Дроби Начнем с понимания того, что же такое дробь. Дробью называют число, состоящее из одной или нескольких равных частей от единицы. По виду записи различают два вида дробей – простые (например - 1 2 5 11 , , , ) и десятичные (например - 0.25,0.38,0.724 ). 3 7 4 13 Простые дроби У простой дроби есть числитель и знаменатель. Знаменатель это количество частей, на которые делят единицу, числитель – количество взятых частей. Например, в дроби 2 ,2 7 - числитель, 7 - знаменатель, то есть единицу разделили на 7 равных частей и взяли 2 из них. По соотношению числителя и знаменателя, простые дроби можно разделить на правильные и неправильные. Если числитель меньше знаменателя , дробь называется правильной, такая дробь меньше единицы. Если числитель больше знаменателя, дробь неправильная, она больше единицы. Особый вид неправильной дроби – дробь, в которой числитель и знаменатель равны, такая дробь будет равна единице ( 7 1) . 7 Примеры: 3 3 8 , значит дробь правильная. 8 9 2. 9 2 , значит дробь неправильная. 2 2 3. 5 - дробь больше единицы, значит дробь неправильная. 3 1. Обратим внимание на последний пример. Это, так называемое, смешанное число, дополнительный вид записи неправильной дроби. Правило: Для того, чтобы перейти от смешанного числа к неправильной дроби, нужно целую часть смешанного числа умножить на знаменатель ( 5 3 15 ), и результат прибавить к числителю ( 15 2 17 ), для получения числителя неправильной дроби. Знаменатель останется без изменения. Таким образом, из смешанного числа 5 дробь 17 . 3 2 мы получаем неправильную 3 Действия с простыми дробями 1. Расширение и сокращение дробей. Любую дробь, правильную или неправильную, можно сократить или расширить, с помощью умножения или деления числителя и знаменателя на одно и то же число, отличное от нуля. Такое действие не изменит значения дроби. Для того, чтобы сократить дробь, разделим числитель и знаменатель на одно и то же число. Для того, чтобы расширить дробь – умножим числитель и знаменатель на одно и то же число. Примеры: 8 2 4 2 . 44 11 4 11 Сокращение: Мы разделили и числитель и знаменатель дроби на 4 и получили равную дробь Расширение: 2 . 11 3 3 2 6 . 4 42 8 Здесь числитель и знаменатель дроби мы умножили на 2, получив в результате равную дробь 6 . 8 2. Сложение и вычитание дробей. Для того чтобы выполнить сложение или вычитание двух (или более) дробей, необходимо убедиться, что у данных дробей одинаковый знаменатель. Если знаменатель дробей одинаков, для сложения/вычитания этих дробей, сложим/вычтем числители, знаменатель оставим тем же. Например: 1 3 1 3 4 5 5 5 5 7 4 74 3 11 11 11 11 Если знаменатели дробей, которые нужно сложить/вычесть отличаются, прежде чем выполнить действие сложения/вычитания, необходимо привести дроби к одинаковову знаменателю и расширить обе дроби до общего знаменателя. Нахождение одинакового знаменателя: 1) Самый прямой способ нахождения общего знаменателя – умножение знаменате1 2 лей данных дробей. Например: и , общий знаменатель будет равен 2 3 6 . 2 3 Обратите внимание, этот способ не всегда приведет нас к наименьшему общему знаменателю! 2) Для получения наименьшего общего знаменателя необходимо проверить делиться ли наибольший из знаменателей на остальные знаменатели. Если да – он и есть наименьший общий знаменатель. Если нет – проверяем делимость кратных наибольшему из знаменателей на остальные знаменатели, до нахождения общего 3 1 знаменателя. Например: и 4 6 Делится ли 6 на 4? Нет! Значит, продолжаем проверять. Умножим 6 2 12 . Делится ли 12 на 4? Да! Это и есть наш наименьший общий знаменатель. Обратите внимание, что в последнем примере, общий знаменатель, найденный путем произведения знаменателей – 24. Как мы и говорили, это не наименьший общий знаменатель. 3. Умножение дробей. При умножении дробей, умножаем числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель. Например: 2 4 24 8 3 7 3 7 21 Если это возможно, сокращаем дроби перед умножением. Например: 2 9 2 9 3 23 6 3 11 3 11 111 11 При умножении целого числа на дробь, умножаем его на числитель данной дроби. Например: 7 2 7 2 14 5 5 5 4. Деление дробей. При делении одной дроби на другую, умножаем первую дробь на дробь, обратную второй. Определение: Чтобы получить дробь, обратную данной, нужно поменять местами числитель и знаменатель данной дроби. Например: 5 4 5 7 5 7 35 9 7 9 4 9 4 36 Как и в случае с умножением, если это возможно, сокращаем дроби на этапе умножения первой дроби на дробь, обратную второй. Например: 5 10 5 7 5 7 35 2 9 7 9 10 9 2 18 5. Сравнение дробей. Сравнивать можно только дроби с одинаковым знаменателем или дроби с одинаковым числителем. 1) Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, знаменатель которой меньше. Например: 2 2 2 2 и , 15 17, значит 15 17 15 17 2) Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, числитель которой больше. Например: 2 4 2 4 и , 2 4, значит 15 15 15 15 Десятичные дроби Десятичная дробь получается путем деления единицы на 10, 100, 1000 и т.д. Такие дроби очень удобны для использования, так как действия с ними очень похожи на действия, выполняемые с целыми числами. До точки в десятичных числах пишется целая часть числа, первая цифра после точки – число десятых частей единицы, вторая – сотых и т.д. Например: 3.745 3 7 4 5 10 100 1000 Для решения некоторых психометрических задач, нам необходимо уметь переходить от простой дроби в десятичную и наоборот. 1) Превращение простой дроби в десятичную: Есть два способа для превращения простой дроби в десятичную: Если это возможно, расширим простую дробь до знаменателя 10/100/1000/... Например: 1 1 20 20 0.20 5 5 20 100 Если же такое расширение невозможно, разделим числитель простой дроби на ее знаменатель. Например: 3 3 12 0.25 12 2) Превращение десятичной дроби в простую: Способ превращения десятичной дроби в простую следует напрямую из определения десятичной дроби. Например, мы знаем, что 5.3 5 3 3 , поэтому 5.3 5 10 10 Задачи для самостоятельного решения: 1. Сократите, насколько это возможно: 16 48 21 (2) 84 (1) 2. Превратите смешанное число в неправильную дробь и наоборот: 13 9 2 (2) 8 5 (1) 3. 3 20 (2) 0.33 1645 500 (4) 2.596 (3) Решите: 5 2 6 15 11 3 (2) 18 8 (1) 5. 133 11 5 (4) 3 7 (3) Превратите десятичную дробь в обычную и наоборот: (1) 4. 15 120 26 (4) 143 (3) 7 3 9 7 4 2 3 1 (4) 7 15 7 5 (3) Поставьте знак < / > / = между двумя дробями: 3 11 13 26 1 3 (2) 19 57 (1) 3 9 13 29 5 2 (4) 21 14 (3) 6. 6 2 4 9 14 ? 25 3 5 75 15 Чему равно значение выражения : 21 30 7 (2) 10 (3) 0.7 (1) (4) Все ответы верны 7. Какая из следующих дробей наибольшая? 8 67 3 (2) 34 12 (3) 78 2 (4) 17 (1) Ответы: 1. (1) 2 3 (2) 1 4 1 8 2 (4) 11 (3) 2. 4 9 42 (2) 5 1 11 26 (4) 7 (1) 1 (3) 12 (1) 0.15 (3) 3.290 3. (2) 33 100 (4) 2 596 1000 4. 29 30 11 (2) 48 49 27 3 (4) 7 (1) (3) (1) < (2) = (3) < (4) > 5. 6. (4) 7. (3)