Графические последовательности лесов

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ
№9 (I), 2012
Е. Е. Маренич, А. С. Маренич, В. Е. Маренич
Графические последовательности лесов
Аннотация: даны необходимые и достаточные условия существования лесов специального вида с данной графической последовательностью и данным множеством степеней вершин. Даны алгоритмы реализации лесов специальных видов по данной графической последовательности и данному множеству степеней вершин.
Ключевые слова: лес; графическая последовательность; множество степеней вершин.
Маренич Евгений Евгеньевич,
доктор физ.-мат. наук, профессор кафедры
теоретических основ информатики и дискретной математики Московского педагогического
государственного университета.
Основные публикации: «Обратимые матрицы над решетками с псевдодополнениями»
(2005); «Число пересечений графа» (2007);
«Factorization properties of n  n Boolean
matrices» (2009); «Определители Веддербарна решеточных матриц» (2012).
Сфера научных интересов: алгебраическая
комбинаторика; теория матриц над решетками; теория графов.
e-mail:marenich1@yandex.ru
Маренич Антонина Сергеевна,
кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры
высшей математики Государственного университета Министерства финансов РФ.
Основные публикации: «Уравнения в кольце
формальных степенных рядов» (2011); «Разложение решений уравнений в окрестности
точек ветвления» (2010).
Сфера научных интересов: алгебраические
методы решений дифференциальных, функциональных, интегральных уравнений.
e-mail:Marenich-АС@yandex.ru
Маренич Валентина Евгеньевна,
кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры
прикладной математики Российского государственного социального университета.
Основные публикации: «Простые матрицы
над дистрибутивными решетками» (2008);
«Lattices of matrix rows and matrix columns.
Lattices of invariant column eigenvectors»
(2010); «Существование и свойства простых
матриц над дистрибутивными решетками»
(2012).
Сфера научных интересов: алгебраическая
комбинаторика; теория матриц над решетками; теория графов.
Е-mail:vmarenich@yandex.ru
56
Введение
Будем придерживаться графовой терминологии, принятой в книге Ф. Харари [1]. Обозначим Г V , E  граф с множеством вершин V
и множеством ребер E.
Последовательность натуральных чисел d  (d1 , d 2 , , d n ) , где
d1  d 2    d n , называется графической, если существует граф
  Г V , E  с n вершинами, степени которых равны d1 , d 2 , , d n ,
граф  называется реализацией графической последовательности
d.
Справедлив следующий критерий графичности последовательности d.
Теорема (Эрдеш, Галлаи, [2]). Последовательность d является
графической тогда и только тогда, когда для любого натурального
числа k , 1  k  n  1 , d1  d 2    d n – четное число и
k
d
r 1
r
 k (k  1) 
n
 min{k , d } .
r  k 1
r
В работах Гавела [3] и Хакими [4] реализован алгоритмический
подход к нахождению реализаций графических последовательностей.
Теорема (Гавел [3], Хакими [4]). Последовательность
d  (d1 , d 2 , , d n ) является графической тогда и только тогда, когда существует граф с n  1 вершинами, степени которых равны
d 2  1, d3  1, , d d1 1  1, d d1  2 , , d n .
Известны и другие критерии графичности. Критерии графичности исследовались для связных графов, графов без треугольников,
двудольных графов, лесов, деревьев и многих других видов графов.
Множество натуральных чисел S называется графическим, если
существует граф, степени вершин которого образуют множество S .
Легко видеть, что каждое конечное множество натуральных чисел
является графическим. В работе [5] найдены все натуральные числа
n , для которых существует граф с n вершинами и данным множеством степеней вершин S. В работе [6] найдены условия, для которых существует лес с n вершинами и данным множеством степеней
вершин S.
При реализации лесов в работе используются коды Прюфера,
свойства которых изложены, например, в книге К. А. Рыбникова [7].
В работе найдены необходимые и достаточные условия существования лесов специального вида с данной графической после-
МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
довательностью и данным множеством степеней вершин. Даны алгоритмы реализации лесов специальных
видов по данной графической последовательности и данному множеству степеней вершин.
п.1. Древеснографические последовательности
Вершины степени 1 называются висячими. Рассмотрим полезную лемму.
Лемма 1. Пусть T  (V , E ) – дерево, V  V (T ) – множество всех не висячих вершин дерева T . Тогда число всех висячих вершин дерева T равно
 deg(v)  2 | V

vV
| 2 .
(1)
Доказательство. Пусть k – число всех висячих вершин дерева T . Справедливы равенства
2 | E |  deg(v)  k 
vV
 deg(v) , | E || V | 1 | V
vV
*
| k  1 ,
*
2 | V * | 2k  2   deg(v)  k 
vV
 deg(v) .
vV *
Из последнего равенства получаем нужное утверждение.
Из равенства (1) следует хорошо известный факт: любое дерево имеет не менее двух висячих вершин.
Если некоторое дерево T является реализацией графической последовательности d, то назовем d
древеснографической последовательностью.
Следующая известная теорема, см., например, [6], характеризует древеснографические последовательности. Приведем простое доказательство этой теоремы, содержащее алгоритм построения дерева по данной древеснографической последовательности.
Теорема 1. Пусть d  (d1 , d 2 , , d n ) – последовательность натуральных чисел, d1  d 2    d n , n  2 .
Последовательность d является древеснографической последовательностью тогда и только тогда, когда
n
d
r 1
r
 2(n  1) .
(2)
Доказательство.  Пусть d – древеснографическая последовательность, дерево T  (V , E ) – некоторая реализация последовательности d. Имеем
n
d
r 1
r
 2 | E | 2(n  1) .
 Пусть для последовательности d справедливо равенство (2), m – число чисел последовательности
d, больших числа 1. Имеем
d1  d 2    d m  d m 1    d n  1 , n  m  0 .
Определим множество вершин V  {1, 2, , m} . Построим последовательность p , состоящую из вершин 1, 2, , m , в которую каждая вершина r включена произвольным образом d r  1 раз, r  1, 2, , m .
Длина последовательности p равна
m
d
r 1
n
r
 m   d r  m  (n  m)  2(n  1)  n  n  2 .
r 1
Последовательность p содержит n  2 вершины и является кодом Прюфера некоторого дерева T ,
имеющего n вершин, степени которых равны d1 , d 2 , , d n. Дерево T – реализация последовательности
d . Поэтому d – древеснографическая последовательность.
Из доказательства этой теоремы получаем алгоритм.
Алгоритм построения дерева с данными степенями вершин
Алгоритм применяется к последовательности натуральных чисел d  (d1 , d 2 , , d n ) , где
d1  d 2    d m  d m 1    d n  1 , n  2 , n  m  0.
Шаг 1. Проверить справедливость равенства (2).
Если равенство (2) справедливо, то d – древеснографическая последовательность. Перейти к шагу 2.
Если равенство (2) неверно, то d не является древеснографической последовательностью. Конец алгоритма.
Шаг 2. Построение дерева с заданными степенями вершин. Пусть V  {1, 2, , m} – множество вершин
дерева T . Вершины 1, 2, , m считаем невисячими.
Построим последовательность p, состоящую из чисел 1, 2, , m. Каждое число r  {1, 2, , m} , произвольным образом включается d r  1 раз в последовательность p. Последовательность p содержит n  2
57
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ
№9 (I), 2012
вершины и является кодом Прюфера некоторого дерева T , имеющего n вершин, степени которых равны
d1 , d 2 , , d n . Конец алгоритма.
Задача построения дерева с заданным числом вершин и заданным множеством степеней вершин связана с проблемой Фробениуса.
Теорема 2 (Гупта, Джоши, Трипази, [6]). Пусть S  {a1 , a2 , , ak ,1} – множество натуральных чисел,
k  1 , a1  a2    ak  1 . Дерево с n вершинами и множеством степеней вершин S существует тогда
и только тогда, когда уравнение
(a1  1) x1  (a2  1) x2    (ak  1) xk  n  2
(3)
разрешимо в натуральных числах.
Доказательство. Следующие утверждения равносильны:
существует дерево с n вершинами и множеством степеней вершин S;
существуют натуральные числа x1 , x2 , , xk , xk 1 такие, что
d  (a1 , a1 , , a1 , ak , ,1,
1)







x1
xk 1
xk
– древеснографическая последовательность, и x1  x2    xk  xk 1  n ;
следующая система уравнений разрешима в натуральных числах
a1 x1  a2 x2    ak xk  xk 1  2(n  1),

 x1  x2    xk  xk 1  n;
следующая система уравнений разрешима в натуральных числах
(a1  1) x1  (a2  1) x2    (ak  1) xk  n  2,

 x1  x2    xk  xk 1  n.
(4)
Докажем равносильность уравнения (3) и системы (4). Достаточно доказать, что если уравнение (3)
разрешимо в натуральных числах, то и система (4) разрешима в натуральных числах. Пусть x1 , x2 , , xk –
натуральные решения уравнения (4). Из равенства (4) имеем
x1  x2    xk  (a1  1) x1  (a2  1) x2    (ak  1) xk  n  2.
Поэтому существует натуральное число xk 1 такое, что справедливо равенство x1  x2    xk  xk 1  n .
п.2. Лесографические последовательности
Графические последовательности d  (d1 , d 2 , , d n ) , которые можно реализовать лесом, назовем лесографическими последовательностями.
Рассмотрим свойства лесографических последовательностей.
Лемма 2. Пусть F  (V , E ) – лес. Тогда число всех деревьев леса F равно
1
(2 | V |  deg(v)) .
2
vV
Доказательство. Пусть s – число всех деревьев леса F . Имеем
1
1
deg(v)) .
 deg(v)  2 (2 | V | 
2 vV
vV
Каждая реализация лесографической последовательности d содержит s деревьев,
s | V |  | E || V | 
n
1
(2n   d r ) .
2
r 1
Последнее равенство можно переписать в виде
s
n
d
r 1
r
(5)
 2(n  s ) .
Лемма 3. Пусть F  (V , E ) – лес, s – число деревьев леса F . Тогда число всех висячих вершин леса
F равно
 deg(v)  2 | V
vV
Доказательство. Имеем
s

t   (  deg(v)  2 | Vr | 2) 
r 1 vV r
58
| 2 s .
 deg(v)  2 | V
vV

| 2 s .
МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Приведем доказательство известной теоремы Эрдёша – Галлаи, которое использует операцию «изменение ребер» компонент связности графа. Операцию «изменения ребер» можно использовать для нахождения лесов, реализующих лесографические последовательности.
Теорема 3 (Эрдёш, Галлаи, [6]). Пусть d  (d1 , d 2 , , d n ) – графическая последовательность. Следующие утверждения равносильны.
n
d
i)
r 1
 2(n  1) .
r
ii ) Последовательность d реализуется связным графом.
Доказательство. i )  ii ) Пусть каждая реализация последовательности d есть несвязный граф. Выберем граф   (V , E ) – реализацию последовательности d , имеющий наименьшее число компонент
связности s , s  2 .
Если все компоненты связности графа  – деревья, то получаем
n
2(n  s )   d r  2(n  1)
r 1
противоречие. Доказано, что одна из компонент связности графа  не является деревом и поэтому
содержит цикл. Совершая «изменение ребер» компоненты связности, содержащей цикл, и другой
компоненты связности, как показано на рис. 1, получаем реализацию последовательности d, имеющую s  1 компонент связности. Полученное противоречие доказывает, что существует реализация
последовательности d связным графом.
ii )  i ) Пусть граф   (V , E ) – связная реализация последовательности d , дерево T  (V , E ) –
остов графа , (d1, d 2 , , d n ) – последовательность степеней дерева T . Имеем
–
n
n
 d   d   2(n  1) .
r
r 1
r
r 1
Если последовательность d реализуется лесом, то d называется лесографической последовательностью.
Рис. 1.
Обозначим K n полный граф с n вершинами.
Известен следующий критерий лесографичности последовательности. Приведем его доказательство,
дающее алгоритм построения реализации.
Теорема 4. Пусть d  (d1 , d 2 , , d n ) – последовательность натуральных чисел, такая, что d1  d 2    d n ,
n  2 . Последовательность d является лесографической последовательностью тогда и только тогда, когда d1  d 2    d n – четное число и справедливо неравенство
n
d
r 1
r
 2(n  1) .
(6)
Доказательство.  Любой лес F , являющийся реализацией последовательности d, содержит s деревьев, где число s определено формулой (5). Отсюда находим, что
n
d
r 1
r
 2(n  s )  2(n  1) .
 Пусть справедливо неравенство (6). Тогда найдется
d1  d 2    d m  d m 1    d n  1 , n  m  0 . Определим число
целое
число
m,
n
k   dr  n  m  2 .
r 1
59
такое,
что
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ
№9 (I), 2012
Имеем
n
n
r 1
r 1
k   d r  n  m  2  2 , m  k   d r  n  2  2(n  1)  n  2  n .
Поэтому определена последовательность d   (d1 , d 2 , , d m  k ) . Имеем
mk
n
 d  d
r 1
r
r 1
r
 (n  m  k )  k  n  m  2  n  m  k  2k  2m  2  2(k  m  1) .
Доказано, что d   (d1 , d 2 , , d m  k ) – лесографическая последовательность. Последовательность
d   (d m  k 1 , d m  k  2 , , d n ) или пустая или состоит из единиц 1. Имеем
n
mk
r 1
r 1
d m  k 1  d m  k  2    d n   d r   d r
четное число. Если d  – непустая последовательность, то d  есть лесографическая последовательность, реализацией которой является лес, состоящий из копий дерева K 2 .
Если m  k  n , то d – древеснографическая последовательность. Если m  k  n , то d – лесографическая последовательность, которая может быть реализована лесом, состоящим из одного дерева, имеющего не менее трех вершин, и s  1 копий дерева K 2 .
Из доказательства теоремы 4 получаем следующее следствие.
Следствие 1. Каждая лесографическая последовательность d может быть реализована лесом, которое
содержит: одно дерево, имеющее не менее трех вершин; s  1 копий дерева K 2 .
Алгоритм построения леса с данными степенями вершин
Алгоритм применяется к последовательности натуральных чисел d  (d1 , d 2 , , d n ) , где
d1  d 2    d m  d m 1    d n  1 , n  2 , n  m  0 .
Шаг 1. Проверить справедливость неравенства (6).
Если неравенство (6) справедливо, то d – лесографическая последовательность. Каждый лес, реализующий последовательность d , содержит s деревьев. Перейти к шагу 2.
Если равенство (6) неверно, то d не является лесографической последовательностью. Конец алгоритма.
Шаг 2. Определить последовательность d   (d1 , d 2 , , d m  k ) , где
–
n
k   dr  n  m  2 .
r 1
Последовательность d  – древеснографическая последовательность. Реализуем ее деревом T .
Последовательность d   (d m  k 1 , d m  k  2 , , d n ) или пустая, или состоит из единиц 1.
Если d  – пустая последовательность, то d есть древеснографическая последовательность, которая
реализуется деревом T . Конец алгоритма.
Если d  – непустая последовательность, то d есть лесографическая последовательность, которая реализуется лесом, состоящим из дерева T и s  1 копий дерева K 2 . Конец алгоритма.
Существование леса с заданным числом вершин и заданным множеством степеней вершин определяется следующей теоремой.
Теорема 5. Пусть S  {a1 , a2 , , ak ,1} – множество натуральных чисел, k  1 , a1  a2    ak  1 . Лес
с n вершинами и множеством степеней вершин S существует тогда и только тогда, когда
a1  a2    ak  n  k  2 .
Доказательство. Следующие утверждения равносильны:
существует лес с n вершинами и множеством степеней вершин S ;
существуют натуральные числа x1 , x2 , , xk , xk 1 , такие, что
d  (a1 , a1 , , a1 , ak , ,1,
1)







x1
xk
xk 1
– лесографическая последовательность и x1  x2    xk  xk 1  n ;
следующая система разрешима в натуральных числах
a1 x1  a2 x2    ak xk  xk 1  2(n  1),

 x1  x2    xk  xk 1  n;
60
(7)
МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
следующая система разрешима в натуральных числах
(a1  1) x1  (a2  1) x2    (ak  1) xk  n  2,

 x1  x2    xk  xk 1  n.
(8)
Докажем, что система (8) разрешима в натуральных числах тогда и только тогда, когда разрешимо в натуральных числах неравенство
(a1  1) x1  (a2  1) x2    (ak  1) xk  n  2 .
(9)
Неравенство (9) является следствием системы (8).
Пусть x1 , x2 , , xk – натуральные решения неравенства (9). Из неравенства (9) имеем
x1  x2    xk  (a1  1) x1  (a2  1) x2    (ak  1) xk  n  2 .
Поэтому существует натуральное число xk 1 , такое, что справедливо равенство x1  x2    xk  xk 1  n .
Доказано, что система (8) разрешима в натуральных числах.
Неравенство (9) разрешимо в натуральных числах тогда и только тогда, когда выполнено неравенство
(7).
Рассмотрим реализации лесографических последовательностей, отличные от тех, которые рассмотрены
в теореме 4 и следствии 1.
Теорема 6. Пусть d  (d1 , d 2 , , d n ) – лесографическая последовательность, m – число чисел последовательности d , больших числа 1,
d1  d 2    d m  d m 1    d n  1 , n  3 , n  m  0 .
Следующие утверждения равносильны.
i ) Последовательность d реализует лес, каждое дерево которого имеет не менее трех вершин.
n
1
ii ) Справедливо неравенство s  m , где s  (2n   d r ) .
2
r 1
Доказательство. i )  ii ) Пусть d реализует лес F  (V , E ) , каждое дерево которого имеет не менее
трех вершин. Число деревьев леса F равно s. Число деревьев леса F не превосходит числа невисячих
вершин дерева F. Поэтому s  m .
ii )  i ) Определим множество вершин V  {1, 2, , m} . Разобьем произвольным образом множество
V на непустые подмножества V1 , V2 , , V s . Такое разбиение возможно, так как s  m . Для каждого множества Vi определим последовательность pi , составленную произвольным образом из вершин
множества Vi так, что каждая вершина j  Vi включена d j  1 раз в последовательность pi . Каждая
последовательность pi , рассматриваемая как код Прюфера, определяет дерево Ti , имеющее не менее
трех вершин.
Дерево Ti имеет | Vi | невисячих вершин и имеет
 deg(v)  2 | V
i
vV i
| 2
висячих вершин. Определим лес F  T1  T2    Ts . Каждая невисячая вершина j леса F имеет степень d j . Число всех невисячих вершин леса F равно
s
 | Vi || V | m .
i 1
Число всех висячих вершин леса F равно
s
 (  deg(v)  2 | V
i 1
vV i
i
| 2) 
 deg(v)  2 | V

vV
m
n
r 1
r 1
m
| 2 s   d r  2m  2 s 
r 1
  d r  2m  2n   d r  n  m .
Доказано, что последовательность d реализует лес F , каждое дерево которого имеет не менее трех
вершин.
Следствие 2. Пусть d  (d1 , d 2 , , d n ) – лесографическая последовательность, n  3 , m – число чисел
последовательности d , больших числа 1. Если s  m, то каждый лес, реализующий последовательность d,
содержит дерево K 2 .
61
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ
№9 (I), 2012
Можно указать и многие другие реализации лесографических последовательностей. Реализации можно преобразовывать друг в друга «изменением ребер» компонент связности (удобно преобразовывать
висячие ребра).
Из доказательства теоремы 6 получаем следующий алгоритм.
Алгоритм построения леса, каждое дерево которого имеет не менее трех вершин
Алгоритм применяется к последовательности натуральных чисел d  (d1 , d 2 , , d n ) , где
d1  d 2    d m  d m 1    d n  1 , n  3 , n  m  0 ,
d1  d 2    d n – четное число;
n
d
r 1
r
 2(n  1) .
Шаг 1. Проверить выполнение неравенства
s
n
1
(2n   d r )  m .
2
r 1
(10)
Если неравенство (10) выполнено, то последовательность d реализуется лесом, состоящим из s деревьев, каждое дерево которого имеет не менее трех вершин. Перейти к шагу 2.
Если условие не выполнено, то всякий лес – реализация последовательности d содержит дерево K 2 .
Конец алгоритма.
Шаг 2. Построение леса с заданными степенями вершин. Пусть V  {1, 2, , n} – множество вершин
дерева T . Вершины 1, 2, , m считаем невисячими.
Разобьем произвольным образом множество {1, 2, , m} на непустые подмножества V1 , V2 , , V s .
Для каждого множества Vi определим последовательность pi , составленную произвольным образом из
чисел множества Vi , каждое число j  Vi входит d j  1 раз в последовательность pi . Каждая последовательность pi , рассматриваемая как код Прюфера, определяет дерево Ti , которое имеет не менее трех
вершин.
Строим лес F  T1  T2    Ts , каждое дерево которого имеет не менее трех вершин. Лес F имеет n
вершин, степени которых равны d1 , d 2 , , d n . Конец алгоритма.
Данным алгоритмом можно построить все леса указанного вида реализующие последовательность d .
Теорема 7. Пусть S  {a1 , a2 , , ak ,1} – множество натуральных чисел, где k  1 , a1  a2    ak  1 .
Лес с n вершинами, множеством степеней вершин S , каждое дерево леса имеет не менее трех вершин,
существует тогда и только тогда, когда разрешима в натуральных числах система неравенств
(a1  1) x1  (a2  1) x2    (ak  1) xk  n  2,

(a1  1) x1  (a2  1) x2    (ak  1) xk  n.
(11)
Доказательство. Следующие утверждения равносильны:
существует лес с n вершинами, множеством степеней вершин S, каждое дерево леса имеет не менее
трех вершин;
существуют такие натуральные числа x1 , x2 , , xk , xk 1 , что
d  (a1 , a1 , , ak , ak , ,1,
1)







x1
–
xk
xk 1
лесографическая последовательность длины n и s  m , где
s
1
(2( x1  x2    xk  xk 1 )  (a1 x1  a2 x2    ak xk  xk 1 )) ,
2
m  x1  x2    xk ;
следующая система разрешима в натуральных числах
a1 x1  a2 x2    ak xk  xk 1  2(n  1),

 x1  x2    xk  xk 1  n,
x  a x  a x   a x ;
1 1
2 2
k k
 k 1
следующая система разрешима в натуральных числах
(a1  1) x1  (a2  1) x2    (ak  1) xk  n  2,

(a1  1) x1  (a2  1) x2    (ak  1) xk  n,
 x  x    x  x  n.
k
k 1
 1 2
62
МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Последняя система разрешима в натуральных числах тогда и только тогда, когда система неравенств
(11) разрешима в натуральных числах.
Список литературы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Harary F. Graph theory. Addison-Wesley publishing company, 1969. [Имеется перевод: Харари Ф. Теория графов. – М.: Мир, 1973.]
Erdös P. and Gallai T. Graphs with Prescribed Degrees of Vertices. Mat. Lapok, 11, 1960, P. 264–274.
Havel V. A remark on the existence of finite graphs. Časopis Pĕst. Mat. 80 (1955), P. 477–480.
Хакими (Hakimi S.L.). On the realizability of a set of integers as degrees of the vertices of a simple graph. J.
SIAM Appl. Math. 10 (1962), P. 496–506.
Ahuja T.S., Tripathi A. On the order of a graph with a given degree set. The Journal of Combinatorial Mathematics
and Combinatorial Computing, 57 (2006), P. 157–162.
Gupta G., Joshi P., Tripathi A. Graphic sequences of trees and a problem of Frobenius. Czechoslovak Mathematical
Journal, 57 (132) (2007), P. 49–52.
Рыбников К. А. Введение в комбинаторный анализ. – М.: Изд-во МГУ, 1985.
63