Рабочая программа. Направление АКб. Высшая математика

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по УМР
_________________ Бамбаева Н.Я.
« ___ »_____________ 2014 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
по дисциплине
Б 2.1- Высшая математика
шифр и название дисциплины
Направление подготовки
162500- Техническая эксплуатация
авиационных электросистем и пилотажнонавигационных комплексов
Квалификация (степень)
БАКАЛАВР
Профиль подготовки
Техническая эксплуатация авиационных
электросистем и пилотажно-навигационных
комплексов
Факультет
ФПМВТ
Кафедра
Высшей математики
Курс обучения
Первый и второй
Форма обучения
Очная
Общий объем учебных часов на
612час.
17з.е.
дисциплину
Семестр
1,2,3
сем.
Объем аудиторной нагрузки
126/90/90 час.
Лекции
50/36/36
час.
Практические занятия
76/54/54
час.
Лабораторные работы
час.
Курсовой проект
Зачет
сем.
Экзамен
1,2,3
cем.
Объем самостоятельной работы студента
90/90/126 час.
Москва – 2014 г.
2
Рабочая программа составлена в соответствии cтребованиями ФГОС
ВПО, утвержденного приказом Министра образования и науки Российской
Федерации от 23.12.2010 г. № 2015 по направлению подготовки 162500
Техническая эксплуатация авиационных электросистем и пилотажнонавигационных комплексов,
квалификация (степень) - Бакалавр.
Рабочую программу составил:
Доцент, к.ф.м.н., доцент
(должность, степень, звание)
Козлова В. С.
(Фамилия, инициалы)
подпись
Рабочая программа утверждена на заседании кафедры:
Протокол № 2
Зав. кафедрой,
к.ф.-м.н., доцент
от « 16 » сентября 2014 г.
Дементьев Ю.И.
Подпись
(должность, степень, звание)
(Фамилия, инициалы)
Рабочая программа одобрена методическим советом специальности
162500- Техническая эксплуатация авиационных электросистем и
пилотажно-навигаёционных комплексов
Протокол № 2
Председатель
методического совета
Зав.каф., д.т.н, профессор.
(должность, степень,
звание)
(шифр, наименование)
от « 20 » октября 2014 г.
Кузнецов С.В.
Подпись
(Фамилия, инициалы)
Рабочая программа согласована с Учебно-методическим управлением (УМУ)
Начальник УМУ, к.э.н., доц.
(должность, степень, звание)
подпись
Борзова А.С.
(Фамилия, инициалы)
3
1. Цели освоения дисциплины (модуля).
Целями освоения дисциплины (модуля) Математика является формирование
личности студентов, развитие их интеллекта и способностей к логическому и
алгоритмическому мышлению, обучение основным математическим
понятиям и методам математического анализа, аналитической геометрии,
линейной алгебры, теории функций комплексного переменного, теории
вероятностей и математической статистики, необходимым для анализа и
моделирования устройств, процессов и явлений при поиске оптимальных
решений практических задач, методам обработки и анализа результатов
численных и натурных экспериментов.
Дисциплина является одной из важнейших теоретических и прикладных
математических дисциплин, определяющих уровень профессиональной
подготовки современного инженера.
Цель преподавания прикладных разделов дисциплины состоит в том, чтобы,
используя теорию и методы научного познания овладеть основными
понятиями, определениями и законами, необходимыми для ведения
профессиональной деятельности при решения задач технической
эксплуатации авиационных электросистем и пилотажно-навигационных
комплексов; в частности, при участии в экспериментах по внедрению
прогрессивных стратегий, методов, форм и видов технического
обслуживания и ремонта летательных аппаратов; при анализе научнотехнической информации, обобщении и систематизации данных, их
обработке.
Преподавание дисциплины состоит в том, чтобы на примерах
математических понятий и методов продемонстрировать сущность научного
подхода, специфику математики и её роль как способ познания мира,
общности её понятий и представлений в решении возникающих проблем.
При этом решаются следующие задачи:
- раскрыть роль и значение математических методов исследования при
решении инженерных задач;
- ознакомить с основными понятиями и методами классической и
современной математики;
- научить студентов применять методы математического анализа для
построения математических моделей реальных процессов и явлений;
- раскрыть роль и значение вероятностно-статистических методов
исследования при решении инженерных задач.
2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата.
Дисциплина Высшая математика относится к учебным дисциплинам
базовой части профессионального цикла основной образовательной
программы
(далее
—
ООП)
направления
подготовки
162500
Техническаяэксплуатация авиационных электросистем и пилотажнонавигационных комплексов, квалификация (степень) – бакалавр.
Для успешного освоения данной дисциплины студент должен владеть
знаниями, умениями
и навыками, сформированными
школьной
программной по дисциплине Математика
4
Приобретенные в результате изучения дисциплины знания, умения и
навыки используются во всех без исключения естественнонаучных и
инженерных дисциплинах, модулях и практиках ООП.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:
 основные понятия и методы математики;
 методику математического исследования прикладных задач.
Уметь:
1) при решении задач выбирать и использовать необходимые
вычислительные методы в зависимости от поставленной задачи;
2) применять методы теории вероятностей и математической статистики
при обработке и анализе экспериментальных данных.
Владеть:
 Навыками составления оптимизационных моделей,
 математическими методами организации процессов эксплуатации
авиационной техники;
 программными математическими пакетами Maple, MathCAD для
численных вычислений при решении практических задач.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате
освоения дисциплины (модуля).
В процессе изучения дисциплины Высшая математика у студента
формируются следующие компетенции:
а) общекультурные ( ОК ):
ОК-7 - осознание социальной значимости своей будущей профессии,
обладание высокой мотивацией к выполнению профессиональной
деятельности.
ОК- 8 - владение культурой мышления, способностью к обобщению,
анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её
достижения.
ОК- 9 - умение логически верно, аргументировано и ясно строить устную и
письменную речь.
б ) профессиональные ( ПК )
ПК- 1 - способность использовать основные законы
естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности,
применять методы математического анализа и моделирования,
теоретического и экспериментального исследования.
ПК- 2 - способность применять знания на практике, в том числе владеть
научным инструментарием,применяемым в области авиации.
ПК- 4 - способность проводить измерения и инструментальный
контроль при эксплуатации авиационной техники, проводить обработку
результатов и оценивать погрешности.
5
ПК-18 -способность к исследованию объектов и процессов эксплуатации
авиационных электросистем и пилотажно-навигационных комплексов, в том
числе с помощью пакетов прикладных программ и элементов
математического моделирования, на основе профессиональных базовых
знаний.
ПК-19 – способность к подготовке данных для составления обзоров,
отчетов и научных публикаций.
4. Структура и содержание дисциплины
4.1. Объём дисциплины и виды учебной работы (часы/зач.ед.)
Виды учебной работы
Всего
час/зач.ед.
306/8,5
Лекции (Л)
122/3,4
Практические занятия (ПЗ)
172/4
Контрольные работы (КР)
12/
4/
306/8,5
90/2,5
72/2
24/
Аудиторные занятия
7
9
1
3
Самостоятельная работа
(СР)
Домашняя работа (задание)
Самостоятельная проработка
учебного материала
Вид итогового контроля
162/4,5
72/2
1
126/3,5
Семестры
2
90/2,5
3
90/2,5
50/1,4
36/1
36/1
72/2
1
9
2
3
1
42/1
трудоёмкость
612/17
7
18
1
4/
50/1
7
18
1
4/
9
126/3,5
2
24/
3
1
9
90/2,5
2
24/
3
1
78/2
42/1
Экзамен
2
24/
Экзамен
2
24/
Экзамен
2
24/
216/6
216/6
180/5
6
3
Общая
час/зач.ед
50/1
6
3
6
3
6
4.2. Содержание разделов (тем) дисциплины.
Первый семестр
Раздел 1. Алгебра.
Тема 1. Алгебра матриц. Определители.
Понятие матрицы, виды матриц. Сложение матриц и умножение на число,
произведение матриц. Определители, их свойства. Миноры и алгебраические
дополнения. Разложение определителя по элементам строки и столбца.
Различные способы вычисления определителей. Обратная матрица, условия
еѐ существования, свойства. Ранг матрицы и способы его вычисления.
Тема 2. Решение систем линейных уравнений.
Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Общая
теория линейных систем. Теорема Кронекера –Капелли. Системы
𝑛 линейных уравнений с 𝑛неизвестными и два метода их решения: а)
матричный метод, б) метод Крамера. Метод Гаусса решения системы
линейных уравнений (метод последовательного исключения неизвестных).
Тема 3. Комплексные числа.
Понятие комплексных чисел. Их изображение на комплексной плоскости.
Модуль, аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая
и показательная формы записи комплексных чисел. Операции над
комплексными числами. Решение алгебраических уравнений. Основная
теорема алгебры.
Раздел 2. Геометрия.
Тема 4.Элементы векторной и линейной алгебры.
Геометрические векторы, длина (модуль) вектора. Коллинеарные и
компланарные векторы. Линейные операции над векторами: умножение
вектора на число, сложение векторов. Линейная зависимость векторов. Базис
и разложение вектора по векторам базиса, координаты вектора. Линейные
операции над векторами, заданными своими координатами. Проекция
вектора на ось. Прямоугольная система координат, координаты точки и
вектора.
Скалярное произведение, его свойства и формулы для вычисления длины
вектора, угла между двумя векторами, проекции вектора на ось. Векторное
произведение, его свойства и формулы для вычисления площадей
параллелограмма и треугольника. Смешанное произведение, его свойства и
формулы для вычисления объѐмов параллелепипеда и пирамиды, условие
компланарности трёх векторов.
7
Понятие линейного пространства. Примеры линейных пространств. Линейно
независимые вектора. Размерность и базис линейного пространства.
Подпространства. Линейные преобразования, характеристические числа и
собственные векторы. Понятие евклидова пространства.
Тема 5. Аналитическая геометрия.
Прямоугольная декартова система координат на плоскости и в пространстве.
Уравнения линии на плоскости и поверхности в пространстве. Полярная
система координат. Уравнение линии в полярной системе координат.
Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости, уравнение в
отрезках, каноническое уравнение.Нормальный и направляющий векторы
для прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между
прямыми на плоскости.
Плоскость в пространстве. Общее уравнение плоскости в пространстве,
уравнение в отрезках. Нормальный вектор плоскости. Угол между
плоскостями. Прямая линия в пространстве: общие уравнения, канонические
уравнения, направляющий вектор. Угол между двумя прямыми в
пространстве, угол между прямой и плоскостью. Взаимное расположение
плоскостей и прямых.
Кривые второго порядка (эллипс, гипербола, парабола), канонические
уравнения, форма, эксцентриситет. Преобразования прямоугольных
координат на плоскости. Общее уравнение второй степени относительно 𝑥и
𝑦и определяемые ими линии на плоскости. Классификация кривых второго
порядка.
Поверхности 2-го порядка. Метод сечений.
Раздел 3.Введение в математический анализ. Дифференциальное
исчисление.
Тема 6. Действительные функции и предел.
Постоянные и переменные величины. Множества, операции над
множествами. Символика математической логики. Действительные числа и
их свойства. Понятие окрестности точки. Отрезок, интервал, промежуток
действительной прямой. Ограниченные множества. Понятие отображения
(функции). Образы и прообразы множеств.
Функция, область определения, область значений, графическое изображение.
Способы задания функций. Обратная функция, сложная функция.
Элементарные функции.
Числовые
последовательности.
Ограниченные
и
монотонные
последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Предел
монотонной ограниченной последовательности. Число e. Предел функции.
Односторонние пределы. Бесконечно большие, бесконечно малые и
эквивалентные величины. Основные теоремы о бесконечно малых. Свойства
пределов функций, связанные с арифметическими действиями и
8
неравенствами.
Предел
сложной
функции.
Основные
виды
неопределенностей. Замечательные пределы.
Непрерывные функции. Непрерывность в точке, в интервале, на отрезке.
Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность
элементарных функций.Точки разрыва функции и ихклассификация.
Свойства функций непрерывных на отрезке.
Тема 7. Производная и ее приложения.
Понятие производной. Геометрический и механический смысл
производной.
Непрерывность
функций,
имеющих
производную.
Производная суммы, произведения и частного. Производная сложной
функции и обратной функции. Производные основных элементарных
функций. Таблица основных производных. Дифференциал функции и его
геометрический смысл. Применение дифференциала в приближенных
вычислениях.
Производные высших порядков. Механическое истолкование второй
производной. Дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница для nй
производной от произведения двух функций. Дифференцирование
неявных и параметрически заданных функций.
Теоремы о дифференцируемых функциях (теоремы Ролля, Лагранжа, Коши).
Правило Лопиталя. Исследование функций. Признаки возрастания и
убывания
функций. Максимум и минимум. Необходимое условие
существования экстремума, первый и второй достаточные признаки
существования экстремума. Нахождение наименьшего и наибольшего
значений функции на замкнутом промежутке. Вогнутость и выпуклость
графика функции, точки перегиба. Асимптоты графика функции
(вертикальные, горизонтальные и наклонные). Общая схема исследования
функции одной переменной. Построение графика функции на основе ее
полного анализа.
Тема 8. Дифференциальное исчисление функций многих переменных.
Понятие функции нескольких переменных. Предел функции.
Непрерывность. Частные производные. Дифференцируемые функции.
Полный дифференциал. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Геометрический смысл полного дифференциала.Производная сложной
функции. Дифференцирование неявно заданных функций. Частные
производные и дифференциалы высших порядков.Производная по
направлению, градиент.Экстремум функции нескольких переменных
(необходимое условие). Наибольшее и наименьшее значения функции в
замкнутой области.
Второй семестр
9
Раздел 4.Интегральное исчисление.
Тема 9. Неопределенный интеграл и методы его вычисления.
Первообразная функция. Неопределѐнный интеграл и его основные свойства.
Таблица неопределенных интегралов от основных элементарных функций.
Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование; метод
замены переменной; интегрирование по частям.. Интегрирование
простейших рациональных дробей. Интегрирование произвольной дробнорациональной
функции
(рациональной
дроби).
Интегрировании
тригонометрических функций специального вида (произведений степеней
синуса и косинуса). Интегрирование рациональной функции, зависящей от
синуса и косинуса переменной. Интегрирование некоторых иррациональных
функций.
Тема 10. Определенный интеграл и его приложения.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Интегральные
суммы. Определение и теорема существования определѐнного интеграла (без
доказательства). Геометрический смысл и свойства определенного интеграла.
Теоремы о среднем значении. Дифференцирование интеграла по
переменному верхнему пределу. Связь определенного интеграла с
неопределенным;
формула
Ньютона-Лейбница.
Несобственные
интегралы,признаки сходимости. Замена переменнойв определённом
интеграле. Интегрирование по частям. Вычисление площадей плоских фигур
в прямоугольных и в полярных координатах. Вычисление объёма тела по
площадям параллельных сечений. Объём тела вращения. Вычисление длины
дуги.
Тема 11. Кратные и криволинейные интегралы.
Задачи, приводящие к понятию кратных(двойного и тройного) интегралов.
Определение двойного и тройного интеграла, их простейшие свойства.
Вычислениекратныхинтегралов в декартовой системе координат (сведение к
повторному). Теорема о среднем значении. Замена переменной в двойном и
тройном интегралах, якобиан преобразования. Переход в двойном интеграле
к полярным координатам. Переход в тройном интеграле к цилиндрическим и
сферическим координатам. Практические приемы вычисления двойных и
тройных
интегралов.
Геометрические
приложения
кратных
интегралов.Понятие о криволинейных интегралах. Вычисление и простейшие
свойства криволинейных интегралов.
Раздел 5. Ряды и гармонический анализ.
Тема 12. Числовые ряды.
10
Числовой ряд. Сходимость и расходимость ряда. Необходимое условие
сходимости ряда. Основные свойства числового ряда. Ряды с
неотрицательными членами и признаки их сходимости: оценочный признак
сравнения, предельный признак сравнения, признак Даламбера, признак
Коши, интегральный признак. Знакочередующиеся ряды: признаки
сходимости. Признак Лейбница. Абсолютно и условно сходящиеся ряды, их
свойства. Операции над рядами: сложение и умножение сходящихся рядов,
группировка и перестановка членов ряда.
Тема 13. Функциональные ряды.
Функциональные ряды. Область сходимости. Степенные ряды. Теорема
Абеля. Интервал, радиус и область сходимости. Свойства степенных рядов.
Ряд Тейлора. Разложение в ряд элементарных функций. Применение рядов.
Тема 14. Гармонические колебания и ряды Фурье.
Гармонические колебания. Ряд Фурье. Ортогональность системы
тригонометрических функций. Условия разложимости в рядФурье.Ряд Фурье
на произвольном промежутке. Условия разложимости. Ряд Фурье для четных
и нечетных функций. Комплексная форма ряда Фурье. Интеграл Фурье.
Преобразование Фурье. Спектральные функции.
Раздел 6. Дифференциальные уравнения
Тема 15.Основные понятия теории обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Понятие дифференциального уравнения. Общее и частное решения.
Общий и частный интеграл.Интегральные кривые. Задача Коши.
Дифференциальные уравнения первого порядка: общее и частное решения,
интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения
дифференциального уравнения первого порядка, разрешённого относительно
производной,
при
заданном
начальном
условии
(без
доказательства).Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные и
линейные уравнения первого порядка, уравнения Бернулли. Геометрия
дифференциальных уравнений первого порядка. Поле направлений. Метод
изоклин. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие
понижение порядка.
Тема
16.Линейные
дифференциальные
уравнения.
Системы
дифференциальных уравнений.
Понятие линейного дифференциального уравнения, уравнения однородные и
неоднородные. Линейно зависимые и линейно независимые функции.
Определитель Вронского.Линейные однородные уравнения и свойства их
решений. Теорема о структуре общего решения линейного однородного
уравнения. Линейные неоднородные уравнения и теорема о структуре
общего решения таких уравнений. Линейные однородные уравнения с
11
постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение, его корни и
соответствующее общее решение рассматриваемого дифференциального
уравнения. Линейные неоднородные уравнения с постоянными
коэффициентами и методы, нахождения частных решений без
интегрирования (метод неопределенных коэффициентов). Метод Лагранжа
(метод вариации произвольных постоянных). Описание физических
процессов с помощью линейных уравнений (уравнение упругих колебаний,
уравнение для определения силы тока). Простейшие системы
дифференциальных уравнений.
Третий семестр
Раздел 7. Основы теории функций комплексного переменного.
Тема 17. Основные понятия теории функций комплексного
переменного.
Комплексные числа и различные формы их представления. Функция
комплексного переменного. Предел функции. Непрерывность функции.
Производная функции комплексного переменного, ее свойства. Условия
Коши-Римана. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
Функция аналитическая в области и точке.Гармонические функции и их
связь с аналитическими функциями.
Пути на комплексной плоскости. Определение и свойства интеграла от
функции комплексного переменного, их свойства. Интеграл типа Коши.
Теорема Коши. Интегральная формула Коши, приложение ее к
вычислениюинтегралов.Производные высших порядков.
Тема 18. Функциональные ряды в комплексной области.
Интегрирование.
Числовые и функциональные ряды. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряд
Тейлора. Теорема о разложении функции,аналитической в круге, в ряд
Тейлора.Основные аналитические функции. Ряды Лорана. Нули и
изолированные особые точки аналитических функций,их классификация.
Вычеты и основная теорема о вычетах. Вычисление интегралов с помощью
вычетов. Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов.
Тема 19. Операционное исчисление.
Преобразование Лапласа. Примеры изображений. Функция Хэвисайда.
Основные теоремы об изображениях и оригиналах.Приложения
операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и их
систем. Теорема о свертке. Интеграл Дюамеля. Приложение их к решению
дифференциальных уравнений.
12
Раздел. 8. Вероятность и статистика.
Тема 20. Элементарные задачи теории вероятностей.
Основные
понятия.
Случайные
события.
Алгебра
событий.
Классическоеопределение
вероятностей.
Относительные
частоты.
Непосредственное вычисление вероятностей. Элементы комбинаторики:
размещения, сочетания, перестановки для выборок с возвращением и без
возвращения. Теорема сложения и умножения вероятностей. Формулы
полной вероятности. Формула Байеса. Схема повторения опытов Бернулли.
Локальная и интегральная формулы Лапласа.Формула Пуассона.
Тема 21. Случайные величины. Основные законы распределения и
их интерпретации.
Случайные
величины.
Закон
распределения
дискретнойслучайнойвеличины. Функция распределения. Вероятность
попадания случайной величины на заданный участок. Плотность вероятности
и ее свойства. Математическое ожидание и дисперсия случайных величин; их
свойства.
Нормальное распределение, его свойства. Моменты. ФункцияЛапласа,
правило 3-х сигм. Законы распределения: равномерный, биномиальный,
Пуассона, показательный. Вычисление математических ожиданий и
дисперсий основных дискретных и непрерывных распределений.
Закон больших чисел. Неравенство и теорема Чебышева. Теорема
Бернулли.
Системы случайных величин. Закон распределения системы дискретных
случайных величин. Функция и плотностьраспределения. Условные законы
распределения. Математические ожидания и дисперсии. Корреляционный
момент. Коэффициенты корреляции. Независимые случайные величины.
Нормальный закон распределения на плоскости.Линейная регрессия.
Тема 22. Обработка статистических данных и проверка гипотез.
Типичные задачи математической статистики. Генеральная совокупность и
выборка. Вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения.
Гистограмма. Оценки параметров распределения генеральной совокупности
(метод моментов и наибольшего правдоподобия). Свойства оценок.
Доверительный интервал для математического ожидания при известной и
неизвестной
дисперсии
нормально
распределенной
величины.
Доверительный интервал для среднего квадратичного отклонения.
Статистическая проверка гипотез. Общая постановка задачи. Проверка
гипотезы о законе распределения по критерию Пирсона.
Раздел.9.Численные методы.
13
Тема 23. Методы решения алгебраических уравнений и систем.
О численных методах. Виды ошибок. Решение системы линейных
алгебраических уравнений методом Гаусса с выбором главных элементов.
Решение функциональных уравнений методами половинного деления, хорд,
касательных, комбинированным методом. Решение дифференциальных
уравнений методами Эйлера и Рунге-Кутта.
Тема 24.Вычисление определенных интегралов. Численное
интегрирование дифференциальных уравнений.
Приближенное
вычисление
определенных
интегралов:
формулы
прямоугольников, трапеций, Симпсона. Решение дифференциальных
уравнений методами Эйлера и Рунге-Кутта.
Раздел. 10. Моделирование.
Тема 25. Понятие математической модели. Классификация.
Тема 26. Примеры построения математической модели.
14
4.3.
Структура и содержание дисциплины (модуля) Высшая математика
Первый семестр. Общая трудоемкость дисциплины составляет 6 зачетных единиц, 216 часов.
Семестр
Раздел
Дисциплины
№
п/п
1
РАЗДЕЛ. 1.
2
3
Тема 1. Алгебра матриц, определители.
Тема 2. Решение систем линейных
уравнений.
Тема 3. Комплексные числа.
РАЗДЕЛ. 2. Геометрия
Тема 4.Элементы векторной и
линейной алгебры.
Тема 5. Аналитическая геометрия.
РАЗДЕЛ. 3 Введение в
4
5
6
7
8
Алгебра
математический анализ.
Дифференциальное исчисление.
9
12
Л
ПЗ
КР
СР
1
14
1-4
12
17
1
1-2
6
7
6
1
3
4
6
6
1
1
4
5-9
2
14
4
21
1
5-6
6
8
1
7-9
8
13
1
12
1
10-17
24
34
2
32
10-12
8
10
10
1
13-15
10
16
16
1
16-17
6
8
Тема 6. Действительные функции и
Тема 7. Производная и ее приложения.
Тема 8. Дифференциальное исчисление
функции многих переменных.
Подготовка к экзамену
Виды учебной работы,
Формы текущего контроля
включая самостоятельную успеваемости (по неделям семестра)
работу студентов и
Форма промежуточной аттестации (по
трудоемкость (в часах)
семестрам)
1
предел.
10
11
Неделя
семестра
1
1
1
Выдача КДЗ-1 (2 неделя)
2
20
8
2
6
24
Сдача КДЗ-1 (9 неделя)
Выдача КДЗ-2 (10 неделя)
Сдача КДЗ-2 (16 неделя)
Форма промежуточной
аттестации (экзамен)
15
13
ИТОГО
1
50
72
4
90
Второй семестр. Общая трудоемкость дисциплины составляет 6 зачетных единиц, 216 часов.
Семестр
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Раздел
Дисциплины
Неделя
семестра
РАЗДЕЛ. 4. Интегральное исчисление
Тема 9. Неопределённый интеграл и
методы его вычисления.
Тема 10. Определённый интеграл и его
приложения.
Тема 11. Кратные и криволинейные
интегралы.
РАЗДЕЛ. 5. Ряды и гармонический
анализ
Тема 12. Числовые ряды.
Тема 13. Функциональные ряды.
Тема 14. Гармонические колебания и
ряды Фурье.
РАЗДЕЛ. 6 Дифференциальные
уравнения
Тема 15. Основные понятия теории
обыкновенных дифференциальных
уравнений.
2
2
1-6
1-2
2
3-4
Тема 16. Линейные дифференциальные
уравнения. Системы
дифференциальных уравнений.
2
2
2
2
2
5-6
7-12
7-8
9-10
11-12
Виды учебной работы,
Формы текущего контроля
включая самостоятельную успеваемости (по неделям семестра)
работу студентов и
Форма промежуточной аттестации (по
трудоемкость (в часах)
семестрам)
Л
12
ПЗ
4
17
6
4
6
КР
1
СР
36
12
Выдача КДЗ-1(2 неделя)
12
4
5
1
12
12
17
1
34
4
4
4
6
6
5
1
12
12
10
2
32
2
13-17
12
16
2
13-15
6
8
2
16-17
6
8
Сдача КДЗ-1 (6 неделя)
Выдача КДЗ-2 (7 неделя)
16
2
16
Сдача КДЗ-2 (16 неделя)
16
12
Подготовка к экзамену
2
13
ИТОГО
2
24
36
50
Форма промежуточной аттестации
(экзамен)
126
4
Третий семестр.Общая трудоемкость дисциплины составляет 5 зачетных единиц, 180 часов.
Семестр
№
п/п
Раздел
Дисциплины
Неделя
семестра
Виды учебной работы,
включая самостоятельную
работу студентов и
трудоемкость (в часах)
Л
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
РАЗДЕЛ. 7Основы теории функций
комплексного переменного.
Тема 17. Основные понятия теории
функций комплексного переменного.
Тема
18.
Функциональные
ряды
в
комплексной области. Интегрирование
Тема 19. Операционное исчисление
РАЗДЕЛ. 8. Вероятность и статистика
Тема 20. Элементарные задачи теории
вероятностей
Тема 21. Случайные величины. Основные
законы распределения и их интерпретации
Тема 22. Обработка статистических
данных и проверка гипотез
РАЗДЕЛ. 9 Численные методы
Тема 23. Методы решения алгебраических
уравнений и систем.
Тема
24.
Вычисление
определенных
интегралов. Численное интегрирование
дифференциальных уравнений
РАЗДЕЛ 10. Моделирование
Тема 25. Понятие математической модели.
Классификация
ПЗ
КР
2
СР
3
1-6
14
22
3
1-2
4
8
26
3
3-5
6
8
2
10
3
3
5-6
7-14
4
16
6
22
2
8
28
3
7-9
6
8
3
10-12
6
8
3
13-14
4
6
8
3
15-16
4
4
8
3
15
2
2
4
3
16
2
2
4
3
17
2
2
4
3
17
1
1
2
8
10
2
Формы текущего контроля успеваемости
(по неделям семестра)
Форма промежуточной аттестации (по
семестрам)
Выдача КДЗ-1 (2 неделя)
Сдача КДЗ-1 (7 неделя)
Выдача КДЗ-2(8 неделя)
10
Сдача КДЗ-2 (13 неделя)
Выдача КДЗ-3(14 неделя)
Сдача КДЗ-3 (16 неделя)
17
15
Тема 26. Примеры построения
математической модели.
Подготовка к экзамену
16
ИТОГО
14
3
17
1
1
2
3
24
3
36
50
4
Форма промежуточной аттестации
(экзамен)
90
Матрица соотнесения тем/разделов учебной дисциплины и формируемых в них профессиональных и
общекультурных компетенций
Разделы дисциплины, темы(наименования)
РАЗДЕЛ. 1.
Количество
часов
ОК- 7
ОК-8
Компетенции
ОК-9 ПК - 1 ПК-2
ПК-4
ПК-18
ПК-19
Σ общее
количество
компетенций
+
+
8
+
5
Алгебра
44
+
+
+
+
Тема 1. Алгебра матриц, определители
Тема 2. Решение систем линейных
уравнений.
Тема 3. Комплексные числа
19
+
+
+
+
16
+
+
+
9
+
+
+
+
+
+
+
РАЗДЕЛ. 2.
56
+
+
+
+
+
+
+
+
8
22
+
+
+
+
+
+
6
34
+
+
+
+
+
+
92
+
+
+
+
+
+
28
+
+
+
42
+
+
+
22
+
+
+
Геометрия
Тема 4.Элементы векторной и линейной
алгебры.
Тема 5. Аналитическая геометрия.
РАЗДЕЛ. 3 Введение в математический
анализ. Дифференциальное исчисление.
Тема 6. Действительные функции и предел.
Тема 7. Производная и ее приложения.
Тема 8. Дифференциальное исчисление
функции многих переменных
+
+
+
4
7
6
+
+
8
3
+
+
+
+
+
+
7
+
6
18
Подготовка к экзамену
24
ИТОГО ЗА ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР
216
Разделы дисциплины, темы(наименования)
РАЗДЕЛ. 4. Интегральное исчисление
Тема 9. Неопределённый интеграл и методы его
вычисления
Тема 10. Определённый интеграл и его
приложения.
Тема 11. Кратные и криволинейные интегралы.
РАЗДЕЛ. 5.
Ряды и гармонический анализ
Тема 12. Числовые ряды.
Тема 13. Функциональные ряды.
Тема 14. Гармонические колебания и ряды
Фурье.
РАЗДЕЛ. 6 Дифференциальные уравнения
Тема 15. Основные понятия теории
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Тема 16. Линейные дифференциальные
уравнения. Системы дифференциальных
уравнений
Количество
часов
ОК- 7
ОК-8
Компетенции
ОК-9 ПК - 1 ПК-2
+
ПК-4
+
ПК-18
ПК-19
Σ общее
количество
компетенций
+
+
8
66
+
+
+
+
22
+
+
+
+
22
+
+
+
+
+
+
+
22
+
+
+
+
+
+
+
64
22
22
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
20
+
+
+
+
+
+
+
62
+
+
+
+
+
+
+
30
+
+
+
+
+
+
32
+
+
+
+
+
+
4
+
8
7
+
8
3
6
7
+
8
6
+
+
8
19
Подготовка к экзамену
ИТОГО ЗА ВТОРОЙ СЕМЕСТР
Разделы дисциплины, темы(наименования)
РАЗДЕЛ. 7 Основы теории функций комплексного
переменного
Тема 17. Основные понятия теории функций
комплексного переменного.
Тема 18. Функциональные ряды в комплексной
области. Интегрирование
Тема 19. Операционное исчисление
24
216
Количество
часов
ОК- 7
ОК-8
Компетенции
ОК-9 ПК - 1 ПК-2
ПК-19
+
+
Σ общее
количество
компетенций
+
+
+
+
20
+
+
+
+
26
+
+
+
+
+
+
+
7
18
+
+
+
+
+
+
+
7
68
+
+
+
+
+
+
+
24
+
+
+
+
+
26
+
+
+
+
+
+
18
+
+
+
+
+
+
+
16
+
+
+
+
+
+
+
Тема 23. Методы решения алгебраических уравнений
и систем.
8
+
+
+
+
+
+
+
Тема 24. Вычисление определенных интегралов.
Численное интегрирование дифференциальных
уравнений
8
+
+
+
+
+
+
+
Тема 20. Элементарные задачи теории
вероятностей
Тема 21. Случайные величины. Основные законы
распределения и их интерпретации
Тема 22. Обработка статистических данных и
проверка гипотез
РАЗДЕЛ. 9 Численные методы
+
ПК-18
64
РАЗДЕЛ. 8. Вероятность и статистика
+
ПК-4
8
4
+
8
+
6
6
7
+
8
7
+
8
20
РАЗДЕЛ 10. Моделирование
Тема 25. Понятие математической модели.
Классификация
Тема 26. Примеры построения математической
модели.
Подготовка к экзамену
ИТОГО ЗА ТРЕТИЙ СЕМЕСТР
8
+
+
+
+
+
4
+
+
+
+
+
4
+
+
24
180
+
+
+
+
+
8
+
+
7
+
+
6
21
4.4Лекции (тематический план).
№
Р
А
З
Д
Е
Л
А
(см.
4.2)
1.
№ и тема
дисциплины,
входящей в
данный раздел
(см.4.2)
Наименование лекционных занятий
(ч
ас
.)
1. Алгебра
матриц,
определители.
Семестр I
Понятие матрицы, виды матриц. Сложение матриц и
умножение на число, произведение матриц. Определители,
их свойства.
Миноры и алгебраические дополнения. Разложение
определителя по элементам строки и столбца. Различные
способы вычисления определителей.
2. Решение
систем
линейных
уравнений.
Обратная матрица, условия еѐ существования, свойства.
Ранг матрицы и способы его вычисления.
Системы линейных алгебраических уравнений. Основные
понятия. Общая
теория линейных систем. Теорема
Кронекера –Капелли.
Системы 𝑛 линейных уравнений с 𝑛 неизвестными и два
метода их решения: а) матричный метод, б) метод
Крамера. Метод Гаусса решения системы линейных
уравнений
(метод
последовательного
исключения
неизвестных).
2.
Т
ру
до
ем
ко
ст
ь
2
2
2
2
2
3. Комплексные
числа
Понятие комплексных чисел. Модуль, аргумент
комплексного числа. Формы записи комплексных чисел.
Операции над комплексными числами. Решение
алгебраических уравнений.
4.
Элементы
векторной
и
линейной
алгебры.
Понятие вектора, длина вектора. Линейные операции над
векторами. Базис и координаты вектора.
2
Скалярное, векторное, смешанное произведения
векторов, их свойства, вычисление, применение.
2
Понятие линейного пространства, примеры. Размерность и
базис. Подпространства. Линейные преобразования.
Понятие евклидова пространства.
2
2
22
5.
Аналитическая
геометрия.
3.
6.
Действительные функции и
предел.
Прямоугольная система координат. Уравнения линии на
плоскости и поверхности в пространстве. Полярная
система координат.
Прямая на плоскости и её
уравнения.
2
Плоскость в пространстве. Общее уравнение
плоскости.Прямая линия в пространстве: общие
уравнения, канонические уравнения, направляющий
вектор. Взаимное расположение плоскостей и прямых.
2
Кривые второго порядка, канонические уравнения.
Преобразования прямоугольных координат на плоскости.
Классификация кривых второго порядка.
2
Поверхности 2-го порядка. Метод сечений.
Множества, операции над множествами. Числовые
множества. Символика математической логики. Понятие
отображения (функции). Способы задания функций.
Обратная функция, сложная функция. Элементарные
функции.
Числовая последовательность, её предел.
Предел функции. Односторонние пределы.
7. Производная
и
ее
приложения.
Число𝒆.
2
2
2
Бесконечно большие, бесконечно малые и эквивалентные
величины. Основные теоремы о бесконечно малых.
Свойства
пределов
функций.
Основные
виды
неопределенностей. Замечательные пределы.
2
Непрерывные функции. Непрерывность элементарных
функций. Точки разрыва функции и их классификация.
Свойства функций непрерывных на отрезке.
2
Понятие производной. Геометрический и механический
смысл производной. Непрерывность функций, имеющих
производную. Производная суммы, произведения и
частного.
2
Производная сложной функции и обратной функции.
Производные основных элементарных функций. Таблица
основных производных.
2
Дифференциал функции и его геометрический смысл.
Применение дифференциала
Производные и
дифференциалы высших порядков. Дифференцирование
2
23
неявных и параметрически заданных функций.
Теоремы о дифференцируемых функциях (теоремы
Ролля, Лагранжа, Коши). Правило Лопиталя. Признаки
возрастания и убывания функций. Максимум и минимум.
Необходимое условие существования экстремума.
Вогнутость и выпуклость графика функции, точки
перегиба. Асимптоты. Общая схема исследования
функции одной переменной. Построение графика функции
на основе ее полного анализа.
8.Дифференциальное
исчисление
функций
многих
переменных.
4.
9.Неопределенный интеграл
и методы его
вычисления
10.
Определенный
интеграл и его
приложения.
11. Кратные и
криволинейные
интегралы.
Понятие функции нескольких переменных.
функции. Непрерывность. Частные производные.
Предел
2
2
2
Дифференцируемые функции. Полный дифференциал.
Касательная плоскость. Геометрический смысл полного
дифференциала.
Производная
сложной
функции.
Дифференцирование неявно заданных функций. Частные
производные и дифференциалы высших порядков.
2
Производная по направлению, градиент. Экстремум
функции нескольких переменных (необходимое условие).
Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой
области.
2
Семестр 2
Неопределѐнный интеграл и его свойства. Таблица
неопределенных
интегралов.Основные
методы
интегрирования. Интегрирование рациональных дробей.
2
Интегрировании
тригонометрических
функций.
Интегрирование некоторых иррациональных функций.
2
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
Определение
определѐнного
интеграла
и
его
свойства.Формула Ньютона-Лейбница. Несобственные
интегралы. Замена переменной в определённом интеграле.
Интегрирование по частям.
2
Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольных и
в полярных координатах. Вычисление объёма тела по
площадям параллельных сечений. Объём тела вращения.
Вычисление длины дуги.
2
Определение двойного и тройного интеграла, их
простейшие свойства. Вычисление кратных интегралов в
декартовой системе координат (сведение к повторному).
Замена переменной в двойном и тройном интегралах.
Геометрические приложения кратных интегралов.
2
24
Понятие о криволинейных интегралах. Вычисление и
простейшие свойства криволинейных интегралов.
2
5.
12. Числовые
ряды.
13.
Функциональные ряды
14.
Гармонические
колебания
и
ряды Фурье.
6.
15.Основные
понятия
теории
обыкновенныхд
ифференциальных
уравнений.
Понятие числового ряда. Сходимость и расходимость
ряда. Основные свойства числового ряда. Ряды с
неотрицательными членами и признаки их сходимости.
2
Знакочередующиеся ряды: признаки сходимости. Признак
Лейбница. Абсолютно и условно сходящиеся ряды, их
свойства. Операции над рядами.
2
Функциональные
ряды.
Область
сходимости.
Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал, радиус и
область сходимости.
2
Свойства степенных рядов. Ряд Тейлора. Разложение в
ряд элементарных функций. Применение рядов.
2
Гармонические
колебания.
Ряд
Фурье.
Ортогональность системы тригонометрических функций.
Условия разложимости в ряд Фурье. Ряд Фурье на
произвольном промежутке.
2
Условия разложимости. Ряд Фурье для четных и нечетных
функций. Комплексная форма ряда Фурье. Интеграл
Фурье. Преобразование Фурье. Спектральные функции.
2
Понятие дифференциального уравнения. Общее и частное
решения. Общий и частный интеграл. Интегральные
кривые. Задача Коши.
Дифференциальные
уравнения
первого
порядка.
Уравнения с разделяющимися переменными.
2
Однородные и линейные уравнения первого порядка,
уравнение Бернулли. Поле направлений. Метод изоклин.
2
Дифференциальные
уравнения
допускающие понижение порядка.
высших
порядков,
2
25
16.Линейные
дифференциальные
уравнения.
Системы
дифференциальных
уравнений.
7.
17.
Основные
понятия
теории
функций
комплексного
переменного.
18.
Функциональн
ые ряды в
комплексной
области.
Интегрирование.
Однородные
и
неоднородные
линейные
дифференциальные уравнения. Линейно зависимые и
линейно независимые функции. Определитель Вронского.
Структура общего решения линейного однородного
уравнения.
2
Линейные неоднородные уравнения и теорема о структуре
общего решения таких уравнений. Линейные однородные
уравнения
с
постоянными
коэффициентами.
Характеристическое
уравнение,
его
корни
и
соответствующее общее решение дифференциального
уравнения.
2
Линейные неоднородные уравнения с постоянными
коэффициентами и методы, нахождения частных решений.
Метод вариации произвольных постоянных. Описание
физических процессов с помощью линейных уравнений.
Простейшие системы дифференциальных уравнений.
2
Семестр 3
Функция комплексного переменного. Предел,
непрерывность, производная функции комплексного
переменного. Условия Коши-Римана. Аналитические
функции.
Определение и свойства интеграла от функции
комплексного переменного, их свойства. Теорема Коши.
Интегральная формула Коши, приложение ее к
вычислению интегралов.
2
Числовые и функциональные ряды. Степенные ряды.
Теорема Абеля. Ряд Тейлора.
2
Теорема о разложении функции, аналитической в круге, в
ряд Тейлора. Ряды Лорана. Нули и изолированные особые
точки аналитических функций, их классификация.
2
Вычеты и основная теорема о вычетах. Вычисление
интегралов с помощью вычетов. Вычисление
несобственных интегралов с помощью вычетов.
19.
Операционное
исчисление.
2
Преобразование Лапласа. Примеры изображений.
Функция Хэвисайда. Основные теоремы об изображениях
и оригиналах.
2
2
26
8.
20.
Элементарные
задачи теории
вероятностей.
Приложения операционного исчисления к решению
дифференциальных уравнений и их систем. Теорема о
свертке. Интеграл Дюамеля.
2
Случайные события. Алгебра событий. Классическое
определение вероятностей. Элементы комбинаторики.
2
Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формулы
полной вероятности. Формула Байеса.
2
Схема повторения опытов Бернулли. Локальная и
интегральная формулы Лапласа. Формула Пуассона.
21. Случайные
величины.
Основные
законы
распределения
и
их
интерпретации.
Случайные
величины.
Закон
распределения
дискретной случайной величины. Функция распределения.
Плотность вероятности и ее свойства. Математическое
ожидание и дисперсия случайных величин; их свойства.
2
Нормальное распределение, его свойства. Законы
распределения: равномерный, биномиальный, Пуассона,
показательный.
2
Закон больших чисел.
Системы случайных величин.
Закон распределения системы дискретных случайных
величин.. Условные законы распределения. Коэффициент
корреляции. Линейная регрессия.
22. Обработка
статистическ
их данных и
проверка
гипотез.
2
Типичные
задачи
математической
статистики.
Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд.
Эмпирическая функция распределения. Гистограмма.
Оценки параметров распределения. Свойства оценок.
Доверительный интервал. Статистическая проверка
гипотез. Общая постановка задачи. Проверка гипотезы о
законе распределения по критерию Пирсона.
2
2
2
27
9.
10.
23.
Методы
решения
алгебраических
уравнений
и
систем.
О численных методах. Виды ошибок. Решение системы
линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с
выбором главных элементов. Решение функциональных
уравнений методами половинного
деления, хорд,
касательных, комбинированным методом. Решение
дифференциальных уравнений методами Эйлера и РунгеКутта.
24. Вычисление
определенных
интегралов.
Численноеинт
егрированиедифференц
и-альных
уравнений.
Приближенное вычисление определенных интегралов:
формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона. Решение
дифференциальных уравнений методами Эйлера и РунгеКутта.
25.
Понятие
математическ
ой
модели.
Классификация
Понятие математической модели. Классификация.
26.
Примеры
построения
математической модели.
Примеры построения математической модели.
2
2
1
1
28
4.5. Практические занятия (тематический план).
№
Р
А
З
Д
Е
Л
А
(см.
4.2)
1.
№ и тема
дисциплины,
входящей в
данный раздел
(см . 4.2)
Наименование практических занятий
(ч
ас
.)
1. Алгебра
матриц,
определители.
Семестр I
Матрицы и действия над ними: сложение, умножение на
число, произведение. Определители второго и третьего
порядков и их вычисление.
Разложение определителя по элементам строки и столбца.
Различные
способы
вычисления
определителей.
Вычисление обратной матрицы.
Вычисление ранга матрицы.
2. Решение
систем
линейных
уравнений.
Системы линейных алгебраических
уравнений..Матричный метод и правило
Крамера.
3. Комплексные
числа
4.
Элементы
векторной
и
линейной
алгебры.
2
3
2
2
Решение произвольных систем линейных уравнений.
Базисные и свободные неизвестные
2
Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
(метод последовательного исключения неизвестных).
2
Контрольная работа по теме: «Решение систем линейных
уравнений».
2.
Т
ру
до
ем
ко
ст
ь
Действия над комплексными числами: сложение,
умножение, деление. Модуль, аргумент комплексного
числа. Множество точек на комплексной плоскости.
1
2
Формула Муавра. Извлечение корня. Решение
алгебраических уравнений.
2
Линейные операции над векторами. Базис и координаты
вектора.
Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов,
их свойства, вычисление, применение.
2
Линейное
пространство.
Размерность
и
базис.
Подпространства. Линейные преобразования. Евклидово
2
4
29
пространство.
.
5.
Аналитическая
геометрия.
3.
6.
Действительные функции и
предел.
7. Производная
и
ее
приложения.
Прямая на плоскости.
Полярная система координат.
полярной системе координат.
2
Уравнения кривых в
2
Кривые второго порядка.
2
Плоскость в пространстве.
3
Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и
плоскости.
2
Поверхности второго порядка.
2
Контрольная работа по теме: «Векторная алгебра и
аналитическая геометрия»
1
Построение графиков элементарных функций с помощью
геометрических преобразований.
3
Числовая последовательность, её предел.
1
Решение задач на вычисление пределов функции.
Раскрытие неопределенностей.
2
Применение замечательных пределов для раскрытия
неопределенностей. Сравнение бесконечно малых.
2
Непрерывность функции. Типы разрывов функции.
2
Таблица производных. Основные правила
дифференцирования функций. Вычисление производных.
2
Производная сложной функции. Логарифмическая
производная.
Производные высших порядков. Дифференцирование
неявных и параметрически заданных функций.
Дифференциал функции и его применение.
Применение теорем о дифференцируемых функциях.
Правило Лопиталя.
2
2
2
2
30
Исследование функций на монотонность, точки
экстремума. Наибольшее и наименьшее значение
функции на отрезке.
2
Вогнутость и выпуклость графика функции, точки
перегиба. Асимптоты.
2
Общая схема исследования функции одной переменной.
Построение графика функции на основе ее полного
анализа.
2
Контрольная работа по теме «Производная и её
приложения».
2
8.Дифференциальное
исчисление
функций
многих
переменных.
Область определения функции нескольких переменных.
Частные производные. Частные производные высших
порядков.
2
Дифференциал.Касательная
плоскость
Дифференцирование сложных функций.
Дифференцирование неявно заданных функций.
2
Производная по направлению, градиент.
Экстремум функции двух переменных. Наибольшее и
наименьшее значения функции в замкнутой области.
4.
9.Неопределенный интеграл
и методы его
вычисления
10.
Определенный
интеграл и его
приложения.
Семестр 2
Неопределенный интеграл. Вычисление интегралов.
Метод подведения под знак дифференциала. Замена
переменной в неопределенном интеграле.
2
2
2
Интегрирование по частям. Интегрирование
рациональных дробей.
2
Интегрировании тригонометрических функций.
Интегрирование некоторых иррациональных функций.
2
Вычисление определенных интегралов. Замена
переменного в определенном интеграле. Интегрирование
по частям.
2
Вычисление несобственных интегралов.
2
Приложения определенного интеграла: вычисление длины
дуги, площадей, объёмов.
2
31
11. Кратные и
криволинейные
интегралы.
Вычисление двойного интеграла. Замена переменного в
двойном интеграле.
Криволинейные интегралы первого и второго рода.
2
2
Приложения кратных и криволинейных интегралов.
2
Контрольная работа по теме «Интегралы»
1
5.
12. Числовые
ряды.
13.
Функциональные ряды
14.
Гармонические
колебания
и
ряды Фурье.
6.
15.Основные
понятия
теории
обыкновенных
дифференциальных
уравнений.
Исследование сходимости числовых рядов с
неотрицательными членами.
3
Знакопеременные ряды. Признак Лейбница. Абсолютно и
условно сходящиеся ряды, их свойства.
3
Область
сходимости
функционального
ряда.
Интервал, радиус и область сходимости степенного ряда.
2
Свойства степенных рядов. Разложение элементарных
функций в ряд Тейлора.
2
Применение рядов
2
Гармонические колебания. Разложение функций в ряд
Фурье на[– 𝜋; 𝜋].
2
Ряд Фурье на произвольном промежутке. Ряд Фурье для
четных и нечетных функций.
2
Интеграл Фурье. Спектральная функция.
1
Контрольная работа по теме «Ряды»
1
Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными.
2
Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Физические и геометрические задачи, приводящие к
дифференциальным уравнениям.
2
Линейные уравнения и уравнение Бернулли.
2
Дифференциальные
уравнения
допускающие понижение порядка.
высших
порядков,
2
32
16.Линейные
дифференциальные
уравнения.
Системы
дифференциальных
уравнений.
7.
17.
Основные
понятия
теории
функций
комплексного
переменного.
18.
Функциональн
ые ряды в
комплексной
области.
Интегрирование.
19.
Операционное
исчисление.
Линейные однородные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами.
2
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами.
2
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами и специальными правыми
частями.
2
Метод вариации произвольных постоянных.
Системы линейных дифференциальных уравнений.
2
Контрольная работа по теме «Дифференциальные
уравнения»
2
Семестр 3
Комплексные числа .Элементарные функции
комплексного переменного.
2
Производная. Условия Коши-Римана. Геометрический
смысл производной.
2
Вычисление интегралов функций комплексного
переменного. Формула Ньютона-Лейбница.
2
Интегральная формула Коши, приложение ее к
вычислению интегралов.
2
Числовые и степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Лорана.
Область сходимости.
2
Разложении функции, аналитической в круге, в ряд
Тейлора. Ряды Лорана.
2
Изолированные особые точки. Теорема Коши о вычетах.
2
Применение теоремы Коши о вычетах к вычислению
интегралов от функций комплексного переменного.
Применение теории вычетов к вычислению интегралов от
функций действительного переменного.
2
Построение изображений и оригиналов.
Решение дифференциальных уравнений и их систем.
2
2
33
Приложение теоремы о свертке и интеграла Дюамеля к
решению дифференциальных уравнений.
2
Контрольная работа по теме «ТФКП».
2
8.
20.
Элементарные
задачи теории
вероятностей.
Основные понятия. Алгебра событий. Классическое
определение вероятности. Комбинаторные формулы.
Непосредственный подсчет вероятностей.
Основные теоремы теории вероятностей. Формула полной
вероятности. Формула Байеса.
21. Случайные
величины.
Основные
законы
распределения
и
их
интерпретации.
22. Обработка
статистическ
их данных и
проверка
гипотез.
23.
Методы
решения
алгебраических
уравнений
и
систем.
3
Схема повторения опытов. Локальная и интегральная
формулы Лапласа. Формула Пуассона.
2
Закон распределения случайной величины, функции
распределения. Плотность вероятности. Числовые
характеристики .
3
Нормальное, равномерное, показательное распределение.
Закон Пуассона.
3
Условные законы распределения . Числовые
характеристики систем двух случайных величин.
Корреляционный момент. Коэффициент корреляции.
2
Контрольная работа по теме «Теория вероятностей».
2
Построение эмпирических функций распределения и
гистограмм. Точечные оценки параметров.
2
Доверительные интервалы для математического ожидания
и неизвестной дисперсии, для среднего квадратичного
отклонения.
Проверка гипотезы о законе распределения по критерию
Пирсона.
9.
3
2
2
Решение систем линейных алгебраических уравнений
методом Гаусса с выбором главных элементов.
2
34
24. Вычисление
определенных
интегралов.
Численное
интегрирование
дифференциальных
уравнений.
10.
.Решение дифференциальных уравнений методом Эйлера,
методом Рунге-Кутта.
Приближенное вычисление определенных интегралов:
формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона. Решение
дифференциальных уравнений методами Эйлера и РунгеКутта.
25.
Понятие
математическ
ой
модели.
Классификация
Методы и приёмы построения математических моделей.
Математические модели (продолжение).
26.
Примеры
построения
математической модели.
Математические модели (продолжение).
2
1
1
4.6. Лабораторный практикум
Лабораторный практикум не предусмотрен
4.7. Тематика курсовых работ (проектов)
Курсовые работы не предусмотрены
5. Образовательные технологии
При чтении лекций по всем разделам программы иллюстрировать
теоретический материал большим количеством примеров, что позволит
усилить наглядность изложения, а также продемонстрировать студентам
приемы решения задач.
При изучении всех разделов программы добиваться от студентов
точного знания основных исходных понятий и фактов теории.
На практических занятиях по всем разделам постоянно обращать
внимание обучаемых на прикладное значение дифференциального,
интегрального исчисления и теории рядов, теории дифференциальных
уравнений, теории функций комплексного переменного, теории
вероятностей, математической статистики на необходимость уверенного
овладения соответствующим аппаратом.
35
При закреплении пройденных тем и при выполнении домашних работ
студентам будет рекомендоваться применять математические пакетыMAPLE,
MATLAB и MATEMATIKA для более глубокого полного и наглядного
изучения материала.
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
6.1. Текущий контрольуспеваемости студентов по дисциплине
Темы контрольных домашних заданий
Первый семестр
КДЗ-1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия.
КДЗ-2. Функции, пределы, производные.
Второй семестр
КДЗ-1. Интегральное исчисление.
КДЗ-2. Ряды, дифференциальные уравнения.
Третий семестр
КДЗ-1. Теория функций комплексного переменного. Операционное
исчисление.
КДЗ-2. Теория вероятностей.
КДЗ-3. Математическая статистика.
Типовые вопросы к экзамену
Первый семестр
Алгебра матриц, определители ([1], гл.1, §1-3).
1) Матрицы. Операции над матрицами (сложение, умножение матрицы
начисло, умножение матриц) и свойства этих операций.
2) Понятие определителя. Свойства определителей. Минор. Алгебраическое
дополнение. Вычисление определителя разложением по строке (столбцу).
Определители высших порядков.
36
3) Понятие обратной матрицы. Теорема о существовании обратной матрицы.
Свойства обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы.
4) Ранг матрицы. Элементарные преобразования над строками и столбцами
матрицы. Теорема о ранге матрицы.
Решение систем линейных уравнений([1], гл.1, §4).
5) Системы линейных уравнений. Их матричная запись. Решение системы.
Совместные и несовместные системы. Матричный метод решения систем.
Правило Крамера.
6) Теорема Кронекера-Капелли. Правило решения произвольной системы.
Метод Гаусса.
Комплексные числа
7) Действия над комплексными числами: сложение, умножение, деление.
Модуль, аргумент комплексного числа. Формула Муавра. Извлечение
корня.
Элементы векторной и линейной алгебры
8) Понятие вектора. Длина вектора. Коллинеарные, равные, компланарные
вектора.
9) Линейные операции над векторами, их свойства.
10) Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора. Действия
над векторами в координатной форме.
11) Проекция вектора на ось. Свойства проекции. Ортонормированный
базис. Направляющие косинусы.
12) Прямоугольная система координат. Координаты точки. Выражение
координат вектора через координаты его начала и конца.
13) Скалярное произведение векторов, его свойства. Выражение
скалярного произведения через координаты. Геометрические и
физические приложения скалярного произведения.
14) Векторное произведение векторов, его свойства. Выражение
векторного произведения через координаты. Геометрические приложения
векторного произведения.
15) Смешанное произведение векторов, его свойства. Выражение
смешанного произведения через координаты. Геометрические
приложения смешанного произведения.
Аналитическая геометрия
16) Линия на плоскости. Уравнение линии. Способы задания прямой на
плоскости.Теорема об общем уравнении прямой на плоскости. Частные
случаи уравнения прямой.
37
17) Поверхность в пространстве. Уравнение поверхности. Способы задания
плоскости. Общее уравнение плоскости. Частные случаи уравнения
плоскости.
18) Взаимное расположение двух плоскостей. Расстояние от точки до
плоскости.
19) Уравнения прямой в пространстве (общие, параметрические,
канонические). Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
Взаимное расположение прямой и плоскости.
20) Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса. Исследование
формы эллипса по его уравнению. Эксцентриситет, директрисы,
фокальные радиусы эллипса.
21) Определение гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы.
Исследование формы гиперболы по её уравнению. Асимптоты гиперболы.
Эксцентриситет, директрисы, фокальные радиусы гиперболы.
22) Определение параболы. Каноническое уравнение параболы.
Исследование формы параболы по её уравнению.
23) Общее уравнение линий второго порядка. Классификация линий
второго порядка.
Действительные функции и предел.
24) Множества и операции над ними. Логические символы. Числовые
множества. Промежутки и окрестности.
25) Понятие функции. Способы задания функции. График функции.
Основные характеристики функций (четность, нечетность, периодичность,
монотонность, ограниченность). Обратные функции. Свойства графиков
обратных функций.
26) Основные элементарные функции и их графики. Построение графиков
с помощью геометрических преобразований.
27) Числовые последовательности. Предел числовой последовательности
(определение, примеры, свойства).
28) Понятие предела функции в точке, примеры. Односторонние пределы.
Пределы функции при х→∞, х→ +∞, х→ -∞.
29) Бесконечно малые при х→ а функции. Теорема о сумме бесконечно
малых функций. Теорема о произведении бесконечно малой функции и
ограниченной функции. Следствия.
30) Бесконечно большие функции. Их связь с бесконечно малыми
функциями.
31) Предел и арифметические операции.
32) Признаки существования предела функции. Первый замечательный
предел. Второй замечательный предел.
33) Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно
малые и основные теоремы о них. Применение эквивалентных бесконечно
малых функций для вычисления пределов.
38
34) Непрерывность функции в точке. Примеры непрерывных функций.
Точки разрыва и их классификация.
35) Непрерывность функции и арифметические операции. Непрерывность
обратной функции. Непрерывность суперпозиции непрерывных функций.
36) Теорема Вейерштрасса о максимальном и минимальном значении.
Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении.
Производная и ее приложения.
37) Определение производной; её механический и геометрический смысл.
Правая и левая производные. Дифференцируемость функции на интервале
и отрезке. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью
функции.
38) Дифференцируемость суммы, произведения, частного и суперпозиции
дифференцируемых функций.
39) Дифференцируемость обратной функции. Производные основных
элементарных функций.
40) Дифференцирование неявно заданной функции. Дифференцирование
параметрически заданной функции. Примеры. Логарифмическая
производная. Примеры.
41) Дифференциал функции, его геометрический смысл. Свойства
дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала.
42) Производные высших порядков явно, неявно, параметрически заданной
функции. Дифференциалы высших порядков.
43) Теоремы о дифференцируемых функциях: теоремы Ролля, Лагранжа,
Коши и их следствия.
44) Правило Лопиталя.
45) Определение монотонной функции. Необходимое условие
монотонности дифференцируемой функции. Достаточное условие
монотонности дифференцируемой функции.
46) Точки экстремума. Необходимое условие экстремума. Достаточное
условие экстремума с помощью первой и с помощью второй производной.
47) Выпуклость графика функции. Точки перегиба. Достаточные условия
выпуклости вверх, вниз. Достаточное условие существования точки
перегиба.
48) Асимптоты графика функции. Их нахождение. Схема исследования
графика функции. Примеры.
Дифференциальное исчисление функции многих переменных.
49) Определениефункции
Непрерывность.
50) Определение частных
геометрический смысл.
нескольких
производных
переменных.
функции
Предел.
z  f ( x, y ) .
Их
39
51) Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве
смешанных производных.
52) Правила дифференцирования сложных функций нескольких
переменных. Дифференцирование неявно заданных функций.
53) Полное приращение и полный дифференциал.
54) Производная по направлению. Её геометрический смысл. Формула для
z
вычисления. Определение градиента. Выражение
через grad z .
a
z
Доказать, что по направлению градиента
максимальна. Чему она
a
равна?
55)
Производная по направлению. Её геометрический смысл. Формула для
z
вычисления. Определение градиента. Выражение
через grad z . Доказать,
a
z
что по направлению градиента
максимальна. Чему она равна?
a
56) Необходимое условие экстремума функции двух переменных.
57) Алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений
непрерывной функции нескольких переменных в замкнутой ограниченной
области.
Второй семестр
Неопределённый интеграл и методы его вычисления.
1) Определение первообразной и неопределённого интеграла. Свойства и
правила нахождения неопределённого интеграла.
2) Таблица интегралов. Вывести
1
1
dx .
dx и
2
a  x2
a2  x2
3) Замена переменной и интегрирование по частям. Какие интегралы берутся
по частям?
4) Четыре типа простейших рациональных дробей, их интегрирование.
5) Что такое рациональная дробь, что такое правильная рациональная дробь?
Правило разложения правильной рациональной дроби на сумму простейших.

6) Интегралы вида


sin m x  cosn x  dx .
7) Универсальная тригонометрическая подстановка.
40
8) Интегрирование некоторых иррациональных функций.
Определённый интеграл и его приложения
9) Определённый интеграл: определение, геометрический смысл и свойства.
Вывод формулы Ньютона-Лейбница.
10) Замена переменной и интегрирование по частям.
11) Площадь в прямоугольных и полярных координатах.
12) Длина дуги в прямоугольных, полярных координатах и при
параметрическом задании функции.
13) Объём тела по площадям параллельных сечений.
14) Объём тела вращения.
15) Несобственные интегралы I и II рода.
Кратные и криволинейные интегралы.
16) Определение двойного интеграла, его геометрический смысл и свойства.
Правило расстановки пределов.
17) Переход в двойном интеграле к полярным координатам. Расстановка
пределов.
18) Приложения двойного интеграла (площадь в прямоугольных и полярных
координатах, объём тела, масса пластинки, её центр тяжести).
19) Определение тройного интеграла, его свойства. Вычисление тройного
интеграла, приложение к вычислению массы тела и объёма.
20) Работа при движении точки в силовом поле. Определение
криволинейного интеграла, его свойства.
21) Вычисление криволинейного интеграла.
22) Теорема Грина.
23) Вычисление площади с помощью криволинейного интеграла.
Вычисление работы силы.
24) Условие независимости криволинейного интеграла от линии
интегрирования.Способ вычисления криволинейного интеграла от полного
дифференциала.
Числовые ряды.
25) Что называется числовым рядом? Определение сходящегося и
расходящегося ряда. Исследование сходимости ряда, составленного из
членов геометрической прогрессии. Привести примеры.
26) Необходимый признак сходимости ряда. Следствие из необходимого
признака. Привести примеры, когда применяется необходимый признак.
Доказать расходимость гармонического ряда.
27) Оценочный и предельный признаки сравнения. Привести примеры их
применения.
28) Признаки Даламбера и Коши (радикальный). Привести примеры.
41
29) Интегральный признак сходимости. Геометрическое обоснование связи
между рядом и интегралом. Применение этого признака к рядам Дирихле.
Исследовать сходимость ряда
30) Что такое знакопеременные ряды? Теорема об абсолютной сходимости.
Что такое условная сходимость? Привести примеры абсолютно и условно
сходящихся рядов.
31) Теорема Лейбница. Геометрическое обоснование теоремы. Оценка
остатка знакочередующегося ряда. Привести примеры условно и абсолютно
сходящихся рядов.Применениетеоремы Лейбница к приближенным
вычислениям.
Функциональные ряды.
32) Понятие функционального ряда и его области сходимости. Степенные
ряды. Теорема Абеля. Интервал, радиус сходимости, область сходимости
степенного ряда.
33) Свойства степенных рядов.
34) Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.
Необходимые и достаточные условия разложения в ряд.
35) Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена.
36) Приложение степенных рядов к приближенным вычислениям
(вычисление значений функции, вычисление определенных интегралов,
приближенное решение дифференциальных уравнений).
Гармонические колебания и ряды Фурье
37) Периодические функции, периодические процессы. Тригонометрический
ряд Фурье.
38) Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций. Теорема Дирихле.
Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
39) Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода.
Представление непериодической функции рядом Фурье.
Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
40) Понятие дифференциального уравнения, порядок ДУ. Решение ДУ,
общее решение, интеграл, общий интеграл, интегральная кривая, задача
Коши.
41) ДУ 1-ого порядка. Теорема существования и единственности. Примеры.
42) ДУ с разделяющимися переменными. Метод решения.
43) Понятие однородной функции. Однородные ДУ. Метод их решения.
44) Линейные ДУ 1-ого порядка, методы их решения. Уравнение Бернулли.
45) Приближенные методы решения ДУ 1-ого порядка.
46) ДУ высших порядков, допускающие понижение порядка.
Линейные дифференциальные уравнения. Системы дифференциальных уравнений.
42
47) Понятие линейно зависимых и линейно независимых функций.
Определитель Вронского. Необходимое условие линейной зависимости.
48) Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ). Теоремы о решениях
однородного ЛДУ. Структура общего решения однородного ЛДУ.
49) Структура общего решения неоднородного ЛДУ.
50) Метод вариации произвольных постоянных.
51) ЛДУ с постоянными коэффициентами. Решение однородных ЛДУ с
постоянными коэффициентами 2-ого порядка.
52) Схема решения однородных ЛДУ с постоянными коэффициентами
любого порядка.
53) Метод неопределенных коэффициентов для определения частного
решения неоднородного ЛДУ с постоянными коэффициентами.
Третий семестр
Основные понятия теории функций комплексного переменного.
1)
Комплексные числа и действия над ними.Понятие функции
комплексной переменной (ф.к.п.)
2)
Действительная и мнимая части ф.к.п. Предел и непрерывность ф.к.п..
3)
Основные элементарные ф.к.п.(определение и свойства).
4)
Дифференцируемость ф.к.п. Условия Коши — Римана.
Аналитические функции. Гармоничность действительной и мнимой части
аналитической функции. Восстановление аналитической функции по ее
действительной или мнимой части.
5)
Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие о
конформном отображении.
6)
Интеграл от ф.к.п. вдоль кривой. Его свойства и вычисление.
Теорема Коши для аналитической функции в односвязной области.
7)
Первообразная аналитической функции в односвязной области.
Неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление
интегралов от функций вида (𝑧 − 𝑧0 )𝑛 для целого 𝑛 по окружности с центром
в точке𝑧0 .
8)
Интегральная формула Коши. Интегральная формула Коши для
производных.
Функциональные ряды в комплексной области. Интегрирование
9)
Числовые ряды в комплексной плоскости. Сходимость, абсолютная
сходимость. Признаки сходимости.
10)
Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда.
Формулы Даламбера и Коши для радиуса сходимости.
43
11)
Разложение аналитических функций в ряд Тейлора. Разложения
основных элементарных функций в ряд Тейлора.
12)
Разложение функций аналитических в кольце в ряд Лорана.
Правильная и главная части ряда Лорана.
13)
Особые точки функций комплексного переменного. Классификация
изолированных особых точек. Определение типа особой точки. Особая точка
в бесконечности.
14)
Вычеты ф.к.п. Вычет в устранимой особой точке и в полюсе.
15) Теорема Коши о вычетах и ее следствия, вычисление определенных
интегралов.
Операционное исчисление
16) Понятие преобразования Лапласа. Оригиналы и их изображения.
Примеры изображений. Функция Хэвисайда
17) Свойства преобразования Лапласа (линейность, подобие, смещение
изображения, запаздывание оригинала, дифференцирование оригинала и
изображения, интегрирование оригинала и изображения, умножение
изображений).
18) Таблица оригиналов и их изображений.
19) Операционный метод решения линейных дифференциальных
уравнений и их систем.
Элементарные задачи теории вероятностей
20) Понятие случайного события. Совместные, несовместные,
противоположные события.
21) Алгебра событий (сумма, произведение, разность событий и их
свойства).
22) Полная группа событий. Классическое определение вероятности
события.
23) Элементы комбинаторики. Правило умножения и сложения. Схема
выбора с возвращением и без возвращения. Число размещений, сочетаний и
перестановок.
24) Относительная частота событий. Статистическая вероятность.
25) Теорема сложения (с доказательством).
26) Зависимые и независимые события. Теорема умножения.
27) Формула полной вероятности (с доказательством) и формула Байеса (с
доказательством).
28) Схема испытаний Бернулли. Формула Бернулли.
29) Теоремы Муавра-Лапласа (локальная и интегральная).
30) . Формула Пуассона (с доказательством).
Случайные величины. Основные законы распределения и их интерпретации
44
31) Случайные величины. Понятие дискретной и непрерывной случайной
величины. Примеры.
32) Функция распределения, ее свойства. Вероятность попадания
случайной величины на заданный промежуток.
33) Закон распределения дискретной случайной величины. Примеры.
34) Плотность вероятности и ее свойства.
35) Числовые характеристики случайных величин: математическое
ожидание, дисперсия и их свойства.
36) Моменты распределения. Мода и медиана.
37) Биномиальный закон распределения, его числовые характеристики.
38) Закон распределения Пуассона, его характеристики. Примеры.
39) Равномерное распределение, числовые характеристики, функция
распределения.
40) Показательное распределение, числовые характеристики, функция
распределения.
41) Нормальное распределение, его свойства. Моменты. Функция Лапласа,
правило 3-х сигм.
42) Системы случайных величин. Закон распределения системы
дискретных случайных величин.
43) Функция распределения системы случайных величин, её свойства.
44) Числовые характеристики системы случайных величин.
Математические ожидания и дисперсии.
45) Корреляционный момент, его свойства. Коэффициент корреляции и
его свойства.
46) Независимые случайные величины. Необходимые и достаточные
условия независимости, вид совместной функции распределения и плотности
распределения.
47)
Условные законы распределения. Условное математическое
ожидание.
Обработка статистических данных и проверка гипотез
48) Типичные задачи математической статистики. Выборка.
Вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма.
49) Точечные оценки параметров распределения. Выборочная средняя.
Выборочная дисперсия.Свойства оценок (несмещенные, состоятельные,
эффективные оценки).
50) Интервальные оценки. Понятие доверительного интервала и
доверительной вероятности. Доверительный интервал для математического
ожидания при известной и неизвестной дисперсии нормально
распределенной величины.
51) Статистическая проверка гипотез. Общая постановка задачи. Проверка
гипотезы о законе распределения по критерию Пирсона.
45
6.2. Аттестация студентов по дисциплине
Промежуточная аттестация по итогам освоения дисциплины
осуществляется
в первом и во втором семестрах. Итоговая оценка по
дисциплине осуществляется в виде экзамена в третьем семестре.
Экзаменационная оценка проставляется на основе рейтингового показателя в
соответствии со следующей шкалой.
Шкала перевода рейтингового показателя в 5-ти балльную систему
Рейтинговый показатель
Европейская оценка
5-ти балльная оценка
90 – 100
A
отлично
80 – 89
B
хорошо
70 – 79
C
60 – 69
D
удовлетворительно
50 – 59
E
0 – 49
F
неудовлетворительно
7.
Учебно-методическое
дисциплины
и
информационное
обеспечение
Основная литература.
1. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс /
Д. Т. Письменный. - 9-е изд. - М. : Айрис-пресс, 2009. - 608 с. : ил. - (Высшее
образование). - ISBN 978-5-8112-3775-3 : 185-00. Сиглы хранения: ИСИ,
УДК-- 517(075.8) Пол.инд.-- 51 Кат.инд.-- 517(075.8)
2. Демидович, Б. П. Дифференциальные уравнения : учеб.пособие / Б. П.
Демидович, В. П. Моденов. - 3-е изд., стер. - СПб. : Лань, 2008. - 288 с. : ил. (Учебники для вузов.Специальная литература). - ISBN 978-5-8114-0677-7 :
337-48. Сиглы хранения: аб.1, чз, УДК-- 517.9(075.8) Пол.инд.-- 51 Кат.инд.-517.9(075.8)
3. Минорский, В. П. Сборник задач по высшей математике : учеб.пособие / В.
П. Минорский. - 15-е изд. - М. : Физматлит, 2010. - 336 с. - ISBN 9785-94052184-6 : 407-00. Сиглы хранения: аб.1, аб.2, ИСИ, чз, УДК-- 510/.517(076.1)
Пол.инд.-- 51 Кат.инд.-- 510/.517(076.1)
46
4. Кузнецов, Л. А. Сборник задач по высшей математике. Типовые расчеты :
учеб.пособие / Л. А. Кузнецов. - 11-е изд., стер. - СПб. : Лань, 2008. - 240 с. (Учебники для вузов.Специальная литература). - ISBN 978-5-8114-0574-9 :
201-00. Сиглы хранения: чз, УДК-- 517(076.1) Пол.инд.-- 51 Кат.инд.-517(076.1)
5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.:
Высшая школа, 2008.
6. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. — М.: Высшая школа, 2008.
7. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Т.1,2. —
М.: ОНИКС 21 век Мир и Образование, 2009.
Дополнительная литература
1) Лунгу К.Н., Письменный Д.Т. и др. Сборник задач по высшей математике.
1 курс, 7-е изд. - М.: Айрис-пресс, 2008.
2). Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А. Сборник
задач по высшей математике. 2 курс / Под ред. С.Н. Федина. — М.: Айриспресс, 2008.
3) Бахвалов Н. С., Лапин А. В., Чижонков Е. В. Численные методы в задачах
и упражнениях, Издательство: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010.
4). Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории
вероятностей. — М.: Высшая школа, 2002.
5). Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика: Уч. Для студ. Высш.
учеб.заведений. — М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2003.
Программное обеспечение:
Для выполнения домашних работ возможно использование
пакетовMAPLE, MATLAB или MATEMATIKA для ОС Windows.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Компьютерный
класс
для
контроля
решения
задач
MAPLE,MATHCAD и MATEMATIKA.
Электронные учебные пособия на сайте кафедры vm.mstuca.ru
в
47
9. Тематика индивидуальных контрольных домашних заданий
Первый семестр.
Первый курс.
КДЗ № 1.
1. Разложить вектор C = {2, 0} по векторам a = {1,1} и b = {1,−1}
2. Найти длину вектора 𝑝 + 2𝑞, если 𝑝 = 𝑎 − 𝑏, 𝑞 = 𝑎 + 2𝑏, │𝑎│ = 1;
2
│𝑏│ = 3; 𝑎^𝑏 = 𝜋.
3
3. Найти вектор x, коллинеарный вектору 𝑎 = {2, 1, −2}и
удовлетворяющий условию (𝑥 ∙ 𝑎) = 27.
4. Вычислить угол между диагоналями параллелограмма, построенного
на векторах 𝑝 = 2𝑎 + 𝑏 − 𝑐 и 𝑞 = 𝑎 − 3𝑏 + 𝑐, где𝑎; 𝑏; 𝑐 −единичные
взаимно перпендикулярные векторы (косинус угла).
5. Найти направляющие косинусы вектора силы F = {1, −1, 1},
приложенной в точке В(5, 1, 0), и момент этой силы относительно
точки А(3, 2, -1).
6. Найти вектор x, перпендикулярный векторам𝑎 = {1, 1, 1}и 𝑏 = {2, 0, 1}
и образующий с осью OX тупой угол, если │𝑥│ = √6.
7. Определить, лежат ли точки А(1, 2, 3); В(0, 5, 5); С(3, -1, -1); D(-2, 14, 9)
в одной плоскости.
8. В треугольнике АВС известны координаты вершины А(4, 0) и
уравнения высоты BE: 2x − 3y + 15 = 0 и медианы BD: 2x + 3y − 3 = 0.
Составить уравнения сторон треугольника.
9. Найти длину высоты пирамиды ABCD, опущенную из вершины D, если
D(1, 6, 3), А(4, 5, 2), В(-1, 11, 6) и С(2, -1, 3).
10. Найти радиус и координаты центра окружности, заданной
уравнением. 𝑦2+𝑥 2+8𝑦 − 10𝑥 + 37 = 0.
КДЗ № 2.
1. Найти пределы функций:
1)
2𝑥 2 − 𝑥 + 1
lim
𝑥→1
3𝑥 − 1
4)
𝑥 2 − 5𝑥 + 6
lim
𝑥→3
𝑥−3
7)
3 + 𝑥 sin𝑥2
lim (
)
𝑥→∞ 7 + 𝑥
2)
5)
1
8)
lim
𝑥→∞
5 + 𝑥 2 − 6𝑥
2
1 − 2𝑥 − (√𝑥)
√2𝑥 − 1 − 1
lim 2
𝑥→1 2𝑥 − 𝑥 − 1
sin 7𝑥
lim 2
𝑥→0 𝑥 + 𝜋𝑥
2. Найти точки разрывафункции 𝑦 =
7𝑥 2 + 5𝑥 + 1
lim
3) 𝑥→∞
3 + 14𝑥 2 − 2𝑥
6)
4𝑥 − 1
lim
𝑥→0 arcsin 𝑥
9)
lim (5 − 2𝑥)𝑥−2
3𝑥
𝑥→2
2𝑥
. Определить вид разрыва и
2−𝑥
48
и изобразить график функции в окрестности этих точек.
3. Найти область определения функции
𝑧 = √𝑥 + 𝑦 + √𝑥 − 𝑦.
4.Показать, что
𝜕2 𝑧
𝜕2 𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑦 2
+
2
= 0, если 𝑧 = ln(𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 + 1).
𝑦
5. Найти градиент функции 𝑈 = (sin 𝑥)^2 + 𝑡𝑔 в точке А(0,0,3) и
𝑧
производную по направлению 𝑎̅ = 3𝑖̅ + 2𝑗̅
6. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
𝑧 = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 2𝑦 2 в области −1 ≤ 𝑥 ≤ 1; 0 ≤ 𝑦 ≤ 2.
Второй семестр.
Первый курс.
КДЗ № 1
I. Вычислить интегралы:
1. ∫
(1−𝑥)2
𝑑𝑥
𝑥
𝑥
3. ∫ 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑑𝑥
2
3∙2𝑥
5. ∫
7. ∫
𝑑𝑥
9. ∫
4. ∫
𝑑𝑥
√3−𝑥 2
𝑑𝑥
𝑥 2 −7
6. ∫ 𝑥 2 sin(1 − 𝑥 3 ) 𝑑𝑥
𝑑𝑥
5𝑥
3𝑥−2
2. ∫
8. ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠3𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑥 2 +2𝑥+5
10. ∫ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔√𝑥𝑑𝑥
II. Вычислить определённые интегралы:
3 3
1. ∫−2 √2𝑥 𝑑𝑥
4
2. ∫0 √16 − 𝑥 2 𝑑𝑥 ; 𝑥 = 4 sin 𝑡
𝜋⁄
2 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥
3. ∫0
III. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:
1 𝑑𝑥
∞ 𝑑𝑥
1. ∫
2.
∫
4
−1 𝑥
0 4+𝑥 2
IV. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
1. 𝑦 = 4 − 𝑥 2 ; y=1
2. 𝜌 = 3𝑐𝑜𝑠4𝜑
49
КДЗ № 2.
1. Исследовать сходимость знакоположительных рядов.

а)


n2
1
(n  1) ln n
2

в)
5n
б)  2 n
n 1 n  2
n  n 
2



 n  1
n 1
n2

г)
 (n
n2
2
3n
 2) ln n
2. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то
указать абсолютно или условно.

 (1)
n 1
n
 cos

6n
3.Найти область сходимости степенного ряда.
3n  n! n
x

n
n 1 ( n  1)

4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням x . Указать интервал, в
котором это разложение имеет место.
(2  e x ) 2
5. Разложить функцию f(x) в указанном интервале в неполный ряд Фурье
по косинусам кратных дуг. Построить график функции f(x) и график
суммы Фурье.
6. Решить уравнение
𝑥 3 𝑦′ = 𝑦(𝑦 2 + 𝑥 2 ).
1
sin 𝑥
𝑥
𝑥
7. Найти общее решение уравнения 𝑦′ + 𝑦 =
.
8. Найти общее решение уравнения:
а) 𝑦′′ = (𝑦′)2 ;
б) 𝑦′′ = 2𝑦𝑦′
9. Найти общее решение уравнения (без нахождения неопределенных
коэффициентов).
а) 𝑦′′′ − 5𝑦′ = 2𝑒 5𝑥
б) 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′′ + 26𝑦 = 𝑥 sin 3𝑥 + (𝑥 2 − 𝑥 + 3) cos 3𝑥
10. Решить задачу Коши.
50
𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ = 𝑥 2
y(0) = 0 ; y’ (0) = 0
Второй курс.
Третий семестр.
КДЗ № 1
1) Найти изображение по оригиналу 𝑓(𝑡) = 4𝑡𝑠𝑖𝑛𝑡 − 𝑒 2𝑡 𝑐𝑜𝑠4𝑡
3𝑝2 −𝑝+2
2) Найти оригинал по изображению 𝐹(𝑝) = (𝑝−1)(𝑝2
+4𝑝+5)
3) Операционным методом решить задачу Коши
𝑥 ,, − 4𝑥 = 𝑡 − 1, x(0)=0; x,(0)=0
4.Найти особые точки, определить их тип
2. Найти вычеты функции
𝑧𝑒 𝑧
𝑠𝑖𝑛𝑧
𝑧−1
𝑧 −𝑒 +4
КДЗ № 2.
1. В книжной лотерее разыгрывается пять книг. Всего в урне имеется 30
билетов. Первый подошедший к урне вынимает четыре билета.
Определить вероятность того, что два из этих билетов окажутся
выигрышными.
2. Три стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу.
Вероятность попадания в мишень для первого, второго и третьего
стрелка соответственно равна 0,6; 0,7 и 0,8. Определит вероятность
того, что первый и второй стрелки попали, а третий промахнулся.
3. В мастерской имеется 12 моторов. Вероятность того, что мотор
работает с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероятность того, что
не менее 10 моторов работает с полной нагрузкой.
4. По каналу связи передаются последовательно два сообщения, каждое
из которых может быть искажено. Вероятности искажения первого и
второго сообщения равны 0,2 и 0,1. Дискретная случайная величиначисло правильно переданных сообщений. Найти: закон
распределения, числовые характеристики, функцию распределения
F(x). Построить график F(x).
5. Функция распределения некоторой непрерывной случайной величины
задана следующим образом:
51
0,

F ( x)  ax  b
1

Определить параметры а и в , найти выражение для плотности вероятности
f(x), математическое ожидание и дисперсию, и вероятность того что
случайная величина примет значение в интервале [2.3]. Построить графики
F(x) и f(x).
6. Случайная величина подчинена нормальному закону с
математическим ожиданием 10. Какова дисперсия этой случайной
величины, если с вероятностью 0,8 отклонение от математического
ожидания по модулю не превышает 0,2?
КДЗ № 3
1. Данные наблюдений случайной величины Х представлены в виде
интервального статистического ряда. Первая строка таблицы – интервалы
наблюдавшихся значений случайной величины Х, вторая соответствующие
им частоты. Требуется:
а) построить гистограмму и полигон относительных частот ;
б) вычислить числовые характеристики выборки;
в) предполагая, что Х распределена по нормальному закону, найти
параметры нормального закона, записать плотность Х и построить её
график на одном чертеже с гистограммой ( график выравнивающей кривой );
г) найти теоретические частоты нормального закона распределения и
при заданном уровне значимости проверить по критерию Пирсона гипотезу о
нормальном распределении Х;
д) найти с заданной надёжностью интервальную оценку параметра а
= М[ x ] случайной величины Х .
2.Для следующих функций вычислить значения при указанных значениях X
и указать абсолютную и относительную погрешности результатов.
𝑦 = 𝑥 3 sin 𝑥 при 𝑥 = √2, полагая √2 ≈ 1,414
1
3.Посчитать интеграл: ∫0 sin 𝑥 2 𝑑𝑥
а) по формуле трапеций при n=10, б) по формуле Симпсона при n=6.