Дискретная математика (Экономика)

Федеральное государственное образовательное бюджетное
учреждение высшего профессионального образования
«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
(Финансовый университет)
Кафедра «Математика»
О.Е. Орел, Н.Л. Поляков, Е.В. Маевский, П.В. Ягодовский
МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ И ПОДГОТОВКИ
К ЗАЧЕТУ (ЭКЗАМЕНУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА»
Для студентов,
обучающихся по направлению
38.03.01 «Экономика»
(программа подготовки бакалавра)
Москва 2015
УДК 519.854 (072)
ББК 22.176
М54
Рецензент: д. ф.-м. н., проф. Е.Н. Орел
М54
О.Е. Орел, Н.Л. Поляков, Е.В. Маевский, П.В. Ягодовский.
«Методические материалы для самостоятельной работы и подготовки к зачету
(экзамену) по дисциплине «дискретная математика». Для студентов,
обучающихся по направлению 38.03.01 «Экономика» (программа подготовки
бакалавра). – М.: «Финансовый университет, кафедра «Математика-1», - 2015. 8 с.
Дисциплина «Дискретная математика» является дисциплиной по выбору
студента вариативной части профессионального цикла дисциплин основной
образовательной программы (ООП) по направлению 38.03.01 «Экономика»
(программа подготовки бакалавра).
Дисциплина «Дискретная математика» является дополнительным
теоретическим и практическим основанием для изучения последующих
математических и финансово-экономических дисциплин подготовки
бакалавров, использующих количественные методы.
Пособие содержит материалы по математической логике, элементам
комбинаторики, теории булевых функций, а также некоторым вопросам теории
графов. Материалы предназначены для организации самостоятельной работы
студентов и может быть использовано для подготовки к зачету (экзамену).
УДК 519.854 (072)
ББК 22.176
Учебное издание
Ольга Евгеньевна Орел
Николай Львович Поляков
Евгений Валерьевич Маевский
Петр Владимирович Ягодовский
МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ И
ПОДГОТОВКИ К ЗАЧЕТУ (ЭКЗАМЕНУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ДИСКРЕТНАЯ
МАТЕМАТИКА»
Компьютерный набор, верстка: П.В. Ягодовский.
Формат 60х90/16. Гарнитура Times New Roman
Усл.п.л.0,875. Изд. №
-2015. Тираж экз.
Заказ ______
Отпечатано в Финансовом университете
 О.Е. Орел, Н.Л. Поляков, Е.В. Маевский, П.В. Ягодовский 2015
 Финансовый университет, 2015
2
Содержание
1. Введение……………………………………………………………..3
2. Математическая индукция………………………………………….4
3. Теория множеств……………………...……………………………..4
4. Отображения……………………………………….………………...5
5. Логика и булевы функции…………………………………………..5
6. Предикаты……………….…………………………………………...6
7. Теория графов………………………………………………………..6
8. Комбинаторика………..……………………………………………..9
9. Рекомендуемая литература…………………………………………10
Введение
Дискретная математика изучает те математические объекты, в
которых дискретность является определяющей характеристикой. В этот
учебный курс традиционно включают те разделы математики, которые не
попали в другие математические курсы, но необходимы для полноценной
подготовки будущих экономистов. Это и умение выстроить логически
правильную и обоснованную цепочку рассуждений, и навыки работы с
графами, и знание основ комбинаторного анализа, и владение аппаратом
булевых функций. В пособии представлено большое разнообразие задач на
перечисленные
темы.
Решение
задач,
наряду
с
проработкой
теоретического материала, – необходимое условие более глубокого
усвоения курса дискретной математики.
Настоящее издание предназначено для организации самостоятельной
работы студентов и может быть использовано для подготовки к зачету
(экзамену).
3
Математическая индукция
1. Используя метод математической индукции, докажите
13 + 23 + . . . +
3
=
2(
+ 1) 2
.
4
2. Используя метод математической индукции, докажите,
( + 1)(14 + 13)
1 ⋅ 9 + 2 ⋅ 16 + 3 ⋅ 23 + . . . + (7 + 2) =
.
6
3. Используя метод математической индукции, докажите,
1
1
1
+
+ ...+
=
.
(8 − 5)(8 + 3) 24 + 9
3 ⋅ 11 11 ⋅ 19
4. Используя метод математической индукции, докажите
1 2
3
+2
+ 2+ 3+ ... +
=2−
.
2 2
2
2
2
5. Используя метод математической индукции, докажите
( + 3)
1
1
1
+
+
=
.
( + 1)( + 2) 4( + 1)( + 2)
1⋅2⋅3 2⋅3⋅4
6. Используя метод математической индукции, докажите , что для любого натурального
числа выражение 9 + 4 + 1 кратно 5.
7. Используя метод математической индукции, докажите , что для любого натурального
числа выражение 3 3 + 1 + 2 ⋅ 4 2 + 1 кратно 11.
Теория множеств
8. Даны множества
= { − 2; 2; 5; 6; 7},
9. Даны множества = [ − 9; 8],
функции множествa ∩ .
= {1; 5; 7; 8; 10} . Найдите множество \ .
= [3; 4] . Постройте график характеристическoй
10. Даны множества = {( , ) | − 5 + 4 ⩽ − 20}, = {( , ) | 7 + 6 ⩽ 42} .
Изобразите на координатной плоскости множество \ .
11. Для множеств ,
известно, что | | = 38, | | = 33, | ∩ | = 16 . Найдите | ∪ |.
12. Для множеств , , известно, что | | = 47, | | = 41, | | = 51, | ∩ | = 21,
| ∩ | = 25, | ∩ | = 18, | ∩ ∩ | = 8 . Найдите | ∪ ∪ |.
13. Даны множества = { ∈ ℤ | − 8 ⩽
все элементы множества 2 × .
⩽ − 7},
={ ∈ℤ|0⩽
⩽ 2} . Перечислите
14. Даны множества = { ∈ ℤ | − 5 ⩽
мощность множества × 3.
⩽ − 4},
={ ∈ℤ|6⩽
⩽ 8} . Найдите
4
15. Перечислите все подмножества множества { ∈ ℤ | 6 ⩽
⩽ 8} .
16. Перечислите все 2-элементные подмножества множества { ∈ ℤ | 9 ⩽
17. Сколько 5-элементных подмножеств имеет множество { ∈ ℤ | 8 ⩽
⩽ 14} .
⩽ 17} ?
Отображения
18. Для множеств = { ∈ ℤ | − 3 ⩽
все отображения → .
⩽ − 2},
19. Даны множества: = { ∈ ℤ | 1 ⩽
имеется отображений → ?
⩽ 4},
20. Для множеств
инъекции → .
= { ∈ℤ| −3⩽
= { ∈ ℤ|8 ⩽
⩽ − 1},
21. Даны множества: = { ∈ ℤ | − 8 ⩽
имеется инъекций → ?
= { ∈ ℤ|8 ⩽
⩽ − 5},
22. Для множеств
сюръекции → .
= { ∈ℤ|8⩽
⩽ 10},
23. Для множеств
биекции → .
= { ∈ℤ|1⩽
⩽ 4},
24. Даны множества: = { ∈ ℤ | 8 ⩽
имеется биекций → ?
={ ∈ ℤ| −4 ⩽
⩽ 11} . Сколько
⩽ 10} перечислите все
= { ∈ℤ|6 ⩽
={ ∈ℤ| −7 ⩽
= { ∈ℤ| −3⩽
⩽ 11},
⩽ − 2} перечислите
= { ∈ ℤ|7 ⩽
⩽ 10} . Сколько
⩽ − 5} перечислите все
⩽ 0} перечислите все
⩽ 10} . Сколько
Логика и булевы функции
25. Проанализируйте логическую структуру следующегo высказывания и установите
eгo истинность или ложность
АУДИТОР — ЭТО СПЕЦИАЛИСТ ПО ЗВУКОВОМУ ОФОРМЛЕНИЮ
ТЕАТРАЛЬНЫХ ПОСТАНОВОК и ЖАК ПАГАНЕЛЬ — УЧЕНЫЙ-ГЕОГРАФ В ОДНОМ
ИЗ РОМАНОВ ЖУЛЬ ВЕРНА.
26. Проанализируйте логическую структуру следующегo высказывания и установите
eгo истинность или ложность
ОБЛИГАЦИЯ — ВИД ПРЕСЫКАЮЩИСЯ В ВОДОЕМАХ СЕВЕРА АФРИКИ или ЛЕВ
ТОЛСТОЙ НАПИСАЛ РОМАН «ВОЙНА И МИР».
27. Проанализируйте логическую структуру следующегo высказывания и установите
eгo истинность или ложность
Из того, что ЧЕЛОВЕК, ЗАНИМАЮЩИЙСЯ ЗАПРЕЩЕННЫМИ ВИДАМИ ОХОТЫ
ИЛИ РЫБАЛКИ, НАЗЫВАЕТСЯ БРАКОНЬЕРОМ следует, что ШЕКСПИР —
ЗНАМЕНИТЫЙ ФРАНЦУЗСКИЙ ПРОЗАИК.
28. Составьте таблицу истинности для формулы ¬ (( → ¬ ) ∧ ¬ ) .
29. Составьте формулу, двойственную к
= ¬ ∨ (¬ → ¬ ) .
5
30. Составьте СДНФ для булевой функции, заданной таблицей значений
( , , )
⎛0 0 0
⎞
0
⎜
⎟
0
0
1
1
⎜
⎟
⎜0 1 0
⎟
1
⎜
⎟
1
⎜0 1 1
⎟.
0
⎜1 0 0
⎟
⎜1 0 1
⎜
1 1 0
⎜
1 1 1
⎝
0
0
1
⎟
⎟
⎟
⎠
31. Составьте СKНФ для булевой функции, заданной таблицей значений
( , , )
⎛
⎞
0 0 0
0
⎜
⎟
1
⎜0 0 1
⎟
⎜0 1 0
⎟
0
⎜
⎟
0
⎜0 1 1
⎟.
⎜1
⎜1
⎜
1
⎜
1
⎝
0 0
0
0 1
0
1 0
1
1 1
1
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Предикаты
32. Пусть ( , ) : < 9 — предикат, заданный на множестве
Найдите значение истинности высказывания ∃ (13, ) .
= {1, 2, . . . , 14} .
33. Является ли предикат ( , ) : > , выполнимым, опровержимым, тождественно
истинным или тождественно ложным на множестве натуральных чисел? Ответ обоснуйте.
Теория графов
34. Изобразите неориентированный граф = { , } с множеством вершин
= {1, 2, . . . , 9} и множеством ребер = { , , , , , , }, = {6, 8}, = {7, 3},
= {8, 3}, = {7, }, = {2, 7}, = {3, 6}, = {6, 2} .
35. Изобразите неориентированный граф = { , }, множество вершин которого
= { ∈ ℕ | 2 ⩽ ⩽ 10}, а ребро { , } существует ровно в том случае, когда числа ,
имеют одинаковые остатки при делении на 5 .
36. Для графа
6
составьте матрицу инцидентности.
37. Для графа
составьте матрицу смежности.
38. На графе
укажите пример маршрута длины 8, не являющегося цепью. Если такой маршрут не
существует — поясните почему.
39. На графе
укажите пример цепи, не являющейся эйлеровой цепью. Если такая цепь не существует —
объясните почему.
40. На графе
укажите пример эйлеровой цепи длины 6. Если такая цепь не существует — объясните
почему.
41. Изобразите ориентированный граф = { , }, множество вершин которого
= { ∈ ℕ | 5 ⩽ ⩽ 11}, а ребро ( , ) существует ровно в том случае, когда числа ,
имеют одинаковые остатки при делении на 3 .
42. Изобразите ориентированный граф
= { , }, множество вершин которого
7
= { ∈ ℕ | 4 ⩽ ⩽ 10}, а ребро ( , ) существует ровно в том случае, когда число
является делится на число .
43. Для ориентированного графа
составьте матрицу инцидентности.
44. Для ориентированного графа
составьте матрицу смежности.
45. Дан граф = { , } с множеством вершин
заданный матрицей смежности:
={ , , , , , ,
, ℎ, , , , },
ℎ
⎛
0 0 0 0 93 42 0 0 29 0
⎜
0 0 0 0 0 0 36 0 41 0
⎜
⎜
0 0 0 52 78 0 0 20 0 0
⎜
0 0 52 0 2 0 0 40 0 49
⎜
⎜
93 0 78 2 0 0 0 0 0 0
⎜
42 0 0 0 0 0 79 0 0 0
⎜
0 36 0 0 0 79 0 0 0 8
⎜
⎜ ℎ 0 0 20 40 0 0 0 0 0 0
⎜
29 41 0 0 0 0 0 0 0 70
⎜
⎜
0 0 0 49 0 0 8 0 70 0
⎜
0 92 35 72 3 0 0 47 0 67
⎜
0 0 45 0 61 0 0 0 0 0
⎝
0
92
35
72
3
0
0
47
0
67
0
0
0 ⎞
⎟
0 ⎟
45 ⎟
⎟
0 ⎟
61 ⎟
⎟
0 .
⎟
0 ⎟
0 ⎟
⎟
0 ⎟
0 ⎟
⎟
0
⎟
0 ⎠
Каждая строка этой матрицы отвечает вершине графа, которая указана в ее начале.
Аналогично, каждый столбец отвечает вершине графа, которая указана в его начале.
Каждый положительный матричный элемент, расположенный в некоторых строке и
столбце, равен весу ребра, которое соединяет отвечающие этим строке и столбцу
вершины. Матричный элемент, равный нулю, означает, что соответствующие вершины
графа ребром не соединены. Изобразите этот граф и подпишите на рисунке обозначения
вершин и веса ребер. Постройте для этого графа остовное дерево минимальной
стоимости. В ответ вынесите стоимость построенного деpева.
46. Дан граф
= { , } с множеством вершин
8
={ , , , , , ,
, ℎ, , , , },
заданный матрицей смежности:
ℎ
⎛
0 0 0 0 14
⎜
0 0 51 0 0
⎜
⎜
0 51 0 0 0
⎜
0 0 0 0 54
⎜
⎜
14 0 0 54 0
⎜
83 30 0 0 0
⎜
46 0 89 31 0
⎜
⎜ ℎ 0 0 56 0 50
⎜
0 0 0 0 41
⎜
⎜
0 9 0 91 96
⎜
0 0 0 0 87
⎜
0 75 0 0 0
⎝
0 ⎞
⎟
0 0 0 9 0 75 ⎟
89 56 0 0 0 0 ⎟
⎟
31 0 0 91 0 0 ⎟
0 50 41 96 87 0 ⎟
⎟
0 42 45 0 32 0 .
⎟
0 0 0 0 21 61 ⎟
0 0 0 0 0 0 ⎟
⎟
0 0 0 6 0 0 ⎟
0 0 6 0 0 0 ⎟
⎟
21 0 0 0 0 0
⎟
61 0 0 0 0 0 ⎠
83 46
30
0
0
0
0
0
42
45
0
32
0
0
0
0
0
Каждая строка этой матрицы отвечает вершине графа, которая указана в ее начале.
Аналогично, каждый столбец отвечает вершине графа, которая указана в его начале.
Каждый положительный матричный элемент, расположенный в некоторых строке и
столбце, равен весу ребра, которое соединяет отвечающие этим строке и столбцу
вершины. Матричный элемент, равный нулю, означает, что соответствующие вершины
графа ребром не соединены. Изобразите этот граф и подпишите на рисунке обозначения
вершин и веса ребер. С помощью алгоритма Дейкстры найдите минимальные стоимости
путей из вершины до всех остальных вершин графа.
Комбинаторика
47. В группе из 4 человек водительские права имеют 3. Сколькими способами эта
группа может сесть в 4-местную машину?
48. Сколькими способами 2 пассажиров можно разместить по 10 вагонам так, чтобы
никакие два пассажира не оказались в одном вагоне?
49. Сколько имеется способов разбить группу из 18 человек на две подгруппы, если в
каждой подгруппе должен быть как минимум один человек?
50. Сколькими способами 6 различных книг можно распределить поровну между двумя
читателями?
51. Найдите коэффициент при
форме.
3
в многочлене (3 + ) 8, записанном в стандартной
9
Рекомендуемая литература
а) основная:
1. Гисин В.Б. Лекции по дискретной математике: Ч. 1. – М.:
Финансовая академия, 2001.
2. Гисин В.Б. Лекции по дискретной математике: Ч. 2. – М.:
Финансовая академия, 2003.
3. Гисин В.Б., Зададаев С.А., Орел О.Е. Дискретная математика.
Руководство к решению задач. Учебное пособие: – М.: Финансовый
университет, 2012.
б) дополнительная:
4. Андерсон Дж. Дискретная математика и комбинаторика. – М.:
Издательский дом «Вильямс», 2004.
5. Грехем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. – М.:
Издательский дом «Вильямс», 2010.
6. Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications
(www.mhhe.com/rosen)
10