2. Уравнение состояния плотного вещества

2. Уравнение состояния
плотного вещества
1. Внешняя кора
2. Внутренняя кора
3. Внешнее ядро
4. Внутреннее ядро
Общее строение нейтронной звезды
Четыре основных слоя:
1. Внешняя кора
2. Внутренняя кора
3. Внешнее ядро
4. Внутреннее ядро
Основная загадка:
1. Состав ядра звезды+
2. Давление плотного
вещества=
Проблема уравнения
состояния (EOS)
Уравнение состояния нейтронных звезд:
Основные принципы
1. Уравнение состояния определяется давлением вещества P.
2. Вещество нейтронных звезд настолько плотное, что P почти не
зависит от температуры T и определяется только массовой плотностью,
а также составом вещества. Обычно пишут
P  P (  ).
2
  E/c ,
3. Массовая плотность определяется как
где E [erg/cc] – плотность энергии (включая энергию покоя частиц)
4. Часто вводят локальный показатель адиабаты gamma или индекс
политропы n, которые характеризуют жесткость уравнения состояния:
  1
1 d ln P

,
n d ln 
P  K 
Четыре диапазона плотности в холодном веществе
1.
e (A, Z)
Белые
карлики
Плотность
 d ~ 4 1011 g/cc
2.
e (A, Z) n
~ 0 .5  0
3.
n p e ( )
~ 2 0
4. Нуклоны, гипероны,
 , К - конденсаты, кварки
~ (15  20)  0
Нейтронные звезды
~ 1 g/cc
2.1. ВНЕШНЯЯ КОРА
1. Термодинамика холодного плотного вещества
2. Вырожденный электронный газ
3. Кулоновские (электростатические) поправки
4. Бета-захваты атомных ядер
5. Равновесный ядерный состав внешней коры
ВНЕШНЯЯ КОРА
(   4  1011 g/cm 3 )
Строение: электроны + (ионы) атомные ядра
Электроны (e): образуют сильно вырожденный,
почти , идеальный газ, дают главный вклад в
давление
Ионы (A,Z): полностью ионизованы давлением,
электронов, дают главный вклад в плотность
Электронейтральность : ne  Zni
Массовая плотность :   mi ni
Давление : P  Pe
Электронный фон
1. Термодинамика холодного вещества
Например : T , V , N j  независимые переменные
dF   P dV  S dT   j  j dN j ; F  свободная энергия Гельмгольца
 F 
 F 
 F 
 T ,V
P  
 T , N j ; S  
 V , N j ;  j  


N
 V 
 T 
j


E  F  TS  внутренняя энергия системы
 E 
Холодное вещество : T  0, F  E , P  
 T ,N j
 V 
В состоянии равновесия
 j  j dN j  0
2. Вырожденный электронный газ
2
2
ne 
dp f ( ),
E
dp  f ( ),
3 
3 
(2)
(2)
1
f 
 функция распределения Ферми - Дирака
exp((   ) / T )  1
Холодный газ : T  0, f ( )  1 при    f ( )  0 при   
p F3
ne  2 3  p F  (3 2 ne )1/ 3  импульс Ферми,   (m 2 c 4  pF2 c 2 )1/ 2
3 
Электронейтральность : ne  Zni  плотность   mi ni  ( A / Z )mu ne
mu  m(12 C)/12  1.66055 10  24 g  атомная единица массы
1/ 3
pF
 6Z 
x
 1.009 

me c
 A 
 параметр релятивизма электронов
x  1    106 g / cc  нерелятивистский электронный газ
x  1    106 g / cc  ультрарелятивистский электронный газ
Уравнение состояния вырожденного электронного газа
2V
E
4
3
(2 )
P
pF
2
2 4
2 2 1/ 2
dp
p

,


(
m
c

p
c ) ,

p  mc sh 
0
E (V , x)
E E x
 
,
V
V x V

1/ 3
x
  2 Ne 
 3

mc 
V 

E  P0V x (1  x 2 )1/ 2 (2 x 2  1)  ln( x  (1  x 2 )1/ 2 )


2 1/ 2  2 2
2 1/ 2 
P  P0  x (1  x )  x  1  ln( x  (1  x ) )
3



me4c 5
dyn
P0  2 3  1.801 10 23
8 
cm 2
Френкель (1928)
Stoner (1932)
Chandrasekhar (1935)
Предельные случаи
Нерелятивистский электронный газ
x  1,   106 g/cm 3 ( 10 метров под поверхностью)
E 3 p F2
1 pF2
5

11/ n
E 
ne , P 
ne ~   
,   , n  1 .5
V 10 me
5 me
3
Ультрарелятивисткий электронный газ
x  1,   106 g/cm 3 ( 10 метров под поверхностью)
E
E 3
1
4

pF c ne , P 
pF c ne ~     11/ n ,   , n  3
V 4
4
3
Химический потенциал :   me2c 4  c 2 pF2  me c 2 1  x 2
Температура вырождения электронов : TF  (   me c 2 ) / k B
( 1.6 109 K при   10 6 g/cc)
Уравнение состояния вырожденного электронного газа
3. Кулоновские (электростатические) поправки
Связаны с наличием ионов (атомных ядер). Модель ионных шаров:
1/ 3
 3 
 
a  
 4ni 
 радиус ионного шара
 e  ene ,
4a 3
 e   Ze
3
Электростатическая энергия вещества : EC  Wi N i
Электростатическая энергия шара :
Wi  Wei  Wee
2 2
Ze 2
Z
e
Wei   dV
 e   32
r
a
Vi
 e1  e 2
Wee   dV1  dV2

| r1  r2 |
Vi
Vi
3
5
Z 2e 2
a
 Wi  
9
10
Z 2e 2
a
Френкель (1928)
Kothari (1938)
Кулоновские (электростатические) поправки
Z 2e 2
EC  Wi N i  0.9
Ni
a
EC EC
Z 2e 2
PC  

  0 .3
ni
V
3V
a
1/ 3
PC
6  4 
  
Pe
5  9 
Z
Bcc
0.90.895929
Fcc
0.895874
Fe
2/3 2
e
 0.0046 Z 2 / 3  0.04
c
6
при   10 g / cc
1/ 3
PC
3  4  Z 2 / 3e 2
Z 2/3
6
  
 0.0057
при   10 g / cc
Pe
2  9 
v F
x
С уменьшением  давление P  Pe  PC обращается в ноль
при    с  0.18 ZA g / cc  262 g / cc (для
56
Fe)
1/ 3
Применимость : T  Z 2 e 2 / a  2.275 107 Z 5 / 3  6 Z / A
9
 4.02 10  61/ 3 K (для
56
Fe),
и    c
K
4. Бета захваты атомных ядер
С увеличением плотности растет химический потенциал электронов.
что индуцирует бета-захваты атомных ядер:
( A, Z )  e  ( A, Z  1)   e
(1) Поглощение электронов уменьшает электронное давление
(2) Атомные ядра обогащаются нейтронами
Пример:
56
26
56
Fe  e  25
Mn   e ;
M
Cr
1+
Mn
56
25
Mn  e  2456 Cr   e
2.128 MeV
M Mn  5.2094.542 MeV
3+
4.207 MeV
Fe
0.109 MeV
M Fe  5.2090.336 MeV
Jpi=0+
Fe
56
26
Fe,
M Cr  5.2096.671 MeV
Mn
Cr
  1011 g / cc   e  19 MeV
5. Равновесный ядерный состав внешней коры
E  N iWN ( A, Z )  Ee  0.9 N i Z 2 e 2 / a  c 2  полная энергия
WN ( A, Z )  M ( A, Z )c 2 ,
M ( A, Z )  масса атомного ядра
N b  AN i ,
nb  N b / V полное

число и концентрация барионов
ni  nb / A,
ne  Zni  Znb / A
nb не меняется при бета-захватах и других реакциях,
N iWN ( A, Z )  Ee  0.9 N i Z 2 e 2 / a
eb ( nb , A, Z ) 
Nb
Равновесный ядерный состав
удобный параметр
= энергия на один барион
M(A,Z) = эксперимент или
теоретические формулы
eb (nb , A, Z )  min при nb  const
E
P
 Pe (ne )  PC (ni )
V
nb  ( A, Z )  E / V  c 2
 P  P(  )
Изменение ядерного состава с увеличением плотности
eb
P
Z1A1
Z2A2
P
Z1A1
Z2A2
nb
P
1
2
1
 
nb
P
Скачок плотности:
2
ne  nb A / Z 
nb  ( A / Z )


nb

A/ Z
1+2
1
2

2
2
1
Фазовый переход в звезде 
P  Pe ( ne )  ne  countinuous
Фазовый переход
первого рода
1
r
r
Равновесный ядерный состав во внешней коре
При наличии фазовых переходов вместо n b удобно пользоваться
новой переменной --- давлением P, которое непрерывно
dF   P dV  S dT   j  j dN j
  F  PV  свободная энергия Гиббса
d  V dP  S dT   j  j dN j
T 0
  E  PV  N i WN ( A, Z )  Ee  Pe V  1.2 N i Z 2 e 2 / a
   / N b  свободная энергия Гиббса на один барион
P  Pe ( ne )  PC (ni )
Равновесный состав
  min при P  fixed
Равновесный ядерный состав во внешней коре
Baym, Pethick, Sutherland (1971)
Haensel, Pichon (1994)
BPS71
Недостатки
(а) Ядерное равновесие
может устанавливаться
cлишком медленно
(б) Кинетика не учитывается
(в) Альтернатива:
аккреционная кора
Haensel, Zdunik (1990)
В лаборатории
N=48
Выводы
1. Давление вещества во внешней коре нейтронной звезды,
в основном, определяется электронами.
2. Ядерный состав вещества в глубоких слоях внешней коры
определяется ядерными превращениями и достаточно
неопределенен.
3. Неопределенность ядерного состава во внешней коре
не сильно влияет на уравнение состояния вещества и
модели нейтронных звезд.