Электрическое поле
«Фарадею говорили, что при электризации тела в него что-то вносят, но он
видел, что возникающие изменения обнаруживаются лишь вне тела, а отнюдь
не внутри. Фарадея учили, что силы просто перескакивают через
пространство, но он видел, какое большое влияние оказывает на эти силы то
вещество, которым заполнено это якобы перескакиваемое пространство.
Фарадей читал, что электричество существует наверное, но что о его силах
спорят. Он видел, однако, насколько осязательно выступают в своих действиях
эти силы, в то время как самого электричества он никак не мог обнаружить. И
тогда все перевернулось в его представлении. Электрические и магнитные
силы стали для него существующими, действительными, осязаемыми, а
электричество, магнетизм сделались вещами, о существовании которых можно
спорить. Силовые линии, как он называл силы, мыслимые самостоятельно,
стояли перед его умственным взором в пространстве, как состояния
последнего, как напряжения, как вихри, как течения, как многое другое, что и
сам он не мог определить, но они стояли там, действуя друг на друга, сдвигая
и толкая тела туда и сюда, распространяясь и сообщая друг через друга
возбуждение от точки к точке».
Напряженность электрического поля
Напряженность электрического поля
Главное свойство поля – действовать на заряды. Пробный заряд
q
B
q
2q
C
A
-2q D
Напряженность электрического поля
Напряженность электрического поля
E
F
q
Точечный заряд Q
F
kqQ
r2

E
F
q
E
kQ
r2
Направлено от заряда Q , если положительный, и к заряду Q , если отрицательный
От пробного заряда не зависит! (ни от величины, ни от знака)
Напряженность электрического поля
Принцип суперпозиции полей
Если поле создается несколькими зарядами, то
E  E1  E2  ...
Пример 6. Два точечных отрицательных заряда q ( q  0 )
O
создают электрическое поле. Как направлен вектор напряженности электрического поля в точке О, расположенной на
перпендикуляре к отрезку, соединяющему заряды, и делящему этот отрезок пополам (см. рисунок)?
1. 
2. 
3. 
4. 
q
q
Напряженность электрического поля
Пример 7. Три заряда Q , Q и Q расположены в вер-
Q
шинах правильного треугольника со стороной l . Найти
напряженность электрического поля, созданного этой
системой зарядов в середине стороны треугольника, соединяющей два заряда Q .
По принципу суперпозиции находим E  k
4Q
3l 2
Q
А
Q
Напряженность электрического поля
Поле сферы
0,

E   |Q |
k 2 ,

 r
rR
rR
Поле плоскости
|Q | | |
E

2 0 S 2 0
Напряженность электрического поля
Пример 8. Две концентрические сферы радиусами заряжены зарядами Q
(внутренняя) и 3Q (внешняя), Q  0 . Найти напряженность электрического
поля сфер во всем пространстве.
Q
3Q
Внутри
E 0
Между сферами
Q
Ek 2
r
Снаружи
2Q
Ek 2
r
Напряженность электрического поля
Пример 9. Две параллельные плоскости равномерно заряжены зарядами Q
и 3Q ( Q  0 ). Расстояние между плоскостями много больше их размеров.
Найти напряженность электрического поля во всем пространстве. Краевыми
эффектами пренебречь.
Q
3Q
Вверху
Eвверху 
Q
 0S
Между
Eвверху 
2Q
 0S
Внизу
Eвверху 
Q
 0S
Силовые линии электрического поля
Силовые линии электрического поля
Способ визуализации
Воображаемые линии, касательные к которым в каждой точке совпадают
по направлению с вектором напряженности поля в данной точке . Густота
силовых линий пропорциональна величине напряженности
электрического поля
Поле точечного заряда
Для отрицательного заряда
направлены к заряду
Силовые линии электрического поля
Поле сферы
Поле двух сфер.
Заряды Q и -3Q
Силовые линии электрического поля
Поле плоскости
Поле двух
плоскостей.
Заряды Q и -3Q
Силовые линии электрического поля
Пример 10. На рисунке приведена картина силовых линий электрического поля,
1
созданного некоторой системой зарядов (на рисунке эти заряды не показаны).
Сравнить величину напряженности поля в точках 1 и 2.
А. E1  E2
Ответ Б.
Б. E1  E2
В. E1  E2
Г. информации недостаточно
2
Потенциал электрического поля
Потенциал электрического поля
При движении зарядов в поле электрическое поле совершает над ними работу
Потенциал – характеристика поля, позволяющая находить работу
Иногда говорят «работа поля по перемещению заряда». Нехорошо. Надо
говорить «при перемещении заряда»
Важнейшее свойство электрического поля – независимость работы от
траектории заряда в поле. Именно это позволяет ввести такую характеристику,
как потенциал
Потенциал электрического поля
Потенциалом  некоторой точки электрического поля
называется отношение работы A , совершенной электри-
1 q
ческим полем над пробным зарядом q , при его перемещении из этой точки в произвольно выбранное начало
O
отсчета потенциала, к величине пробного заряда
1 
A10
q
Зачем?
1
A12  A1O  AO2  q 1  2 
2
1
2
O
O
Потенциал электрического поля
Пример 11. На рисунке приведена картина силовых линий элек-
1
трического поля, созданного некоторой системой зарядов (на ри-
2
сунке эти заряды не показаны). Сравнить потенциал поля в точках 1 и 2.
А. 1  2
Б. 1  2
В. 1  2
Г. информации недостаточно
Возьмем положительный пробный заряд и перенесем его из точки 1 в точку 2.
Электрическое поле совершит положительную работу (направление стрелок на
силовых линиях!). С другой стороны
A  q1 1  2   0
Ответ А.

1  2
Потенциал электрического поля
Если научиться вычислять потенциалы, можно находить работу,
совершаемую полем над движущимися зарядами
Поле точечного заряда (относительно бесконечно удаленной точки).
kQ

r
(заряд Q со «своим знаком» (не модуль)).
Поле нескольких точечных зарядов. Так как работа равнодействующей силы равна
сумме работ – потенциалы складываются
  1  2  3  ...
(алгебраически – со знаком).
Потенциал электрического поля
Пример 12. Точечный заряд q1 , имеющий массу m1 , налетает из бесконечности на
закрепленный одноименный точечный заряд q2 . Начальная скорость заряда q1 направлена вдоль прямой, соединяющей заряды и равна v0 . Определить минимальное
расстояние между зарядами в процессе движения.
Используем теорему об изменении кинетической энергии.
 kq kq 
mv02
0
 q1 1  2   q1  2  2 
2
  rmin 
rmin 
2kq1q2
mv02

r
Потенциал
(заряд Q со «своим знаком» (не модуль)).
электрического поля
Поле нескольких точечных зарядов. Так как работа равнодействующей силы равна
сумме работ – потенциалы складываются
  1  2  3  ...
(алгебраически – со знаком).
Пример 13. Три одинаковых заряда расположены в вершинах правильного треугольника со стороной l . Напряженность поля в точке
посередине одной из сторон треугольника равна E . Найти потенциал поля в этой точке.
E

kQ
3l / 2

2

4kQ
3l 2


4 3  2 kQ
kQ
kQ kQ




3l / 2 l / 2 l / 2
3l

  El  3 

3

2 
А
Потенциал электрического поля
Поле равномерно заряженной сферы (относительно бесконечно удаленной точки).
 kQ
 R ,
 (r)  
 kQ ,
 r
rR
.
rR
Поле равномерно заряженной плоскости. Для поля плоскости потенциал обычно
не вводят («нет» бесконечности). Работу этого поля вычисляют, исходя из
определения.
Потенциал электрического поля
Пример 14. Две закрепленные концентрические сферы
радиусов R и 2R равномерно заряжены зарядами 3Q и
3Q
q
Q
Q ( Q  0 ). В большой сфере сделано маленькое отверстие.
На расстоянии 3R от центра сфер напротив отверстия
удерживают точечный заряд q ( q  0 ), имеющий массу m . Заряд q отпускают. Достигнет ли он внутренней сферы, и если да, то какую скорость будет иметь?
Теорема об изменении кинетической энергии. Поскольку его начальная кинетическая
энергия равна нулю, то он снова остановится, когда работа, совершенная над ним
электрическим полем, будет равна нулю. Поэтому найдем работу, совершаемую
полем над зарядом при его движении от начальной точки до поверхности внутренней
сферы: если эта работа положительна, то заряд достигнет внутренней сферы (имея
кинетическую энергию, равную этой работе), если работа поля отрицательна, заряд
остановится раньше.
Потенциал электрического поля
По принципу суперпозиции имеем
k ( 3Q ) kQ
k ( 3Q ) kQ
2kQ
kQ
,
,
нач 
 кон 




3R
3R
2R
3R
R
2R
где  нач - потенциал начальной точки,  кон - потенциал точки на поверхности
внутренней сферы.
kqQ
A  q(нач   кон )  
 0.
6R
Заряд остановится раньше. Точку его остановки можно найти из условия равенства
нулю работы
6R
.
r
5
Потенциал электрического поля
Пример 15. На расстоянии l от очень большой пластины, равномерно заряженной с
поверхностной плотностью  (   0 ) удерживают точечный заряд  q ( q  0 )
имеющий массу m . В некоторый момент времени заряд  q отпускают. Какую скорость он будет иметь, когда достигнет пластины.
Скорость v заряда  q около пластины найдем по теореме об изменении
кинетической энергии
mv 2
 A,
2
Поле пластины однородно - работа поля A  Fl , отсюда (по формуле напряженности
поля плоскости)
q
.
A
2 0
Отсюда находим скорость заряда около пластины
q
.
v
m 0
Домашнее задание
Домашнее задание
1. Электрический заряд q  2 103 Кл перемещается под действием сил
электрического поля из некоторой точки, потенциал поля в которой равен 1  100
В, в точку, потенциал поля в которой равен 2  80 В. Какую работу совершит над
зарядом электрическое поле?
1. 104 Дж
2. 0,04 Дж
3. 0, 04 Дж
4. 104 Дж
2. Два шарика с массами m и M и зарядами  q и 2q ( q  0 ) связаны
стержнем длиной l и движутся в однородном электрическом поле с
напряженностью E вдоль силовой линии. Найти силу натяжения
стержня.
m M
-q 2q
Домашнее задание
3. Точечный заряд q1 , имеющий массу m1 , удерживают на расстоянии r от
закрепленного одноименного точечного заряда q2 . В некоторый момент заряд q1
отпускают. Найти его скорость в тот момент времени, когда он окажется на
расстоянии 2r от заряда q2 .
4. Точечное тело массой m имеющее заряд q
налетает из бесконечно удаленной точки на Q
систему из двух одинаковых закрепленных заряда
v0
q, m
Q того же знака. Расстояние между зарядами Q
равно l . Начальная скорость тела v0 направлена
Q
перпендикулярно отрезку, соединяющему заряды,
и направлена точно на его середину (см. рис. 24.9).
При какой минимальной начальной скорости тело пересечет отрезок, соединяющий
заряды Q . Считать, что скорость тела в любой момент времени направлена
перпендикулярно отрезку, соединяющему заряды Q .