необходимые и достаточные условия существования решений

____________________________________________________ Математика и информатика
УДК 517.9
А. . ЛЕПЕЕВ
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ
СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ОДНОМЕРНЫХ АВТОНОМНЫХ
СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ
The article deals with onerdimensional homogeneous stochastic differential inclusions without
drift with unbounded Borel-measurable right part. The main result is a necessary and sufficient
condition for the existence of weak solutions of the inclusions for every initial distribution. The
existence of non-trivial weak solutions is also investigated.
Исследуется одномерное автономное стохастическое дифференциальное
включение (СДВ)
где W - одномерный винеровский процесс, В : IR. —> comp(IR) многозначное борелевское отображение, comp(IR) - множество всех
непустых компактных подмножеств из IR с метрикой Хаусдорфа
,
, где
- полуотклонение А от В.
Измеримость рассматриваемых многозначных отображений будем понимать
как измеримость функций со значениями в comp(IR). Соответствующая
σ-алгебра борелевских множеств B(comp(IR)) порождается открытыми множествами вида
В данной работе исследуется вопрос о существовании решений стохастического дифференциального включения с неограниченной правой частью, от которой требуется лишь компактность образа В(х) для любой фиксированной
точки
, но, в отличие от работ [1-3], отображение В(.) не обязательно
должно быть ограниченным даже локально. В [4] наряду с определением слабого решения включения как стохастического интеграла Ито, отвечающего некоторым условиям, было введено понятие явного слабого решения, которое
принадлежит более узкому классу диффузионных процессов, так же как и решения соответствующего стохастического дифференциального уравнения
(СДУ) вида
где B: IR —> IR - борелевская функция, W - одномерный винеровский процесс.
В данной работе, применяя метод случайной замены времени, мы приводим
необходимое и достаточное условие существования слабых решений для любого
начального распределения. Более того, оказывается, что это условие совпадает с
необходимым и достаточным условием существования явных слабых решений
для любого начального распределения, найденным в [4], где также приводится
необходимое и достаточное условие существования нетривиальных решений.
1. Предварительные сведения. Пусть
- полное вероятностное
пространство с фильтрацией
. Для процесса
, определенного
на
, мы пишем (X, IF), если X - IF-согласованный.
Напомним, что стохастический процесс (X, IF), определенный на вероятностном пространстве
с фильтрацией
и траекториями в
, называют слабым решением СДУ (2) с вещественнозначным начальным распределением Х0, если существует (W, IF) - винеровский процесс с
такой, что
, Р-п. н. выполняется:
91
Вестник БГУ. Сер. 1. 2007. № 1 __________________________________________
Для любой борелевской функции v: IR -> IR определим множества
- открытой окрестности х},
Предложение 1 ([5, теорема 1], [6, предложение 4.11]). Слабые решения
уравнения (2) существуют для любого начального распределения тогда и
только тогда, когда выполняется
. Более того, любое решение уравнения (2) является невзрывающимся, т. е. траектории решения не уходят на
бесконечность за конечный промежуток времени Р-n. н.
Теперь подробнее рассмотрим метод случайной замены времени. Действуем
на определенном в начале раздела фильтрированном вероятностном пространстве. Напомним, что любое возрастающее непрерывное справа семейство
- Р-п. н. конечных IF-моментов остановки называется IF-заменой
времени. Если определить правый обратный процесс
, то
можно привести основное свойство замены времени
, Р-п. н.
Кроме того, если процесс А является строго возрастающим, то Г будет непрерывным и
, Р-п. н.
. Приведем некоторое обобщение этого понятия,
описанное, в частности, в [7]. Пусть
- непрерывный справа возрастающий процесс, принимающий значения в
и
. Определим обратный к А возрастающий процесс
. Для
произвольного измеримого процесса Z потраекторно в соответствии с процедурой построения интеграла Лебега можно определить интеграл
=
В [7] доказывается равенство, которое оказалось полезным свойством процедуры случайной замены времени.
Предложение 2 ([7, лемма 1.6]). Для любого неотрицательного измеримого
процесса Z выполняется
Различного рода случайные замены времени можно продуктивно использовать для решения разнообразных вопросов стохастического анализа. Остановимся на замене времени в данной работе. Пусть v: IR –> IR - произвольная
борелевская функция и
- винеровский процесс на вероятностном пространстве
с произвольным начальным распределением. Определим
возрастающий процесс и обратный к нему
Пусть далее
как
- первый момент попадания процесса
в множество
I
Следующие результаты доказаны в [5, лемма 1] и [8, теорема 3].
Предложение 3. В приведенных выше определениях Р-п. н. выполняется
и
92
_______________________________________________Математика и информатика
В продолжение раздела 1 исследуем правую часть СДВ (1). Далее в
тексте
мы
будем
обозначать
l
и
l+
меру
Лебега
на
соответственно.
В дальнейшем будем использовать понятия селекторов многозначного
отображения (подробнее описано в [4]). А именно явные селекторы
отображения
- такие функции
,
что
и
селекторы композиции такие
функции
, что
для
почти всех
По аналогии с [4] введем следующие вещественнозначные функции:
и
Замечание 1. 1) Функции
являются борелевскими
(см. [4, лемма 1]),
- селектор отображения
и
2) Справедливы соотношения
3) Для любого явного селектора
,
отображения
справедливо
В заключение приведем понятия решений СДВ (1).
Определение 1. Стохастический процесс (X,W), определенный на вероятностном пространстве
с фильтрацией и
траекториями в
, будем называть явным слабым решением СДВ (1), если Х0 - вещественнозначно, существуют
- винеровский процесс с и
релевский явный селектор
отображения
кие, что Р-п. н. для всех
выполняется следующее равенство:
бота-
Определение 2. Стохастический процесс (X,IF), определенный на вероятностном пространстве
с фильтрацией
и траекториями в
, назовем слабым решением СДВ (1), если Х0 вещественнозначно,
существуют
- винеровский процесс с
IF-согласованный
-п. в. селектор
такие, что Р-п. н. для всех
равенство
- измеримый
композиции
выполняется
Следующие факты, доказанные в работе [4], определяют условия
существования явных слабых решений и их взаимоотношение со слабыми
решениями.
Предложение 4. Стохастическое дифференциальное включение (1)
имеет явные слабые решения для любого начального распределения тогда и
только тогда, когда выполняется
93
Вестник БГУ. Сер. 1. 2007. № 1 _________________________________________
Предложение 5 ([4, лемма 2]). Если
- явное слабое решение СДВ (1),
то
является слабым решением СДВ (1).
Напомним, что слабое (явное слабое) решение
включения (1) называется тривиальным, если
, Р-п. н., в противном случае решение
называется нетривиальным.
2. Существование решений. Докажем необходимые и достаточные условия
существования решений СДВ (1). При доказательстве теорем данной работы
будет использоваться следующая
Лемма 3. СДВ (1) имеет тривиальное решение с начальным распределением
тогда и только тогда, когда
Р-n. н. (от. е.
Р-п. н.).
Доказательство. Достаточность условия очевидна, так как тривиальное
решение существует относительно селектора
Р-п. н. Для доказательства необходимости допустим, что X - тривиальное решение с начальным распределением
относительно селектора и, тогда необходимо
Р-п. в., следовательно, из определения решения включения
-п. в. Но
Р-п. в., поэтому
-п. в.
Теорема 1. Стохастическое дифференциальное включение (1) имеет слабые решения для любого начального распределения тогда и только тогда, когда выполняется условие (5).
Доказательство. Достаточность условия (5) доказана в теореме 1 из [4],
осталось доказать необходимость. Пусть
- слабое решение СДВ (1) относительно некоторого селектора
, т. е. выполняется (4). Тогда возрастающий процесс
Пусть процесс
Р-п. н. определяется
- правый обратный к
. Положим
. Тогда
,
определяемый
, где
с начальным условием
является непрерывным локальным мартингалом таким, что
означает, что
- винеровский процесс, остановленный в
Используя предложение 2, получаем
. Это
(см. [9]).
где последнее неравенство обусловлено тем, что
для
почти всех
, и поэтому
почти всюду.
Теперь докажем необходимость условия (5). Возьмем произвольное начальное условие
, для которого не существует тривиального решения (если
для него существует тривиальное решение, то из леммы 3 необходимо
). Докажем, что эта точка не принадлежит
. Пусть
- нетривиальное слабое решение СДВ (1) с начальным значением
относительно некоторого селектора
. Так как решение X является нетривиаль94
Математика и информатика
ным, то
. Следовательно, существует
. Учитывая тот факт, что
мы можем заключить
на
t > 0 такое, что
, неравенство (7),
Следовательно, из закона нуля и единицы в [8] существует открытая окрест­
ность G точки x0 такая, что функция .
интегрируема по G, т. е.
Исследуем вопрос существования нетривиальных решений СДВ (1).
Теорема 2. Стохастическое дифференциальное включение (1) имеет сла­
бые и явные слабые нетривиальные решения для любого начального распреде­
ления тогда и только тогда, когда функция локально интегрируема на
Д о к а з а т е л ь с т в о . Повторив построение явного слабого решения, анало­
гичное построению решения в теореме 1 из [4], но относительно селектора
, останется проверить лишь его нетривиальность. Дополнительно
отметим, что для данного селектора из локальной интегрируемости
следует, что множество
пусто, т. е.
, и из (3) заключаем, что
. Поэтому квадратическая вариация построенного решения X Р-п. н.
определена как
Данное решение не является тривиальным, так как для тривиальности необ­
ходимо выполнение условия
Р-п. в., и, следовательно,
Р-п. в., но это противоречит тому, что
Это решение и является нетривиальным явным слабым решением СДВ (1)
на том же фильтрированном вероятностном пространстве с тем же винеровским
процессом. По предложению 5 оно и нетривиально слабое решение СДВ.
Доказательство необходимости проводится аналогично доказательству тео­
ремы 1 данной работы. А именно пусть (X,IF) - слабое или явное слабое не­
тривиальное решение включения (1) с произвольным начальным условием
относительно некоторого селектора и (для явного решения отно­
сительно некоторого явного селектора v полагаем
тогда,
определив процессы Аu как в (6) и соответствующий Тu, для этого решения
мы получаем (Wu, IFu) - винеровский процесс, остановленный в
, для кото­
рого выполняется неравенство (7) и, следовательно, (8). Таким образом, согласно
закону нуля и единицы в [8] существует открытая окрестность G точки х0 такая,
что функция
интегрируема по G. Ввиду произвольности точки х0 получа­
ем, что
локально интегрируема на IR..
Примеры. 1) Теорема 1 данной работы позволяет исследовать включения
вида (1) со всевозможными многозначными правыми частями, которые явля­
ются локально неограниченными. Рассмотрим правую часть, образованную
счетным объединением прямых строфоид, которую можно описать
Несложно проверить, что это отображение удовлетворяет условиям теоре­
мы 1, поэтому данное стохастическое дифференциальное включение имеет сла­
бые и явные слабые решения для любого начального распределения.
95
Вестник БГУ. Сер. 1. 2007. № 1
2) Рассмотрим СДУ вида (2) с диффузионным коэффициентом
где Arth, Arcth - гиперболические ареатангенс и ареакатангенс соответствен­
но. Из предложения 1 следует, что это уравнение имеет решения не для всех
начальных распределений, так как
Приведем обобщение данного уравнения путем построения соответствую­
щего СДВ с правой частью, которая является наименьшей замкнутой оболоч­
кой исходного диффузионного коэффициента Ь без значений
. В резуль­
тате имеем включение с правой частью
Слабыми решениями исходного СДУ будем считать слабые решения по­
строенного СДВ. Согласно теореме 1 эти решения существуют для любого на­
чального распределения, так как для правой части справедливо
Бо­
лее того, так как
то из теоремы 2 следует, что для любого начально­
го распределения существуют и нетривиальные слабые решения.
1. Л е в а к о в А. А. // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. №2. С. 212.
2. О н же // Весцi НАН Беларусь Сер. фiз.-мат. навук. 2003. № 4. С. 84.
3. K i s i e l e w i c z М. // Discuss. Math., Differ. Incl. 1997. Vol. 17. № 1-2. P. 51.
4. Л е п е е в A . H . // Becцi HAH Беларусь Сер. ф1з.-мат. навук. 2005. № 3. С. 37.
5. E n g e l b e r t H . J . , S c h m i d t W.//Stoch. Diff. Systems. New York; London; Heidelberg,
1985. P. 143.
6. I i d e m // Math.Nachr. 1991.Vol. 151. P. 149.
7. I i d e m // Z. Wahrscheinlichkeitstheorieverw. Geb. 1985. Vol. 68. P. 287.
8. I i d e m // Lecture Notes in Cont. and Inf. Sc, Berlin, Springer. 1981. P. 47.
9 . E n g e l b e r t H . J . , H e s s J. // Math. Nachr. 1980. Vol. 100. P. 325.
10. K a z a m a k i N. // Z. Wahrscheinlichkeitstheorieverw. Geb. 22. 1972. P. 25.
l l . I k e d a N . , W a t a n a b e S. Stoch. diff. eq. and diffusion processes. Amsterdam; Tokyo, 1981.
Поступила в редакцию 20.09.05.
Андрей Николаевич Лепеев - кандидат физико-математических наук, ведущий инженерпрограммист СП ЗАО «Международный деловой альянс».
96