Ëåêöèÿ 3: Îäíîðîäíûå è íåîäíîðîäíûå
ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
Á.Ì.Âåðíèêîâ
Óðàëüñêèé åäåðàëüíûé óíèâåðñèòåò,
Èíñòèòóò åñòåñòâåííûõ íàóê è ìàòåìàòèêè,
êàåäðà àëãåáðû è óíäàìåíòàëüíîé èíîðìàòèêè
Á.Ì.Âåðíèêîâ
Ëåêöèÿ 3: Îäíîðîäíûå è íåîäíîðîäíûå ñèñòåìû
Ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
Îïðåäåëåíèå
Ëèíåéíûì óðàâíåíèåì (èëè óðàâíåíèåì ïåðâîé ñòåïåíè) ñ n íåèçâåñòíûìè
x1 , x2 , . . . , xn íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå âèäà
a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b.
(1)
Âåëè÷èíû a1 , a2 , . . . , an íàçûâàþòñÿ êîýèöèåíòàìè ïðè íåèçâåñòíûõ, à
b ñâîáîäíûì ÷ëåíîì óðàâíåíèÿ (1). Êîýèöèåíòû ïðè íåèçâåñòíûõ è
ñâîáîäíûé ÷ëåí ïðåäïîëàãàþòñÿ èçâåñòíûìè.
Ïðîèçâîëüíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì
îáðàçîì:
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 ,
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 ,
.
....................................
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm .
Á.Ì.Âåðíèêîâ
Ëåêöèÿ 3: Îäíîðîäíûå è íåîäíîðîäíûå ñèñòåìû
(2)
×àñòíîå ðåøåíèå ñèñòåìû. Ñîâìåñòíûå è íåñîâìåñòíûå ñèñòåìû
Îïðåäåëåíèå
×àñòíûì ðåøåíèåì (èëè ïðîñòî0 ðåøåíèåì)
ñèñòåìû (2) íàçûâàåòñÿ
óïîðÿäî÷åííûé íàáîð ÷èñåë (x10, x20 , . . . , xn0 ) òàêîé,
÷òî ïðè ïîäñòàíîâêå â
ëþáîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (2) x1 âìåñòî x1 , x20 âìåñòî x2 , . . . , xn0 âìåñòî xn
ïîëó÷àåòñÿ âåðíîå ðàâåíñòâî. Ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (2) íàçûâàåòñÿ
ñîâìåñòíîé, åñëè îíà èìååò õîòÿ áû îäíî ÷àñòíîå ðåøåíèå, è
íåñîâìåñòíîé â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
Á.Ì.Âåðíèêîâ
Ëåêöèÿ 3: Îäíîðîäíûå è íåîäíîðîäíûå ñèñòåìû
Îäíîðîäíûå ñèñòåìû
Îïðåäåëåíèå
Åñëè âñå ñâîáîäíûå ÷ëåíû ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ðàâíû 0, òî
ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíîé, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå íåîäíîðîäíîé.
Åñëè â ñèñòåìå (2) âñå ñâîáîäíûå ÷ëåíû çàìåíèòü íóëÿìè, òî ìû ïîëó÷èì
îäíîðîäíóþ ñèñòåìó
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0,
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0,
(3)
.
..................................
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = 0,
êîòîðóþ áóäåì íàçûâàòü îäíîðîäíîé ñèñòåìîé, ñîîòâåòñòâóþùåé ñèñòåìå
(2).
Îòìåòèì, ÷òî ëþáàÿ îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà èìååò ðåøåíèå x1 = 0, x2 = 0,
. . . , xn = 0, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ íóëåâûì ðåøåíèåì.  ÷àñòíîñòè,
ñïðàâåäëèâî
Çàìå÷àíèå 3.1
Ëþáàÿ îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñîâìåñòíà.
Á.Ì.Âåðíèêîâ
Ëåêöèÿ 3: Îäíîðîäíûå è íåîäíîðîäíûå ñèñòåìû
Ñâîéñòâà ðåøåíèé îäíîðîäíîé ñèñòåìû (1)
Ëþáîå ÷àñòíîå ðåøåíèå îäíîðîäíîé ñèñòåìû ýòî óïîðÿäî÷åííûé íàáîð
÷èñåë. Ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå ïîçâîëÿåò ãîâîðèòü î ñóììå äâóõ ðåøåíèé
è î ïðîèçâåäåíèè ðåøåíèÿ íà ÷èñëî.
Îïðåäåëåíèÿ
Ïóñòü (x1 , x2 , . . . , xn ) è (y1 , y2 , . . . , yn ) äâà óïîðÿäî÷åííûõ íàáîðà ÷èñåë,
à t íåêîòîðîå ÷èñëî. Òîãäà óïîðÿäî÷åííûé íàáîð ÷èñåë
(x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ) íàçûâàåòñÿ ñóììîé íàáîðîâ (x1 , x2 , . . . , xn ) è
(y1 , y2 , . . . , yn ), à óïîðÿäî÷åííûé íàáîð (tx1 , tx2 , . . . , txn ) ïðîèçâåäåíèåì
íàáîðà (x1 , x2 , . . . , xn ) íà ÷èñëî t .
Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå áóäåò ÷àñòî èñïîëüçîâàòüñÿ â äàëüíåéøåì.
Òåîðåìà 3.1
Ñóììà ëþáûõ äâóõ ÷àñòíûõ ðåøåíèé îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ýòîé ñèñòåìû. Ïðîèçâåäåíèå ëþáîãî
÷àñòíîãî ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé íà ëþáîå
÷èñëî ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ýòîé ñèñòåìû.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ïðèâåäåíî íà ñëåäóþùåì ñëàéäå.
Á.Ì.Âåðíèêîâ
Ëåêöèÿ 3: Îäíîðîäíûå è íåîäíîðîäíûå ñèñòåìû
Ñâîéñòâà ðåøåíèé îäíîðîäíîé ñèñòåìû (2)
Ïóñòü (y1 , y2 , . . . , yn ) è (z1 , z2 , . . . , zn ) ðåøåíèÿ ñèñòåìû
(3). Ïîäñòàâèâ ÷èñëà y1 + z1 , y2 + z2 , . . . , yn + zn â i -å óðàâíåíèå ýòîé
ñèñòåìû (ãäå 1 ⩽ i ⩽ m), ïîëó÷èì
Äîêàçàòåëüñòâî.
ai 1 (y1 + z1 ) + ai 2 (y2 + z2 ) + · · · + ain (yn + zn ) =
= (ai 1 y1 + ai 2 y2 + · · · + ain yn ) + (ai 1 z1 + ai 2 z2 + · · · + ain zn ) =
0 + 0 = 0.
Ïîäñòàâèâ â òî æå óðàâíåíèå ÷èñëà ty1 , ty2 , . . . , tyn , ïîëó÷èì
=
ai 1 (ty1 ) + ai 2 (ty2 ) + · · · + ain (tyn ) = t(ai 1 y1 + ai 2 y2 + · · · + ain yn ) = t ·
Ìû âèäèì, ÷òî íàáîðû ÷èñåë (y1 + z1 , y2 + z2 , . . . , yn + zn ) è
(ty1 , ty2 , . . . , tyn ) ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè ñèñòåìû (3).
Á.Ì.Âåðíèêîâ
0 = 0.
Ëåêöèÿ 3: Îäíîðîäíûå è íåîäíîðîäíûå ñèñòåìû
×èñëî ðåøåíèé îäíîðîäíîé ñèñòåìû
Òåîðåìà 3.1 ïîçâîëÿåò îòâåòèòü íà âîïðîñ, ñêîëüêî ðåøåíèé ìîæåò áûòü ó
îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.
Ñëåäñòâèå 3.1
Ïðîèçâîëüíàÿ îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ëèáî èìååò ðîâíî
îäíî ðåøåíèå, ëèáî èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé.
Ñ ó÷åòîì çàìå÷àíèÿ 3.1 äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî åñëè
îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà èìååò ïî êðàéíåé ìåðå äâà ðàçëè÷íûõ ðåøåíèÿ, òî
îíà èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé. Ïðåäïîëîæèì ïîýòîìó, ÷òî ñèñòåìà
(3) èìååò ïî êðàéíåé ìåðå äâà ðàçëè÷íûõ ðåøåíèÿ. Êàê
ìèíèìóì îäíî èç
ýòèõ
ðåøåíèé
ÿâëÿåòñÿ
íåíóëåâûì,
ò.
å.
èìååò
âèä
(x10 , x20 , . . . , xn0 ), ãäå
xi0 6= 0 äëÿ íåêîòîðîãî 1 ⩽ i ⩽ n. Â ñèëó òåîðåìû 3.1 äëÿ ïðîèçâîëüíîãî
äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà t íàáîð ÷èñåë (tx10 , tx20 , . . . , txn0 ) òàêæå ÿâëÿåòñÿ
ðåøåíèåì ñèñòåìû (3). Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè t1 6= t2 , òî ðåøåíèÿ
(t1 x10 , t1 x20 , . . . , t1 xn0 ) è (t2 x10 , t2 x20 , . . . , t2 xn0 ) ñèñòåìû (3) ðàçëè÷íû (òàê êàê
t1 xi0 6= t2 xi0 ). Ïîñêîëüêó äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë áåñêîíå÷íî ìíîãî,
ïîëó÷àåì, ÷òî ñèñòåìà (3) èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Á.Ì.Âåðíèêîâ
Ëåêöèÿ 3: Îäíîðîäíûå è íåîäíîðîäíûå ñèñòåìû
Ñâîéñòâà ðåøåíèé íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû (1)
Äîêàæåì òåïåðü ïîëåçíîå óòâåðæäåíèå î ñâÿçè ðåøåíèé ñèñòåì (2) è (3).
Òåîðåìà 3.2
Ïóñòü ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (2) ñîâìåñòíà. Âûáåðåì
ïðîèçâîëüíûì
îáðàçîì è çàèêñèðóåì íåêîòîðîå åå ÷àñòíîå ðåøåíèå (x10 , x20 , . . . , xn0 ).
1) Åñëè (y1 , y2 , . . . , y0n ) 0 ÷àñòíîå
ðåøåíèå ñèñòåìû (3), òî ñóììà
íàáîðîâ ÷èñåë (x1 , x2 , . . . , xn0 ) è (y1 , y2 , . . . , yn ) ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì
ðåøåíèåì ñèñòåìû (2).
2) Îáðàòíî, êàæäîå
÷àñòíîå ðåøåíèå ñèñòåìû (2) ÿâëÿåòñÿ ñóììîé
ðåøåíèÿ (x10 , x20 , . . . , xn0 ) ýòîé ñèñòåìû è íåêîòîðîãî ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ
ñèñòåìû (3).
1) Ïîäñòàâèì ÷èñëà x10 + y1 , x20 + y2 , . . . , xn0 + yn â
ïðîèçâîëüíîå i -å óðàâíåíèå ñèñòåìû (2) (ãäå 1 ⩽ i ⩽ m). Ïîëó÷èì
Äîêàçàòåëüñòâî.
ai 1 (x10 + y1 ) + ai 2 (x20 + y2 ) + · · · + ain (xn0 + yn ) =
= (ai 1 x10 + ai 2 x20 + · · · + ain xn0 ) + (ai 1 y1 + ai 2 y2 + · · · + ain yn ) =
0 = bi .
Ìû âèäèì, ÷òî íàáîð ÷èñåë (x10 + y1 , x20 + y2 , . . . , xn0 + yn ) ÿâëÿåòñÿ
ðåøåíèåì ñèñòåìû (2).
= bi +
Á.Ì.Âåðíèêîâ
Ëåêöèÿ 3: Îäíîðîäíûå è íåîäíîðîäíûå ñèñòåìû
Ñâîéñòâà ðåøåíèé íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû (2)
2) Ïóñòü (z01 , z2 , . . . , zn ) 0 ÷àñòíîå ðåøåíèå
ñèñòåìû (2). Ïîëîæèì
y1 = z1 − x1 , y2 = z2 − x2 , . . . , yn = zn − xn0 . Ïîäñòàâèì ÷èñëà y1 , y2 , . . . , yn â
i -å óðàâíåíèå ñèñòåìû (3) (ãäå 1 ⩽ i ⩽ m). Ïîëó÷èì
ai 1 y1 + ai 2 y2 + · · · + ain yn =
= ai 1 (z1 − x10 ) + ai 2 (z2 − x20 ) + · · · + ain (zn − xn0 ) =
= (ai 1 z1 + ai 2 z2 + · · · + ain zn ) − (ai 1 x10 + ai 2 x20 + · · · + ain xn0 ) =
0
= bi − bi = .
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî (y1 , y2 , . . . , yn ) ÷àñòíîå ðåøåíèå ñèñòåìû (3). Ñ äðóãîé
ñòîðîíû, z1 = y1 + x10 , z2 = y2 + x20 , . . . , zn = yn + xn0 . Òàêèì îáðàçîì, ìû
ïðåäñòàâèëè ïðîèçâîëüíîå ðåøåíèå ñèñòåìû (2) â âèäå ñóììû
èêñèðîâàííîãî ðåøåíèÿ (x10 , x20 , . . . , xn0 ) ýòîé ñèñòåìû è íåêîòîðîãî
ðåøåíèÿ (y1 , y2 , . . . , yn ) ñèñòåìû (3).
Á.Ì.Âåðíèêîâ
Ëåêöèÿ 3: Îäíîðîäíûå è íåîäíîðîäíûå ñèñòåìû
×èñëî ðåøåíèé íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû
Òåïåðü ìû ìîæåì îòâåòèòü íà âîïðîñ, ñêîëüêî ðåøåíèé ìîæåò áûòü ó
ïðîèçâîëüíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.
Ñëåäñòâèå 3.2
Ïðîèçâîëüíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ëèáî íå èìååò ðåøåíèé, ëèáî
èìååò ðîâíî îäíî ðåøåíèå, ëèáî èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé.
Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñèñòåìà èìååò ïî êðàéíåé
ìåðå äâà ðàçëè÷íûõ ðåøåíèÿ, òî îíà èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé.
Ïðåäïîëîæèì ïîýòîìó, ÷òî ñèñòåìà (2) èìååò ïî êðàéíåé ìåðå äâà
ðàçëè÷íûõ ðåøåíèÿ. Èç òåîðåìû 3.2 âûòåêàåò, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé
îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà (3) òàêæå èìååò ïî êðàéíåé ìåðå äâà ðàçëè÷íûõ
ðåøåíèÿ.  ñèëó ñëåäñòâèÿ 3.1 ýòà ñèñòåìà èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî
ðåøåíèé. Íî òîãäà èç òåîðåìû 3.2 âûòåêàåò, ÷òî è ñèñòåìà (2) èìååò
áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Á.Ì.Âåðíèêîâ
Ëåêöèÿ 3: Îäíîðîäíûå è íåîäíîðîäíûå ñèñòåìû
Îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû
Îïðåäåëåíèå
Ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé íàçûâàåòñÿ îáùèì
ðåøåíèåì ýòîé ñèñòåìû.
Çàìåòèì, ÷òî
îáùåå ðåøåíèå åñòü ó ëþáîé ñèñòåìû.  ÷àñòíîñòè, ó íåñîâìåñòíîé
ñèñòåìû îáùèì ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ ïóñòîå ìíîæåñòâî.
Òåîðåìà 3.2 ãîâîðèò î òîì, ÷òî íàáîð ÷èñåë ïðèíàäëåæèò îáùåìó
ðåøåíèþ ñèñòåìû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îí ïðåäñòàâèì â âèäå
ñóììû íåêîòîðîãî åå èêñèðîâàííîãî ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ è íàáîðà ÷èñåë,
ïðèíàäëåæàùåãî îáùåìó ðåøåíèþ ñîîòâåòñòâóþùåé îäíîðîäíîé ñèñòåìû.
 ñâÿçè ñ ýòèì òåîðåìó 3.2 ÷àñòî êðàòêî îðìóëèðóþò ñëåäóþùèì
îáðàçîì:
îáùåå ðåøåíèå (ñîâìåñòíîé) ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ðàâíî
ñóììå åå ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ è îáùåãî ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé
îäíîðîäíîé ñèñòåìû.
Á.Ì.Âåðíèêîâ
Ëåêöèÿ 3: Îäíîðîäíûå è íåîäíîðîäíûå ñèñòåìû
