Приложение 1. Атом водорода

Приложение 1. Атом водорода
Атом водорода – связанная система, состоящая из положительно
заряженного ядра – протона и отрицательного заряженного электрона.
Размеры атомов определяются размерами его электронной оболочки.
Характерные размеры атомов ≈ 10−8 см. Рассмотрим вначале упрощенный
вариант описания атома водорода – будем считать, что электрон – заряженная частица, не имеющая никаких внутренних квантовых чисел, находится
в кулоновском поле массивного протона. В этом случае потенциальная
энергия электрона в кулоновском поле протона не зависит от направления
радиуса–вектора, соединяющего электрон и протон, т. е. задача сферическисимметричная
e2
U(r) = − .
(П.1)
r
Возможные значения стационарных состояний электрона получаются
при решении уравнения Шредингера с потенциалом (П.1). Связанные
состояния электрона определяются соотношением
R
13,6
E N = − 2π ℏс 2 = − 2 эВ,
N
N
где N – главное квантовое число, определяющее энергии различных
состояний электрона в атоме водорода (N = 1, 2, 3…), R − постоянная
Ридберга (1,0974⋅105 см−1).
Радиальная волновая функция Rnl (r ) является решением уравнения
(5.17) с потенциалом (П.1) и имеет вид:
r
Rnl (r ) = r0e − r / nr0 r −1Lnl   ,
 r0 
ℏ2
где Lnl (r / r0 ) – полиномы Лагерра, r0 = 2 - боровский радиус.
me
Радиальные функции Rnl (r ) для n = 1, 2, 3 приведены в таблице 1.
Состояния атома водорода описываются (как и любой другой
сферически симметричной системы) радиальным, орбитальным и
магнитным квантовыми числами n, l и m. Важно отметить, что между
главным квантовым числом N, используемым в атомной спектроскопии, и
квантовыми числами n и l существует следующая связь:
N = n + l.
Квантовые числа n (или N), l и m полностью характеризуют состояние
электрона в атоме водорода в рассмотренной упрощенной модели.
Состояние с N = 1 называется основным состоянием атома водорода, так
как в этом состоянии система обладает наименьшей энергией и находится в
нем бòльшую часть времени. В атоме водорода энергия основного состояния E1 = −13,6 эВ. Состояния с N = 2, 3, … называются возбужденными
221
Таблица 1.Радиальные функции атома водорода
n=1
l=0
n=2
l=0
R10 =
r0
3
e− r / r0
1 
r  − r /2 r0
1
−

e
2r03  2r0 
1 r − r /2 r0
R21 =
e
3 r
2 6r0 0
R20 =
l=1
n=3
2
l=0

2r 2r 2  − r /3r0
R30 =
+
e
1 −
2 
3 3r03  3r0 27 r0 
l=1
R31 =
l=2
r 2 − r /3r0
R32 =
e
2
8 30r03 r0
2
r
r  − r /3r0
1−

e
3 r
6
r
27 6r0 0 
0 
8
4
состояниями. Энергия возбуждения E возб − это энергия, которую необходимо сообщить системе, чтобы она перешла из начального состояния N i
в конечное состояние N f , определяется из соотношения
 1
1
E возб = 2π ℏсR  2 − 2
 Ni
Nf



 = 13,6  1 − 1

 N 2 N 2
f

 i

 эВ.


(П.2)
Все состояния от N = 1 до N = ∞ являются связанными состояниями,
так как имеют отрицательные энергии. При приближении N к ∞ энергии
состояний сближаются, и разница в энергиях соседних состояний становится настолько мала, что уровни сливаются, и дискретный спектр уровней
трансформируется в сплошной. Когда энергия электрона становится положительной (E > 0), система превращается в несвязанную и электрон становится свободным. Спектр энергий свободного электрона непрерывный.
Переходы из состояний N = 2, 3, … ∞ в состояние N = 1 образуют
серию Лаймана. Переходы из состояния N = 3, 4, … ∞ в состояние N = 2 –
серию Бальмера. Переходы между состояниями с отрицательной энергией
(E < 0) приводят к образованию дискретного спектра переходов, в то время
как переходы между состояниями с E > 0 и состояниями с E < 0 дают
непрерывный спектр переходов.
Важной особенностью любой сферически симметричной системы
является совпадение энергий состояний. Это явление носит название
вырождения. Его характер зависит от конкретного вида потенциала U(r). В
222
любом центральном потенциале энергия не зависит от числа m. Поскольку
m = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…, ± l, то для каждого орбитального момента l имеется
2l + 1 значений m, и все эти значения отвечают одной и той же энергии.
Таким образом, число различных (в данном случае по m) квантовых
уровней с совпадающей энергией, т.е. кратность вырождения, также равно
2l + 1. Это минимально возможная кратность вырождения, присущая центральному полю. Обычно возникает дополнительное вырождение, обусловленное определенным комбинациям n и l.
Рассмотрим эту ситуацию для кулоновского потенциала (П.1). В этом
потенциале энергия определяется только главным квантовым числом
N = n + l. Каждому уровню с главным квантовым числом N соответствует N
состояний, различающихся квантовыми числами l = 0, 1, 2, …, (N − 1).
Рис. П.1 Схема уровней атома водорода:
а) – без учёта спина электрона и спина ядра,
б) – тонкое расщепление уровней, учитывающее спин электрона,
в) – лембовский сдвиг уровней,
г) – сверхтонкое расщепление уровней, учитывающее взаимодействие магнитного
момента электрона с магнитным моментом ядра.
Положения уровней и величины их расщеплений даны не в масштабе.
223
Такое вырождение характерно только для кулоновского поля. Кроме
того, каждое из этих вырожденных по l состояний (2l + 1)-кратно
вырождено по числу m. Таким образом, полная кратность вырождения
стационарного состояния
с главным квантовым числом N
дается
выражением
N −1
∑ (2l + 1) = N 2 .
l =0
В реальных физических системах высокая кратность вырождения
почти никогда не встречается, поскольку такие системы подвержены
влиянию дополнительных воздействий, либо слегка изменяющих вид
центрального потенциала, либо искажающих саму центральную
симметрию. При этом вырожденные уровни за счет этого дополнительного
взаимодействия расщепляются по энергии (говорят о снятии вырождения).
Так, например, в атоме гелия вырождение снимается уже при учете
взаимодействия между двумя электронами.
Уровни энергии электрона в атоме обозначают указанием квантовых
чисел N и l. При этом вместо числа l пишется латинская буква в соответствии с таблицей. Так при N = 1 имеется одно состояние 1s; при N = 2
имеется два состояния 2s и 2p; при N = 3 есть состояния 3s, 3p, 3d и т.д.
Состояния атома водорода на рис. 5.5 помечены именно таким образом.
При описании состояний атомного ядра и частиц принято несколько
иное спектроскопическое обозначение уровней. А именно, вместо главного
квантового числа N указывают обычно радиальное квантовое число n.
До сих пор мы считали, что спин электрона равен нулю. Учтем теперь, что
электрон имеет спин s = 1/2. Полный момент количества движения J элект
рона будет определяться
векторной
суммой
орбитального
L
и
спинового
S
моментов J = L + S . Так как спин электрона s = 1/2, его полный момент
количества движения J может быть только полуцелым.
224
Приложение 2. Дейтрон
Дейтрон — связанное состояние нейтрона и протона, стабилен и
существует только в основном состоянии. Его характеристики приведены в
таблице:
Характеристики дейтрона
Масса (mc2)
Энергия связи W
Спин J
Чётность P
Магнитный момент µ
Электрический квадрупольный момент Q
1875,613 МэВ
2,224 МэВ
1
+1
0,857 µN
0,282 Фм2
Приведенные значения µ и Q являются наблюдаемыми (квантовомеханическими),
а
не
собственными.
Собственный
электрический
квадрупольный момент Q0 для дейтрона в 10 раз больше наблюдаемого:
Q0 = 10Q = 2,82 Фм2.
Отсюда, используя связь между Q0 и параметром деформации ядра β
4
Q0 = ZR 2 β ,
5
получаем, полагая для дейтрона R = Rd ≈ 4,3 Фм (см. ниже), β( 12 H ) = 0,19.
Эта величина даёт наглядное представление о степени несферичности
дейтрона.
Спин дейтрона определяется формулой
J ( 12 H ) = s p + s n + L ,
где L − относительный орбитальный момент нуклонов в дейтроне.
Так как чётность дейтрона P = π р ⋅ π n (−1) L = +1, то L − чётно ( π р = π n = +1).
Антипараллельные спины нуклонов в дейтроне:
s p + s n = 0 (↑↓),
невозможны, так как в этом случае L = J = 1 и чётность дейтрона должна
была бы быть отрицательной. Поэтому в дейтроне спины нуклонов
параллельны (↑↑)
s p + sn = 1 .
Для орбитального момента L возможны два значения L = 0 (sсостояние) и L = 2 (d-состояние). Спиновые и орбитальные моменты в этих
двух случаях направлены так, как показано на рис. П 2.1. То, что дейтрон
существует лишь в состоянии с параллельными спинами ↑↑ и не существует
в состоянии ↑↓, указывает на зависимость ядерных сил от спина. Нуклоны в
состоянии ↑↑ притягиваются сильнее, чем в состоянии ↑↓.
225
sn
sn
sp
sp
J =1
( L = 0)
L=2
J =1
Рис. П 2.1. Схематическое изображение взаимного направления спиновых,
орбитальных и полных угловых векторов в дейтроне
В дейтроне в состоянии L = 0 для величины магнитного момента
дейтрона имеем
µ = µ L =0 = µ p + µ n = 2,792 µ N − 1,913 µ N = 0,879 µ N ≈ 0,88 µ N .
Эта величина отличается от экспериментального значения (см. таблицу) на
2,6%. Это говорит о том, что небольшую часть времени дейтрон проводит в
d-состоянии. С учетом этого волновая функция дейтрона может быть
записана как смесь s- и d-состояний
ψ( 12 H ) = αψ s + βψ d ,
причем α 2 + β 2 = 1. Небольшая примесь d-состояния объясняет наличие у
дейтрона электрического квадрупольного момента, т.к. d-состояние, в
отличие от s-состояния, не является сферически симметричным. Значения
коэффициентов α и β можно найти «подгонкой» магнитного дипольного и
электрического квадрупольных моментов под
экспериментальные
2
2
значения. При этом оказывается, что α ≈ 0,96, а β ≈ 0,04.
Основное состояние в случае центрально-симметричных сил всегда
s-состояние. Энергии связанных состояний с L ≠ 0 всегда выше из-за
центробежной энергии.
Нецентральные силы, приводящие к Q0 ≠ 0, называются тензорными.
Они зависят от угла между вектором r , соединяющим два нуклона, и
вектором их суммарного спина. Так как Q( 12 H ) > 0, то дейтрону отвечает
вытянутый эллипсоид.
Волновую функцию дейтрона ψ (r ) можно найти, решая уравнение
Шредингера для частицы с приведённой массой µ = m p ⋅ mn / ( m p + mn ) ,
движущейся в центрально-симметричном поле. Функция ψ (r ) имеет вид
u (r )
ψ (r ) = L YLm (θ , ϕ ) ,
r
226
причём u L ( r ) подчиняется радиальному уравнению Шредингера.
Хорошее описание экспериментальных данных даёт выбор
потенциала в форме сферически симметричной прямоугольной ямы
глубиной V0 ≈ 35 МэВ и шириной a = 2 Фм.
В основном состоянии L = 0 (в рассматриваемом приближении
центрально-симметричного поля основное состояние дейтрона − это чистое
1
s-состояние) и Y00 =
. При этом всё сводится к решению радиального
4π
уравнения Шредингера в областях r < R и r > R (рис. П 2.2).
V (r ), u (r )
e −γr
Sin kr
u (r )
R = 2 Фм
0
−W
(−2.2 МэВ)
r, Фм
4
1
6
8
2
а
− V0
Рис. П 2.2 Прямоугольная потенциальная яма для дейтрона и
его радиальная волновая функция
Уравнения Шредингера и его решения для дейтрона в областях 1
(r < R) и 2 (r > R) имеют вид
2µ (V0 − W )
d 2 u1
2
+
k
u
=
0;
u
=
A
⋅
sin
kr
;
k
=
.
1
1
ℏ
dr 2
2µW
d 2u 2
−γr
2
−
γ
u
=
0;
u
=
C
e
;
=
.
γ
2
2
ℏ
dr 2
Радиусом дейтрона называют Rd = 1/γ ≈ 4,3 Фм, что вместе со
сравнительно малой величиной его энергии связи W (≈ 2,2 МэВ) указывает
на «рыхлость» дейтрона. Он имеет такой же радиус, как и ядро с A = 40−50.
227
Приложение 3. ФИЗИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ И ЕДИНИЦЫ
(приближенные значения)
с
G
скорость света в вакууме
3,00⋅108 м⋅сек−1,
гравитационная постоянная
6,67⋅10−11 м3⋅кг−1⋅сек−2 =
1,3⋅10−42 Фм⋅с4/МэВ,
NA
число Авогадро
6,02⋅1023 моль−1,
k
постоянная Больцмана
1,38⋅10−23 Дж⋅К−1 =
8,62⋅10−11 МэВ⋅К−1,
e
величина заряда электрона
1,60⋅10−19 Кл =
4,80⋅10−10 ед. СГСЭ,
h
постоянная Планка
6,63⋅10−34 Дж⋅сек =
4,14⋅10−21 МэВ⋅сек,
приведенная постоянная
Планка
1,05⋅10−34 Дж ⋅сек =
6,58⋅10−22 МэВ⋅сек,
ℏс
переходная константа
3,16⋅10−26 Дж⋅м =
197 МэВ⋅Фм,
е2
α =
е ℏс
me
постоянная тонкой структуры
1
,
137
масса электрона
9,11⋅10−31 кг = 0,511 МэВ⋅c−2,
mp
масса протона
1,6726⋅10−27 кг =
938,27 МэВ⋅ c−2,
mn
масса нейтрона
1,6749⋅10−27 кг =
939,57 МэВ⋅ c−2,
ℏ=
h
2π
1,29 МэВ⋅ c−2,
mn - mp
eℏ
µB =
2mec
eℏ
µN =
2m c
магнетон Бора
9,27⋅10−24 Дж⋅Тл−1 =
5,79⋅10−15 МэВ⋅Гс−1,
ядерный магнетон
5,05⋅10−27 Дж⋅Тл−1 =
3,15⋅10−18 МэВ⋅Гс−1,
масса Планка
2,18⋅10−8 кг =
p
1/2
 ℏc 
mPl =  
G
1/2
планковская длина
(квант расстояния)
1,6⋅10−33 см,
1/2
планковское время
(квант времени)
5,4⋅10−44 сек,
 Gℏ 
rPl =  3 
c 
t Pl
1,22⋅1019 ГэВ⋅c-2,
 Gℏ 
= 5 
c 
228
M
масса Солнца
2⋅1030 кг,
H0
постоянная Хаббла
72 км⋅сек−1⋅мегапарсек−1,
t0
возраст Вселенной
13,7⋅109 лет,
Три
температура реликтового
(фонового) излучения
2,7 К.
Энергия:
1 эВ = 1,60⋅10−12 эрг = 1,60⋅10−19 Дж,
1 эВ = 10−3 кэВ = 10−6 МэВ = 10−9 ГэВ = 10−12 ТэВ.
Длина:
1Фм (ферми) = 10−13 см, 1 пк (парсек) = 3,09⋅1016 м,
1 световой год = 9,46⋅1015 м.
Масса:
1 а.е.м.(атомная единица массы) = 931,5 МэВ/с2 =
1,66⋅10−27 кг.
Эффективное сечение
и электрический
квадрупольный
момент:
Активность:
1 б (барн) = 10−24 см2 = 100 Фм2.
1 Бк (беккерель) = 1 распад⋅сек−1,
1 Ки (кюри) = 3,7⋅1010 Бк.
229