Чудеса 4-хмерного вращения

Чудеса 4-хмерного вращения
Макарченко Иван Павлович
Декабрь 2002
Аннотация
Макарченко И.П. Чудеса 4-хмерного вращения. Санкт Петербург 2002.
О том, как интересно бывает покопаться в том что все как бы знают. И об
открытии нового на, казалось бы, ровном очевидном месте. Спин — есть четырехмерное вращение?
1 Плоскостное 4-хмерное вращение
Рассматривая возможные варианты вращений в 4d-пространстве, натолкнулся на новый, существенно-важный тип симметрии, отличный от известных.
Назовем оси пространства T, X, Y, Z. И будем рассматривать такие преобразования
координат, при которых бы не изменялись расстояния.
Вращение в плоскости T X, матрица преобразования:


cos(α) −sin(α) 0 0
 sin(α) cos(α) 0 0 



0
0
1 0 
0
0
0 1
При таком преобразовании все объекты в плоскости XT поворачиваются на угол α.
При этом никакие фигуры в плоскости плоскость Y Z не меняются, и плоскость Y Z
остается на месте.
Очевиднa еще одна свобода вращений, а именно в плоскости Y Z. Добавим это вращение:


cos(α) −sin(α)
0
0
 sin(α) cos(α)

0
0


(1)

0
0
cos(β) −sin(β) 
0
0
sin(β) cos(β)
Нет никаких сомнений, что при таком преобразовании расстояния между точками
пространства не изменяются. В плоскостях XT и YZ вращения происходят независимо
друг от друга.
1
2 МАТРИЦЫ ДИРАКА
2
Казалось бы, что особого в двух вращениях? Особое есть! Представим, что вращение
производится синхронно, т.е. α = β.
Тогда подобное вращение окажется особым. При таком вращении плоскость T Y будет
неким вращательным образом переходить в плоскость XZ, но при этом будет существовать только одна точка, которая останется при преобразовании на месте. Более того,
подобное вращение будет проходить через положение полной 4d-пространственной инверсии, когда α = β = π.
Следует отметить, что никакое иное известное простое преобразование не может привести к 4d-инверсии (за исключением самой инверсии, разумеется). Такое вращение с
α = β я буду называть плоскостным поворотом или плоскостным вращением T X + Y Z
в 4d-пространстве. Порядок символов в T X и Y Z имеет значение и означает, что первый
поворот происходит в плоскости T X в направлении от оси T к оси X. Соответственно,
второй — в плоскости Y Z, от Y к Z. А плоскостные повороты T X + Y Z и Y Z + T X —
эквивалентны.
Иными существенными особыми случаями двойного вращения могут быть варианты с
кратными углами α и β, но я их здесь опущу.
Следует отметить, что в случае, когда α = β появляется дополнительная возможность
для вращения, а именно — плоскостное вращение T Y + XZ. Этот поворот коммутирует с
плоскостным поворотом T X + Y Z, а их произведение представляется матрицей:


cos(α)cos(β) −sin(α)cos(β) −cos(α)sin(β) sin(α)sin(β)
 sin(α)cos(β) cos(α)cos(β) −sin(α)sin(β) −cos(α)sin(β) 


(2)
 cos(α)sin(β) −sin(α)sin(β) cos(α)cos(β) −sin(α)cos(β) 
sin(α)sin(β) cos(α)sin(β)
sin(α)cos(β)
cos(α)cos(β)
Такое преобразование я буду называть двойным плоскостным поворотом
Для двойного плоскостного поворота при β = α (а так же β = −α) тоже возникает существенно особый случай. Поворот на угол π соответствует единичному преобразованию
пространства самого в себя.
Ниже будет важно, что матрицы поворотов, можно выразить через экспоненты от
матриц. Плоскостной поворот в таком случае будет представлен как:
exp (γα),
где γ — есть матрица плоскостного поворота (1) с углами α = β = π/2. Таким же образом
можно выразить и двойной плоскостной поворот с матрицей γ равной матрице двойного
плоскостного поворота (2) с углами α = β = π/2.
2
Матрицы Дирака
Запишем уравнение Дирака в ковариантной форме:
³
mc ´
iγ µ ∂µ −
ψ(x) = 0
~
(3)
2 МАТРИЦЫ ДИРАКА
3
Матрицы Дирака γ µ обладают особыми свойствами, а именно:
γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν E
γ µ† = γ 0 γ µ γ 0
(4)
Tr γ µ = 0
(5)
где g µν — метрический тензор, а E — единичная матрица.
Однако, приведенные в большинстве учебников значения для γ µ далеко не единственный вариант выбора матриц Дирака.
Вот один из наборов матриц, удовлетворяющих условию:
γ0
γ1
γ2

 
0
0
0 −1
0 −1 0
0
 0
  1
0
−1
0
0
0
0

 
 0 −1
0
0   0
0 0 −1
−1
0
0
0
0
0 1
0
γ3
 

0
0 −1 0
0 0
0 −1
  0

0
0 1 
0 
 
  0 0 −1

  1
0
0 0   0 1
0
0 
0 −1
0 0
1 0
0
0
(6)
А это еще один набор матриц, удовлетворяющих условию:
γ0
γ1
γ2
 
0
0
0 1
0 −1
0
 0


0 −1 0   1
0
0

 0 −1


0 0
0
0
0
1
0
0 0
0
0 −1

 
γ3
 
 

0
0 0 −1
0
0
0 0 −1


0 
0 −1 
0 1
0 
  0 0
  0

1   1 0
0
0   0 −1 0
0 
0
0 1
0
0
1
0 0
0
(7)
Замечу, что в различной литературе матрицы Дирака представлены по разному. Например, в «Теоретической физике» [1]:
¶
¶
µ
µ
0 −σ
0 1
i
0
γ =
γ =
1 0
σ 0
(0, 1 и σ — двухрядные матрицы).
А в «квантовой теории поля» [2]:
µ
¶
1 0
0
γ =
0 −1
µ
i
γ =
0 −σ
σ 0
¶
Каковы же наборы правильные? Или же, правильнее спросить, каковы наборы удобнее?
Матрицы, удовлетворяющие антикомутативному соотношению:
γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2δ µν
(8)
составляют алгебру Клиффорда. Существует теорема, что в пространстве матриц 4 × 4
есть единственное представление алгебры Клиффорда с точностью до унитарного преобразования.
2 МАТРИЦЫ ДИРАКА
4
Свойства матриц Дирака (4), в условиях метрики пространства Минковского, отличаются от свойств (8) матриц 4 × 4, составляющих алгебру Клиффорда, простыми множителями i (мнимая единица) для γ 1 γ 2 γ 3 . Уравнение Дирака инвариантно относительно
унитарного преобразования, которое по сути представляет преобразования пространства
без изменения расстояний (интервалов). Это означает, что любой набор матриц 4 × 4,
удовлетворяющих антикомутативным условиям (4), подходит в качестве матриц Дирака в
уравнение Дирака.
Чем же, в этом случае, лучше представленные матрицы? Есть один важный момент.
Приведенные здесь первые два набора матриц получены из рассмотрения плоскостного
вращения координатных осей на угол π/2. Представленные матрицы симметричны относительно тройных перестановок координат пространства. γ 1 получена из 4d-поворота
(1) на угол α = β = π/2, а γ 2 и γ 3 получены из γ 1 простой перестановкой координат:
XY Z → Y ZX и XY Z → ZXY . Второй набор получен подобным же способом, но с
обратным вторым поворотом: α = −β = π/2.
Представление матриц Дирака через плоскостные повороты позволяет утверждать,
что природа происхождения спина может иметь действительные корни в четырехмерном
вращении.
Матрицы первого набора: γ 1 — плоскостное вращение T X + Y Z, γ 2 — плоскостное
вращение T Y + ZX, γ 3 — плоскостное вращение T Z + XY . Порядок значков T, X, Y, Z
существенен и указывает, какая ось к какой поворачивается.
Второй набор получен аналогичным образом, но во второй плоскости вращение обратное: γ 01 — T X + ZY , γ 02 — T Y + XZ, γ 03 — T Z + XY .
Различие этих наборов в том, что один «левый» другой «правый».
Матрица γ 0 в обоих наборах имеет иные свойства. Ее квадрат равен единичной матрице и получается она двойным плоскостным поворотом — сочетанием левого и правого:
γ 0 = γ 1 γ 02 , а γ 00 = γ 01 γ 2 .
Замечу так же, что имеются дополнительные свойства для матриц из представленых
двух наборов относительно друг друга:
γ µ γ 0ν = γ 0ν γ µ
µ, ν = 1, 2, 3
T.e. левые и правые «плоскостные повороты» коммутируют друг с другом и антикомутируют внутри наборов левых и правых.
Проверим два равенства:
(γ µ γ 0ν )γ λ = γ µ (γ 0ν γ λ ) = γ µ (γ λ γ 0ν ) = (γ µ γ λ )γ 0ν = −(γ λ γ µ )γ 0ν = −γ λ (γ µ γ 0ν )
(γ µ γ 0ν )(γ µ γ 0ν ) = γ µ (γ 0ν γ µ )γ 0ν = γ µ (γ µ γ 0ν )γ 0ν = (γ µ γ µ )(γ 0ν γ 0ν ) = (−E)(−E) = E
Полученные выражения означают, что принципиально любое произведение левой и правой
матрицы подходит в качестве γ 0 для обоих наборов.
3 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА «В ЛОБ»
3
5
Решение уравнения Дирака «в лоб»
Будем искать решение уравнения Дирака, не зависящее от координат, а зависящее
только от времени. В этом случае, уравнение Дирака преобразуется к виду:
³
mc ´
ψ(x) = 0
(9)
iγ 0 ∂0 −
~
Проведя формальные математические выкладки, получим:
∂0 ψ(x) = (iγ 0 )−1
mc
ψ(x)
~
(10)
Что есть линейное дифференциальное уравнение первого порядка, решение которого (учитывая, что γ 0 = (γ 0 )−1 ) можно записать в виде:
ψ(x) = ψ(0)exp (iγ 0
mc
t)
~
(11)
Это уравнение, по сути представляет собой уравнение вращающегося в 4d-пространстве
вектора ψ. Как было показано в первом параграфе, матрица, представленная как экспонента от γ умноженной на число, представляет собой матрицу «плоскостного поворота» и
здесь напрашивается очевидная интерпретация о 4d-вращении вектора ψ.
Более общее уравнение плоской волны, очевидно, получается из уравнения (11)
через обычное преобразование Лоренца, но интерпретация решения как вектора ψ,
вращающегося в комплексном 4d-пространстве от этого, очевидно, не изменится.
Литература:
[1] Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П., Теоретическая Физика, т.IV,
Квантовая электродинамика, издание третье, Москва, «Наука», 1989
[2] Ициксон К. Зюбер Ж.-Б. Квантовая Теория Поля, т.I, Новокузнецк, ИО НФМИ,
2000
С уважением, Макарченко Иван Павлович
PDF подготовлен с помощью LATEX.