Глава III — Немного об уравнениях Немного об уравнениях (сложение/вычитание). В цикле I, задача 1, мы с вами определили уравнение как равенство, содержащее неизвестную величину. Решением уравнения мы назвали как формулу решения, так и то значение неизвестной (число), которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство. Совокупность простейших уравнений распадается на две группы: группа сложениявычитания и группа умножения-деления. Первой группой, состоящей из уравнений (1)–(3), мы и займемся. Решения я поясню на конкретных числовых уравнениях. Уравнение Решение уравнения (1) х + 5=8 х=8 (2) х – 5=8 х = 8 + 5 (2′) (3) 9 – х= + 6 – 5 (1′) + х=9 – 6 (3′) Опираемся исключительно на определение действия вычитания: найти неизвестное слагаемое — это и есть вычитание (п. Немного о вычитании). Так как работаем только с натуральными числами, то подразумевается, что сумма больше каждого из слагаемых (если исключить равенство нулю одного из слагаемых). Видим, в уравнении (1) х — неизвестное слагаемое. Значит, находим действием вычитания известного слагаемого = 5 из известной суммы = 8, решение (1′). С этим уравнением мы с вами давно знакомы. В уравнении (2) видим, что неизвестной является сумма х. (Сравните с (1′): 8 — число из которого вычитаем, это сумма). Раз в уравнении (2) х — неизвестная сумма (уменьшаемое), то 5 и 8 — известные слагаемые. А сумма и «состоит» из слагаемых. Получаем (2′) — решение уравнения (2). Совершенно аналогично получаем решение уравнения (3): х, число которое вычитаем, является неизвестным слагаемым (вычитаемым). (Сравните с (1′): 5 — число которое вычитаем, это слагаемое). А неизвестное слагаемое и находим, по определению, вычитанием из известной суммы = 9 (уменьшаемого) известного слагаемого = 6 (разности). Более подробно решение (3′) получим, — дважды опираясь на определение вычитания, — рассматривая следующую цепочку преобразований: Неизвестное слагаемое (3) 9 – х=6 9=6 + х 9 – 6=х ⇔ х=9 – 6 (3′) Самым существенным, в прикладном смысле, для нас является следующее: «уединение х» (стрелочкой показано, как соответствующие члены уравнения переносятся в другую часть равенства); и при переносе меняются знаки (для наглядности я обвел знаки контуром). 147 Задача — это очень просто Знаки меняются по определению действия вычитания (вспомните, как мы ввели знак «–» (минус): чтобы всего лишь обозначить действие вычитания). Сценарий. Вы прочитываете с ребенком выше сказанное (я полагаю, что вам, читатель, все ясно). Ребенок самую суть воспримет (правда, неизвестно с какой долей понимания). Ваша задача состоит в том, чтобы ребенок «впечатал» (заучил, зазубрил) решения уравнений в память, особенно, уравнения (3). При этом главное, на что обращаем внимание, так это на смену знаков при переносе в другую часть равенства и лишь в меру понимания — на смысл действия вычитания. Единственная сто́ящая поддержка ребенку будет заключаться в том, что при ошибках вы просите его показать стрелочкой (нарисовать), что и куда переносится, как у меня. При малейших заминках — рисуете сами, все время проговаривая: «А раз переносим в другую часть равенства, то с каким знаком?.. Правильно, с противоположным». Внимание. Когда вы будете говорить: «С каким знаком?» — то, как правило, будет звучать ответ: «С минусом». Это происходит потому, что в уравнении (1) — определении действия вычитания — действительно «плюс» меняется на «минус». Однако в уравнениях (2) и (3) наоборот — «минус» меняется на «плюс». Обязательно поправляйте ребенка, говоря: «Не с минусом, а с противоположным знаком», — и только потом уточняйте с каким именно. В противном случае в 6-м классе, при работе с отрицательными числами, ребенок будет постоянно путаться в знаках. В таблице 5 я привожу подборку уравнений типа (1)–(3) для трех «видов» чисел. Главной трудностью, разумеется, явится правильный счет с десятичным дробями (вычитание) в уравнениях типа (1) и (3). Натуральные числа Таблица 5 Обыкновенные дроби (5-й класс Десятичные дроби 3 5 7 7 7 х1 + 18 = 40 х1Д + 18,9 = 40,8 a1O + = y1 + 160 = 500 y1Д + 160,78 = 500,99 2 z1 + 1250 = 4500 z1Д + 1250,067 = 4500,329 2 х2 – 37 = 13 х2Д – 5,5 = 4,9 a2O − = 1 y2 – 260 = 160 y2Д – 16,09 = 50,99 b2O − = 4 z2 – 1350 = 2500 z2Д – 120,647 = 450,373 c2O − 2 25 – х3 = 5 5,5 − х3Д = 4,9 1 − a3O = 140 – y3 = 50 14,56 − y3Д = 4,97 4 − b3O = 4300 – z3 = 400 430,051 − z3Д = 240,905 5 − c3O = 2 148 9 + b1O = 1 7 13 9 + c1O = 5 3 7 7 9 7 13 =5 3 7 7 9 7 13 12 13 Глава III — Немного об уравнениях В таблице 6 я привожу несколько уравнений, которые обязательно нужно свести к простейшим, т. е. к типу уравнений (1)–(3): одна неизвестная величина и два известных числа. Таблица 6 Уравнения, требующие Соответствующие сведения к простейшим простейшие уравнения х + 18 + 20 = 40 х + 38 = 40 130 + 200 + х + 120 = 840 х + 450 = 840 150 + 250 + 100 + х = 750 х + 500 = 750 х – 10 + 20 = 40 х + 10 = 40 х + 30 – 10 = 50 х + 20 = 50 100 – 50 – х = 10 50 – х = 10 60 – х + 10 = 30 70 – х = 30 40 – х – 20 = 10 20 – х = 10 Поясню примером. Очень часто в 6-м классе (и старше) можно наблюдать такую картину: х + 10 + 20 = 50 ⇒ х = 50 – 10 – 20, вместо того, чтобы сначала сложить в левой части 10 и 20 (привести подобные, они подчеркнуты) и свести данное уравнение к простейшему, типа (1): х + 30 = 50 ⇒ х = 50 – 30. Ясно, что провести два вычитания вместо сложения не только труднее, но и гораздо опаснее (чем больше минусов, тем больше шанс ошибиться). Натуральные числа Десятичные дроби Таблица 7 Обыкновенные дроби (5-й класс 2 х1 = 22 х1Д = 21,9 a1O = y1 = 340 y1Д = 340,21 b1O = 1 z1 = 3250 z1Д = 3250,262 c1O = 3 х2 = 50 х2Д = 10,4 a2O = 1 y2 = 420 y2Д = 67,08 b2O = 4 z2 = 3850 z2Д = 571,02 c2O = 7 х3 = 20 х3Д = 0,6 a3O = y3 = 90 y3Д = 9,59 b3O = 3 z3 = 3900 z3Д = 189,146 c3O = 2 7 5 9 5 13 3 7 7 9 7 13 4 7 2 9 6 13 Пока мы работаем с натуральными числами, как в таблице 6 — еще куда ни шло. Но как только дроби, да плюс отрицательные числа — пиши пропало. В таких случаях спрашивайте: «Можем сложить или вычесть (привести подобные)? 149 Задача — это очень просто Поэтому требуйте: сначала к простейшей форме типа (1)–(3), а далее — отлаженные решения простейших уравнений (1′)–(3′). В таблице 7 приведены ответы к уравнениям из таблицы 5. Прорешиваться должны все уравнения («набить руку» до автоматизма) в следующей последовательности: сначала вся группа «натуральных чисел», затем — «обыкновенные дроби», и только в заключение — «десятичные дроби». И ясно почему: указанные две группы, содержащие 18 уравнений, будут расписаны мгновенно, менее чем за 10–15 минут. А вот группа «десятичных дробей» потребует утомительного счета (кстати, вот теперь крайне желательна проверка с калькулятором, как и вообще в работе с десятичными дробями при хорошей практике счета). Ещё немного об уравнениях (умножение/деление). В главе III, п. «Немного об уравнениях», мы с вами рассмотрели первую группу простейших уравнений — группу сложения-вычитания, опираясь на определение действия вычитания. Сейчас мы разберёмся со второй группой простейших уравнений — группой умноженияделения, опираясь на определение действия деления1. В п. «Немного о делении» действие деления было определено как нахождение неизвестного множителя. Тем самым было введено основное (или второе основное) уравнение второй группы х • 6 = 30 и его решение х = 30 : 6. Вторая группа, как и первая, тоже состоит из трёх уравнений (1)–(3). Я покажу их решения на конкретных числовых примерах. Уравнение Решение уравнения (1) х • 6 = 30 х = 30 : 6 или x = (1′′) 30 6 (2) х : 2 = 3 или x 2 х=3•2 =3 (3) 20 : х = 4 или 20 x (2′) =4 х = 20 : 4 или x = (3′) 20 4 Уравнение (1), решаемое по определению деления мы уже разобрали в п. «Немного о делении».Стрелочкой, направленной вниз, показано куда уходит известный множитель (в знаменатель). Эта графическая мнемоника решения особенно действенна, когда мы записываем деление в виде дроби. Сравнивая уравнение (2) с решением (1′) уравнения (1), видим, что х — неизвестное произведение (делимое) — вспомните терминологию п. «Немного о делении», — а значит числа 2 и 3 — известные множители. Отсюда получаем решение (2′). Стрелочка, направленная вверх, показывает, куда уходит известный множитель (в числитель). В уравнении (3), сравнивая с уравнениями (1) и (2), видим: 20 (что́ делим) — известное произведение (делимое), х — неизвестный множитель (делитель) и 3 — известный множитель. Следовательно, решение (3′) получаем действием деления. Стрелочки показывают, как меняются местами известный и неизвестный множители. 1 Прежде чем читать далее, я рекомендую вам, читатель, вернуться к главе III и ещё раз прочитать п. «Немного об уравнениях», поскольку в своём изложении буду опираться на ваше понимание первой группы простейших уравнений. 150 Глава III — Немного об уравнениях Более подробно решение (3′) получим, рассматривая следующую цепочку преобразований: 20 (3) =4 x 20 = 4 • х 20 x= 4 (3′) Неизвестный множитель Внимание. Как и с уравнениями первой группы, вы «впечатываете» в память ребёнка решения всех трёх уравнений второй группы. При затруднениях просите его показать стрелочкой (нарисовать, как у меня) куда что идёт. В таблице 11 дана небольшая подборка уравнений второй группы. Уравнение (1) 2 •х = 4 5 • y = 15 3 •z = 2 Уравнение (2) х:3=6 y 3 z 5 Таблица 11 Уравнение (3) 10 : х = 2 =4 15 = 10 5 y z =3 =3 В таблице 12 даны решения этих уравнений. Решение уравнения (1) х =4:2=2 y= z= 15 5 2 3 =3 Решение уравнения (2) х = 6 • 3 = 18 Таблица 12 Решение уравнения (3) х = 10 : 2 = 5 y = 4 • 3 = 12 y= z = 10 • 5 = 50 z= 15 3 5 =5 3 Обратите внимание на дробные значения решений ( z = 2 5 5 и z = ). Как ни странно, но 3 обычно ребёнок недоумённо спрашивает: «Как это? Ведь 2 на 3 не делится.», — пока не напомнишь ему, что дробь — это ещё и действие деления. При необходимости, читатель, вы с лёгкостью увеличите число простейших уравнений, памятуя о том, что крайне важно (после правильно записанного решения) следить за правильностью счёта. Однако, в отличие от главы III, сейчас (освоив решения) важнейшим для нас будет совместное применение методов решения уравнений первой и второй групп. Я подробно покажу один пример. Остальные уравнения будут даны в табличной форме. Уравнение: 2 • х + 1 = 4. Вы, читатель, пишете вспомогательное уравнение А + 1 = 4 и спрашиваете ребёнка: « Знаем, как решать это уравнение? Ну разумеется: А = 4 − 1, т. е. А = 3. В алгебре мы одной буквой можем обозначить всё, что угодно. Мы с тобой обозначили буквой А выражение 2 • х. Подставим в решение вместо буквы А её значение и получим 2 • х 151 Задача — это очень просто = 4 − 1 или 2 • х = 3. А теперь смотри, что получилось? — уравнение (1) группы умножениеделение, которое мы уже прекрасно умеем решать: x = 3 ». 2 Примерно так же поступаете с остальными уравнениями — принцип ясен. В таблице 13 дана подборка уравнений и их решения на совместное применение методов решения уравнений первой и второй групп. Таблица 13 Решения уравнений Уравнения, сводящееся b к типу (1) x= a •x = b a 5 •х + 3 = 5 5 •х = 5 − 3 → 5 •х = 2 → x = 3х − 4 = 1 3х = 1 + 4 → 3х = 5 → x = 4y − 10 = 2 4y = 2 + 10 → 4y = 12 → y = 4 − 2х = 3 2x = 4 − 3 → 2x = 1 → x = 10 − 4y = 1 4y = 10 − 1 → 4y = 9 → y = Уравнения, сводящееся к типу (2) x a 2 5 5 3 12 4 =3 1 2 9 4 Решения уравнений x=b a =b х:3=6 2y : 3 = 12 х = 6 • 3 → х = 18 2y = 12 • 3 → 2y = 36 → y = 36 : 2 → y = 18 5z : 10 = 3 5z = 30 → z = 6 4x =2 4x = 16 → x = 4 = 14 7y = 28 → y = 2 8 7y 2 (2х − 4) : 4 = 6 5 y − 12 2 = 19 5y − 12 = 38 → 5y = 50 → y = 10 (7 − х) : 2 = 3 14 − 2 y 4 2х − 4 = 24 → 2х = 28 → x = 14 =2 7−х=6→х=7−6→x=1 14 − 2y = 8 → 2y = 14 − 8 → 2y = 6 → y = 3 Уравнения, сводящееся к типу (3) a x Решения уравнений x= =b a b 35 : х = 7 30 : 2y = 5 х = 35 : 7 → х = 5 2y = 30 : 5 → 2y = 6 → y = 3 60 3z = 3z = 20 20 : (х + 3) = 4 152 60 20 → 3z = 3 → z = 1 х + 3 = 20 : 4 → х + 3 = 5 → х = 5 − 3 → x = 2 Глава III — Немного об уравнениях 90 =9 5x 30 2y −1 60 3z + 6 20 5− x 10 7 =5 2y − 1 = 6 → 2y = 7 → y = =2 3z + 6 = 30 → 3z = 24 → z = 8 =4 3 − 2x 5x = 10 → x = 2 =5 2 5−x=5→x=5−5→x=0 3 − 2x = 2 → 2x = 1 → x = 1 2 Внимание. 1). Так же, как и уравнения первой группы, должны прорешиваться все уравнения второй группы из таблицы 13 («набить руку» до автоматизма). 2). Вы видите, читатель, что, дав несколько уравнений с подробнейшей росписью решений, я далее (после двойной черты) некоторые этапы пропускаю и провожу вычисления в уме. Вот здесь мы не только можем, но и должны так поступать, поскольку числа очень простые и мы можем удержать вычисления в уме. Но кроме того умение проводить вычисления в уме (в нужных местах!) — свидетельство хорошей техники. Поверьте, когда в старших классах преподаватель видит необоснованную (то есть, нет дробей и многозначных чисел) подробнейшую роспись решения, то ничего, кроме раздражения, это не вызывает. 3). Всё время старайтесь приучать ребёнка кончиком пера показывать, что куда идёт, т. е. переносы слагаемых в другую часть равенства — это напоминание о смене знаков; множители — вверх или вниз (в числитель или знаменатель дробей) — это напоминание о методе решения соответствующего уравнения: что́ на что́ делится или умножается. Движение кончиком ручки заменяет рисование стрелочек и крайне способствует безошибочной записи решений. 153