ИНТЕГРИРОВАННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ПРОМЫШЛЕННОСТИ _________________________________________________________________________________ УДК 628.394.57:577.472 Василенко С.Л. МОДЕЛИРОВАНИЕ СОВМЕСТНОЙ ТРАНСФОРМАЦИИ БИОГЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И РАСТВОРЕННОГО КИСЛОРОДА ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ КАЧЕСТВА ВОДЫ Азот и фосфор – важнейшие биогенные элементы, содержание в воде которых влияет на состояние биоценоза, процессы самоочищения и в целом определяет биологическую продуктивность природных вод. Основными процессами, определяющими их круговорот и распределение в воде, являются фотосинтез и разложение органических веществ [1]. При изучении вопросов количественной оценки и прогнозирования качества воды, евтрофирования (повышения биопродуктивного потенциала) водных объектов эти биогенные элементы включаются как компоненты в экологические модели разной сложности, представляемые обычно в виде систем дифференциальных уравнений в частных производных [2-4]. Для решения задач оптимизации и прогнозирования качества воды в области охраны вод наиболее приемлемыми представляются модели в виде аналитических зависимостей, вид которых отражает существенные причинно-следственные связи реальных внутриводоемных процессов, а параметры оцениваются по данным натурных измерений с применением статистических методов. В этой связи практический интерес представляет модель совместной последовательно-параллельной трансформации любого конечного числа веществ в виде формульных соотношений [5] и, в частности, ее статистическая модификация для моделирования азотосодержащих компонент [6]. Целью настоящей работы является дальнейшее развитие принятых основных направлений [5, 6], но уже с учетом совместной трансформации в водной среде соединений азота, фосфора, а также изменения растворенного кислорода и биохимического потребления кислорода – показателя косвенной оценки суммарного содержания в воде легкоокисляющихся органических веществ. За основу примем относительно несложную, но одновременно практически важную модель взаимосвязей компонент [2], приемлемую для выполнения инженерных расчетов (рис. 1). БПК C Vc 1 k'12 ac k'46 РОВ N7 NO2 k'12 N1 N2 ko14 ВОВ N6 k'r 2 k'23 NH4 k'71 k67 NO3 k'23 4 k'46/n Phy N4 ap ap k'46 o (koРмин 14+k 34) Рорг Vp Р1 N3 ko34 k'46 Vn Донные отложения РК S k'c k'p p k'p Р2 Рисунок 1 – Схема взаимосвязи компонент модели По данной схеме растворенное органическое вещество (РОВ), которое образуется в результате трансформации взвешенного органического вещества (ВОВ) и выделений фитопланктона (Phy), в результате нитрификации преобразуется последовательно в аммонийный (NH4), нитритный (NO2) и нитратный (NO3) азот. Фитопланктон потребИнтегрированные технологии и энергосбережение 3’2004 59 ИНТЕГРИРОВАННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ПРОМЫШЛЕННОСТИ _________________________________________________________________________________ ляет NH4, NO3, минеральный фосфор (Рмин), который может быть лимитирующим фактором для его роста, а в результате жизнедеятельности выделяет органический фосфор (Рорг). ВОВ и Рорг подвержены процессам осаждения или взмучивания. На протекание внутриводных процессов влияют внешние источники биогенных и взвешенных веществ, в частности, донные отложения. Формирование качества воды сопровождаются также изменением содержания растворенного кислорода в зависимости от соотношения процессов продуцирования (фотосинтеза) и потребления (дыхания организмов, деструкции органических веществ). В модели приняты следующие допущения, которые не влияют на суть излагаемого подхода и могут быть сравнительно легко учтены при повышении уровня сложности модели: не учитываются нитрифицирующие бактерии типа Heterotrophs, Nitrosomonas, Nitrobacter, которые не подлежат стандартным измерениям; не учитывается зоопланктон, поскольку его продуктивность обычно не превышает 10 % от продуктивности фитопланктона [1], и он вносит наименьший вклад в массу и деструкцию органического вещества; фитопланктон характеризуется как гомогенная масса с осредненными характеристиками. Система дифференциальных уравнений согласно принятой схеме взаимосвязей компонент имеет вид (для удобства сопоставления результатов нумерация компонент сохранена, как в [2]): N7 k12 N1 k14 N4 f1 ; LN1 k71 N1 k23 N2 f 2 ; LN2 k12 N2 k34 N4 f3 ; LN3 k23 N4 f 4 ; LN4 (k14 k34 ) N4 k46 N4 k67 N6 Vn f 2 ; LN6 k46 N6 k71 N7 f 7 ; LN7 k67 N4 k p P1 Vp f p1 ; LP1 a p k46 (1) LP2 k p P1 a p (k14 k34 ) N4 f p 2 ; LC ac k4 N4 kcC Vc f c ; N1 2 k23 N 2 p k p P1 4 k46 N 4 kr (Sn S ) f s , LS kcC 1k12 n где L d dt – дифференциальный оператор, k 4 k f 4 N (ks 4 N ) m p , 1, 3 ; Vn kcd ( N6 kcnV ) , Vp a p kcpVn , Vc kcd (C kccV ) ; m p P2 /(ksp P2 ) ; азот: N1 – аммонийный (NH4), N2 – нитритный (NO2), N3 – нитратный (NO3), N4 – фитопланктона (Phy), N6 – взвешенного органического вещества (ВОВ), N7 – растворенного органического вещества (РОВ); P1 – фосфор органический (Рорг), P2 – фосфор минеральный (Рмин), С – полное биохимическое потребление кислорода (БПК), S – растворенный кислород (РК); N – усредненные концентрации компонент на некотором квазистационарном промежутке времени; k'iu – коэффициенты, характеризующие скорость транс60 Интегрированные технологии и энергосбережение 3’2004 ИНТЕГРИРОВАННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ПРОМЫШЛЕННОСТИ _________________________________________________________________________________ формации i–той компоненты в u-тую или скорость отмирания фитопланктона; 4, ks4 – максимальная скорость роста популяций фитопланктона и коэффициенты полунасыщения по кинетике Михаэлиса-Ментен, Моно (ksp – по фосфору); 4 – разница между коэффициентом фотосинтетической активности 4 и интенсивности потребления кислорода фитопланктоном на дыхание o4, kf – коэффициент освещенности; kcd – коэффициент седиментации – процесса оседания мелких взвешенных частиц под действием гравитационного поля; V – равновесная концентрация взвесей, kcn, kcp, kcc – коэффициенты связи органического азота, фосфора и БПК с этими фракциями; 1 2 p – стехиометрические коэффициенты (удельный расход РК на окисление соответствующего вещества); ap = 0,011/n, ac = 1,5/n – коэффициенты пересчета концентрации планктона из единиц азота в единицы фосфора и сухое органическое вещество, n = 0,076 – удельное содержание азота в сухом органическом веществе планктона; k'r – коэффициент реаэрации, Sn – концентрация предельного насыщения РК (равновесная концентрация РК, соответствующая его максимальной растворимости при данной температуре и давлении); f1, …, fc, fs – функции внешних источников. Для представления аналитического решения в форме, удобной для практической реализации на ПЭВМ, целесообразно выполнить некоторые изменения обозначений и нумераций исследуемых компонент согласно табл. 1 Поменяв нумерацию компонент модели в соответствии с табл. 1, решение системы уравнений (1) можно представить в следующем виде [5]: Ci C0i ki qi fi* Pi , Pi z fi* su i1 i3 m1 u m ki 1 ln ki im z C0m Fi bu qm xGi bu ; Fi r K r (ki kr ) ; ( K r Ki) i 1,I j ; i3 kb b bsbu , Gi r K r fi* f r* ; ( K r Ki) s m s s 1 i i2 ; (2) K s èëè 1 ï ðè s u ; ki exp Kit , qi qit , ( K s Ku ) где Ij – количество компонент по одной из j-той последовательной цепочке их трансформации, Ki I kiu i – обобщенный коэффициент трансформации i-той компо- u i 1 ненты в остальные – по последовательной цепочке по мере возрастания индекса u: i 1 u I ; k'iu – коэффициенты трансформации компонент (нумерация соответствует концентрациям Ci ); 'i – обобщенный коэффициент обмена i-той компоненты с другими подуровнями такой, что 'i < 0 – соответствует поступлению компоненты, 'i > 0 – ее уходу; C0i – начальные концентрации, qi const – функции внешних источ kiu / Ki – нормированный (безразмерный) коэффициент трансформации ников, kiu z между парой i, u-тых компонент; im – параметр долевого участия i-той компоненты на m–тую; i1, i2 – номера узлов соответственно перед первой и после последней удаленной вершиной графа в z-м столбце матрицы взаимосвязей компонент brz [5]; x – количество пропускаемых компонент при формировании параллельных цепочек, i3 i 1 x . Индекс z в brz для простоты записи в (2) опущен. Интегрированные технологии и энергосбережение 3’2004 61 ИНТЕГРИРОВАННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ПРОМЫШЛЕННОСТИ _________________________________________________________________________________ Таблица 1 – Сопоставление обозначений компонент и параметров модели Изменение обозначений Phy N4 С1 ВОВ N6 С2 РОВ N7 С3 NH4 N1 С4 NO2 N2 С5 NO3 N3 С6 Рорг P1 С7 Рмин P2 С8 БПК С С9 РК S С10 ' i = 0 kcd 0 0 0 0 kcd 0 kcd 0 q'i = k'iu = 1 2 3 f4 1 k'46 0 0 f6 + kcd kcnV 2 k'67 0 f7 k'71 3 f1 4 f2 5 f3 6 fp1 + kcd kcpV 7 fp2 8 fc + kcd kccV 9 fs + krSn 10 4 5 6 a4 0 0 k'12 0 0 0 0 k'23 b4 0 0 0 0 0 7 8 0 a4+b4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 k'p 0 0 9 10 0 0 0 0 0 0 0 0 k'c 0 0 0 0 0 0 0 0 0 k'r Главное отличие представленного решения от [5, 6] заключается в присутствии в нем матрицы z , элементы которой характеризуют вклад соответствующей компоненты при ее трансформации в другое вещество. В частности, для группы азотосодержащих соединений при их последовательном превращении – матрица z 1 . По другим компонентам отдельные элементы уже не равны нулю, что обусловлено присутствием в модели параметров типа 1, 2, p, ap, ac и т.п. Значения элементов матрицы z полагаются равными 1, затем отдельные элементы меняются на соответствующие значения согласно таблице 2. z Таблица 2 – Значения элементов матрицы im ( m 1, I 1 ) и последовательности b трансформируемых компонент для фосфора, БПК и РК Фосфор БПК Im = ap mI = ac I b 3 1 7 8 2 1 9 z 1 1 по NH4 mI = –1 5 1 2 3 4 10 Растворенный кислород по NO2 по БПК по Рорг mI = –2 13 = –ac 13 = –pap 23 = –1 23 = –p 6 3 3 1 1 1 2 9 7 3 10 10 4 5 10 5 по Phy 12 = (p–'p)/n 2 1 10 С целью проверки корректности полученных аналитических соотношений (2) проводилось сопоставление результатов расчета при решении системы дифференциальных уравнений (1) в математической системе MathCAD 8.0 Professional с помощью программы rkfixed – метод Рунге-Кутта (rk) 4-го порядка с фиксированным (fixed) шагом интегрирования. Различие не превышает 10–8, то есть находится в пределах точности решения самим методом Рунге-Кутта. Изменение расчетных значений концентраций компонент в зависимости от некоторых параметров модели представлены в табл. 3. 62 Интегрированные технологии и энергосбережение 3’2004 ИНТЕГРИРОВАННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ПРОМЫШЛЕННОСТИ _________________________________________________________________________________ Таблица 3 – Тенденции изменения расчетных значений концентраций взаимосвязанных компонент в зависимости от параметров модели (– увеличение, – уменьшение) Параметры модели Коэффициент освещенности Коэффициент седиментации Равновесная концентрация Максимальные скорости роста популяций фитопланктона Phy ВОВ РОВ NH4 NO2 NO3 Рорг Рмин БПК РК kf k'cd V – Выводы. Вследствие аналитического представления модель совместной трансформации биогенных элементов и растворенного кислорода приемлема для решения задач оптимизации и краткосрочного прогнозирования качества воды в области охраны вод. Модель достаточно полно описывает процессы изменения компонент, проста в эксплуатации, допускает простые процедуры идентификации ее параметров по данным натурных измерений и может быть легко модифицирована к статистическому виду [6]. Литература 1. Зенин А.А., Белоусов Н.В. Гидрохимический словарь. – Л.: Гидрометеоиздат, 1988. – 240 с. 2. Еременко Е.В. Экологические модели разной сложности для прогнозирования качества воды// Проблеми охорони навколишнього природного середовища та техногенної безпеки: Зб. наук. пр. /УкрНДІЕП, Харків, 2000. – С. 90-99. 3. Леонов А.В. Математическая модель совместной трансформации соединений азота, фосфора и кислорода в водной среде: ее применение для анализа динамики компонентов в евтрофном озере// Водные ресурсы. – 1989, № 2. – С. 105-123. 4. Айзатуллин Т.А., Шамардина И.П. Математическое моделирование экосистем континентальных водотоков и водоемов// Итоги науки и техники. Сер. Общая биология, биоценология, гидробиология. Т. 5. М.: ВИНИТИ, 1980. – С. 154-228. 5. Василенко С.Л. Моделирование процессов последовательно-параллельной трансформации веществ для решения задач оптимизации в области охраны вод// Інтегровані технології та енергозбереження. – 2004, № 1. – С. 104-110. 6. Василенко С.Л. Моделирование последовательной трансформации веществ в водотоках// Екологія і ресурси: Зб. наук. праць. – К.: УІНСіР РНБОУ, 2003. – Вип.7. – С. 56-64. УДК 628.394.57:577.472 Василенко С.Л. МОДЕЛЮВАННЯ СПІЛЬНОЇ ТРАНСФОРМАЦІЇ БІОГЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ І РОЗЧИНЕНОГО КИСНЮ ДЛЯ ПРОГНОЗУВАННЯ ЯКОСТІ ВОДИ У статті викладений підхід до розробки математичної моделі, що описує процеси сумісного трансформування шести компонентів, які містять азот: амонійний, нітрітный, нітратний, фітопланктону, завислих і розчинених органічних речовин, а також фосфору, біохімічного споживання кісну та розчинного кісну. Отримана модель відсвічує основні причинно-наслідкові зв'язки реальних процесів трансформації компонентів і придатна для практичного використання при рішенні задач прогнозування якості води та оптимізації в області охорони вод. Интегрированные технологии и энергосбережение 3’2004 63