Компьютерные методы моделирования и анализа экологических

КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ И АНАЛИЗА
ЭКОЛОГИЧЕСКИХ СИТУАЦИЙ
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1
Динамика биологических популяций. Модель Мальтуса.
Цель: Найти численное решение уравнения Мальтуса, описывающего динамику
биологической популяции.
Теоретические положения
Популяционная динамика – один из разделов математического моделирования,
имеющий приложения в биологии, экологии, демографии, экономике.
Модель Мальтуса. Рассмотрим некоторый биологический вид, у которого нет
врагов, а кормовая база имеется в избытке. Обозначим численность вида x. Тогда скорость
прироста (изменение числа особей в единицу времени) dx/dt будет пропорциональна числу
уже имеющихся особей.
dx
=α ⋅x,
dt
(1.1)
где α > 0 – коэффициент прироста. Впервые модель была предложена в XVIII в.
Мальтусом, и часто называется по имени создателя моделью Мальтуса. Понятно, что эта
модель является весьма упрощенной. Рост популяции всегда ограничен различными
факторами: врагами, кормовой базой, эпидемиями и т.д.
Аналитическое решение уравнения (1.1):
x = x0 e α ⋅t ,
(1.2)
где x0 - численность популяции в начальный момент времени.
Порядок выполнения: Для того чтобы найти численное решение уравнения (1.1),
необходимо записать его в конечно-разностном виде. Задать значение численности
популяции x0 в начальный момент времени (t = 0), шаг по времени ∆t и коэффициент α .
Решить уравнение (1.1) явным методом Эйлера
xi = xi −1 + α ⋅ xi −1 ⋅ ∆t ,
(1.3)
где i – номер временного слоя.
Затем решить уравнение (1.1) неявным методом Эйлера
xi = xi −1 + α ⋅ xi ⋅ ∆t ,
отсюда
(1.4)
xi =
xi −1
.
1 − α ⋅ ∆t
(1.5)
Построить графики зависимости величины x (численности популяции) от времени t
. Сравнить численные расчеты, полученные двумя методами, с аналитическим решением
(1.2). Для этого необходимо построить график функции (1.2) при тех же значениях x0 , ∆t
иα.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2
Динамика биологических популяций. Модель Ферхюльста.
Цель: Найти численное решение уравнения Ферхюльста, описывающего динамику
биологической популяции.
Теоретические положения
Логистическое уравнение. Сделаем модель Мальтуса более реалистичной,
ограничив рост численности особей. Очевидно, что если популяция живет на
ограниченной территории, то неизбежно возникает конкуренция за жизненное
пространство. Встречи особей друг с другом приводят так же к распространению
болезней. Понятно, что убыль популяции, связанная с этими факторами, пропорциональна
частоте встреч особей друг с другом, т.е. x². Тогда уравнение динамики популяции имеет
вид
dx
= x(α − β x ) ,
dt
(2.1)
где β > 0 – коэффициент, описывающий убыль популяции. Уравнение (2.1) называется
уравнением Ферхюльста или логистическим уравнением.
Аналитическое решение уравнения (2.1):
x0 ⋅ α ⋅ e α ⋅t
x=
,
α − βx0 + βx0 e α ⋅t
(2.2)
Порядок выполнения: записать уравнение (2.1) в конечно-разностном виде.
Задать значение численности популяции x0 в начальный момент времени (t = 0), шаг по
времени ∆t и коэффициенты α и β. Решить уравнение явным и неявным методами Эйлера
(по аналогии с уравнением Мальтуса в лабораторной работе №1 ).
Построить графики зависимости величины x от времени t . Сравнить полученные
численные расчеты с аналитическим решением (2.2). Для этого необходимо построить
график функции (2.2) при тех же значениях x0 , ∆t и коэффициентов α и β .
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3
Динамика биологических популяций. Модель Вольтерра.
Цель: Найти численное решение уравнений модели хищник - жертва.
Теоретические положения
В 1931 г. Вито Вольтерра предложил модель хищник – жертва. Пусть на некоторой
замкнутой территории обитают два вида: вегетарианцы-жертвы, питающиеся подножным
кормом, имеющимся в избытке, и хищники, охотящиеся на жертв. В качестве пары
хищник-жертва могут выступать волки и овцы, щуки и караси, рыси и зайцы…
Если бы не было хищников, то жертвы размножались бы беспредельно и их
численность описывалась бы уравнением Мальтуса (1.1). Если бы не было жертв, то
хищники от бескормицы постепенно вымирали бы
dy
= −γ ⋅ y ,
dt
(3.1)
где γ >0 – коэффициент убыли хищников, y – их численность в данный момент времени.
Росту численности жертв, однако, препятствуют их встречи с хищниками, частота которы
пропорциональна как числу жертв, так и числу хищников – xy. Тогда скорость изменения
численности жертв описывается уравнением
dx
= x(α − β y ) ,
dt
(3.2)
где β > 0 – коэффициент убыли жертв при встрече с хищниками. Аналогично, встреча
хищника с жертвой увеличивает вероятность выживания хищника, т.е. способствует
приросту популяции хищников
dy
= − y (γ − δy ) ,
dt
(3.3)
где δ > 0 – коэффициент, зависящий от того, как часто встреча хищника с жертвой
заканчивается трапезой.
Порядок выполнения: Записать уравнения (3.2) и (3.3) в конечно-разностном
виде. Задать значения коэффициентов α,β,γ и δ; шаг по времени ∆t и значения x0 и y 0 в
начальный момент времени (t = 0). Решить уравнения (3.2) и (3.3) явным и неявным
методами Эйлера и сравнить полученные расчеты. Построить графики зависимости x и y
от t .
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4
Динамика биологических популяций. Межвидовая конкуренция.
Цель: Найти численное решение уравнений модели межвидовой конкуренции.
Теоретические положения
Рассмотрим ситуацию, когда два вида потребляют один и тот же ресурс. Примером
такой системы могут служить стадо коз и стадо овец, пасущихся на одном и том же лугу.
Динамика численности видов определяется следующей системой
 dx1
 dt = x1 (α 1 − β 1 x1 − γ 2 x 2 ),

 dx 2 = x (α − β x − γ x ).
2
2
2 2
1 1
 dt
(4.1)
Здесь x1 - численность первого вида (коз), x 2 - численность второго вида (овец), α 1 коэффициент прироста первого вида, α 2 - коэффициент прироста второго вида, β1 и β 2 коэффициенты, описывающие внутривидовое влияние, γ 1 и γ 2
- коэффициенты,
описывающие влияние со стороны другого вида. Все коэффициенты положительны.
Порядок выполнения: Записать систему уравнений (4.1) в конечно-разностном
виде. Задать значения коэффициентов α 1 , α 2 , β1 , β 2 , γ 1 , γ 2 ; шаг по времени ∆t и
значения x1 и x 2 в начальный момент времени (t = 0). Решить систему уравнений (4.1)
явным и неявным методами Эйлера и сравнить полученные расчеты. Построить графики
зависимости x1 и x 2 от t .
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5
Динамика биологических популяций. Модель Холлинга-Тэннера.
Цель: Найти численное решение уравнений модели Холлинга-Тэннера.
Теоретические положения
В биологии рассматривается еще одна модель, описывающая взаимодействие
популяций хищников и жертв. Это модель Холлинга-Тэннера. Будем обозначать
количество жертв x , а количество хищников – y. В модели предполагается, что для
поддержания жизни одного хищника требуется m жертв. Это предположение
представляется очень разумным, так как добычей хищника становятся в первую очередь
больные и слабые животные. Не случайно хищников называют санитарами. Понятно, что
если жертв очень мало, то охота требует от хищников все больших усилий. При некоторой
численности жертв энергетические затраты на охоту перестают восполняться, хищники
вымирают.
С другой стороны, предполагается, что хищник перестает убивать, когда
насыщается. (Сравните с моделью Вольтера (Лабораторная работа № 3), где
прожорливость хищников была бесконечной).
В свою очередь, динамика популяции жертв описывается в отсутствии хищников
логистическим уравнением (Лабораторная работа № 2). Наличие хищников приводит к
появлению в уравнении слагаемого ωxy/(D+x). Это слагаемое описывает убыль жертв в
связи с охотой хищников.
 dx
x
ωxy

 dt = r 1 − K  x − D + x ,




 dy = S 1 − my  y.
 dt
x 

(5.1)
Все коэффициенты положительны.
Порядок выполнения: Записать систему уравнений (5.1) в конечно-разностном
виде. Задать значения всех коэффициентов; шаг по времени ∆t и значения x и y в
начальный момент времени (t = 0). Решить систему уравнений (5.1) явным и неявным
методами Эйлера и сравнить полученные расчеты. Построить графики зависимости x и y
от t .
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6
Распространение загрязняющих веществ
Цель: Найти численное
загрязняющих веществ).
решение
уравнения
диффузии
(распространения
Теоретические положения
Сложность в оперативном и точном определении количества выбросов в любую
среду состоит в учете влияющих факторов, таких как диффузия и перенос примесей и т.д.
Рассмотрим одномерный случай распространения загрязняющих веществ, используя
уравнение диффузии:
~
~
~
∂C ~ ∂C ~ ∂ 2 C ~
+
V
=
D
+Q,
∂~
t
∂~
x
∂~
x2
(6.1)
~ ~
~
где C (~
x , t ) - концентрация диффундирующего (загрязняющего) вещества; V - скорость
~
~
распространения вещества; D - коэффициент диффузии; Q - слагаемое, описывающее
источники вещества (может быть как константой, так и функцией, зависящей от
~
пременных ~
x и t ). Уравнение (6.1) записано в безразмерном виде.
Порядок выполнения: Записать уравнение (6.1) в конечно-разностном виде.
~ ~
Задать начальные и граничные условия для концентрации C (~
x , t ) на определенном
интервале x ∋ [0, n] . Задать значения шага по времени ∆t и шага по координате ∆x и
~
~ ~
коэффициенты V , D и Q . Решить уравнение в явном и неявном (используя метод
прогонки) виде. Затем по результатам расчетов построить графики и сравнить два
решения.