Дифференциальные и интегральные уравнения 1

Дифференциальные и интегральные уравнения
1
ФАКТОРИЗАЦИЯ В КАТЕГОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ
ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Прохорова М.Ф.1
В [1-2] было введено понятие факторизации дифференциальных уравнений в частных производных, в рамках данной методики подробно исследовалось нелинейное уравнение теплопроводности.
В данной заметке описывается категория параболических уравнений второго порядка, заданных на произвольных римановых многообразиях. В рамках данной категории исследуются морфизмы (факторизации) нелинейного
уравнения реакции-диффузии. Проводится классификация этих морфизмов с
выбором из каждого класса эквивалентности простейшего представителя.
1. Общая категория уравнений
Назовем задачей пару A = (NA , EA ), где NA – множество, EA – система
уравнений для подмножеств Γ ⊂ NA = MA × KA (можно рассматривать Γ
как график неизвестной функции u : MA → KA .
Пусть S (A) – множество всех подмножеств Γ ⊂ NA , удовлетворяющих
EA .
Определение 1. Будем говорить, что (упорядоченная) пара задач A = (NA , EA ),
B = (NB , EB ) допускает отображение FAB : NA → NB , если для любого
−1
Γ ⊂ NB Γ ∈ S (B) ⇔ FAB
(Γ) ∈ S (A).
Определим общую категорию уравнений E, как категорию, объектами
которой являются задачи (при некоторых ограничениях на содержание понятия "система уравнений"), а морфизмами Mor (A, B) — допускаемые парой
(A, B) отображения с естественным законом композиции.
При исследовании задачи A представляет интерес определение множества
Mor (A, A) всех морфизмов A в рамках некоторой фиксированной подкатегории A общей категории уравнений (назовем такие морфизмы и соответствующие им задачи B "факторизациями A"). Задачи, факторизующие A,
естественным образом делятся на классы изоморфных задач, а морфизмы
Mor (A, ·) — на классы эквивалентности.
Если EA допускает группу G, то пара (A, A/G) допускает естественную
проекцию p : N → N/G в смысле Определения 1, то есть Определение 1 является обобщением редукции по группе симметрий. Вместо основного понятия
группового анализа "группа, допускаемая системой уравнений"мы используем более широкое понятие — "отображение, допускаемое системой". При
этом не требуется, чтобы группа, оставляющая инвариантными факторизуемые решения (если даже такая группа существует) была непрерывной и/или
допускалась исходной системой. Таким образом, применяя данный подход,
мы можем получить более общие классы решений, чем решения, инвариантные относительно группы симметрий, как показано, например, в [3-4].
2. Категория параболических уравнений
1 Работа
поддержана грантами РФФИ 00-15-96042, 02-01-00354.
2
Труды XXXIII Молодежной школы-конференции
Рассмотрим подкатегорию PE общей категории уравнений, объектами которой являются параболические уравнения второго порядка:
E : ut = Lu,
M = T × X,
K = R,
где L — дифференциальный оператор, зависящий от времени t как от параметра, определенный на связном многообразии X, и имеющий в любых
локальных координатах xi на X следующую форму:
Lu = bij (t, x, u) uij + cij (t, x, u) ui uj + bi (t, x, u) ui + q (t, x, u) .
Здесь нижний индекс i обозначает частную производную по xi , форма
bij = bji положительно определена, cij = cji . Морфизмами PE являются
все гладкие отображения, допускаемые парами задач PE. Опишем эти морфизмы:
Теорема 1. Любой морфизм категории PE имеет форму
(t, x, u) → (t0 (t) , x0 (t, x) , u0 (t, x, u)) .
(1)
Множеством изоморфизмов категории PE является множество всех биекций вида (1).
Рассмотрим полную подкатегорию PE 0 категории PE, объектами которой
являются уравнения вида ut = Lu с оператором L, имеющим в локальных
координатах следующий вид:
Lu = bij (t, x) (a (t, x, u) uij + c (t, x, u) ui uj ) + bi (t, x, u) ui + q (t, x, u) ,
а все морфизмы наследованы из PE.
Теорема 2. Если множество морфизмов MorPE (A, B) непусто и A ∈ PE 0 ,
то B ∈ PE 0 .
3. Категория автономных параболических уравнений
Назовем отображение (1) автономным, если оно имеет вид
(t, x, u) → (t, x0 (x) , u0 (x, u)) .
(2)
Назовем параболическое уравнение из категории PE 0 , определенное на римановом многообразии X, автономным, если оно имеет следующий вид:
2
ut =Lu=a (x, u) ∆u+c (x, u) (∇u) +ξ (x, u) ∇u+q (x, u) , ξ (·, u) ∈T ∗ X
Теорема 3. Пусть F : A → B — морфизм категории PE, F — автономное
отображение, A — автономное уравнение. Тогда возможно снабдить многообразие, на котором поставлена задача B, такой римановой метрикой,
что B превратится в автономное уравнение.
Дифференциальные и интегральные уравнения
3
Рассмотрим подкатегорию APE категории PE 0 , объектами которой будут автономные параболические уравнения, а морфизмами —- автономные
морфизмы категории PE.
4. Классификация морфизмов нелинейного уравнения реакции-диффузии
Рассмотрим нелинейное уравнение реакции-диффузии A ∈ APE на римановом многообразии X:
ut = a (u) ∆u + q(u)
(3)
(заметим, что любое уравнение ut = a(u)∆u + c(u)(∇u)2 + q(u)) изоморфно
некоторому уравнению вида (3) в APE). Исследуем множество морфизмов
Mor (A, PE) и классы решений уравнения A, соответствующие этим морфизмам.
Напомним, что два морфизма F : A → B и F 0 : A → B 0 называются эквивалентными, если существует изоморфизм G : B → B 0 такой, что F 0 = G ◦ F .
С точки зрения классов решений исходного уравнения, получаемых из данной
факторизации, эквивалентные морфизмы равнозначны. Поэтому представляет интерес задача выбора из каждого класса эквивалентности наиболее простого (в каком-либо смысле) морфизма, или такого морфизма, для которого
факторизованное уравнение имеет наиболее простой вид.
При классификации морфизмов уравнения (2) важен вид коэффициента
a (u). Будем различать следующие варианты:
a(u) — произвольная функция
a(u) = a0 (u − u0 )λ
a(u) = a0 eλu
a(u) = a0
Чем ниже расположение коэффициента на схеме, тем богаче соответствующее семейство морфизмов (похожая зависимость возникает в групповой
классификации нелинейного уравнения теплопроводности [5]).
Теорема 4. Если a 6= const, то для любого морфизма уравнения (3) в
категорию PE существует эквивалентный в PE автономный морфизм
(то есть морфизм категории APE).
Пусть задано отображение p : X → X 0 многообразия X на многообразие
X и дифференциальный оператор D на X. Будем говорить, что D проектируется на X 0 , если существует такой дифференциальный оператор D0 на
0
4
Труды XXXIII Молодежной школы-конференции
X 0 , что следующая диаграмма коммутативна:
p∗
C ∞ (X 0 ) −−−−→ C ∞ (X)




D0 y
yD
C ∞ (X 0 ) −−−∗−→ C ∞ (X)
p
Теорема 5. Пусть a 6= const. Для любого морфизма уравнения A в категории PE существует эквивалентный ему в этой категории автономный
морфизм (t, x, u) → (t, y (x) , v (x, u)) A в B ∈ APE, для которого факторизованное уравнение B принимает вид vt = a (v) Lv + Q(v), где оператор
L является проекцией на Y описанного ниже оператора D при отображении x → y (x) (заметим, что это условие является ограничением на
проекцию y (x)), где:
1) Если A – произвольное уравнение, не имеющее вид (2-3), то D = ∆,
v (x, u) = u.
2) Если A имеет вид ut = a0 uλ (∆u + q0 u)+q1 u (с точностью до сдвига
u → u − u0 ), λ 6= 0, a0 , q0 , q1 = const, то Df = β λ−1 (∆ (βf ) + q0 βf ) для
некоторой функции β : X → R, v (x, u) = β −1 (x) u, Q = q1 v.
3) Если A имеет вид ut = a0 eλu (∆u + q0 ) + q1 , λ 6= 0, a0 , q0 , q1 = const,
то Df = eλβ (∆f + ∆β + q0 ) для некоторой функции β : X → R, v (x, u) =
u − β (x), Q = q1 .
Такие морфизмы можно рассматривать как "канонические", причем в
категории PE в каждом классе эквивалентности морфиэмов канонический
представитель определен однозначно (для фиксированной функции β в случаях (2, 3)) с точностью до диффеоморфизма многообразия Y , в категории
APE — однозначно с точностью до конформного диффеоморфизма Y .
Список литературы
[1]. Прохорова М.Ф. Моделирование процессов теплопроводности и кристаллизации с понижением размерности // ИММ УрО РАН. Свердловск, 1996. 41с. Деп. ВИНИТИ 09.07.96, №2314-В96.
[2]. Прохорова М.Ф. Моделирование решений уравнения теплопроводности
и задачи Стефана с понижением размерности // Доклады РАН. 1998.
Т.361, №6. С.740-742.
[3]. Prokhorova, M., Factorization of nonlinear heat equation posed on
Riemann manifold // Mathematics e-Print archive. Math.AP/0108001.
[4]. Prokhorova, M., Моделирование нелинейного уравнения теплопроводности с краевыми условиями на свободной поверхности // Электронный
журнал дифференциальных уравнений и процессов управления (в печати).
Дифференциальные и интегральные уравнения
5
[5]. Ovsyannikov, L., Group analysis of differential equations, Moscow, Nauka,
1978.