Математические задачи на арифметические действия Mathematical tasks on the arithmetic actions

Математические задачи на арифметические действия
Варенцова Н. А.
Шуйский филиал «ИвГУ»
Шуя, Россия
Mathematical tasks on the arithmetic actions
Varentsova NA
Shuya branch "Ivanovo State University"
Shuya, Russia
В числе текстовых задач особое место занимают задачи на смеси, растворы и
сплавы, называемые еще задачами на процентное содержание или концентрацию, наличие
в которых простых и процентных отношений зачастую побуждает относить их к разряду
чисто арифметических, а не к задачам на составление уравнений. Вместе с тем такие
задачи можно решать составлением уравнений или их систем по схеме, очень близкой к
той, что применяется в задачах на движение, работу и др. Как известно, в основе методики
решения этих задач лежит связь между тремя величинами в виде прямой и обратной
зависимостей:
S = VT,
T = S:V,
V = S:T - для пути S, времени T и скорости V;
A = VT, T = A:V, V = A:T - для количества работы A, времени T и
производительности V.
В аналогичных соотношениях находится стоимость, цена и количество. Кроме того,
применяются некоторые правила: сложение или вычитание скоростей при движении в
движущейся среде, сложение или вычитание производительностей при совместной работе
и др. Методику решения задач на смеси, растворы и сплавы опирается на такие же
зависимости и правила.
Основные понятия в задачах на смеси, растворы и сплавы
Прежде всего, введем основные понятия. Говоря о смесях, растворах и сплавах,
будем употреблять термин «смесь» независимо от их вида (твердая, жидкая, газообразная,
сыпучая и т.д.). Смесь состоит из «чистого вещества» и «примеси». Что есть «чистое
вещество», определяется в каждой задаче отдельно, однако при этом остальные вещества,
составляющие смесь, относят к примеси. Долей (a) чистого вещества в смеси называется
отношение количества чистого вещества (m) смеси к общему количеству (M) смеси при
условии, что они измерены одной и той же единицей массы или объема:
Отсюда получаем m = a M , M= m : a.
a = m : M.
Отметим, что 0 ≤ a ≤ 1, ввиду того, что 0 ≤ m ≤ M. Случай a=0 соответствует
отсутствию выбранного чистого вещества в рассматриваемой смеси (m=0), случай a =1
соответствует тому, что рассматриваемая смесь состоит только из чистого вещества (m=
M). Понятие доли чистого вещества в смеси можно вводить следующей условной
записью:
Доля чистого вещества в смеси = (Количество чистого вещества в
смеси):(Общее количество смеси).
Процентным содержанием чистого вещества в смеси (с) называют его долю,
выраженную процентным отношением:
c = a · 100%,
a = c:100%;
При решении задач следует руководствоваться тем, что при соединении
(разъединении) смесей с одним и тем же чистым веществом количества чистого вещества
и общие количества смесей складываются (вычитаются). Складывать и вычитать доли и
процентные содержания нельзя.
Основные этапы решения задач
1. Выбор неизвестной (или неизвестных). Чаще всего в качестве неизвестных величин
выбирают те, которые требуются найти, но иногда целесообразно обозначать
неизвестными
некоторые
промежуточные
величины,
через
которые
легко
выражаются искомые.
2. Выбор чистого вещества. Из веществ, фигурирующих в условии задачи, выбирается
одно в качестве чистого вещества. Чаще всего выбирают вещество, о котором речь
идет в требовании задачи, или вещество, о доле которого в условии содержится
больше всего информации. При этом, если a – доля чистого вещества, то (1- a) – доля
примеси.
3. Переход к долям. Если в задаче имеются процентные содержания, их следует
перевести в доли и в дальнейшем работать только с долями.
4. Отслеживание состояния смеси. На каждом этапе изменения смеси (добавление,
изъятие) необходимо описывать состояние смеси с помощью трех основных величин
m, M, a.
5. Составление уравнения. В результате преобразований смеси, описанных в задаче, мы
приходим к ее итоговому состоянию. Оно характеризуется величинами m, M, a,
содержащими неизвестные. Уравнением, связывающим эти неизвестные, будет
уравнение m = a M.
В ходе осуществления этих этапов рекомендуется ввести следующую таблицу.
Таблица 1
2
Состояние смеси
Количество чистого
Общее количество
вещества (m)
смеси (M)
Доля (a)
1
2
…
Итоговое состояние
6. Решение уравнения (или их системы) и нахождение требуемых величин.
7. Формирование ответа. Если в задаче требовалось найти то или иное процентное
содержание, то следует полученные доли перевести в процентные содержания.
Далее проиллюстрируем перечисленные этапы на примерах.
Примеры решения задач
Задача 1. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно
добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация составляла 1,5%?
Решение.
1.
Пусть требуется добавить x кг пресной воды.
2.
За чистое вещество примем соль. Тогда морская вода – это смесь с 5%-ным
содержанием чистого вещества, пресная вода – с 0%-ным содержанием чистого
вещества.
3.
Переходя долям, получаем, что доля соли в морской воде составляет 0,05,
доля соли в пресной воде равна 0, доля в смеси, которую нужно получить, – 0,015.
4.
Происходит соединение смесей (таблица 2).
Таблица 2
Состояние смеси
m (кг)
M (кг)
a
1
0,05 · 30
30
0,015
2
0·x
x
0
30 + x
0,015
3
5.
0,05 · 30
Исходя из третьей строки таблицы 2, составим уравнение
m=aM:
0,05 · 30 = 0,015(30 + x).
6.
Решим полученное уравнение и находим x = 70.
7.
В данной задаче не содержалось требования найти процентное содержание
какого-либо вещества, поэтому нет необходимости переводить доли в процентные
содержания.
3
Ответ: 70 кг.
Задача 2. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600 г
15%-ного раствора. Сколько граммов каждого вещества было взято?
Решение.
Пусть взяли x г первого раствора, тогда второго раствора (600 – x) г (таблица 3).
Таблица 3
Состояние смеси
m (г)
M (г)
a
I
0,3 x
x
0,3
II
0,1(600 – x)
600 – x
0,1
I + II
0,3 x + 0,1(600 – x)
600
0,15
Тогда 0,3 x + 0,1(600 – x) = 0,15 · 600, откуда x = 150, 600 – x = 450.
Ответ: 150 г 30%-ного раствора, 450 г 10%-ного раствора.
Комментарий. При решении задач на составление уравнений задача может сводиться не к
одному уравнению, а к их системе.
Пример усложненной задачи на смеси
Иногда состояние смеси в задаче характеризуются не процентным содержанием
или долей того или иного компонента смеси, а процентным или простым отношением
между компонентами. В таких задачах тоже выбирается чистое вещество, и состояние
смеси следует описать в долях от общего количества смеси.
Возможно также, что в задаче участвуют смеси, составленные из одних и тех же
компонентов, но состояние этих смесей охарактеризовано долями разных компонентов.
Тем не менее, такие задачи тоже могут быть решены в рамках указанной схемы.
Задача 3. Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что
первый сплав содержит 25% цинка, а второй – 50% меди. Процентное содержание олова в
первом сплаве в 2 раза выше, чем во втором. Сплавив 200 кг первого и 300 кг второго,
получили новый сплав, в котором оказалось 28% олова. Определить, сколько килограммов
меди содержится в получившемся новом сплаве.
Решение.
Пусть x – доля олова во II сплаве, тогда 2x – доля олова в I сплаве. Сначала
определим долю олова в данных сплавах. Для этого заполним таблицу 4, выполнив
переход от процентных содержаний к долям.
Таблица 4
Состояние смеси
Цинк
m (кг)
M (кг)
0,25 · 200
a
0,25
4
I
II
I+II
Медь
200(1 – (0,25 + 2 x))
Олово
2 · x ·200
2x
Цинк
(1 – (0,5 + x))300
1 – (0,5 + x)
Медь
0,5 · 300
Олово
x · 300
x
Цинк
0,25 · 200 + (1 –(0,5 + x))300
?
Медь
200
300
0,5
500
(1 – (0,25 + 2 x))200+0,5 · 300
Олово
1 – (0,25 + 2x)
?
2 · x ·200 + x · 300
0,28
Становится очевидным, что уравнение можно составить по последней строке таблицы,
используя зависимость m = a M :
2 · x · 200 + x · 300 = 0,28 · 500, откуда x = 0,2.
Таким образом, доля олова в первом сплаве будет 0,4, а во втором – 0,2.
Теперь выберем в качестве чистого вещества медь, и пусть y – доля меди в
получившемся сплаве.
Сосчитаем по таблице 4 долю меди в первом сплаве
1 – (0,25 + 0,4) = 0,35.
Составим таблицу 5 (относительно меди).
Таблица 5
Состояние смеси
m (кг)
M (кг)
a
I
0,35 · 200
200
0,35
II
0,5 · 300
300
0,5
500
y
I + II
0,35 · 200 + 0,5 · 300
Составим уравнение по последней строке таблицы 5, используя зависимость m = a M:
0,35 · 200 + 0,5 · 300 = 500y.
Находим y = 0,44.
Доля меди в получившемся сплаве – 0,44. Выполним требование задачи и найдем
количество меди: m = 500 · 0,44 = 220.
Ответ: 220 кг.
Задача на смеси может быть усложнена дополнительными требованиями. Иногда
практикуется в качестве усложняющего элемента задание на оптимальный выбор.
Подборка задач на смеси и сплавы
Все задачи соответствуют типовому стандарту B13 на ЕГЭ. Их также можно использовать
для подготовки к ГИА по математике и в олимпиадной практике в 7-8 классе.
5
Задачи на добавление (удаление) одного вещества.
1) В 5 кг сплава олова и цинка содержится 80% цинка. Сколько кг олова надо добавить к
этому сплаву, чтобы процентное содержание цинка стало 40%?
2) Масса смеси, состоящей из двух вещество равна 900г. После того, как из этой смеси
выделили (взяли) первого вещества и 70% второго, в ней осталось первого вещества на
18г меньше, чем второго. Сколько каждого вещества осталось в смеси?
3) В сплаве цинка и меди содержалось на 640г меньше цинка, чем меди. После того, как из
этого сплава выделили (взяли) имевшейся в нем меди и 60 % цинка, получился сплав
массой 200г. Найдите массу первоначального сплава.
4) Имеется 4 литра 20%-го раствора спирта. Сколько воды него нужно, чтобы получился
10%-й раствор спирта?
5) к 40%-му раствору соляной кислоты добавили 50г чистой соляной кислоты, в силу чего
концентрация такого раствора стала равной 60%. Найти первоначальный вес раствора.
6) Имелось два сплава серебра. Процент содержания серебра в первом сплаве был на 25%
выше, чем во втором. Когда их сплавили вместе, то получили сплав, содержащий 30%
серебра. Найдите вес сплавов, если в первом сплаве было 4кг, а во- втором 8 кг.
7) К раствору, содержащему 30г соли, добавили 400г воды, после чего концентрация соли
уменьшилась на 10%/. Найти начальную концентрацию соли.
8) В первом сосуде растворили 0,36 л, а во втором 0,42 л чистого спирта. Процентное
содержание спирта в первом сосуде оказалось на 6% больше, чем во втором. Каково
процентное
содержание
спирта
во
втором
и
первом
сосудах, если известно, что раствора в первом сосуде на 4 литра меньше?
9) К 5 килограмм сплава олова и цинка добавили 4 кг олова. Найдите первоначальное
процентное содержание цинка в первоначальном сплаве, если в новом сплаве цинка стало
в 2 раза меньше олова.
10) Собрали 100кг грибов. оказалось, что их влажность равна 99%. Когда их подсушили,
то влажность снизилась до 95 % вода. Какова масса этих грибов после того, как их
подсушили.
Комментарий к задачам: рекомендуется решать задачи на смеси и сплавы с помощью
таблиц. Каждая такая таблица составляется отдельно для каждого сплава или смеси.
Каждому веществу в ней отводится своя строка, в которой записываются данные о нем в
классических единицах измерения (в литрах, граммах, килограммах) и в относительных (в
процентах).
Задачи на смешивание
11) Имеется два раствора некоторого вещества. Один 15%-ный, а второй 65%-ный
6
Сколько нужно взять литров каждого раствора, чтобы получить 200л раствора,
содержание вещества в котором равно 30%?
12) Имеется два сплава никеля с другой сталью, в которых содержание никеля составляет
5% и 40%. Сколько тонн каждого сплава нужно сплавить, чтобы получилось 140 тонн
новой стали с 30-ным содержанием никеля?
13) Имеется два разных сплава меди, процент содержания которой в первом сплаве на
40% меньше, чем во втором. Когда оба сплава соединили вместе, то новый сплав
получился с 36-ным содержанием меди. Известно, что в первом сплаве было 6 кг меди, а
во втором в 2 раза больше. Каково процентное содержание меди в обоих сплавах?
14) Смешали 30-ный раствор соляной кислоты с 10-ным. В итоге получилось 600г
раствора с 15-ным содержанием соляной кислоты. Найдите, сколько взято было каждого
раствора.
15) В какой пропорции нужно смешать 10-ный и 15-ный растворы аммиачной селитры,
чтобы приготовить из них 15-ный раствор селитры.
Комментарий к задачам: в задачах на смешивание важно помнить, что вес или объем
одного и того же вещества накапливается суммированием его веса по всем
смешивающимся смесям. Обычно такие задачи решаются с введением двух переменных,
каждая для своего начального сплава (смеси).
Задачи на выливание
16) Из бака, полностью заполненного кислотой, вылили несколько литров кислоты и
долили доверху водой, затем снова вылили такое количество литров смеси и после
чего в баке осталось 24 литра чистой кислоты. Емкость бака составляет 54 литра. Сколько
кислоты вылили в первый раз?
17) Из бутылки, наполненной 12%-ным раствором соли, отлили 1 литр и долили 1 литр
воды. В бутылке оказался 3%-нывй раствор соли . Найти вместимость бутылки.
18) В сосуде находится 10%-ный раствор соли. Из сосуда отлили его содержимого и
долили водой так, что сосуд оказался заполненным на первоначального объема. Каково
оказалось процентное содержание соли в сосуде?
Комментарий к задачам: при решении задач на отливание необходимо использовать
главную отличительную особенность, о которой в тексты задач умалчивают: при
выливании не меняется процентное содержание веществ. Значение концентрации,
полученные в таблице для одного раствора нужно перенести в другую для другого
раствора.
Комбинированные задачи на многократное смешивание
19) Если к сплаву меди и цинка добавить 20г меди, то содержание меди в сплаве станет
7
равным 70%. Если же к первоначальному сплав добавить 70г сплава, содержащего 40%
меди, то содержание меди станет равным 52%. Найдите первоначальный вес сплава.
20) Если к раствору спирта добавить 10 г спирта, то его концентрация станет равной
37,5%. Если же к первоначальному раствору добавить 50г раствора с 30%-ным
содержанием спирта, то его концентрация станет равной 32,5%. Найти первоначальное
количество спирта в растворе.
21) Если к раствору кислоты добавить 50г воды, то его концентрация станет равной 15%.
Если же к первоначальному раствору добавить 50г кислоты, то его концентрация станет
равной 40%. Найдите первоначальную концентрацию раствора.
22) Когда к раствору серной кислоты добавить 100г воды, то его концентрация
уменьшилась на 40%. Если бы к начальному раствору добавили 100г серной кислоты, то
его концентрация увеличилась бы на 10%. Какова у раствора концентрация кислоты?
.Литература:
1. Еремина Е.А. и др. Словарь школьника по химии: 8–11 кл., М.: Дрофа, 1997. – 208
с.
2. Н. И. Прокопенко. “Задачи на смеси и сплавы”. М.: Чистые пруды, 2010.
3. Н. В. Удальцова. “Математические шарады и ребусы” , М.: Чистые пруды, 2010, 32
с.
4. Шукайло А.Д. Тематические игры по химии. М.: ТЦ Сфера, 2004. – 96 с.
5.
Кузнецова Л.В. Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой
аттестации в 9 классе. - М.: Просвещение, 2010.
6.
Прокопенко Н.И. Задачи на смеси и сплавы.- М. :Чистые пруды, 2010
(Библиотечка «Первого сентября». Выпуск 31 )
8