семестр 2 - Владимирский государственный университет
advertisement
Министерство образования и науки РФ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Владимирский государственный университет им. А.Г. и Н.Г. Столетовых»
Кафедра алгебры и геометрии
«УТВЕРЖДАЮ»
Первый проректор
___________________В.Г. Прокошев
“___”___________ 2011 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
по дисциплине : «Математика»
направление подготовки 210400 «Радиотехника»
профили подготовки «Радиотехника», «Радиофизика»
квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
форма обучения_____________Очная_______________________________
Виды занятий
Всего
Учебный план курса
Количество часов
Распределение по семестрам
1сем
2 сем
3 сем
6/218
5.6/200
5.4/194
Трудоемкость
(зач. ед, /час.)
Лекций
Лаборат.
работ,
17/612
106
36
-
36
-
34
-
Практ.
занятий
СРС
Курсовой проект
Рейтингконтроль
(количество)
Консультации
Зачет
Экзамен
178
72
72
34
328
126
126
76
6
2
2
2
3
+
+
+
Владимир 2011
ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
1.
Дисциплина "Математика" обеспечивает подготовку по следующим разделам математики:
линейной алгебры и аналитической геометрии, матричного исчисления, векторного исчисления,
дифференциального и интегрального исчислений функции одной переменной, а также функций
многих переменных, дифференциальных уравнений, рядов, в том числе и степенных рядов,
теории функций комплексного переменного.
1.
2.
3.
4.
Целями освоения дисциплины "Математика" являются:
Формирование навыков логического мышления
Формирование практических навыков использования математических методов и формул.
Ознакомление с основами теоретических знаний по классическим разделам математики.
Подготовка в области построения и использования различных математических моделей
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП ВПО
Дисциплина "Математика" относится к
дисциплинам математического и
естественнонаучного цикла:
Код УЦ ООП учебного цикла основной образовательной программы (раздела) – Б2;
Математический и естественнонаучный цикл
Вариативная часть.
Взаимосвязь с другими дисциплинами
Курс "Математики" основывается на знании школьного курса математики.
Полученные знания могут быть использованы во всех без исключения
общепрофессиональных дисциплинах, а также дисциплинах естественнонаучного цикла.
3. КОМПЕТЕНЦИИ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ, ФОРМИРУЕМЫЕ В РЕЗУЛЬТАТЕ
ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
В результате освоения дисциплины обучающийся должен обладать следующими
общекультурными
компетенциями
(ОК):
В результате освоения дисциплины обучающийся
профессиональными компетенциями (ПК):
должен
обладать
следующими
2
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:
основы линейной алгебры и аналитической геометрии, матричного исчисления, векторного
исчисления, дифференциального и интегрального исчислений функции одной переменной, а
также функций многих переменных, дифференциальных уравнений, рядов, в том числе и
степенных рядов и рядов Фурье, теории функций комплексного переменного
Уметь:
- применять теоретические знания при решении математических задач;
- проводить анализ и обработку экспериментальных данных;
Владеть:
- основными приемами решения математических задач
4. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
4.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
СЕМЕСТР 1
ГЛАВА «ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА»
4.1.1. Множества. Элемент и множество, принадлежность. Задание множеств. Конечные и
бесконечные множества. Подмножество. Операции над множествами. Декартово
произведение двух множеств. Высказывания, импликации. Кванторы. Истинность и ложность
высказываний.
4.1.2 Натуральные числа. Цифры. Десятичная система счисления. Принцип математической
индукции. Отношение делимости. Основная теорема арифметики. Деление с остатком. НОД.
Целые числа. Продолжение порядка на целые числа. Кольцо чисел. Рациональные числа.
Понятие поля чисел. Десятичные дроби.
4.1.3. Поле действительных чисел. Числовая ось. Полнота числовой прямой, аксиома о точной
верхней грани. Бесконечные десятичные дроби. Определение поля ℝ. Линейная
упорядоченность поля ℝ. Операции сложения и умножения над действительными числами.
Следствия из аксиомы о верхней грани. Принцип Архимеда. Длина отрезка числовой оси.
3
4.1.4. Пополнение вещественной прямой бесконечно удаленными точками. Правила
обращения с бесконечностью.
ГЛАВА "ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ"
4.1.5 Предел числовой последовательности. Предел монотонной последовательности.
Свойства предела. Ограниченность сходящейся последовательности. Предельный переход в
неравенствах. Число e.
4.1.6 Функции. Способы задания функций. График функции. Биекции. Композиция
отображений. Обратное отображение.
4.1.7 Предел функции. Связь предела функции и предела последовательности. Свойства
предела.
4.1.8 Бесконечно малые величины (б.м.). Свойства б.м.. Сравнение б.м., эквивалентность б.м.
Принцип замены б. м. на эквивалентные. Порядок малости б. м. величин. Бесконечно
большие величины.
4.1.9 Замечательные пределы. Таблица эквивалентных б.м.
4.1.10 Непрерывность. Свойства непрерывных функций. Устойчивость знака. Функции
непрерывные на отрезке.
4.1.11 Основные элементарные функции. Перечисление и основные свойства. Схема
исследования функции. Понятие элементарной функции. Принцип непрерывности.
ГЛАВА "ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ"
4.1.12 Производная. Определение и уравнение касательной. Непрерывность
дифференцируемой функции. Правила дифференцирования
4.1.13 Основные теоремы дифференциального исчисления - теорема Ферма, теоремы Ролля,
Лагранжа, Коши.
4.1.14 Правило Лопиталя. Сравнение роста на бесконечности логарифмической функции,
степенной и показательной функций.
4.1.15 Формула Тейлора -- локальная и с остаточным членом в форме Лагранжа. Понятие
дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков. Оценка остаточного члена
в формуле Тейлора. Формула Маклорена.
4.1.16 Разложение элементарных функций по формуле Маклорена (экспонента, гармоники,
бином Ньютона, логарифм).
4.1.17 Экстремумы. Исследование функции по первой производной – определение участков
возрастания и убывания. Достаточные условия экстремума. Наибольшее и наименьшее
4
значение дифференцируемой функции на отрезке.
4.1.18 Исследование функций по второй производной. Участки выпуклости и вогнутости, точки
перегиба.
4.1.19 Асимптоты, их определение и способы отыскания.
ГЛАВА «СИСТЕМЫ. МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
4.1.20 Системы линейных уравнений малых порядков. Определитель 2х2, правило Крамара
2х2. Геометрическая интерпретация решения системы 2х2. Определители 3х3. Метод Крамара
3х3 решения систем линейных уравнений третьего порядка. Метод Гаусса. Приведении
системы к ступенчатому виду. Исследование системы по ступенчатому виду. Случай
однородной системы.
4.1.21 Матрицы. Сложение матриц и умножение матриц на число. Транспонирование матриц.
Свойства этих операций. Произведение матриц. Единичная матрица.
4.1.22 Определители. Понятие определителя nxn. Определитель треугольной матрицы.
Свойства определителей. Минор и алгебраическое дополнение. Разложение по строке
(столбцу). Определитель произведения матриц.
ГЛАВА «ВЕКТОРЫ»
4.1.23 Понятие вектора. Равенство двух векторов. Операции сложения векторов и умножения
вектора на число. Длина, направляющие косинусы вектора, орт. Стандартный базис 𝒊, 𝒋, 𝒌.
Координаты вектора. Запись в координатах длины вектора, операций сложения и умножения
на число.
4.1.24 Скалярное произведение. Определение, физический смысл скалярного произведения.
Разложение вектора по ортонормированному базису. Свойства и запись в координатах
скалярного произведения.
4.1.25 Векторное произведение. Определение, физический смысл, свойства и запись в
координатах. Геометрический смысл определителя 2 × 2.
4.1.26 Смешанное произведение. Определение, свойства и метод вычисления.
Геометрический смысл смешанного произведения. Геометрический смысл определителя 3 ×
3
ГЛАВА «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»
4.1.27 Прямая линия на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Вектор,
перпендикулярный прямой. Параметрическое уравнение прямой. Деление отрезка в заданном
отношении. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Расстояние от точки до
прямой. Полуплоскости, задаваемые прямой.
4.1.28 Плоскость в пространстве. Общее уравнение плоскости. Запись уравнения плоскости по
заданным элементам. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Общий случай
расположения трех плоскостей в пространстве. Расстояние от точки до плоскости.
5
Полупространства, определяемые плоскостью.
4.1.29 Прямая в пространстве. Каноническое и параметрическое уравнения. Общее уравнение
прямой в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Взаимное
расположение двух прямых в пространстве. Расстояние от точки до прямой.
4.1.30 Эллипс, геометрическое определение. Приведение к каноническому виду. Полуоси,
эксцентриситет. Свойства эллипса. Гипербола, парабола - их свойства и геометрические
определения.
4.1.31 Поверхности второго порядка : эллипсоид, однополостный гиперболоид, двуполостный
гиперболоид, эллиптический параболоид, гиперболических параболоид. Цилиндрические и
конические поверхности второго порядка. Сечение поверхности второго порядка плоскостью.
СЕМЕСТР 2
ГЛАВА «ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ»
4.1.32 Понятия функций двух и трех переменных многих переменных; область определения,
график, линии и поверхности уровня.
4.1.33 Предел и непрерывность ф.м.п.; их основные свойства. Внутренние, внешние и
граничные точки. Граница области. Открытые и замкнутые области. Связные области.
Ограниченные области. Теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши.
4.1.34 Частные производные ф.м.п. Частные производные высших порядков. Теорема о
смешанных производных.
4.1.35 Дифференциал ф.м.п. Достаточное условие дифференцируемости. Производная сложной
функции. Неявные функции, их дифференцирование.
4.1.36 Градиент, его геометрический смысл. Касательная плоскость к поверхности. Нормаль к
поверхности. Скалярное поле и производная по направлению
4.1.37 Экстремумы ф.м.п. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума
функции двух переменных.
4.1.38 Метод наименьших квадратов.
ГЛАВА "НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ".
4.1.39 Обратная задача к задаче дифференцирования. Первообразная. Теорема о
первообразных. Неопределенный интеграл. Простейшие свойства неопределенного интеграла.
4.1.40 Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.
4.1.41 Разложение и интегрирование дробно-рациональных функций.
4.1.42 Интегрирование иррациональных выражений. Интегрирование тригонометрических
выражений вида R(sin x, cos x), где R – рациональная функция.
6
ГЛАВА «ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ»
4.1.43 Определение и геометрический смысл определенного интеграла. Первичные свойства
определенного интеграла. Оценка определенного интеграла, теорема о среднем.
4.1.44 Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
4.1.45 Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям в
определенном интеграле
4.1.46 Вычисление площадей с помощью определенного интеграла. Полярные координаты.
Площадь криволинейного сектора. Вычисление объемов тел. Определение и вычисление
длины дуги.
4.1.47 Несобственные интегралы по бесконечному промежутку и от неограниченных функций.
Глава «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»
4.1.48 Общие понятия (определение дифференциального уравнения, решения, порядка,
нормальной формы записи). Дифференциальные уравнения 1-го порядка, задача Коши,
теорема существования и единственности.
4.1.49 Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные
уравнения 1-го порядка. Уравнения в полных дифференциалах.
4.1.50 Линейные дифференциальные уравнения; однородные и неоднородные. Линейность
пространства решений однородного линейного уравнения. Общее решение неоднородного
линейного дифференциального уравнения.
4.1.51 Основная теорема о структуре пространства решений однородного линейного
дифференциального уравнения. Решение однородного линейного дифференциального
уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
4.1.52 Метод вариации постоянных решения неоднородного линейного дифференциального
уравнения. Метод подбора решения неоднородного линейного дифференциального уравнения
4.1.53 Системы дифференциальных уравнений. Метод исключения. Линейные системы
дифференциальных уравнений.
Глава «Элементы теории вероятностей»
(СРС)
4.1.54 Вероятность классическая и геометрическая, формулы сложения и умножения.
Случайные величины, их функции и плотности распределения.
Мат. ожидание и дисперсия. Корреляционная функция двух сл. величин.
Популярные дискретные распределения
Показательное распределение, равномерное распределение, нормальное распределение.
7
СЕМЕСТР 3
ГЛАВА "Кратные и криволинейные интегралы"
4.1.55 Определение двойного интеграла. Вычисление массы пластины, вычисление объема
тела. Достаточное условие интегрируемости. Свойства двойного интеграла (линейность,
адитивность, монотонность, оценка, теорема о среднем). Сведение двойного интеграла к
повторному.
4.1.56 Двойной интеграл в полярных координатах.
4.1. 57 Приложения двойного интеграла к вычислению геометрических величин (площадь
плоской фигуры, объем тела, площадь поверхности в пространстве ).
4.1.58 Тройной интеграл, определение и свойства. Сведение тройного интеграла к повторному.
4.1.59 Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.
4.1.60 Определение криволинейного интеграла. Свойства криволинейного интеграла.
Вычисление криволинейного интеграла.
4.1.61 Понятие векторного поля. Формула Грина. Независимость криволинейного интеграла от
пути интегрирования.
ГЛАВА «Ряды»
4.1.62 Определение суммы ряда, сходимости и расходимости. Необходимый признак
сходимости. Геометрическая прогрессия. Арифметические операции с рядами.
4.1.63 Признаки сходимости: теорема сравнения, интегральный признак сходимости, признак
Даламбера.
4.1.64 Абсолютная и условная сходимость. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося
ряда.
4.1. 65 Теорема Лейбница о сходимости знакочередующегося ряда. Оценка остатка такого ряда.
4.1.66 Функциональные ряды. Мажорируемость. Непрерывность, почленная интегрируемость
и дифференцируемость функциональных рядов.
4.1.67 Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Дифференцирование и
интегрирование степенных рядов.
4.1.68Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций в ряды Маклорена.
4.1.69 Приближенные вычисления, вычисления определенных интегралов и решения
дифференциальных уравнений с помощью рядов.
Глава "ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО"
4.1.70 Комплексные числа. Операции сложения и умножения. Поле ℂ. Геометрическое
изображение к. чисел. Сопряжение комплексных чисел. Свойства сопряжения.
8
4.1.71 Модуль и аргумент к. числа, свойства модуля. Тригонометрическая формой записи к.
числа. Перемножение к. чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Комплексная
экспонента. Решение квадратных уравнений
4.1.72 Многочлен. Степень многочлена, деление многочленов с остатком. Корни многочлена.
Теорема Безу. Кратность корня. Неприводимые многочлены. Разложение многочленов над
полями 𝑹 и ℂ.
4.1. 73 Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность. Области на к. плоскости
(ограниченные, открытые, замкнутые, связные, односвязные, многосвязные). Граница области.
4.1.74 Производная ф.к.п., аналитичность в точке и области. Геометрический смысл
производной, сохранение углов. Условия Коши-Римана.
4.1.75 Степенные ряды (по степеням 𝑧 − 𝑎). Радиус сходимости и круг сходимости.
Аналитичность суммы степенного ряда.
4.1.76 Определение e z , sin z, cos z, tg( z ) , их разложение в степенные ряды и производные.
Гиперболические функции, основное гиперболическое тождество, формулы сложения,
производные, разложения в степенные ряды, связь с тригонометрическими функциями.
4.1.77 Понятие многозначной функции. Многозначные функции Ln(z) и корень n-ой степени.
4.1.78 Интеграл от функции комплексного переменного, его свойства
и сведение к криволинейному интегралу. Свойства интеграла (линейность, адитивность,
оценка).
4.1.79 Интегральная теорема Коши для односвязной и многосвязной областей. Интегральная
формула Коши. Существование производных любого порядка у аналитической функции.
4.1. 80 Разложение функции, аналитической в круге в степенной ряд. Оценка коэффициентов
степенного ряда. Формула Коши для n-ой производной аналитической функции.
4.1.81 Теорема Лиувилля. Доказательство основной теоремы алгебры.
4.1.82 Ряды Лорана. Теорема Лорана.
4.1.83 Изолированные особые точки. Их исследование с помощью ряда Лорана.
4.1.84 Вычет. Вычисление вычета в полюсе.
4.1.85 Основная теорема о вычетах Применение вычетов к вычислению интегралов.
4.3. ТРУДОЕМКОСТЬ И ФОРМИРУЕМЫЕ КОМПЕТЕНЦИИ
Общая трудоемкость дисциплины составляет 17 зачетных единиц (612 часов): 6 зачетных
единиц в 1-ом семестре, 5.6 – во втором и 5.4 в третьем семестре. Распределение трудоемкости по
видам занятий в семестрах представлено в табл. 1.
Таблица 1
9
1
2
3
4
5
4.1.1, 4.1.2
4.1.3, 4.1.4
4.1.5, 4.1.6
4.1.7, 4.1.8
4.1.9-4.1.15
6
4.1.16-4.1.19
7
8
9
4.1.20
4.1.21
4.1.22, 4.1.23
10
4.1.24-4.1.27
1
11 4.1.28-4.1.30
12
4.1.31
Всего часов в 1
семестре
1
4.1.32-4.1.39
2
4.1.40
3
4.1.41-4.1.44
4
4.1.45-4.1.53
5
4.1.54
Всего часов во 2
семестре
1
2
3
4.1.55, 4.1.50
4.1.51, 4.1.52
4.1.53, 4.1.54
2
Неделя
семестра
Раздел
дисциплины
Семестр
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
1
2
3
Виды учебной
работы и
трудоемкость
(в часах)
Лек. Практ. СРС
2
4
8
2
4
8
2
4
8
2
4
6
2
4
6
2
4
6
2
4
8
2
4
8
2
4
8
2
4
8
2
4
8
2
4
6
2
4
6
2
4
6
2
4
6
2
4
6
2
4
8
2
4
6
36
72
126
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
36
2
2
2
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
72
2
2
2
Формы текущего контроля
успеваемости (по неделям)
Форма промежуточной
аттестации (по семестрам)
В семестре выполняются
контрольные работы
с оценками, учитываемыми
в рейтинг контроле.
Выдаются типовые расчеты
Рейтинг контроль №1
Рейтинг контроль №2
Рейтинг контроль №3
ЭКЗАМЕН
8
В семестре выполняются
контрольные работы
8
с оценками, учитываемыми
8
в рейтинг контроле.
6
6 Выдаются типовые расчеты
6
Рейтинг контроль №1
8
8
8
8
6
Рейтинг контроль №2
8
8
6
6
6
Рейтинг контроль №3
6
6
126
ЭКЗАМЕН
6
6
6
В семестре выполняются
контрольные работы
с оценками, учитываемыми
10
4
5
4.1.55- 4.1.56
4.1.57-4.1.60
6
4.1.61-4.1.63
7
8
9
4.1.64
4.1.65
4.1.66- 4.1.69
10
4.1.70-4.1.87
3
11
4.1.86
Всего часов в 3
семестре
Всего часов
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
34
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
34
6
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
76
106
178
328
в рейтинг контроле.
Выдаются типовые расчеты
Рейтинг контроль №1
Рейтинг контроль №2
Рейтинг контроль №3
Матрица соотнесения разделов учебной дисциплины и
профессиональных компетенций представлена в табл. 2
формируемых
в них
+
+
+
+
ПК-4
ПК-2
ПК-1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Σ ( общее
количество
компетенций )
3
3
4
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
3
4
0,4
+
+
0,2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
0,4
+
+
ОК-10
ОК-2
ОК-1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
0,3
20
22
20
20
20
20
40
42
10
18
10
10
6
10
4
0,2
4.1.1-4.1.5
4.1.6- 4.1.11
4.1.12-4.1.16
4.1.17-4.1.22
4.1.23-4.1.28
4.1.29-4.1.33
4.1.34-4.1.43
4.1.44-4.1.48
4.1.49-4.1.54
4.1.55-4.1.64
4.1.65-4.1.67
4.1.68-4.1.79
4.1.80
4.1.81-4.1.85
4.1.86
Вес
Компетенции (λ)
Компетенции
0,3
Разделы
дисциплины
Колич.
часов
(аудит.)
Таблица 2
5. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
5.1. Активные и интерактивные формы обучения
С целью формирования и развития профессиональных навыков студентов в учебном
процессе используются активные и интерактивные формы проведения занятий в сочетании с
11
внеаудиторной работой:
(контрольные аудиторные работы, индивидуальные домашние
работы). Объем занятий, проводимых в интерактивных формах, составляет 28 часов
консультационных занятий (вне расписания), контрольные работы 10 часов на практических
занятиях (из расчета 2 контрольные работы в первом и втором семестрах и одна контрольная в
третьем семестре).
5.2. Самостоятельная работа студентов
Самостоятельная (внеаудиторная) работа студентов включает закрепление теоретического
материала при подготовке к выполнению контрольных заданий, а также при выполнении
индивидуальной домашней работы. Основа самостоятельной работы - изучение литературы по
рекомендованным источникам и конспекту лекций, решение выданных преподавателем
практики задач.
5.3. Мультимедийные технологии обучения
Некоторые из лекционных и практических занятий проводятся в виде презентаций в
мультимедийной аудитории с использованием компьютерного проектора.
Студентам предоставляется компьютерный курс лекций. Компьютерные технологии
используются для оформления типовых расчетов.
5.4. Лекции приглашенных специалистов
В рамках учебного курса «Математика» предусмотрены встречи с представителями
российских и зарубежных университетов
5.5. Рейтинговая система обучения
Рейтинг-контроль проводится три раза за семестр. Он предполагает оценку суммарных
баллов по следующим составляющим: баллы на контрольных занятиях; качество выполнения
домашних типовых заданий. Баллы рейтинговой системы аттестации студентов по семестрам
приведены в табл. 3.
Таблица 3
Рейтинг
Семестр 1
Вид занятий
Число
часов
Контрольные
Типовые расчеты
Рейтинг-контроль
Экзамен
Всего
4
10
-
Семестр 2
Вид занятий
Число
часов
1
2
3
Баллы (макс.)
Контрольные
Типовые расчеты
Рейтинг-контроль
Экзамен
Всего
Семестр 3
Вид занятий
4
10
-
20
-
-
-
20
-
20
-
40
20
60
40
100
1
Рейтинг
2
1
20
-
2
20
-
3
20
-
Баллы (макс.)
40
20
60
40
100
Рейтинг
Число
часов
Баллы (макс.)
12
Контрольные
Типовые расчеты
Рейтинг-контроль
Экзамен
Всего
2
6
-
30
-
30
-
40
20
60
40
100
6. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ,
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
6.1 Экзаменационные билеты и задачи
Экзаменационные вопросы. Семестр 1
Множества. Операции объединения, пересечения, разности. Пары.
Натуральные числа. Принцип математической индукции.
Поле действительных чисел. Числовая ось. Определение поля действительных чисел ℝ. Операции сложения и
умножения.
Пополнение вещественной прямой бесконечно удаленными точками. Правила обращения с бесконечностью.
Предел числовой последовательности. Число e, его определение, существование и оценка.
Предел функции.
Бесконечно малые величины (б.м.). Свойства б.м.. Сравнение б.м., эквивалентность б.м. Принцип замены б. м. на
эквивалентные. Порядок малости б. м. величин. Бесконечно большие величины, их связь с б. малыми. Сравнение
б. больших величин.
Замечательные пределы. Таблица эквивалентных б.м.
Непрерывность. Функции непрерывные на отрезке -- теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши (о нуле).
Основные элементарные функции. Перечисление и основные свойства. Понятие элементарной функции.
Принцип непрерывности.
Производная. Правила дифференцирования
Основные теоремы дифференциального исчисления
Правило Лопиталя.
Формула Тейлора
Разложение элементарных функций по формуле Маклорена
Экстремумы.
Исследование функций по второй производной. Участки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
Асимптоты, их определение и способы отыскания.
Системы линейных уравнений малых порядков. Определитель 2х2, правило Крамара 2х2. Определители 3х3.
Метод Крамара 3х3 решения систем линейных уравнений третьего порядка.
Метод Гаусса.
Матрицы. Сложение матриц и умножение матриц на число. Транспонирование матриц. Свойства этих операций.
Произведение матриц.
Определители. Понятие определителя nxn. Определитель треугольной матрицы. Свойства определителей. Минор
и алгебраическое дополнение. Разложение по строке (столбцу). Определитель произведения матриц.
Понятие вектора. Операции сложения векторов и умножения вектора на число. Длина, направляющие косинусы
вектора, орт. Стандартный базис 𝒊, 𝒋, 𝒌. Координаты вектора.
Скалярное произведение.
Векторное произведение. Смешанное произведение.
Прямая линия на плоскости. Плоскость в пространстве. Прямая в пространстве.
Эллипс. Гипербола, парабола.
Поверхности второго порядка
Экзаменационные вопросы. Семестр 2
Определение функции многих переменных; область определения, график, линии и поверхности уровня.
Предел и непрерывность ф.м.п.; их основные свойства. Теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши.
13
Частные производные ф.м.п. Частные производные высших порядков. Теорема о смешанных производных.
Дифференциал ф.м.п. Достаточное условие дифференцируемости. Производная сложной функции. Неявные
функции, их дифференцирование.
Градиент, его геометрический смысл. Касательная плоскость к поверхности. Нормаль к поверхности. Скалярное
поле и производная по направлению
Экстремумы ф.м.п. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума функции двух
переменных.
Первообразная. Теорема о первообразных. Неопределенный интеграл.
Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.
Разложение и интегрирование дробно-рациональных функций.
Интегрирование иррациональных выражений. Интегрирование тригонометрических выражений
Определение и геометрический смысл определенного интеграла. Физический смысл определенного интеграла –
работа силы. Свойства определенного интеграла. Оценка определенного интеграла, теорема о среднем.
Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям в определенном интеграле
Вычисление площадей с помощью определенного интеграла. Полярные координаты. Площадь криволинейного
сектора. Вычисление объемов тел. Определение и вычисление длины дуги.
Несобственные интегралы по бесконечному промежутку и от неограниченных функций.
Общие понятия (определение дифференциального уравнения, решения, порядка, нормальной формы записи).
Дифференциальные уравнения 1-го порядка, задача Коши, теорема существования и единственности.
Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные
уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнения в полных
дифференциалах.
Линейные дифференциальные уравнения; однородные и неоднородные. Линейность пространства решений
однородного линейного уравнения. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения.
Основная теорема о структуре пространства решений однородного линейного дифференциального уравнения.
Решение однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Метод вариации постоянных решения неоднородного линейного дифференциального уравнения.
Метод подбора решения неоднородного линейного дифференциального уравнения
Системы дифференциальных уравнений. Метод исключения. Линейные системы дифференциальных уравнений.
Экзаменационные вопросы. Семестр 3
Определение двойного интеграла. Свойства двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному.
Двойной интеграл в полярных координатах.
Тройной интеграл, определение и свойства. Сведение тройного интеграла к повторному.
Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.
Определение криволинейного интеграла. Физический смысл. Циркуляция. Свойства криволинейного интеграла
Вычисление криволинейного интеграла.
Понятие векторного поля. Формула Грина. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования.
Определение суммы ряда, сходимости и расходимости. Необходимый признак сходимости. Геометрическая
прогрессия. Арифметические операции с рядами.
Теорема сравнения. Предельная теорема сравнения.
Интегральный признак сходимости. Признак Даламбера сходимости ряда.
Абсолютная и условная сходимость. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда.
Теорема Лейбница о сходимости знакочередующегося ряда. Оценка остатка такого ряда.
Функциональные ряды. Мажорируемостья сходимость. Непрерывность суммы функционального ряда. Почленная
интегрируемость и дифференцируемость функциональных рядов.
Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование
степенных рядов.
Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций в ряды Маклорена.
Приближенные вычисления, вычисления определенных интегралов и решения дифференциальных уравнений с
помощью рядов.
Комплексные числа. Операции сложения и умножения над комплексными числами. Поле ℂ . Геометрическое
изображение к. чисел. Сопряжение комплексных чисел. Свойства сопряжения.
Модуль и аргумент к. числа, свойства модуля Тригонометрическая формой записи к. числа. Перемножение к.
чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Комплексная экспонента. Свойства к. экспоненты.
Решение квадратных уравнений
Многочлен. Степень многочлена, деление многочленов с остатком. Корни многочлена. Теорема Безу. Кратность
14
корня. Неприводимые многочлены. Разложение многочленов над полями 𝑹 и ℂ.
Производная ф.к.п., аналитичность в точке и области. Геометрический смысл производной, сохранение углов.
Условия Коши-Римана, критерий аналитичности.
Степенные ряды (по степеням 𝑧 − 𝑎). Радиус сходимости и круг сходимости. Аналитичность суммы степенного
ряда.
z
Определение e , sin z, cos z, tg ( z ) , их разложение в степенные ряды и производные. Гиперболические функции,
основное гиперболическое тождество, формулы сложения, производные, разложения в степенные ряды, связь с
тригонометрическими функциями.
Понятие многозначной функции. Многозначные функции Ln(z) и корень n-ой степени.
Интеграл от функции комплексного переменного, его свойства
и сведение к криволинейному интегралу. Свойства интеграла (линейность, адитивность, оценка).
Интегральная теорема Коши для односвязной и многосвязной областей. Интегральная формула Коши.
Существование производных любого порядка у аналитической функции.
Разложение функции, аналитической в круге в степенной ряд. Оценка коэффициентов степенного ряда. Формула
Коши для n-ой производной аналитической функции.
Теорема Лиувилля. Доказательство основной теоремы алгебры.
Ряды Лорана. Теорема Лорана.
Изолированные особые точки. Их исследование с помощью ряда Лорана.
Вычет. Вычисление вычета в полюсе.
Основная теорема о вычетах Применение вычетов к вычислению интегралов.
6.2 Тесты для проверки остаточных знаний по дисциплине
Тест 1
1. Из скольких элементов состоит множество {𝑠𝑔𝑛(7); 50 ; 0. (9); 1}?
a) 1 : б) 2; в) 3; г) 4
2. Дана рекуррентная формула 𝑢𝑛+2 = 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 и значения 𝑢0 = 1; 𝑢1 = 3. Найти 𝑢3
а) 1; б) -1 : в) 0; г) -5
3. Сколько всех подмножеств в множестве {а, б, в, г}?
а) 4; б) 10; в) 16 : г) 32
4. Сколько всех двухэлементных подмножеств в множестве {а, б, в, г}?
а) 4; б) 10; в) 6 : г) 8
5. Если 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵, то
а) 𝐴 -- подмножество мн-ва 𝐵; б) 𝐵 -- подмножество мн-ва A : в) это невозможное
равенство; г) это всегда так
6. Дать оценку истинности утверждения ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∃ 𝑝 ∈ ℕ (𝑝 ∣ 𝑛)
а) это верно всегда : б) это верно только для простых 𝑝; в) это ложное утверждение
7. Дать оценку истинности утверждения «𝑥 ≥ 𝑥 2 или 𝑥 > 1»
а) это верно всегда; б) это верно для неотрицательных чисел: в) это верно для чисел из
отрезка [0;1]
Тест2
1.
Определить, какое из данных чисел является иррациональным числом
1)
2.
2
;
3
2) 1
5
;
7
3)
3 2;
4) 1,87 .
Определить, какое из данных чисел является целым числом
1) - 4
2
;
3
2) 0,1;
3) - 7
4) 5,(91).
15
3.
4.
5.
6.
Тест 3
Остаток от деления 100 на 13 равен
а) 1, б) 3, в) 5, г) 9
НОД(36; 24)=…….. а) 12, б) 18, в) 6, г) 24
Натуральные числа 𝑛 и 𝑚 взаимно просты, если а) одно из них простое, б) оба они простые, в) у них нет
общих делителей, г) НОД(n,m)=1
Число 2, 3(7) а) целое, б) рациональное, в) иррациональное, г) натуральное
1. Система 4𝑥 + 𝑎𝑦 = 1; 2𝑥 − 𝑦 = 3 несовместна при 𝑎 равном
а) -2: б) 2; в) 0; г) 4
2. Сколько главных неизвестных может быть в системе 3х3 с ненулевыми
коэффициентами при неизвестных?
а) 3; б) от 1 до 3: в) 1; г) 0
1 2 2
3. Найти сумму элементов на главной диагонали матрицы (
)
3 1
а) 2; б) 4; в) 7; г) 14:
1 2 3
4. Найти определитель матрицы (
)
3 1
а) -5; б) 5; в) -125: г) 125
1 2 4
5. Определитель |1 3 9 | равен 0 при 𝑎 равном
1 𝑎 𝑎2
а) 0; б) ± 2,± 3; в) 2, 3 : г) -2,-3
6. Однородная линейная система состоит из пяти уравнений и в нее входит шесть
неизвестных. Тогда она
а) имеет только нулевое решение; б) имеет бесконечно много решений: в) такой
системы не может быть
2 3
7. Определитель матрицы, обратной к матрице (
) равен
2 1
а) -4; б) 1/4; в) -1/4: г) 1/3
8. Пусть 𝐴, 𝐵 – матрицы 3х3, 𝑋 -- неизвестная матрица 3х3. Уравнение 𝐴𝑋 = 𝐵 имеет
единственное решение, если
а) det 𝐴 ≠ 0: б) 𝐴 ≠ 0; в) всегда; г) никогда
9. В матрице 4х4 поменяли циклически строки (первую на 2-ое место, вторую на 3-е место
и т. д.) Тогда определитель матрицы
а) не измениться; б) станет равным 0; в) поменяет знак: г) станет обратным
10. В матрице 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) третьего порядка каждый элемент 𝑎𝑖𝑗 умножили на 2𝑖−𝑗 . Как
измениться определитель?
а) не измениться: б) умножиться на 8; в) умножится на 2; г) уменьшится в 8 раз
Тест 4
1. Предел последовательности 𝑎𝑛 равен 𝑎, если
а) ∀𝜺 > 0∀𝑁 ∈ ℕ∀𝑛 ≥ 𝑁 (|𝑎𝑛 − 𝑎| < 𝜺); б) ∀𝜺 > 0∃𝑁 ∈ ℕ ∀𝑛 ≥ 𝑁 (|𝑎𝑛 − 𝑎| < 𝜺); в)
∃𝑁 ∈ ℕ ∀𝜺 > 0 ∀𝑛 ≥ 𝑁 (|𝑎𝑛 − 𝑎| < 𝜺)
2. Предел последовательности 𝑎𝑛 равен 0, если и только если
а) −1 < 𝑎 < 1: б) 0 < 𝑎 < 1; в) 𝑎 = 0; г) 𝑎 > 0
16
3.
2n 2 n 1
равен
n
3n 2 1
Предел lim
1) –1;
4.
7
;
4
2) ;
4)
1 2x 3
равно
x4
1
;
3
3)
x4
2)
7
;
5
sin 7 x
равно
x 0
5x
5
2) ;
7
Значение
предела
2;
1
.
2
4) 2.
Значение предела функции lim
1)
8.
3) 0;
Значение предела функции lim
1)
7.
4)
7 n 2 8n 1
равно
2
n 4 n 5n 2
1) 3;
6.
2
.
3
3) ;
Значение предела lim
1)
5.
2) 0;
2
;
3
2)
3
;
2
3) 0;
4) 1.
lim
x 1
3)
3
;
10
x32
10 x 3
равно
4) –1.
sin 3 x
равно
x 0
5x
Значение предела lim
1)
5
;
3
1. Функция y
2) 0,6;
3) 0;
4) 1.
1
5 x является
5x
1) четной;
2) нечетной;
3) общего вида.
2. Функция f (x ) называется периодической, если существует T R , T 0 , такое что для всех x D ( f )
выполняется равенство
1) f (T x) f ( x) ; 2) f (T x) f ( x) ; 3) f ( x) T f ( x) ; 4) f ( x) T f ( x) .
3. Функция y
1
4 x2
1) непрерывна;
3) имеет точку разрыва I рода;
7.
8.
Функция является
2) имеет устранимую точку разрыва;
4) имеет точку разрыва II рода.
1
f ( x) sin x
x
1) периодической;
2) четной;
3) общего вида; 4) нечетной
Какая из функций является непрерывной при любых x
1)
1
;
x3
2)
c tg x ;
3)
ln x ;
4) e
x
.
17
7.УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ
ДИСЦИПЛИНЫ
И
ИНФОРМАЦИОННОЕ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ
Учебники
Владимирский Б.М., Горстко А.Б., Ерусалимский Я.М. Математика. Общий курс.,
СПб, Издательство «Лань», 2002.—960 с.
Пискунов, Николай Семенович. Дифференциальное и интегральное исчисления :
учебное пособие для втузов : в 2 т. / Н. С. Пискунов .— Изд. стер. — Москва : ИнтегралПресс, 2003 . Т. 1 .— 2003 .— 415 c. : ил. — Предм. указ.: с. 410-415 .
Демидович, Борис Павлович. Краткий курс высшей математики : учебное пособие
для вузов / Б. П. Демидович, В. А. Кудрявцев .— Москва : Астрель : АСТ, 2005 .— 654 c.
: ил. — Предм. указ.: с. 639-649 .
Бугров, Яков Степанович. Высшая математика : учебник для вузов по инженернотехническим специальностям : в 3 т. / Я. С. Бугров, С. М. Никольский .— 6-е изд., стер.
— Москва : Дрофа, 2004 . Т. 3: Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы.
Ряды. Функции комплексного переменного .— 2004 .— 511 c.
Бугров, Яков Степанович. Высшая математика : учебник для вузов по инженернотехническим специальностям : в 3 т. / Я. С. Бугров, С. М. Никольский .— 8-е изд., стер.
— Москва : Дрофа, 2006 .— Т. 1: Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии .— 2006 .— 284 c.
Бугров, Яков Степанович. Высшая математика : учебник для вузов по инженернотехническим специальностям : в 3 т. / Я. С. Бугров, С. М. Никольский .— 7-е изд., стер.
— Москва : Дрофа, 2005 .— Т. 2: Дифференциальное и интегральное исчисление .—
2005 .— 509 c. .
Шабунин М.И., Сидоров Ю.В. Теория функций комплексного переменного. М.:
ЮНИМЕДИАСТАЙЛ, 2002.—248 с.
Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. -- СПб, 2002. -- 298с.
Задачники
Бугров, Яков Степанович. Сборник задач по высшей математике : учебник для
инженерно-технических специальностей вузов / Я. С. Бугров, С. М. Никольский .— Изд.
3-е .— Москва : Физматлит, 2001 .— 300 c.
Данко, Павел Ефимович. Высшая математика в упражнениях и задачах : в 2 ч. / П. Е.
Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова .— 6-е изд. — Москва : Оникс 21 век : Мир и
Образование, 2003. Ч. 1 .— 2003 .— 304 с.
Данко, Павел Ефимович. Высшая математика в упражнениях и задачах : в 2 ч. / П. Е.
Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова .— 6-е изд. — Москва : Оникс 21 век : Мир и
Образование, 2003. Ч. 2 .
Демидович, Борис Павлович. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу : учебное пособие для вузов / Б. П. Демидович .— Москва : АСТ : Астрель,
18
2003 .— 558 c.
Пособия
Выгодский, Марк Яковлевич. Справочник по высшей математике / М. Я. Выгодский
.— Изд. 14-е .— Москва : Джангар : Большая медведица, 2001 .— 863 c. : ил .— Алф.
указ.: с.845-863 .
Дубровин, Николай Иванович. Задания к типовым расчетам по математике / Н. И.
Дубровин ; Владимирский политехнический институт (ВПИ). Кафедра высшей
математики .— Владимир : ВПИ, 1993 .— 64 с..
Еропкина, Татьяна Александровна. Теория функции комплексного переменного.
Операционное исчисление : задания к типовым расчетам по математике : учебное
пособие / Т. А. Еропкина ;ВлГУ .— 3-е изд., испр. и доп. — Владимир : Владимирский
государственный университет (ВлГУ), 2006 .— 72 с. : ил. — Библиогр.: с. 72
8. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
Материально-техническое обеспечение дисциплины включает:
кафедральные мультимедийные средства (ауд. 230-3);
электронные записи лекций;
оборудование специализированной лаборатории (230-3);
компьютеры со специализированным программным обеспечением виртуальных приборов.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО по направлению
«Радиотехника» и профилям подготовки бакалавров «Радиотехника» и «Радиофизика».
Автор: профессор каф. АиГ _________________ Дубровин Н.И.
Рецензент: зав. кафедрой РТ и РС _______________ Никитин О.Р.
Программа одобрена на заседании каф. АиГ
Протокол № ___________
От ___________________
Программа переутверждена:
на____________учебный год, протокол №__________от ______________
Зав. кафедрой ____________________________
на____________учебный год, протокол №__________от ______________
Зав. кафедрой ____________________________
на____________учебный год, протокол №__________от ______________
Зав. кафедрой ____________________________
на____________учебный год, протокол №__________от ______________
19
Зав. кафедрой ____________________________
20
