q - Пермский государственный университет

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОУ ВПО “Пермский государственный университет”
А.Ю. Ощепков
ТЕОРИЯ СОЛИТОНОВ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ
Учебно-методическое пособие
Пермь 2007
УДК 501
ББК 22.311
О 97
Ощепков, А.Ю.
О 97 Теория солитонов. Математическое описание и
физические приложения: учеб.-метод. пособие / А.Ю.
Ощепков; Перм. ун-т. – Пермь, 2007. – 100 с.
ISBN 5-7944-0941-X
Излагаются общие свойства нелинейных дифференциальных
уравнений в частных производных, имеющих солитонные решения,
некоторые прямые методы их интегрирования и метод обратной
задачи рассеяния. Основное внимание уделено СГ-уравнению,
приведены примеры его применения в физике твердого тела.
Пособие содержит программу курса, основной теоретический
материал и задания для самостоятельной работы.
Рекомендовано для студентов старших курсов физического
факультета специальностей «Физика» и «Физика твердого тела».
Данное
пособие
является
победителем
конкурса,
проведенного Пермским государственным университетом в ходе
реализации
инновационной
образовательной
программы
«Формирование информационно-коммуникационной компетентности выпускников классического университета в соответствии с
потребностями
информационного
общества»
в
рамках
приоритетного национального проекта «Образование»
Ил. 15. Табл. 1. Библиогр. 7 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Пермского государственного университета
ISBN 5-7944-0941-X
2
© Ощепков А.Ю., 2007
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРОГРАММА КУРСА ........................................................................................... 5
СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИОННОГО КУРСА ......................................................... 6
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ .................................................................................... 8
ЛЕКЦИОННЫЙ КУРС........................................................................................... 9
ГЛАВА 1. СОЛИТОН: НЕОБЫЧНЫЙ И ВЕЗДЕСУЩИЙ ................................ 9
1.1. Уединенная волна и ее «необычные» свойства...............................................................9
1.2. Открытие уединенной волны и солитона ......................................................................13
1.3. Солитоны в природе и технике .......................................................................................15
1.4. Основные даты в развитии теории солитонов...............................................................17
ГЛАВА 2. ПРИМЕРЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ,
ИМЕЮЩИХ СОЛИТОННЫЕ РЕШЕНИЯ ....................................................... 22
2.1. Уравнение Кортевега-де-Фриза ......................................................................................22
2.1.1. Волны на мелкой воде c учетом дисперсии ............................................................22
2.1.2. Интегрирование КдФ-уравнения .............................................................................23
2.2. Уравнение синус-Гордона ...............................................................................................27
2.2.1. Краевая дислокация в кристаллах............................................................................27
2.2.2. Кинки и бризеры........................................................................................................31
2.3. Нелинейное уравнение Шредингера ..............................................................................33
2.3.1. Распространение интенсивного лазерного луча в диэлектрике............................33
2.3.2. Решение НУШ. Самофокусировка и самоканалирование.....................................36
ГЛАВА 3. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СОЛИТОННЫХ УРАВНЕНИЙ
................................................................................................................................. 40
3.1.. Подстановка Коула-Хопфа для уравнения Бюргерса ..................................................40
3.1.1. Вязкое движение несжимаемой жидкости. Ударная волна...................................40
3.1.2. Общее решение уравнения Бюргерса ......................................................................44
3.2. Преобразования Бэклунда ...............................................................................................46
3.2.1. Преобразования Бэклунда в геометрии и в теории дифференциальных
уравнений .............................................................................................................................46
3.2.2. Преобразования Бэклунда СГ-уравнения ...............................................................49
3.2.3. Построение решений СГ-уравнения........................................................................50
ГЛАВА 4. МЕТОД ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ................................ 54
4.1. Эволюционные преобразования и обратная задача для линейных уравнений ..........54
4.1.1. Построение эволюционного уравнения с помощью преобразования Фурье ......54
4.1.2. Построение эволюционного уравнения с помощью задачи на собственные
значения................................................................................................................................57
4.2. Задача рассеяния в квантовой механике .......................................................................60
4.2.1. Общие свойства уравнения Шредингера ................................................................60
4.2.2. Безотражательные потенциалы ................................................................................63
4.2.3. Асимптотические решения. Метод разложения.....................................................65
4.3. Метод обратной задачи рассеяния..................................................................................66
4.3.1. Эволюционный оператор..........................................................................................66
4.3.2. Основные уравнения метода ОЗР ............................................................................68
4.3.3. Интегрирование КдФ-уравнения методом обратной задачи рассеяния .............70
3
ГЛАВА 5. ПРИМЕНЕНИЕ СГ-УРАВНЕНИЯ В ФИЗИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
................................................................................................................................. 78
5.1. Доменные стенки в одноосном ферромагнетике ..........................................................78
5.1.1. Уравнение Ландау-Лифшица для одноосного ферромагнетика...........................78
5.1.2. СГ-уравнение и динамика доменных стенок........................................................80
5.2. Вихревые явления в контактах Джозефсона .................................................................81
5.2.1. Электронные пары в сверхпроводящем металле ...................................................81
5.2.2. Туннелирование электронных пар. СГ-уравнение для волновой функции.........84
5.2.3. Решение СГ-уравнения в виде флюксонов .............................................................88
5.3 Топологические свойства солитоных уравнений...........................................................89
5.3.1. Модель упругой ленты..............................................................................................89
5.3.2. Гомотопические классы............................................................................................90
5.3.3. Топологический заряд для СГ-уравнения...............................................................92
ПРИЛОЖЕНИЕ ..................................................................................................... 94
ЗАДАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ............................................................................. 96
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ................................................................. 99
4
ПРОГРАММА КУРСА
I. Теоретический материал
Тема 1. История солитона
4 часа
Тема 2. Основные уравнения в теории солитонов 8 часов
Тема 3. Прямые методы интегрирования солитонных
уравнений
4 часа
Тема 4. Метод обратной задачи рассеяния
8 часов
Тема 5. Солитоны в физике твердого тела.
8 часов
Всего:
32 часа
II. Самостоятельная работа студентов: выполнение заданий и
упражнений из списка
Форма контроля: проверка результатов выполнения
Итоговая форма контроля: устный экзамен
Примечание: Материалы по конкретным разделам темы 5
рекомендуется давать студентам для самостоятельного изучения с
последующими их выступлениями с устными докладами
(презентациями) по каждому разделу.
5
СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИОННОГО КУРСА
Тема 1. История солитона
Уединенная волна и её необычные свойства. Открытие
уединенной волны Дж. Расселом. История развития теории
солитонов. Солитоны в природе и технике
Теоретический минимум: гл. 1 настоящего пособия.
Дополнительные сведения: [1] – обзор; [5] – гл.1, 3, 7.
Тема 2. Основные уравнения в теории солитонов
Уравнение Кортевега-де-Фриза (КдФ) для волн на мелкой
воде, интегрирование уравнения путем сведения к уравнению
колебаний в нелинейном потенциале. Уравнение синус-Гордона
(СГ) для краевых дислокаций в кристалле, решения уравнения в
форме кинков и бризеров. Вывод нелинейного уравнения
Шредингера (НУШ) на примере распространения интенсивного
лазерного луча в диэлектрике, нахождение решения с помощью
сведения НУШ к однородному уравнению, описание эффекта
самофокусировки.
Теоретический минимум: гл. 2 настоящего пособия.
Дополнительные сведения: [2] – гл. 1, 5, 7, 8; [4] – гл. 2;
[6] – ч. 2.
Тема 3. Прямые методы интегрирования солитонных
уравнений
Уравнение Бюргерса для ударной волны. Решение уравнения
с помощью подстановки Коула-Хопфа. Преобразования Бэклунда.
Применение преобразований для решения СГ-уравнения.
Теоретический минимум: гл. 3 настоящего пособия.
Дополнительные сведения: [2] – гл. 1; [3] – гл. 8; [4] – гл. 1;
[7] – лекция 5, 13.
Тема 4. Метод обратной задачи рассеяния
Эволюционные преобразования и обратная задача для
линейных уравнений. Построение эволюционных уравнений с
помощью преобразования Фурье и с помощью задачи на
собственные значения. Задача рассеяния в квантовой механике.
6
Безотражательные потенциалы. Основные этапы решения
солитонных уравнений методом обратной задачи рассеяния (ОЗР).
Нахождение N-солитонных решений уравнения КдФ методом ОЗР.
Теоретический минимум: гл. 4 настоящего пособия.
Дополнительные сведения: [2] – гл. 2,4,6; [3] – гл. 12.
Тема 5. Солитоны в физике твердого тела.
Динамика доменных стенок в одноосном ферромагнетике.
Флюксонные решения СГ-уравнения, вихревые токи в контактах
Джозефсона. Топологические свойства СГ-уравнения, понятие
гомотопических классов, топологический заряд.
Теоретический минимум: гл. 5 настоящего пособия.
Дополнительные сведения: [2] – гл. 7; [5] – гл. 6,7.
Ссылки на литературные источники, в которых подробно
рассматривается какой-то конкретный аспект изучаемой темы,
даны по ходу изложения в тексте пособия.
7
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
8
Уединенная волна и её «необычные» свойства.
История развития теории солитонов.
Солитоны в природе и технике.
Уравнение КдФ для волн на мелкой воде и его решение.
СГ-уравнение для краевых дислокаций в кристалле.
НУШ и эффект самофокусировки лазерного луча.
Подстановка Коула-Хопфа для уравнения Бюргерса.
Ударная волна как солитон.
Преобразования Бэклунда.
Одно- и двухкинковые решения СГ-уравнения.
Эволюционные преобразования и обратная задача для
линейных уравнений.
Задача рассеяния в квантовой механике. Безотражательные
потенциалы.
Метод LA-пар Лакса в обратной задаче рассеивания.
Нахождение N-солитонных решений уравнения КдФ методом
ОЗР.
Динамика доменных стенок в одноосном ферромагнетике.
Флюксонные решения СГ-уравнения, вихревые токи
в
контактах Джозефсона.
Топологические свойства СГ-уравнения, топологический
заряд.
ЛЕКЦИОННЫЙ КУРС
Парма гудела… С Вишеры шла буря. И тут и острог, и
монастырь, и городище увидели, как в сизой туче
медленно раскрылось сияющее окно, словно кто-то
посмотрел на землю слепящим глазом. А потом окно
сомкнулось, и на его месте вылепилось чудовищное рыло,
из которого вниз потянулся тонкий язык. Изгибаясь, как
девушка, смерч танцевал где-то на берегу Вишеры, а
затем, облизав, чего хотел, втянулся обратно в пасть.
Иванов А. «Сердце Пармы, или
Чердынь – княгиня гор»
В особенно интенсивных вихрях, называемых торнадо,
завихренность много больше угловой скорости вращения
планеты
Петвиашвили В., Похотелов О.
«Уединенные волны в плазме и атмосфере»
ГЛАВА 1. СОЛИТОН: НЕОБЫЧНЫЙ И ВЕЗДЕСУЩИЙ
1.1. Уединенная волна и ее «необычные» свойства
Что такое цунами? «Что за вопрос? – скажете Вы, читатель, –
конечно, стихийное бедствие». Знакомые с японским языком
специалисты пояснят, что «цунами» переводится как «большая
волна в гавани». Ключевое слово произнесено – ВОЛНА. Однако
волна – это процесс, периодический в пространстве и во времени,
т.е. повторяющийся многократно. У «обычных» волн на воде есть
много горбов (возвышений поверхности) и впадин (понижений).
Почему же волна цунами состоит всего из одного повышения, как
она образуется? Вот что пишет по этому поводу Александр
Тихонович Филиппов в своей книге: «Цунами чаще всего
образуется, когда достаточно крупный, но безвредный в открытом
океане солитон выбрасывается на берег. Не все цунами вызваны
солитонами, но, по мнению специалистов, большинство цунами –
9
Глава 1
солитонного происхождения» [5]. Заменили слово «волна» словом
«солитон» и все стало понятно. Кому не понятно, но хочется
разобраться в физике явления и, более того, в его количественном
математическом описании рекомендуется прочитать, по крайней
мере, данное пособие.
Итак, представьте, где-то в океане в результате
землетрясения дна возникло образование в форме пологого
возвышения поверхности воды (холма), максимальная высота
которого в центре достигает нескольких метров, а длина составляет
сотни километров. В открытом океане это образование (солитон в
виде уединенной волны на мелкой воде) совершенно не ощущается
путешественниками-мореплавателями. А теперь представьте, что
это образование стремительно движется (быстрее скорости
периодических волн) без изменения формы и достигает береговой
черты, обрушивая на побережье свою колоссальную энергию.
Цунами! Но… Сделаем паузу.
Читатель, знакомый с теорией линейных (гармонических)
волн, скажет, что солитон – красивая гипотеза, но он не может
существовать. Спектр Фурье уединенного, или, лучше сказать –
локализованного образования состоит из множества волн-гармоник
с разными периодами, т.е. длинами волн. Волны различной длины
будут двигаться с разными скоростями (дисперсия) и «растащат»
гипотетический солитон в разные стороны. Нокаут солитону!
Кроме того, трудно предположить отсутствие эффектов, связанных
с трением и приводящих к диссипации энергии, т.е. опять-таки к
исчезновению первоначального образования. Да, все это
правильно, но для линейных сред. А если предположить наличие
нелинейных эффектов?
Рис.1.1. Обрушение волны вследствие
нелинейности
10
Теперь хук слева имеет право нанести солитону специалист
по нелинейной теории. Простейший из нелинейных эффектов
состоит в том, что скорость распространения уединенной волны
(локализованного возмущения) зависит от формы поверхности: чем
бо'льшую высоту имеет участок поверхности, тем больше скорость
его распространения. Значит, высокий центральный участок будет
обгонять начало волны, что опять приведет к деформации
первоначального профиля (укручение нелинейной волны – рис.1.1).
Эти рассуждения тоже правильны. И все-таки уединенная волна
существует! Как же выйти из ситуации и объяснить ее
существование? Выход состоит в использовании принципа,
сформулированного героями одного из популярных старых
фильмов: «Тот, кто нам мешает, тот нам поможет».
Солитону мешают жить дисперсия и нелинейность. А если
существует и то и другое? Обратите внимание: нелинейность
заставляет центральный участок (вершину холма) догонять начало
(подошву холма), а дисперсия стремится растащить холм, т.е.
заставляет подошву холма «убегать» от вершины. А если эти
эффекты в каком-то смысле сравняются? Правильно, мой умный,
любознательный и проницательный читатель: в солитоне действия
линейных и нелинейных эффектов уравновешиваются! Разумеется,
это может произойти только при некоторых, вполне определенных
условиях: поверхность холма должна иметь конкретную форму и
должна быть однозначно связана со скоростью распространения
локализованного образования. Таким образом, с точки зрения
физики все понятно, остается только сформулировать условия
существования уединенных волн на математическом языке, т.е.
построить теорию солитонов.
Математическая теория солитонов строится с помощью
исследования устойчивых решений нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Некоторые
начальные условия «проходят» через уравнения и приводят к
солитонным решениям. Возникает, правда, один вопрос: как
возникают начальные условия? На этот вопрос пока ответим так:
коль скоро законы природы позволяют солитону существовать,
стало быть, они позволяют ему возникнуть.
Вернемся к физике уединенной волны, чтобы еще раз
подчеркнуть ее необычные свойства, которые в дальнейшем
предстоит объяснить теоретически. Итак, уединенная волна,
11
Глава 1
приводящая к цунами (назовем ее солитоном типа «цунами»),
имеет следующие характеристики: длина волны l составляет от 10
до 500 км, а высота – не более 10 м. Средняя скорость солитона v
вдали от берега вычисляется по формуле v = gh , где g –
ускорение свободного падения, а h – средняя глубина океана.
Отметим, что выполняется условие «мелкой воды»: h << l и условие
малости высоты волны по сравнению с глубиной океана. При h ≈ 1
км v ≈ 100 м/с. При подходе к берегу солитон замедляет движение,
становится короче и выше. Когда высота солитона сравнивается с
глубиной, начинают превалировать нелинейные эффекты и
происходит обрушение волны – цунами.
Нас интересует волна вдали от берегов, которую мы и
назвали
солитоном.
Первые
два
признака
солитона:
локализованность
в
пространстве
и
движение
этого
локализованного возмущения без изменения формы. Однако эти
два признака не являются исчерпывающими. Так могут вести себя
волны в линейной среде при отсутствии дисперсии и диссипации.
В самом деле, математически солитоном можно было бы
назвать решение волнового уравнения, имеющего в простейшем
случае вид
q ( x, t ) = f ( x − c 0 t ) .
(1.1)
Решения, подобные (1.1), описывают распространение
первоначального возмущения q ( x,0) = f ( x) со скоростью c0 без
изменения его формы, т. е. являются уединенными волнами.
Рассмотрим
простейшее линейное уравнение в частных
производных:
(∂ ∂t + c0 ∂ ∂x)q = 0 .
(1.2)
Легко проверить, что функция (1.1) является решением этого
уравнения. Значит, объект, “распространяющийся без изменения
формы”, описывается примитивным линейным уравнением? Зачем
же столько шума вокруг уединенной волны? Дело в том, что
решение
уравнения
(1.2),
удовлетворяющее
двум
сформулированным признакам, не является солитоном.
12
Основной признак солитона, также отличающий его от
обычных волн, проявляется в процессе, который трудно наблюдать
в естественных природных условиях – в процессе взаимодействия
солитонов. Обычные линейные волны распространяются
независимо, и при наложении их амплитуды просто складываются
(интерференция). Если встретятся две такие волны, то результат
может быть различным – вплоть до полного погашения колебаний,
находящихся в противофазе. Удивительное свойство солитона,
являющегося волной, состоит в том, что он сохраняет свою форму
после взаимодействия с себе подобным объектом: два солитона
упруго отталкиваются, как две частицы! Это удивительное
свойство назовем дуальностью (сочетанием свойств волны и
частицы). Оно было установлено в специальных численных, а затем
и натурных экспериментах.
Итак, с точки зрения физики, солитон – это локализованное
возмущение нелинейной среды, имеющей дисперсионные или
диссипативные свойства, распространяющееся в пространстве без
изменения формы и обладающее свойством дуальности.
1.2. Открытие уединенной волны и солитона
Как же происходило становление теории солитонов и ее
применение в практических областях человеческой деятельности?
Возможно, что уединенную волну (solitary wave) люди наблюдали
неоднократно и до августа 1834 г., когда ее увидел на водной
поверхности
канала
шотландский
инженер-изобретатель,
сотрудник судоходной компании Union Canal Company Джон
Скотт Рассел (1808-1882). Только глубокое теоретическое знание
свойств “обычных” волновых процессов в сочетании с
проницательностью исследователя-экспериментатора позволило
Дж. С. Расселу отметить необычность уединенной волны.
Приведем авторское описание этого события: «Я следил за
движением баржи, которую быстро тянула по узкому каналу пара
лошадей, когда баржа неожиданно остановилась; но масса воды,
которую баржа привела в движение, не остановилась. Вместо этого
она собралась около носа судна в состоянии бешеного движения,
затем неожиданно оставила его позади, катясь вперед с огромной
скоростью и принимая форму большого одиночного возвышения,
т.е. округлого, гладкого и четко выраженного водяного холма,
13
Глава 1
который продолжал свой путь вдоль канала, нисколько не меняя
своей формы и не снижая скорости. Я последовал за ним верхом, и
когда я нагнал его, он по-прежнему катился вперед со скоростью
восемь или девять миль в час, сохранив свой первоначальный
профиль возвышения длиной около тридцати футов и высотой от
фута до фута с половиной. Его высота постепенно уменьшалась, и
после одной или двух миль погони я потерял его в изгибах канала».
Более поздний комментарий исследователя: «Это самое
прекрасное и необычное явление: в первый же день я понял, что это
счастливейший момент в моей жизни… Никто никогда и
вообразить не мог, что существует такое явление, как уединенная
волна. Когда я описал ее сэру Джону Гершелю, он сказал: “Это
просто отсеченная половина обычной волны”. Но это не так,
поскольку обычные волны распространяются частично выше, а
частично ниже уровня поверхности и кроме того, ее скорость
отличается от скорости обычных волн. Поэтому уединенная волна
– полная волна, а не половина… Такой водяной холм не может
стоять на месте, а распространяется вдоль канала» [5].
Рассел оказался прав, волна, открытая им, действительно,
оказалась не обычной волной, а солитоном типа «цунами», только
сам он об этом никогда не узнал. Свойство дуальности было вновь
обнаружено через 130 лет после открытия Рассела в численных
экспериментах
специалистов
Принстонского
университета
Мартина Крускала и Нормана Забуски (1965 г.). Они и
предложили название «солитрон» – уединенная волна («соли-»),
подобная частице («-трон»). Однако букву «р» из названия
пришлось убрать, поскольку слово «солитрон» оказалось товарным
знаком некой фирмы. Так немногим более сорока лет назад в науке
появилось красивое и загадочное слово «солитон». Ниже историю
возникновения теории солитонов рассмотрим более подробно.
Итак, солитон – это объект, возникающий в нелинейных
средах, сохраняющий свою форму при движении и при
взаимодействии с себе подобными. Процитируем по этому поводу
одного из ведущих современных специалистов по математической
теории солитонов Алана Ньюэлла:
Солитон представляет собой уединенный бегущий волновой
импульс нелинейного дифференциального уравнения в частных
производных с выраженными свойствами устойчивости и
поведением, подобным частице.
14
1.3. Солитоны в природе и технике
Солитон типа «цунами» – далеко не единственный природный
солитон. Так, на глубокой воде (глубина больше длины волны)
простая периодическая волна становится неустойчивой и
распадается на группы волн. Группа состоит из нескольких горбов
и впадин (волн), амплитуда которых убывает от центра к
периферии, причем огибающая этой группы имеет форму
уединенной волны Рассела. Такое образование тоже является
солитоном! Под огибающей располагается обычно от 14 до 20 волн,
причем средняя, имеющая порядковый номер от 7 до 14, самая
высокая. Поэтому такому солитону можно дать название «девятый
вал». Этот солитон моряки наблюдали давным-давно, только им
было как-то не до теоретических объяснений, а живых свидетелей
оставалось единицы.
Итак, «цунами», «девятый вал», а дальше идут атмосферные
вихри, тайфуны, смерчи, торнадо… Эти явления, конечно, полезно
изучать, чтобы успешно противостоять силам стихии. Однако
солитоны играют в жизни человека и положительную роль.
Например, солитон типа «девятый вал» осуществляет перенос
информации в нервных волокнах. Его успешно применяют в
оптических средствах связи. Здесь главным оказывается свойство
«распространения без изменения формы».
Еще один тип солитона легко получить в уютных домашних
условиях. Возьмите упругую ленту, ширина которой меньше её
длины. Жестко закрепите левый край ленты, затем свободный
правый край поверните на полный оборот и тоже закрепите его
параллельно левому. В центре ленты образуется скрутка. Отведите
ее двумя пальцами от центра ленты к краю и отпустите. Скрутка
начнет быстро перемещаться обратно к центру. Вы наблюдаете
движение солитона! Этот тип солитонов так и назовем – «скрутка»
(kink). Если ленту повернуть на два оборота, развести два
закрученных места в стороны и отпустить, то можно наблюдать
взаимодействие солитонов. По закону кинков (такое слово теперь в
энциклопедии есть) распространяются дислокации в кристаллах и
стенки между доменами в одноосных ферромагнетиках. Отметим,
что солитон типа «скрутка» может находиться в состоянии покоя, в
отличие от солитонов типа «цунами» или «девятый вал».
15
Глава 1
Солитоны возникают в конкретных, физически реализуемых
ситуациях,
математически
описываемых
нелинейными
уравнениями. Отношение между реальными солитонными
явлениями и решениями дифференциальных уравнений такое же,
как между физическим объектом и его математической моделью
вообще. Мы будем называть солитоном и сам объект, и его
математическую модель. Разумеется, в любой реальной системе
всегда происходит диссипация энергии, поэтому физически
солитоны представляют собой слабо затухающие сгустки
магнитной, электромагнитной, звуковой или какой-либо другой
энергии. Множество природных солитонов, конечно, не изоморфно
множеству солитонных уравнений, поскольку одно уравнение
может описывать несколько разных явлений. Тем не менее, число
солитонных уравнений достаточно велико.
Перечислим еще некоторые природные явления и технические
устройства, где встречаются солитоны, не уточняя конкретный вид
последних. Итак, солитоны можно увидеть на водной поверхности
и в атмосферах планет. Существует гипотеза, что знаменитое
красное пятно Юпитера является вихрем, имеющим солитонную
природу. Предполагается, что сгусток электрической энергии,
именуемый шаровой молнией – тоже солитон. Много
разнообразных солитонных явлений наблюдается в плазме. Их
описанию посвящена обширная научная литература.
В длинных молекулярных цепях, например, в молекулах
белков также встречаются солитонные образования, поэтому
солитоны широко распространены в биологических системах.
Солитонную природу имеют механизм передачи энергии в живых
организмах и динамика мышечного сокращения.
Солитоны наблюдаются в квантовых жидкостях: в
сверхпроводниках и сверхтекучих веществах. Частицеподобные
солитоны встречаются в А-фазе и В-фазе жидкого гелия.
Солитоны различных типов существуют и в твердых телах.
Солитонами являются некоторые типы дислокаций в кристаллах. В
сегнетоактивных кристаллах и в магнитоупорядоченных системах
тоже возникают солитоны. Мощное лазерное излучение приводит к
нелинейным эффектам при распространении световых волн,
поэтому в нелинейной оптике также образуются волны-солитоны.
Математические модели некоторых из вышеперечисленных
явлений, т.е. нелинейные уравнения и их солитонные решения
16
приведены в данном пособии. Перечислить математические модели
других известных солитонов предлагается читателю в качестве
упражнения (см. раздел «Задания и упражнения»).
1.4. Основные даты в развитии теории солитонов
Основные этапы становления теории солитонов приведены в
табл. 1.1. Итак, все началось в августе 1834 г. Отметим, что Джон
Рассел не просто наблюдал «прекрасное и необычное явление». Он
тщательным образом в многочисленных экспериментах исследовал
свойства уединенных волн, дал их классификацию, получил
формулу, связывающую скорость распространения волны с
глубиной канала и высотой волны, и опубликовал полученные
результаты (J. Scott Russel. Report on Waves//Rept. Fourteenth
Meeting of the British Association for the Advancement of Science. –
London:John Murray, 1844.-Pp/ 311-390). Между прочим, в одной из
своих работ Рассел даже отметил, что «большие первичные волны
трансляции проходят друг через друга без каких-либо изменений»,
но, по-видимому, не придал этому факту особого значения.
Известные ученые Англии того времени (на континенте
работа Рассела не была сразу замечена) – королевский астроном
Джордж Биделл Эри (1801-1892) и основатель гидродинамики
Джордж Габриель Стокс (1819-1903) подвергли работу Рассела
критике
и
утверждали,
что
существование
волны,
распространяющейся без изменения формы, не подтверждается
теорией волн на мелкой воде.
Научный спор был закончен уже после смерти Дж.Рассела,
когда в 1895 г. голландские ученые Дидерик Иоханнес Кортевег
(1848-1941) и его ученик Густав де Фриз (Vries) получили
уравнение, описывающее уединенную волну (D.J. Korteweg, G. De
Vries. On the change of form of long waves advancing in a rectangular
canal, and on a new type of long stationary waves//Phil.mag.-1895.-39.Pp.442-443). Уравнение Кортевега−де−Фриза называют теперь
КдФ-уравнением.
17
Глава 1
Таблица 1.1
Этапы развития теории солитонов
Годы
Имена
ученых
1834
1844
Рассел Дж.
Рассел Дж.
1849
Стокс Дж.
Эри Дж.
Кортевег Д.
Де Фриз Г.
1895
Ферми Э.
Паст Дж.
Улам С.
Основные результаты
XIX век
Наблюдение уединенной волны
Публикация сведений об основных свойствах
уединенных волн
Опровержение теории Рассела
Вывод волнового нелинейного уравнения,
описывающего «уединенную волну» Рассела
(КдФ-уравнения)
Перерыв в 70 лет
50-е годы XX века
Формулировка проблемы ФПУ, открытие
квазипериодических решений в конечной
цепочке нелинейных маятников
60-е годы XX века
Численный эксперимент по проблеме ФПУ,
сведение проблемы к решению уравнения
КдФ в непрерывном случае, введение понятия
«солитон»
Общее решение уравнения КдФ, соотношение
ГГКМ
1965
Крускал М.
Забуски Н.
1967
Гарднер К.
Грин Дж.
Крускал М.
Миура Р.
Захаров В.Е. Вывод нелинейного уравнения Шредингера
Шабат А.Б. для групп волн с огибающей в плазме
Лакс П.
Использование пар операторов для
нахождения солитонных решений
нелинейных уравнений
Миура Р.
Преобразования Миуры
Хирота Р.
Метод Хироты, τ - функция
1968
1968
18
Таблица 1.1
Окончание
Абловиц М.
Кауп Д.
Ньюэлл А.
Сегур Г.
Установление иерархии для генерирования
уравнений с солитонными решениями
(иерархия АКНС)
70-е годы XX века
Бум солитонной теории, формулировка метода обратной
задачи рассеяния, применение алгебраических,
топологических, теоретико-групповых методов для решения
нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих
различные физические явления
80-е и 90-е годы XX века
Расширение области применения теории солитонов: плазма,
теория гравитации, вихри в атмосферах планет, ударные
волны в твердых телах, нелинейная оптика, молекулы и
молекулярные цепи (белки), магнитоупорядоченные
системы, сегнетоэлектрические системы, квантовые
жидкости, сверхпроводники.
Разработка теории автосолитонов.
Обобщение научных результатов, оформление учебных
пособий для вузов и публикация научно-популярных работ
по проблеме солитонов
К сожалению (или к счастью?), спор был закончен во многих
смыслах. Об уединенной волне забыли на 70 лет и вернулись к её
изучению совсем с другой стороны – через компьютерное
моделирование.
Знаменитый физик-теоретик Энрико Ферми (1901-1954),
руководитель одного из отделов лаборатории в Лос-Аламосе, в
которой велись работы над американским атомным проектом,
одним из первых обратил внимание на перспективы использования
быстродействующих ЭВМ в научных исследованиях. В 1952 г.
вместе с математиками Станиславом Уламом и Джоном Пастой
он задумал выполнить обширные машинные эксперименты по
исследованию нелинейных задач. Первой из них была задача о
19
Глава 1
нахождении механизмов термализации (перехода к тепловому
равновесию) колебаний атомов в кристалле.
Кристалл
был
промоделирован конечной
цепочкой
пружинных маятников. Если взаимодействие между соседними
маятниками в цепочке линейно, то любая возбужденная
собственная колебательная мода будет приводить к гармоническим
колебаниям с заданной частотой, профиль отклонений маятников
от положения равновесия будет периодически повторяться
бесконечно долгое время (интегрируемая система).
Ферми предположил, что при наличии слабого нелинейного
взаимодействия между маятниками в цепочке возбудятся высшие
гармоники, движение постепенно хаотизируется, периодичность
(интегрируемость) исчезнет, что и объяснит процесс термализации.
Не получилось! «Не получилось, как в опытах с эфиром
Майкельсона-Морли» (А.Ньюэлл). В первом эксперименте
учитывалось 32 маятника. После возбуждения низшей (первой)
моды сначала действительно начиналось перекачивание энергии в
высшие гармоники. На определенных шагах моделирования
появлялся профиль колебаний, в котором превалировали 3-я мода,
затем 2-я, потом снова 3-я. Но спустя примерно 56 периодов первой
моды эта мода снова возникала. Движение оказалось
периодическим (точнее – квазипериодическим), хаотизации не
происходило! Этот результат удивил Ферми и других физиков.
Возникла проблема, которую предстояло решить. Ей присвоили
имя проблемы Ферми-Пасты-Улама (ФПУ).
В 1965 г. американские физики М.Крускал и Н.Забуски
приступили к решению проблемы ФПУ. Сначала они просто
повторяли машинные эксперименты, увеличивая количество
маятников. Квазипериодичность не исчезала. Тогда ученые
попытались аналитически исследовать движение объекта, в
который переходит цепочка ФПУ при увеличении количества
маятников и при уменьшении равновесного расстояния между
ними – нелинейной непрерывной струны. Неудивительно, что в
качестве уравнения движения получилось нелинейное волновое
уравнение. Удивительно, что получилось уравнение, которое
впервые было записано 70 лет назад – уравнение Кортевега-деФриза!
Путем численных экспериментов Забуски и Крускал
выяснили, что КдФ-уравнение описывает волны, не изменяющиеся
20
после столкновения друг с другом, которые они и назвали
солитонами. В 1967 г. американским ученым Гарднеру, Грину,
Крускалу и Миуре удалось найти общее решение КдФ-уравнения.
Уравнение стало знаменитым. От этой работы обычно отсчитывают
начало бурного развития науки о солитонах.
Как же решилась проблема ФПУ? Струна Забуски и Крускала
является интегрируемой системой, как и маятник без трения.
Маятник с трением – система неинтегрируемая. Конечная цепочка
ФПУ также не интегрируема. С каждым разом воспроизведение
начальной моды становится всё менее точным и в конце концов
движение хаотизируется. В численном эксперименте нужно было
просто подождать. Однако «ждать» в то время нужно было очень
долго. Как же повезло мировой науке, что возможности
вычислительной техники начала 50-х были ограниченны! А если бы
Ферми, Паста и Улам сразу обнаружили хаотизацию? Может быть,
уравнение КдФ до сих пор бы не вспомнили?
Но в истории человечества и, в-частности, в истории науки все
происходит так, как происходит. Теперь мы имеем развитую
математическую теорию солитонов, составляющую новый раздел
математической физики. К изучению этой теории мы и приступаем.
21
ГЛАВА 2. ПРИМЕРЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ
УРАВНЕНИЙ, ИМЕЮЩИХ СОЛИТОННЫЕ РЕШЕНИЯ
2.1. Уравнение Кортевега-де-Фриза
2.1.1. Волны на мелкой воде c учетом дисперсии
Уравнение Кортевега-де-Фриза получено для волн, имеющих
малую амплитуду и малую дисперсию в канале постоянной
глубины, которая меньше длины волны. Для вывода уравнения,
описывающего динамику поверхности воды в канале, используются
следующие условия и уравнения:
- уравнение неразрывности;
- граничное условие на нормальную скорость на дне канала;
- условие непрерывности нормального напряжения (давления)
на свободной поверхности;
- кинематическое граничное условие на свободной поверхности, состоящее в равенстве нормальной скорости жидкой
частицы на поверхности нормальной скорости самой
поверхности.
Не будем здесь приводить эти условия в явном виде, скажем
только, что они записываются в форме системы сложных
нелинейных дифференциальных уравнений по вертикальной (y) и
горизонтальной (x) координатам и по времени t для поверхности и
потенциала скорости (подробно вывод уравнения КдФ и свойства
солитонных уравнений семейства Кортевега-де-Фриза изложены в
книге А. Ньюэла [4]).
Упомянутые выше уравнения упрощаются после введения
двух малых параметров:
a
μ = << 1,
h
h2
ε = 2 << 1,
l
(2.1)
где a – амплитуда волны, h – глубина канала, l – длина волны.
Первое условие в (2.1) физически означает малость нелинейных
эффектов, связанных с малостью амплитуды колебаний, а второе
условие – малость дисперсии.
22
Если параметр μ считать малым, но конечным, а параметр ε
устремить к нулю: ε → 0 (пренебречь дисперсией), то получатся
так называемые уравнения мелкой воды. Они не имеют солитонных
решений. Именно из этих уравнений исходили Дж.Эри и Дж.Стокс,
когда «опровергали» теорию Дж.Рассела. Чтобы получить
уравнение, объясняющее устойчивость уединенной волны, нужно
считать μ и ε малыми параметрами, имеющими одинаковый
порядок (нелинейность и дисперсия уравновешиваются!). Тогда и
получится уравнение КдФ.
Если форму поверхности для волны, распространяющейся
вдоль оси Х, представить как h + η (x) , то для отклонения η при
вышеназванных
условиях
получается
нелинейное
дифференциальное уравнение
3 g ∂ ⎛2
1 2 1 ∂ 2η ⎞
∂η
⎜ αη + η + σ 2 ⎟⎟ ,
=−
2 h ∂x ⎜⎝ 3
2
3 ∂x ⎠
∂t
(2.2)
h 3 Th
, Т – поверхностное натяжение, ρ – плотность
где σ = −
3 ρg
жидкости, α - некоторая константа.
Вводя безразмерные переменные u, ξ, τ по формулам
η = 8αu , ξ = (
2α
σ
1/ 2
)
2α 3 g 1 / 2
x, τ = (
) t,
σl
из (2.2) получим уравнение для u:
uτ + uξ + 12uu ξ + u ξξξ = 0 .
(2.3)
Здесь нижние индексы означают частные производные по
соответствующей переменной.
2.1.2. Интегрирование КдФ-уравнения
Уравнение (2.3) можно еще упростить путем перехода к
подвижной системе координат и записать в виде, считающемся в
настоящее время каноническим для КдФ-уравнения:
23
Глава 2
qt + 6qq x + q xxx = 0 .
(2.4)
В уравнении (2.4) мы вернулись к обозначениям x, t для
безразмерной новой координаты и безразмерного времени. Второе
слагаемое в (2.4) описывает нелинейные эффекты, третье – отвечает
за дисперсию. Очевидно, что уравнение КдФ описывает широкий
круг явлений, происходящих в малодиспергирующих средах с
малой нелинейностью.
Нас не интересуют все решения уравнения (2.4). Мы должны
исследовать наличие непрерывных решений этого нелинейного
уравнения типа бегущей волны с неизменным профилем вида (1.1),
имеющих
физический
смысл,
т.е.
удовлетворяющих
дополнительным условиям:
q ( x → ∞) → 0 ,
q x ( x → ∞) → 0 .
(2.5.1)
(2.5.2)
Суть этих условий проста: солитон, как физический объект,
обладает энергией, условия (2.5) означают ограниченность
значения его энергии. Математически из условий (2.5) вытекает
интегрируемость функции q. Заметим еще, что решения всех
солитонных уравнений, а не только КдФ-уравнения, находятся при
соблюдении условий (2.5).
Чтобы отметить основные особенности солитонного решения
КдФ-уравнения, запишем его в несколько более общем виде:
qt + qq x + βq xxx = 0 ,
(2.6)
где β - некоторый параметр. Найдем частное решение этого
уравнения, сведя задачу к исследованию поведения нелинейного
маятника на сепаратрисе.
В соответствии с (1.1) введем
переменную
ξ = x − Vt .
Уравнение (2.6) теперь примет вид
24
(2.7)
β q ′′′ + (q − V )q ′ = 0 ,
где штрих означает производную по переменной ξ. Интегрируя это
уравнение один раз и полагая константу интегрирования равной
нулю, получим
β q ′′ +
dW
= 0.
dq
(2.8)
Здесь введен «потенциал»
q3
q2
.
W=
−V
6
2
(2.9)
Рис.2.1. Вид «потенциала» (2.9). Жирная линия
соответствует энергии на сепаратрисе
Уравнение (2.8) можно формально рассматривать как уравнение
движения нелинейного маятника, причем величина β играет роль
массы, ξ – времени, а полная «энергия» E (сохраняющаяся
величина – первый интеграл уравнения (2.8)) имеет вид
25
Глава 2
E=
β q′ 2
2
+W
(2.10)
Нас интересует решение, удовлетворяющее условиям (2.5), в
соответствии с которыми мы должны положить Е = 0, т.е. искать
решение на сепаратрисе Е=Es=0 (рис. 2.1). Используя это условие,
получим решение уравнения (2.10) в виде
q=
12V
ξ
α
(e
+e
−
ξ
α )2
,
α=
4β
.
V
(2.11)
Таким образом, решение имеет вид горба в форме обратного
или
квадрата
квадрата
гиперболического
косинуса
гиперболического секанса. Максимум достигается при ξ = 0 ,
ширина пропорциональна α: чем меньше α, тем острее и у′же
график функции (2.11).
ξ
Рис.2.2. Решение уравнения (2.6) при β=0,25 и V=1
График решения уравнения КдФ (2.6) при β = 0,25 и V = 1 приведен
на рис. 2.2. Следует иметь в виду, что в координатах,
соответствующих уравнению (2.2), масштаб по оси абсцисс должен
26
увеличиться в десятки раз, а по оси ординат соответственно
уменьшиться, поэтому высота реального солитона в сотни раз
меньше его длины. Форма поверхности солитона Рассела
приведена в Приложении (рис. П1).
Возвращаясь к переменным x, t, запишем солитонное
решение уравнения (2.6) в виде
q ( x, t ) =
q max
x − Vt
≡ q max sec h 2 (
);
x
Vt
−
α
ch 2 (
)
α 2V = 4 β ;
α
α 2 q max = 12 β .
(2.12)
(2.13)
Равенства (2.13) описывают условия существования солитона:
произведение «ширины» горба и скорости его распространения
(первое равенство) и произведение ширины горба и его высоты
(второе равенство) являются постоянными величинами. Другими
словами, узкий солитон является более высоким и движется
быстрее, чем низкий и широкий. Отметим, что решение (2.12)
описывает уединенный солитон и не описывает взаимодействий
между солитонами, т.е. из этого выражения не следует свойство
дуальности.
В заключение приведем вид решения канонического
уравнения КдФ (2.4):
q ( x, t ) =
2
2
≡
2
sec
h
( x − 4t ) .
ch 2 ( x − 4t )
(2.14)
2.2. Уравнение синус-Гордона
2.2.1. Краевая дислокация в кристаллах
Еще одним из распространенных нелинейных уравнений,
имеющим солитонные решения вида (1.1), является уравнение
синус-Гордона (син-Гордон, sin-Гордон), или СГ-уравнение. Оно
встречается в нелинейной оптике, в физике конденсированных
сред, в магнетизме, в теории сверхпроводящих джозефсоновских
контактов, в статистической механике. Причина такой
вездесущности состоит в том, что многие динамические системы
27
Глава 2
1 2
∫ qt dx и
2
потенциальной энергии, состоящей из двух частей – упругой
1
2
~ ∫ q x dx и периодической части ~ ∫ (1 − cos q)dx , обусловленной
2
влиянием решетки. В подходящим образом выбранных
координатах СГ-уравнение может быть записано в виде
имеют лагранжиан, состоящий из кинетической энергии
q xx − qtt = m 2 sin q .
(2.15)
Рассмотрим сдвиговую дислокацию в кристаллах. Когда
металлический кристалл непрерывно деформируется силами
сдвига, он отвечает на это скольжением одной плоскости атомов в
кристалле вдоль другой. Ведущий край одной области (назовем ее
условно верхней областью) и участки за ним скользят вдоль другой
(нижней) области, в то время как участки, расположенные еще
дальше назад от этого края, еще не начали скользить. Такое
отставание приводит к деформации кристаллической решетки в
локализованной области кристалла, в данном случае в плоской
области, перпендикулярной направлению сдвига, которая
распространяется по кристаллу. Такой тип дислокаций известен как
краевая дислокация.
uk
Верхний
слой
Нижний
слой
a
Рис.2.3. Модель краевой дислокации
Можно построить очень простую модель этой ситуации, если
считать, что нижняя область остается неподвижной, и ввести
периодический потенциал, в котором атомы верхней области
движутся. На рис.2.3
показаны два слоя, непосредственно
примыкающих к плоскости скольжения. Если шаг решетки в
28
направлении плоскости скольжения обозначить через а, то
возможный вид периодического потенциала, описывающего
воздействие неподвижного нижнего слоя на k-й атом верхнего слоя,
определяется формулой
2πu k ⎞
⎛
V (u k ) = V0 ⎜1 − cos
⎟,
a
⎝
⎠
(2.16)
где через uk обозначается отклонение k-го атома от его положения
равновесия.
Обозначив массу атома как m0, можем записать уравнение
движения для k-го атома в виде
m0 u k = Fk
( сл )
+ Fk
( упр )
,
(2.17)
2πV0
2πu k
∂V
–
sin
=−
∂u k
a
a
(2.18)
где
Fk
( сл )
=−
сила, вызванная взаимодействием между слоями, а
Fk ( упр ) = −
∂ κ
[(uk − uk −1 ) 2 + (uk − uk +1 ) 2 ] =
∂uk 2
(2.19)
= κ (uk +1 − 2uk + uk −1 ) −
сила упругого взаимодействия между атомами в слое; κ – упругая
постоянная.
Введем безразмерную величину q, описывающую смещение
атома от положения равновесия:
q ( x) =
2πu ( x)
.
a
(2.20)
Здесь через x обозначена координата k-го атома. Из (2.17) – (2.20)
получаем следующее уравнение для q:
29
Глава 2
(2π ) 2 V0
q ( x + a ) − 2q ( x ) + q ( x − a )
m 0 aq ( x ) = −
sin q ( x) + κa 3
.
a
a2
(2.21)
Произведем масштабные преобразования координаты x и времени t
по правилам:
X=
x
,
a
T=
κ
m0
(2.22)
t
и перейдем в (2.21) к математическому пределу при a → 0 , в
результате получим уравнение в частных производных
q XX − qTT =
(2π ) 2 V0
κa 2
sin q ,
(2.23)
которое и есть уравнение СГ. Сравнение (2.15) и (2.23) показывает,
что параметр m2 в рассмотренной модели краевых дислокаций
определяется отношением энергии взаимодействия между слоями к
упругой энергии.
Два состояния равновесия системы (2.23) q=0 и q=π отвечают
либо ситуации решеточной упорядоченности, либо сдвигу
полуплоскости на одну позицию. Дислокация движется быстрой
последовательностью «полускачков». В таких дислокациях
накапливается энергия. Покажем, как можно определить энергию,
которой обладают солитонные моды.
Уравнение (2.23) может быть записано в виде гамильтоновых
уравнений поля
δH
,
δp
δH
pT = −
,
δq
qT =
(2.24.1)
(2.24.2)
где плотность гамильтониана H (в единицах κа2) имеет вид
1
q
2
H ( p, q) = ( p 2 + q X + 4m 2 sin 2 ) .
2
2
30
(2.25)
Поскольку из уравнения (2.24.1) и выражения (2.25) следует, что
p = qT , то функция
E q = H (qT ( X , T ); q( X , T ))
(2.26)
имеет смысл плотности энергии.
Если q – решение СГ-уравнения, то энергия этого решения
определяется по формуле
+∞
Ε q = ∫ dX Eq ( X , T ) .
(2.27)
−∞
Чтобы определить энергию по формулам (2.26) – (2.27), нужно
знать решение q в явном виде. Найдем некоторые частные решения
СГ-уравнения.
2.2.2. Кинки и бризеры
Найдем решение уравнения (2.15) в виде бегущей волны с
неизменным профилем
q ( x, t ) = q (ax − bt + c) ,
(2.28)
удовлетворяющее условиям (2.5); a, b, c – константы.
С помощью новой переменной
ξ = ax − bt + c
уравнение
может
быть
сведено
к
дифференциальному уравнению второго порядка:
(a 2 − b 2 )q ′′ = m 2 sin q ,
(2.29)
обыкновенному
(2.30)
где q = q (ξ ) , а штрих означает полную производную по ξ .
Умножим уравнение (2.30) на q ′ и проинтегрируем по ξ . В
результате получим
31
Глава 2
a2 − b2
(q ′) 2 = −m 2 cos q + c1 .
2
Из условий (2.5) следует, что c1 = m 2 , поэтому для q получаем
дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
dq ⎛ 2m ⎞
q
=⎜
⎟γ sin ,
2
dξ ⎝ a ⎠
1
b2
2
γ =±
, v = 2.
(2.31)
2
a
1− v
Интегрируя, получаем солитонное решение СГ-уравнения:
c
.
mγa
(2.32)
Решение (2.32) при γ > 0 является функцией, изменяющейся
от 0 (при x → −∞ ) до 2π ( x → +∞ ). Область наиболее быстрого
изменения функции представляет собой интервал с центром в точке
x = ϕ (t ) (в этой точке имеется перегиб – kink), которая
перемещается со скоростью v. Длина этого интервала определяется
величиной (mγ ) −1 . Очевидно, что мы нашли солитонное решение
типа «скрутки».
Решение (2.32) носит название кинк. Вид кинка приведен в
приложении на рис. П2. Это решение представляет собой
локализованное возмущение, которое имеет «положение»,
движущееся со скоростью v и ширину (mγ ) −1 . В релятивистской
теории поля это точный аналог движения релятивистской частицы
с массой покоя равной m.
Решение при γ < 0 , движущееся «навстречу» кинку,
называется антикинком.
Энергия кинка, определяемая по формулам (2.24)-(2.27) при m
= 1, имеет значение
q = 4arctg exp[mγ ( x − ϕ (t ))] , ϕ (t ) = vt − ϕ 0 , ϕ 0 =
Ε q = 8γ .
(2.33)
Результат (2.33) означает, что даже для получения статичного
кинка потребуется минимальная энергия по крайней мере в 8
32
единиц. Поэтому для возбуждения кинковых мод в систему должна
быть подана энергия. В связи с этим обстоятельством физически
важным оказывается другое решение, называемое бризером (от
английского “breathe” – дышать). Это решение задается формулой
q Bv = 4arctg{(1 − ω 2 )1 / 2 ω −1 sin[ωγ (t − vx)] ×
sec h[γ (1 − ω )
2 1/ 2
( x − vt )]}
.
(2.34)
В этом решении энергия покоя имеет вид
Ε qB 0 = 16(1 − ω 2 )1 / 2
(2.35)
и меняется от 16, массы покоя двух солитонов, до нуля, когда ω
стремится к единице. Следовательно, даже малого количества
энергии может оказаться достаточно для возбуждения бризерных
мод. Вид бризера приведен в приложении на рис. П3.
2.3. Нелинейное уравнение Шредингера
2.3.1. Распространение интенсивного лазерного луча в
диэлектрике
Вывод третьего уравнения в дружной и, как мы уже поняли,
многочисленной семье солитонных уравнений продемонстрируем
на примере исследования особенностей распространения лазерного
луча большой мощности в изотропном диэлектрике. Если
напряженность электрического поля E достаточно мала, то
индукция D в диэлектрической среде линейно связана с
напряженностью:
D = α1E ,
где α1 – обычная (линейная) проницаемость вещества. Увеличение
напряженности поля приводит к нелинейным эффектам, таким как
генерация в среде колебаний с новыми частотами, кратными
частоте первичной монохроматической волны, и самофокусировка
лучей (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных
33
Глава 2
сред. – М.: Наука, 1982. Глава XIII «Нелинейная оптика»).
Рассмотрим последний эффект.
Будем анализировать явления, связанные с нелинейным
изменением поля на частоте первичной волны. Квадратичного по
полю слагаемого в разложении индукции по степеням
напряженности поля в этом случае не будет, поскольку оно даст
либо удвоенную, либо нулевую частоту. Эффекты возникают от
кубической нелинейности. В случае линейно поляризованной
волны выражение для индукции может быть записано в виде
2
D = D (1) + D (3) ≡ α1E + α 3 E E .
(2.36)
Здесь α 3 – малая нелинейная проницаемость.
Выражение (2.36) должно быть подставлено в уравнения
Максвелла с исключенным магнитным полем:
rot rotE +
1 ∂2D
2
c ∂t
2
= 0,
divD = 0 .
(2.37)
Отметим, что нелинейная система уравнений (2.36) – (2.37)
допускает решения для Е типа exp(i (k r − ωt )) благодаря наличию
квадрата модуля вектора напряженности в (2.36). Таким образом,
при малой нелинейности решение для волны, распространяющейся
вдоль оси z, можно искать в виде
E = E0 (r , t )ei ( k 0 z −ωt ) ,
(2.38)
где k0 – волновой вектор вдоль направления распространения,
( k02
ω02
α1), а E0 (r , t ) является меделенно изменяющейся
c2
функцией своих аргументов (огибающая). «Медленность» означает
малость изменения функции на расстояниях порядка ~ 1 / k0 и на
интервалах времени ~ 1 / ω .
При
сделанных
предположениях
производные
по
пространственным координатам и по времени, входящие в (2.37),
могут быть приближенно представлены в виде
34
=
rot rotE ≈ −ΔE ≈ [k02 E0 − 2ik0
1 ∂ 2 D (1)
c2
∂t 2
≈ −(k02 E0 + 2i
∂E0
− Δ ⊥ E0 ]ei ( k 0 z −ωt ) ;
∂z
k0 ∂E0 i ( k 0 z −ωt )
)e
;
u ∂t
(2.39)
2
1 ∂ 2 D ( 3)
i ( k 0 z −ωt )
.
≈
−
2
ε
E
E
e
0
c 2 ∂t 2
В выражениях (2.39) введены групповая скорость u и малый
параметр ε :
k02
ε=
α3 .
2α1
1 dk 0
=
,
u dω
(2.40)
Значок Δ ⊥ – часть оператора Лапласа: Δ ⊥ = ∂ 2 / ∂x 2 + ∂ 2 / ∂y 2 .
Подстановка (2.39) в (2.36) и (2.37) и переход в систему
отсчета, движущуюся с групповой скоростью u , с помощью
введения переменной
ξ = z − ut
(2.41)
дают замкнутое уравнение для огибающей
ik0
2
∂
1
E0 + Δ ⊥ E0 + ε E E0 = 0 .
∂ξ
2
(2.42)
Уравнение (2.42) называют нелинейным уравнением
Шредингера (НУШ). Его каноническая форма для комплексной
функции q, зависящей от одной пространственной переменной x и
времени t , имеет вид
2
iqt + q xx + β q q = 0 .
(2.43)
35
Глава 2
Свое название уравнение (2.43) получило из-за схожести с
уравнением Шредингера в квантовой механике с потенциалом
2
β q , хотя функция q вовсе не всегда является волновой функцией.
В уравнении (2.42) величина E0 зависит от двух пространственных
координат: х и у, а переменная ξ играет роль времени (так
называемое солитонное уравнение 2+1).
Решение уравнения (2.43) вида (1.1), удовлетворяющее
условиям (2.5) (солитон), запишется так:
q=a
⎧ ⎡1
⎛1
⎞ ⎤⎫
exp⎨i ⎢ bx − ⎜ b 2 − a 2 ⎟t ⎥ ⎬ sec h[a ( x − bt )] ,
β
⎝4
⎠ ⎦⎭
⎩ ⎣2
2
(2.44)
где a и b – произвольные константы. Осциллирующая часть
решения (2.44) имеет огибающую в форме гиперболического
секанса; огибающая перемещается в пространстве с постоянной
скоростью. Судя по описанию, мы получили солитон типа
«девятый вал». Действительно, уравнение (2.43) описывает, кроме
явлений в нелинейной оптике, волны на глубокой воде, оно также
встречается в теории плазмы.
2.3.2. Решение НУШ. Самофокусировка и самоканалирование
Чтобы понять физическую суть явлений, происходящих со
световым пучком в нелинейной среде, рассмотрим решение
уравнения (2.44) более подробно для случая линейно
поляризованной волны, распространяющейся вдоль оси z. Ось у
выберем вдоль направления поляризации и предположим, что
амплитуда поля зависит только от поперечной координаты х. В
этих условиях вектор E0 примет вид
E0 = {0, F ( x, z ), 0} ,
(2.45)
где
F ( x, z ) = Q( x)eik1 z ,
36
Q * ( x) = Q( x) ,
k1
= γ << 1.
k0
(2.46)
Подставив (2.46) в (2.42), получим уравнение для функции
Q( x) :
1
− k0 k1Q + εQ 3 + Q′′ = 0 .
(2.47)
2
Введем обозначения:
α3 = s
α1
e02
, s = ±1 ;
Q = e0 q ;
~
x
x= .
k0
(2.48)
Здесь e0 – величина, имеющая размерность напряженности
электрического поля, параметр s описывает свойства среды: при
s = +1 среда называется фокусирующей, при s = −1 –
дефокусирующей. Смысл этих названий состоит в том, что при
s = +1 полная диэлектрическая проницаемость среды, зависящая от
амплитуды поля, уменьшается с уменьшением амплитуды поля в
одном с ней направлении в соответствии с (2.36). Если амплитуда
поля убывает от центра пучка к его периферии, то среда ведет себя
как фокусирующая линза (явление самофокусировки). При s = −1
все происходит наоборот.
В обозначениях (2.48) уравнение (2.47) приобретет вид
q′′ − 2γq + sq 3 = 0 .
Уравнение (2.49) можно записать в виде q′′ +
(2.49)
dW
= 0 , аналогичном
dq
(2.9), с потенциалом
1
W = sq 4 − γq 2 .
2
(2.50)
Вид функции (2.50) для фокусирующей среды изображен на
рис.2.4. Для дефокусирующей среды график W (q ) будет иметь вид
перевернутой параболы с вершиной при q=0.
37
Глава 2
Рис.2.4. Вид потенциала W при s=1, γ=0,1. Жирная
линия соответствует энергии на сепаратрисе
Солитонное
решение
снова
находится
путем
интегрирования выражения для полной энергии нелинейного
q′ 2
маятника на сепаратрисе:
+ W = 0 . Для потенциала (2.50)
2
находим решение
q( ~
x) =
2 γ
.
ch( 2γ ~
x)
(2.51)
Опять обратный косинус гиперболический! Ширина солитона δ (в
размерных единицах) составляет
δ~
1
1
=
.
2γ k0
2k0 k1
(2.52)
Для дефокусирующей среды солитонного решения не существует.
Физически решение (2.51) означает, что свет в нелинейной
среде распространяется в виде стационарного нерасширяющегося
38
пучка шириной δ , т.е. внутри канала, сформированного самим
пучком
(самоканалирование).
Явление
самофокусировки
(бесконечное сжатие пучка из-за нелинейности фокусирующей
среды) точно компенсируются дифракцией (расхождение пучка в
линейной среде).
Отметим, что решения (2.49) и (2.51) не совпадают,
поскольку они описывают разные ситуации. Решение (2.49)
описывает солитон «1+1» и имеет огибающую вдоль
распространения волны. Решение (2.51) получено в результате
исследования солитона «2+1», огибающая располагается поперек
распространения волны.
39
ГЛАВА 3. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СОЛИТОННЫХ
УРАВНЕНИЙ
3.1.. Подстановка Коула-Хопфа для уравнения Бюргерса
3.1.1. Вязкое движение несжимаемой жидкости. Ударная волна
В первой главе мы ввели понятие солитона как волны,
двигающейся без изменения формы в нелинейной среде. В главе 2 с
помощью простого интегрирования были найдены решения
некоторых нелинейных волновых уравнений вида q ( x − ut ) . Эти
решения описывают отдельные (одиночные) солитоны и могут
быть названы односолитонными решениями. Однако найденные
решения не описывают взаимодействие солитонов, которое
впервые было обнаружено в численных экспериментах. Сумма
двух односолитонных решений не приведет к наблюдаемому
явлению дуальности, более того, такая сумма не является решением
уравнения в силу его нелинейности!
Еще Дж.Рассел заметил, что достаточно «большая» волна
распадается на две или более уединенные волны. С точки зрения
нашего определения ни большая волна, ни объект, возникающий
при взаимодействии солитонов, не являются солитонами,
поскольку их форма изменяется с течением времени. Однако эти
сложные образования должны описываться нелинейными
уравнениями. Соответствующие решения можно было бы назвать
общими решениями, но только условно, поскольку математически
они
представляют
собой
все-таки
частные
решения,
удовлетворяющие условиям (2.5). Решения, описывающие
эволюцию N солитонов, обычно называют N-солитонными
решениями.
Для аналитического нахождения N-солитонных решений
разработано много методов. Некоторые методы могут
использоваться для решения только определенного класса
уравнений или даже только одного уравнения, а некоторые
применимы для всех солитонных уравнений. Интегрирование
можно проводить в исходных временны′х и пространственных
координатах, а можно переходить к обратным координатам и затем
восстанавливать решение. Вспомним, что для обыкновенных
40
линейных дифференциальных уравнений, например, выполняют
преобразование Лапласа, решают алгебраическую задачу в
частотной области, а решение, зависящее от времени, находят
путем обратного преобразования Лапласа. Мы рассмотрим общий
метод
прямого
интегрирования
солитонных
уравнений,
основанный на преобразованиях Бэклунда, и метод обратной
задачи рассеяния.
Начнем с конкретного примера. Рассмотрим волну,
распространяющуюся вдоль координаты x со скоростью v( x, t ) .
Свободное движение несжимаемой среды описывается уравнением
∂v
∂v
+ v = 0.
∂t
∂x
(3.1)
Это уравнение имеет решение в виде бегущей волны
v( x, t ) = F ( x − vt ) ,
F ( x) = v( x,0) ,
(3.2)
где функция F определяется начальным профилем волны. Однако
вследствие
эффектов
нелинейности
начальный
профиль
искажается: передний фронт волны становится круче, а задний
положе, и спустя конечное время
tc =
1
dv( x,0)
max
dx
(3.3)
передний фронт становится перепендикулярным направлению
∂F
обращается в бесконечность),
распространения (производная
∂x
после чего происходит обрушение волны (рис.1.1).
Если учесть трение (вязкость среды), то в уравнение (3.1)
нужно добавить диссипативный член. Уравнение движения примет
вид
∂v
∂v
+ v = βv xx ,
∂t
∂x
(3.4)
41
Глава 3
где β – коэффициент вязкости. Уравнение (3.4) называется
уравнением Бюргерса. Отметим, что при нарастании крутизны
переднего фронта волны вследствие нелинейности увеличиваются
производные скорости по координате, в результате чего даже при
малых значениях вязкости член βv xx в правой части (3.4) станет
большим и диссипация может уравновесить тенденцию волны к
опрокидыванию. Возникнет стационарное решение (конечно,
солитон).
Прежде чем искать общее решение, удовлетворяющее
условиям (2.5), проверим предположенную нами возможность
возникновения устойчивого решения, имеющего вид (1.1).
Подставив выражение v = v( x − ut ) в уравнение (3.4) и вводя
переменную ξ = x − ut , запишем его в виде
(v − u )v′ = β v′′ .
(3.5)
Штрихом обозначена производная по ξ . Интегрирование (3.5) по ξ
дает
v2
− uv = βv′ + C .
2
(3.6)
Чтобы однозначно определить константы С и u, рассмотрим
следующие граничные условия:
v ξ → −∞ = v2 ,
v ξ → +∞ = v1 ,
v1 < v2 .
(3.7)
v′ ξ → ±∞ = 0 .
Подстановка (3.7) в (3.6) дает следующие значения констант:
u=
v 2 + v1
2
,
C=−
v 2 v1
2
.
Интегрирование (3.6) с учетом (3.8) дает окончательный
результат
42
(3.8)
v = v1 +
Δv
,
⎛ Δv ⎞
ξ⎟
1 + exp⎜
⎝ 2β ⎠
Δv = v 2 − v 1 .
(3.9)
Мы получили, что профиль скорости изменяется в пределах
характерного интервала
Δx =
2β
,.
Δv
(3.10)
который тем у′же, чем меньше коэффициент вязкости. Область
изменения двигается со скоростью, равной среднему значению
высокой и низкой скоростей. Такой тип движения называется
ударной волной.
v, v′
δ
v
v′
ξ
Рис. 3.1. Профиль скорости v в ударной волне
и его производная.
Отметим, что условия (3.7) не совсем солитонные, и поэтому
ударная волна не солитон, для её поддержания, вообще говоря,
требуется бесконечный источник энергии. Однако если найти
производную от скорости (ускорение), то для них условия (3.7)
43
Глава 3
дадут условия, аналогичные (2.5). При дифференцировании (3.9)
получаем
v′ = −
Δv
1
δ ⎛
ξ
⎜ e 2δ
ξ
−
+ e 2δ
2
.
(3.11)
⎞
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
Скорость по ходу движения уменьшается, поэтому ускорение
отрицательно. Модуль ускорения имеет вид квадрата обратного
косинуса гиперболического. Солитон, мы нашли тебя!
Таким образом, уравнение (3.4) имеет стационарное решение,
существование
которого
обусловлено
уравновешиванием
нелинейных процессов вязкостью среды. Графики решений (3.9),
(3.11) приведены на рис. 3.1.
3.1.2. Общее решение уравнения Бюргерса
Найдем теперь решение уравнения Бюргерса общего вида,
удовлетворяющее условиям (2.5). Впервые оно было получено
Хопфом (Hopf E., 1950) и Коулом (Cole J.D., 1951). Сделаем замену
переменных:
v = −2 β
∂
ln w .
∂x
(3.12)
Подстановка (3.12) в (3.4) приводит к тому, что нелинейные
2
⎛ wx ⎞
слагаемые вида β ⎜ ⎟ , появляющиеся в левой и правой частях
⎝ w⎠
уравнения, взаимно сокращаются и для w получается линейное
уравнение диффузии (или теплопроводности):
wt = νwxx ,
(3.13)
Примем начальное условие при t=0:
v( x,0) = v0 ( x) .
44
(3.14)
Согласно (3.12) условие (3.14) означает для переменной w
следующее:
⎫
⎧ 1 x
′
′
w( x,0) = w0 ( x) = exp⎨−
v
(
x
)
d
x
⎬.
∫ 0
β
2
⎭
⎩
0
(3.15)
Мы будем также предполагать, что начальный профиль v 0 ( x)
удовлетворяет условиям (2.5), которые перепишем в интегральной
форме
∞
∫ dxv 0 ( x) = I < ∞ .
(3.16)
−∞
Теперь легко записать общее решение уравнения Бюргерса, так как
известно общее решение уравнения теплопроводности:
⎡ ( x − y)2 ⎤
1 ∞
w( x, t ) =
⎥.
∫ dyw0 ( y ) exp ⎢−
4βt ⎦
4πνt − ∞
⎣
(3.17)
y
1
2
Обозначим ψ ( x, t ; y ) = ( x − y ) + ∫ v0 ( x ′)dx ′ . Отсюда после
2t
0
подстановки (3.17) и (3.15) в (3.12) получаем окончательно
∞
x− y
⎡ 1
⎤
exp ⎢− ψ ( x, t ; y )⎥
t
⎣ 2β
⎦ .
v ( x, t ) = − ∞ ∞
⎤
⎡ 1
∫ dy exp ⎢− ψ ( x, t ; y )⎥
⎦
⎣ 2β
−∞
∫ dy
(3.18)
Выражение (3.18) позволяет получать произвольные решения
уравнения Бюргерса, соответствующие различным начальным
профилям волн, их взаимодействию и т.д., чего мы, собственно, и
добивались.
Подстановка Коула-Хопфа является специфической и
приводит к желаемому результату только для уравнения Бюргерса.
Однако идея сведения решения нелинейного уравнения к решению
45
Глава 3
некоего линейного уравнения получила дальнейшее развитие в
теории солитонов.
3.2. Преобразования Бэклунда
3.2.1. Преобразования Бэклунда в геометрии и в теории
дифференциальных уравнений
Один из общих прямых методов нахождения N-солитонных
решений основан на использовании преобразований Бэклунда. Эти
преобразования были найдены шведским математиком Бэклундом
( A.Backlund ) в 1880 г. Чтобы понять их геометрический смысл,
совершим небольшой экскурс в теорию поверхностей в 3-мерном
евклидовом пространстве.
В 1878 г. известный русский математик Пафнутий Львович
Чебышёв (1821-1894) в работе «О кройке одежды» исследовал
специальные сети линий на поверхностях. Эти сети, называемые
теперь чебышёвскими, строятся так, что в каждом сетевом
четырехугольнике противоположные стороны равны. Пример: нити
куска ткани, натянутой на поверхность, образуют на ней
чебышёвскую сеть. Если линии чебышёвской сети выбрать в
качестве координатных линий u и v, то, оказывается, угол между
ними (сетевой угол ϕ (u , v) ) удовлетворяет уравнению
ϕuv = − K sin ϕ ,
(3.19)
где К – кривизна поверхности.
Заметим, что если в СГ-уравнении (2.15) сделать замену
переменных
1
2
1
2
ξ = ( x + t ), η = ( x − t ),
(3.20)
то оно примет вид
qξη = m 2 sin q .
46
(3.21)
Связь СГ-уравнения (3.21) с геометрией поверхностей
отрицательной кривизны ( K < 0 ) очевидна. Но именно поверхности
отрицательной кривизны и исследовал Бэклунд! Фактически он
первым нашел N-солитонные решения СГ-уравнения (за 85 лет до
появления в науке понятия солитон).
Пусть задана поверхность φ1 постоянной отрицательной
кривизны − 1 / a 2 , определяемая радиус-вектором r = r1 . Сопоставим
ей другую поверхность φ2 , имеющую ту же кривизну и заданную
радиус-вектором r = r2 , так, что каждой точке M ∈ φ1 соответствует
точка M ′ ∈ φ2 , удовлетворяющая определенным условиям. Эти
условия выражаются преобразованиями
r2 = r1 + ω sin σ ( p cos ϕ + q sin ϕ )
(3.22)
где p, q – единичные касательные векторы к линиям кривизны на
поверхности, а σ , ω – некоторые параметры. Преобразования
определены только для поверхностей отрицательной кривизны.
Выражение (3.22) определяет геометрический смысл
преобразований Бэклунда. Зная уравнение исходной поверхности
r = r1 , с помощью (3.22) определяем поверхность r2 . Подставив r2
на место r1 в (3.22), найдем r3 и т.д. Таким образом, Бэклунд
построил иерархию поверхностей, которая образуется из некоторой
начальной формы.
Уравнение
поверхности
может
быть
задано
в
дифференциальной форме, поэтому преобразования Бэклунда
одновременно являются преобразованиями дифференциальных
уравнений. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго
порядка для функции u = u ( x, y ) вида
f1u xx + f 2 u xy + f 3u yy + f 4 = 0 ,
f k = f k ( x, y, u , u x , u y ), k = 1,2,3,4.
(3.23)
Идея преобразования Бэклунда заключается в том, что одно
решение u n−1 уравнения (3.23) преобразуется в другое решение u n
без изменения формы самого уравнения. Иначе говоря, исходная
функция u n−1 и преобразованная функция u n удовлетворяют
47
Глава 3
одному и тому же дифференциальному уравнению в частных
производных. Такая трансформация осуществляется с помощью
дифференциальных уравнений первого порядка, решить которые
легче, чем проинтегрировать само уравнение.
Связь уравнений для функций u n−1 и u n задается двумя
дифференциальными уравнениями первого порядка:
∂u n
∂u
∂u ⎞
⎛
= F1 ⎜⎜ u n , u n −1 , n −1 , n −1 ⎟⎟ ,
∂x
∂x
∂y ⎠
⎝
∂u n
∂u
∂u ⎞
⎛
= F2 ⎜⎜ u n , u n −1 , n −1 , n −1 ⎟⎟ ,
∂y
∂x
∂y ⎠
⎝
(3.24)
где функции F1 и F2 удовлетворяют условию
∂F2 ∂F1
.
=
∂x
∂y
(3.25)
Явный вид этих функций определяется уравнением (3.23).
Уравнения (3.24) и представляют собой преобразования Бэклунда.
Смысл этих преобразований состоит в том, что, зная какое-то одно
решение исходного уравнения (например, тривиальное) и
подставляя его в систему (3.24), после её интегрирования найдем
второе решение. Повторив для второго решения ту же процедуру,
найдем третье и т.д. Получаем иерархию решений нелинейного
дифференциального
уравнения,
аналогичную
иерархии
поверхностей.
Построение
преобразований
Бэклунда
(3.24)
для
произвольных дифференциальных уравнений и, в частности, для
СГ-уравнения можно найти в работе: Санюк В.И., Хорунжая Л.В.
Псевдосферические поверхности и уравнение синус-Гордона //
Вестник РУДН. Сер. Физика, № 12. 2004. С. 27-40.
Рассмотрим конкретные примеры применения этих
преобразований.
48
3.2.2. Преобразования Бэклунда СГ-уравнения
Рассмотрим два решения СГ-уравнения (3.21) при m=1:
∂qn−1
= sin qn−1 ,
∂ξ∂η
∂qn
= sin qn .
∂ξ∂η
(3.26)
Пусть решения qn−1 и qn связаны соотношениями (3.24), найдем
явный вид функций F1 и F2 . Поскольку в уравнениях (3.26)
присутствуют только смешанные производные, а f1 = f 3 = 0 , то F1
∂qn −1
∂qn −1
не зависит от
а F2 – от
, т.е. можно рассматривать
∂η
∂ξ
преобразования вида
∂q ⎞ ∂qn
∂q ⎞
∂qn
⎛
⎛
= F1 ⎜ qn , qn −1 , n −1 ⎟ ,
= F2 ⎜ qn , qn −1 , n −1 ⎟ .
∂ξ ⎠ ∂η
∂η ⎠
∂ξ
⎝
⎝
(3.27)
Дальнейший анализ условий (3.25) и сравнение вида
уравнений (3.26) с общим выражением (3.23) показывают, что F1 и
F2 должны иметь линейную зависимость от производных:
∂qn −1
+ g1 (qn + qn −1 ) ,
∂ξ
∂q
F2 = a2 n −1 + g 2 (qn − qn −1 ) ,
∂η
где a1 ≠ a2 , а функции g1 и g 2 удовлетворяют условию
F1 = a1
∂ 2 g1
∂ 2 g2
− g1
= 0.
g2
∂qn2
∂qn2
(3.28)
(3.29)
Если ввести переменные
u = qn + qn −1 ,
v = qn − qn −1 ,
(3.30)
то уравнение (3.29) примет вид
49
Глава 3
1 d 2 g1 1 d 2 g 2
=
= −k 2 ,
2
2
g1 du
g 2 dv
(3.31)
где k – константа разделения переменных. Решением уравнения
(3.31) являются гармонические функции
g1 = b1 cos ku + c1 sin ku ,
g 2 = b2 cos ku + c2 sin ku .
(3.32)
Выбирая следующие значения констант, появившихся по ходу
решения задачи: a1 = 1, a2 = −1, k = 1 / 2, c1 = 2a, c2 = 2 / a, b1 = b2 = 1,
получим канонический вид преобразований Бэклунда для СГуравнения:
∂qn ∂qn −1
q + qn −1
=
+ 2a sin n
,
∂ξ
∂ξ
2
∂qn
∂q
q − qn −1
2
= − n −1 + sin n
.
∂η
∂η
a
2
(3.33.1)
(3.33.2)
Их можно записать в более симметричной форме:
q + qn −1
∂ ⎛ qn − qn −1 ⎞
,
⎜
⎟ = a sin n
∂ξ ⎝
2
2
⎠
q − qn −1
∂ ⎛ qn + qn −1 ⎞ 1
.
⎜
⎟ = sin n
∂η ⎝
a
2
2
⎠
(3.34.1)
(3.34.2)
3.2.3. Построение решений СГ-уравнения
В качестве исходного решения уравнения (3.21) выберем
тривиальное q0 = 0 . Подстановка этого решения в систему (3.34)
приводит к уравнениям
∂q1
q
= 2a sin 1 ,
∂ξ
2
∂q1 2
q
= sin 1 .
∂η a
2
50
(3.35.1)
(3.35.2)
1
1
Введем новые переменные u = aξ + η , v = aξ − η . Их
a
a
подстановка в систему (3.35) приводит к новым уравнениям:
∂q1 ∂q1
q
+
= 2 sin 1 ,
∂u ∂v
2
∂q1 ∂q1
q
−
= 2 sin 1 ,
∂u ∂v
2
складывая и вычитая которые получаем
∂q1
q
= 2 sin 1 ,
∂u
2
∂q1
= 0.
∂v
(3.36)
q1
= e (u − c ) , где с –
4
некоторая константа. В переменных x, t с учетом определений
(3.20) отсюда получим
Интегрирование уравнений (3.36) дает tg
q1 = 4arctg exp[γ ( x − vt − x0 )] ,
(3.37)
v = (1 / a − a ) /(1 / a + a ), γ = (1 / a + a) / 2 = 1 / 1 − v 2 .
(3.38)
где
Очевидно, что получили решение СГ-уравнения в виде кинка
(2.32), свойства которого были рассмотрены в п. 2.2. Формулы
(3.38) показывают, что константа а, являющаяся параметром в
преобразованиях Бэклунда (3.34), имеет конкретный физический
смысл: она определяет скорость движения кинка и, соответственно,
его ширину. При a > 0 решение имеет форму кинка, при a < 0 –
антикинка.
Подставляя однокинковое решение (3.37) в (3.34), получим 2кинковое решение q2 , и т.д. Замечательно, что интегрирование
можно свести к алгебраическим операциям. Дело в том, что
преобразования Бэклунда коммутативны относительно выбора
констант а, т.е. выполняются условия
51
Глава 3
a1
qn −1 → qn(1)
a2
→ qn +1 ,
(3.39)
a2
qn −1 → qn( 2)
a1
→ qn +1 .
Условия
(3.39)
представляют
собой
четыре
системы
дифференциальных уравнений (3.34). Анализ этих систем
показывает, что решения qn −1, qn(1) , qn( 2) , qn +1 и константы a1 , a2
связаны равенством
( 2)
(1)
⎛ qn +1 − qn −1 ⎞ a2 + a1 ⎛⎜ qn − qn ⎞⎟
tg ⎜
tg
⎟=
⎟.
4
4
⎠ a2 − a1 ⎜⎝
⎝
⎠
(3.40)
Равенство (3.40) называется теоремой перестановочности
Бианки, или тождеством Бианки. Найдем 2-солитонное решение с
помощью этого тождества. Выбирая при n=1 q0 = 0 , а
⎛
⎞
1
q1(k ) = 4arctg exp⎜⎜ akξ + η − ck ⎟⎟
ak
⎝
⎠
( k = 1,2 ),
из (3.40) сразу получаем
⎛q ⎞ a +a
tg ⎜ 2 ⎟ = 2 1 ×
⎝ 4 ⎠ a2 − a1
⎛
⎛
⎞
⎛
⎞⎞
1
1
× tg ⎜⎜ arctg exp⎜⎜ a2ξ + η − c2 ⎟⎟ − arctg exp⎜⎜ a1ξ + η − c1 ⎟⎟ ⎟⎟
a2
a1
⎝
⎠
⎝
⎠⎠
⎝
(3.41)
Выражение в правой части (3.41) можно преобразовать с помощью
tgα − tgβ
тригонометрической формулы tg (α − β ) =
. После этого,
1 + tgαtgβ
переходя к переменным x и t, окончательно находим вид
двухсолитонного решения СГ-уравнения:
⎡ a + a ⎛ exp γ 2 ( x − v2t − δ 2 ) − exp γ 1 ( x − v1t − δ1 ) ⎞⎤
⎟⎟⎥ ,
q2 = 4arctg ⎢ 2 1 ⎜⎜
a
a
γ
x
v
t
δ
γ
x
v
t
δ
−
1
−
exp
(
−
−
)
exp
(
−
−
)
2
2
2
1
1
1 ⎠⎦
⎣ 2 1⎝
52
vk = (1 / ak − ak ) /(1 / ak + ak ), γ k = (1 / ak + ak ) / 2, k = 1,2 .
(3.42)
Пусть два солитона двигаются навстречу друг другу с
одинаковыми скоростями, так что v1 = −v2 = v, δ1 = δ 2 = 0 . Как
следует из (3.42), это возможно при выполнении условия
(a1a2 ) 2 = 1. При a1 = 1 / a2 получим формулу, описывающую
столкновение кинка и антикинка:
⎡ 1 ⎛ shγvt ⎞⎤
qka = 4arctg ⎢ ⎜
⎟⎥ .
γ
v
ch
x
⎠⎦
⎣ ⎝
(3.43)
Если выполняется условие a1 = −1 / a2 , то имеем решение,
описывающее столкновение двух кинков:
⎡ ⎛ shγx ⎞⎤
qkk = 4arctg ⎢v⎜
⎟⎥ .
γ
ch
vt
⎠⎦
⎣ ⎝
(3.44)
В случае комплексных констант a1 = α + iβ , a2 = a1* , α 2 + β 2 = 1
получим решение в форме бризера:
q = 4arctg ⎢ α ⎜ sin β t ⎟ ⎥ .
b
⎢⎣ β ⎝ chα x ⎠ ⎥⎦
⎡
⎛
⎞⎤
(3.45)
С помощью соотношения (3.40) можно сгенерировать
последующие многосолитонные решения уравнения син-Гордона.
Метод преобразований Бэклунда применим ко всем солитонным
уравнениям. Однако, как мы увидим ниже, обратные методы
позволяют получать сразу N-солитонные решения, а не
последовательно одно решение за другим, в этом их неоспоримое
преимущество.
53
ГЛАВА 4. МЕТОД ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ
4.1. Эволюционные преобразования и обратная задача для
линейных уравнений
4.1.1. Построение эволюционного уравнения с помощью
преобразования Фурье
Метод обратной задачи рассеяния, который используется для
решения солитонных уравнений, можно рассматривать как
обобщение метода преобразования Фурье на некоторые классы
специальных нелинейных уравнений. Рассмотрим применение
преобразования Фурье для решения линейной задачи Коши:
(∂ ∂t + c ∂ ∂x)q (t , x) = 0;
q(0, x) = q 0 ( x) .
(4.1)
Эта задача имеет точное решение:
q t ( x) = q 0 ( x − ct ) .
(4.2)
Здесь переменная t, от которой зависит функция q, записана в
качестве верхнего индекса. Далее будем часто использовать эту
форму записи, чтобы подчеркнуть, что переменная в скобках
является в некотором смысле «главной»: мы рассматриваем
зависимость от х при фиксированном t, хотя записи
q(t , x), q t ( x), q x (t ) , вообще говоря, равнозначны. Нижний
буквенный
индекс,
как
обычно,
будет
обозначать
соответствующую частную производную.
Покажем, как найти решение (4.2) с помощью метода Фурье.
Необходимым условием применимости метода Фурье является
абсолютная интегрируемость функции q(t,x):
+∞
∫ q(t , x) dx < ∞ ,
(4.3)
−∞
которое мы предполагаем выполненным (условия (2.5)).
Введем прямое преобразование Фурье:
54
+∞
dx
t
=
B
(k ) .
(4.4)
1/ 2
(2π )
−∞
Преобразование (4.4) обратимо. Обратное преобразование Фурье
имеет вид
(ℑq )(k ) = ∫ e −ikx q(t , x)
t
−1
+∞
(ℑ B )( x) = ∫ e ikx B (t , k )
t
−∞
dk
t
=
q
( x) .
1/ 2
(2π )
(4.5)
Подвергнем уравнение (4.1) преобразованию (4.4), для чего
e −ikx
умножим его на
и проинтегрируем по частям. Используя
(2π )1 / 2
условие (4.3), получим
∂
B (t , k ) + ikcB (t , k ) = 0; B (0, k ) = B 0 (k ) ,
∂t
(4.6)
где B 0 (k ) = (ℑq 0 )(k ) .
Уравнение (4.6) может быть легко проинтегрировано. В этом и
состоит суть применения преобразования Фурье. Исходное
уравнение (4.1) определяет эволюцию функции q t ( x) в хэволюционным
пространстве. Уравнение
(4.6)
является
уравнением в обратном пространстве. Эволюционное уравнение
проще исходного, по крайней мере, оно может быть точно
решено.
Способ Фурье, таким образом, мы можем определить как
способ записи эволюционного уравнения с помощью преобразования
Фурье.
Интегрирование уравнения (4.6) дает
B t (k ) = B 0 (k )e −ikct .
(4.7)
Решение для q находится с помощью обратного преобразования
(4.5):
+∞
q ( x) = ∫ e ikx e −ikct B 0 (k )
t
−∞
dk
0
=
q
( x − ct ) .
1/ 2
(2π )
(4.8)
55
Глава 4
Сравнение выражений (4.2) и (4.8) показывает, что мы нашли
точное решение уравнения (4.1).
Выделим в примененном методе решения уравнения основные
этапы. На рис. 4.1 U(t) и V(t) означают операторы эволюции для
уравнения (4.1) и (4.6) соответственно. Мы не можем решить
задачу для оператора U(t), чтобы найти решение qt, поэтому
Преобразование Фурье ℑ
q
0
B0
Этап 1
U(t)
Этап 2
Решение
эволюционного
уравнения
V(t)
Этап 3
qt
Bt
Обратное преобразование
Фурье ℑ
−1
Рис. 4.1. Решение уравнения с помощью
преобразования Фурье
совершаем обходной маневр, выполняя следующие поэтапные
действия:
Этап 1. Подвергаем уравнение (4.1) преобразованию Фурье и
составляем эволюционное уравнение для функции Bt.
Этап 2. Решаем эволюционное уравнение (4.6).
Этап 3. Находим qt с помощью обратного преобразования.
Метод обратной задачи рассеяния, который развит для
нахождения солитонных решений нелинейных уравнений, также
содержит эти три этапа. Однако переход к эволюционному
уравнению (преобразование этапа 1) осуществляется с помощью
составления задачи на собственные значения для линейного
уравнения в асимптотических пределах. Это уравнение на
собственные значения по внешнему виду напоминает уравнение
Шредингера квантовой механики, поэтому обратной задачей,
которую нужно решать после интегрирования эволюционного
уравнения (этап 2), будет задача восстановления потенциала по
56
данным рассеяния. Решение обратной задачи (этап 3) берется
готовым из квантовой механики. Основная проблема метода ОЗР,
таким образом, заключается именно в составлении эволюционного
уравнения.
Прежде чем переходить к изложению общего метода, в
данном разделе проиллюстрируем подход, применяемый для
решения нелинейных уравнений, на примере решения линейного
уравнения, а в следующем разделе рассмотрим основные свойства
уравнения Шредингера, которые будут использоваться в методе
ОЗР.
4.1.2. Построение эволюционного уравнения с помощью задачи
на собственные значения
Рассмотрим снова уравнение (4.1) и построим для него
эволюционное уравнение с помощью задачи на собственные
значения. Затем обобщим этот способ построения для нелинейных
уравнений.
В качестве задачи на собственные значения (СЗ) выберем
уравнение
d2
[− 2 + q(t , x)]Y (t , x, k ) = k 2Y (t , x, k ) .
dx
(4.9)
Уравнение (4.9) не содержит производных по t, переменная t
входит в уравнение параметрически, через функцию q(t,x). При
изменении t, разумеется, будет изменяться спектр оператора k2 и
соответствующие ему собственные функции Yk. Зависимость Yk от t
определяется,
таким
образом,
эволюцией
функции
qt,
подчиняющейся какому-то конкретному уравнению.
Зная уравнение для q, мы можем в принципе определить вид
эволюционного уравнения для Y(t,x,k). Однако эта задача сложна и
не имеет однозначного решения. Обычно поступают наоборот:
выбирают эволюционное уравнение для Y и определяют вид
уравнения для q, привлекая, при необходимости, некоторые
дополнительные согласующие условия.
Продолжим наш иллюстративный пример. Предположим, что
эволюция Y подчиняется уравнению
57
Глава 4
(∂ ∂t + c ∂ ∂x)Y (t , x, k ) = α (k )Y (t , x, k ) .
(4.10)
Из требования непрерывности функции Y
∂2
∂2
Y (t , x, k ) =
Y (t , x, k )
∂x∂t
∂t∂x
(4.11)
и из уравнений (4.9), (4.10) вытекают два требования к функции q
и к параметрической зависимости собственного значения k:
(∂ ∂t + c ∂ ∂x)q (t , x) = 0;
∂ 2
(k ) = 0 .
∂t
(4.12)
(4.13)
Мы видим, что условие (4.11) согласует между собой уравнения
(4.9) и (4.12) при эволюционном уравнении (4.10).
Подчеркнем еще важность условия (4.13), означающего
независимость СЗ задачи (4.9) от параметра t. Это требование
останется и в общем случае, оно позволяет находить решение
уравнения (4.9) только при t=0.
Легко найти решения уравнения (4.9) в асимптотических
пределах |x|→∞. В самом деле, согласно требованию q( x → ∞) → 0
в указанных пределах уравнение (4.9) приобретает вид:
d2
[ 2 + k 2 ]Y (t , x, k ) = 0 .
dx
(4.14)
Общее решение этого уравнения:
Y (t , x, k ) = Ae −ikx + Be + ikx ,
(4.15)
где А и В могут быть функциями от t и k. Запишем асимптотические
решения в следующей нормировке:
Y (t , x, k ) ~
58
⎧ e − ikx ,
⎨
⎩ b t (k )e + ikx + a t (k )e −ikx ,
x → −∞
(4.16)
x → +∞
Подставив решение (4.16) при x→-∞ в (4.10), получим выражение
для α::
α (k ) = −ikc .
(4.17)
Подставив теперь в (4.10) выражение (4.17) и решение (4.16) при
x→+∞, получим уравнение для эволюции асимптотических
коэффициентов at и bt:
∂
b(t , k ) = −2ikcb(t , k ) ,
∂t
∂
a (t , k ) = 0 .
∂t
(4.18.1)
(4.18.2)
Уравнения (4.18), очевидно, играют роль уравнения для Bt в
методе Фурье. Таким образом, получены эволюционные уравнения,
т.е. выполнен этап 1 решения задачи.
Полагая при t=0 a=a0, b=b0, после интегрирования уравнений
(4.18) (этап 2!) получим
b(t , k ) = b 0 (k )e −2ikct ,
a(t , k ) = a 0 (k ) .
(4.19)
Асимптотические решения (4.16) теперь имеют вид
Y (t , x, k ) ~
⎧ e − ikx ,
⎨
⎩ b 0 e + ik ( x − 2ct ) + a 0 e − ikx ,
x → −∞
(4.20)
x → +∞
При t=0 находим асимптоты, соответствующие q(0,x)=q0(x):
⎧ e − ikx ,
x → −∞
Y (0, x, k ) ~
⎨
(4.21)
⎩ b 0 e + ikx + a 0 e − ikx ,
x → +∞
Этап 2 завершен.
Решение обратной задачи (этап 3) тривиально. Очевидно, что
замена x→x-ct в решении (4.21) дает решение (4.20),
нормированное на коэффициент eikct (нормировку можно
59
Глава 4
произвести
вследствие
линейности
уравнения
(4.9)).
Следовательно, решение уравнения (4.12) при t ≠ 0 имеет вид
q t ( x) = q 0 ( x − ct )
в полном соответствии с (4.8).
Отметим, что и в общем случае основное внимание в методе
ОЗР будет сосредоточено на составлении эволюционных уравнений
с помощью задачи на собственные значения, вид обратного
преобразования будет предполагаться известным, полученным в
квантовой теории рассеяния.
Итак, в методе обратной задачи рассеяния будем иметь дело
с тремя уравнениями, роль которых необходимо хорошо
представлять:
1. Нелинейное уравнение, подлежащее решению (в
иллюстративном примере данного пункта выбрано
линейное уравнение (4.12)).
2. Линейное уравнение задачи на собственные значения
(4.9).
3. Эволюционное уравнение для Y, согласующее между
собой уравнение 1 и уравнение 2.
Отметим, что в качестве второго уравнения используется
именно уравнение (4.9), по внешнему виду напоминающее
стационарное уравнение Шредингера в квантовой механике.
Следует только иметь в виду, что параметр t никакого отношения к
реальному времени протекания квантово-механических процессов
не имеет (впрочем, как и само уравнение (4.9) – это только
математический прием).
Тем не менее, чтобы понять суть происходящего, необходимо
рассмотреть основные свойства квантово-механического уравнения
Шредингера, описывающего процессы рассеяния на потенциале.
4.2. Задача рассеяния в квантовой механике
4.2.1. Общие свойства уравнения Шредингера
Одномерное уравнение Шредингера для волновой функции
Ψ= Ψ(t,x) ≡Ψ t(x) имеет вид
60
2
∂Ψ t
∂2
t
i
= HΨ ,
(4.22)
H =−
+ V ( x) ,
∂t
2m ∂x 2
где H - гамильтониан, V(x) - потенциал, являющийся функцией
координаты х .
Для плотности вероятности
ρ t = Ψ t (x)
2
из уравнения
Шредингера
(4.22)
получаем
уравнение
непрерывности
t
∂ρ
+ j t = 0 , где величина jt, имеющая смысл плотности потока
∂t
вероятности, может быть записана в виде вронскиана
*
t
Ψ
*
Ψ
∂Ψ
∂Ψ
*
j =
(Ψ
)=
−Ψ
∂x
2mi
2mi ∂Ψ ∂Ψ
∂x
∂x ∂x
*
Записав функцию Ψ (x) в виде Ψ (t , x) = e
стационарное уравнение Шредингера
t
−
2
∂ 2ψ
2m ∂x 2
.
(4.23)
i
− Et
ψ ( x, E ) , получим
+ V ( x)ψ = Eψ .
(4.24)
Введем величину k и функции Q и Y по правилам:
2
k =
2mE
2
; Q ( x) =
2m
2
V ( x ) ; Y ( x, k ) = ψ ( x,
2 2
k
).
2m
(4.25)
В новых обозначениях уравнение (4.24) примет вид
[−
d2
dx
2
+ Q( x)]Y ( x, k ) = k 2Y ( x, k ) .
(4.26)
Сходство уравнений (4.26) и (4.9) несомненно. Видно также,
что параметр t в уравнении (4.9) не является временем; волновая
функция,
зависящая
от
времени,
должна
описываться
61
Глава 4
нестационарным уравнением (4.22). Поэтому уравнение (4.9)
называется уравнением Шредингера лишь по его математическим
свойствам, оно не описывает реальных физических явлений.
Для свободной частицы, когда V(x)=0, уравнение (4.24)
принимает вид
d 2Y
dx
2
+ k 2Y = 0 .
Его решение является линейной комбинацией функций e±ikx:
Y ( x, k ) = b(k )e +ikx + a (k )e −ikx ,
(k > 0) .
Здесь решение Y~eikx , согласно определению (4.23), описывает
частицу-волну,
распространяющуюся
в
положительном
-ikx
направлении оси Х (“слева направо”), а Y~e – в отрицательном
направлении.
Рассмотрим теперь потенциал, сосредоточенный в некоторой
конечной области пространства:
V ( x) → 0, x → ±∞ .
(4.27)
Задачи с таким потенциалом называются задачами рассеяния.
Пусть частица падает из +∞ на потенциал V(x). Тогда при
x→+∞ решение будет складываться из падающей и отраженной
волны:
x → +∞ : Y ~ e −ikx + R(k )e +ikx ,
(4.28.1)
где R – коэффициент отражения.
При х → -∞
имеем только волну, прошедшую через
потенциал:
x → −∞ : Y ~ T (k )e −ikx ,
Т – коэффициент прохождения.
62
(4.28.2)
Перенормируем решения (4.28) путем деления каждого из них
на T(k). В результате получим
⎧ e −ikx ,
Y ( x, k ) ~ ⎨
x → −∞
(4.29)
⎩ b(k )e +ikx + a(k )e −ikx ,
x → +∞
где a=1/T, b=R/T. Отметим, что функция (4.29) имеет нормировку,
уже отличающуюся от нормировки для волновой функции
реальной квантово-механической частицы.
Из условия сохранения j t (+∞) = j t (−∞) получаем, что
величины a и b связаны соотношением
2
2
a ( k ) − b( k ) = 1 .
(4.30)
4.2.2. Безотражательные потенциалы
Из всех задач рассеяния в методах решения солитонных
уравнений наиболее применимыми оказываются задачи с так
называемыми безотражательными потенциалами. Рассмотрим
потенциал
V ( x) = −
V0
2
ch αx
≡ −V0 sec h 2αx ,
(4.31)
имеющий вид потенциальной ямы c глубиной V0 и с характерной
шириной 1/α. Перейдем в уравнении (4.31) к безразмерным
величинам
2mV0
2 2
= s ( s + 1) ;
α
~
x = αx ;
ψ ( x) = Y ( ~x ) ;
(4.32.1)
k2 =
2mE
α2
2
.
(4.32.2)
В новых переменных уравнение (4.24) с потенциалом (4.31) примет
вид (знак “~ “ опускаем)
63
Глава 4
Y ′′ + [k 2 + s ( s + 1) sec h 2 x]Y = 0 .
(4.33)
Известно точное решение уравнения Шредингера (4.33)
(ЛандауЛ.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. – М.: Наука, 1976.
§23,25). Для дискретного спектра ( E < 0, k = iκ ) собственное
значение κ n выражается формулой
1
2
κ n = [ 1 + 4s( s + 1) − (2n − 1)],
n = 1, 2,..., n < s + 1 .
(4.34)
Видим, что величина s>0 непосредственно определяет число
дискретных уровней энергии. Кроме того, имеется еще одно
чрезвычайно интересное свойство потенциала
Q( x) = − s ( s + 1) sec h 2 x
(4.35)
при целых значениях s для непрерывной области спектра (E>0).
Дело в том, что коэффициент прохождения для уравнения (4.33)
имеет вид:
T ( s, k ) =
sh 2πk
sh 2πk + cos 2 (
π
2
.
1 + 4 s ( s + 1) )
1 + 4 s ( s + 1) ) = 2 s + 1, то cos 2 (
π
1 + 4 s ( s + 1) ) = 0 при
2
любом целом s. Следовательно, коэффициент прохождения в этом
случае равен единице: T(s,k)=1, s = 1,2,3,…, т. е. частица проходит
потенциал (4.35) без отражения. Разумеется, физически это
реализуется при определенных соотношениях между глубиной и
шириной потенциальной ямы (4.31), согласно определению s в
(4.32.1). Такие потенциалы и называются безотражательными.
Поскольку
64
4.2.3. Асимптотические решения. Метод разложения
В дальнейшем нам понадобятся асимптотические решения
уравнения (4.33), имеющие вид (4.29). Найдем их для s=1 методом
разложения.
Запишем уравнение (4.33) в виде
d 2Y
dx
2
+ (2 sec h 2 x + k 2 )Y = 0 .
Введем операторы L+ и L- : L± = thx ∓
свойствами
(4.36)
d
. Эти операторы обладают
dx
L+ L−Y = (k 2 + 1)Y ;
L+ y = Y ,
где Y – решения уравнения (4.36), а y подчиняется уравнению
d2y
dx 2
+ k2 y = 0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
y ( x, k ) = Ae −ikx + Be +ikx .
(4.37)
Действуя на (4.37) оператором L+, найдем
Y = L+ y = A(thx + ik )e −ikx + B(thx − ik )e +ikx .
Поскольку в асимптотических пределах
x → ±∞
thx → ±1 ,
получаем два равенства:
65
Глава 4
x → −∞ : Y = (−1 + ik ) Ae −ikx + (−1 − ik ) Be +ikx ;
(4.38.1)
x → +∞ : Y = (1 + ik ) Ae −ikx + (1 − ik ) Be +ikx .
(4.38.2)
Используя вид функции Y, требуемый выражением (4.29), из
(4.38.1) находим
B = 0,
A=
1
.
ik − 1
(4.39)
Подстановка (4.39) в (4.38.2) позволяет записать выражения для
асимптотических коэффициентов a и b:
ik + 1
;
ik − 1
b( k ) = 0 .
a (k ) =
(4.40.1)
(4.40.2)
Равенство (4.40.2) и означает безотражательность потенциала
Q(x,1).
Потенциал Q(x,s), описываемый выражением (4.35), является
безотражательным при любом s=N, где N=1,2,3,... – целое число.
Решение Y(x,k) в этих случаях может быть записано в виде
N
d ⎞
⎛
Y ( x, k ) = ∏ ⎜ m ⋅ thx − ⎟ y ( x, k ) ,
dx ⎠
m =1 ⎝
так что
N
a(k ) = ∏
m =1
ik + m
,
ik − m
b(k ) = 0.
(4.41)
4.3. Метод обратной задачи рассеяния
4.3.1. Эволюционный оператор
Обобщим метод преобразования с помощью эволюционных
уравнений, изложенный выше (п.4.1.2), на нелинейные уравнения,
имеющие солитонные решения, удовлетворяющие требованиям
(2.5). Введем оператор L и запишем уравнение (4.26) в виде
66
Lt Y t = λt Y t ;
Lt = − D 2 + q(t , x),
(4.42.1)
D=
d
,
dx
(4.42.2)
где собственное значение, зависящее от параметра t, обозначено
как λt.
Для разработки алгоритма составления эволюционного
уравнения для Y американский математик Питер Лакс предложил
(Lax P.D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary
waves.-Comm.Pure Appl.Math.-1968.-21.-P.467-490) использовать
оператор A , играющий роль дополнительного к оператору L ,
который должен автоматически согласовывать между собой
уравнения 1 и 2 (см. п.4.1.2). Разновидность метода ОЗР,
излагаемого ниже, носит название «метод LA-пар Лакса».
Рассмотрим унитарный оператор U , определяющий
зависимость функции Y от параметра t:
U (t ) = e iAt ,
(4.43)
где A - некоторый самосопряженный оператор ( A = A ♣). С
помощью оператора U функция Y при любом значении параметра t
может быть выражена через “начальное” условие Y(0) и обратно:
Y (t ) = U (t )Y (0) ;
Y (0) = U −1 (t )Y (t ) .
(4.44)
Предположим теперь, что собственное значение λt не зависит от
параметра t:
λt = λ0 = λ = const .
(4.45)
Как и ранее, в (4.13), условие (4.45) является одним из
дополнительных согласующих условий. Оно эквивалентно тому,
что результат унитарного преобразования оператора L с помощью
U не зависит от параметра t. Покажем это.
Подействуем на уравнение (4.42.1) слева оператором U -1 и
используем единичный оператор UU −1 :
67
Глава 4
U −1 (t ) LtU (t )U −1 (t )Y t = λU −1 (t )Y t .
(4.46)
Здесь использовано свойство (4.45).
Поскольку при t=0 L (0)Y 0 = λY 0 , то из (4.46) и (4.44) следует, что
U −1 (t ) Lt U (t ) = L (0) .
(4.47)
Итак, если оператор U существует, то он обладает двумя
замечательными свойствами:
• оператор U задает эволюцию функции Y(t) согласно
уравнению (4.44);
• собственные значения уравнения (4.42) при этом не зависят
от параметра t.
Выражение (4.47), как будет показано ниже, определяет уравнение
для функции q(t). Таким образом, оператор U , действительно,
согласует между собой нелинейное уравнение для q и линейное
уравнение для Y
и позволяет свести решение нелинейного
уравнения к решению линейного, что, собственно, и составляет
суть излагаемого метода.
Остается только решить вопрос о выборе оператора U , а если
использовать форму (4.43), то о выборе оператора A .
4.3.2. Основные уравнения метода ОЗР
Дифференцирование по параметру t обеих частей выражения
дает
(4.44), с учетом формулы (4.43) для оператора U ,
эволюционное уравнение
Yt = iAY .
(4.48)
Найдем полную производную по параметру t от левой части
равенства (4.47) и приравняем ее нулю. В результате получим:
∂L
∂U −1
∂U −1
L = 0.
+L
U +U
∂t
∂t
∂t
68
Используя снова представление (4.43) для оператора U и учитывая,
что, согласно определению оператора L в (4.42.2), Lt = qt ,
получаем уравнение для функции q:
qt = i[ A, L ],
[ A, L ] = AL − LA .
(4.49)
Таким образом, задавая оператор A , мы определяем вид
эволюционного уравнения (4.48) и находим уравнение для q (4.49).
Подведем итоги. В методе LA-пар Лакса имеем два оператора:
d2
• Оператор 1: L = − 2 + q(t , x).
dx
• Оператор 2: A – вид определяется исследователем.
С помощью этой пары операторов составляются три уравнения:
• 1. Уравнение, подлежащее решению (4.49): qt = i[ A, L ] .
• 2. Линейное уравнение задачи на собственные значения
(4.42): LY = λY .
• 3. Эволюционное уравнение (4.48): Yt = iAY .
Положим, например, A = icD . Тогда для функции q получим
уравнение
qt = i[icD, L ] = −c[ D, q] = −cq x ,
полностью эквивалентное тривиальному линейному уравнению
(4.22), решение которого подробно рассмотрено ранее в качестве
иллюстративного примера.
Возьмем теперь оператор A в виде
A = i[4 D 3 − 3(qD + Dq )] .
(4.50)
Тогда из (4.49) для функции q получим следующее уравнение:
qt − 6qq x + q xxx = 0 ,
(4.51)
69
Глава 4
т. е. уравнение Кортевега-де-Фриза. Следовательно, выбирая
оператор A в виде (4.50), мы можем решить КдФ-уравнение
методом ОЗР.
Заметим, что уравнение (4.51) отличается от уравнения (2.4)
знаком перед нелинейным слагаемым. Однако это отличие
несущественно: замена q→ -q переводит одно уравнение в другое.
Таким
образом,
оба
уравнения
фактически
решаются
одновременно. Решение уравнения (2.4) получается из решения
уравнения (4.51) простым изменением знака. Физически это
означает, что одно уравнение имеет решение в виде волны
возвышения (сжатия), а другое – в виде волны понижения
(разряжения). С точки зрения математики существенно, что
методом ОЗР мы можем решить именно уравнение (4.51).
Рассмотрим
подробно
ход
этого
решения,
чтобы
продемонстрировать все этапы метода.
4.3.3. Интегрирование КдФ-уравнения методом обратной
задачи рассеяния
1. Запись эволюционного уравнения
Первый этап МОЗР (запись эволюционного уравнения) при
применении метода LA-пар Лакса выполняется автоматически.
Эволюционное уравнение для оператора A из (4.50) имеет вид
Yt = [−4 D 3 + 3(qD + Dq )]Y .
(4.52)
2. Решение эволюционного уравнения
Решение
эволюционного
уравнения
было
продемонстрировано в п.4.1.2, однако для другого, более простого
оператора A . Решение уравнения (4.52) было дано Гарднером,
Грином, Крускалом и Миурой (Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal
M.D., Miura R.M. Korteweg-de Vries equation and generalizations.
VI.Methods of exact solutions - Comm.Pure Appl.Math.-1973.-27.Pp.97-133) – решение ГГКМ.
Напомним, что, согласно (4.44), решение Y(x,t) находится,
если известно Y(x,0), т.е. на входе метода нужно задавать только
70
q(x,0). С другой стороны, в задаче рассеяния нужно знать лишь
асимптоты, т.е. уравнение (4.42) при t=0 достаточно решить лишь в
асимптотических пределах x → ±∞ .
Поскольку предполагаются выполненными условия (2.5)
q ( x → ±∞) → 0 , то решение уравнения (4.52) имеет вид
3
Y ( x, t ) = e −4tD Y ( x,0) ,
( x → ±∞ ).
(4.53)
Чтобы двигаться в решении дальше, необходимо знать
функцию Y(x,0), которая находится из уравнения (4.42) при t=0 и
x → ±∞ . Решение уравнения Шредингера для непрерывного
спектра оператора L описывается формулой (4.29)
⎧ e −ikx ,
Y k (x,0) = ⎨
x → −∞
(4.54)
⎩ b(k ,0)e + ikx + a(k ,0)e − ikx ,
x → +∞ ,
причем коэффициенты a(k) и b(k) связаны соотношением (4.30).
Что касается области дискретного спектра частицы в
потенциальной яме (λ<0), то при наших предположениях
(потенциал q(x,0) достаточно быстро убывает по модулю до нуля
при x → ±∞ ) оператор L имеет не более чем конечное число
невырожденных собственных значений λ n = −κ n 2 , а собственные
функции имеют асимптотический вид:
Y n ( x,0) = c n e −κ n x .
(4.55)
Подставляя последовательно в (4.53) выражения (4.55) и
(4.54), получим для дискретного спектра
3
cn (t ) = cn (0)e 4κ n t ,
(4.56.1)
а для непрерывного –
3
a (k , t ) = a (k ,0)e 4ik t ;
(4.56.2)
71
Глава 4
3
b(k , t ) = b(k ,0)e −4ik t ,
(4.56.3)
где величины a(k,0), b(k,0), cn(0) определяются видом потенциала
q(x,0).
Эволюционные уравнения проинтегрированы. Этап 2 МОЗР
выполнен.
Выражения для коэффициентов a, b, c (4.56) и есть
соотношения, установленные ГГКМ для уравнения Кортевега-деФриза.
3. Решение обратной задачи
Итак, мы нашли решение Yk(n)(x,t) уравнения (4.42) при
произвольном параметре t в асимптотических пределах x → ±∞ .
Остается выполнить этап 3, т.е. решить обратную задачу:
восстановить вид потенциала q(x,t) для произвольных x, зная
асимптотическое решение (4.56). Как уже отмечалось выше,
решение этой задачи берется готовым из квантовой теории
рассеяния:
используется
уравнение
Гельфанда-ЛевитанаМарченко (Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении
дифференциального уравнения по его спектральной функции.Изв.АН СССР (сер. мат.).-1951.-Т.15, №3.-С.309-310. Марченко
В.А. О восстановлении потенциальной энергии по фазам
рассеянных волн.- Доклады АН СССР.-1955.-Т.103.-С.695-698.).
Уравнение ГЛМ носит универсальный характер и не связано
конкретно с КдФ-уравнением.
Уравнение
Гельфанда-Левитана-Марченко
является
интегральным уравнением Фредгольма для функции двух
переменных K(x,y):
∞
K ( x, y ) + B( x + y ) + ∫ K ( x, s ) B( s + y )ds = 0 , у>х.
(4.57)
x
Функция B выражается через решения уравнения Шредингера для
дискретного и непрерывного спектра оператра L :
72
N
2 −κ n z
B( z ) = ∑ c n e
n =1
1 +∞
ikz
+
∫ R(k )e dk ,
2π −∞
(4.58)
где N – число собственных значений дискретного спектра, R=b/a –
коэффициент отражения. Потенциал q определяется через решение
уравнения (4.57) следующим образом:
q( x) = −2
d
K ( x, x ) .
dx
В нашем случае функции B и K являются также и функциями
параметра t: B=B(z,t), K=K(x,y;t). Поэтому для решения уравнения
(4.57) получаем формулу
q ( x , t ) = −2
d
K ( x, x; t ) ,
dx
(4.59)
где K(x,x;t) находится из уравнения (4.57) с функцией B(z,t),
имеющей вид
N
2
B( z , t ) = ∑ c n (0)e
3
−κ n z +8κ n t
n =1
1 +∞ b(k ,0) i ( kz +8k 3t )
+
e
dk .
∫
2π −∞ a (k ,0)
(4.60)
Это и есть конечный результат этапа 3. Для вычислений
необходимо конкретизировать вид коэффициентов a(k,0), b(k,0),
cn(0), т.е. выбрать начальные условия для КдФ-уравнения.
N-солитонные решения уравнения КдФ
Для некоторого специального класса начальных условий
точные решения q ( x, t ) (4.59) могут быть выписаны в явном виде.
Это и будут N-солитонные решения. Найдем их. Начнем со случая
N=1.
Зададим начальный профиль волны в уравнении КдФ (4.51) в
виде квадрата гиперболического секанса
q( x,0) = −2 sec h 2 x .
73
Глава 4
Очевидно, что в качестве уравнения (4.42) мы имеем уравнение
Шредингера (4.33) с безотражательным потенциалом (4.35), в
котором s=1. В дискретном спектре имеется только одно значение.
Используя выражения (4.34), (4.40) и условие нормировки
волновой функции при s=1 получаем
κ1 = 1,
c1 (0) = 2 ,
b(k ,0) = 0 .
(4.61)
Подстановка (4.61) в формулу (4.60) дает просто B( z , t ) = 2e 8t − z .
Уравнение (4.57) теперь принимает вид
K ( x, y; t ) + 2e
8t − x − y
+ 2e
8t − y
∞
−s
∫ K ( x, s; t )e ds = 0 .
x
Это уравнение решается разделением переменных. Полагая
K ( x, y; t ) = K 0 ( x; t )e − y ,
2
.
1 + exp(2 x − 8t )
Подстановка этого результата в (4.59) дает решение уравнения
(4.57):
получаем K ( x, x; t ) = −
q( x, t ) = −2 sec h 2 ( x − 4t ) .
(4.62)
Мы имеем солитон, амплитуда которого равна 2, двигающийся со
скоростью, в два раза превышающей амплитуду (в безразмерных
единицах), в форме волны понижения. Для уравнения КдФ (2.4),
следовательно, мы получили решение (2.14) в виде горба,
имеющего форму квадрата гиперболического секанса.
Найдем теперь решения для произвольного целого N. Пусть
начальное условие имеет вид потенциала (4.35) с s=N:
q ( x,0) = − N ( N + 1) sec h 2 x .
74
Уравнение (4.42)
имеет N дискретных уровней κ n и N
нормировочных констант c n (0) ≡ c n . Коэффициент отражения R попрежнему равен нулю, поэтому для функции В в (4.58) имеем
N
B( x + y; t ) = ∑ c n 2 (t )e −κ n ( x + y ) , c n 2 (t ) = c n 2 exp(8κ n 3t ) .
n =1
(4.63)
Уравнение ГЛМ (4.57) принимает вид
N
K ( x, y; t ) + ∑ cn 2 (t )exp(−κ n x)exp(−κ n y ) +
n =1
N
∑c
n
n =1
(4.64)
∞
2
(t )exp(−κ n y ) ∫ K ( x, z )exp(−κ n z )dz = 0.
x
Так же, как и в случае уравнения для N=1, разделим переменные в
уравнении (4.64). Полагаем
N
K ( x, y; t ) = ∑ K n ( x, t )e −κ n y .
n =1
Это дает систему N линейных алгебраических уравнений для Kn:
N
⎛
2
∑ ⎜⎜ δ nm + cn (t ) exp(−κ n x)
m =1 ⎝
exp(−κ m x) ⎞
⎟⎟K m ( x; t ) =
κn + κm ⎠
(4.65)
− cn 2 (t ) exp(−κ n x).
Обозначим через Р определитель системы (4.65):
exp[−(κ m + κ n ) x
≡ det( Pnm ) ,
κn + κm
тогда решение этой системы может быть записано в виде
P = δ nm + c n 2 (t )
(4.66)
det P ( n )
,
K n ( x; t ) =
P
(4.67)
75
Глава 4
где P(n) – матрица, получающаяся из Pnm заменой n-го столбца на
столбец, составляющий правую часть (4.65).
Отметим любопытную связь между определителями матриц
(n)
P и Pnm. Поскольку производная каждого элемента Pnm по x равна
dPnm
= −c n 2 exp(−κ n x) exp(−κ m x) ,
dx
то, используя
получаем
правило
дифференцирования
определителей,
dP N
= ∑ exp(−κ n x) det P ( n ) .
dx n=1
(4.68)
Из (4.66) – (4.68) следует
K ( x.x; t ) =
1 N
1 dP d
(n)
= ln P .
∑ exp(−κ n x) det P =
P n=1
P dx dx
(4.69)
Окончательно для N-солитонного решения уравнения (4.51)
получаем формулу
q ( x, t ) = −
d2
dx 2
ln P .
(4.70)
Как видим, выражение получается достаточно сложным. Из (4.63) и
(4.67) следует, что каждому собственному значению κ n
соответствует своя скорость v n : v n = 4κ n 2 . На рис. 4.2 приведены
графики 3-солитонного решения уравнения КдФ (2.4) в различные
моменты времени. Из графиков видно, что начальное образование,
описываемое формулой (4.35) с s=3, с течением времени
распадается на три отдельных солитона.
76
q
t=0
x
t
Рис. 4.2. 3-солитонное решение уравнения КдФ
qt + 6qq x + q xxx = 0
В общем случае можно провести качественный анализ
решения при больших временах t. Компонентами детерминанта Р
являются «бегущие экспоненты» типа exp[κ i ( x − vi t − ϑi ) , поэтому
при больших t решение сосредоточено вблизи точки x − vi t . Это и
есть уединенная волна, движущаяся со скоростью vi и сдвинутая по
фазе на ϑi . Сдвиг фаз обусловлен взаимодействием солитонов.
Проходя друг сквозь друга, солитоны сначала деформируются, а
потом полностью восстанавливают свою форму. Единственным
последствием их взаимодействия является сдвиг фазы на величину
ϑi .
77
ГЛАВА 5. ПРИМЕНЕНИЕ СГ-УРАВНЕНИЯ В ФИЗИКЕ
ТВЕРДОГО ТЕЛА
5.1. Доменные стенки в одноосном ферромагнетике
5.1.1. Уравнение Ландау-Лифшица для одноосного
ферромагнетика
Рассмотрим применение солитонных решений СГ-уравнения
для описания некоторых явлений в ферромагнитных кристаллах.
Ниже температуры Кюри ферромагнитный кристалл имеет области
одинаково
ориентированных
магнитных
моментов
(ферромагнитных доменов), разделенных между собой границами,
известными как стенки Блоха. Для некоторых конфигураций
возможно движение этих границ, которое описывается уравнением
СГ. Рассмотрим динамику доменных стенок на примере кристалла
с легкой осью намагничения.
Так же, как и в случае дислокаций (п.2.2.1), будем
рассматривать континуальную модель решетки. Вместо mi –
магнитного момента диполя с местоположением i в решетке – мы
будем иметь дело с полем магнитного момента m(r ) . Функция
m(r ) представляет собой плотность магнитного момента в точке с
координатой r . Вектор магнитного момента имеет постоянную
длину
mx 2 + m y 2 + mz 2 = M 2 ,
(5.1)
и, значит, его поведение определяется динамикой точки на сфере. В
(5.1) нижний индекс означает проекцию вектора на
соответствующую ось координат. Частную производную пока
будем обозначать нижним индексом, отделенным запятой,
∂m y
например: m y , x =
.
∂x
Уравнение движения вектора m запишем в форме уравнения
Ландау-Лифшица:
78
m,t = −γ
δW
×m,
δm
(5.2)
где γ - гиромагнитное отношение, W – суммарная магнитная
энергия, знак « × » означает векторное произведение.
Ограничимся рассмотрением ситуации, когда намагниченные
слои располагаются перпендикулярно легкой оси, которую
выбираем в качестве Z-оси, и будем искать решения, зависящие
только от X-координаты в слое. Аналогия с краевой дислокацией
ясно прослеживается.
В этом случае магнитная энергия W складывается из
поверхностной энергии W П = 2πm x 2 , внутренней энергии,
обусловленной неоднородностью распределения магнитных
моментов WВН = A(m, x ) 2 , и энергии магнитной анизотропии
W А = K (m x 2 + m y 2 ) = − Km z 2 :
W = W П + W ВН + W А .
(5.2)
Перейдем к сферическим координатам θ и ϕ. Введем единичный
вектор n вдоль направления намагниченности:
n = (sin θ cos ϕ , sin θ sin ϕ , cos θ ),
m = Mn.
(5.4)
Векторное уравнение Ландау-Лифшица (5.2) можно записать в виде
δW
,
δθ
δW
M sin θθ t = −γ
,
δϕ
M sin θϕ t = γ
(5.5)
гдеW имеет вид
W = 2πM 2 sin 2 θ cos 2 ϕ − KM 2 cos 2 θ + AM 2 [sin 2 θ (ϕ x ) 2 + (θ x ) 2 ]
(символ запятой перед индексом в обозначении
производной опущен). Подставляя выражение для W
частной
в (5.5),
79
Глава 5
получим уравнение для полярного (θ ) и азимутального (ϕ ) углов
ориентации вектора намагниченности
γ −1Mϕt sin θ = 4πM 2 cos 2 ϕ cos θ sin θ +
(5.6.1)
2
2
2 KM cos θ sin θ − 2 AM θ xx ;
γ −1Mθ t sin θ = 4πM 2 sin 2 θ cos ϕ sin ϕ −
2
2
2 AM (sin θϕ x ) x .
(5.6.2)
5.1.2. СГ-уравнение и динамика доменных стенок
Уравнение СГ может быть получено из системы точных
уравнений (5.6) при некоторых дополнительных упрощающих
предположениях. Представим угол ϕ в виде ϕ ( x) = ϕ 0 + ε ( x) , где ϕ 0
определяет некоторое произвольное направление ориентации
меридиональной плоскости, а ε - малая величина, медленно
изменяющаяся с координатой:
ε → 0, ε x → 0 .
(5.7)
При выполнении условий (5.7) последним членом в (5.6.2)
можно пренебречь.
Выбрав ϕ 0 =
виде
π
2
, уравнения (5.6) запишем в приближенном
γ −1M −1ε t sin θ = K sin 2θ − 2 Aθ xx
(5.8.1)
γ −1M −1θ t sin θ = −4π sin θε .
(5.8.2)
Дифференцируя уравнение (5.8.2) по t, получаем
γ −1M −1θ tt = −4π sin θε t − 4π cos θεθt .
(5.9)
Поскольку из (5.8.2) следует, что θ t ~ ε , то последнее слагаемое в
(5.9) опять можно опустить. Подставив из оставшегося выражения
80
sin θε t = −
угла θ:
1 −1 −1
γ M θ tt в (5.8.1), получаем замкнутое уравнение для
4π
θ tt = −4πγ 2 M 2 ( K sin 2θ − 2 Aθ xx ) ,
(5.10)
которое, собственно, и есть уравнение синус-Гордона.
После замен
Φ = 2θ , X =
1
K
⋅t
⋅ x, T =
2 2
A
8πγ K
(5.11)
уравнение (5.10) примет стандартную форму СГ-уравнения
Φ XX − ΦTT = sin Φ .
Как видим из (5.11), уравнение СГ описывает динамику
удвоенного значения полярного угла вектора намагниченности.
Изменение Ф от 0 до 2π вызывает изменение θ от 0 до π. Поэтому
солитонные решения-кинки этого уравнения СГ представляют
собой ферромагнитные доменные стенки с изменением
ориентации на 180о, т.е. они описывают изменение
намагниченности между доменами, ориентированнными вверх и
вниз. Одиночный солитон соответствует движущейся стенке между
зонами с намагниченностью «вверх» и «вниз». Солитонантисолитонное решение и солитон-солитонное решение
соответствуют двум стенкам, разделяющим три домена: два домена
с ориентацией «вверх» разделяются одним доменом с ориентацией
«вниз».
Решение в форме бризера периодично во времени и
представляет собой локализованное отклонение плотности
намагниченности от направления, параллельного легкой оси.
5.2. Вихревые явления в контактах Джозефсона
5.2.1. Электронные пары в сверхпроводящем металле
Рассмотрим явление, в основе которого лежит свойство
квантовых
частиц
просачиваться
(туннелировать)
через
81
Глава 5
потенциальный барьер, превышающий полную энергию частицы.
Туннельный эффект впервые был предсказан и использован для
теоретического объяснения альфа-распада ядер молодым советским
физиком Георгием Антоновичем Гамовым в 1928 г. Дальнейшая
судьба первооткрывателя туннельного эффекта такова: после
очередной командировки в европейские научные центры в 1933 г.
Гамов не вернулся на Родину, перебрался в Америку и стал
известен мировой научной общественности как американский
ученый George Gamow. Между прочим, Джордж Гамов дружил со
Станиславом Уламом.
Применение туннельного эффекта в технике началось почти
через тридцать лет после его открытия. В 1957 г. японский физик
Лео Эсаки (Esaki) обнаружил туннельный эффект в
полупроводниках и построил первый туннельный диод. В 1962 г.
двадцатидвухлетний
английский
физик
Брайан
Дейвид
Джозефсон (Josephson) теоретически решил задачу о поведении
электронов в двух сверхпроводниках, разделенных слоем
изолятора, и предсказал целый букет эффектов, подтвержденных
позднее в экспериментах. Соединение двух сверхпроводников
через тонкий (~ 1 нм) изолирующий слой (обычно этот слой
состоит из окисла сверхпроводящего металла) называют теперь
контактом Джозефсона.
Оказалось, что в кольце с контактом Джозефсона, как и в
однородном сверхпроводящем кольце могут циркулировать
незатухающие токи. Если к контакту приложить постоянное
напряжение, то в кольце возникнут высокочастотные колебания. В
результате контакт Джозефсона можно использовать как генератор
или приемник электромагнитных волн очень высокой частоты.
Если контакт имеет достаточно большую площадь (длинный
джозефсоновский переход – ДДП), то вдоль этого перехода могут
распространяться или существовать стационарно вихревые токи,
имеющие солитонную природу, описываемую СГ-уравнением.
Этот замечательный эффект мы и рассмотрим более подробно.
Для понимания указанного явления нужно вспомнить
теоретическое описание поведения электронов в сверпроводящих
металлах. Теория, развитая Бардиным, Купером и Шриффером,
опирается на тот факт, что свободные электроны проводимости в
сверхпроводящем металле в результате взаимодействия с решеткой
из ионных ядер могут образовывать связанные пары.
82
Рассмотрим два изолированных электрона, но вначале
выделим один из них –он притягивает положительные ионы.
Облако из положительных ионов, окружающих первый электрон,
будет тогда притягивать второй электрон. Кажется, что эффект
такого притяжения должен быть малым, но при более детальном
рассмотрении
обнаруживается:
то,
что
представлялось
незначительным
экранирующим
эффектом,
порождает
притягивающую силу. Эта сила приводит к образованию
связанного состояния, т.е. составного объекта, имеющего более
низкую энергию, нежели каждая из его компонент. Такой объект
называется парой Купера, либо сверхпроводящим электроном. Этот
объект имеет двойной заряд электрона, примерно двойную массу и,
что особенно важно, не имеет спина, т.е. является бозоном.
Вследствие действия межэлектронных сил притяжения,
порожденных взаимодействием с ионной решеткой, электронный
газ является неустойчивым к образованию пар Купера, и это
образование продолжается до тех пор, пока не будет достигнута
некоторая точка равновесия. Бозонная природа объектов
обусловливает
образование
системы,
состоящей
из
крупномасштабного конденсата куперовских пар, большинство из
которых находится в самом низшем энергетическом состоянии.
В нестационарной теории сверхпроводимости Ландау –
Гинзбурга предполагается, что куперовские пары находятся в
одном и том же состоянии и описываются единой волновой
функцией Ψ, которая удовлетворяет нестационарному уравнению
Шредингера
i
2
∂Ψ
1
2
*
=
i
∇
e
⋅
A
⋅
Ψ
+
V
(
r
)
Ψ
+
⋅
Ψ
⋅
Ψ
λ
.
*
∂t 2m
(
)
(5.12)
Функция V (r ) есть скалярный потенциал, а e* и m* есть заряд и
масса куперовской пары. Величина A – векторный потенциал
внешнего электромагнитного поля.
Можно ввести плотность нестационарного распределения
2
куперовских пар в сверхпроводнике ρ = e* Φ и, аналогично (4.23),
плотность потока вероятности
,
*2
i
e
2
*
*
*
j=
e
⋅
Ψ
∇Ψ
−
Ψ∇Ψ
+
Ψ
⋅ A,
(5.13)
(
)
*
*
2m
2m
83
Глава 5
которая интерпретируется теперь как вектор электрического тока,
порожденный электромагнитным полем H , удовлетворяющим
уравнению Максвелла rotH= j . Заметим, что нелинейное уравнение
(5.12) действительно является уравнением квантовой механики, а
функция Ψ –волновая функция, описывающая реальные объекты.
Нелинейное уравнение Шредингера (5.12) является общим для
электронных пар в сверхпроводнике, нам нужно исследовать его
решение для контакта Джозефсона.
5.2.2. Туннелирование электронных пар. СГ-уравнение для
волновой функции
Рассмотрим экспериментальную конфигурацию, в которой
два сверхпроводника разделены барьером из изолирующего
материала (рис.5.1). Куперовская пара может туннелировать через
промежуточный слой, отделяющий два сверхпроводника, как
обычная квантовая частица.
3
1
2
Рис.5.1. Контакт Джозефсона, образованный двумя слоями
сверхпроводника (1,2), разделенных барьером из
несверхпроводящего материала (3)
Волновую функцию Ψ
Ψ =ρ
1 / 2
e
iΦ
,
представим в виде
(5.14)
где Φ – фаза, которая, как мы увидим ниже, будет играть
ключевую роль. Подстановка (5.14) в (5.13) показывает, что
сверхпроводящий электрический ток определяется по формуле
84
e ⋅ρ ⎡
*2
j =−
m
*
⎢
⎣
A−
e
⎤
⎥
⎦
∇Φ .
*
(5.15)
Из (5.15) можно найти выражение
для градиента фазы волновой
функции:
e* ⎡
m*
∇Φ = ⎢ A + 2
⎢⎣
e* ρ
⎤
j⎥.
⎥⎦
(5.16)
Отметим, что выражение (5.16)
справедливо
лишь
для
сверхпроводников.
На
рис.5.2
изображена
Рис. 5.2. Граница раздела в граница раздела, взятая в качестве
контакте Джозефсона
плоскости
(x,y).
Если
мы
определим ϕ как изменение фазы
волновой функции поперек барьера,
ϕ ( x , y ,0 + , t ) = Φ ( x , y ,0 + , t ) − Φ ( x , y ,0 − , t )
(5.17)
то следующие простые рассуждения показывают, что функция ϕ
нетривиальна. Пусть P и Q – две произвольные точки в барьере.
Интегрируя вдоль замкнутой кривой С, показанной на рис.5.2, и
предполагая, что l больше глубины проникновения, из (5.16)
получаем
*
⎤
*
e ⎡
m
ϕ (Q) - ϕ ( P) = ∫ ⎢ A +
j ⎥ dr .
(5.18)
2
*
⎢
⎥
(e ) ρ ⎦
⎣
Точки P и Q в непроводящем барьере имеют координаты (x,y,0) и
(x+Δx,y+Δy,0), соответственно. Поэтому, согласно определению
приращения функции двух переменных, можем так же формально
записать
85
Глава 5
ϕ (Q) − ϕ ( P) = ϕ, x Δx + ϕ, y Δy .
Далее, по теореме Стокса
(5.19)
∫ A ⋅ dr = ∫ B ⋅ dS ,
C
где S – любая
S
поверхность, имеющая своей границей кривую C. Выбирая в
качестве S прямоугольник, показанный на рис.5.2, легко находим,
что dS = 2l ( ix Δx − iy Δy ) , и если предположим, что магнитная
индукция B постоянна вдоль плоскости, то получим, что
(5.20)
∫ B ⋅ dS ≈ ΔS ⋅ B = ( By Δx − Bx Δy ) .
s
Устремляя Δx и Δy к нулю и сравнивая (5.20) с (5.19), получаем
систему уравнений
ϕ, x = α By ; ϕ, y = −α Bx ,
где α =
2e*l
(5.21)
.
Уравнения (5.21) дают информацию о пространственном
изменении величины ϕ, но мы бы хотели бы знать, как эта величина
меняется во времени и как она связана с сверхпроводящим током
через барьер. Дифференцируя первое уравнение в (5.21) по х, а
второе по у и складывая результаты, получим
ϕ, xx + ϕ, yy = α (rotB) z = αμ0 jz .
(5.22)
Здесь jz – плотность тока через контакт, состоящая из
сверхпроводящей компоненты jiz и плотности тока смещения jdz :
(5.23)
jz = jiz + jdz .
Поскольку внутри изолирующего слоя выполняются обычные
уравнения Максвелла, то плотность тока смещения находится по
формуле
jdz = cs V,t ,
86
(5.24)
где сs есть емкость на единицу площади контакта. Осталось найти
плотность сверхпроводящего тока и связь скорости изменения фазы
с изменением приложенного потенциала. Это можно выяснить
только после решения нелинейного уравнения Шредингера (5.12)
для контакта Джозефсона.
Уравнение для тонкого контакта можно решить по теории
возмущений, разбив гамильтониан задачи на две части:
H = H 0 + HT ,
где H 0 – гамильтониан куперовской пары, локализованной в
области 1 или 2 в отсутствие контакта, а H T – гамильтониан
туннелирования, рассматриваемый как возмущение. Обозначим
решение невозмущенной задачи для одинаковых сверхпроводников
как Ψ0 с соответствующей плотностью распределения ρ 0 .
В ходе решения нестационарного уравнения получаем
уравнение
ϕ ,t =
e*
V ,
(5.25)
а в стационарном случае сверхпроводящий ток определяется
уравнением (Джозефсон)
jiz = J sin ϕ ,
J =
2 K ⋅ρ 0
,
(5.26)
где K = Ψ0 HT Ψ0 . Величина К определяется приложенным к
барьеру напряжением V, а знак – полярностью V.
Подстановка (5.25), (5.26) в (5.22) – (5.24) приводит к
уравнению
1
1
ϕ, xx + ϕ, yy − 2 ϕ,tt = 2 sin ϕ
(5.27)
β
c
где
1/ 2
−1/ 2
⎛
⎞
β =⎜
,
c
=
2
μ
c
l
.
(5.28)
(
)
*
0 s
⎟
⎝ 2μ0 e Jl ⎠
87
Глава 5
Получили СГ-уравнение типа (2+1). Если переход, который
мы рассматриваем, очень узкий, в том смысле, что изменениями в
y-направлении можно пренебречь, то это уравнение сводится к
стандартному СГ-уравнению с одной пространственной и одной
временной переменной.
5.2.3. Решение СГ-уравнения в виде флюксонов
Односолитонное решение уравнения (5.27) для узкого
перехода, в соответствии с (2.32), дается формулой
(
(
ϕ ( x, t ) = 4arctg exp⎡
⎣β γ x − cvt
−1
)⎤⎦),
(5.29)
а соответствующе магнитное поле в y-направлении, согласно (5.21),
имеет вид
(
)
B y = 2γ α −1sech ⎡⎣ β −1γ ( x −cvt ) ⎤⎦ .
(5.30)
Типичный импульс магнитного поля в форме гиперболического
секанса распространяется вдоль перехода. Плотность тока равна
(
) (
)
j1z = −2 J sech ⎡⎣ β −1γ ( x − cvt ) ⎤⎦ th ⎡⎣ β −1γ ( x − cvt ) ⎤⎦ .
Рис. 5.3. График зависимости плотности
тока от координаты х
88
(5.31)
График этой функции
при t=0 изображен на
рис. 5.3.
Решение (5.29), приводящее к вихревому
току (5.31), в данном
случае
называется
флюксоном. При v=0
флюксон
не
перемещается вдоль перехода, а сохраняет свою
форму сколь угодно
долго.
Таким образом, возникает возможность использования
перехода Джозефсона в системах записи и хранения информации.
Запись осуществляется электрическим напряжением, а считавается
магнитное поле. Размеры ДПП гораздо меньше размеров доменов,
используемых в обычной магнитной записи.
Интересно найти суммарный поток магнитного поля Φ MS ,
проходящий через барьер. В соответствии с (5.20), (5.21) имеем
+∞
Φ MS =
∫
−∞
+l
∫ By ( x)dxdz = 2l
−l
1
+∞
∫ ϕ,x dx =
α −∞
2π
Q(ϕ ) .
*
e
(5.32)
Здесь введено обозначение
+∞
∫ ϕ, x dx = 2π Q(ϕ ) .
−∞
(5.33)
Для решения (5.29) Q (ϕ ) = 1 . Для N-солитонных решений, которые
можно сгенерировать с помощью (3.40), величина Q(ϕ ) будет
целым числом. Таким образом, магнитный поток квантуется на
2π
порции размером
, и односолитонное решение представляет
e*
собой отдельный квант потока вдоль перехода. N-солитонные
решения несут N единиц потока, и их часто называют Nфлюксонными решениями.
5.3 Топологические свойства солитоных уравнений
5.3.1. Модель упругой ленты
Чтобы понять смысл величины Q(ϕ ) , введенной в (5.33),
рассмотрим упругую ленту с закрепленными концами (рис. 5.4),
мысленный эксперимент с которой был описан в п.1.3. Нас
интересуют лишь деформации, приводящие к перекручиванию
ленты вокруг оси ее симметрии. Введем на оси симметрии ленты
поле нормального к ленте единичного вектора n . Угол поворота
этого вектора будет описываться СГ-уравнением. Предположим,
что перед тем как зафиксировать концы ленты, мы закрутили один
ее конец относительно другого определенное число раз. При
89
Глава 5
непрерывной динамике ленты полное число оборотов вокруг оси
инверсионной симметрии системы, совершаемое концом вектора n
при движении от одного конца ленты к другому, остается
неизменным.
Рис. 5.4. Модель упругой ленты
На основании этого можем классифицировать возможные
непрерывные конфигурации системы по полному числу оборотов
вектора n и получить, что в процессе непрерывной эволюции в
системе может реализуются лишь конфигурации одного и того же
класса. Покажем, что величина Q (ϕ ) совпадает с числом оборотов
и сохраняется при эволюции системы.
5.3.2. Гомотопические классы
Для более строгого и общего подхода введем понятие
гомотопии. Рассмотрим отображения единичного отрезка на
окружность единичного радиуса. В нашем случае, например, такое
отображение можно задать сопоставляя точки оси симметрии
ленты и соответствующие положения конца вектора нормали n .
Два отображения ϕi : I → S1 , i = 1, 2 – гомотопны в точке ϕ 0 , если
существует непрерывное отображение H : I2 → S1 , имеющее
координатный вид (s, z ) → H (s, z ) = H s ( z ) и удовлетворяющее
условиям
90
(1) H s – петля в точке ϕ 0 ∀s ∈ ⎡⎣ 0,1⎤⎦ ;
(2) H 0 = ϕ1 , H 1 = ϕ2 .
Это определение имеет простой явный смысл: оно описывает
требование существования возможности преобразовать одно
отображение в другое с помощью непрерывной деформации, а s
параметризует промежуточные отображения H s , реализующиеся в
процессе деформации.
В общем случае единичная окружность заменяется
топологическим пространством. Тогда определение гомотопии
дается для отображений в топологическое пространство и
принимает следующий вид. Два отображения fi : I → X , i = 1, 2 –
взаимно гомотопны в точке x топологического пространства X ,
если
существует
непрерывное
отображение
H : I2 → X ,
удовлетворяющее условиям
(1) H s – петля в точке x ∈ X ∀s ∈ ⎡⎣ 0,1⎤⎦ ;
(2) H 0 = f1 , H 1 = f2 .
Определим произведение на множестве гомотопических петель
следующим образом:
f1
⎧
⎡ 1⎤
⎪⎪ f1 ( 2z ) , z ∈ ⎢⎣0, 2 ⎥⎦ ;
f2 : z → ⎨
⎪ f ( 2z − 1) , z ∈ ⎡ 1 , 1⎤ ;
⎢⎣ 2 ⎥⎦
⎪⎩ 2
(5.34)
(обход сначала первой петли, затем второй). Такое умножение не
является групповой операцией, так как для него не выполняется,
например, требование ассоциативности. В самом деле, рассмотрим
три произвольные взаимно гомотопные в точке x ∈ X отображения
f1 , f2 и f3 . Петли f1 ( f2 f3 ) и ( f1 f2 ) f3 будут совпадать, однако
соответствующие им отображения будут иметь различный
функциональный вид.
Во избежание различия в функциональных формах имеет
смысл отождествить отображения с одинаковыми петлями. Для
этого петлю f сопоставляем с множеством всех петель f ,
Эти множества задают
гомотопных петле f в точке x .
91
Глава 5
гомотопические классы. Теперь можно ввести групповую операцию
на множестве гомотопных петель:
f1 f2 = f1 f2 .
При таком определении групповой операции можем ввести
понятие фундаментальной группы π ( X, x ) пространства X в
точке x как множества всех гомотопических классов петель в
точке x топологического пространства X .
Для определения понятия связности пространства X
целесообразно ввести понятие изоморфии. Фундаментальные
группы двух точек пространства X изоморфны, если эти точки
могут быть соединены путем, целиком лежащим в X .
Если пространство X связно в указанном смысле, существует
единственная фундаментальная группа π ( X ) пространства X ,
изоморфная всем фундаментальным группам в любой точке
пространства X .
В случае со скрученной лентой, в процессе эволюции
конфигурации остаются в пределах одних и тех же гомотопических
классов. Таким образом, число перекручиваний приписывает
конфигурацию к конкретному классу. Класс не может измениться в
процессе эволюции системы.
Имеет
смысл
прокомментировать
следующее
обстоятельство. Интервалы ( −∞, +∞ ) можно отображать на ( 0, 1) , не
опасаясь возникновения на концах интервала существенно особых
точек. Их появление исключено в силу локализованности
солитонных решений и обусловленного этим обнуления
производной полей на бесконечности.
5.3.3. Топологический заряд для СГ-уравнения
Для СГ-уравнений при граничном условии
ϕ (t, −∞ ) = ϕ (t, +∞ ) = 0 mod 2π
в процессе эволюции сохраняется величина
92
+∞ t
ϕ ( +∞ ) − ϕ ( −∞ ) = ∫ ϕ,x ( x ) dx .
−∞
t
(5.35)
t
Введем величину, которую будем называть топологическим
зарядом,
+∞ t
∫ ϕ,x ( x ) dx =
−∞
= ( число кинков ) − ( число антикинков )
Q t (ϕ ) = ( 2π )
−1
(3.36)
Величина Q , являясь интегралом от непрерывных функций,
должна непрерывно зависеть от времени и при этом быть целой
величиной. Это вновь предполагает выполнение требования
Qt (ϕ ) = const .
(3.37)
Полученный
закон
сохранения
можно
переписать
дифференциальной форме в виде уравнения непрерывности:
ρ,t + j,x = 0 .
(3.38)
Определение (3.36) для Q
топологического
в
заряда
ρ=
дает явный вид плотности
1
ϕ,x ,
2π
тогда
топологического тока из (3.38) получим j = −
для
плотности
1
ϕ .
2π ,t
Последние
уравнения
суть
требования
гладкости,
позволяющие классифицировать решения, и эти уравнения ни в
коем случае не следует понимать как уравнения, навязывающие
динамику. Тем не менее закон сохранения топологического заряда
во многих случаях позволяет упростить решение конкретных задач,
как и любой закон сохранения. Очевидно, что в контакте
Джозефсона роль топологического заряда играет количество
флюксонных вихрей, которое остается неизменным, как и число
перекручиваний упругой ленты.
93
ПРИЛОЖЕНИЕ
Рис. П1. Солитон уравнения Кортевега-де Фриза (именно на
этот солитон обратил внимание Дж. С. Рассел в
1834 г. и положил начало изучению солитонов)
Рис. П2. Простой солитон (кинк) уравнения синус-Гордона
Рис. П3. Двойной солитон (бризер) уравнения синус-Гордона
95
ЗАДАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Известные уравнения теории солитонов
Составьте перечень известных вам нелинейных уравнений,
имеющих солитонные решения. Результат представьте в виде
таблицы:
Название уравнения
Вид
Область применения
(физический смысл функции)
2. Интегрирование КдФ-уравнения
Найдите решение уравнения qt + qq x + βq xxx = 0 . Для этого
перейдите в движущуюся систему координат, введя переменную
ξ = x − Vt , и сведите задачу к исследованию поведения нелинейного
маятника на сепаратрисе. Найдите дополнительные условия, при
4β
12V
которых решение имеет вид q = ξ
,
.
=
α
ξ
−
V
(e α + e α ) 2
Оцените отношение высоты реальной уединенной волны
Рассела к ее длине.
3. Решение НУШ
Покажите, что функция
⎧ ⎡1
2
⎛1
⎞ ⎤⎫
q=a
exp⎨i ⎢ bx − ⎜ b 2 − a 2 ⎟t ⎥ ⎬ sec h[a( x − bt )] , где a и b –
β
⎝4
⎠ ⎦⎭
⎩ ⎣2
произвольные константы, является решением нелинейного
2
уравнения Шредингера iqt + q xx + β q q = 0 .
4. Определение энергии кинка
Рассмотрите решение СГ-уравнения qxx − qtt = sin q в форме
кинка q = 4arctg exp[γ ( x − vt )] и найдите энергию этого кинка по
96
+∞
формуле Ε q =
∫ dxH ( x, t ) , где плотность энергии
H ( x, t ) имеет вид
−∞
1⎛
q⎞
H ( x, t ) = ⎜ qt ( x, t ) 2 + qx ( x, t ) 2 + 42 sin 2 ⎟ .
2⎝
2⎠
5. Определение времени опрокидывания нелинейной волны
Плотность числа частиц n( x, t ) в бегущей волне при
отсутствии диссипации описывается нелинейным уравнением
∂n
∂n
+ v(n) = 0 , которое имеет решение, выраженное в неявной
∂t
∂x
n( x, t ) = F ( x − v(n)t ) ,
F ( x) = n( x,0) . Найдите время
форме
опрокидывания волны t0 из условия nx t =t = ∞ .
0
6. Динамика 2-кинкового решения СГ-уравнения
Решение СГ-уравнения, описывающее взаимодействие двух
кинков, имеет вид
⎡ a2 + a1 ⎛ exp γ 2 ( x − v2t ) − exp γ 1 ( x − v1t ) ⎞ ⎤
q2 ( x, t ) = 4arctg ⎢
⎜
⎟ ⎥ , где
a
a
1
exp
γ
(
x
v
t
)exp
γ
(
x
v
t
)
−
−
−
−
2
2
1
1 ⎠⎦
⎣ 2 1⎝
vk = (1 / ak − ak ) /(1 / ak + ak ), γ k = (1 / ak + ak ) / 2, k = 1,2 .
С помощью компьютерного моделирования (Maple, MathCad)
исследуйте динамику решения при различных соотношениях
между a1 и a2 .
7. Решение КдФ с помощью преобразований Бэклунда
Преобразования Бэклунда для уравнения Кортевега-де-Фриза
qt − 6qq x + q xxx = 0 имеют вид
(u0 + u1 ) x = (u0 − u1 ) 2 + λ ,
(u0 − u1 )t − 6(u0 + u1 ) x (u0 − u1 ) x + (u0 − u1 ) xxx = 0 ,
∂u
∂u
где q0 = 2 0 , q1 = 2 1 , λ – произвольная константа.
∂x
∂x
Найдите 1-солитонное решение КдФ-уравнения q1 , положив
q0 = u0 = 0 .
Указание: первое из получившихся уравнений для u1
проинтегрируйте по х с помощью подстановки u1 = − f x / f , а
97
произвольную
функцию
времени,
появившуюся
интегрировании, найдите из второго уравнения.
при
8. Вывод уравнения КдФ в методе LA-пар Лакса
Применение LA-пар Лакса в обратной задаче рассеяния (ОЗР)
заключается в том, что сначала решается задача на собственные
d2
значения LY = λY ; L = − 2 + q (t , x), причем функция Y (t , x)
dx
∂Y
подчиняется также эволюционному уравнению
= iAY , а затем с
∂t
помощью обратного метода восстанавливается функция qt(,x) , т.е.
находится решение уравнения для q . Вид последнего уравнения
определяется
выбором
оператора
A,
а
именно:
qt = i[ A, L ] = i ( AL − LA) .
Покажите, что выбрав оператор A в виде
A = i[4 D 3 − 3(qD + Dq )] , мы решим методом ОЗР уравнение
Кортевега-де-Фриза для волны понижения qt − 6qq x + q xxx = 0 .
9. Исследование N-солитонных решений уравнения КдФ
N-солитонное решение уравнения КдФ qt + 6qqx + qxxx = 0 ,
описывающее «большую волну» Рассела, находится по формуле
d2
q ( x, t ) = 2 ln P , где определитель Р размерности N × N имеет вид
dx
exp[−(κ m + κ n ) x
. Величины cn (t ) и κ n описываются
P = δ nm + cn 2 (t )
κn + κm
выражениями
c n 2 (t ) = c n 2 exp(8κ n 3t ) , cn = cn (0), κ n = N − n + 1, n = 1,2,...N ;
cn = cn (0) – нормировочные константы.
С помощью компьютерного моделирования исследуйте
динамику 1-, 2-, и 3-солитонных решений уравнения КдФ.
98
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Юркевич В.Э. Физика солитонов / В.Э.Юркевич, Б.Н.Ролов.
Ростов-на-Дону: Изд-во Рост. ун-та, 1985. 192 с.
2. Солитоны и нелинейные волновые уравнения / Додд Р. и др.
М.: Мир, 1988. 694 с.
3. Заславский Г.М. Введение в нелинейную физику: От маятника
до турбулентности и хаоса / Г.М.Заславский, Р.З.Сагдеев. М.:
Наука, 1988. 368с.
4. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике / А.Ньюэлл. М.:
Мир, 1989. 326 с.
5. Филиппов А.Т. Многоликий солитон / А.Т.Филиппов. М.:
Наука (б-чка «Квант»), 1990. 288 с.
6. Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн /
М.И.Рабинович, Д.И.Трубецков. НИЦ «Регулярная и
хаотическая динамика». Москва-Ижевск, 2000. 560 с.
7. Новокшенов В.Ю. Введение в теорию солитонов /
В.Ю.Новокшенов. Институт компьютерных исследований.
Ижевск, 2002. 96 с.
99
Учебно-методическое издание
Александр Юрьевич ОЩЕПКОВ
ТЕОРИЯ СОЛИТОНОВ.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ
Учебно-методическое пособие
Редактор Н.В. Петрова
Корректор А.А. Алексеева
Компьютерная верстка А.Ю. Ощепкова
Подписано в печать 03.09.2007.
Формат 60х84 116 . Усл. печ. л. 5,81.
Уч.-изд. л. 4,2. Тираж 100 экз. Заказ _____
Редакционно-издательский отдел
университета
614990. Пермь, ул. Букирева, 15
Пермского
государственного
Типография Пермского государственного университета
614990. Пермь, ул. Букирева, 15