

Колебания шарика вблизи дна сферической полости

m
Найти дифференциальное
уравнение определяющие
колебания шарика вблизи
дна сферической полости.
Определить частоту малых
колебаний. Считать, что
система консервативна,
моментом инерции шарика
пренебречь
Сила
F1  F2  F3  0


F3
 
F1 sin    F2 cos   F3  0
2
F2
F1  mg
F3   mg sin  
Момент движения
J  M  F3  

g
 

2
0

  mg sin  
2
J  m
2
m   mg sin  
sin    
F3
F1  mg
g
    0

Линейное движение
 F2 sin    F3  0

 F1  F2 cos   0
y
sin  
F3   F2 sin    mg
cos 

F3
F2
x
F1  mg
Линейное движение
sin  
F3   F2 sin    mg
cos 
x
x

F3   mg
 mg
2
2
2
2
 x
 x

x
x
mx  mg  0
F3  mg


g
x  x  0

Энергия

mV
T
2

2
L  
V  
2

TJ
2
P  mgh
h
h     cos 
Энергия
2

m 
 mg 1  cos   const
2

g
2  sin    0
2

g
  sin    0

g
    0

2
g
 

2
0
Крутильный маятник
h
Вид сверху
L
Однородный стержень
подвешен за свои
концы на
нерастяжимых нитях.
Определить частоту
малых крутильных
колебаний считая, что
система
консервативна.
1
2
J  mL
12
Энергия


P  mgh1 cos 

h
L
2

L
 
2h
Энергия

 L 
P  mgh1  cos   
 2h  

2
J

 L 
 mgh 1  cos     C
2
 2h  


L
L 

J 2  mgh sin     0
2
2h  2h 
2
1
L
2
mL   mg   0
12
4h
g
 3
h
2
0
g
  3   0
h
шахта
m
R

Определить частоту
собственных колебаний груза,
брошенного в шахту,
проходящую через центр
однородной сферической
планеты. Шарик не вылетает за
пределы планеты.
mM
F  2
r
шахта
Q
mM
F  2
r
q
qQ
F   0 2
r
x
шахта
4mR 3
F  
3x 2
R
х

3
4mx
4
F  
 
mx
2
3x
3
4
mx  
mx  0
3
4
 

3
2
0
4
x 
x  0
3
Трубка
l
Определить частоту
собственных колебаний столба
жидкости в U образной трубке.
Считать, что система
консервативна.
S-сечение трубки
-плотность жидкости
l-длина столба
Трубка
m  Sl
x
l
, S
F  2 gSx
Slx  2 gSx  0
2g
x 
x0
l
2g
 
l
2
0