СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ Учебно

Б.Л. Факторович
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ
Учебно-методическое пособие
для студентов ВКИ НГУ
Новосибирск 2016
ПРЕДИСЛОВИЕ
Сборник предназначен для студентов ВКИ, начинающих изучение электротехники. Он
содержит задачи и контрольные вопросы по следующим разделам: анализ линейных и
нелинейных электрических цепей постоянного тока, расчет стационарных режимов в
однофазных и трехфазных цепях переменного тока, анализ магнитных цепей и
электромагнитных устройств, включая трансформаторы, переходные процессы в
простейших линейных электрических цепях.
В предлагаемом пособии основной упор сделан на анализе чисто электротехнических
аспектов в рассматриваемых примерах, продемонстрированы различные расчетные
методы, как аналитические, так и графические и численные.
Каждому разделу предваряются методические рекомендации и детальный разбор
характерного примера. Ко всем задачам приводятся ответы.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ………………………………………………………………………………… 2
Общие замечания ..……………………………………………………………………………3
Глава 1. Линейные цепи постоянного тока…………………………………………………6
Глава 2. Нелинейные цепи постоянного тока………………………………………………18
Глава 3. Электрическая емкость. Магнитное поле токов. Магнитные цепи постоянного
тока … … ……………..……………………………………………………………………...23
Глава 4. Линейные цепи переменного тока………………………………………………...28
Глава 5. Несинусоидальные периодические токи…..……..……………………………...42
Глава 6. Взаимоиндукция. Цепи переменного тока со сталью. Трансформаторы……...45
Глава 7. Переходные процессы. Длинные линии…………………………………….…...51
Ответы к задачам………………………………….…………………………………….…...59
2
ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В большинстве предлагаемых задач рассматриваются очень простые электрические и
магнитные цепи. Получение результата не требует сложных преобразований и долгих
вычислений.
Некоторые задачи можно решить «в уме» и с первого взгляда на схему. Тем не менее,
многие схемы являются в своей основе компонентами реальных устройств измерительной
техники, силовой электроники, другого электрооборудования, в частности бытового.
Самая простая схема есть модель каких-то электрических функциональных узлов или
физических явлений (необязательно электрической природы), порой совсем не простых.
Анализ схемы может дать ответы на разнообразные вопросы, касающиеся работы ее
прототипов.
Мы не будем приводить детального разбора типовых задач по каждому разделу
пособия. Несколько примеров рассмотрены довольно подробно для демонстрации этапов
решения и как иллюстрация к методам вычислений.
При решении любой задачи желательно соблюдать несколько общих методических
правил. Часть из них следует соблюдать всегда, некоторые помогают, если задача «не
идет»:
-
-
-
-
Всегда помните, что имеете и что ищите, каждый этап должен иметь цель;
Если есть выбор, каким методом решать задачу, выбирайте тот, в котором прямо
применяются наиболее фундаментальные законы - Кирхгофа, электромагнитной
индукции, законы сохранения заряда, энергии и т.д.;
Исходите из общего определения понятия, а не из формулы, которая описывает
частный случай: ток - это не частное от деления напряжения на сопротивление, а
заряд, проходящий в цепи за единицу времени: i=dq/dt. Знание нескольких
принципов избавляет от необходимости запоминания множества фактов (формул);
Часто к решению можно прийти разными путями, иногда лучше двигаться от
предполагаемого результата к исходным данным, или рассуждать «от противного»;
Может быть, ваша задача похожа на другую задачу, рассмотренную ранее?
Попробуйте повернуть схему или рисунок, или перерисовать ее, не меняя сути;
Используйте аналогии. (попробуйте заменить явления в цепях дорожным
движением, водой в реках и притоках, затратами при покупках и т.п.);
Если возможно, упрощайте схему: заменяйте последовательные или параллельные
элементы на один эквивалентный, группируйте элементы и т.п.;
Если есть возможность решить задачу посредством энергетических соотношений,
предпочтите этот метод;
Лучше всего прежде найти решение в общем виде, т.е. в виде компактного
выражения. Внимательно рассмотрите полученную формулу. Постарайтесь понять,
что от чего зависит, как зависит, и нет ли явных несообразностей. Если ваша
формула очень сложная и длинная, а зависимости не просматриваются,
анализировать ее бессмысленно, подставляйте числа;
Ни в коем случае не экономьте бумагу! Это очень дорого обходится. Не решайте на
обрывках, на полях, между записями. Даже для черновиков используйте тетрадь
или большой блокнот в клетку, а не отдельные листочки.
После того, как решение получено, его обязательно нужно проверить, в первую очередь
на грубые ошибки.
3
Одной из самых грубых ошибок является ошибка размерности. Это когда в ваших
формулах амперы складываются с вольтами или омы вычитаются из числа витков. Если в
процессе решения получилось выражение вида U1 = U2*R/L, или что-то подобное, такие
ошибки принято считать непростительными, даже если имеет место простая описка.
Если у вас получилась формула вида I = E / (R2-R4), это подозрительно. Получается, что
при R2 = R4 ток бесконечен! В принципе такое не исключено, но следует насторожиться.
Также насторожитесь, если какой-либо заданный параметр не фигурирует в
окончательном результате.
Заметим, что выражение I=E*(R2-R4)/ (R3^2) подозрений не вызывает
Простым, но эффективным приемом проверки формул является использование
предельных значений параметра, обычно нуля и бесконечности. Как изменится схема,
если какое-нибудь сопротивление (ЭДС) стремится к нулю? Или если резисторы
одинаковы? Подставьте это изменение в формулу решения. Как изменится результат?
Перечисленные проверки занимают совсем мало времени и являются необходимым
атрибутом вычислительной культуры, сродни правилам гигиены. Проверкам следует
подвергать не только конечные, но и промежуточные результаты.
Численные результаты проверить тоже нелишне, хотя бы с точки зрения здравого смысла.
По крайней мере в предлагаемых задачах решениями никак не могут быть такие числа,
как 106 витков, 109 А, 10-12 В, или отрицательные сопротивления.
Более сложные и более надежные способы проверки требуют большего времени. Одним
из таких способов является проверка баланса мощностей. Закон сохранения энергии
требует, чтобы суммарная мощность, развиваемая источниками энергии, была равна
суммарной мощности, поглощенной в приемниках. Для цепей постоянного и переменного
тока это лучший способ проверки, притом не слишком трудоемкий. Еще один надежный
способ – изменение метода или последовательности расчетов. Решали задачу методом
эквивалентного генератора? Решите методом суперпозиции источников. Результаты
должны совпасть.
Наиболее «прямолинейный» способ проверки расчетов в цепях постоянного и
переменного тока состоит в следующем: составляются уравнения Кирхгофа (их может
быть довольно много), в уравнения подставляются числовые данные, полученная система
решается посредством математических программ. При расчете сложных схем способ
вполне хорош как основной, но сложных схем в этом задачнике нет.
Для вычислений достаточно
обычного инженерного калькулятора, но лучше
универсальные математические пакеты MATHCAD, MATLAB и др., а также их
упрощенные бесплатные аналоги MAXIMA, SCILAB и ряд других. Многие из этих
пакетов выдают решение не только в числовой, но и в алгебраической форме... Хорош
универсальный online-калькулятор www.wolframalpha.com. с мобильной версией. Он
умеет решать системы уравнений, строить графики, интегрировать и многое другое.
Для андроид-смартфонов можно порекомендовать мощные калькуляторы TechCalc,
Algeo и PolyMathLite. Последнему посильны такие сложные задачи, как системы
нелинейных уравнений. По функциональным возможностям эти калькуляторы почти не
уступают бесплатным компьютерным программам, имеют интуитивный интерфейс и
всегда под рукой. Слабая сторона – сохранение и документирование расчетов.
Простейшие вычисления удобно выполнять на калькуляторе RealCalc.
Нельзя не коснуться еще одного способа проверки (и решения) - применения
моделирования схем. Используя программы типа MULTISIM, MICRO-CAP и др., можно
«решить» задачу по электротехнике, не зная таблицы умножения и никогда не слышав
ни о законе Ома, ни о магнитном потоке.
4
Программы-симуляторы предназначены для профессионалов, которые примерно
представляют, что у них должно получиться, и могут отличить правдоподобный результат
от парадоксального или абсурдного. Такие программы экономят время и силы на сложных
схемах, и не тем, кто изучает электротехнику, а тем, кто ее знает.
О точности вычислений. Во все время существования электротехники как инженерной
дисциплины, кроме последних лет, основным инструментом для расчетов была
логарифмическая линейка. Ее точность - три значащих цифры, т.е. относительная
точность ~0.5%. Такую же точность имели и имеют большинство электроизмерительных
приборов. Старые учебники и задачники ориентировались на студентов с линейками. Если
нет специальных оговорок, лучшей точности конечного результата не требуется и сейчас.
Однако, к точности промежуточных вычислений требования гораздо жестче. Если
конечный результат имеет вид x = A/(B-C), а В и С - близкие по значению
промежуточные результаты, их следует вычислять точно и не округлять.
Несовпадение результата с ответом либо с другим расчетом в 1%, или разбаланс
мощностей при проверке ~1%. вполне допустим. Несовпадение >5%. – несомненная
ошибка решения
Слишком много значащих цифр в ответе - это тоже ошибка, но не грубая. Точность
результатов не может превышать точности исходных данных.
В семи главах сборника всего примерно 150 задач. Хотелось бы обратить особое
внимание на первую главу. На материале этой главы стоит вся теоретическая
электротехника, а на ней, в свою очередь, базируются многочисленные инженерные
дисциплины, связанные с электроникой и вычислительной техникой.
Необходимо развить в себе способность с первого взгляда на простую схему оценивать,
как распределяются токи, где там милливольты, а где киловольты, куда выделяется
основная мощность, что будет, если...
Именно на задачах первой главы вам предстоит научиться уверенно выбирать метод
решения, проверять и анализировать результаты, быстро и безошибочно считать.
Поэтому настоятельно рекомендую задачи первой главы решить все до одной
(желательно и второй главы тоже).
5
ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Анализ цепей постоянного тока основан всего на трех простых формулах, обоснование
которых приводится на лекциях или в учебниках. Это 2 закона (или 2 правила) Кирхгофа
и закон Ома.
Первое правило: алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю
(сумма втекающих в узел токов равна сумме вытекающих из узла токов).
Второе правило: алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкнутом контуре
равна алгебраической сумме ЭДС вдоль того же контура.
В основе этих правил лежат фундаментальные законы физики.
Закон Ома : падение напряжения на сопротивлении пропорционально протекающему
через него току. Этот закон устанавливает линейную связь между токами и
напряжениями. Сопротивления, в которых соблюдается закон Ома, называются
постоянными. Если сопротивление зависит от идущего по нему тока, оно называется
нелинейным. Нелинейные цепи будут рассмотрены в следующей главе.
Если сопротивления постоянные, токи и напряжения в электрических цепях описываются
одним или несколькими линейными алгебраическими уравнениями. Все остальные
формулы выводятся из закона Ома и правил Кирхгофа. После составления уравнений
задача перестает быть электротехнической и становится математической. Уравнения
могут решаться разными методами, но решение всегда только одно и результат только
один. Двух верных результатов в системе линейных уравнений быть не может!
В качестве примера рассчитаем приведенную ниже простейшую схему 1.
Е1=100 В , Е2= 50 В, R1=100 Ом, R2=30 Ом, R3=20 Ом. Найти ток в резисторе R3.
I1
R1
A
I3
I2
R2
R3
E1
E2
Схема 1
Прямое применение законов Кирхгофа.
1. Стрелками обозначаются токи в ветвях цепи и их направления, выбираются замкнутые
контура и направления их обхода. Составляются уравнения обхода по 2-му закону:
2. Обход контура Е1-R1-R3-E1 по часовой стрелке:
I1*R1 + I3*R3 = E1
[1]
6
3. Обход контура Е1-R1- R2-E2-Е1 по часовой стрелке:
I1*R1 - I2*R2 = E1-Е2
[2]
либо контура Е2-R2- R3-E2 против часовой стрелки:
I2*R2 + I3*R3 = Е2
[3]
Обратите внимание, что [3] можно получить, вычитая [1] из [2] , т.е. обходов всего два.
4. Завершает систему баланс токов в узле А (1-й закон Кирхгофа):
I1 + I2 = I3
[4]
Задача свелась к системе трех уравнений с тремя неизвестными: I1, I2, I3. Если нужно
просто найти значение тока I3, подставляете в уравнения [1] и [3] численные данные и
получаете совместно с [4] систему :
I1*100 + I3*20 = 100;
I1 + I2 –I 3 = 0;
I2*30 + I3*20 = 50;
Можно считать, что собственно электротехника на этом кончилась.
Решаете систему любым доступным для вас способом и находите:
I1 = 0.714 А ,
I2 = 0.714 А ,
I3 = 1.43 А.
Проверка на баланс мощности дает:
PE = I1*E1 + I2*E2 = 107 Вт;
PR = PR1 +PR2 +PR3 = I12*R1 + I22*R2 + I32*R3 = 107 Вт
Баланс сошелся.
Так выглядит решение наших уравнений [1], [3], [4]. Слева - на калькуляторе TechCalc
Два других скриншота – условия и результат на PolyMathLite Free.
7
Если же требуется не просто определить ток I3, а понять, от чего и как он зависит,
уравнения [1], [3], [4] решаются в общем виде. Простейший метод – метод подстановки.
Подстановка уравнения [4] в уравнение [1] сокращает систему до двух уравнений. Затем
второй заменой из двух уравнений выводится одно. Его решение дает выражение:
I3 = (E1*R2+E2*R1) / (R1*R2+R2*R3+R1*R3) = 1.43 A [5]
Формула [5] сравнительно компактна, легко просматривается, от чего и как зависит ток.
Займемся простейшей проверкой, глядя на схему и на формулу, и сопоставляя их:
Положим, R2  ∞. Тогда E2*R1 в числителе и R1*R3 в знаменателе можно пренебречь.
I3 = E1*R2 / (R1*R2+R2*R3) = E1 / (R1+R3) – из схемы это очевидно.
Если R3=0, I3 = (E1*R2+E2*R1)/(R2*R1)=E1/R1+ E2/R2 = I1+ I2 - тоже вполне логично.
Если Е1=0 и R2=0, I3=E2*R1 / (R1*R3) = E2/R3 - так и должно быть.
Будем считать, что наша формула верна. Нетрудно догадаться, что схема с большим
числом элементов, узлов и контуров для решения в общем виде потребует гораздо
больших затрат труда на подстановки и преобразования. Вероятность запутаться в
выкладках очень велика. А полученная окончательная формула почти наверняка будет
громоздкой, для анализа и проверок малопригодной.
Именно для более сложных схем применяются другие методы расчета, позволяющие
разбивать сложную задачу на ряд более простых или упрощать схемы.
Метод суперпозиции источников.
В этом методе рассчитывается вклад в «общее дело» - в ток в цепи или в напряжение
между двумя точками схемы (но не вклад в мощность, выделяемую в резисторах!), каждого источника энергии по отдельности, а затем вклады суммируются. Напоминаем:
метод суперпозиции применим только для линейных цепей.
Рассмотрим предыдущую задачу. Предположим, что Е2=0. Тогда схема превращается в
(2). Источник всего один, вместо источника Е2 - отрезок провода, резисторы R2 R3
соединены параллельно, их эквивалентное сопротивление: R23 = R2*R3 / (R2+R3). Схема
превращается в схему 2а. Это существенное упрощение. Можно сразу записать:
I11=E1 / (R1 + R23)
Вернувшись к схеме 2, видим , что в точке А ток I11 разветвляется на I21 и I31. Ток I21
нас не интересует. Для тока I31 из баланса токов следует:
I31 = I11*R2 / (R2+R3)
I11, I31 - вклад в общий ток от источника Е1
Подставив одно выражение в другое, получим:
I31 = E1*R2 / (R1*R2+R2*R3+R1*R3)
Далее представим, что Е1=0, а Е2=50 В. Схема превращается в схему (3). Теперь
параллельны R1 и R3. Эквивалентное сопротивление R13 = R1*R3 / (R1+R3).
I22 = E2 / (R2 + R13);
I32=I22*R1/(R1+R3) ;
I22, I32 - вклад от Е2.
После упрощений имеем:
8
I32 = E2*R1 / (R1*R2+R2*R3+R1*R3)
Окончательно:
I3 = I31 + I32 = (E1*R2 + E2*R1) / (R1*R2 + R2*R3 + R1*R3)
A
I21
I31
R2
I11
R1
I11
A
R1
A
I12
I22
R1
R2
I32
R23
R3
E1
E1
2
2а
[6]
R3
E2
3
Как видим, формулы [5] и [6] совпадают, но [6] получена заметно легче.
Заметьте, что когда Е=0, источник не удаляется, а именно обнуляется, т.е. не
вырабатывает энергию. Но его внутреннее сопротивление не исчезает. У источника ЭДС
внутреннее сопротивление равно нулю, он заменяется «отрезком провода», а у источников
тока внутреннее сопротивление бесконечно, и обнуление источника тока – это разрыв
цепи. Выделяемая в резисторе R3 мощность:
P3 = R3*I3^2 = R3*(I31+I32)^2
Метод эквивалентного генератора, или метод активного двухполюсника, позволяет
радикально упрощать исходную схему.
Вся схема, за исключением интересующего нас резистора R3, заменяется на источник
некоторого напряжения Uxx с некоторым внутренним сопротивлением. Ri (схема 4)
Из нее следует:
I3 = Uxx / (Ri + R3)
A
I3
Ri
R3
A
A
R2
I3
R1
Ri
K3
R3
Uxx
4
[7]
Uxx
5
R3
6
Фактически задача сводится к нахождению значений Uxx и Ri такого источника.
9
Это делается следующим образом:
– В исходной схеме 1 все источники обнуляются, а сопротивление R3 удаляется. Схема
приобретает вид 5. Внутреннее сопротивление – это сопротивление между бывшими
концами удаленного R3:
Ri = R1*R2 / (R1+R2)
[8]
– В исходной схеме 1 определяется ток короткого замыкания, т. е. ток I3 при R3=0. Легко
сообразить, что этот ток складывается из двух частей:
Iкз = E1/R1 + E2/R2
[9]
Поскольку для резистора R3 схемы 1 и 4 эквивалентны, короткое замыкание на схеме 4
превращает ее в схему 6. Для нее:
Iкз = Uxx/Ri
[10]
Из [8], [9], [10] следует:
Uxx=Iкз*Ri или Uxx = (E1 / R1 + E2 / R2) * ( R1*R2 / (R1+R2) )
[11]
После подстановки [8] и [11] в формулу [7] получаем:
I3 = (E1*R2 + E2*R1) / (R1*R2 + R2*R3 + R1*R3)
[12], что совпадает с [5].
Здесь мы применили один из способов определения параметров эквивалентного
источника. Существуют и другие, подробно описанные в учебниках.
Вообще говоря, умение рассчитывать схемы есть умение упростить схему, вплоть до
вида схемы 4.. Достичь такого умения удается после некоторой тренировки. Приобретя
определенную уверенность в себе, а также, если прямая необходимость в этом
отсутствует, можно отказаться от выкладок в общем виде и производить операции сразу с
численными данными. Запоминать все формулы не нужно, надо только помнить закон
Ома и уравнения Кирхгофа и смысл понятий в них. Ходовые формулы, используемые при
преобразованиях, легко выводятся из уравнений и при употреблении запоминаются сами.
Вернемся к схеме 1. Предположим, что задача сформулирована иначе:
Е1, Е2, R2, R3 те же самые. При каком значении R1 ток через резистор R2 равен нулю?
Эта задача проще. Ток равен нулю, потому что напряжение на выводах резистора R2
равно нулю. Но если напряжение на выводах равно нулю, ток через R2 не пойдет при
любой величине R2. Резистор без тока вообще можно удалить. Схема упрощается. Один
из выводов R2 имеет потенциал Е2, другой вывод – потенциал точки А:
E2 = UA = E1*R3 / (R1+R3)
Отсюда следует: R1 = R3*(E1-E2) / E1
= 10 Ом
При решении последней задачи мы заодно продемонстрировали компенсационный
метод измерения напряжений.
В некоторых задачах раздела фигурируют показания амперметров и вольтметров.
Напоминаем, что вольтметр измеряет напряжение между точками, к которым он
подключен, а амперметр измеряет ток в участке цепи, где он установлен. Приборы по
умолчанию идеальные, т. е. сопротивление вольтметра бесконечно, ток через него равен
нулю. У идеального амперметра сопротивление равно нулю, падение напряжения на нем
нулевое. Установка приборов не влияет на работу схемы.
10
ЗАДАЧИ
1.1. Какую работу совершает электрическое поле при перемещении заряда q= 2 нКл из
точки с потенциалом 1000 В в точку с потенциалом 200 В?
Из точки с потенциалом -1000 В в точку с потенциалом 400 В?
1.2. Можно ли включить в сеть 220 В резистор, на котором написано:
а) 36 Ом, 150 Вт; б) 2.2 кОм, 25 Вт; в) 4.7 кОм, 5 Вт?
1.3. Полевой телефонный провод состоит из 3-х стальных проволок и 4-х медных.
Диаметр каждой проволоки 0.3 мм. Каково сопротивление одного километра такого
провода? Удельное сопротивление стали 20*10-8 Ом*м, меди – 1.7*10-8 Ом*м.
1.4. Четыре лампочки, рассчитанные на напряжение 12 В и ток 0.3 А, надо соединить
параллельно и питать от источника напряжения 24 В. Какое дополнительное
сопротивление следует включить последовательно c источником? Как изменится накал,
если одну лампу выкрутить?
1.5.. На лампе накаливания написано: 40 Вт, 230 В. Каковы ее ток и сопротивление в
рабочем режиме?
1.6. В электрическом обогревателе, рассчитанном на напряжение 220 В, имеется две
спирали по 80 Ом каждая. С помощью переключателя можно включить в сеть одну
спираль, две спирали последовательно или две спирали параллельно. Найти мощность в
каждом случае.
1.7. Бытовой чайник (220 В , Рч=2.2 кВт) и бытовой утюг (220 В, Ру=1.1 кВт) соединены
последовательно и подключены к источнику напряжения 380 В.
1. Какая мощность выделяется в каждом?
2. Что произойдет, если утюг заменить на паяльник (220 В, Рп=60 Вт)?
1.8. Электродвигатель грузового подъемника работает от напряжения 380 В и потребляет
ток 20 А. Каков КПД машины, если груз массой 1000 кг за 50 секунд поднимается на
высоту 19 м?
1.9. Аккумулятор телефона (3.7 В, 2000 мА*час) заряжается от 10% заряда до 100% за 40
минут. Какая средняя мощность потребляется от сети, если КПД зарядного устройства
80%?
1.10. По проводу высоковольтной линии электропередачи напряжением 110 кВ передается
мощность 30 МВт. Каково сечение провода, если экономически целесообразная
допустимая плотность тока 1.3 А/мм2?
1.11. Почему сопротивление между вбитыми в землю тонкими металлическими
стержнями почти не зависит от расстояния между ними? (При одинаковой длине
подземной части стержней.)
1.12. Источник ЭДС Е=12В нагружен на соединенные последовательно резисторы R1=300
Ом и R2. При каком значении R2 падение напряжения на нем 2.4 В?
1.13 . Найти сопротивление между точками А и В.
11
R
A
R
R
B
К задаче 1.13
1.14. Найти сопротивление между точками А и В.
R
R
R
R
R
R
R
R
A
B
1
A
R
B
2
К задаче 1.14
1.15. Найти сопротивление между точками A и B, если R=10 кОм, 2R=20 кОм.
A
R
R
2R
R
2R
A
R
R
R
2R
B
R
2R
2R
R
R
B
1
2
К задаче 1.15
1.16 Источник напряжения Е=12 В нагружен на балластный резистор Rb=1000 Ом и
термистор. Сопротивление термистора описывается выражением: Rt = 50000/(20+t) Ом,
где t - его температура по Цельсию. При какой температуре вольтметр покажет 4 В?
А при какой V=10 В?
Rb
E
V
Rt
К задаче 1.16
1.17. На схеме Е1=110 В - источник напряжения. Величина резисторов: R1= R2 = R3 = R4
= R5 = R6 = R7 = 10 Ом. Найти напряжение во всех точках относительно «земли» G.
A
B
R1
C
R2
D
R3
R4
E1
R7
G
E
H
R6
R5
J
F
К задаче 1.17
12
1.18. Е1=30 В и Е2=24 В - источники постоянного напряжения. Величина резисторов:
R1=30 Ом, R2=10 Ом, R3=20 Ом.
1) Чем отличаются токи в резисторах на схемах 1, 2, 3, если значения ЭДС и номиналы
резисторов одни и те же?
2) В чем разница между схемами 2 и 3?
3) При каком значении Е1 на схеме 1 источник Е2 станет приемником энергии, т.е. схема
перейдет в режим зарядки аккумулятора Е2
A
R1
A
R2
A
R1
R2
E1
R3
R3
R1
E1
E2
R3
E2
E1
1
R2
E2
2
3
К задаче 1.18
1.19. На схеме Е1=12 В, Е2=9 В, Е3=21 В - источники постоянного напряжения.
Величина резисторов: R1 = R2 = R3= 6 Ом. Что покажет вольтметр?
R1
R2
R3
V
E1
E2
E3
К задаче 1.19
1.20. В приведенной схеме напряжение источника Е=200 В. Величины резисторов:
R1=30 Ом, R2=10 Ом, R3=20 Ом, R4=40 Ом. Найти ток в перемычке AB.
R1 A R2
R3
R4
B
E
К задаче 1.20
1.21. На схеме Е1=24 В и Е2=12 В – источники постоянного напряжения. Величина
резисторов: R1=30 Ом, R2=18 Ом. Что покажет вольтметр?
13
R1
R2
V
E1
E2
К задаче 1.21
1.22. Между точками А и В приложено напряжение 10 В. R1=10 кОм, R2=20 кОм. Найти
токи в резисторах R2 и в крайнем справа резисторе R1.
A
R1
R1
R2
R2
R1
A
R1
R1
R1
R2
B
R2
R1
R2
R1
R1
B
1
2
К задаче 1.22
1.23. На схеме Е - источник напряжения. Схема имеет следующие параметры: E=100 В
R1=40 Ом, R2=10 Ом, R3=12 Ом, R4=30 Ом,
1) Какая мощность выделяется в резисторе R4?
2) При каком значении R4 эта мощность будет максимальной?
R1
R3
R4
E
R2
К задаче 1.23
1.24. Составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа для расчета всех токов,
обозначив предварительно их направления.
R4
R1
E1
E3
R3
R2
E2
К задаче 1.24.
1.25. Составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа для расчета токов,
обозначив предварительно их направления.
14
R1
R2
E1
R3
R4
R5
E2
К задаче 1.25
1.26. Составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа для расчета токов во всех
элементах цепи, обозначив предварительно их направления.
R6
E3
R3
R1
R5
R4
E1
E2
R2
К задаче 1.26
1.27. Определить токи в ветвях . Е1=60 В, Е2=65 В, Е3=50 В, R1=R2=50 Ом, R3=100 Ом.
R1
R2
E1
R3
E2
E3
К задаче 1.27
1.28. Е1 и Е2- источники постоянного напряжения. Е2=100 В. Величина резисторов:
R1=50 Ом, R2=10 Ом, R3=30 Ом. Ток через резистор R1 не идет. Каково значение E1?
Какой ток пойдет через резистор R1, если Е1=100 В?
R1
E1
R3
R2
E2
К задаче 1.28
1.29. На схеме Е - источник напряжения 120 В. Другие параметры схемы: R1=300 Ом,
R2=200 Ом, R3=100 Ом, R4=150 Ом, R5=60 Ом. Какая мощность выделяется в резисторе
R5? При какой величине R5 эта мощность максимальна и каково ее значение?
15
R1
R2
R5
R3
R4
E
К задаче 1.29
1.30. На схеме Е – источник напряжения 300 В. Величина резисторов: R1=300 Ом,
R2=R3= R5=100 Ом, R4=20 Ом. Найти мощность, выделяющуюся в резисторе R5.
R1
R4
R2
E
R5
R3
К задаче 1.30
1.31. Схема имеет следующие параметры: E1=120 В, E2=45 В, R1 =15 Ом, R2 =60 Ом, R3
=30 Ом. Найти токи во всех элементах и составить баланс мощностей. При каком
значении Е1 тока в резисторе R1 не будет?
R1
E1
R3
R2
E2
К задаче 1.31
1.32. На схеме E1=50В - источник напряжения, I3=3 A - источник тока, R1 =R2=50 Ом,
R3 =20 Ом. Найти ток в резисторе R2 и напряжения в точках А и В относительно G
A
R1
E1
B
R3
R2
I3
G
К задаче 1.32
1.33. На схеме Е=24 В – источник постоянного напряжения. Величина резисторов: R1=11
Ом, R2=14 Ом. R3=9 Ом, R4=16 Ом , R5=3 Ом. Что показывает вольтметр?
16
R1
V
R3
E
R5
R2
R4
К задаче 1.33
17
ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
В этом разделе рассматриваются простейшие цепи с сопротивлениями, для которых
закон Ома не выполняется. Законы Кирхгофа при этом продолжают соблюдаться;
мощность потерь в резисторах и мощность источников равна P = U*I, так же, как и в
линейных цепях. Вольтамперные характеристики (ВАХ), т. е, зависимость напряжения на
элементе от протекающего через него тока, задаются таблицей, графиком или в виде
формулы. В таблицах обязательно должно быть указано, в каких единицах выражены
числа в ячейках, на графиках обязательно должны быть нанесены названия осей и их
масштаб. Выражения, описывающие ВАХ, часто приводится в виде эмпирической
формулы, при этом указывается, в каких единицах выражены функция и аргумент. Если
указаний нет, то по умолчанию подразумеваются основные единицы. Например, в ВАХ
U = 40*sqrt(2.5*I) 40 - это 40 В, а I – не ток, а безразмерная величина, численно равная
току в амперах.
Решение предлагаемых задач в основном сводится к составлению и решению уравнений
Кирхгофа.
Технологию расчетов продемонстрируем на простейшем примере:
Задача: Резистор R=100 Ом и нелинейное сопротивление с ВАХ
U = 40*sqrt(2*I) [1]
соединены последовательно и подключены к источнику Е=100 В. Найти ток в цепи.
Решение: Обозначим напряжение на резисторе R Ur, напряжение на нелинейном
сопротивлении Un. Обход по контуру дает выражение:
Е=Ur + Un,
или
[2]
Е = I*R + 40*sqrt(2*I)
[3]
Получилось уравнение [3] с одним неизвестным I. Методов его решения может быть
несколько.
Аналитический: Перепишем уравнение [3] в следующем виде:
40*sqrt(2*I) = E - I*R
[4]
Затем возведем обе части во вторую степень:
402 *(2*I) = (E - I*R)2
После раскрытия скобок получим простое квадратное уравнение:
1600*2*I = E^2 - 2*E*I*R + I^2*R^2
Подставив в него числа, имеем два решения: I = 0.572 А и I = 1.74 А. Проводим проверку:
I = 0.572 А,
Ur = 100*0.572 = 57.2 В,
Un = 40*sqrt(2*0.572) = 42.7 B.
Ur + Un = 100 = E
Все сошлось. Второе решение – I = 1.74 А проверки не выдерживает.
18
Следует заметить, что задачи с аналитическим решением встречаются нечасто. Схемы с
элементами, у которых ВАХ состоит из двух ломаных отрезков (стабилитроны,
светодиоды), допускают такое решение. Но чаще всего решение находится численными
или графическими методами.
Метод проб и ошибок (подгонка) состоит из нескольких шагов:
1. Вводим функцию ошибки - разность между правой и левой частями уравнения [4]
Y(I) = Е- I*R - 40*sqrt(2*I) или Y(I) = 100 - I*100 - 40*sqrt(2*I)
[5]
Наша задача – подобрать такой ток, когда ошибка Y равна нулю или близка к нему.
2. Задаем произвольное значение тока I=0.1 и подставляем в [5]: Y(0.1) = 73. Такой ток
слишком мал, попробуем в 10 раз больше: I =1.0
3. Задаем I=1.0 и подставляем: Y(1) = - 46. Слишком много, попробуем среднее.
4. Берем середину, Y(0.5) = 10 - мало, но уже близко. Нужно добавить, например 0.1.
5. Y(0.6)= - 4. Добавили слишком много, следует чуть-чуть убавить.
6. Y(0.58)= -1. Ошибка ~ 1%. - решение практически готово, но убавляем еще.
7. Y(0.575)= -0.4. Ошибка ~ 0.4%. Решение найдено.
На простом калькуляторе решение получится за 4-5 попыток и займет всего несколько
минут. При этом такой метод вполне научен, и он легко формализуется. В специальных
курсах численного анализа изучают оптимальные алгоритмы подгонки.
Графический метод-1. Возвращаемся к уравнению [4]
40*sqrt(2*I)=E - I*R
Вводим две функции, равные левой и правой части этого выражения :
Y1(I) = 40*sqrt(2*I) – вольтамперная характеристика нелинейного элемента,
Y2(I) = Е - I*R = 100 - I*100 - так называемая нагрузочная характеристика прямая, пересекающая ось U в точке Е = 100 B, а ось I - в точке Е / R = 1 A .
Строим их графики. Точка, где графики пересекаются, то есть где Y1(I) = Y2(I), и есть
решение. Этот же метод применяется, если ВАХ не формула, а таблица или график.
Графический метод-2. Берем функцию [5]:
Y(I) = Е - I*R - 40*sqrt(2*I)
[5]
и строим ее график. Точка, где график пересекает ось абсцисс, то есть где Y(I)=0, и есть
решение.
Табличный метод. Берем функцию [5]
Y(I) = Е - I*R - 40*sqrt(2*I)
и табулируем ее с малым шагом I, например в ЕХСЕL или Algeo. По ячейке с нулевым
значением Y определяется ток.
Перечисленные численные методы просты, не требуют специальных знаний и
специального ПО. Если схема содержит несколько нелинейных элементов, расчет заметно
19
усложняется, так как может появиться система уравнений. Решить систему нелинейных
уравнений практически можно только численно и на мощном вычислителе.
Ниже представлены решения рассмотренной нами задачи на смартфоне.
Графики слева – на калькуляторе TechCalc, справа – два способа на калькуляторе Algeo.
ЗАДАЧИ
2.1. Температура вольфрамовой нити лампы накаливания (220 В, 60 Вт) 2500° С. Какую
мощность потребляет «холодная» лампа в момент включения? Температурный
коэффициент сопротивления вольфрама k= 0.0045 1/град.
2.2. Нелинейное сопротивление имеет ВАХ u(i) = 50*(1-exp(-0.01*i)) В, где i – ток в мА;
Найти его статическое Rs и динамическое Rd сопротивление при токах 0.5 мА, 5 мА, 50
мА и 500 мА.
2.3.Нелинейные элементы NE1 и NE2 соединены последовательно и подключены к
источнику постоянного напряжения Е.
Нелинейный элемент NE1 имеет ВАХ u = 25*(1-exp(-2*i))
Нелинейный элемент NE2 имеет ВАХ u = 50*(1-exp(-2*i))
Какой ток идет в цепи, если Е=5 В? Если Е=60 В?
20
2.4. Нелинейные элементы NE1 и NE2 соединены последовательно и подключены к
источнику постоянного напряжения Е. NE1 имеет ВАХ U1(I) = 25*(1-exp(-3*I)), NE2
имеет ВАХ U2(I) = 50*(1-exp(-2*I)). Какой ток идет в цепи при Е=5 В? При Е=60 В?
2.5. На схеме Е – источник постоянного напряжения. R1=R2=50 Ом. NE – нелинейный
элемент. Его ВАХ описывается выражением U(I) = 30*sqrt(I). При каком напряжении Е
через нелинейный элемент идет ток 0.25 А? Какая мощность тогда на нем рассеивается?
R1
E
NE
R2
К задаче 2.5
2.6. Резистор R1=200 Ом и нелинейный элемент NE соединены последовательно и
подключены к источнику постоянного напряжения Е.
Нелинейный элемент имеет ВАХ: if (i < 0.1) U = 100*i; else U = 9.5+5*i;
Найти напряжение на NE при значениях Е=20 В, Е=50 В, Е=100 В.
R1
E
NE
К задаче 2.6
2.7. Мостовая схема состоит из двух резисторов R=1700 Ом, двух нелинейных элементов
NE, имеющих ВАХ U = 240*(I^0.4) , и источника постоянного напряжения Е. При каком
значении Е вольтметр, включенный в диагональ моста, показывает ноль?
NE
E
R
V
R
NE
К задаче 2.7
21
2.8. Красный Dr и зеленый Dg светодиоды соединены параллельно и подключены к
источнику напряжения E=6 В через резистор R1 = 20 Ом.
Красный светодиод имеет ВАХ if(U<2.0) i=0; else i=0.1*(U-2)
Зеленый светодиод имеет ВАХ if(U<3.0) i=0; else i=0.05*(U-3)
1. Какие токи идут в светодиодах и какое на них напряжение?
2. Какой резистор следует установить последовательно с красным светодиодом, чтобы
токи уравнялись? Какими они станут?
R1
Dr
Dg
E
К задаче 2.8
2.9. Нелинейный элемент ST (стабилитрон) включен параллельно нагрузке R2=300 Ом и
через резистор R1=200 Ом подключен к источнику постоянного напряжения E.
ВАХ стабилитрона:
if (u<8) i = 0; else i = 0.03*( u-8 ).
1. Найти аналитическую зависимость напряжения в нагрузке при изменении входного
напряжения от 0 до 50 В. Построить график этой зависимости. Найти напряжение на
нагрузке и мощность, рассеиваемую на стабилитроне, при E = 25 В.
2. То же для сопротивления нагрузки R2=1000 Ом
R1
R2
U
ST
К задаче 2.9
22
ГЛАВА 3. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ.
МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА.
В двух предыдущих двух разделах рассматривались задачи, в которых было всего три
понятия – ток, напряжение, сопротивление, и три закона связи между ними.
Задачи во многом были похожими. В этом разделе рассматриваeтся более широкий круг
явлений, которыми занимается электротехника. Здесь гораздо больше понятий, больше
применяемых законов физики и, соответственно, больше формул. Общих методов
решения быть не может. Но общие рекомендации при решении любых задач, приведенные
в предисловии, могут облегчить получение результата.
Мы рассмотрим пример расчета простой магнитной цепи:
Задача 1. Два стальных магнитопровода имеют общую обмотку из w=500 витков.
Левый магнитопровод замкнут, имеет сечение S1, длину средней линии l1=200 мм.
Правый имеет сечение S2, длину средней линии l2 = 200 мм и малый по сравнению с
средней линией воздушный зазор l0 = 0.2 мм. При каком значении тока I магнитная
индукция в воздушном зазоре будет В0=0.4 Тл? Какова при этом индукция в железе
левого магнитопровода?
Зависимость магнитной индукции В от напряженности магнитного поля Н для стали
данного сорта (кривая намагничивания) приведена в таблице.
Н
В
А/м
Тл
0
0
100
0.3
200
0.6
400
1
600
1.3
Ф1
800
1.5
RM1
1000
1.6
RM2
2000
1.65
Ф2
IW
RA
1
2
Также эта кривая намагничивания может аппроксимироваться формулой [1], где В
выражается в Тл, Н – в А/м:
В(Н ) = 0.00332*Н – 2.2Е-6*Н^2 + 4.73E-10*H^3
[1]
Рассмотрим правый магнитопровод. Основной закон, связывающий магнитное поле с
током, есть закон полного тока. Благодаря свойствам стали весь магнитный поток,
создаваемый обмоткой, сосредоточен внутри сердечников. Тогда применительно к
правому магнитопроводу закон записывается в следующем виде:
H2*l2 + H0* l0 = I*w
[2]
23
Здесь H2–напряженность магнитного поля в железе, H0 –напряженность и воздушном
зазоре, l2 и l0 длина силовой линии в железе и воздухе соответственно. I – ток в обмотке,
w - число ее витков. Второе соотношение, которым мы можем воспользоваться, равенство магнитных потоков в железе и в зазоре, т. к. зазор мал и «вываливание» поля из
зазора можно не учитывать. Фж = Фв или B2*Sж = В0*Sв
Индукция в зазоре и железе одна и та же (если равны их площади).
Но индукция в воздухе связана с напряженностью поля в воздухе простым соотношением:
B0=0*H0 [3]
где 0 =1.26*10-6 Гн/м – магнитная постоянная.
Итак, индукция в зазоре, заданная условием задачи, 0.4 Тл, в железе тоже В2=0.4 Тл.
Теперь следует найти по таблице или по формуле [1] какой напряженности поля такая
индукция соответствует, т.е. определить Н2 в формуле [2]. После определения Н2 задачу
можно считать решенной.
Обычно таблица, описывающая характеристику, достаточно подробна, и промежуточные
значения можно находить линейной интерполяцией, с помощью простых пропорций.
Нахождение Н2 из формулы [1] требует решения уравнения, как правило, одним из
численных методов.
Приводим решение.
Из [3] следует: Н0= B0/0 = 0.4/1.26Е-6 = 317000 А/м. Из таблицы следует: при В=0.4 Тл
напряженность поля в железе Н2=133 А/м. Подставляя в формулу [2] l2 = 200 мм = 0.2 м,
l0 = 0.2 мм = 0.0002 м, имеем:
I*w = 133*0.2+317000*0.0002 = 26.6+ 63.4=90 А,
откуда: I = 90/500 = 0.18 А
Индукция в левом сердечнике определяется проще. Закон полного тока для него:
H1* l1 = I*w;
Подставляя численные значения, определяем Н1= I*w / l1 = 90/0.2= 450 А/м.
Из таблицы находится индукция: В1= 1.08 Тл
Как видим, тут индукция чуть не втрое больше, чем в правом магнитопроводе.
Мы получили важный результат: крошечный воздушный зазор в толщину листа бумаги
«съел» более 60% намагничивающей силы Iw !
Расчеты с использованием таблицы В(Н) (или такого же графика) совсем просты.
Нахождение Н из формулы [1] при известном значении В гораздо труднее, требует
решения уравнения, как правило, одним из численных методов.
Задача 2 – обратная. По обмотке предыдущей задачи идет ток I=0.25 А. Найти индукцию в
зазоре и в левом магнитопроводе.
24
Все соотношения между током, индукцией и напряженностью поля, разумеется, точно
такие же, но это более трудная задача, если пользоваться таблицей.
Использование алгебраической зависимости В(Н) значительно облегчает решение, когда
вы располагаете хорошим вычислителем и умеете им пользоваться.
Подставляя [3] в [2], и учитывая, что индукция в железе и зазоре одна и та же, получим
Н2*L2 + B2* l2/0 = I*w, и далее
B2 = 0* I * (I*w - Н2* l2) / l0
[4]
выражение [1] переписываем следующим образом:
В2(Н)=0.00332*Н2 – 2.2Е-6*Н2^2+4.73E-10*H2^3
и подставляем в [4]:
0.00332*Н2 – 2.2Е-6*Н2^2+4.73E-10*H2^3 =0* (I*w - Н2* l2) / l0
[5]
Получилось уравнение с одним неизвестным Н2, решить его в данном случае можно
только численно.
Подставив в правую часть исходные данные, и отправив в компьютерный «решатель»,
получим Н2=188 А/м - напряженность поля в правом магнитопроводе. Подставив Н2=188
в выражение [4], получаем решение: В2=0.55 Тл
Для левого сердечника из выражения [3] находится напряженность поля:
H1= I*w/ l1 = 0.25*500/0.2=625 А/м,
и затем, из формулы [1] или таблицы, индукция В1=1.33 Тл
Посмотрим, как решить задачу 2, если у вас нет формулы [1] В(Н) или нет инструментов
для численного решения уравнений. Можно свести задачу 2 к задаче 1. следующим
образом:
Допустим, поле в зазоре B2=0.3 Тл. Какой ток для этого необходим?
Решаем задачу 1, т. е. находим из таблицы ток. I=0.13 А. Сравниваем с исходным
значением - I=0.25 А.
Видно, что В2 следует увеличить («недолет»).
Вторая попытка: зададимся В2=1 Тл. Расчет дает I=0.48 А - это слишком много,
«перелет».
Третья попытка: В2=0.6 Тл требует тока I=0.27 А – цель близка.
Последний «выстрел» - В2=0.55 Тл достигает цели - I=0.25 А.
Итак, В2=0.55 Тл. Задача решена.
Обратите внимание, заданные в начальных условиях площади S1 и S2 не понадобились.
Это объясняется тем, что магнитопроводы раздвинуты и в каждом свой поток. Если их
плотно сдвинуть, будет совсем другая задача, более сложная, и решение будет иное.
Между электрическими и магнитными цепями есть формальная аналогия. Магнитный
поток Ф аналогичен току, намагничивающая сила I*w аналогична ЭДС, первое правило
Кирхгофа похоже на закон сохранения потока, второе правило напоминает закон полного
25
тока, где H*l- аналог падения напряжения. Если ввести понятие магнитного
сопротивления участка магнитной цепи:
RM = l / (S**0)
где L –длина участка, S- площадь потока в нем, - магнитная проницаемость материала,
получим
H* l = Ф* RM
– аналог закона Ома.
Когда магнитная проницаемость участка не зависит от индукции, (как в зазоре или по
условию задачи) магнитное сопротивление – постоянная величина. Участки с железом
аналогичны нелинейным резисторам. Применив эти аналогии, вместо магнитной системы
получим цепь привычного «электрического» вида, как на Рис 2.
ЗАДАЧИ
3.1. На конденсаторе написано 10 мкФ, 300 В. Можно ли использовать его для накопления
заряда 0.1 Кл?
3.2. Во сколько раз изменится емкость конденсатора при уменьшении площади пластин в
2 раза и уменьшении расстояния между ними в 5 раз?
3.3. В импульсной фотовспышке лампа питается от конденсатора емкостью 800 мкФ,
заряженного до напряжения 300 В. Найти энергию вспышки и среднюю мощность лампы,
если длительность вспышки 2.4 мс.
3.4. Расстояние между пластинами заряженного плоского конденсатора уменьшили в 2
раза. Как изменится заряд, напряжение между пластинами, напряженность поля и энергия,
а) если конденсатор отключен от источника?
б) если он подключен к источнику ЭДС?
3.5. Заряженный конденсатор подключен параллельно к такому же незаряженному
конденсатору. Во сколько раз изменилась энергия электрического поля?
3.6. Конденсатор емкостью 1000 мкФ заряжается до напряжения 50 В за 0.2 с. Каково
среднее значение зарядного тока?.
3.7. Плоская прямоугольная катушка со сторонами 10х5 см2 помещена в однородное
магнитное поле с индукцией 0.5 Тл. В катушке 200 витков. Какой максимальный
вращающий момент действует на катушку, если ток в ней 2 А?
3.8. Каково давление магнитного поля на поверхности круглого провода диаметром 1 см,
когда по проводу идет ток 500 кА?
3.9. С какой силой взаимодействуют два тонких параллельных провода длиной 100
метров, когда в каждом идет ток 1000 А? Расстояние между проводами 2 м.
3.10. По горизонтально расположенному проводнику длиной 20 см и массой 4 г идет ток
10 А. Найти индукцию (модуль и направление) магнитного поля, в которое нужно
поместить проводник, чтобы сила тяжести уравновесилась магнитным взаимодействием.
26
3.11. Два тонких ферритовых полукольца со средним радиусом 10 см склеены в кольцо с
зазорами 0.1 мм. Магнитная проницаемость одного полукольца 1000, другого - 2000. На
кольцо навита обмотка из 500 витков, ток в обмотке 0.25 А. Найти магнитную индукцию в
зазорах и полукольцах
3.12. На два сложенных вместе ферритовых кольца средним диаметром 12 см,
поперечным сечением площадью 3 см2 каждого c разными магнитными проницаемостями
(=100, 2=200) навита обмотка из 1000 витков. Ток в обмотке 2 А. Найти магнитную
индукцию в каждом кольце. Какова индуктивность системы?
3.13. На тонкое стальное кольцо диаметром 10 см навита обмотка из 1000 витков. Какой
ток идет в обмотке, если значение магнитной индукции в стали – 1.5 Тл? Зависимость
индукции В от напряженности магнитного поля Н приведена в таблице:
Н
В
(А/м)
(Тл)
0
0
500
0.8
1000
1.1
2000
1.4
4000
1.6
12000
1.85
16000
1.9
3.14. На стальное кольцо высотой 2 см, внешним диаметром 12 см, внутренним диаметром
4 см навита обмотка из 500 витков. Ток в обмотке 2 А. Найти значение магнитной
индукции на внутренней и внешней поверхностях кольца и на средней линии. Вычислить
полный магнитный поток. Зависимость индукции В от напряженности магнитного поля Н
приведена в таблице.
Н
В
(А/м)
(Тл)
0
0
500
0.8
1000
1.1
2000
1.4
4000
1.6
8000
1.75
12000
1.85
16000
1.9
3.15. На стальное кольцо высотой 2 см, внешним диаметром 12 см, внутренним диаметром
4 см навита обмотка из 500 витков. Ток в обмотке 2 А. Найти значение магнитной
индукции на внутренней и внешней поверхностях кольца и на средней линии. Вычислить
полный магнитный поток. Зависимость индукции В от напряженности магнитного поля Н
описывается выражением: B(Н) = 2.43 - 12.9 / H^0.33
3.16*. Магнит дверной защелки шириной 30 мм, толщиной а=3 мм имеет длину средней
линии l=25 мм. Остаточная индукция Br =1 Тл, коэрцетивная сила Нс=50000 А/м. Кривая
размагничивания, приведенная на левой части чертежа, аппроксимируется выражением:
if (H < -Hc) B = 0; else B = 1.15*sin(1.57*(H+Hc) / (1.5*Hc)) Тл
Найти индукцию в зазоре d=0.1 мм. С какой силой магнит притягивает стальную
пластинку, если зазор d=1 мм? Какова индукция в этом зазоре? Магнитным
сопротивлением пластинки и вываливанием поля в зазоре пренебречь.
l
B
Br
1
a
0.5
N
S
d
A/m
H
Hc
0
50000
К задаче 3.16
27
ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Цепи переменного тока - это цепи, в которых у источника напряжения напряжение
изменяется во времени. (Источники тока в задачах этого раздела не встречаются). Если
электрическая цепь содержит только источники синусоидального напряжения и
постоянные резисторы, расчет цепей ничем не отличается от расчета в цепях с
постоянными источниками. Генератор переменного тока просто заменяется постоянным
источником, напряжение которого в 1.41 раз меньше амплитуды переменного.
Если же в цепях есть конденсаторы и элементы с индуктивностью, появляются отличия.
Источники вырабатывают энергию и передают ее в цепь. Резисторы всегда поглощают
энергию из цепи и, преобразуя ее в механическую работу, тепло, свет и пр., рассеивают
во внешнее пространство. Конденсаторы и индуктивные элементы могут накапливать
энергию, но выводить ее из цепи не могут. В определенные интервалы времени они сами
становятся источниками, а накопленная энергия рассеивается на резисторах или
возвращается в генератор. Физические процессы значительно усложняются, для их
описания применяются дифференциальные уравнения. Аналитическое решение этих
уравнений - процесс трудоемкий даже для простых схем, а для сложных часто
практически невозможный.
В цепях с чисто синусоидальными генераторами решение дифференциальных уравнений
можно свести к решению тригонометрических уравнений. Это становится возможным при
установившемся режиме, когда все токи и все напряжения между любыми точками также
изменяются по синусоидальному закону. Решение системы тригонометрических
уравнений в общем виде тоже практически нереально. Использование математического
аппарата комплексных чисел заменяет синусоидальные величины числами на
комплексной плоскости, и тогда уравнения становятся алгебраическими и
алгебраическими же методами и решаются. Замечательное достоинство такой замены в
том, что уравнения можно представить еще и в наглядной графической форме - в виде
векторных диаграмм. Для многих задач этой главы векторные диаграммы можно
построить сразу, и из их анализа получить результат.
Основным методом расчета линейных цепей переменного тока является символический
метод, основанный на применении комплексных чисел и их свойств.
Напомним эти свойства, подробно описанные в курсах математики.
1. комплексное число Z = X + jY изображается вектором и состоит из двух частей:
действительной и мнимой. Такая форма записи называется алгебраической. Число
может записываться также в тригонометрической и в показательной форме:
Z = X + jY = M*(cos  +jsin   M*ej
[1]
При показательной форме записи M
- длина вектора, проекция которого на
j
действительную ось х равна Х, а проекция на мнимую ось у равна Y, множитель e поворотный. Он показывает, что вектор Z повернут на угол
 относительно
положительного направления действительной оси.
Тригонометрическая форма
демонстрирует, как алгебраическая форма связана с показательной.
Действительная часть обозначается Re(Z) = X = M*cos , мнимая часть - Im(Z) = Y =
= M*sin . Здесь j - мнимая единица, М – модуль или абсолютная величина
комплексного числа,  - аргумент комплексного числа. Связь между X, Y, M,  такая же,
что и между катетами X, Y и гипотенузой M прямоугольного треугольника или
декартовыми координатами и полярными координатами точки на плоскости:
M = sqrt( X^2 +Y^2); atan (Y/X)
[2]
28
2
3
4
Два комплексных числа равны, если их действительные и мнимые части порознь
равны между собой;
При сложении двух комплексных чисел их действительные и мнимые части
порознь складываются;
При умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы
алгебраически складываются.
Из выражения [1] следуют соотношения, которые удобно использовать
преобразовании вектора из алгебраической формы в показательную и обратно:
exp( j90o) = j; exp(- j90o) = - j;
exp(j180o) = -1;
при
exp( j0o) = 1;
В уравнениях Кирхгофа фигурируют комплексные токи, комплексные напряжения и
комплексные сопротивления. В электротехнике принято считать, что модуль
комплексного тока и модуль комплексного напряжения в sqrt(2) = 1.41 раз меньше
амплитуды, т.е. равен их действующему значению. Комплексное сопротивление резистора
имеет только действительную часть R. Комплексное сопротивление индуктивности L
имеет только мнимую часть XL = jL. Комплексное сопротивление емкости С тоже имеет
только мнимую часть XС = 1/jС = - j/С. L и 1/С называются соответственно
индуктивным и емкостным сопротивлением. Термины общепринятые, но не слишком
удачные.
Следует твердо уяснить: L - это не сопротивление индуктивности, а коэффициент
пропорциональности между амплитудой (действующим значением) напряжения на
индуктивности и амплитудой (действующим значением) тока в ней. Этот коэффициент
имеет размерность сопротивления, т.е измеряется в омах .
Закон Ома для участка цепи с индуктивностью: U = I*XL = j*I*L отражает
фундаментальное свойство: напряжение на индуктивности опережает ее ток на  или
на 90 градусов, или на четверть периода синусоиды. К примеру, при максимальном
напряжении на индуктивности ток в ней нулевой.
Аналогично, закон Ома для емкости U = I*XС = -j*I/С. 1/С – тоже коэффициент
пропорциональности, а не сопротивление. Напряжение на емкости отстает от тока в ней
на 90 градусов.
Традиционно (от счетных линеек и чертежных инструментов) в инженерных расчетах
углы измеряются в градусах, хотя работать с радианами гораздо удобней. Все языки
программирования и расчетные системы оперируют радианами. 1 радиан = 180/3.14=57.3 o
Для иллюстрации рассмотрим задачу:
Е- источник переменного напряжения 60 В, частотой f = 20 кГц. Схема имеет следующие
параметры: R1=24 Ом, R2=110 Ом, R3=51 Ом, С=39 нФ, L=500 мкГн. Найти значения
токов во всех ветвях и напряжение в точке A. Что покажет вольтметр, включенный между
точками B и D?
R1
O
A
L
C
~E
B
R2
D
R3
G
29
1. Первым делом следует определить индуктивное и емкостное сопротивления.
XL = 2**f*L = 2*3.1416*20000*500*e-6 = 62.8 Ом
XC = 1/(2**f*C) = 1/(2*3.1416*20000*39*e-9) = 204 Ом
2. Как и при расчетах цепей постоянного тока, обозначаются токи, задаются их
направления и направления обходов контуров для записи законов Кирхгофа.
Контур Е, R1, C, R2, E по часовой стрелке:
I1*R1 - j*I2*XC + I2*R2 = E ;
24*I1 - j204*I2 + 110*I2 = 60
[3]
Контур Е, R1, L, R3, E по часовой стрелке:
I1*R1 + j*I3*XL + I3*R3 = E;
24*I1 + j62.8*I3 + 51*I3 = 60
[4]
Узел А:
I1 - I2 - I3 = 0
[5]
Мы получили систему 3-х уравнений, причем Е, I1, I2, I3 - в общем случае комплексные
числа, каждое из которых состоит из действительной и мнимой частей.
3. Теперь из этой системы уравнений следует создать 2 системы, раздельно для
действительной и мнимой части, помня, что:
I1 = I1r + j*I1i; I2 = I2r + j*I2i;
I3 = I3r + j*I3i
Тогда выражение [3]:
24*(I1r + j*I1i) - j204*( I2r + j*I2i) + 110*( I2r + j*I2i) = 60;
распадается на 2 части:
24*I1r + 204*I2i + 110*I2r = 60 ;
j*(24*I1i - 204*I2r + 110*I2i) = 0
[6]
[7]
Выражение [4]:
24 * (I1r + j*I1i) + j62.8*( I3r + j*I3i) + 51*(I3r + jI3i) = 60;
тоже распадается на 2 части:
24*I1r - 62.8*I3i + 51*I3r = 60;
j*(24*I1i + 62.8*I3r + 51*I3i) = 0
[8]
[9]
Выражение [5] I1 - I2 - I3 = 0; распадается на
I1r - I2 r - I3r = 0;
j*( I1i - I2i - I3i) = 0;
[10]
[11]
В уравнениях [6-11] курсивом выделены действительные части, мнимые подчеркнуты.
Разумеется, в уравнениях [7, 9, 11] мнимую единицу j можно сократить.
30
4. Полученную систему из 6-и уравнений иначе, чем численно, решить нереально. Введя
ее в «решатель» (справится даже TechCalc, он берет до 6-и линейных уравнений) имеем:
I1 = 0.503 - j0.225 = 0.551*exp(-24.1o)
I2 = 0.0777 + j0.193 = 0.208*exp(68.1o)
I3 = 0.425-j0.418 = 0.596*exp(-44.5o)
5. Проверка на баланс активных мощностей дает:
Активная мощность источника: Ре = Е* I1r = 60*0.503 = 30.18 Вт
Мощность, рассеянная на резисторе R1: Р1 = 24* 0.551^2 = 7.29 Вт
Мощность, рассеянная на резисторе R2: Р2 = 110* 0.208^2 = 4.75 Вт
Мощность, рассеянная на резисторе R3: Р3 = 51* 0.596^2 = 18.1 Вт
Суммарные потери: Р1 + Р2 + Р3 = 30.15 Вт = Ре Баланс сошелся, расчеты верны.
Следовало бы проверить баланс реактивных мощностей, но мы не будем.
Приведенная технология расчетов имеет то преимущество, что трудоемкость метода
мало зависит от числа контуров обхода и числа токовых узлов, - т.е. от сложности схемы.
Мы сознательно удвоили количество уравнений, потому что «не нам их решать»
Если же обратиться к учебникам по теоретической электротехнике, мы увидим, что там
до сих пор подробно излагаются методы уменьшения числа уравнений – метод контурных
токов, узловых потенциалов, преобразование треугольник-звезда и др. При расчетах на
калькуляторе, а тем более на линейке, такие приемы действительно многократно
уменьшают число выполняемых операций, но все-таки трудоемкость ручных расчетов
остается слишком высокой даже для простых схем, подобно рассмотренной. Упрощение
схем, эффективное при расчете цепей постоянного тока, в общем случае заметной
экономии времени не дает, поскольку возврат к исходной системе тоже трудоемкий.
При любом методе расчетов численные результаты лишены наглядности. Желательно
представить результаты в графической форме с помощью векторных диаграмм.
B
I2
I3
E
O
U R1
UL
UR1
A
O
UC
A
E
U R2
D
I1=I2+ I3
[5]
U R3
E
A
O
I1
B
U R3
UL
UR2
UC
D
I1*R1+j*I3*XL+I3*R3 = E [4]
I1*R1-j*I2*XC+I2*R2 = E [3]
На левой фигуре изображена диаграмма токов в узле А – графическая форма уравнения
[5] Для построения диаграмм напряжения необходимо выполнить подготовительные
вычисления:
UR1=I1*R1=13.2*exp(-j24.1o); UR2=I2*R2=22.9*exp(j68.1o); UR3=I3*R3=30.4*exp(-j44.5o);
UL=I3*XL=37.4*exp(j45.5o) ; UC=I2*XC=42.4*exp(-j21.9o)
31
Тогда средняя верхняя диаграмма иллюстрирует обход контура - R1,-L,- R3-.E, или
уравнение [4], нижняя средняя - обход контура - R1,-С,- R2-E. или уравнение [3], .
Не в ущерб наглядности диаграммы можно совместить, что показано на фигуре справа.
Еще раз подчеркнем: диаграмма - это графическая форма уравнений Кирхгофа.
Большинство задач этого раздела можно решить графически - диаграммы строятся не
на основе полученных расчетов, а, наоборот, расчеты проводятся при анализе
построенной на основе схемы диаграммы. Электротехническая задача сведется к
геометрической, т. е. к решению треугольников, и ее легко разбить на простые этапы.
Длины векторов, т.е. токи и напряжения, а также углы между ними (фазовые сдвиги)
абсолютно реальны.
И не надо никаких мнимых чисел!
Диаграммы рисуются на глазок, без особого
соблюдения масштабов и углов, затем геометрическими методами углы и длины векторов
вычисляются точно в соответствии с исходными данными.
Начинать следует с
построения какого-то вектора с произвольным направлением, принять его за базовый (мы
взяли за базовый вектор Е), и последующие построения выполнять относительно него.
Полезно при этом поворачивать лист, на котором строится диаграмма, чтобы было проще
отсчитывать углы. Главная формула для решения треугольников - теорема косинусов:
А2 = В2 + С 2 - 2ВCcos(BC)
(A, B,C стороны, BC – угол между В и С)
При угле BC = 90о формула становится теоремой Пифагора.
Несколько правил при построении векторных диаграмм:
 - Фигура должна быть замкнутой – вы имеете дело с уравнением;
 - Углы отсчитываются против часовой стрелки;
 - Ток в индуктивности отстает на 90 градусов от своего напряжения;
 - Напряжение на емкости отстает на 90 градусов от своего тока;
 - Напряжение на резисторе параллельно своему току;
 - Свойства тригонометрических функций надо знать назубок.
Для нашей задачи, например, напряжение в точке А – это вектор из точки А в точку
«земля». На глаз это напряжение UA ~ 45*exp(j5o) (5.7o - это уклон 10%)
Точное значение:
MA= sqrt ((13.2*sin(24.1o) ) ^2+(60-13.2*cos(24.1o) )^2) = sqrt (5.4^2+48^2) = 48.5;
A =atan (5.4/48) = 6.4o.
Итак, точное решение: UA = 48.5*exp(j6.4o)
Напряжение между B и D - вектор между этими точками. Его длину можно сравнить с
длиной вектора Е=60 В и предположительно оценить в 40 В. Точный расчет даст 44.5 В.
Предположим, в нашей задаче R1=0. Легко видеть, что схема станет чисто мостовой,
вектор OА стянется в точку, а векторная диаграмма превратится в два прямоугольных
треугольника с общей гипотенузой Е=60 В и известным соотношением между длиной
катетов.(т.е. соотношением сопротивлений) В верхнем треугольнике это соотношение
62.8 : 51, в нижнем – 204 : 110. Рассчитать все токи и напряжения можно даже без
составления уравнений за пару минут на любом калькуляторе.
32
В некоторых задачах на схемах расставлены амперметры и вольтметры. Они
показывают среднеквадратичное или действующее значение измеряемого тока и
напряжения. Причем показывают только модуль, т.е. только длину вектора на диаграмме
при любом его направлении. Поэтому законы Кирхгофа (в арифметической форме) для
показаний приборов не выполняются!
Однако построить векторную диаграмму и проводить дальнейшие расчеты по показаниям
приборов возможно.
На изображенных ниже примерах рядом с приборами приведены их показания. Они
всегда положительны. V3 и A3 показывают геометрическую сумму своих составляющих.
V3 = V2 –V1 = 1
V3 = sqrt (V1^2 + V2^2) = sqrt ( 9+16 ) = 5
V3
R
V1
3
C
5
V3
C
L
V2
V2
3
4
C
A1 3
R
C
V1
4
1
A1
3
A3
A2
5
5.83
A3 = sqrt (A1^2 + A2^2) = sqrt ( 9 + 25) = 5.83
A3
L
1
A2
4
A3 = A2 – A1 = 1
ЗАДАЧИ
4.1. 1) Емкостное сопротивление конденсатора на частоте 400 Гц составляет 500 Ом.
Какова емкость конденсатора?
2) В катушке, подключенной к источнику переменного напряжения 380 В, 50 Гц,
установился ток 0.2А. Найти индуктивность катушки. Омическим сопротивлением
пренебречь.
4.2 1) В розетку 220 В, 50 Гц включена индуктивность 3.5 Гн. Найти ток в цепи.
2) В розетку 220 В, 50 Гц включена емкость 2 мкФ. Найти ток в цепи.
3) В розетку 220 В 50 Гц последовательно включены конденсатор емкостью 2 мкФ и
индуктивность 3.5 Гн. Найти ток в цепи.
4) В розетку 220 В 50 Гц параллельно включены и индуктивность 3.5 Гн и емкость 2 мкФ.
Найти ток в каждой ветви и общий ток.
4.3. К источнику напряжения u = 200*sin(1000*t) подключена катушка, ток в которой
описывается выражением: i = 11*sin(1000*t - 57°). Найти индуктивность и активное
сопротивление катушки.
4.4. Заданы мгновенные значения токов i1=12sin(314t-60°), i2=8sin(314t-150°),
i3=10cos(314t+30o). Построить векторную диаграмму токов, а также графики их
мгновенных значений (волновую диаграмму).
33
4.5. Мгновенное значение тока i = 282sin(314t-30°). Привести выражение для
комплексной амплитуды и комплексного действующего значения этого тока в
показательной, тригонометрической и алгебраической формах.
4.6. На схеме Е – генератор синусоидального напряжения амплитудой 200 В.
Конденсаторы имеют емкости C1=4 мкФ и C2=6 мкФ. Приборы показывают
среднеквадратичное значение V=50 В, A=1А. На какой частоте работает генератор?
C1
R
E
V
C2
A
К задаче 4.6
4.7. Е - генератор переменного напряжения. С1=5 мкФ, С2=10 мкФ, С3=3 мкФ,
С4=2мкФ. Показания приборов: V=24 В, A=0.6 A. На какой частоте работает генератор?
Какое напряжение в точке D относительно земли?
C1 C2
V
D
C3
~E
C4
A
К задаче 4.7
4.8. На схеме Е – источник переменного напряжения 220 В, 50 Гц. Значения
компонентов: R1=200 Ом, R2=300 Ом, L1=0.5 Гн, L2=0.1 Гн. Построить векторную
диаграмму напряжений, найти модуль тока в цепи и модуль напряжения между точками
А и В.
A
L1
R1
~E
R2
L2
B
К задаче 4.8
34
4.9. Составить принципиальную схему, векторная диаграмма которой изображена на
чертеже.
U4
U3
U2
U5
U6
U1
U7
E
I
К задаче 4.9
4.10. Конденсатор емкостью 0.5 мкФ через резистор 300 Ом подключен к источнику
переменного напряжения 110 В, 2000 Гц. Какая мощность выделяется в сопротивлении?
4.11. Для расчета изображенной схемы символическим методом задать направления токов
и составить системы уравнений Кирхгофа, раздельно для действительных и мнимых
составляющих токов. Полагать численные значения активных и реактивных
сопротивлений, а также величину и начальную фазу источника известными.
C1
R1
R2
L1
C2
~E
К задаче 4.11
4.12. Для расчета изображенной схемы символическим методом задать направления токов
и составить системы уравнений Кирхгофа, раздельно для действительных и мнимых
составляющих токов. Полагать численные значения активных и реактивных
сопротивлений, а также величину и начальную фазу источников известными.
L1 C1
~E1
R1
~E2
R2
К задаче 4.12
4.13. Для расчета изображенной схемы символическим методом задать направления токов
и составить системы уравнений Кирхгофа, раздельно для действительных и мнимых
составляющих токов. Полагать численные значения активных и реактивных
сопротивлений, а также величину и начальную фазу источников известными.
35
C1
~E3
L1
R1
~E1
~E2
R2
К задаче 4.13
4.14. На схеме Е - источник переменного напряжения. Показания приборов : А1=5 А,
А2=8 А, А3=4 А. Что покажет амперметр А0? Что он покажет, если А1=8А, А2=8 А,
А3=4 А.?
A0
C
R
L
~E
A1
A2
A3
К задаче 4.14
4.15. На схеме ~Е источник переменного напряжения 400 В. R1=R2=XC=XL = 200 Ом.
Найти токи во всех ветвях и напряжение между точками А и В.
C
~E
L
A
B
R1
R2
К задаче 4.15
4.16. На схеме ~Е источник переменного напряжения с действующим значением 200 В.
Частота - 50 Гц. С=3 мкФ, L=5 Гн,R1=R2= 1000 Ом. Найти токи во всех ветвях цепи и
модуль напряжения между точками А и В.
C
~E
L
A
B
R1
R2
К задаче 4.16
36
4.17. Е – источник переменного напряжения. Параметры цепи: R=XC=XL=50 Ом. При
каком напряжении источника Е ток через резистор равен 2 А? Что в этом случае покажет
амперметр?
C
L
~E
R
A
К задаче 4.17
4.18. На схеме Е - источник переменного напряжения. Схема имеет следующие
параметры: E=100 В, R=XС=XL = 5 кОм. Какая мощность выделяется в резисторе?
L
R
E
C
К задаче 4.18
4.19. На схеме Е - источник переменного напряжения 60 В. Схема имеет следующие
параметры: R1=2 Ом, R2=R3=XC=XL=10 Ом. Найти токи во всех ветвях и напряжения в
точке A, а также между B и D.
A
R1
L
C
~E
B
D
R3
R2
К задаче 4.19
4.20. Е- источник переменного напряжения 100 В, 100 Гц. R1=100 Ом, С=10.6 мкФ. При
каком значении резистора R2 выделяемая на нем мощность будет максимальна?
Чему она равна?
C1 R1
~E
R2
К задаче 4.20
4.21. Е - источник переменного напряжения 140 В. Реактивные сопротивления
элементов: XL1=50 Ом, XC1=60 Ом, XL2=80 Ом, XC2=100 Ом. Какой ток идет через
источник? Что покажут вольтметры, подключенные к точкам А и В?
37
L1
C1
A
C2
~E
V1
B
V2
L2
К задаче 4.21
4.22* Е - источник переменного напряжения 100 В. Амперметры показывают одинаковые
значения 1А. Какова величина резистора?
A0
L
R
C
~E
A1
A2
К задаче 4.22
4.23. На мостовой схеме Е - источник переменного напряжения 200 В. R1= R2 = 1.73 кОм,
XC1 = XC2 = 1 кОм. Что покажет вольтметр, включенный между точками А и В? Какая
мощность выделяется в резисторе R1?
R2
C1
~E
A
R1
B
V
C2
К задаче 4.23
4.24. На мостовой схеме Е- источник переменного напряжения 200 В. R1= 1.73 кОм, R2=1
кОм, XC1=1 кОм. XC2=1.73 кОм. Что покажет вольтметр, включенный между точками А
и В? Какая мощность выделяется в резисторе R2?
R1
~E
A
C1
R2
V
B
C2
К задаче 4.24
38
4.25. Катушка без сердечника через резистор R1 подключена к генератору переменного
напряжения 24 В, 50 Гц. Показания приборов: А=0.5 А, V1=15 В, V2=16 В. Найти
индуктивность катушки.
R1
A
V1
~E
L, R
V2
К задаче 4.25
4.26. На схеме Е- генератор высокой частоты с постоянной амплитудой. R1= 19 кОм, R2=1
кОм, С1=2000 пФ. При каком значении С2 амплитуда напряжения в точке А не зависит от
частоты генератора? (т.е. АЧХ плоская)
C1
R1
~E
A
R2
C2
К задаче 4.26
4.27. Е – источник переменного напряжения 141 В. R=20 Ом, XC=XL= 20 Ом. Найти ток
через емкость и напряжение на индуктивности.
C
R
~E
L
К задаче 4.27
4.28. На схеме ~Е - источник переменного напряжения. Вольтметры V1,V2,V3,V4
показывают одинаковое значение 50 В. Что покажет вольтметр V5? Какова величина Е?
V1
V2
L1
R1
V5
R2
L2
V3
V4
~E
К задаче 4.28
39
4.29. На схеме Е - источник переменного напряжения 120 В.. Схема имеет следующие
параметры: R2=R3=2 Ом , XC=XL=20 Ом. При какой величине резистора R1
напряжение в точке А будет 100 В? Найти при этом токи во всех ветвях и напряжение
между точками B и D.
A
R1
C
B
~E
L
D
R3
R2
К задаче 4.29
4.30 Конденсатор и катушка индуктивности соединены последовательно и подключены к
сети 220 В, 50 Гц. Напряжение на конденсаторе 380 В. Чему равно напряжение на
катушке, если в цепи резонанс напряжений?
4.31 Конденсатор, резистор R=10 кОм и катушка индуктивности L=200 мкГн соединены
параллельно и подключены к источнику переменного напряжения U=50 В, f= 200 кГц.
Какой должна быть величина емкости, чтобы в цепи возник резонанс токов? Найти общий
ток и ток в каждой из ветвей при резонансе. Потери в катушке не учитывать.
4.32. В трехфазном приемнике энергии R1=55 Ом, R2=R3=100 Ом. Фазное напряжение
220 В. Определить показания амперметров.
N
A0
A
A1
B
A2
C
A3
R1
R2
R3
К задаче 4.32
4.33*. В трехфазном приемнике энергии R1=R2=R3=100 Ом. Линейное напряжение 380 В.
Определить показания амперметров при следующих условиях:
1- равномерная нагрузка; 2 - короткое замыкание R1 и обрыв нулевого провода;
3 - обрыв резистора R1 и наличие нулевого провода; 4- обрыв резистора R1 и нейтрали.
N
A0
A
A1
R1
R2
B
A2
C
A3
R3
К задаче 4.33
40
4.34 В трехфазном приемнике каждый из фазных токов равен 5 А. Что показывают
амперметры?
A
B
R
A1
C
C
C
N
A0
К задаче 4.34
41
ГЛАВА 5. НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ТОКИ
Почти все задачи этого раздела решаются графическими методами. Графики могут
строиться вручную, затем из анализа находятся ответы на поставленные вопросы.
Использование вычислительных программ или хороших калькуляторов, разумеется,
значительно ускоряет получение результатов.. Часть задач может быть решена так
называемым графоаналитическим методом. Суть его в том, что из физических
соображений строится качественный график процесса. Потом из графика находится
точное решение математическими методами. При этом не имеет особого значения,
численным ли расчетом достигнут результат, или выведена формула решения.
Наглядность решения обеспечивается графиками. В качестве примера рассмотрим задачу:
Аккумулятор ACC напряжением Uа=12 В заряжается от источника переменного
напряжения ~E амплитудой Аs= 30 В через резистор R=3 Ом и идеальный диод D.
Нарисовать диаграмму тока в цепи и рассчитать его среднее значение.
R
D
~E
ACC
Напряжение аккумулятора всегда 12 В. Ток в цепи идет, когда мгновенное напряжение
источника переменного напряжения превышает напряжение аккумулятора.(участок под
«шапкой» верхней синусоиды между штриховыми линиями) Его значение определяется
простым выражением:
if ((x>x1) & (x<x2)) i = (As*sin(x) - Ua)/R ; else i = 0
где х = t, а х1 и х2 – решение уравнения
[1]
As*sin(x) = Ua.
[2]
U
As
Ua
0


t
i
i ср
x1
x2
t
Средний ток по определению:
icp = (integrate(i(x), dx, from x1 to x2)) / 2
[3]
На графике заштрихованный прямоугольник равновелик площади полуволны тока i.
( жирная линия.) Подставим [1] в [3]:
Icp = (integrate ((As*sin(x) - Ua) / R, dx, from x1 to x2)) / 2 [4]
Теперь можно подставлять численные значения. Прежде всего, решить уравнение [2]:
42
30*sin(x) = 12. Расчет дает: х1 = 0.41, х2 =  - х1 = 2.73
Интеграл можно вычислить вручную:
icp = (30*(cos(0.41 - cos(2.73)) -12*(2.73-0.41) / 3 / 2  
Задача решена.
ЗАДАЧИ
5.1. Построить график несинусоидального напряжения:
U(t) = 10*(sin(314*t) - (1/9)*sin(3*314*t) ) + (1/25)*sin(5*314*t) - (1/49)*sin(7*314*t)) В
Найти его амплитуду.
5.2. Построить график несинусоидального тока:
I(t) = 10*(sin(314*t) + (1/3)*sin(3*314*t) )+(1/5)*sin(5*314*t)+(1/7)*sin(7*314*t)) А
Найти его амплитуду.
5.3. Построить график несинусоидального тока: I(t) = 10*(sin(314*t) + sin(350*t) ) А
Найти его амплитуду.
5.4. К нелинейный элементу с ВАХ: i(u) = 10*arctg(u) приложено переменное напряжение
амплитудой 15 В, частотой 50 Гц. Построить график тока и найти его амплитуду.
5.5. К нелинейный элементу с ВАХ: i(u) = 10*tg(u) приложено переменное напряжение
амплитудой 0.95 В, частотой 50 Гц.. Построить график тока и найти его амплитуду.
5.6. Источник переменного напряжения Е1=220В и источник постоянного напряжения
Е2=110В соединены последовательно и подключены к нагрузке R=220 Ом. Какая
мощность выделяется в резисторе?
5.7. Генератор пилообразного напряжения амплитудой 100 В. нагружен на резистор 100
Ом. Какая мощность выделяется в резисторе, и какой средний ток через него?
U
100
0
t
К задаче 5.7
5.8. Е – источник переменного напряжения 180 В. R1=R3=100 Ом, R2=200 Ом. Найти
мощность в каждом резисторе, если диоды идеальны.
R1
R2
R3
~E
К задаче 5.8
43
5.9. На схеме - Е1 - источник постоянного напряжения 180 В, ~Е2 источник переменного
напряжения с действующим значением 100 В. Реактивное сопротивление индуктивности
XL=40 Ом, R1=R2=60 Ом. Какая мощность выделяется в резисторах R1 и R2? Что
показывает амперметр?
L
R1
~E2
R2
E1
A
К задаче 5.9
5.10. Аккумулятор ACC напряжением 12 В заряжается от источника переменного
напряжения E амплитудой А= 24 В через резистор R=2 Ом и идеальный диод D.
Нарисовать диаграмму тока в цепи и рассчитать его среднее значение.
D
R
~E
ACC
К задаче 5.10
44
ГЛАВА 6. ВЗАИМОИНДУКЦИЯ. ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА СО СТАЛЬЮ.
ТРАНСФОРМАТОРЫ.
Задачи этого раздела опираются на достаточно обширный теоретический материал.
Для их решения потребуются все методы расчетов, которые применялись в предыдущих
разделах пособия.
В некоторых задачах встречаются идеальные трансформаторы. Идеальный трансформатор
имеет нулевой ток холостого хода, нулевые потери и нулевой поток рассеяния.
Пример, разбор которого приведен ниже, можно считать типовой задачей.
Е - источник переменного напряжения 100 В, частотой f = 15923 Гц, Емкость C= 6.7 нФ.
Индуктивности L1= 1 мГн, L2 = 25 мГн связаны общим потоком, коэффициент
взаимоиндукции М = 4 мГн. R1 = 100 Ом, R2 = 0 (пренебрежимо мало).
1. Какой ток идет через L1 при разомкнутом ключе?
2. Какой ток установится в L1 и L2, если ключ замкнуть?
3. Что в каждом случае показывает вольтметр и амперметры?
R1
~E
I1
L1
A1
M
R2
K
L2
V2
A2
C
I2
С точки зрения метода решения - это задача расчета цепи переменного тока.
1. Вначале находим численные значения реактивных сопротивлений:
XL1 = 2**f*L1 = 100 Ом, XL2 = 2**f*L1 = 2500 Ом, XM = 2**f*M = 400 Ом; XC =
1/(2**f*C) = 1500 Ом
2. Далее обозначаются направления токов, обхода контуров и записываются уравнения
Кирхгофа. Все токи – комплексные числа. Если ключ К разомкнут, ток I2 равен нулю:
Левый контур по часовой стрелке:
I1*R1 + jXL1*I1 = E
[1]
Правый контур по часовой стрелке: Тока во втором контуре нет.
Напряжение в индуктивности L2 наводится за счет взаимоиндукции М:
V2 = jXM*I1
[2]
3. Решение записываем сразу:
I1 = E / (R1 + jXL1)
[3]
I1 = 100/(100+j100) = 100/(141*exp(j45o) = 0.707* exp(-j45o)
V2 = jXM*I1 = j400*0.707* exp(-j45o) = 282* exp(j45o)
[4]
Итак, если ключ разомкнут, ток в первичной цепи А1=0.71 А, на вольтметре V2=282 B.
Напряжение на резисторе R1: UR1 = I1*R1 = 71*exp(-j45o);
Напряжение на индуктивности L1: UL1 = I1*XL1 = 71*exp(j45o);
Рассмотренная система является трансформатором в режиме холостого хода
Векторная диаграмма совсем проста:
45
E=100 B
U
R1
I1
U L1
V2=282 B
4. Если ключ К замкнут, наведенное в L2 переменное напряжение создаст ток I2. Ток I2
создаст собственный поток в индуктивности L2. Часть этого потока сцепится с
индуктивностью L1 и наведет в первом контуре ЭДС взаимоиндукции. В соответствии с
правилом Ленца эта ЭДС противодействует изменению магнитного потока в контуре 1.
Запишем систему уравнений:
Левый контур по часовой стрелке:
I1*R1 + jXL1*I1 - jXM*I2 = E
[5]
Правый контур по часовой стрелке
jXL2*I2 - jXС*I2 = jXM*I1
[6]
Из [6] выделяется:
I2 = I1*XM / (XL2-XC)
[7]
и подставляется в [5]:
I1*R1 + jXL1*I1 - jXM* I1*XM / (XL2-XC) = Е
[8]
Тогда ток в первом контуре:
I1 = Е /(R1+jXL1 - jXM* XM/(XL2-XC) ) = E / Z
где Z = R1 + jXL1 - jXM* XM/(XL2-XC) = R1 + jXL1 + jX2
[9]
[10]
X2 = XM*XM / (XL2-XC)
[11]
Получены сравнительно простые выражения, займемся их анализом.
Z – комплексное сопротивление из трех компонентов, на которое нагружен источник E.
Оно содержит действительную составляющую R1 и две мнимых - XL1 и X2,
причем
третью компоненту Х2 можно считать вносимым из второго контура сопротивлением. В
зависимости от соотношения между L2, C и M вносимое сопротивление X2 принимает
различные значения и меняет знак. Если второй компонент больше третьего, вся схема
имеет индуктивный характер, если XL1<X2 – емкостной характер. Если XL1 = -X2, Z=R1,
т.е. источник питания «не видит» ни индуктивностей, ни емкости, только резистор R1.
В первичной цепи будет максимально возможный ток, что соответствует режиму
последовательного резонанса напряжений.
Если XL2 = XC, третий компонент Х2 становится бесконечным, а вместе с ним и все
комплексное сопротивление Z. Тогда ток в первичной обмотке стремится к нулю, а во
вторичной цепи возникает резонансный контур без потерь и ток там стремится к
бесконечности. Однако при нулевом первичном токе магнитного потока нет, а если его
нет, то нет ни самоиндукции, ни взаимоиндукции, ни вторичного тока. Налицо парадокс!
Выход из этого противоречия в том, что в рамках нашего метода расчетов при
резонансе пренебрегать потерями в контуре (R2=0) нельзя! Иначе после замыкания
ключа установившийся процесс не наступит никогда. Источник Е будет бесконечно долго
закачивать во второй контур бесконечно большую энергию.
Если же величина емкости бесконечна (что равнозначно перемычке вместо С) схема
представляет собой трансформатор в режиме короткого замыкания.
Из выражения [8] можно построить эквивалентную схему первого контура, а из
выражения [6] эквивалентную схему второго контура, где Е2= jXM*I1.
46
Вернемся к исходным данным задачи для нахождения токов и напряжений.
R1
L2
I1
~E
L1
X2
~E2
V2
C
I2
1
2
Из выражения [6] находятся соотношение:
I2 = I1*XM / (XL2-XC) = I1*400 / (2500-1500) = 0.4*I1
[12]
X2 = XM*XM / (XL2 - XC) = 160 Ом
Подставив численные значения в [9], получаем в первом контуре:
 Первичный ток: I1 = 100/(100+j100-j160) = 0.857*exp(j31o); Тогда I2 = 0.343*exp(j31o); Напряжение на резисторе R1: UR1 = I1*R1 = 86*exp(j31o);
 Напряжение на индуктивности L1: UL1 = I1*XL1 = 86*exp(j121o);
 Напряжение, наведенное из контура 2 током вторичной обмотки:
Ux2 = I1*X2 = -XM*I2 = -j400*0.34*exp(j31o) = 137*exp(-j59o)
Во вторичном контуре:
 Напряжение E2= I1*XM =343*exp(j121o); Ток I2 = 0.343*exp(j31o);
 Напряжение на индуктивности UL2 = XL2*I2 = j2500*0.343*exp(j31o) = 857*exp(j121o);
 Напряжение на емкости Uс = -jXС*I2 = -j1500*0.343* exp(j31o) = 514*exp(-j59 o);
 Вольтметр покажет V2 = Uc = 514 В, амперметр А2=0,34 А.
На изображенных ниже диаграммах векторы слегка сдвинуты для наглядности. На правой
диаграмме, построенной в уменьшенном масштабе, нанесен источник Е.
UL2=857 V
UL1=86 V
UX2=137 V
UR1=86 V
UC=514 V
E=100 V
o
31
E2=343 V
E=100 V
I2=0.34 A
I1=0.86 A
Первичный контур
Вторичный контур
47
ЗАДАЧИ
6.1. Металлический диск диаметром 20 см вращается в магнитном поле с индукцией В=0.4
Тл со скоростью 3000 об/мин. Плоскость вращения перпендикулярна линиям индукции.
Вычислить ЭДС между центром и краем диска.
6.2. Общая индуктивность двух катушек при согласном включении 30 мГн, при встречном
– 24 мГн. Найти взаимную индуктивность.
6.3. Индуктивность двух одинаковых катушек при согласном включении 50 мГн, при
встречном -30 мГн. Найти индуктивность катушки и коэффициент связи.
6.4. На ферритовом кольце навиты две одинаковые обмотки индуктивностью L. Найти
суммарную индуктивность при всех вариантах их соединения. Потоками рассеяния
пренебречь.
*
L
k=1
* L
k=1
*
k=1
*
L
L
L
*
1
L
2
3
*
k=1
* L
L
*
4
К задаче 6.4
6.5. На схеме- Е- источник переменного напряжения 220 В, 50 Гц. L1=0.8 Гн, L2=0.9 Гн.
Коэффициент взаимоиндукции катушек М=0.75 Гн. R=55 Ом. Вычислить ток в цепи при
согласном и встречном включении катушек.
R
M
L2
~E
L1
К задаче 6.5
6.6. На схеме Е- источник переменного напряжения 120 В, 500 Гц. L1= L2=15 мГн, C=5
мкФ. R1=6 Ом, R2=8 Ом. При каком коэффициенте связи между катушками при их
встречном включении в цепи установится режим резонанса? Чему равен ток при этом?
R1
L1
*
~E
C
*
L2
R2
К задаче 6.6
6.7. На схеме Е- источник переменного напряжения 100 В частотой 15923 Гц.
Индуктивности L1= 1 мГн, L2=25 мГн связаны общим потоком; коэффициент
взаимоиндукции М=4.33 мГн. Какой ток идет через L1 при разомкнутом ключе? Какой
ток установится в L1 и L2, если ключ замкнуть?
48
M
L2
~E L1
К задаче 6.7
6.8. На схеме Е - источник переменного напряжения 100 В частотой 15923 Гц.
Индуктивности L1= 1 мГн, L2=25 мГн связаны общим потоком, коэффициент
взаимоиндукции М=4.33 мГн. Какой ток идет через L1 при разомкнутом ключе? Какой
ток установится в L1 и L2, если ключ замкнуть? R=1000 Ом.
M
K
~E L1
R
L2
К задаче 6.8
6.9. На схеме Е - источник переменного напряжения 100 В частотой 15923 Гц.
Индуктивности L1= 1 мГн, L2=25 мГн связаны общим потоком, коэффициент
взаимоиндукции М=4.33 мГн. Какой ток идет через L1 при разомкнутом ключе? Какой
ток установится в L1 и L2, если ключ замкнуть? Решить задачу для двух номиналов
резистора: R=5 Ом и R=1000 Ом
M
R
L2
~E
L1
К задаче 6.9
6.10. Регулятор мощности - простейший магнитный усилитель - представляет собой
трансформаторный магнитопровод с двумя обмотками. Первая обмотка w1 через
сопротивление нагрузки R1=50 Ом подключена к сети переменного тока E=220 В, 50 Гц.
Вторая маломощная обмотка подмагничивания w2 подключена к регулируемому
источнику постоянного напряжения Е2. Если Е2=0, тока во второй обмотке нет, а в
первой идет ток 0.5 А. Если Е2>0, во второй обмотке идет постоянный ток, который
создает дополнительный магнитный поток в железе. Железо насыщается, его магнитная
проницаемость уменьшается, индуктивность первой обмотки L1 при Е2=10 В
уменьшается в 6 раз, первичный ток и мощность в нагрузке возрастают.
Определить коэффициент усиления по мощности, если активным сопротивлением
первой обмотки пренебречь, а сопротивление второй обмотки 100 Ом.
L1 w1
~E
R1
w2
E2
К задаче 6.10
49
6.11. На ленточном кольцевом сердечнике, изготовленном из электротехнической стали
сечением 10 см2, размещена первичная обмотка трансформатора. Сколько витков должна
иметь обмотка, чтобы при подключении к источнику переменного напряжения 500 В,
частотой 50 Гц максимальная индукция в стали не превышала 1.4 Тл?
6.12. На кольцевом ферритовом сердечнике сечением 10 см2 размещена первичная
обмотка трансформатора. Сколько витков должна иметь обмотка, чтобы при подключении
к источнику переменного напряжения 500 В, частотой 20 кГц максимальная индукция в
феррите не превышала 0.3 Тл?
6.13. При питании катушки с стальным сердечником от источника постоянного
напряжения 36 В в цепи идет ток 6 А. При включении этой же катушки в сеть
переменного тока 220 В, 50 Гц ток в катушке 2.5А. При этом cos()=0.15. Найти
мощности потерь в меди и в стали.
6.14. Переменный ток в катушке с магнитным сердечником, подключенной к источнику
переменного напряжения, равен 2 А. Общая мощность потерь 12 Вт. Определить
составляющие потерь в меди и в стали, если при вынутом сердечнике ток и общая
мощность возрастают до 8 А и 64 Вт.
6.15. Удельная мощность потерь в стали определяют по формуле
Рс = KВ*f2*B2max + KГ*f*B2max
Где KВ и KГ соответственно коэффициенты потерь от вихревых токов и гистерезиса.
Определить эти коэффициенты для магнитопровода катушки, если на частоте 40 Гц
удельная мощность потерь 3.13 Вт/кг, а на частоте 50 Гц 4.12 Вт/кг. Максимальная
индукция в обоих случаях 1.4 Тл.
6.16. К первичной обмотке идеального трансформатора через резистор R1=500 Ом
приложено переменное напряжение E=100 В. Первичная обмотка содержит w1=1000
витков. Вторичная обмотка имеет w2=100 витков и нагружена на резистор Rн= 5 Ом.
Найти мощность, выделяемую на резисторах, и напряжение на первичной обмотке.
TR
~E
Rн
R1
w1
w2
К задаче 6.16
6.17. К первичной обмотке идеального трансформатора через резистор R1=500 Ом
приложено переменное напряжение E=100 В с частотой f=20 кГц. Первичная обмотка
содержит w1=100 витков. Вторичная обмотка имеет w2=20 витков и нагружена на
индуктивность L=200 мкГн. Найти напряжения на обмотках и токи в них.
TR
~E
R1
w1
L
w2
К задаче 6.17
50
ГЛАВА 7. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ. ДЛИННЫЕ ЛИНИИ
Переходные процессы – это процессы перехода системы от одного установившегося
режима к другому установившемуся или стационарному режиму. В электрических цепях
такие процессы происходят при включении/отключении питания или нагрузки и других
подобных операциях. Также переходными процессами сопровождаются неожиданные и
аварийные события: обрыв проводов, короткие замыкания, высоковольтные пробои и пр.
Характер переходных процессов определяется числом и величиной емкостных и
индуктивных элементов в цепи, их ход описывается дифференциальными уравнениями.
Как правило, составление уравнений не представляет трудности. Но решение уравнений
требует специальной математической подготовки.
В предлагаемых задачах процессы описываются линейными дифференциальными
уравнениями первого порядка, а установившиеся процессы - это процессы в цепях
постоянного тока. Для получения результата достаточно умения пользоваться всего тремя
правилами:
1. Первый закон коммутации: при любых коммутациях ток в индуктивности не может
изменяться скачком;
2. Второй закон коммутации: при любых коммутациях напряжение на емкости не может
изменяться скачком.
(Напряжение на индуктивности и ток через емкость при коммутациях могут меняться
скачком, в частности могут скачкообразно менять направление)
3. Ток в любом участке цепи описывается выражением:
I(t )= A1 + B1*exp (-p*t)
[1]
Напряжение на элементе цепи описывается выражением
U(t) = A2 + B2*exp(-p*t)
Во втором слагаемом В – амплитуда
характеризующий скорость процесса.
переходного
[2]
процесса,
р
-
параметр,
Очевидно, что на бесконечности (p*t >>1) второе слагаемое превращается в нуль –
переходной процесс кончается, т.е. после коммутации в установившемся режиме:
I(t) = A1
[3],
U(t) = A2
[4]
Если I(t) - это ток в индуктивности, то также очевидно, что непосредственно перед
коммутацией (t=0-) и сразу после коммутации (t= 0+) токи совпадают:
I(0) = A1 + B1
[5]
Аналогично, если U(t) - напряжение на емкости, в момент коммутации:
U (0) = A2 + B2
[6]
51
Фундаментальные законы цепей, разумеется, остаются в силе всегда:
 В любой момент времени законы Кирхгофа выполняются;
 В любой момент времени по определению ток через емкость: IC(t) = C*dUc/dt
 В любой момент времени напряжение на индуктивности: UL(t ) = L*dIL/dt
Что касается параметра р, способы его определения мы рассмотрим при решении
конкретной задачи:
На схеме 1 Е=60 В – источник постоянного напряжения, R1=1 кОм, R2=2 кОм, R3=3 кОм,
С=10 мкФ. Найти закон изменения токов в цепи и напряжения на емкости после
замыкания ключа К. Построить графики этих величин.
K
R1
I1
E
K
R2
C
Ic
R1
R2
R3
C1
I3
C2
1
R3
2
Эту задачу, как и большинство других в этом разделе, целесообразно решить качественно
графически, а затем, опираясь на выражения [1]-[6], получить аналитическое решение.
Иными словами, сначала электротехника, потом математика.
Последовательность действий такова:
1. Определяются начальные значения параметров. До замыкания ключа (t=0-) был
стационарный режим цепи постоянного тока.
Ic=0, I1 = I2 = I3 = E / (R1 + R2 + R3) = 10 мА,
Uc = I3*R3 = 30 B.
2. Определяется установившийся режим после замыкания ключа (R2=0)
Ic = 0, I1 = I3 = E / (R1+R3) = 15 мА,
Uc = I3*R3 = 45 B.
52
Uc
В
45
30
0
10
I ìÀ
30
I1
15
10
I1 I3
20
t мс
20
I3
0
t
Ic мA
0
t
На графиках установившийся режим показан штриховой линией. Переходный процесс –
линия, соединяющая два стационарных режима. Поскольку скачки напряжения на
емкости запрещены, напряжение Uc плавно стремится к штриховой линии. Ток в
резисторе I3= Uc/R3 имеет такую же форму. Ток через резистор R1 после коммутации
легко найти из обхода контура Е, R3,С:
I1*R1 + Uc = E; I1 = (E - Uc) /R1 = (60-30)/1000 = 30 мА
Начальный после коммутации ток через емкость находится из баланса токов:
Iс = I1 - I3 = 30 -10 = 20 мА
Итак, ток I1 до коммутации имел значение 10 мА, в момент коммутации скачком
увеличился до 30 мА, затем экспоненциально стал уменьшаться до 15 мА
Ток Iс до коммутации имел значение ноль, в момент коммутации скачком увеличился до
20 мА, затем экспоненциально стал уменьшаться опять до нуля.
Диаграммы токов и напряжений построены, физические процессы во всех элементах
определены.
Теперь можно вернуться к выражениям [1], [2]. Начнем с напряжения на емкости:
U(t) = A2 + B2*exp(-p*t)
Уже подсчитано, что А2=45 В, А2+В2=30 В. Имеем: В2=-15 В.
Осталось найти значение параметра p. Один из способов состоит в следующем:
Конденсатор удаляется, все источники обнуляются. Схема 1 превращается в схему 2.
53
Следует найти сопротивление Ri между точками С1 и С2. Очевидно:
Ri=R1*R3/(R1+R3)= 750 Ом.
Из теории дифференциальных уравнений следует, что p = 1/(Ri*C) = 133 1/c. Имеем
Uс(t) = 45 - 15*exp(-133*t) B.
[7]
Ток через резистор R3:
I3(t) = Uc/R3 = 15 – 5* exp(-133*t) мА.
[8]
Ток через резистор R1:
I1(t-) = 10 мА; I1(t) = 15 + 15* exp(-133*t) мА.
[9]
Ток через емкость С:
Ic(0-) = 0
Задача решена.
Ic(t) = 20*exp(-133*t) мА.
[10]
В электронике принято чаще пользоваться не параметром р, а обратной величиной –
постоянной времени  = 1/p = Ri*C =7.5 мс, и выражение [7] тогда выглядит как
Uс(t) = 45 - 15*exp(-t/) B
[7a]
Начальный участок экспоненты почти прямолинеен, т. е. когда t << exp(-t/) = 1 - t/
Если это напряжение на емкости, то напряжение на начальном участке меняется линейно,
а поскольку ток через емкость i=C*dUc/dt, ток в емкости на начальном участке
постоянный. Это важное свойство широко используется в практических приложениях. К
тому же это удобное основное допущение при приближенных расчетах.
В некоторых задачах раздела фигурируют идеальные диоды. Эти диоды в прямом
направлении имеют нулевое сопротивление, в обратном направлении их сопротивление
бесконечно.
ЗАДАЧИ
7.1 Заряженный конденсатор подключается к такому же незаряженному конденсатору. Во
сколько раз изменилась энергия электрического поля?
7.2. «Пустой» конденсатор емкостью 1000 мкФ заряжается до напряжения 50 В за 2 с. от
источника Е=300В. через резистор. Каково среднее значение зарядного тока за это время?
Каков средний ток, если Е=55 В, резистор другой, а время зарядки такое же - 2 с ?
7.3. Емкость С1=10 мкФ заряжена до напряжения +100 В. Емкость С2=40 мкФ
предварительно заряжена до напряжения +50 В. Ключ К1 разомкнут. R=1000 Ом.
Построить диаграммы тока и напряжений на емкостях после замыкания ключа. Рассчитать
их значения через 1 мс и через 1 с после замыкания.
K1
R
C1
C2
54
К задаче 7.3
7.4. Е=30 В - источник постоянного напряжения. R1=100 Ом, R2=50 Ом, L=0.33 Гн.
Построить диаграммы токов через резистор R1 и через индуктивность L после замыкания
ключа. Найти значение тока в резисторах R1, R2 через 3 мс после замыкания.
R1
K
E
R2
L
К задаче 7.4
7.5. На схеме Е - источник постоянного напряжения 100 В. R1=R2=100 Ом, С=100 мкФ.
Емкость разряжена. В момент t=0 замыкается ключ К1, через 50 мс замыкается ключ К2.
Построить график зависимости тока через R1 и R2 от времени и привести аналитическое
выражение этой зависимости. Какое напряжение на емкости при t=50 мс и при t=70 мс?
K1
K2
R1
E
C
R2
К задаче 7.5
7.6. Е- источник постоянного напряжения 100 В. Ключ К1 разомкнут. R1=200 Ом, R2=50
Ом, L=0.1 Гн. Нарисовать диаграммы токов и напряжений на всех элементах цепи после
замыкания ключа. Рассчитать значения токов через 4 мс после замыкания.
R1
L
K1
R2
E
К задаче 7.6
7.7. Е - источник постоянного напряжения 50 В. R1=100 Ом, R2=1000 Ом, L=200 мГн.
Ключ К1 замыкается на 3 мс, затем размыкается. Построить диаграммы токов во всех
ветвях схемы. Найти напряжение на резисторе R2 через 100 мкс после размыкания
ключа. Диод считать идеальным.
K1
R1
D
L
E
R2
55
К задаче 7.7
7.8. Е - источник постоянного напряжения 50 В. R1=100 Ом, С=10 нФ, L=100 мГн.
Ключ К1 замыкается на 3 мс, затем размыкается. Построить диаграммы токов во всех
ветвях схемы. Найти значение тока в момент размыкания. До какого напряжения
зарядится конденсатор, и за какое время это произойдет? Диод считать идеальным.
K1
R1
D
L
E
C
К задаче 7.8
7.9. Конденсатор С емкостью 100 мкФ заряжен до напряжения +100 В. Ключ К
разомкнут. R=100 Ом. Нарисовать качественно графики тока через индуктивность
L=0.01 Гн и напряжения на емкости после замыкания ключа. Найти значение
напряжения на емкости через 7 мс после замыкания, считая диод идеальным.
D
K
C
+
L
R
К задаче 7.9
7.10. На вход цепи ”in” подается одиночный импульс, как показано на рисунке. C=1 мкФ.
U1 = 30 B, T1 = 3 мс, U2 = -20 B, T2=5 мс. Построить диаграмму напряжения “out” на
резисторе и описать ее аналитически для двух значений: R=100 Ом и R=10 кОм
Чему равны ток и напряжение на емкости в момент начала (t+) и окончания (t+) интервала
Т2?
C
U1
T1
t
in
R
out
T2
U2
К задаче 7.10
7.11. На вход цепи ”in” подается периодический импульсный сигнал с амплитудой
U = 30 B, длительностью T1 = 2 мс, с периодом T2 = 6 мс. Емкость C =1 мкФ. Построить
диаграмму напряжения “out” на емкости в установившемся режиме для двух значений:
R=100 Ом и R=10 кОм. Чему равно среднее значение выходного напряжения?
Оцените (с точностью ~10%) установившееся минимальное и максимальное значение
выходного напряжения.
*Рассчитайте точно минимальное и максимальное напряжение при R=10 кОм.
56
U
R
T1
t
T2
in
C
out
К задаче 7.11
57
Длинные линии.
7.12. Параметры телефонной линии R0=5 Ом/км. L0=2 мГн/км, C0=0.5 мкФ/км, G0=10-6
сим/км. Вычислить дополнительную индуктивность, которую нужно включить на каждый
километр линии, чтобы не было искажения сигналов.
7.13. На какой минимальной частоте разомкнутый на конце отрезок телевизионного
кабеля с полиэтиленовой изоляцией (диэлектрическая проницаемость =2.25) длиной 10 м
с волновым сопротивлением 75 Ом имеет нулевое входное сопротивление?
7.14. На какой минимальной частоте замкнутый на конце отрезок телевизионного кабеля с
полиэтиленовой изоляцией (диэлектрическая проницаемость =2.25) длиной 7 м с
волновым сопротивлением 75 Ом имеет бесконечное входное сопротивление?
7.15. Воздушная линия без потерь с волновым сопротивлением 500 Ом, работает на
частоте 5 МГц. На каком расстоянии от начала следует закоротить линию, чтобы она была
эквивалентна индуктивности L=10 мкГн?
58
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
1.1. 1.6 мкДж, - 2.8 мкДж ;
1.2. нет, да, нет;
1.3. 57 Ом/км;
1.4. 10 Ом, увеличится;
1.5. 0.17 А., 1300 Ом;
1.6. 600 Вт. 300 Вт, 1200 Вт;
1.7. 1: Рч=729 Вт, Ру=1459 Вт; 2: Рч=4.6 Вт, Рп=170 Вт;
1.8. 50 %; 1.9. 12.5 Вт;
1.10. 210 мм2
1.11. основное падение напряжения (и сопротивление) - вблизи стержней;
1.12. 75 Ом; 1.13. R/3; 1.14. R, R;
1.15. упрощайте схему справа налево. 20 кОм, 20 кОм;
1.16. 800 С, -100 С;
1.17. от A по часовой стрелке:110, 90, 70, 50, 50, 40, 40, 20 В;
1.18. ничем; в потенциале источников; Е1>60 В;
1.19. 14 В; 1.20. 4 А; 1.21 16.5 В;
1.22. 1 – 0.5 мА, 0.25 мА, 0.125 мА; 2 – 0.5 мА, 0.25 мА, 0.125 мА, 0.062 мА ;
1.23. Р4=4.8 Вт, 20 Ом;
1.27. I1=0, I2=0.1 А, I3= -0.1 А; 1.28. 25 В, 1,3 А;
1.29. 0.6 Вт; 180 Ом, 0.8 Вт; 1.30. 25 Вт;
1.31. Р1+Р2+Р3=254 Вт, 30 В;
1.32. 2 А, Ua=100 B, Uв=160 В; 1.33. 1.6 В;
2.1. 735 Вт;
2.2. 0.5 мА:Rs=499 Ом, Rd=498 Ом; 5 мА: Rs=488 Ом, Rd=476 Ом; 50 мА: Rs=393 Ом,
Rd=303 Ом; 500 мА : Rs=99,3 Ом, Rd=3.37 Ом;
2.3. 0.0345 A, 0.805 A;
2.4. 0.029 А, 0.711 А;
2.5. Е=42.5 В, Р=3.75 Вт;
2.6. 6.66 B, 10.4 B, 11.7 B;
2.7. 130 В;
2.8. 1: к- 0.125 A, з-0.0125 A, 3.25 В; 2: 30 Ом, 50 мА.;
2.9. 9.52 В, 0.43 Вт; 10.14 В, 0.65 Вт;
3.1. нет; 3.2. увеличится в 2.5 раза; 3.3. 36 Дж, 15 кВт;
3.4. a) q, U/2, E, W/2 б) 2q, U, 2E; 2W;
3.5. уменьшится вдвое; 3.6. 0.25 А;
3.7. 1 Н*м ; 3.8. 630 Н/м2; 3.9. 10 Н;
3.10. 0.02 Тл; 3.11. В=0.23 Тл.;
3.12. 0.67 Тл, 1.34; Тл, 0.3 Гн); 3.13. ~1 А;
3.14. внут.-1.75 Тл, ср-1.6 Тл, внеш. - 1.47 Тл, 0.00128 Тл*м2;
3.15. внут.-1.76 Тл, ср-1.59 Тл, внеш. - 1.47 Тл, 0.001281 Тл*м2;
3.16. 0.92 Тл, 0.47 Тл; 30 Н, 7.9 H;
4.1. 0.8 мкФ, 6.05 Гн; 4.2. 0.2 А; 0.138 А; 0.448 А; 0.2 А, 0.138 А, 0.062 А;
4.3. 0.015 Гн, 9.9 Ом; 4.6. f = 1327 Гц; 4.7. 4514 Гц,. 17.6 В;
4.8. 0.412 A, 83 В; 4.10. 31.5 Вт.; 4.14. 5 А, 4 А;
4.15. Ie=2 А, I1=1.41* ехр(j450), I2= 1.41*ехр(-j450), U=j400;
4.16. IE= 0,152*ехр(-j3.50 ),I1= 0.137* ехр(j46.70 ), I2=0.107* ехр(-j57.50 ), U=194 В ;
4.17. 100 В, 2.82 А; 4.18. 2 Вт;
59
4.19.I1=5 A, UA=50 B, I2=2.5+j2.5, I3=2.5-j2.5, UBD=j50 B;
4.20. 17.8 Вт; 4.21. 0.5А, 10 В, 40 В;
4.22. 86.7 Ом; 4.23. 200 В, 17.3 Вт; 4.24. 100 В, 10 Вт;
4.25. L=0.1 Гн; 4.26. C2=38 нФ;
4.27. I= 10 А, U= 141 В; 4.28. 70.7 В, 70.7 В;
4.29. R1=20.2 Ом, I1=0.99 A, I2=4.97 A, I3=4.97 A, Uab=19.9 B;
4.30. 439 В; 4.31. C=3.17 нФ, I=5 мА, IR = 5 мА, IC = IL = 200 мА;
4.32. 1.8 А, 4 А, 2.2 А, 2.2 А;
4.33. 1: 0, 2.2 A, 2.2 A, 2.2 A ;
2: 0, 6.58 A, 3.8 A, 3.8 A; 3:2.2 A, 0, 2.2 A, 2.2 A;
4: 0, 0, 1.9 A, 1.9 A;
4.34. А1 = 9.66 А, А0 = 7.07 А;
5.1. пила, Umax=11.7 В; 5.2. прямоугольник, Imax=9.3А; 5.3. Imax = 19.93 А;
5.4. Imax = 15.04 А; 5.5. Imax=13.98 А; 5.6 275 Вт; 5.7. 33.3 Вт, 0.5 А;
5.8. Р1=58.5 Вт, Р2=36.0 Вт, Р3=40.5 Вт;
5.9. Р1=600 Вт, Р2=60 Вт, А=3.6 А;
5.10. 1.31 A;
6.1.Е=0.628 В; 6.2. М=1.5 мГн; 6.3. L=20 мГн, k=0.25;
6.4. 0, 4L, 0, L; 6.5. 0.219 А, 2.63 А;
6.6. к=0.33, I= 8.57 А; 6.7. I1=1 A; I1=4 A, I2=0.69A;
6.8. I1=1 A; I1=2.29 A, I2=0.369 A;
6.9. R=5 Ом: I1=1 A; I1=3.92 A, I2=0.68 A; R=1000 Ом: I1=0.1 A; I1=0.1 A, I2=0.0173 A;
6.10. k=300; 6.11. w1=1609 витков;
6.12. w1=19 витков;
6.13. Рм=37.5 Вт, Рс=45 Вт;
6.14. медь- 4 Вт, сталь– 8 Вт;
6.15. KВ=2*10-4 Вт/(кг*гц2*Тл2), Kг=3.2*10-2 Вт/(кг*гц*Тл2);
6.16. 5 Вт, 5 Вт, 50 В;
6.17. 78.2 В, 15.6 В, 0.124 А, 0.623 А;
7.1. уменьшится вдвое; 7.2. 0.025 А;
7.3. 1 мс: 44.1 мА, 95.3 В, 51.17 В ; 1 с: 0 А, 60 В, 60 В;
7.4. 0.226 A, 0.148 A;
7.5. 50 мс - 99,93 В, 70 мс – 50.9 В;
7.6. I1=0.5 A, I2=0.054 A;
7.7. 235 В; 7.8. 0.475 А, 1502 В, 7.9 мкс; 7.9. -68 В;
7.10. 100 Ом: -0.5 А, 0.2 А, 0 В, -20 В, 10 кОм: -2.78 мА, 0.315 мА, 7.78 В, -3.15 В;
7.11. 100 Ом: 10 В, 0, 30 В; 10 кОм: 10 В, ~8 В, ~12 В; *10 кОм: 8.08 В, 12.05 В;
7.12. 23 мГн/км;
7.13. f=10 МГц;
7.14. f = 7.142 МГц; 7.15. 5.4 м;
ЛИТЕРАТУРА
Мансуров Н. Н. , Попов В. С. Теоретическая электротехника. – М., 1968.
Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. – М., 1978.
Зайчик М. Ю. Сборник задач и упражнений по теоретической электротехнике. – М.,
1968.
Аристова Л.И., Лукутин А.В. Сборник задач по электротехнике. – Томск 2010.
Рымкевич А. П., Рымкевич П. А. Сборник задач по физике – М., 1984.
∞ 
60
61