учебное пособие : часть 8: Теория поля
реклама
МАТЕМАТИКА
ЧАСТЬ 8. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
МАТЕМАТИКА
Часть 8. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Министерство образования и науки Российской Федерации
Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б.Н. Ельцина
Кафедра высшей математики
МАТЕМАТИКА
Часть 8. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2014
Министерство образования и науки Российской Федерации
Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б.Н. Ельцина
МАТЕМАТИКА
Часть 8. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Курс высшей математики
для бакалавров
Рекомендовано Уральским отделением
Учебно-методического объединения вузов РФ
в области строительного образования в качестве учебного пособия
для студентов направления 6533500
«Строительство» всех форм обучения
Екатеринбург
Уральский федеральный университет
2014
УДК 511.236(075.8)
ББК 22.132я73
М34
Авторы: О. А. Кеда, Л. П. Мохрачева, Е. М. Пампура, А. Ф. Рыбалко
Н. М. Рыбалко
Рецензенты:
кафедра физики Уральского государственного лесотехнического университета (зав. каф. физики д-р физ.-мат. наук, проф. М. П. Кащенко);
д-р физ-мат. наук, проф. А. П. Танкеев, зав. лабораторией кинетических явлений ИФМ УрО РАН
Научный редактор – доц., канд. физ.-мат. наук Л. П. Мохрачева
Математика : учебное пособие. Часть 8: Теория поля / О. А. Кеда,
М34 Л. П. Мохрачева, Е. М. Пампура, А. Ф. Рыбалко, Н. М. Рыбалко. Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2014. – 112 с.
ISBN 978-5-7996-1159-0
Данное пособие представляет собой восьмую часть курса высшей математики
и предназначено для бакалавров, программа обучения которых предусматривает равные количества аудиторных часов и часов для самостоятельной работы студентов.
В пособии излагаются основные положения теории поля (векторного анализа) и ее
приложений, в которых изучаются скалярные и векторные поля. Пособие включает
также примеры решения задач, текст домашних заданий, пример оформления и задания
индивидуальных расчетных работ, образец контрольной работы и справочный материал по теме.
Библиогр.: 5 назв.
Подготовлено кафедрой высшей математики.
УДК 517.37(075.8)
ББК 22.161.1я73
ISBN 978-5-7996-1159-0
© Уральский федеральный
университет, 2014
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
(ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА) ................................................................................. 5
1.1. Скалярное поле ................................................................................................. 5
1.2. Поверхности и линии уровня .......................................................................... 5
1.3. Производная по направлению......................................................................... 6
1.4. Градиент скалярного поля ............................................................................... 7
1.4.1. Связь производной по направлению с градиентом ........................... 8
1.4.2. Свойства градиента ............................................................................ 8
1.5. Векторное поле ............................................................................................... 10
1.5.1. Векторные линии ................................................................................ 11
1.5.2. Плоское векторное поле .................................................................... 12
2. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ .................................................................... 12
2.1. Односторонние и двусторонние поверхности ............................................ 12
2.2. Площадь поверхности .................................................................................... 13
2.3. Система координат и ориентация поверхности .......................................... 15
2.4. Поверхностный интеграл 1-го рода.............................................................. 15
2.4.1. Вычисление поверхностных интегралов 1-го рода......................... 16
2.5. Поверхностный интеграл 2-го рода.............................................................. 17
3. ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ ............................................................................ 18
3.1. Определение потока векторного поля.......................................................... 18
3.2. Свойства потока ............................................................................................. 19
3.3. Вычисление потока ........................................................................................ 19
3.3.1. Проектирование на одну координатную плоскость ...................... 20
3.3.2. Проектирование на три координатные плоскости ....................... 20
3.4. Физический смысл потока ............................................................................. 22
3.5. Дивергенция векторного поля ...................................................................... 24
3.5.1. Свойства дивергенции ....................................................................... 24
3.6. Физический смысл потока через замкнутую поверхность ........................ 25
3.7. Теорема Остроградского–Гаусса .................................................................. 25
3.8. Инвариантное определение дивергенции .................................................... 29
3.8.1. Физический смысл дивергенции ........................................................ 29
3
4. ЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ В ВЕКТОРНОМ ПОЛЕ........................................... 30
4.1. Понятие линейного интеграла ...................................................................... 30
4.2. Свойства линейного интеграла ..................................................................... 30
4.3. Вычисление линейного интеграла ................................................................ 31
4.4. Физический смысл линейного интеграла .................................................... 32
4.5. Ротор (вихрь) векторного поля ..................................................................... 32
4.6. Свойства ротора (вихря) ................................................................................ 33
4.7. Теорема Стокса ............................................................................................... 33
4.8. Инвариантное определение ротора .............................................................. 36
4.9. Физический смысл ротора ............................................................................. 37
4.10. Формула Грина ............................................................................................. 37
5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВИДЫ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ ............................................. 39
5.1. Потенциальное векторное поле .................................................................... 39
5.1.1. Условия потенциальности поля........................................................ 39
5.1.2. Вычисление потенциала поля ............................................................ 42
5.2. Соленоидальное поле ..................................................................................... 42
5.2.1. Свойства соленоидального поля ....................................................... 43
5.3. Операторы Гамильтона и Лапласа ............................................................... 44
5.3.1. Оператор Гамильтона (набла) ......................................................... 44
5.3.2. Оператор Лапласа ............................................................................. 45
6. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ .............................................................................. 47
7. ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ ..................................................................................... 71
8. РАСЧЕТНАЯ РАБОТА ........................................................................................ 75
9. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ .......................................................... 101
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.................................................................... 107
4
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
(ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА)
1.1. Скалярное поле
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если с каждой точкой P ( x, y, z ) некоторой пространственной области G связана скалярная величина, то говорят, что в области G задано
скалярное поле: u f ( x, y, z ) , где f ( x, y, z ) – скалярная функция, называемая
функцией поля.
Примеры скалярных полей: поле температур, давления, плотности, концентраций, электрического потенциала. Рассмотрим подробнее последний пример.
Пусть речь идет о точечном заряде q. Потенциал электростатического поля
заряда q, помещенного в начало координат, задается в каждой точке простран
M
(
x
,
y
,
z
)
r
с радиус-вектором ( x, y , z ) , за исключением начала коордиства
нат, функцией поля вида:
q q
q
u
.
2
2
2
r r
x y z
Заметим, что если r const , x 2 y 2 z 2 const – уравнение сферы. Следовательно, в точках, принадлежащих сфере, потенциал электростатического поля
сохраняет свое значение, или u const .
Ограничимся рассмотрением так называемых стационарных полей,
т. е. полей, не зависящих от времени.
1.2. Поверхности и линии уровня
В дальнейшем, если не оговорено особо, предполагаем функцию
u f ( x, y, z ) однозначной и непрерывно-дифференцируемой.
Рассмотрим точки области, в которой функция u f ( x, y, z ) принимает
постоянные значения: f ( x, y, z ) c (c const ) . Это уравнение можно рассматривать как уравнение некоторой поверхности в пространстве.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Геометрические места точек P( x, y, z ) , где скалярное поле
принимает одно и то же значение f ( x, y, z ) c , называются поверхностями
уровня или эквипотенциальными поверхностями.
В ранее рассмотренном примере поля точечного заряда поверхности уровня –
концентрические сферы различного радиуса.
В силу однозначности функции u f ( x, y, z ) поверхности уровня, соответствующие различным значениям c, не пересекаются между собой.
5
Скалярное поле называется плоским, если при подходящем выборе системы координат функция поля зависит только от двух переменных. Множество
точек плоскости P( x, y ) , для которых f ( x, y ) c , называется линией уровня
плоского скалярного поля.
1.3. Производная по направлению
Пусть в пространственной области G задано скалярное поле: u u ( x, y, z ) u ( P) . Рассмотрим точку P1 ( x, y, z ) и исходящий из нее
вектор l lx ; l y ; lz . Найдем, как изменяется
поле в направлении вектора l . Сместимся
из
точки P1 ( x, y, z ) в направлении вектора l в точку P2 ( x x, y y, z z ) . Обозначим через
ρ длину вектора PP
тогда
:
ρ
PP
1 2
1 2 ,
ρ x 2 y 2 z 2 . При этом функция поля
получит приращение
u u ( P2 ) u ( P1 ) u ( x x, y y, z z ) u ( x, y, z )
u
u
u
du ε1x ε 2 y ε 3z x y z θ(ρ) ,
x
y
z
где θ(ρ) – бесконечно малая более высокого порядка по ρ, ε1 , ε 2 , ε 3 0 при
u
Vcp – средняя скорость изменения скалярной
x, y, z 0 , а величина
ρ
функции u ( P ) в направлении вектора l .
u u x u y u z
x
y
z
.
1
2
3
x y z
Перейдем к пределу при ρ 0 , что соответствует стремлению P2 P1 :
u u
u
u
cos α cosβ cos γ ,
lim
0 ρ
x
y
z
cos
cos
cos
,
,
– направляющие косинусы вектора PP
. Поскольку
где
1 2
l
l
i
l
j
l
k
,
то
их
направляющие
косинусы
равны.
Поскольку
PP
l
x
y
z , то
1 2
l
l
l
cos x , cos y , cos z .
|l |
|l |
|l |
6
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Производной функции u в точке P ( x, y, z ) (обозначение
u
)
l
u
(если он существует),
по направлению вектора l называется предел lim
l 0 l
u
u u
u
u
lim
cos cos cos .
равный
l l 0 l x
y
z
u
Производная по направлению l ,
, определяет скорость изменения скаl
u
лярного поля в направлении вектора l , в частности, если
0 , поле возрастаl
u
ет, если
0 , поле убывает.
l
u
ПРИМЕР. Найдите производную
в точке Р (1,1,1) в направлении вектора
l
i j k , если u x 2 y 2 z 2 .
Решение:
ux P 2 x P 2, uy 2 y P 2, uz P 2 z P 2 ; 3 ,
P
cos α
1
3
; cos β
1
3
; cos γ
1
3
;
1
1
1
6
u
2
2
2
0 , следовательно, скалярное поле возрастает.
3
3
3
3
1.4. Градиент скалярного поля
Пусть задано скалярное поле u ( x, y, z ) .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Градиентом скалярного поля u в точке P ( x, y, z ) называется вектор, обозначаемый символом grad u и определяемый равенством
u u u
grad u i
j k.
x
y
z
Введем символический вектор “набла”, или оператор Гамильтона
i j k ; ; .
x
y
z x y y
Этот символ используется для записи операций векторного анализа в сокра
щенной и удобной для расчётов форме. Выражение вида u ( x, y , z ) понимается как результат действия оператора на соответствующую функцию.
7
Тогда
u u u
u( x, y, z ) (i j k ) u( x, y, z ) i
j k ux i uy j uz k ,
x
y
z
x y
z
grad u u .
Более детально использование вектора-оператора “набла” для записи и выполнения различных дифференциальных операций будет обсуждаться ниже.
1.4.1. Связь производной по направлению с градиентом
Ранее было получено выражение для производной по направлению:
u u
u
u
cos cos cos .
x
y
z
Введем l0 (cos , cos , cos ) – единич
ный вектор (орт) в направлении l . Выражение для
производной по направлению может быть записано в виде
u
(u l0 ) u l0 cos grad u cos ,
где φ – угол между единичным
вектором
l 0 дан
ного направления l и вектором градиента grad u , т. е. производная
по направлению вектора l в точке P ( x, y, z ) равна проекции градиента на данное направление.
u
u
0 . Если grad u 0 , то
grad u для всех векЕсли grad u 0 , то
l
l
торов l , за исключением вектора l , направленного в сторону grad u .
1.4.2. Свойства градиента
Пусть заданы производная поля по направлению и градиент поля:
u u
u
u
cos cos cos ;
x
y
z
u u u
u , , ,
x y z
2
2
2
u u u
u .
x y z
1. Максимальное значение производной по направлению равно модулю градиu
u
ента:
grad u .
gradu cos ; 0; cos 1 max
l
l
2. Вектор
u направлен в сторону возрастания поля.
3. Вектор u всегда нормален к поверхности (линии) уровня поля (эквипотенциальной поверхности).
8
Доказательство:
Пусть u u ( x, y , z ) скалярное поле и u ( x, y , z ) c – уравнение поверхно-
сти уровня. Выберем произвольную точку поверхности P u ( x, y , z ) c ,
которую обозначим P ( x, y, z ) , и проведём касательную плоскость в точке P
к поверхности, описываемой уравнением
F ( x, y , z ) u ( x, y , z ) c 0 ;
F
F
F
( x x)
( y y)
( z z ) 0 – уравнение касательной плоскости;
x
y
z
u
u
u
( x x) ( y y ) ( z z ) 0 .
x
y
z
Тогда вектор нормали касательной плоскости имеет вид:
u u u
n , , ,
x y z
u u u
n i
j k u .
x
y
z
Свойства 1–3 дают инвариантное (не зависящее от системы координат) опре
деление градиента, т. е. утверждают, что независимо от системы координат u
указывает величину и направление наибольшего возрастания скалярного поля
u
в точке: grad u max .
l
Дифференциальные свойства градиента:
Если скалярное поле есть сумма двух
полей,
f ( x, y, z ) u ( x, y, z ) v( x, y, z ) , то f (u v) u v .
(u v) (u )v u (v) .
c
u
c
u .
f (u ) f u u – градиент сложной функции.
f (u, v) fu u f v v .
ПРИМЕР. Найдите наибольшую крутизну подъёма поверхности u = xy
в точке Р (2,2,4).
Решение: grad u max u .
l
u ux i uy j uz k yx y 1 i x y ln x j 0k ,
u ( yx y 1 ) 2 ( x y ln x) 2 (2 2) 2 (4 ln 2) 2 4 1 ln 2 2 .
P
P
9
2
2
2
ПРИМЕР. Найдите нормаль к поверхности u x y z в точке Р(1,1,1).
Решение: По свойству 3 n u , grad u 2 xi 2 y j 2 zk ,
1 1 1
,
u 2 xi 2 y j 2 zk 2i 2 j 2k 2, 2, 2 n0 ,
.
P
P
3 3 3
ПРИМЕР. Найдите градиент модуля разности радиус-векторов
u x, y, z r r0 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 ,
где r x, y, z и r0 x0 , y0 , z0 – радиус-векторы точек P x, y, z и
( P0 рассматривается как фиксированная точка).
Решение:
x x0 ; y y0 ; z z0
u u u
grad u i
j
k
2
2
2
x
y
z
( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
P0 x0 , y0 , z0
r r0
r r0
– единичный вектор направления вектора P0 P.
Используя этот результат, рассмотрим двумерный случай и выведем
известное оптическое свойство эллипса: свет от источника, помещенного
в один из фокусов эллипса, концентрируется во втором фокусе.
Введем
скалярную
функцию
u P r1 r2 , где r1 , r2 – расстояния от
точки плоскости Р до фиксированных
точек плоскости F1 , F2 ; ее линиями
уровня являются эллипсы. Из рассмотренного примера
grad u grad ( r1 r2 ) r10 r20 ,
т. е. градиент равен диагонали ромба, построенного на ортах радиус-векторов,
проведенных к точке Р из фокусов F1 и F2 . Так как диагональ ромба является
и биссектрисой, то нормаль к эллипсу в какой-либо точке делит пополам угол
между ее фокальными радиусами. Используя известный закон оптики: угол падения равен углу отражения, получаем физическую интерпретацию: луч света,
вышедший из одного фокуса, попадает в другой фокус.
1.5. Векторное поле
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если с каждой точкой P( x; y; z ) пространственной области G связана векторная функция
a a P a x, y , z , то говорят, что в области G задано
векторное поле.
Векторное поле определяется тремя скалярными
a,
характеристиками
–координатами
вектора
a a x , a y , a z , или a ax i a y j az k ,
10
где ax ax ( x, y, z ) , a y a y ( x, y, z ) , az az ( x, y, z ) – проекции векторного поля на
оси координат или компоненты вектор-функции. Будем считать, что они непрерывны и дифференцируемы по всем переменным.
1.5.1. Векторные линии
Векторное поле можно изобразить
графиче
ски, указав положение вектора a в некоторых
точках.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Векторной линией поля
a a P в области G называется кривая, в каждой
точке которой вектор a направлен по касательной
к этой кривой.
Найдём уравнения векторных линий.
Предположим, что векторные линии есть
прямые, тогда их уравнения:
x x y y z z x y z
,
.
ax
az
ay
ax a y az
Так как любую кривую
можно на бесконечно
малом участке величины dr (dx, dy, dz ) заменить
отрезком касательной, а направление касательной совпадает с направлением a ,
то уравнения векторной линии имеют вид:
dx dy dz
.
ax a y az
На самом деле речь идет о системе дифференциальных уравнений первого
порядка.
dy a y dz az dz az
;
;
.
dx ax dx ax dy a y
1 ( x, y, z ) C1 ;
определяет двухпараметриОбщее решение этой системы:
(
,
,
)
x
y
z
C
2
2
ческое семейство линий и дает совокупность всех векторных линий поля.
ПРИМЕР. Поле задано вектором: a yi xj bk . Найдите векторную линию
поля, проходящую через точку Р(1,0,0).
Решение:
dx dy dz
.
Уравнение векторных линий
y x
b
dx dy
, xdx ydy , xdx ydy 0 , x 2 y 2 c12 – уравнение окружности.
1)
y
x
11
x c1 cos t ,
Перейдем к параметрическим уравнениям окружности:
.
y c1 sin t.
dy dz
, bdy xdz , bc1 cos tdt c1 cos tdz , dz bdt . Общее решение системы
2)
x
b
(семейство векторных линий):
x c1 cos t ,
y c1 sin t ,
z bt c .
2
Найдем уравнение векторной линии, проходящей через
точку P(1,0,0):
1 c1
x cos t
c
1
1
0 0
y sin t
z bt
0 0 c
c 2 0
2
– уравнение винтовой линии.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть в векторном поле a расположена произвольная площадка , ограниченная замкнутым контуром . Проведём через границу этой площадки векторные линии. Образуемая при этом фигура называется векторной трубкой (при этом векторные линии,
проходящие через , целиком лежат внутри векторной
трубки).
1.5.2. Плоское векторное поле
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторное поле называется плоским,
если все вектора лежат в параллельных плоскостях.
Уравнение векторных линий (для случая, когда векторы
поля параллельны координатной плоскости Oxy )
dx dy dz
.
ax a y 0
В плоском поле векторные линии есть плоские кривые вида y x или
f x, y 0 .
2. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2.1. Односторонние и двусторонние поверхности
Рассмотрим гладкую и незамкнутую поверхность , ограниченную кусочно-гладким контуром . Это означает, что для уравнения поверхности существуют непрерывные частные производные по всем переменным. В точке Р
12
проведём
м нормалль n к по
оверхностти. Черезз точку P
проведем
м замкнуутый ку
усочно-глаадкий контур Г,
не имею
ющий общ
щих точек
к с границ
цей .
При
и обходе контура
к
возможны
в
ы две ситу
уации:
а) н
нормаль к поверхн
ности n при возввращении
и
в точку P сохрани
ит свое направлен
ние;
б) п
при непреррывном движении
д
и вдоль заамкнутого
о
контура Г, непррерывно меняясь по напр
равлению,
нормаль изменитт направл
ление на противоп
положноее
ную точкуу.
при возвращении в исходн
ость назы
ывается дввусторонВ сллучае а) поверхно
ней, в сслучае б)
б – односторонн
ней. Сово
окупностьь
точек пооверхности с опр
ределенн ым напр
равлением
м
нормали n называется стор
роной по верхностти.
Клаассическим пример
ром односсторонней поверхист Мебиу
уса.
ности является ли
2.2. Пл
лощадь поверхнос
п
сти
Пуссть S – огграниченн
ная гладккая поверх
хность. Разобьем еее на учасстки S i ,
( i 1,..., n ), с помощью сетти кривыхх. Выбер
рем в каж
ждом учасстке S i точку
т
Pi .
Проведем
м в точкее Pi касаттельную плоскостть к повер
рхности S и спроеектируем
м
S i на касателььную пл
лоскость. На про
оекции получим
п
плоскую
ю фигуруу
с площаадью Si .
ОПРЕДЕ
ЕЛЕНИЕ
Е. Площ
щадью пооверхностти S наазываетсяя предел
л суммы
ы
площадеей Si ( i 1,..., n ) при уусловии, что n , а ранг разбиения
р
я
n
rn maxx diam Si стрем
мится к нуулю: S lim Si . Поверрхность, имеющая
и
я
n
rn 0 i 1
площадьь, называеется квадрируемо й.
Пуссть поверхность заадается яявным уравнением
м z z x, y , где z x, y –
непрерывно диф
фференци
ируемая функцияя, и од
днозначноо проек
ктируетсяя
в плосккую облаасть xy на кооррдинатной
й плоско
ости Oxyy . Возмож
жны двее
ориентац
ции норм
мали n к поверрхности S , как вектораа, ортого
ональногоо
z z
к касатеельной пллоскости.. Ее комп
поненты: n , , 1 , направляющиее
x y
косинусы
ы нормали n равны
ы:
z
x
cos n
, i cos
;
2
z z
1
x y
13
2
z
y
cos n
, j cos
cos n , k cos
2
z z
1
x y
1
2
2
2
z z
1
x y
;
.
Выбор знака перед радикалом определяет сторону поверхности S ; верхние
знаки соответствуют тупому, нижние – острому углу нормали n с осью Oz .
Спроектируем элементы Si на касательной плоскости на координатную
плоскость Oxy ; площадь проекции
Si
i Si cos
.
2
2
z z
1
x y
Следовательно,
2
i
z z
Si
i 1
cos
x y
2
и предел, фигурирующий в определении площади поверхности S , представляет
собой двойной интеграл по области xy
2
2
dx dy
z z
S
1 dx dy .
cos xy
x y
xy
Если уравнение поверхности S дано в виде x x y, z или y y x, z , то
площадь может быть представлена как
2
S
yz
2
x x
dy dz
1 dy dz
cos yz
y z
или
2
2
dy dz
y y
S
1 dx dz ,
cos xz
x z
xz
где yz и xz – проекции поверхности S на плоскости Oyz и Oxz .
14
2.3. Система координат и ориентация поверхности
Введем систему координат
в пространственной обла
сти G. Система векторов a , b , c образует правую тройку,
если поворот от вектора a к вектору b , видимый из конца
вектора c , совершается против часовой стрелки; в противном случае тройка называется левой. В дальнейшем будем
работать с правой системой координат.
В случае незамкнутой поверхности сторону можно
определить, задавая направление обхода контура.
Выберем определенную сторону незамкнутой двусторонней поверхности,
ограниченной замкнутым контуром Г, и зададим на нем направление обхода.
Проведём нормаль к выбранной стороне поверхности и рассмотрим, каким
видится обход контура Г в заданном направлении. Если при наблюдении из
конца восставленной нормали обход в заданном направлении представляется
совершающимся против часовой стрелки, то поверхность называется положительно ориентированной (иначе – "положительная сторона поверхности", "положительная нормаль"). Если при наблюдении из конца восставленной нормали
обход в заданном направлении представляется совершающимся по часовой
стрелке, то поверхность называется отрицательно ориентированной (иначе –
"отрицательная сторона поверхности", "отрицательная нормаль").
Таким образом, для незамкнутой поверхности ориентация поверхности
связывается с выбором направления обхода границы.
Для замкнутой поверхности считается, что внешняя сторона поверхности
ориентирована положительно, а внутренняя – отрицательно.
2.4. Поверхностный интеграл 1-го рода
Поверхностный интеграл первого рода – обобщение понятия двойного интеграла по плоской области D . Пусть в трехмерной области G заданы поверхность и функция f ( P) f ( x, y, z ) . Как при вычислении площади
поверхности, разобьем поверхность на участки i (площадь которых также
обозначим через i ), на каждом участке выберем произвольную точку Pi , вычислим значение функции f ( Pi ) и составим интегральную сумму из произвеn
дений f ( Pi )i .
i 1
Предел интегральной суммы называется поверхностным интегралом 1-го
рода от функции f ( P) f ( x, y, z ) по поверхности .
n
f ( x, y, z )d lim f ( P ) .
rn 0 i 1
15
i
i
2.4.1. Вычисление поверхностных интегралов 1-го рода
f x, y, z d .
Вычислим
Пусть
f x, y , z 0 ,
а поверхность задана уравнением z z x, y .
Лемма. Площадь проекции плоского участка одной
плоскости P1 на другую плоскость P2 равна площади
самого участка, умноженной на модуль косинуса двугранного угла между плоскостями: Sпр S cos .
Доказательство:
Sпр a l cos S cos
Sпр 0 , косинус берется по модулю).
S l a.
(поскольку
φ
Пусть требуется вычислить поверхностный интеграл
1-го рода по поверхности . Область D является проекцией поверхности на плоскость xOy . Через точку
A x , y , z проведем касательную плоскость. Ее уравнение:
z
z
z z x x y y.
x
y
Выберем часть поверхности d и спроектируем ее на касательную плоскость.
Обозначим проекцию d . Будем считать
d ~ d . Обозначим через n нормаль
z z
к касательной плоскости: n , , 1 .
x y
Обозначим через k 0,0,1 нормаль
к xOy ; угол между касательной плоскостью и плоскостью Oxy равен углу
между векторами n иk.
Найдем связь между dS (проекцией d на плоскость xOy ) и d
n, k
1
1
; cos
cos
2
2
2
2
nk
z z
z z
1
1
x y
x y
в пределе при rn 0, d d , dS d cos , d
2
2
2
dS
;
cos
2
z z
z z
d dS 1 1 dxdy;
x y
x y
16
dxdy
f x, y, z d f ( x, y, z ( x, y)) cos( )
Dxy
2
2
z z
f ( x, y, z ( x, y )) 1 dxdy.
x y
Dxy
Так записывается поверхностный интеграл, если поверхность задана уравнением z z x, y .
Если поверхность задана уравнением y y x, z , то
f x, y, z d f x, y x, z , z
Dxz
2
2
y y
1 dxdz .
x z
Аналогично, если поверхность задана уравнением x x y, z , то
2
2
x x
f
x
,
y
,
z
d
f
x
y
,
z
,
y
,
z
1
dydz ,
y z
D yz
где Dxz , Dyz – проекции на плоскости Oxz , Oyz .
2.5. Поверхностный интеграл 2-го рода
Рассмотрим ориентированную поверхность . Спроектируем элемент
поверхности i на координатную плоскость Oxy . Составим интегральную
сумму произведений значений функции в произвольной точке Pi i на Si –
величину площади проекции элемента i на координатную плоскость Oxy :
n
i 1
n
f ( Pi ) Si f ( xi , yi , zi ) Si .
i 1
Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметра разбиения к нулю называется поверхностным интегралом 2-го рода от функции
f ( x , y , z ) по определенной стороне поверхности и обозначается:
I xy f ( P)dxdy f ( x, y, z ) dxdy .
Знак (+) соответствует положительной (внешней), а (–) отрицательной
(внутренней) сторонам поверхности.
Если на данной поверхности заданы другие функции f1 ( x, y, z ) , f 2 ( x, y, z ) ,
то проектирование на другие координатные плоскости дает интегралы:
I yz f1 ( x, y, z )dydz , I xz f 2 ( x, y, z )dxdz .
Соединение этих интегралов дает общее выражение для поверхностного
интеграла 2-го рода:
17
I f ( x, y , z ) dxdy f1 ( x, y , z )dydz f 2 ( x, y , z )dxdz .
Между поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода существует следующая связь:
f ( x, y, z ) cos d f ( x, y, z )dxdy ,
причем при интегрировании по положительной стороне поверхности:
cos 0; cos d dxdy ,
а по отрицательной:
cos 0; cos d dxdy .
Поверхностные интегралы 2-го рода обладают всеми свойствами двойных
интегралов.
Поверхностный интеграл 2-го рода может быть также записан в более
a
ax , a y , az , где ax ax ( x, y, z ) , a y a y ( x, y, z ) ,
компактном виде. Пусть
az az ( x, y, z ) – векторное поле. Составим для координат этого вектора поверх-
ностный интеграл 2-го рода.
I ax ( x, y , z )dydz a y ( x, y, z )dxdz az ( x, y, z )dxdy
ax ( x, y, z ) cos a y ( x, y , z ) cos az ( x, y, z ) cos d .
Так как n0 cos ,cos ,cos , n0 – единичный вектор нормали к выбранной
стороне поверхности S , то I a ( x, y , z ) n0 d .
Вводя d n0 d – векторный элемент площади, направленный по нормали n0
и имеющий длину d , получаем I a ( x, y, z ) d .
3. ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
3.1. Определение потока векторного поля
Пусть a a P – непрерывное векторное поле, а – ориентированная кусочно-гладкая поверхность. Разобьем поверхность на n частей 1 , 2 , ..., n , каждая из
которых имеет площадь 1 , 2 , ..., n ,
и выберем точку Pi на каждом из участков
i . В точке Pi построим единичный вектор
нормали n0 ( Pi ) к поверхности i .
18
Составим вектор i n0 ( Pi ) i с длиной i , направленный по норма
ли n0 ( Pi ) . Вычислим скалярное произведение a ( Pi ) i , просуммируем по
n
всем участкам a ( Pi ) i и рассмотрим предел суммы при max i 0 .
i 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если этот предел существует и не зависит от способа разбиения поверхности на участки i и от выбора точки Pi , то он называется по
током векторного поля a a P через поверхность .
П (a d ) a d
n
a ( P ) .
lim
i
max( ) 0 i 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Используя введенное ранее понятие поверхностного инте
грала 2-го рода, можно определить поток вектора a через поверхность как
поверхностный интеграл второго рода от вектора a по поверхности .
Поток вектора a – скалярная характеристика векторного поля.
3.2. Свойства потока
1.
Поток меняет знак на обратный с изменением ориентации поверхности :
(
a
d
)
(
a
d ) .
2.
Свойство аддитивности по отношению к области интегрирования. Если
поверхность можно разбить на несколько частей 1 , 2 , ..., n , то поток
векторного поля a через поверхность равен сумме потоков поля a через
поверхности 1, 2 , ..., n :
n
n
П Пi (a d ) .
i
3.
Свойство линейности
i
i
где и – некоторые постоянные.
3.3. Вычисление потока
Представим векторный дифференциаль
ный элемент поверхности в виде d n0 d ,
тогда
a d a n0d a n0 d ,
a) d .
(
a
d
)
a
n
d
(Пр
0
n
0
(a a ) d (a d ) (a d ) ,
19
Таким образом, по данной формуле поток сводится кинтегралу 1-го рода
по
поверхности от скалярного произведения вектора a P на нормаль n0 ( P )
к этой поверхности (иначе: от проекции поля a P на нормаль к поверхно
сти n0 ( P ) ).
3.3.1. Проектирование на одну координатную плоскость
Пусть поверхность задана явно уравнением z f ( x, y ) и однозначно
проектируется в область Dxy на координатной плоскости Oxy .
Тогда n f x, f y, 1 ,
n
n0
n
f x
f x
2
f y 1
2
;
f y
f x
2
f y 1
2
;
1
f x
2
f y
2
1
и поток вектора a a P a x, y , z через эту поверхность равен
a n0 d a n0
D
dxdy
cos
a n0 f x
2
f y 1 dxdy
2
D
ax x, y, f x, y f x a y x, y, f x, y f y az x, y, f x, y dxdy ,
Dxy
т. е. вычисление потока сводится к вычислению двойного интеграла. Знак зависит от направления положительной нормали к поверхности (нормали к положительной стороне поверхности).
Аналогичные формулы получаются при проектировании на другие координатные плоскости для поверхностей вида x f ( y, z ) и y f ( x, z ) .
3.3.2. Проектирование на три координатные плоскости
Пусть поверхность задана (неявно) уравнением F x, y, z 0 ;
n Fx, Fy, Fz , n
n
n0
n
Fx
2
Fy Fz ,
2
2
;
;
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Fx Fy Fz Fx Fy Fz Fx Fy Fz
Fy
Fx
20
Fz
Пусть , , – углы, которые образует нормаль с осями координат. Тогда
орт n0 имеет координаты: n0 (cos ,cos ,cos ) . Так как a ax , a y , az , то
a n0 ax cos a y cos az cos
и
a n0 d = ax cos d a y cos d az cos d .
Рассмотрим отдельные слагаемые:
a
z
cos d . Если поверхность описыва-
ется уравнением z z ( x, y ) , а поле a P в поверхностном интеграле берётся
в точке P , для любой его компоненты координата z выражается через x
dxdy
,и
и y , a z x, y , z a z x, y , z x, y , d
cos
dxdy
az cos d Dxy
az ( x, y, z ( x, y))cos cos Dxy
az ( x, y, z ( x, y))dxdy .
Знак (+) соответствует острому углу между нормалью и осью z (cosγ > 0), знак
(–) – тупому углу между нормалью и осью z (cosγ < 0).
Аналогично
ax cos d ax ( x( y, z), y, z )dydz ,
a
Dyz
y
cos d a y ( x, y ( x, z ), z )dxdz ,
Dxz
и окончательно имеем:
(a d ) a ( x,( y, z), y, z)dydz a ( x, y( x, z), z)dxdz a ( x, y, z( x, y))dxdy .
x
y
Dyz
Dxz
z
Dxy
1). Знаки перед слагаемыми соответствуют знакам направляющих косинусов
нормали cos ,cos ,cos .
2). Вычисление потока векторного поля сводится к вычислению трёх двойных
интегралов при условии, что поверхность взаимно однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Если это не имеет места, поверхность нужно разбить на однозначно проектирующиеся участки.
3). Указанная формула устанавливает связь между потоком и поверхностным
интегралом 2-го рода
(
a
d ) ax ( x, y, z )dydz a y ( x, y, z )dxdz az ( x, y, z )dxdy .
21
3.4. Физический смысл потока
Пусть a P – поле скоростей некоторой жидкости
a V , а – некоторая поверхность в поле, тогда:
a d a n0 d = V cos d = np n0V d – объём столба
жидкости с основанием d и высотой Пр n0V , т. е. объем
жидкости, протекающей через площадку d в единицу вре
мени в направлении n0 . Суммируя по поверхности , получаем, что
– поток жидкости, протекающей через поверхность в единицу времени.
ПРИМЕР. Вычислить поток векторного поля радиус
вектора a r ( x, y, z ) через внешнюю сторону цилиндра
(H – высота, R – радиус).
Решение:
a (r ) r , 1 2 3 , следовательно,
1 2 3.
П1 a d r n0 d ...
1
1
{ r n0 R , из рисунка ясно, что проекция r на
нормаль к 1 равна R}
…=
2
Rd
R
d
2
R
H.
1
1
П3 r d r n0 d ...
3
3
{из рисунка ясно, что проекция r на n0 по 3 равна H, т. е. a n0 H }
3
…=
Hd H d R H .
2
3
3
П 2 a d r n0 d 0 .
2
3
П П1 П2 П3 3R 2 H .
ПРИМЕР.
поток векторного поля
Вычислить
2
a(r ) y j zk через замкнутую поверхность ,
образованную поверхностями z x 2 y 2 и z 2
(нормаль внешняя).
22
a d
Решение:
Разобьем поверхность на две части 1 2 и представим поток в виде
П П1 П2 ;
П1 a d a n0 d ,
1
1
2
a (r ) (0, y , z ) ; n (2 x, 2 y, 1) ,
n
n 4 x 2 4 y 2 1 , n0 (знак выбирается «+», так как cos( ) 0 ),
n
2x
2y
1
n0
;
;
.
2
2
2
2
2
2
4 x 4 y 1 4 x 4 y 1 4 x 4 y 1
2 y3 z
П1
4x2 4 y 2 1
1
d
Dxy
2 y3 z
4x2 4 y2 1
4 x 2 4 y 2 1dxdy
(2 y 3 ( x 2 y 2 ))dxdy =…
Dxy
{перейдем в полярную систему координат}
2
2
... d φ d (23 sin 3 φ 2 ) ... 2 .
0
0
П2 a d a n0 d ...
2
2
{ n0 (0;0;1) (a n0 ) z }
... zdxdy 2 dxdy 2( 2) 2 4 .
Dxy
Dxy
П П1 П2 2 4 2 .
ПРИМЕР
Найдите поток вектора a xyi yz j xz k через
расположенную в первом октанте часть сферы
x 2 y 2 z 2 1 (нормаль внешняя).
Решение:
П ax dydz a y dxdz az dxdy
{компоненты поля и области интегрирования обладают симметрией
относительно замены x y z и D yz D xy D xz }
23
/ 2
1
0
0
П 3 az dxdy 3 x 1 x y dxdy 3 cos d 1 2 d
2
Dxy
2
Dxy
3
.
16
Важно отметить, что cosα, cosβ, cosγ положительны, перед всеми интегралами берется знак (+), так как сторона поверхности – внешняя.
3.5. Дивергенция векторного поля
Дивергенция – это дифференциальная и локальная (зависит от точки) количественная
векторного поля. Пусть вектор-функция
характеристика
a ( P) ax i a y j az k имеет непрерывные частные производные первого порядка по всем переменным.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дивергенцией векторного поля a a ( Р) в точке Р(x,y,z)
a ( x, y, z ) a y ( x, y, z ) az ( x, y, z )
называется число div a x
, или, опуская
z
y
x
a
a
a
аргументы: div a x y z . Используя оператор Гамильтона (набла):
z
y
x
i j k , дивергенцию можно записать в виде скалярного произвеx
y
z
дения div a ( a ) .
3.5.1. Свойства дивергенции
1. Линейность div (a b ) div a div b , где и – произвольные
постоянные.
2. Пусть u u ( x, y, z ) – скалярное поле, тогда div (u a ) u div a (a grad u) .
Доказательство:
(u ax ) (u a y ) (u az )
div (u a )
x
y
z
a y az
a
a u a y u az u
x
u x
a grad u u div a .
x
y
z
y
z
x
ПРИМЕР. 1). a r xi yj zk .
div r x
y z 111 3.
x
y
z
2). a (c1 , c 2 , c3 ) , div a
c1 c2 c3 0 .
x
y
z
24
3.6. Физический смысл потока через замкнутую поверхность
Рассмотрим
замкнутую поверхность , ограничивающую объем G в векторном поле a a ( P ) скоростей течения несжимаемой жидкости.
Поток вектора a a( P) через поверхность
П
(
a
d ) равен количеству жидкости, про
текающему через поверхность в единицу времени (символ
обозначает интеграл по за
мкнутой поверхности).
Обозначим единичный вектор внешней нор
мали n0 . Векторные линии входят и выходят из
замкнутой поверхности .
, n0 ; это означает, что жидкость втекает внутрь поВ точке P1 угол a
2
верхности.
В точке выхода P2 a
, n0 , жидкость вытекает. Поток векторного поля
2
a через замкнутую поверхность численно равен разности потоков жидкости,
втекающей и вытекающей в единицу времени со скоростью a в пространственную область G, ограниченную .
Если П 0 , жидкости вытекает больше, чем втекает, следовательно,
в области G есть источники поля.
Если П 0 , втекает жидкости больше, чем вытекает, значит в G есть стоки.
Если П 0 , это означает, что источников и стоков нет или они компенсируют друг друга.
3.7. Теорема Остроградского–Гаусса
Если в некоторой области G трёхмерного пространства, ограниченной замкнутой кусочно-гладкой поверхностью , задано непрерывно дифференциру
емое векторное поле a ax i a y j az k , то поток векторного поля a через
внешнюю сторону замкнутой поверхности равен тройному интегралу от
a a
a
функции x y z по области G, ограниченной поверхностью :
y
z
x
ax a y az
dxdydz .
x
y
z
G
Утверждение теоремы также известно, как формула Остроградского–Гаусса.
(a d )
25
Доказательство:
а) Рассмотрим
область
G,
правильную
в направлении оси Oz, которую будем называть
элементарной Hz областью. Это означает, что снизу и сверху она ограничена поверхностями: 1 :
z1 z ( x, y ) и 2 : z2 z ( x, y ) соответственно, а сбоку – цилиндрической поверхностью 3 с образующими, параллельными оси Oz, и направляющей Г.
Заметим, что часть 3 может и отсутствовать.
Аналогично определяются области H x и H y .
Рассмотрим одно слагаемое:
z2
az
z
az
dz dxdyaz ( x, y, z )
z
Dxy
z1
z2 ( x , y )
dxdydz dxdy
G
Dxy
z1 ( x , y )
= dxdy az ( x, y, z2 ( x, y )) az ( x, y, z1 ( x, y ) =
Dxy
= az ( x, y, z2 ( x, y )) dxdy az ( x, y , z1 ( x, y )) dxdy ...
Dxy
Dxy
{на 2 cos 0 , а на 1 cos 0 .
Учитывая, что dxdy cos d , получаем:
на 2 : dxdy cos d ,
на 1 : dxdy cos d }
…= az ( x, y, z )cos d + az ( x, y, z )cos d =…
2
Добавим интеграл по 3
1
a ( x, y, z)cos d в полученную сумму, так как на
z
3
3
cos всюду равен нулю, а следовательно, и
a ( x, y, z )cos d 0 .
z
3
Тогда
…= az ( x, y, z )cos d + az ( x, y, z )cos d + az ( x, y, z )cos d =
2
1
1 2 3
3
az ( x, y, z ) cos d = az ( x, y, z )cos d .
б) Рассмотрим пространственную область G, которую можно разбить на n
n
элементарных областей H z типа, т. е. G G . Докажем, что и в этом случае
k
k 1
справедлива теорема Остроградского-Гаусса.
26
Пусть 1 , 2 , 3 – нижняя, верхняя и боковая части поверхности ,
ограничивающей область Gk , тогда
n
az
az
dxdydz
dxdydz
z
z
k
1
G
Gk
k
k
k
k
n
az cos d az cos d az cos d
k 1 k
2 k
3k
1
n
az cos d = az cos d .
k 1 k
Поясним приведенную выше цепочку равенств:
тройной интеграл по области G разбивается на сумму тройных интегралов по областям Gk в силу линейности тройного интеграла;
тройные интегралы по областям G преобразуются в поверхностные инk
k
тегралы по поверхностям в силу пункта а) доказательства (так как интегралы по 3 равны нулю, а по поверхности 1 и 2 составляют в сумме
k
k
k
интеграл по поверхности );
k
поверхностные интегралы по поверхностям в сумме дают поверхностный интеграл по поверхности , ограничивающей область G (вклады от
дополнительных участков поверхностей, возникающих при разбиении области
G на части Gk , взаимно уничтожаются – поверхностный интеграл по дополнительному участку поверхности, разделяющему соседние области Gk и Gk 1 ,
возникает дважды, но положительные нормали для этих слагаемых имеют противоположные направления).
в) Для двух других слагаемых в правой части формулы применяем проектирование вдоль осей Ox и Oy (рассматривая области H x и H y и соответствующие разбиения) и получаем:
a y
ax
dxdydz
ax cos d .
dxdydz
a y cos d ;
y
x
G
G
Складывая эти равенства, получаем
ax a y az
(
cos
cos
cos
)
a
a
a
d
x
y
z
dxdydz .
x
y
z
G
Учитывая, что cos ,cos ,cos – координаты единичного вектора внешней
нормали n0 ,
k
( a x cos a y cos a z cos ) d a n0 d ( a d ) ,
получаем формулу Остроградского-Гаусса в векторной форме:
ax a y az
(
)
a
d
dxdydz .
x
y
z
G
27
Используя обозначение дивергенции, формулу Остроградского–Гаусса
можно записать в виде
(a n0 )d div a dxdydz .
G
Поток векторного поля (вектора) через внешнюю сторону замкнутой поверхно
сти равен тройному интегралу от diva по области G , ограниченной поверхностью .
Применение теоремы Остроградского-Гаусса
Вычисление объемов
ПРИМЕР. Вычисление объема произвольной области G можно заменить вы , окружаючислением поверхностного интеграла 2-го рода по поверхности
щей область G . Пусть a ( x, y , z ) r ; r ( x, y , z ) ; div(a) div(r ) 1 1 1 3 .
3dxdydz
x cos d y cos d z cos d , V
G
1
( xdydz ydxdz zdxdy) .
3
Вычисление потоков
2
2
2
ПРИМЕР. Вычислите поток поля a x i y j z k через замкнутую поверхность Σ: x 2 y 2 z 2 R 2 , z 0 z 0 .
Решение:
(a d ) diva dxdydz
G
(2 x 2 y 2 z )dxdydz ...
G
{перейдём в сферическую систему координат}
2
R
R 4
... d sin d r dr (2r cos sin 2r sin sin 2r cos )
.
2
0
0
0
2
2
2
2
2
ПРИМЕР. Найдите поток поля a x i y j z k через внешнюю сторону
полусферы: x 2 y 2 z 2 R 2 , z 0 .
Решение:
Воспользуемся результатами предыдущей задачи. Разобьем замкнутую поверхность на
полусферу 1 и поверхность 2 , которая представляет собой часть плоскости XOY.
R 4
П П1 П2
, П1 П П2 ,
2
28
2 a n0 d =
= ... a n0 ( x 2 i y 2 j z 2 k ) (0i 0 j 1k ) z 2 ...
т. к. на 2 z 0 и П1 П П 2 =
z d 0 ,
2
R
.
2
4
3.8. Инвариантное определение дивергенции
Пусть a a( P) – векторное поле, удовлетворяющее условию теоремы
Остроградского–Гаусса. Пусть точка M – произвольная точка области G. Выберем поверхность , охватывающую область G. Из теоремы Остроградского
Гаусса следует, что
(a n0 )d div a dxdydz .
G
Воспользуемся теоремой о среднем, согласно которой существует такая точка
a d
diva
М1, принадлежащая G, что diva |M1 V
a
d
;
(M1 )
,
V
где V – объем области G. Пусть стягивается в точку М, тогда М1→М,
и div a ( M 1 ) → div a ( M ) , т. е.,
( a d )
div a ( M ) lim
.
M
V
Поскольку правая часть выражения не зависит от системы координат (инвариантна), то и левая часть сохраняет свое значение независимо от того, в каких координатах описывается положение точки M. Приведенное выше
выражение дает инвариантное (не зависящее от системы координат) определение дивергенции.
3.8.1. Физический смысл дивергенции
(a d )
Поскольку величина
V
имеет смысл средней плотности потока
в пространственной области G (см. пункт 3.4), то lim
M
a d
V
div a есть
плотность потока в точке М.
Точки
поля,
в
которых
дивергенция
положительна,
т. е.
div a ( M ) 0 0 , называют источниками векторного поля, а точки, в кото
рых дивергенция отрицательна, div a ( M ) 0 0 – стоками векторного поля.
Векторные линии векторного поля начинаются в точках поля с положительной дивергенцией, а заканчиваются в точках с отрицательной дивергенцией.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величину div a ( M ) называют мощностью источника или
стока.
29
4. ЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ В ВЕКТОРНОМ ПОЛЕ
4.1. Понятие линейного интеграла
Рассмотрим дугу
AB , принадлежащую
кусочно
гладкой кривой L, и векторное поле a ax , a y , az , непрерывное на L. Разобьем дугу
AB произвольным образом точками A0, A1, …An на n частей. Обозначим
вектор, стягивающий концы дуги
Ai 1 Ai через ri .
Выберем точку Pi
Ai 1 Ai . Найдём скалярное произве
дение (a ( Pi ) ri ) и просуммируем по всем участкам дуг
n
S n (a ( Pi ) ri ) . Будем увеличивать число точек разбиения при условии
i 1
max ri 0 .
n
(
a
(
P
)
r
i i ) существует
max r 0
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если предел lim Sn lim
n
i
i 1
и не зависит от способа разбиения дуги
AB на отдельные участки и от выбора
AB
точки Pi, то он называется линейным интегралом вектора a по дуге
в направлении от А до В. Обозначение: (a dr ) . Координатная форма записи:
(a dr )
AB
=
AB
a dx a dy a dz =
x
y
z
AB
a ( x, y, z )dx a
x
y
( x, y, z )dy az ( x, y, z )dz ,
AB
n
(a dr ) = lim
max ri 0
AB
(a ( P ) r ) .
i
i 1
i
Линейный интеграл называют также криволинейным интегралом второго рода.
4.2. Свойства линейного интеграла
1.
Свойство линейности:
((
a
b
)
dr
)
(
a
dr
)
(
b
dr ) .
AB
2.
AB
Свойство аддитивности:
(a dr ) = (a dr ) +
AB
+ (a dr ) .
AB
AC
CB
3.
При изменении направления интегрирования линейный интеграл меняет
знак: (a dr ) = (a dr ) .
AB
BA
Свойства 1–3 доказываются из определения.
30
Определение криволинейного интеграла остается справедливым, если
начальная и конечная точка совпадают. На символе интеграла в этом случае
часто рисуют окружность, чтобы подчеркнуть, что кривая замкнута.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Криволинейный интеграл по замкнутому
контуру называется циркуляцией векторного поля по замкну
тому контуру: C (a dr ) .
L
Положительным направлением обхода считается то, при
котором область, ограниченная контуром, остается слева.
4.3. Вычисление линейного интеграла
Пусть
AB L и кривая L задана параметрическими уравнениями:
x x(t )
L : y y (t ) ,
z z (t )
x1 x(t1 )
x0 x(t0 )
при этом при t t0 имеем точку A : y0 y (t0 ) , при t t1 B : y1 y (t1 ) ,
z z (t )
z z (t )
0
1
0
1
тогда
(a dr ) a ( x, y, z )dx a
x
AB
t1
y
( x, y, z )dy az ( x, y, z )dz =
AB
= {ax ( x(t ), y (t ), z (t )) x (t ) a y ( x(t ), y (t ), z (t )) y az ( x(t ), y (t ), z (t )) z}dt ,
t0
где обозначения x , y , z означают дифференцирование по переменной t.
ПРИМЕР. Дано:
x R cos t
a zi xj yk , L: y R sin t , A (t0 =0), B (t1 =2 ).
z t 2
AB .
Вычислить линейный интеграл по
Решение:
a
dr
AB
2
2
zdx xdy ydz zx xy yzdt
t
AB
t
t
0
2
2
R
R
R
t sin t R2 cos2 t sin t dt t sin tdt R2 cos2 tdt R R2 .
2
2
2 0
0
0
31
4.4. Физический смысл линейного интеграла
Рассмотрим в качестве поля a силу F , приложенную к материальной точке Р и меняющуюся по величине и направлению при изменении местоположе
ния точки Р. dA ( F dr ) – работа по перемещению материальной точки по
участку dr , тогда ( F dr ) A – работа силы F по перемещению материаль
MN
.
ной точки по дуге MN
4.5. Ротор (вихрь) векторного поля
Пусть вектор-функция a a ( P) (ax , a y , az ) является непрерывно дифференцируемой в каждой точке области определения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ротором векторного поля (вектора) a называется век
тор, обозначаемый символом rot a , равный
a y ax az a y ax
a
rot a i z
k
j
.
z
x
y
z
y
x
Это выражение удобно записать в виде символического определителя
i
j
k
rot a
,
x y z
ax a y az
который
вычисляется разложением по первой строке (базисным векторам
i , j , k ); произведение частных производных на компоненты вектора понимает
a
ax x и т. п. С использованием
ся как дифференцирование последних, т. е.
z
z
вектора-оператора набла ротор можно записать как rot a a .
Если в некоторой точке поля rot a 0 , то поле в этой точке называется
безвихревым.
2
a
(
x
y
)
i
(
y
z
)
j
(
x
z
)
k
ПРИМЕР.
.
i
j
k
i x2 z y z
z
z
y
2
x z
j x2 z x z k y z x z
z
y
x
x
i j (2 x 1) 0k 1, 1 2 x, 0 .
rot a
x
xz
y
yz
32
4.6. Свойства ротора (вихря)
1. Линейность: rot (a b ) rot a rot b , где и – некоторые по
стоянные. Иначе, (a b ) a b .
2. Пусть u u ( x, y, z ) – скалярное поле, тогда rot ua [ grad u a ] u rot a .
В векторных обозначениях: [ (ua )] [u a ] u[ a ] .
Доказательство:
i
j
k
i (uaz ) (ua y ) j (uaz ) (uax )
[ (ua )]
x y z
z
z
x
y
uax ua y uaz
a ay az ax ay ax
k (uay ) (uay ) u i z
j
k
y
y z x z x y
x
u
u
i az a y
z
y
u
u u
u
j az ax k a y ay u rot a grad u a .
z
y
x
x
ПРИМЕР. Найти rot r a , где r – модуль радиус-вектора, a const .
rot r a grad r a r rot a grad r a
r 1
a r a .
r
r
4.7. Теорема Стокса
(устанавливает связь между циркуляцией и ротором)
Циркуляция векторного поля a ax i a y j az k (непрерывного с первыми
частными производными) по произвольному замкнутому кусочно-гладкому
контуру L равна потоку ротора вектора a через односвязную кусочно-гладкую
поверхность , натянутую на контур L :
(a dr ) (rot a d ) .
L
При этом выбор стороны поверхности и направление обхода контура L
согласованы (по правилу винта). Это соотношение называется также формулой
Стокса.
В координатном представлении формула Стокса выглядит как
az
ay
ax
az
ay
ax
a dx a dy a dz y z cos z x cos x y cos d .
x
L
y
z
33
Доказательство:
Для доказательства сгруппируем слагаемые в правой части с одинаковыми
координатами вектора a :
ax
ax
rot
a
d
=
cos
cos
(
)
d +
z
y
a
a
+ y cos y cos d +
x
z
a
a
+ z cos z cos d .
y
x
Рассмотрим первый из интегралов:
a
a
a cos ax
I1 x cos x cos d = x
cos
z
z
y
y
cos d .
Пусть поверхность является такой, что любая прямая, параллельная оси
z z
Oz , пересекает ее лишь в одной точке, тогда : z z ( x, y ) ; n , , 1 ,
x y
2
2
z z
, , 1
x y
z z
| n | 1 ; n0
cos ,cos ,cos ,
2
2
x y
z z
1
x y
cos
z
тогда
, так как
n0 , Oz ; cos d dxdy . Переходя к двойному
y
cos
2
интегралу по Dxy : , получим
Dxy
a ( x, y, z ) z ax ( x, y, z )
I1 x
dxdy .
z
y
y
Dxy
По формуле дифференцирования сложной функции, записывая полную производную сложной функции, имеем:
ax ( x, y, z ( x, y )) ax ( x, y, z ) ax ( x, y, z ) z
.
y
y
z
y
Двойной интеграл по области Dxy распишем как повторный:
ax
z
Dxy
b
y ( x)
2
ax
(
x
,
y
,
z
(
x
,
y
))
dxdy
dx
a y ( x ) y ( x, y, z ( x, y))dy =
1
34
b
b
a
a
= ax ( x, y2 ( x), z ( x, y2 ( x))dx + ax ( x, y1 ( x), z ( x, y1 ( x)) dx = ax ( x, y, z )dx .
L
Окончательно,
a
a
I1 x cos x cos d ax ( x, y, z )dx .
z
y
L
Если поверхность , натянутая на контур L , не допускает однозначного
проектирования на координатную плоскость Oxy , ее всегда можно разбить на
конечное число частей i , обладающих этим свойством, и для каждой из частей будет справедливо приведенное выше равенство, что даст в сумме
a
a
i zx cos yx cos d i ax ( x, y, z )dx .
Li
i
Границы Li этих частей i поверхности будут состоять
из участков контура L и дополнительных линий. Вклады в линейные интегралы от этих дополнительных границ в сумме дадут нуль (для двух соседних частей поверхности один и тот же
участок границы проходится дважды, но в противоположных
направлениях!). Таким образом, полученная выше формула для
поверхности специального вида сохраняет справедливость и
в более общем случае.
Остальные два слагаемых рассматриваются аналогично.
Почленное суммирование этих выражений приводит к формуле
Стокса.
Следствие
Для того чтобы криволинейный интеграл по любому кусочно-гладкому
контуру равнялся нулю, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
a a ax az a y ax
. Эти условия – не что иное, как равенСтокса: z y ;
;
x x
y
y
z z
ство нулю всех координат вектора rot a .
ПРИМЕР. Вычислите циркуляцию вектора a yi x 2 j zk по контуру L:
x 2 y 2 4;
z 3;
Решение:
Перейдем к параметрическому представлению
x 2 cos t ;
кривой: y 2 sin t ;
z 3.
35
C ydx x dy zdz
2
L
2
2
2sin t (2sin t ) 4cos
0
2
2
2
t 2cos t 3 0 dt
2
1 cos 2t
4 sin t dt 8 cos t d sin t 4
dt 8 1 sin 2 t d sin t
2
0
0
0
0
2
2
1
sin 3 t 2
2
2
2
|0 4 ;
4t |0 sin 2t |0 8sin t |0 8
2
3
C (rot a d ) (rot a n0 )d (rot a (0i 0 j 1k ))d (rot a ) z d =…
i
rot a
x
y
j
y
x2
k
0i 0i (1 2 x) k
z
z
2
2
2
2
0
0
0
0
... (2 x 1)dxdy d (2 cos 1)d d (2 cos 1)d
Dxy
2
d 2 sin |0
0
2
2
2
4 4 .
2 2
2
2
4.8. Инвариантное определение ротора
i
j
k
Ранее было дано определение ротора rot a
x
ax
y
ay
, справедливое
z
az
лишь в декартовой системе координат.
Теорема Стокса позволяет дать инвариантное (независящее от системы координат) определение ротора векторного поля.
Пусть a a ( P ) – векторное поле, удовлетворяющее
теореме Стокса; n0 – некоторое фиксированное направление, проходящее через
точку М; D – плоская область величины S D , охватывающая точку М и перпен
дикулярная вектору n0 , а L – граница области D. Направления обхода контура
L и ориентация области D согласованы в соответствии с теоремой Стокса:
(a dr ) (rot a d ) (rot a n0 ) d пpn0 rot a d .
L
D
D
D
По теореме о среднем в области D существует точка M 1 , такая, что
пpn0 rot a ( M 1 ) S D (a dr ) .
L
36
Тогда пpn0 rot a ( M 1 )
(a dr )
L
SD
. Будем стягивать контур L в точку М, тогда точ
ка M1 → M и пpn0 rot a ( M ) = lim
(a dr )
L
L
– средняя поверхSД
SD
ностная плотность циркуляции поля по площади SD, то проекция rot a на
правление n0 не зависит от выбора систем координат и равна поверхностной
плотности циркуляции вектора a по контуру L, который стягивает площадку,
перпендикулярную этому направлению.
LM
. Так как
(a dr )
4.9. Физический смысл ротора
Пусть вектор a V ( P) задает поле линейных скоростей жидкости, движу
щейся вокруг оси Oz, и в точке Р угловая скорость вращения k .
Тогда
i j k
V ( P) r 0 0 yi xj ,
x y z
вычислим
i
j
rot V ( P )
x y
y x
k
0 i 0 j ( )k 2k .
z
0
Таким образом, ротор поля линейных скоростей равен удвоенной угловой
скорости вращения бесконечно малого объема, окружающего точку Р. Если
в эту точку жидкости поместить шарик, достаточно маленький, чтобы можно
было пренебречь его влиянием на распределение
скоростей в потоке жидкости,
он будет вращаться с угловой скоростью . Это объясняет название «вихрь»
вектора, так как в обычном представлении вихрь связан с интенсивностью вращения движущихся частиц жидкости (турбулентность, водоворот).
4.10. Формула Грина
Пусть в односвязной плоской области D, имеющей границу
L,
задано
непрерывно дифференцируемое векторное поле a ax i a y j az k , тогда
a y ax
a
dx
a
dy
=
(
(
)
y
L x
D x y ) dxdy , при этом контур обходится так, чтобы область D оставалась слева.
37
Доказательство:
Рассмотрим формулу Стокса для данного случая:
(a dr ) (rot a d ) .
L
i
j
D : cos 1, dxdy cos d ; rot a
x
ax
y
ay
k
; откуда следует:
z
0
a y ax
(
)
=
rot
a
dxdy
z
D
D x y dxdy .
Область D может быть и не односвязной. В этом
случае под линейным интегралом понимается сумма по
всем компонентам границы D.
В некоторых случаях формула Грина позволяет упростить вычисление
циркуляции векторного поля.
ПРИМЕР. Вычислите циркуляцию (двумерного) вектора
a 1 x 2 y 2 ; xy ln x 1 x 2 y 2
по контуру L: x 2 y 2 R 2 .
Решение:
C 1 x 2 y 2 dx xy ln x 1 x 2 y 2 dy .
L
x
1
a y
1 x2 y2
y
1
ax
,
y
y
;
y
1 x 2 y 2 x
1 x2 y2
x 1 x2 y 2
a y ax
1 y
dxdy I1 I 2 ,
C a dr
dxdy y
2
2
x
y
1 x y
L
Dxy
Dxy
I1
Dxy
2
dxdy
1 x y
2
2
R
d
0
0
ρdρ
1 ρ
2
2 1 ρ 2
R
2 1 R 2 ,
0
2
R
1
1
I 2 y 1
dxdy sin d 1
1 x 2 y 2
1 ρ2
Dxy
0
0
Окончательно C 2 1 R 2 .
38
ρdρ = 0 .
5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВИДЫ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
5.1. Потенциальное векторное поле
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторное поле a a ( P) называется потенциальным, если
оно является градиентом некоторого скалярного поля (функции) u u ( P) , т. е.
a grad (u ) . Это векторное равенство равносильно трем скалярным:
u ( x, y, z )
u ( x, y, z )
u ( x, y, z )
; ay
; az
a x ( x, y , z )
.
x
z
y
Иначе:
du ax dx a y dy az dz .
Функция u в этом случае называется силовой функцией, или потенциалом
поля. Потенциал u определяется с точностью до постоянного слагаемого.
r
ПРИМЕР. Покажите, что поле a 3 потенциально.
r
1
r
Рассмотрим функцию u ;
x
u
1 1
1
2x
;
2
x2 y 2 z 2 2
x
x r r x
r 2 x2 y 2 z 2 r 3
r
u y u z
3 grad (u ) 3 ; a grad (u ) , т. е. u – потенциал поля a .
3;
y r z r
r
5.1.1. Условия потенциальности поля
Ниже предполагается, что векторное поле a a ( P) непрерывно в некоторой односвязной области G вместе с первыми частными производными.
Следующие четыре условия эквивалентны.
10 . Векторное поле a a ( P ) потенциально, т. е. в области G существует ска
лярное поле u u ( P) такое, что a grad (u ) .
20 . Векторное поле a a ( P) безвихревое, т. е. в области G rot (a ) 0 .
30 . Циркуляция векторного поля a a ( P) по любому замкнутому контуру L ,
лежащему в области G , равна нулю, (a dr ) 0 .
L
40 . Для любых двух точек A и B в области G линейный интеграл вектора a
B
не зависит в этой области от пути интегрирования, (a dr ) (a dr ) .
AB
39
A
Доказательство:
Покажем равносильность условий 30 и 40 .
Пусть линейный интеграл в поле
a a ( P) не зависит от пути интегрирования.
ACB
Соединим точки A и B двумя кривыми,
и
ADB , в совокупности образующими
замкнутый контур L ACBDA .
B
,
(
a
dr
)
(
a
dr
)
(
a
dr
)
(
a
dr )
ACB
A
Учитывая, что
(a dr )
(a dr )
ADB
ACB
ADB
ACB
( a dr ) ,
BDA
(a dr )
BDA
ACBDA
(a dr ) 0 .
ADB
(a dr ) (a dr ) 0 .
L
С другой стороны, пусть циркуляция векторного поля a a ( P) по замкнутому контуру L , лежащему в области G , равна нулю. Разобьем контур L на
ACB и
дуги
ADB , и, пройдя по предшествующей цепочке равенств в обратном
B
направлении, получим, что (a dr ) (a dr ) .
AB
A
Покажем равносильность условий 20 и 30 .
Пусть в области G rot (a ) 0 . Тогда, в силу теоремы Стокса, циркуляция
векторного поля a a ( P) по любому замкнутому контуру L , лежащему в обла
сти G , (a dr ) (rot a d ) 0 .
L
С другой стороны, пусть циркуляция векторного поля a a ( P) по произвольному кусочно-гладкому замкнутому контуру L , лежащему в области G ,
равна нулю. Рассматривая плоские контуры L и плоские поверхности D, натянутые на эти контуры (см. параграф 4.8), из теоремы Стокса получим, что
(a dr ) (rot a d ) (rot a n0 ) d пpn0 rot a d 0
L
D
D
D
для любых площадок D и любых направлений нормали n0 . Проекция вектора в
любой точке и на любое направление может равняться нулю тогда и только то
гда, когда сам вектор равен нулю, т. е. rot a 0 .
Таким образом, условия 20 , 30 и 40 равносильны. Покажем эквивалентность им
условия 10 .
40
Пусть поле a a ( P) потенциально, a grad (u ) . Рассмотрим
i
j
rot a
x
ax
y
ay
k
i
j
rot ( grad (u ))
z
x
u
az
x
y
u
y
k
z
u
z
2u
2u 2u
2u 2u
2u
i
j
k 0 rot a 0.
yz zy
xz zx
xy yx
Пусть a a ( P ) – безвихревое поле, rot a 0 . Рассмотрим
(
a
dr ) , где
AP
начальная точка A x A , y A , z A фиксирована, а точка P( x, y, z ) – произвольная
точка области G . При этих условиях криволинейный интеграл станет некотоP
рой функцией переменной точки P( x, y, z ) , (a dr ) (a dr ) u P . Вычис
AP
A
лим производную функции u P в точке P . Возьмем точку P , близкую к P .
При переходе от точки P к точке P функция u P получит приращение
u
'
PP
(a dr )
пpPP ' a dl пpPP ' a ( P1 ) l ,
'
PP
u
пpPP 'a ( P ') . Переходя
l
u u
пpPP a ( P) . Поскольку
к пределу при P P и l 0 , имеем lim
l 0 l
l
u
по направлению PP равняется проекции grad (u ) на это
производная поля
l
направление, пpPP grad (u ) , то имеем пpPP a ( P ) пpPP grad (u ) для любого
направления PP . Это возможно только при a grad (u ) .
где P1 PP ' по теореме о среднем. Следовательно,
Чаще всего эти условия используют в виде следующего критерия потенциальности векторного поля:
Для того чтобы векторное поле a a ( P ) в некоторой односвязной области
G было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихре
вым, т. е. rot a 0 .
41
5.1.2. Вычисление потенциала поля
Для вычисления потенциала u P векторного поля a ( P) воспользуемся
полученной в предыдущем параграфе формулой:
P
u P (a dr ) (a dr ) ax dx a y dy az dz ,
AP
A
AP
где А (x0, y0, z0) – фиксированная точка
поля, координаты которой удовлетворяют
условиям существования полей
a и rot a (как правило, А(0,0,0)),
а Р(x,y,z) – текущая точка поля.
Линейный интеграл вычисляется по
AP . Наиболее
любому контуру дуги
удобен для вычисления контур в виде
ломаной, звенья которой параллельны
осям координат.
В этом случае
x
y
z
x0
y
z
u ( x, y, z ) ax ( x, y0 , z0 ) dx a y ( x, y, z0 ) dy az ( x, y, z )dz .
0
0
2
2
2
ПРИМЕР. Докажите, что поле a x i y j z k является потенциальным,
и найдите его потенциал.
Решение: Используя критерий потенциальности поля, имеем: rot (a ) 0 , откуда
a – потенциальное поле.
u P ax dx a y dy az dz x 2 dx y 2 dy z 2 dz ... ... ... .
AP
AP
AP1
P
1P 2
P
2P
AP1 : x 0 dx 0; y 0 dy 0;
P
1 P 2 : x const dx 0; z 0 ;
P
2 P : x const dx 0; y const dy 0 ,
x
y
3
z
x3 y 3 z
2
2
2
c.
0 x dx 0 y dy 0 z dz 3
x3 y 3 z 3 3x 2 3 y 2 3z 2
2
2
2
.
i
j
k
x
i
y
j
z
k
Проверка: grad u grad
3
3
3
3
5.2. Соленоидальное поле
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторное поле a a ( P) называется соленоидальным
(трубчатым), если в каждой точке P заданного поля div(a ) 0 .
42
5.2.1. Свойства соленоидального поля
1.
2.
Соленоидальные поля не имеют источников и стоков, что следует из определения.
Поток a через любую замкнутую ориентированную кусочно–гладкую поверхность, лежащую в поле, равен нулю
П
(
a
d ) div a dV 0 .
G
3.
В соленоидальном поле векторные линии не могут начинаться или кончаться, они либо замкнуты, либо имеют концы на границе поля.
4. Поток векторного поля через поперечное сечение векторной трубки в соленоидальном поле
остаётся постоянным вдоль всей трубки.
Доказательство:
Рассмотрим область специального вида –
векторную трубку Т, ограниченную двумя поперечными сечениями Σ1, Σ2 и боковой поверхностью Σ3.
Вычислим поток через указанную поверхность.
1 2 3 diva dV 0
T
(по свойству 2);
3 боковой поверхности (a d ) (a n0 ) d 0 , так как на поверхно3
3
сти векторной трубки Σ3 вектор a направлен по касательной к поверхно
сти, т. е. (a n0 )3 (a n0 )3 0 .
Таким образом,
1 2 0 , 1 2 , (a d ) (a d ) (a d ) .
1
2
2
Если придать векторному полю смысл скорости течения жидкости, то количество жидкости, вытекающей из поперечного сечения векторной трубки, всегда равняется количеству жидкости, втекающей в нее.
ПРИМЕР. 1). Проверить, является ли соленоидальным поле:
a y 2i (x 2 y 2 )j z (3 y 2 1)k ?
Решение:
div a 2 y 3 y 2 1 0 a – не соленоидально.
2). При каком условии векторное поле a (r ) r будет соленоидальным?
Решение:
r
div a div (r )r (r )div r grad (r ) r 3 (r ) (r ) r
r
43
(r ) 2
r 3 (r ) (r )r или 3 (r ) r (r ) , r (r ) 3 (r ) ,
r
с
с
dφ
dr
ln ln c 3ln r ; φ 3 – поле соленоидально, если φ 3 .
3
r
r
φ
r
3 (r )
5.3. Операторы Гамильтона и Лапласа
5.3.1. Оператор Гамильтона (набла)
Многие операции векторного анализа могут быть записаны в сокращенной и удобной для расчётов форме с помощью символического оператора
Гамильтона «набла»: i j k ; ; .
x
y
z x y z
Выражение вида u ( x, y, z ) понимается как результат действия оператора
на соответствующую функцию. Тогда
u u u
u (x, y, z) i j k u (x, y, z) i j k ux i uy j uz k , grad u u .
x y
z
x y z
В этом операторе соединены дифференциальные и векторные свойства,
поэтому при действиях с ним необходимо пользоваться правилами векторной
алгебры и дифференцирования.
Выполняя действия с оператором «набла», удобно использовать так называемый символический метод, основанный на применении следующих правил:
1. Если оператор действует на какое-либо произведение, то вначале
используются его дифференциальные, а затем векторные свойства.
2. Чтобы отметить тот факт, что «набла» не воздействует на какую-либо величину, входящую в состав сложной формулы, эту величину помечают индексом c (const).
3. Все величины, на которые оператор «набла» не действует, в окончательном варианте ставятся впереди него.
ПРИМЕР. Используя символический метод, вычислите div a b .
Решение:
Воспользуемся свойствами смешанного произведения:
div a b a b a bc ac b b a a b
= b rot (a) a rot (b ) .
44
5.3.2. Оператор Лапласа
Дифференциальные операции второго порядка возникают в результате
двукратного применения к полям оператора «набла».
Если в области G задано скалярное поле u u ( P) , то операция вычисления
градиента порождает векторное поле: grad (u ) . В векторном поле u grad (u )
операция
вычисления
дивергенции
порождает
скалярное
поле:
( u ) div( grad (u )) , а операция вычисления ротора – векторное поле
u rot ( grad (u )) .
Если в области G задано векторное поле a a ( P ) , то операция вычисления
дивергенции порождает скалярное поле: div(a ) a . В скалярном поле
div(a ) a операция вычисления градиента порождает векторное поле:
a grad (div(a )) .
Если в области G задано векторное поле a a ( P ) , то операция вычисления
ротора порождает векторное поле rot (a ) . Применяя повторно к этому полю
оператор , получим скалярное поле div(rot (a )) a и векторное поле
rot (rot (a )) a .
При помощи оператора Гамильтона основные понятия теории поля можно
записать в виде операций векторной алгебры.
Рассмотрим некоторые операции второго порядка
1. Вихревое поле является соленоидальным: div (rot a ) 0 .
Раскроем смешанное произведение, учитывая, что векторное произведение
одинаковых векторов равно нулю: a a a 0 0 .
2.
Векторное поле a grad (u ) является безвихревым, так как
rot ( grad (u )) 0. Действительно, u u 0 u 0 .
3.
Рассмотрим операцию div( grad (u )) .
u u u 2u 2u 2u
j k = 2 2 2 u .
div( grad (u )) u div i
y
z x y z
x
2
2
2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальный оператор вида 2 2 2 назыx y z
вается оператором Лапласа. Оператор Лапласа можно представить как скалярное произведение оператора Гамильтона самого на себя:
2
2
2
2 2 2 .
x
y
z
Уравнение вида u 0 называется уравнением Лапласа и является одним
из основных уравнений математической физики. Непрерывное решение урав-
45
нения Лапласа u(x, y, z) называется гармонической функцией. Соответствующее
скалярное поле называется гармоническим или лапласовым.
Векторное поле является гармоническим, если оно является одновре
менно потенциальным и соленоидальным: rota 0 ; diva 0 .
Рассмотрим операцию rot (rot (a )) .
Формула двойного векторного произведения дает:
a b c b a c c a b {формула «бац минус цаб»}. Тогда
a a a diva 2 a grad (diva ) a .
Дифференциальные операции второго порядка удобно свести в таблицу.
Скалярное поле
g ra d
grad
div
rot
Векторное поле
div
grad ( diva )
div( grad (u )) u
rot ( grad (u )) 0
rot
div(rot (a )) 0
rot ( rot ( a )) grad ( diva ) a
Например, законы электромагнетизма описываются уравнениями Максвелла
в дифференциальной форме:
H
E
H ;
E ;
c t
c t
Иначе:
E
rot H ;
c t
H
rot E ;
c t
(1)
(3)
( E ) 0 ; ( H ) 0 .
div E 0 ;
(2)
div H 0 .
(4)
В данном случае нет зарядов и токов, а E , H – векторы напряжённости
электрического и магнитного полей; ε , μ – электрическая и магнитная проницаемость; c – скорость света.
H
Если продифференцировать (1) по t и подставить
из (3), то получим
t
2 E H
2 E
или
E .
c 2 t 2
c t 2
t
Преобразуем правую часть по формуле: E E E .
2 E c2
E .
Итак, для векторного поля E имеем уравнение 2
t
Это одно из основных уравнений математической физики, называемое
волновым уравнением.
46
6. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Поверхности и линии уровня
Производная по направлению
Градиент скалярного поля
№ п/п
Задание
Скалярное поле определено функцией
u
Ответ
2z
. Найти градиент поля в точке
x y2 z2
2
A 2, 3,1 . Построить поверхности уровня для
u
1
, u 1, u 2.
2
РЕШЕНИЕ:
Градиент скалярного поля u x, y, z определяется
u u u
grad
u
i
j
k.
равенством
x
y
z
Находим grad u в точке A.
u
x
№1
u
y
u
z
2 z x 2 y 2 z 2 2 x
A
2
4 xz
x
2
y2 z
A
A
2
4 yz
x
2 x
y z
2
3 12
2
2
2
2 2
2
2
49
3
,
49
A
2
2
2 2
Следовательно, grad u A
2 x2 y 2 z 2
x
y2 z2
A
2 3 6
i
j k.
49
49
49
6
.
49
2
2
A
Находим теперь поверхности уровня.
1
2z
1
1) u . 2 2 2 ,
2 x y z
2
x 2 y 2 z 2 4 z 0,
x 2 y 2 z 2 4 z 4 4, x 2 y 2 z 2 4 – сфера
2
с центром O в точке 0, 0, 2 и радиусом R,
равным 2. Точку 0,0,0 необходимо выколоть –
в ней поле не определено.
2) u 1.
2z
1,
x y2 z2
2
x 2 y 2 z 2 2 z 0,
x 2 y 2 z 1 1 – сфера с O 0, 0, 1 и R 1.
2
3) u 1.
47
2 3 6
i
j
k;
49
49
49
сферы с центром 0, 0, 2
и радиусом 2,
с центром
0, 0, 1 и радиусом 1,
с центром
0, 0,1 и радиусом 1,
с центром
A
4 2 1
y z 2z 2z
x y z
2
2
A
2 2
1
0, 0,
2
1
2
и радиусом .
OZ . У всех
сфер необходимо выколоть точку
0,0,0 .
2z
1,
x y2 z2
x 2 y 2 z 2 2 z 0,
2
x 2 y 2 z 1 1 – сфера
2
с O 0, 0,1 и R 1.
4) u 2.
2z
2,
x y2 z2
x 2 y 2 z 2 z 0,
2
2
1 1
x y z – сфера
2
4
1
1
с O 0, 0, и R .
2
2
2
2
На рисунке приведено сечение поверхностей
уровня плоскостью, проходящей через ось OZ .
У всех окружностей необходимо выколоть точку
0,0,0 .
Найти производную скалярного поля u x, y, z
в точке M по направлению вектора l , если
u x 2 arctg y z , l 3 j 4k , M 2,1,1 .
РЕШЕНИЕ:
Производная скалярного поля u x, y, z в точке M
по
направлению
вектора
l
равна
u
l
M
u
x
cos
M
u
y
cos
M
u
z
cos .
M
Находим частные производные функции
числяем их значения в точке M :
№2
u
x
u
y
u
z
M
и вы-
U
1
25
2 x M 2 2 4,
M
M
1
1 y z
2
M
1
1 y z
2
M
1
1 1 1
1
.
5
2
1
,
5
Находим направляющие косинусы вектора l :
0
3
4
0, cos , cos .
5
5
0 9 16
u
1 3 1 4 1
40 .
Следовательно,
l M
5 5 5 5 25
cos
№3
Найти производную скалярного поля u x, y, z
в точке M по направлению нормали
48
6
к поверхности S , образующей острый угол
с положительным направлением оси Oz, если
y2
u x y xz , S : x
2 z , M 1, 1, 4 .
2
2
2
РЕШЕНИЕ:
u
l
M
u
x
M
u
z
M
u
x
cos
M
u
y
cos
M
u
z
cos .
M
y
1
33
z2
42 ,
2
2 x
M 2 1
u
y
x
M
M
1,
2 xz M 2 1 4 8.
Если
поверхность
S
задана уравнением
F x, y, z 0 , то нормаль n к поверхности S имеет
F F F
,
,
.
x y z
вид: n
Находим нормаль к поверхности S в точке M .
y2
2 z , то
2
F
y M 1,
z
Так как у нас F x, y, z x 2
F
x
2x
M
2 1 2,
M
F
y
M
2.
M
По условию задачи нормаль образует острый угол
с положительным направлением оси Oz , следовательно, ее проекция на эту ось имеет
положитель
ный знак, т. е. искомая нормаль n 2,1, 2 .
Направляющие косинусы этого вектора:
2
1
2
2
, cos , cos .
3
3
3
4 1 4
33 2
1
2
1 8 6.
2 3
3
3
cos
u
n
M
Найдите единичный вектор нормали к поверхно2
2
2
сти u x y z в точке Р(1,1,1).
РЕШЕНИЕ:
По свойству градиента n u ,
grad u 2 xi 2 y j 2 zk ,
№4
u 2 xi 2 y j 2 zk 2i 2 j 2k = 2, 2,2 ,
n
1 1 1
n0 3 , 3 , 3 .
n
49
1 1 1
, ,
3 3 3
Найти угол между градиентами скалярных полей
U x, y, z и V x, y, z в точке M , если U
x
,
yz 2
V x 2 y 2 3z 2 .
РЕШЕНИЕ:
Градиент скалярного поля U x, y, z определяется
равенством grad U
U U U
i
j
k.
x
y
z
Находим grad U в точке M .
U
x
U
y
№5
M
M
1
yz 2
M
x
2
z
1
3 2,
2
1 1
2 3
1
1
3 2 3 2,
2
y M
2
x 2
2
3
2 3 3 6 3.
2
y z M
M
Таким образом, grad U M 3 2 i 3 2 j 6 3 k .
U
z
0
Аналогично находим grad V M .
V
1
V
2 x M 2
2,
x
y
2
V
z
M
6 z M 6
2 y M 2,
M
1
2 3.
3
Таким образом, grad V M 2 i 2 j 2 3k .
Вычислим косинус угла между градиентами
скалярных полей U и V в точке M .
cos
grad U grad V
grad U grad V
M
U xVx U yVy U zVz
U x2 U y2 U z2 Vx2 Vy2 Vz2
1 , 0.
M
Найти производную функции u
№6
x
y 2 z z 3 в точy
ке A 0,1, 2 в направлении, составляющем с осями
координат равные тупые углы.
РЕШЕНИЕ:
Производная скалярного поля u x, y, z в точке A
по направлению вектора l равна
u
l
A
u
u
u
cos
cos
cos .
x A
y A
z A
50
16 3
.
3
u
x
u
z
A
1
y
A
u
y
1
1,
1
A
x
2 2 yz 4,
y
A
y 2 3 z 2 13.
A
A
Находим направляющие косинусы вектора l :
cos 2 cos 2 cos 2 1,
cos cos cos ,
cos 0,cos 0,cos 0.
1
1
.
3cos 2 1, cos
cos cos
3
3
1
1 16 16 3
1
u
.
4
13
3
l A
3
3
3
3
Найдите наибольшую крутизну подъёма поверхности u = xy в точке Р (2,2,4).
РЕШЕНИЕ:
grad u max u ;
№7
l
y 1
y
u ux i uy j uz k = yx i x ln x j 0k ;
u ( yx y 1 ) 2 ( x y ln x ) 2
4 1 ln 2 2
(2 2) 2 (4 ln 2) 2 4 1 ln 2 2.
Векторные линии. Уравнения векторных линий
Найти векторные
линии в векторном поле
a 9 zj 4 yk .
РЕШЕНИЕ:
Векторные линии для векторного поля
a ax x, y, z i a y x, y , z j az x, y, z k описываются
системой дифференциальных уравнений
dx
dy
dz
.
a x x, y , z a y x, y , z a z x , y , z
№8
dx dy
dz
Согласно этой формуле, имеем
или
0 9 z 4 y
4 ydy 9 zdz ,
dx 0.
9 2
2
2 y z C1 ,
или
Интегрируя, получаем
2
x C2
4 y 2 9 z 2 C 2
1
x C2 ,
C
1
2C1 ,
т. е. векторные линии этого поля представляют
51
4 y 2 9 z 2 C12 ,
x C2 .
собой эллипсы с центрами на оси Ox, лежащие
в плоскостях, перпендикулярных к этой оси.
Найти векторные линии
поля
a z 3 i yj x 3 k .
РЕШЕНИЕ:
Векторные линии векторного поля a ax , a y , az могут быть найдены из системы
Для нашего поля имеем
dx dy dz
.
ax a y az
dx
dy
dz
.
z 3 y x 3
Решим эту систему с помощью метода составления интегрируемых комбинаций.
Равенство
dx
dz
образует первую интегрируz 3 x3
емую комбинацию.
№9
x 3 dx z 3 dz,
x 3 z 3
2
2
x 3
2
2
z 3
2
2
C
1,
2
x 32 z 32 C1 ,
x z C2 y.
C1.
Вычитая числители и знаменатели первой и третьей дробей, получаем вторую интегрируемую
комбинацию
d x z dy
.
zx
y
d x z dy
, ln x z ln y ln C2 , x z C2 y , C2 0 .
xz
y
Таким образом, векторные линии задаются системой
2
2
x 3 z 3 C1 ,
x z C2 y, C2 0,
т. е. являются линиями пересечения гиперболических цилиндров с плоскостями.
Поток векторного поля.
Дивергенция векторного поля.
Теорема Остроградского–Гаусса
Найти поток векторного поля a через часть плоскости P, расположенной в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz ), если
a xi 2 yj zk , P : x 2 y 3 z 1.
№10
РЕШЕНИЕ:
Запишем уравнение плоскости P "в отрезках":
x
y
z
1. Из него видно, что точки пересече12 13
ния плоскости P с координатными осями есть
52
1
18
1
B 0, , 0 ,
2
A 1, 0, 0 ,
1
C 0, 0, .
3
П a , n0 ds ,
где
S
S – часть плоскости P,
расположенная в первом октанте. Если плоскость
задана уравнением Ax By Cz D 0, то нормаль
ный вектор n A, B, C . Следовательно, для нашей
плоскости P n 1, 2,3 .
n
n0 .
n
n 1 22 32 14.
Так как нормаль образует
острые углы с осями коор
динат, то для n выбираем знак «+». Таким обра2
3
1
,
,
.
14 14 14
зом, n0 cos ,cos ,cos
П ax cos a y cos az cos ds
S
произведем проектирование
на плоскость Oxy
dxdy
ax cos a y cos az cos
cos
Dxy
a
Dxy
x
cos
cos
ay
az dxdy
cos
cos
1
2
x 3 2 y 3 z
Dxy
dxdy
1
z 1 x 2 y
3
1 4 1
x y 1 x 2 y dxdy
3 3 3
Dxy
1
1 1
x
2 2
0
0
dx
1 1
x
2
1
2
2
1 2 2
1 2
1
x
y
dy
dx
y
xy
0 3 3 3 y 0
3
3 3
2
1 1
1 2 1
1 1 1
1
x x x x dx
3 2
2 3 2
2 3 2
2
0
1
1
1
1
1 x3
1 5
1
5x2 8x 3 dx 5 4x2 3x 4 3 .
12 0
12 3
18
0 12 3
53
Найти поток векторного поля a через расположенную в первом октанте часть плоскости P
(нормаль образует острый
угол с осью Oz), если
a 5πxi 1 2 y j 4πzk ,
x
z
P : 4 y 1.
2
3
РЕШЕНИЕ:
Нормаль
к
плоскости
P
1 1
n , 4, . Она образует острые
2 3
углы с осями координат, следова1 1 1
тельно, n0 cos ,cos ,cos , 4, .
n 2
П a n0 ds
3
S
№11
проектирование
на плоскость Oxy
cos
cos
ax
ay
az dxdy
cos
cos
Dxy
3
5x 1 2 y 12 4z
2
Dxy
9
5
4
2
dxdy
x
z 3 1 4 y
2
2
1 1
x
8 4
0
0
dx
15
x
2 x 12 24 y 12 1 2 4 y dy
1 1
x
4
3
y2 8
dx x 12 1 y 24 1 2
2 0
2
0
2
1
1 9
3
x x 6 9 dx
8
4 2
2
0
2
2
3
3
3
3
3 1 x 2 2 x dx
16
8
2
2
0
2
1
3
3
3
3 1 x3 2 x 2 x
16
2
2 0
16
№12
3
1 3
3
9 9
5
3 .
2
2 4
2
2 4
2
Найти поток векторного поля a через часть поверхность S , вырезаемую плоскостями P1 и P2
54
0
(нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями),
если
a x y i x y j z 2 k , S : x 2 y 2 1, P1 : z 0,
P2 : z 2.
РЕШЕНИЕ:
1 способ. Найдем поток методом проектирования
на три координатные плоскости. Для этого воспользуемся формулой
П a ds ax dydz a y dxdz az dxdy.
S
Таким образом, для нашего вектора a
П x y dydz x y dxdz z 2 dxdy
S
x y dydz x y dxdz z dxdy П
2
1
S
S
П 2 П3 .
S
Вычислим каждый из
трех интегралов отдельно. Так как S – цилиндрическая поверхность
с образующей, параллельной оси Oz, то
П3 z 2 dxdy 0.
S
Из геометрических соображений понятно, что
нормаль n образует острый угол с осью Ox в тех
точках, где x 0, и тупой – в тех, где x 0, и аналогично острый (тупой) угол с осью Oy в точках,
где y 0 ( y 0 ).
Для вычисления интеграла П1 разобьем поверхность S плоскостью Oyz на
две части S1 и S2 ( S1 – та
часть, где x 0 ). Проекцией
S1 и S2 на плоскость Oyz является одна и та же область
Dyz, но при сведении поверхностного интеграла
к двойному в первом случае
перед интегралом берется знак «+», во втором –
«–», так как для S1 направляющий косинус нормали cos 0 , а для S2 – cos 0 .
55
П1 x y dydz x y dydz x y dydz
S
S1
dydz x y
x y
Dyz
x 1 y
S2
Dyz
2
dydz
x 1 y
2
1 y 2 y 1 y 2 y dydz 2 1 y 2 dydz
Dyz
Dyz
y sin t , dy cos tdt
2
1
2 dz 1 y 2 dy
t 1 , t 1
0
1
2
2
2
2
1 cos 2t
1
2
dt 2 t sin t
2 2 cos 2 tdt 4
2
2
2
2
2
2 0 0 2 .
2
2
Аналогично вычисляем П2 . При вычислении этого интеграла поверхность S разбиваем на две части плоскостью Oxz.
П2 x y dxdz
S
x y
Dxz
x
y 1 x
2
x y dxdz x y dxdz
S1 y 0
S2
dxdz x y
Dxz
1 x x 1 x
2
Dxz
2
dxdz
y 1 x
2
dxdz 2
1 x 2 dxdz 2 .
Dxz
Таким образом, П 2 2 0 0.
2 способ. Найдем по
ток векторного поля a
через часть поверхности цилиндра
x 2 y 2 1, вырезаемую
плоскостями z 0 и
z 2 как разность потока П1 через замкнутую поверхность S1 ,
образованную этим
цилиндром и этими
плоскостями, и потоков П2 и П3 через части плоскостей z 0 и z 2 ,
вырезаемые цилиндром x 2 y 2 1 .
Для вычисления потока П1 воспользуемся формулой Остроградского–Гаусса:
П
a ds diva dv ,
S
V
56
т. е. поток векторного поля через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции этого
поля по объему V , ограниченному данной поверхностью.
Вычислим дивергенцию вектора a.
a a y az
diva x
1 1 2 z 2 z.
x
y
z
Таким образом,
перейдем в цилиндрическую
2 zdv
П1
S a ds
систему
координат
V
1
2
1
2
1
2 d d zdz 2 2 2 4.
2
0
0
0
Вычислим теперь поток П2 через круг S2 , являющийся нижним основанием цилиндра, в направлении внешней к цилиндру нормали.
Для S2 единичный вектор нормали n0 0, 0, 1 .
П2 a ds a n0 ds az cos ds z 2
S2
S2
S2
Dxy
dxdy 0.
z 0
Аналогично вычисляем П3 через верхнее основа
ние цилиндра S3 . Для S3 n0 0, 0,1 .
П3 a n0 ds z2
S3
Dxy
dxdy 4 dxdy 4 Sкруга 4R2
z 2
Dxy
4.
R1
Таким образом, П П1 П2 П3 4 0 4 0.
Найти поток векторного поля a через часть поверхности S1 , вырезаемой плоскостью P (нормаль внешняя к замкнутой поверхности,
образуемой данными поверхностями), если
a xi y z j z y k , S1 : x 2 y 2 z 2 9,
P : z 0, z 0 .
№13
РЕШЕНИЕ:
1 способ. Найдем
поток методом
проектирования на
одну координатную плоскость.
Поверхность S1
однозначно проектируется в круг на
координатной плоскости Oxy.
57
54
dxdy
.
П1 a n1 ds a n1
cos
S1
Dxy
Находим n1 .
F F F
i
j
k
x
y
z
n1 cos i cos j cos k
F 2 F 2 F 2
x
y z
где F x, y, z 0 – уравнение поверхности.
,
У нас F x, y, z x 2 y 2 z 2 9.
F
F
F
2 z.
2 x,
2 y,
z
x
y
Таким образом,
2 xi 2 yj 2 zk
xi yj zk
n1
.
x2 y2 z 2
4 x2 4 y 2 4 z 2
Из геометрических соображений понятно, что
внешняя нормаль образует острый угол с осью
Oz , т. е. cos 0. z 0, следовательно, интересую
xi yj zk
щая нас единичная нормаль n1 2 2 2 .
x y z
П1
Dxy
x x y z y z y z x2 y 2 z 2
z
x2 y 2 z 2
x2 y 2
y z y
z
z
z
Dxy
Dxy
x2 y 2 z 2
z
z 9 x2 y 2
dxdy
9 x2 y 2
dxdy
z 9 x2 y 2
dxdy
Dxy
9
9 x2 y 2
dxdy
перейдем в полярную 2 3 d
систему координат 9 d
9 2
0
0
2
3
3
1 d 9
9 2
9 2 9 2 54.
0
2 0 9 2
2 способ. Найдем поток векторного поля a как
разность потока П через замкнутую поверхность,
состоящую из полусферы x 2 y 2 z 2 9 z 0
и ограничивающей ее плоскости, и потока П2 через данную часть плоскости z 0.
58
a y az
a
П
diva dv x
S a ds
x
y
z
V
V
1
2
1 1 1 dv 3 dv 3Vполушара 3 R3
3
V
V
Для плоскости z 0 n2 0, 0, 1 .
П2 a n2 ds az cos ds z y
S2
Dxy
54.
R 3
dxdy
z 0
перейдем в полярную
ydxdy систему координат
Dxy
S2
dv
2
3
2
0
0
0
d sin d cos
3
3
3
0.
0
Следовательно, П1 П П2 54 0 54.
Найти поток векторного поля a через замкнутую
S
поверхность
(нормаль внешняя), если
2x 2y z 4,
a 2 y 5 x i x 1 j 2 xy 2 z k , S :
x 0, y 0, z 0.
РЕШЕНИЕ:
Уравнение плоскости 2 x 2 y z 4 "в отрезках":
x y z
1.
2 2 4
№14
Поток векторного поля a
через замкнутую поверхность S в направлении
внешней нормали
П a ds div a dv.
–8
V
Вычисляем
diva 5 0 2 3.
Поэтому
1 1
П 3 dv 3Vтреуг. пирамиды 3 2 2 4 8.
3 2
V
Найти поток векторного по
ля a через замкнутую поверхность S (нормаль
внешняя), если
№15
a x z i yk ,
16
z 8 x 2 y 2 ,
S :
2
2
z x y .
59
РЕШЕНИЕ:
П
a
ds
div
a
dv, где V – тело,
S
V
ограниченное замкнутой поверхностью S , образованной парой параболоидов вращения.
Вычислим div a 1 0 0 1.
П dv
V
переходим в цилиндрическую
систему координат
2
2
8 2
0
0
2
d d
2
dz 2 8 22 d
0
2
2 4
4 2 16.
4 0
Найти поток векторного поля a через замкнутую
поверхность S (нормаль внешняя), если
a y 2 z 2 i xy y 2 j xz z k ,
x 2 y 2 1,
S :
z 0, z 1.
РЕШЕНИЕ:
П
a
ds
S
divadv
.
V
Вычисляем div a 0 x 2 y x 1 2 x 2 y 1.
П 2 x 2 y 1 dv
V
№16
переходим в цилиндрическую
систему координат
2
1
1
0
0
0
2
1
d d 2 cos 2 sin 1 dz
d d 2 cos sin 1 z
0
0
0
1
2
1
23
2
d
cos
sin
0 3
2 0
2
2
sin cos .
20
3
60
π
Линейный интеграл в векторном поле.
Ротор (вихрь) векторного поля.
Теорема Стокса
Найти работу силы F при перемещении вдоль
линии L от точки M к точке N , если F xi xy 2 j ,
L : отрезок MN , M 1, 0 , N 0, 2 .
РЕШЕНИЕ:
Вычислим работу силы F , применяя
формулу
A F dl Fx dx Fy dy.
L
№17
L
Следовательно, A xdx xy 2 dy.
L
Так как вдоль линии L переменные связаны равенством, y 2 x 2, то dy 2dx.
Таким образом, криволинейный интеграл сводится к определенному интегралу:
0
7
6
0
A xdx x 4 x 2 8 x 4 2dx 8 x3 16 x 2 9 x dx
1
1
0
16
9
7
2 x 4 x3 x 2 .
3
2 1
6
Найти работу силы F при перемещении вдоль
линии L от точки M к точке N , если F x y i j ,
L : x 2 y 2 4 y 0 , M 2, 0 , N 2, 0 .
РЕШЕНИЕ:
Запишем уравнение
кривой L в параметри x 2 cos t ,
y 2sin t.
ческом виде:
№18
Точке M соответствует
t 0, точке N – t .
Вычислим работу силы F :
2π
A F dl Fx dx Fy dy
L
t2
L
Fx x t , y t x t Fy x t , y t y t dt.
t1
Следовательно, A F dl x y dx dy
L
L
2cos t 2sin t 2sin t 2cos t dt
0
61
2sin 2t 4sin
2
t 2cos t dt
0
cos 2t 2t sin 2t 2sin t 0 2.
Найти криволинейный
интеграл вектора
a yi xj xyk вдоль дуги винтовой линии
x a cos t , y a sin t , z at от точки A a, 0, 0 до точки B a, 0, 2 a .
РЕШЕНИЕ:
Криволинейный интеграл вектора a вдоль линии
AB вычисляется по формуле
t2
a dx a dy a dz a x a
x
y
AB
№19
z
x t
y
yt az zt dt I .
t1
at 0,
t0
t1 0, t2 2.
at 2a, t 2
ax y sin t ,
2a 2
a y x a cos t ,
a2
az xy a cos t sin t sin 2t ,
2
2
xt a sin t ,
yt a cos t ,
zt a.
2
I
a2
a
sin
t
a
sin
t
a
cos
t
a
cos
t
sin 2t a dt
0
2
2
2
a3
a3
a 2 sin 2t dt a 2t cos 2t 2a 2 .
2
4
0
0
Найти циркуляцию векторного поля a вдоль кон-
тура ( в направлении, соответствующем возрас
y
3
танию параметра t ), если a i 3 xj xk ,
№20
x 2cos t ,
: y 2sin t ,
z 1 2cos t 2sin t.
РЕШЕНИЕ:
Исключая параметр t , можно
убедиться, что контур Г – эллипс, получающийся при пересечении цилиндра x 2 y 2 4 с
плоскостью x y z 1.
Вычисляем циркуляцию.
62
52
π
3
y
C a dl ax dx a y dy az dz dx 3xdy xdz
3
Г
Г
Г
переходим к параметрическому
заданию кривой
2
2sin t
2sin t 3 2cos t 2cos t 2cos t 2sin t 2cos t dt
3
0
2
4
sin2 t 16cos2 t 2sin 2t dt
3
0
2
52
26 22
cos 2t 2sin 2t dt .
3
3
3
0
Найти модуль циркуляции векторного поля a
вдоль контура , если a yzi xzj xyk ,
2
2
2
x y z 9,
: 2
2
x y 9.
РЕШЕНИЕ:
Контур – это общие точки сферы x 2 y 2 z 2 9
и цилиндра x 2 y 2 9, т. е. это окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 3,
лежащая в плоскости z 0. Перепишем уравнение
x 2 y 2 9,
кривой в виде:
z 0.
Способ 1.
Вычисляем модуль циркуляции
C
№21
a dr
a dx a dy a dz yzdx xzdy xydz .
x
y
z
Так как вдоль контура z 0, а следовательно, и
dz 0, то все три интеграла равны 0. Итак, C 0.
Способ 2.
Для вычисления циркуляции воспользуемся фор
мулой Стокса: C a dr rota n0 ds,
S
т. е. циркуляция вектора a по замкнутому контуру
равна потоку ротора этого вектора через поверхность S , ограниченную этим контуром.
Вычисляем ротор вектора a .
i
j
k
i
j
k
rot a
x y z
x y z
ax a y az
yz xz xy
i x x j y y k z z 2 xi 2 zk .
63
0
В качестве поверхности S можно взять круг, который вырезается цилиндром x 2 y 2 9 из плоско
сти z 0. Для этой поверхности n0 0, 0,1 .
Тогда C
2 x 0 0 0 2 z 1 ds 2 z
S
z 0
dxdy 0.
Dxy
Проверить формулу Стокса для поля вектора
1
a yzi xz x 3 j xyk , принимая за поверхность
8
интегрирования боковую поверхность пирамиды,
ограниченную плоскостями x 2 y 4 z 8, x 0,
y 0 z 0 , а за контур интегрирования – линию
ее пересечения с плоскостью z 0.
РЕШЕНИЕ:
Надо показать, что
a dr rot a n ds.
0
№22
S
Вычислим каждый из этих интегралов.
I1 a dr ax dx a y dy az dz
1
yzdx xz x 3 dy xydz.
8
Линия состоит из трех отрезков: OB , BA , AO ,
где O 0, 0, 0 , A 8, 0, 0 , B 0, 4, 0 .
OB : x 0, z 0 dx dz 0.
x
BA : y 4 , z 0 dz 0.
2
AO : y 0, z 0 dy dz 0.
Пусть контур обходится в направлении OBAO.
Тогда
I1 ...
... ... ...
OB
BA
AO
1
yz dx x z x3 dy xy dz
8
OB
1
y z dx x z x 3 dy xy dz
8
BA
64
1
y zdx x z x 3 dy x y dz
8
AO
8
1
1
x 1 x4
x 3 dy x3 d 4
8 BA
80
2 16 4
Найдем rot a.
i
8
64.
0
k
j
rot a
x
y
z
1
yz xz x 3 xy
8
3
3
i x x j y y k z x2 z x2 k .
8
8
Поверхность S состоит из трех треугольников:
OAC , OBC и ABC , где C 0, 0, 2 . Нормали к плоскостям, в которых лежат эти треугольники, выберем так, чтобы обход контура , наблюдаемый из
конца нормали, происходил против часовой
стрелки.
Для OAC n1 0, 1,0 rot a n1 0.
Для OBC n2 1,0,0 rot a n2 0.
Для ABC n3
1, 2, 4
1 4 16
I 2 rot a n0 ds
S
1, 2, 4
21
.
rot a n ds
3
ABC
произведем проектирование
на плоскость Oxy
8
3
3
x 2 dxdy x 2 dx
8
80
Dxy
4
x
2
dy
0
8
8
3 2 x3
3 4 x3 x 4
64 4 64 3 64,
x
dx
4
8 0
2
8 3
8 0
I1 I 2 .
Таким образом, мы убедились в справедливости
формулы Стокса для поля данного вектора.
65
Найти поток вихря вектора a 3 xz y i 2 xzj 5xyk
через: а) боковую поверхность конуса x 2 y 2 z 2 ,
z 4, б) сечение этого конуса плоскостью y 0 в
положительном направлении оси y.
РЕШЕНИЕ:
Найдем ротор (вихрь) вектора a.
i
j
k
rot a
i 5 x 2 x j 5 y 3 x
x
y z
3 xz y 2 xz 5 xy
k 2 z 3 3xi 3x 5 y j 2 z 3 k .
№23
а) Найдем поток вих
ря вектора a через
боковую поверхность
конуса П1 как разность потока П через
замкнутую поверхность
S : x2 y2 z 2 , z 4 и
потока П2 через основание этого конуса
а) 80,
б) 0.
S2 .
П
rot a ds div rot a dv 3 5 2 dv 0.
S
V
V
Для S2 n0 0, 0,1 .
П2 rot a ds rot a n0 ds rot a z cos ds
S2
S2
2 z 3
Dxy
S2
dxdy 5 dxdy 5S круга 5R 2
z4
Dxy
П1 П П2 0 80 80.
66
R4
80.
б) П rot a n0 ds.
S
Для плоскости y 0
n0 0,1, 0 .
П rot a y cos ds
S
4
3x 5 y
Dxz
y 0
z
4
z
x2
dxdz 3 dz xdx 3 dz
2
z
0
0
0.
z
Найти rot cf r , где c – постоянный вектор, r –
радиус-вектор точки, r r , f r – произвольная
дифференцируемая функция.
РЕШЕНИЕ:
Пусть c cx i c y j cz k . Тогда
cf r cx f r i c y f r j cz f r k .
i
j
k
rot cf r
x
y
z
cx f r c y f r c z f r
№24
i cz f r y c y f r
z
j cz f r x cx f r z
k c y f r cx f r y
x
i cz fy r cy fz r j cz fx r cx fz r
i
j
k
k cy fx r cx fy r fx r fy r fz r .
cx
cy
cz
Так как r xi yj zk , а r r x 2 y 2 z 2 , то
67
1
f r r r , c
r
f x r f r r
1
1
2 x f r r x.
r
2 x2 y2 z 2
1
1
Аналогично, f y r f r r y, f z r f r r z.
r
r
Следовательно,
i
1
rot cf r f r r x
r
cx
k
1
z f r r r , c .
r
cz
j
y
cy
Для поля вектора a yi 2 zj 3xk cos r , где
r – радиус-вектор точки, найти
a и a .
РЕШЕНИЕ:
Найдем a .
y cos r 2 z cos r 3x cos r
x
y
z
cos r
cos r
cos r
y
2z
3x
.
x
y
z
a
№25
1
1
cos r
cos r r x sin r x,
r
r
x
cos r
1
sin r y,
y
r
cos r
1
sin r z.
z
r
sin r
Таким образом, a
xy 2 yz 3xz .
3xy 2z2 sin r i
2cos r
r
2
3x yz sin r
j
3cos r
r
2xz y2 sin r k.
cos r
r
r
Теперь найдем a .
Пусть cos r f , yi 2 zj 3xk b . Тогда a fb .
a fb rot fb .
Ротор обладает следующим свойством:
rot fb f rot b grad f b .
68
sin r
xy 2 yz 3xz ,
r
i
rot b
x
y
j
k
2i 3 j k ,
y z
2 z 3x
f rot b cos r 2i 3 j k ,
cos r cos r cos r
sin r
i
j
k
xi yj zk ,
x
y
z
r
i
j
k
sin r
grad f b
x
y
z
r
y 2 z 3 x
grad f
sin r
r
3xy 2 z i 3x
2
2
yz j 2 xz y 2 k .
Следовательно,
3xy 2 z 2 sin r
i
a 2cos r
r
3x 2 yz sin r
2 xz y 2 sin r
j cos r
k.
3cos r
r
r
Потенциальное векторное поле
Показать, что поле вектора
1
y
a 2 xyi x 2 z j x 2 y 2 k является
z
z
потенциальным и найти его потенциал.
РЕШЕНИЕ:
№26
Необходимым и достаточным условием потенци
альности поля a является rot a 0.
В нашем случае
i
rot a
x
j
y
2xyz x2 z
k
z
y
1 2
x y 2
z
z
y
i x2 y 2
z
69
2 1
x
z
zz
y
x 2 yz
y
C.
z
y
1
j x2 y 2 2xyz z k x2 z 2xyz y
z x
zx
1
1
i x2 2 x2 2 j 2xy 2xy k 2xz 2xz 0.
z
z
Следовательно, поле a потенциально. Найдем потенциал поля.
U
ax dx a y dy az dz, где M 0 x0 , y0 , z0 – фиксиро-
M 0M
ванная точка, а M x, y, z – произвольная точка
поля. В силу независимости интеграла от формы
пути линию интегрирования выберем в виде лоломаной
M 0 M 1M 2 M , где отрезок M 0 M 1 параллелен оси Ox, отрезок M 1M 2 –
оси Oy, а отрезок M 2 M – оси Oz.
M 0 M 1 : y y0 , z z0 dy dz 0,
M 1M 2 : x const , z z0 dx dz 0,
M 2 M : x const , y const dx dy 0.
Тогда
y
x
z
1
y
U 2 xy0 z0 dx x 2 z0 2 dy x 2 y 2 dz
z0
z
x0
y0
z0
x y0 z0
2
y
x
x0
x 2 y0 z0 x02 y0 z0 x 2 z0 y
x 2 yz0
z
y
y
x 2 z0 y 2 x 2 yz
z0 y
z z0
0
y
y
y
x 2 z0 y0 20 x 2 yz
2
z0
z0
z
y
y y
y
x 2 yz 20 x02 y0 z0 x 2 yz C.
z0
z z0
z
70
7. ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
ДЗ № 1 Скалярные и векторные поля. Градиент
Сборник задач по математике для втузов: Ч. 3 / А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов [и др.]; под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. –
4-е изд., перераб. и доп. – М.: Физматлит, 2003. – 288 с.: ил.; 21 см. –
ISBN 5-940520-34-0.
№
п/п
№ по
Еф.
1
11.2
2
11.6
3
11.11
4
11.31
5
11.35
6
11.36
7
11.37
Задание
Ответ
Определите вид линий уровня
скалярного поля u xy .
Определите вид поверхностей
уровня скалярного поля
u x2 y 2 z .
Найдите векторные линии по
ля a yi j .
Найдите производную от поля
y2
2
ux
в точке P0 2, 1
2
по направлению вектора P0 P1 ,
где P1 6, 2 .
Найдите производную скалярx2 y 2 z 2
ного поля u 2 2 2 в
a
b
c
точке P a, b, c по направлению радиус-вектора этой точки.
Найдите угол между градиентами поля u x 2 2 y 2 z 2 в
точках P1 2, 3, 1 и P2 1, 1, 2
.
Найдите скорость и направление наибыстрейшего возрастания поля u xyz в точке
P 1, 2, 2 .
Гиперболы xy C
71
Параболоиды вращения
x2 y 2 z C
Параболы y 2 2 x C
13
5
6
a 2 b2 c2
cos
4
41
u
1
2i j k
2 6, n
n
6
ДЗ № 2
Криволинейные и поверхностные интегралы 2 рода
Сборник задач по математике для втузов: Ч. 3 / А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов [и др.]; под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. –
4-е изд., перераб. и доп. – М.: Физматлит, 2003. – 288 с.: ил.; 21 см. –
ISBN 5-940520-34-0.
№
п/п
№ по
Еф.
Задание
Ответ
Вычислите линейный интеграл 2 рода
2
2
,
если
a
dr
a
y
i
x
j , О 0,0 , В
OB
1,1 по следующим путям:
2
3
а) отрезок прямой ОВ,
1
11.72 б) дуга параболы y x 2 ,
в) дуга параболы x y 2 ,
2
11.75
0,7
0,7
г) ломаная ОАВ, где А 1, 0 ,
1
д) ломаная ОСВ, где С 0,1 .
1
Вычислите линейный интеграл 2 рода
,
если
a
dr
, OB –
a
yzi
xzj
xyk
OB
первый виток винтовой линии
2 2 a 2 h
x a cos t; y a sin t; z ht 0 t 2 .
Используя формулу Грина, вычислите инте3
11.81 грал
x ydx xy dy .
2
2
x 2 y 2 r 2
r 4
2
Используя формулу Грина, вычислите интеграл
4
11.82
x y
2
dx x 2 y 2 dy , где С –
C
треугольник с вершинами в точках О 0,0 ,
–1
А 1,0 , В 0,1 .
5
Вычислите поверхностный интеграл 2 рода
dxdy
11.84
S z , если S – внешняя сторона сферы
72
4a
x2 y 2 z 2 a2 .
Вычислите поверхностный интеграл 2 рода
2
x dydz , если S – внешняя сторона части
6
11.85
S
поверхности параболоида z
x 0, y 0, z H .
ДЗ № 3
H 2
x y2 ,
2
R
4 HR 3
15
Дивергенция. Поток
Сборник задач по математике для втузов: Ч. 3 / А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов [и др.]; под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. – 4-е изд.,
перераб. и доп. – М.: Физматлит, 2003. – 288 с.: ил.; 21 см. – ISBN 5-940520-34-0.
№
п/п
№ по
Еф.
1
11.95
2
3
4
3
5
11.99
11.88
Задание
Ответ
Найдите div xyi yzj zxk .
Магнитное поле, создаваемое электрическим
током силы I, текущим по бесконечному проводу, определяется формулой
yi xj
H P H x, y 2 I 2
. Вычислите
x y2
div H P .
Найдите поток вектора a 2 xi yj через
часть поверхности цилиндра x 2 y 2 R 2 ,
0 x, 0 y, 0 z H в направлении внешней нормали.
Найдите поток вектора a x 2 i y 2 j z 2 k
2
2
2
2
через
часть
сферы
x
y
z
R
,
11.90
0 x, 0 y, 0 z , в направлении внешней
нормали.
Найдите поток вектора a x3i y 3 j z 3 k
11.103 через всю поверхность куба,
0 x a, 0 y a, 0 z a в направлении
внешней нормали.
По теореме Остроградского-Гаусса найдите
поток вектора a x 2 yi xy 2 j xyzk через
11.108 всю поверхность тела x 2 y 2 z 2 R 2 ,
x 0, y 0, z 0 в направлении внешней
нормали.
73
x yz
0
R 2 H
4
R 4
8
a5
R5
3
6
7
8
9
10
11
11.109
Найдите поток вектора
a x 2 yi xy 2 j x 2 y 2 zk через всю поверхность тела x 2 y 2 R 2 , 0 z H
в направлении внешней нормали.
11.110 Найдите rot xyz xi yj zk .
Найдите ротор поля a , c , если
11.113
a x 2 i y 2 j x 2 k и c i j 2k .
По теореме Стокса найдите
циркуляцию век
2
2
2
тора a z i x j y k по сечению сферы
11.119
x 2 y 2 z 2 R 2 плоскостью x y z R
в положительном направлении орта k .
11.127 Найдите grad div a , если a x3i y 3 j z 3 k .
Найдите rot rot a , если
11.128
a xy 2 i yz 2 j zx 2 k .
74
R 4 H
2
x z2 y2 i
y x2 z 2 j
z y 2 x2 k
2 yi 2 xj
2 3 x 2 y k
4R 3
3
xi yj zk
0
8. РАСЧЕТНАЯ РАБОТА
Титульный лист
Министерство образования и науки Российской Федерации
Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б.Н. Ельцина
Кафедра высшей математики
РАСЧЕТНАЯ РАБОТА
МАТЕМАТИКА
Теория поля
Студент
Группа
Преподаватель
Вариант
Дата
Екатеринбург
2014
75
Вариант 1
1. Фигура ABC состоит из тонких прямых стержней AB, AC, BC с концами
в точках A 1,0 , B 0,2 , C 1,0 и с линейной плотностью x, y 1 y .
Найти момент инерции этой фигуры относительно оси ОХ.
2. Вычислить интеграл
xdx y x dy
вдоль дуги y sin x между точ-
AB
,1 .
2
ками A 0, 0 , B
3. Используя формулу Грина, вычислить циркуляцию векторного поля
x
A x, y i y j по контуру, образованному линиями L1 : x 2 y 2 1
y
и L2 : x 2 , при положительном направлении обхода.
4. Найти массу всей замкнутой поверхности, образованной поверхностями
z x 2 y 2 x 0, y 0 , x 0, y 0, z 4 ,
плотностью x, y, z x y .
2
с
поверхностной
2
5. Найти поток вектора A x, y, z y i e
2
x z , находящуюся внутри цилиндра
x y
j zk через часть плоскости
x 2 y 2 1 , в положительном
направлении относительно оси OZ.
2
6. Найти поток вектора A x, y, z xi y j zk через замкнутую поверхность,
ограничивающую
x 2 2 y 2
общую
часть
4 , в направлении внешней нормали.
7. Найти производную скалярного поля
x2 y 2 z 2 4 ,
шаров
u x, y, z rot A grad V , где
z
A x, y, z yi e x y j k , V x, y, z x ze y , в точке M(1,1,2),
x
по направлению вектора a i 2 j k .
значение параметра a, при котором векторное поле
z
A x, y, z yi ax j e k будет потенциальным, и найти его скалярный
8. Определить
потенциал.
76
Вариант 2
1. Фигура ABC состоит из тонких прямых стержней AB, AC, BC с концами
A 1,0 , B 0,2 , C 1,0
и
с
линейной
плотностью
в точках
x, y 1 y . Найти момент инерции этой фигуры относительно оси ОY.
2. Вычислить интеграл
x
2
y dx ydy вдоль дуги y cos x между точ-
AB
,0 .
2
ками A 0,1 , B
3. Используя формулу Грина, вычислить циркуляцию векторного поля
1
A x, y xyi j по контуру, образованному линиями L1 : x 2 y 2 4 ,
x
L2 : y 0 и L3 : y 1, при положительном направлении обхода.
4. Найти массу всей замкнутой поверхности, образованной поверхностями
z x 2 y 2 , z 1, z 4 ,
с
поверхностной
плотностью
1
x, y , z
.
2
2
x y
x2 y2
2
5. Найти поток вектора A x, y, z z i x j e
k через часть плоскости
z 2 y , находящуюся внутри цилиндра x 2 y 2 4 , в положительном
направлении относительно оси OZ.
6. Найти поток вектора A x, y, z
x 2 y 2 i yz j y 2 k через замкнутую
поверхность, ограничивающую общую часть
5 z x 2 y 2 2 , в направлении внешней нормали.
x2 y 2 z 2 4 ,
тел
7. Найти производную скалярного поля u x, y, z div grad div A , где
2
A x, y, z xyi zj y k , V x, y, z x ze y , в точке M(1,1,0), по
направлению вектора a 3i j k .
значение параметра a, при котором векторное поле
2z
A x, y, z i e j aye2 z k будет потенциальным, и найти его скалярный
8. Определить
потенциал.
77
Вариант 3
1. Фигура ABCD состоит из тонких прямых стержней AB, BC, CD, AD с концами в точках A 1,0 , B 1,3 , C 1,3 , D 1,0 и с линейной плотностью x, y 2 x . Найти момент инерции этой фигуры относительно оси
ОХ.
2. Вычислить интеграл
A 0,0 , B ,0 .
xydx xdy
вдоль дуги y sin x между точками
AB
3. Используя формулу Грина, вычислить циркуляцию векторного поля
A x, y 1 y 2 i xy j
по
контуру,
образованному
линиями
L1 : x 2 y 2 1 и L2 : y 2 2 x , при положительном направлении обхода.
4. Найти массу всей замкнутой поверхности, образованной поверхностями
z x 2 y 2 y 0 , y 0, z 4 ,
x, y , z x 2 y 2 .
с
поверхностной
5. Найти поток вектора A x, y, z zi x z
2
2
j
плотностью
1
k через часть
2
1 y
2
2
плоскости y x , находящуюся внутри цилиндра x y 9 , в положительном направлении относительно оси OY.
6. Найти поток вектора A x, y, z yi z j x y z k через замкнутую
поверхность, ограничивающую общую часть тел
x2 y 2 z 2 5 ,
z 1 x 2 y 2 в направлении внешней нормали.
7. Найти производную скалярного поля
u x, y, z div A grad V , где
y
A x, y , z
i zj yk , V x, y, z x y z , в точке M(–1,2,2), по
1 x
направлению вектора a i j 2k .
значение параметра a, при котором векторное поле
A x, y, z yi x 2 z j ayk будет потенциальным, и найти его ска-
8. Определить
лярный потенциал.
78
Вариант 4
1. Фигура ABCD состоит из тонких прямых стержней AB, BC, CD, AD с концами в точках A 1,0 , B 1,3 , C 1,3 , D 1,0 и с линейной плотностью x, y 2 x . Найти момент инерции этой фигуры относительно оси
ОY.
2. Вычислить интеграл
ydx xydy вдоль дуги y cos x между точками
AB
A ,0 , B ,0 .
2 2
3. Используя формулу Грина, вычислить циркуляцию векторного поля
A x, y xyi yj по контуру, образованному линиями L1 : x 2 y 2 1 ,
3
L2 : y 0 и L3 : y x, x 0 , при положительном направлении обхода.
5
4. Найти массу всей замкнутой поверхности, образованной поверхностями
z x 2 y 2 x 0, y 0 , z 1, z 4, x 0, y 0 , с поверхностной
x
плотностью x, y, z
.
2
2
x y
2
2
5. Найти поток вектора A x, y, z yzi sin x z j cos xk через часть
2
2
плоскости 2 y x , находящуюся внутри цилиндра x y 9 , в положительном направлении относительно оси OX.
2
6. Найти поток вектора A x, y, z xyzi y j zk через замкнутую поверхность,
ограничивающую
x 12 y 2 1 в
общую
часть
тел
x2 y 2 z 2 4 ,
направлении внешней нормали.
u x, y, z div A rot B , где
z
A x, y, z yzi j yk , B x, y, z xi zy 1 j zk , в точке
x
M(–1,0,2), по направлению вектора a i j k .
7. Найти
производную
8. Определить
значение
скалярного
поля
параметра
a,
при
котором
векторное
поле
2
2
A x, y, z axzi 2 yz j x y k будет потенциальным, и найти его
скалярный потенциал.
79
Вариант 5
1. Фигура ABCD состоит из тонких прямых стержней AB, BC, CD, AD с концами в точках A 1,0 , B 0,1 , C 1,1 , D 0,0 и с линейной плотностью
x, y 1 y . Найти момент инерции этой фигуры относительно оси ОХ.
2. Вычислить интеграл
2 y x dx xdy
вдоль дуги y sin 2 x между
AB
,0 .
2
точками A 0,0 , B
3. Используя формулу Грина, вычислить циркуляцию векторного поля
A x, y x y i x 2 j
по
контуру,
образованному
L1 : y 2 x 2 4 , L2 : x 1, L3 : x 1 и L4 : y 0
линиями
y 0 , при положи-
тельном направлении обхода.
4. Найти массу всей замкнутой поверхности, образованной поверхностями
x 2 y 2 z 2 1 x 0, y 0, z 0 , x 0, y 0, z 0 , с поверхност-
ной плотностью x, y, z x y z .
2
2
2
x 2 y
5. Найти поток вектора A x, y, z i z j e k через часть плоскости
y
y x , находящуюся внутри цилиндра y 2 z 2 4 , в положительном
направлении относительно оси OX.
6. Найти поток вектора A x, y, z xyzi y j zk через замкнутую поверхность, образованную поверхностями
в направлении внешней нормали.
2
x 2 y 2 z 2 2 , x 2 y 2 1
u x, y, z A grad V , где
A x, y, z yz 1 i xj yk , V x, y, z xyz , в точке M(–2,0,2), по
направлению вектора a i 2 j k .
7. Найти производную скалярного поля
8. Определить
A x, y , z
значение
параметра
a,
при
котором
векторное
поле
3
y i ax y j 2 zk будет потенциальным, и найти его ска-
лярный потенциал.
80
Вариант 6
1. Фигура ABCD состоит из тонких прямых стержней AB, BC, CD, AD с концами в точках A 1,0 , B 0,1 , C 1,1 , D 0,0 и с линейной плотностью
x, y 1 y . Найти момент инерции этой фигуры относительно оси ОY.
2. Вычислить интеграл
A 0,1 , B , 1 .
2
ydx xdy вдоль дуги y cos 2 x между точками
AB
3. Используя формулу Грина, вычислить циркуляцию векторного поля
A x, y y 1 x 2 i xj
по
контуру,
образованному
y 0 ,
L1 : y 2 x 2 1 , L2 : x 0 , L3 : x 1 и L4 : y 0
линиями
при положи-
тельном направлении обхода.
4. Найти массу всей замкнутой поверхности, образованной поверхностями
x 2 y 2 z 2 4 x 0, z 0 , x 0, z 0 , с поверхностной плотно-
стью x, y, z x y z .
2
2
2
2
x
5. Найти поток вектора A x, y, z y i ze j sin xk через часть плоско2
2
сти y 2 x , находящуюся внутри цилиндра y z 1, в положительном
направлении относительно оси OX.
6. Найти поток вектора A x, y, z x y i xzj zk через замкнутую поверхность,
образованную
x 2 y 2 z 2 1 ,
поверхностями
z 2 2 x 2 y 2 в направлении внешней нормали.
7. Найти производную скалярного поля u x, y, z div div A grad V , где
x
A x, y, z x y i zj yzk , V x, y, z
, в точке M(1,1,3), по
yz
направлению вектора a i j k .
значение параметра a, при котором векторное поле
2
y
A x, y, z az i 4e j xk будет потенциальным, и найти его скаляр-
8. Определить
ный потенциал.
81
Вариант 7
1. Фигура ABCD состоит из тонких прямых стержней AB, AC, BC, CD
с концами в точках A 1,0 , B 1,0 , C 0, 1 , D 0,1 и с линейной
плотностью x, y 2 x . Найти момент инерции этой фигуры относительно оси ОХ.
2
cos xdx ydy
2. Вычислить интеграл
вдоль дуги y tgx между точками
AB
A 0,0 , B ,1 .
4
3. Используя формулу Грина, вычислить циркуляцию векторного поля
1
A x, y 2 i xy j
y
по
контуру,
образованному
линиями
L1 : x 2 y 2 1 и L2 : y 2 , при положительном направлении обхода.
4. Найти массу всей замкнутой поверхности, образованной поверхностями
x 2 y 2 z 2 4 x 0, y 0 , x 0, y 0, z 1 , с поверхностной плот-
ностью x, y, z z .
2
5. Найти поток вектора A x, y, z sin x z i 2 j yk через часть плос2
2
кости y z , находящуюся внутри параболоида z x y , в положительном направлении относительно оси OZ.
3
6. Найти поток вектора A x, y, z x i y z j zk через замкнутую поверхность, образованную поверхностями
в направлении внешней нормали.
z 2 x2 y 2 ,
x2 y 2 4
7. Найти производную скалярного поля u x, y, z rot A grad V , где
A x, y, z yz x i zj yk , V x, y, z xyz , в точке M(–2,1,2), по
направлению вектора a 2i 2 j k .
значение параметра a, при котором векторное поле
x y
x y
x y
A x, y, z ze i aze j e k будет потенциальным, и найти его
8. Определить
скалярный потенциал.
82
Вариант 8
1. Фигура ABCD состоит из тонких прямых стержней AB, CD, BD с концами
в точках A 1,0 , B 1,0 , C 0, 1 , D 0,1 и с линейной плотностью
x, y 2 x 2 . Найти момент инерции этой фигуры относительно оси ОY.
2. Вычислить интеграл
A ,1 , B ,0 .
4 4
ydx cos xdy вдоль дуги y tgx между точками
AB
3. Используя формулу Грина, вычислить циркуляцию векторного поля
x
A x, y i x 2 j по контуру, образованному линиями L1 : x 2 y 2 4 ,
y
L2 : x 0 и L3 : y 2 x, x 0 , при положительном направлении обхода.
4. Найти массу всей замкнутой поверхности, образованной поверхностями
x 2 y 2 z 2 4 x 0 , x 0, z 0, z 1 , с поверхностной плотностью
x, y , z z 2 .
5. Найти поток вектора A x, y, z cos z i x 1 j z y k через часть
2
2
2
плоскости y z 1 , находящуюся внутри параболоида z x y , в положительном направлении относительно оси OZ.
2
6. Найти поток вектора A x, y, z xyi 2 z j z k через замкнутую
поверхность, образованную поверхностями z
в направлении внешней нормали.
7. Найти производную скалярного поля
2 x2 y 2 ,
y2 z2 1
u x, y, z rot A grad V , где
A x, y, z xyi zj yk , V x, y, z x y z , в точке M(0,1,2), по
направлению вектора a 2i 2 j k .
8. Определить
A x, y , z
значение
параметра
a,
при
котором
векторное
поле
2 xy
2
i a x 1 j k будет потенциальным, и найти его
2
x 1
скалярный потенциал.
83
Вариант 9
2
1. Фигура состоит из дуги AB материальной кривой y x , 1 x 1, и ма-
A 1, 0 , B 1, 0 . Линейная
териальной прямой AB с концами в точках
плотность x, y
тельно оси ОХ.
2. Вычислить интеграл
A ,1 , B ,0 .
4 2
4 y 1 . Найти момент инерции этой фигуры относи-
sin xdx y dy вдоль дуги
2
y ctgx между точками
AB
3. Используя формулу Грина, вычислить циркуляцию векторного поля
A x, y x 2 y 2 i x 2 j
по
контуру,
образованному
линиями
L1 : x 2 y 2 9 , L2 : x 0 и L3 : y 3 2 x , при положительном направлении обхода.
4. Найти массу всей замкнутой поверхности, образованной поверхностями
z 1 x 2 y 2 x 0, y 0 , x 0, y 0, z 2 ,
плотностью x, y, z z .
5, Найти поток вектора A x, y, z yi e
z2
с
поверхностной
j x z k через часть плоско2
2
сти z 2 x , находящуюся внутри параболоида z x y , в положительном направлении относительно оси OZ.
6. Найти поток вектора A x, y, z x y i xz j xzk через замкнутую по2
2
2
верхность, образованную поверхностями z x y ,
в направлении внешней нормали.
x 12 y 2 1
u x, y, z rot A rot B , где
A x, y, z y z i xj yk , B x, y, z xi zyj zk , в точке
M(–1,0,2), по направлению вектора a i j 2k .
7. Найти производную скалярного поля
8.
Определить
A x, y , z
значение
параметра
a,
при
azy
4
i
j y 1k
2
4
x 1
y 1
x
котором
векторное
поле
3
и найти его скалярный потенциал.
84
будет
потенциальным,
Вариант 10
2
1. Фигура состоит из дуги AB материальной кривой y x , 1 x 1 , и материальной прямой AB с концами в точках A 1,0 , B 1,0 . Линейная
плотность x, y
тельно оси ОY.
2. Вычислить интеграл
4 y 1 . Найти момент инерции этой фигуры относи-
y 2 dx sin 2 xdy вдоль дуги y ctgx между точка-
AB
3
,1 , B , 1 .
4 4
ми A
3. Используя формулу Грина, вычислить циркуляцию векторного поля
A x, y ln 1 y 2 i x 2 yj
по
контуру,
образованному
линиями
L1 : x 1 y 2 и L2 : y 3 x 2 , при положительном направлении обхода.
4. Найти массу всей замкнутой поверхности, образованной поверхностями
z 1 x 2 y 2 x 0 , x 0, z 2 , с поверхностной плотностью
x, y , z z .
z
5. Найти поток вектора A x, y, z e i xyj y z k через часть плоско2
2
сти z 4 y , находящуюся внутри параболоида z x y , в положительном направлении относительно оси OZ.
6. Найти поток вектора A x, y, z e i yj z k через замкнутую поверхность,
образованную
x2
поверхностями
2
z x2 y 2 2 ,
x2 y 2 1
z 0, x 2 y 2 1 в направлении внешней нормали.
7. Найти производную скалярного поля u x, y, z grad V grad W , где
x y
, W x, y, z x y z в точке M 1,1,1 по направлеyz
нию вектора a i j k .
V x, y , z
значение параметра a, при котором векторное поле
A x, y, z z 3i j axz 2 k будет потенциальным, и найти его скалярный
8. Определить
потенциал.
85
Вариант 11
2
1. Фигура состоит из дуги AB материальной кривой y 1 x , 1 x 1 ,
и материальной прямой AB с концами в точках A 1,0 , B 1,0 . Линейная
плотность x, y 2 x . Найти момент инерции этой фигуры относительно оси ОX.
2. Вычислить интеграл
ydx tgxdy вдоль дуги y tgx между точками
AB
1
A 0,0 , B ,
.
6
3
формулу Грина, вычислить циркуляцию векторного поля
3. Используя
A x, y xyi x y j
по
контуру,
образованному
линиями
L1 : y 2 x 2 и L2 : y 4 x 2 , при положительном направлении обхода.
4. Найти массу всей замкнутой поверхности, образованной поверхностями
z 1 x 2 y 2 , x 2 y 2 4 x 0, y 0 , x 0, y 0 , z 0, с поверхностной плотностью x, y, z 1 x y .
2
2
1
5. Найти поток вектора A x, y, z yi
j 5k через часть плоскости
x 1
z 4 x 1, находящуюся внутри параболоида z x 2 y 2 , в положительном направлении относительно оси OZ.
6. Найти поток вектора A x, y, z 2 x i yzj x k через замкнутую
2
2
2
2
поверхность, образованную поверхностями z x y 4 , z x y
в направлении внешней нормали.
2
7. Найти производную скалярного поля u x, y, z grad div grad V ,
где V x, y, z
a i j k .
8. Определить
xy
, в точке M(1,1,0)
1 z
значение
параметра
a,
при
2
2
2
A x, y, z z 3 x i z j az x y k
и найти его скалярный потенциал.
86
по направлению вектора
котором
будет
векторное
поле
потенциальным,
Вариант 12
2
1. Фигура состоит из дуги AB материальной кривой y 1 x , 1 x 1 ,
и материальной прямой AB с концами в точках A 1,0 , B 1,0 . Линейная
плотность x, y 2 x . Найти момент инерции этой фигуры относительно оси ОY.
2. Вычислить интеграл
x y dx ctgx dy
вдоль дуги y ctgx между
AB
, 3 , B ,0 .
3
2
точками A
3. Используя формулу Грина, вычислить циркуляцию векторного поля
A x, y yi
x
2 y
2
j
по
контуру,
образованному
линиями
L1 : x 2 y 2 и L2 : x y 2 , при положительном направлении обхода.
4. Найти массу всей замкнутой поверхности, образованной поверхностями
z 1 x 2 y 2 , x 2 y 2 4 x 0 , x 0, z 0, с поверхностной плотностью x, y, z 1 x y .
2
2
5. Найти поток вектора A x, y, z
1
2
i
zj
x
k
через часть
2
2
x y
y
1,
находящуюся
внутри
гиперболоида
2
x 2 2 y 2 4 z 2 1, в положительном направлении относительно оси OZ.
6. Найти поток вектора A x, y, z xzi yj xk через замкнутую поверхплоскости
z
2
2
ность, образованную поверхностями z x y 5 ,
в направлении внешней нормали.
z 1 x2 y 2
7. Найти производную скалярного поля u x, y, z div rot A b , где
A x, y, z x 2 i 2 z j yk , b xi yj yzk , в точке M(0,1,2) по
направлению вектора a i 2 j k .
значение параметра a, при котором векторное поле
A x, y, z yi x az j 2 z y k будет потенциальным, и найти его
8. Определить
скалярный потенциал.
87
Вариант 13
1. Фигура состоит из дуги AC материальной кривой y
x , 0 x 1, и материальных прямых AB, BC с концами в точках A 0,0 , B 1,0 , C 1,1 .
Линейная плотность x, y
гуры относительно оси ОX.
2. Вычислить интеграл
4 y 2 1 . Найти момент инерции этой фи-
y tgx dx 2sin x dy вдоль дуги y ctgx между
AB
1
, 3 , B ,
.
6
3 3
точками A
3. Используя формулу Грина, вычислить циркуляцию векторного поля
2
x 1
y
A x, y
i
j
y
x 1
по
контуру,
образованному
линиями
L1 : x 2 y 2 1, L2 : x 1 и L3 : y x 1 , x 1, при положительном
2
направлении обхода.
4. Найти массу всей замкнутой поверхности, образованной поверхностями
z x 2 y 2 1 y 0 , y 0, z 1, z 2 , с поверхностной плотностью
1
2 2
z
.
x, y , z z x y
2
5. Найти поток вектора A x, y, z y 1 i z j xyk через часть плоско2
2
2
2
2
сти x 2 z 2 , находящуюся внутри гиперболоида x 2 y 2 z 1,
в положительном направлении относительно оси OZ.
6. Найти поток вектора A x, y, z 6 x y i y j zk через замкнутую
поверхность,
x 12 y 2 1 в
образованную
2
поверхностями
направлении внешней нормали.
x y 2 z 2 1,
7. Найти производную скалярного поля u x, y, z div grad V b , где
V x, y, z x 2 yz , b xi x z j yzk , в точке M(0,0,2) по направ
лению вектора a i j k .
значение параметра a, при котором векторное поле
2
3
2
A x, y, z axz i y j 2 x zk будет потенциальным, и найти его ска-
8. Определить
лярный потенциал.
88
Вариант 14
1. Фигура состоит из дуги AC материальной кривой y
x , 0 x 1, и материальных прямых AB, BC с концами в точках A 0,0 , B 1,0 , C 1,1 .
Линейная плотность x, y
гуры относительно оси ОY.
2. Вычислить интеграл
4 y 2 1 . Найти момент инерции этой фи-
y 2 ctg x dx sin 2 x dy вдоль дуги y tgx между
AB
точками A , 1 , B 0,0 .
4
формулу Грина, вычислить циркуляцию векторного поля
3. Используя
A x, y x y i x y j по контуру, образованному линиями
L1 : x 2 y 2 3 ,
L3 : y 2 4 x 1 , при положительном
L2 : x 0 и
направлении обхода.
4. Найти массу всей замкнутой поверхности, образованной поверхностями
z x 2 y 2 1 x 0, y 0 , x 0, y 0, z 0, z 1 , с поверхностной
плотностью x, y, z z x y
2
2
5. Найти поток вектора A x, y, z
1
2 2
z
.
x
i xzj yk через часть плоскости
y 1
y z 1, находящуюся внутри эллипсоида 2 x 2 y 2 z 2 1 , в положительном направлении относительно оси OZ.
6. Найти поток вектора A x, y, z x y i yj 4 z
через
замкнутую
поверхность,
y 1 x 2
2
образованную
1
2
k
поверхностями
x 2 y 1 1, y 1 x 2 z 2 в направлении внешней нормали.
7. Найти производную скалярного поля u x, y, z grad V div A b , где
V x, y, z x y y z ,
A x, y, z x y i yj y z k ,
b i xyj yzk , в точке M(2,1,2) по направлению вектора a i j k .
2
8. Определить
значение
параметра
A x, y, z 2 xz x 2 y 2 1
2
a,
при
котором
векторное
поле
2
1
2
2
2
2
i ayz x y 1 j x y 1 k
будет потенциальным, и найти его скалярный потенциал.
89
Вариант 15
1. Фигура
состоит
из
дуг
материальных
y x2 , 0 x 1,
кривых
2
и y 2 x , 0 x 1, и материальной прямой AB с концами в точках
A 0,0 , B 0, 2 . Линейная плотность x, y 4 x 2 1 . Найти момент
инерции этой фигуры относительно оси ОX.
2. Вычислить интеграл
A 0,0 , B 0,1 .
ydx xdy вдоль дуги y arcsin x между точками
AB
3. Используя формулу Грина, вычислить циркуляцию векторного поля
A x, y
xy
2
x 1
i xj
по
контуру,
образованному
линиями
L1 : x 1 y 2 , и L2 : x 1 y 2 , L3 : y 1 при положительном направлении обхода.
4. Найти массу всей замкнутой поверхности, образованной поверхностями
x 2 y 2 z 2 1, z 1, z 2 ,
с
поверхностной
плотностью
1
.
x, y , z
2
2
2
x y z
5. Найти поток вектора A x, y, z 3 y i cos xj y z x k через
x z 1, находящуюся внутри эллипсоида
часть плоскости
x 2 2 y 2 z 2 4 , в положительном направлении относительно оси OZ.
2
2
6. Найти поток вектора A x, y, z xzi z j y k через замкнутую поверхность, образованную поверхностями
в направлении внешней нормали.
x 2 y 2 z 2 4 , z 0, z 5 ,
7. Найти производную скалярного поля u x, y, z rot A div grad V , где
x
A x, y, z i yj z 2 k , V x, y, z x y z , в точке M 0,1,0 по
y
направлению вектора a i j k .
8. Определить
значение
параметра
a,
при
котором
векторное
поле
2
2
A x, y, z y 2e xy i axye xy j k будет потенциальным, и найти его ска-
лярный потенциал.
90
Вариант 16
1. Фигура
состоит
из
дуг
материальных
y x2 , 0 x 1,
кривых
2
и y 2 x , 0 x 1, и материальной прямой AB с концами в точках
A 0,0 , B 0, 2 . Линейная плотность x, y 4 x 2 1 . Найти момент
инерции этой фигуры относительно оси ОY.
2. Вычислить интеграл
AB
точками A 0,
y
1 x2
dx x3dy вдоль дуги y arccos x между
, B 1,0 .
2
3. Используя формулу Грина, вычислить циркуляцию векторного поля
A x, y x 2e xy i xj по контуру, образованному линиями L1 : x y ,
1
L2 : y , L3 : y 2 и L4 : x 0 при положительном направлении обхода.
x
4. Найти массу всей замкнутой поверхности, образованной поверхностями
x 2 y 2 z 2 1 x 0, y 0 , x 0, y 0, z 1, z 2 , с поверхностной
плотностью x, y, z z .
2
5. Найти поток вектора A x, y, z z i xj z y k через часть плоско2
2
2
сти y x , находящуюся внутри эллипсоида x y 2 z 1 , в положительном направлении относительно оси OХ.
6. Найти поток вектора A x, y, z xi yzj yk через замкнутую поверх2
2
2
ность, образованную поверхностями x y z 1, z
в направлении внешней нормали.
3, z 3 ,
7. Найти производную скалярного поля u x, y, z rot rot A div B , где
x
2
A x, y , z
i zj y k , B x, y, z x y i zk , в точке
y3
M(1,1,0) по направлению вектора a i 2 j k .
8. Определить
значение параметра a, при котором векторное поле
A x, y, z ae x y i e x y j 3z 2 k будет потенциальным, и найти его
скалярный потенциал.
91
Вариант 17
1. Фигура
состоит
из
дуг
материальных
кривых
y x2 , 0 x 1
2
и y x , 0 x 1 , и материальной прямой AB с концами в точках
A 1, 1 , B 1,1 . Линейная плотность x, y
y . Найти момент инер-
ции этой фигуры относительно оси ОX.
2. Вычислить интеграл
y dx x 2 dy вдоль дуги y arctg x между точка-
AB
.
4
ми A 0,0 , B 1,
3. Используя формулу Грина, вычислить циркуляцию векторного поля
1
A x, y 2 i xyj по контуру, образованному линиями L1 : x 2 y 2
y
1
и L2 : y , при положительном направлении обхода.
x
4. Найти массу всей замкнутой поверхности, образованной поверхностями
z x 2 y 2 x 0, y 0 , x 0, y 0, z 1 , с поверхностной плотно-
стью x, y, z 1 x .
5. Найти поток вектора
часть
плоскости
A x, y , z y z i
y 2x ,
находящуюся
1
x2 z 2
j xyzk через
внутри
эллипсоида
x 2 y 2 5 z 2 2 , в положительном направлении относительно оси OХ.
3
6. Найти поток вектора A x, y, z yzi 2 y j x z k через замкнутую
поверхность,
образованную
поверхностями
x 2 y 2 z 2 1 в направлении внешней нормали.
4z 2 x 2 y 2 ,
7. Найти производную скалярного поля u x, y, z div grad V rot A , где
A x, y, z xyzi yj xk , V x, y, z z y x , в точке M(2,1,0), по
направлению вектора a i j k .
8. Определить
значение параметра a, при котором векторное поле
A x, y, z 2 xi aze y j e y k будет потенциальным, и найти его ска-
лярный потенциал.
92
Вариант 18
1. Фигура
состоит
из
дуг
материальных
кривых
y x2 , 0 x 1,
2
и y x , 0 x 1 , и материальной прямой AB с концами в точках
A 1, 1 , B 1,1 . Линейная плотность x, y
y . Найти момент инер-
ции этой фигуры относительно оси ОY.
2. Вычислить интеграл
A 0, , B 1, .
2 4
y dx x 2 dy вдоль дуги y arcctg x между точками
AB
3. Используя формулу Грина, вычислить циркуляцию векторного поля
A x, y x 1 y 2 i 1 x 2 j по контуру, образованному линиями
1
L1 : x 0 , L2 : y , L3 : y 2 , L4 : x 2 и L3 : y 0 при положительx
ном направлении обхода.
4. Найти массу всей замкнутой поверхности, образованной поверхностями
z x 2 y 2 y 0 , y 0, z 1 ,
с
поверхностной
плотностью
x, y , z 1 y .
2
2
5. Найти поток вектора A x, y, z x y i y z j xk через часть
1
2
2
2
, находящуюся внутри эллипсоида 2 x y z 1 ,
2
в положительном направлении относительно оси OZ.
2
6. Найти поток вектора A x, y, z x y i 2 z j zk через замкнутую
плоскости y z
поверхность,
ограничивающую
общую
часть
тел
x 2 y 2 z 2 1,
z x 2 y 2 3 , z 0 , в направлении внешней нормали.
7. Найти производную скалярного поля u x, y, z grad V grad V div A ,
2
где A x, y, z yzi xyj zk , V x, y, z z y x , в точке M(2,1,–1),
по направлению вектора a i j 2k .
8. Определить
значение параметра a, при котором векторное поле
4
3
A x, y, z y i axy j k будет потенциальным, и найти его скалярный
потенциал.
93
Вариант 19
2
1. Фигура состоит из дуги материальной кривой y 1 1 x , 0 x 1 ,
и материальных прямых AB, BC с концами в точках A 0,0 , B 1,0 , C 1,1 .
1
. Найти момент инерции этой фигу2 y
Линейная плотность x, y
ры относительно оси ОX.
2. Вычислить интеграл
y2
1 x
точками A 1, , B 1, .
2 2
AB
dx x dy вдоль дуги y arcsin x между
2
3. Используя формулу Грина, вычислить циркуляцию векторного поля
2
2
A x, y y i x j по контуру, образованному линиями L1 : x 4 y 2
и L2 : y
3
, при положительном направлении обхода.
x
4. Найти массу всей замкнутой поверхности, образованной поверхностями
z x 2 y 2 , x 2 y 2 1 x 0, y 0 , x 0, y 0, z 0 , с поверхностной плотностью x, y, z 1 x .
2
2
5. Найти поток вектора A x, y, z z 1 i xzj y k через часть плоско2
2
2
сти x 2 y 3 , находящуюся внутри гиперболоида x y 3 z 1,
в положительном направлении относительно оси OY.
6. Найти поток вектора A x, y, z y i x y j z k через замкнутую
поверхность,
2
ограничивающую
общую
часть
2
тел
x 2 y 2 z 2 1,
z x 2 y 2 3 , z 0 , в направлении внешней нормали.
7. Найти производную скалярного поля u x, y, z grad V rot A , где
A x, y, z xy z i yzj xk , V x, y, z z xy , в точке M(–1,1,0), по
направлению вектора a i j 2k .
8. Определить
значение
параметра
a,
при
котором
векторное
поле
A x, y, z zi ayzj x y 2 k будет потенциальным, и найти его ска-
лярный потенциал.
94
Вариант 20
2
1. Фигура состоит из дуги материальной кривой y 1 1 x , 0 x 1 ,
и материальных прямых AB, BC с концами в точках A 0,0 , B 1,0 , C 1,1 .
Линейная плотность x, y
1
. Найти момент инерции этой фигу2 y
ры относительно оси ОY.
2. Вычислить интеграл
AB
точками A 1, , B 0,
y dx 1 x 2 dy вдоль дуги y arccos x между
.
2
3. Используя формулу Грина, вычислить циркуляцию векторного поля
3
A x, y xyi x 2 j по контуру, образованному линиями L1 : x
y2
2
1
2
и L2 : x y , при положительном направлении обхода.
2
4. Найти массу всей замкнутой поверхности, образованной поверхностями
z x 2 y 2 , x 2 y 2 1 y 0 , y 0, z 0 , с поверхностной плотно-
стью x, y, z 1 x y .
5. Найти поток вектора A x, y, z yi zj xyk через часть плоскости
x 2 y 1 , находящуюся внутри гиперболоида x 2 5 y 2 z 2 1 , в положительном направлении относительно оси OY.
2
2
6. Найти поток вектора A x, y, z xz i y j yzk через замкнутую по2
2
2
2
2
верхность, образованную поверхностями x y 3 , x y z 1,
в направлении внешней нормали.
7. Найти производную скалярного поля u x, y, z div grad V rot A , где
A x, y, z z y i zj xk , V x, y, z z y xy , в точке M(–1,–1,0),
по направлению вектора a i j 2k .
8. Определить
значение параметра a, при котором векторное поле
A x, y, z z 2i 3 z 2 j 2 z x ay k будет потенциальным, и найти его
скалярный потенциал.
95
Вариант 21
2
1. Фигура состоит из дуги материальной кривой y 1 1 x , 1 x 1 ,
и материальной прямой AB с концами в точках A 1,1 , B 1,1 . Линейная
плотность x, y
тельно оси ОХ.
2. Вычислить интеграл
2 y . Найти момент инерции этой фигуры относиy
1 x 2 dx xdy
вдоль дуги y arc tgx между точ-
AB
ками A 0,0 , B 3,
.
3
3. Используя формулу Грина, вычислить циркуляцию векторного поля
y
A x, y xyi j по контуру, образованному линиями L1 : x 4 y 2
x
2
и L2 : x 1 y , при положительном направлении обхода.
4. Найти массу всей замкнутой поверхности, образованной поверхностями
z 1 1 x 2 y 2 , x 2 y 2 1 x 0, y 0 , x 0, y 0, z 0 , с поверхностной плотностью x, y, z 1 x y .
2
5. Найти поток вектора A x, y, z
2
1
i zj xk через часть плоскости
xy 1
y 2 z 1, находящуюся внутри гиперболоида 2 x 2 y 2 2 z 2 1, в положительном направлении относительно оси OZ.
6. Найти поток вектора A x, y, z xyzi 2 yj zk через замкнутую поверхность,
образованную
поверхностями
z
x = y, z = 0, x = 0, в направлении внешней нормали.
4 x2 y 2
x y,
7. Найти производную скалярного поля u x, y, z grad V A div A , где
A x, y, z zi yzj xk , V x, y, z zy xy , в точке M(–1,–1,1), по
направлению вектора a 2i j 2k .
8. Определить
значение параметра a, при котором векторное поле
3
2
3
A x, y, z y i azy j 3 y k будет потенциальным, и найти его скаляр-
ный потенциал.
96
Вариант 22
2
1. Фигура состоит из дуги материальной кривой y 1 1 x , 1 x 1 ,
и материальной прямой AB с концами в точках A 1,1 , B 1,1 . Линейная
плотность x, y
тельно оси ОY.
2. Вычислить интеграл
2 y . Найти момент инерции этой фигуры относи-
y 2 dx x 2 dy вдоль дуги y shx между точками
AB
e e 1
A 0,0 , B 1,
.
2
3. Используя формулу Грина, вычислить циркуляцию векторного поля
x
A x, y yi 2 j по контуру, образованному линиями L1 : y 9 x 2
y
2
и L2 : y 4 x , при положительном направлении обхода.
4. Найти массу всей замкнутой поверхности, образованной поверхностями
z 1 1 x 2 y 2 , x 2 y 2 1 x 0 , x 0, z 0 , с поверхностной
плотностью x, y, z 1 x y .
2
2
1
x2 y 2
i
j xyk через часть плос5. Найти поток вектора A x, y, z e
z 1
2
2
2
кости x 3 z , находящуюся внутри гиперболоида x 2 y z 2 ,
в положительном направлении относительно оси OZ.
3
6. Найти поток вектора A x, y, z x i zj x y k через замкнутую поверхность,
ограничивающую
общую
часть
тел
1 x2 y 2 z 2 4 ,
z x 2 y 2 в направлении внешней нормали.
7. Найти производную скалярного поля u x, y, z grad V div rot A ,
где A x, y, z z x i yzj xk , V x, y, z zy xy xz , в точке
M 1,0,1 по направлению вектора a 2i j 2k .
8. Определить
A x, y , z
значение
xy
3
x2 1
параметра
a,
при
котором
векторное
поле
i ay 2 x 2 1 j 2 zk будет потенциальным, и найти
его скалярный потенциал.
97
Вариант 23
2
1. Фигура состоит из дуги ВC материальной кривой y 1 x , 0 x 1, и
материальных прямых AB, AC с концами в точках A 0,0 , B 1,0 , C 0,1 .
Линейная плотность x, y 1 x . Найти момент инерции этой фигуры
относительно оси ОХ.
ex
2. Вычислить интеграл x y dx
dy вдоль дуги y chx между точy
AB
e e 1
ками A 0,0 , B 1,
.
2
3. Используя формулу Грина, вычислить циркуляцию векторного поля
A x, y x3 yi y 2 j
по
контуру,
образованному
линиями
L1 : y 5 x 2 и L2 : y 1 x 2 , при положительном направлении обхода.
4. Найти массу всей замкнутой поверхности, образованной поверхностями
z x 2 y 2 , z 1, z 2 , с поверхностной плотностью x, y, z z .
2
2
2
5. Найти поток вектора A x, y, z y i x z j yzk через часть плос2
2
2
кости x y , находящуюся внутри гиперболоида x 2 y z 1, в положительном направлении относительно оси OY.
6. Найти поток вектора A x, y, z xy i zj x y k через замкнутую поверхность,
2
ограничивающую
общую
часть
тел
x 2 y 2 z 2 1 z 0 , в направлении внешней нормали.
x2 y 2 z 2 4 ,
7. Найти производную скалярного поля u x, y, z grad div A A , где
A x, y, z z x yi zj xk , в точке M(–1,0,1), по направлению век
тора a i j 2k .
8. Определить
A x, y , z
значение
параметра
xz
x2 y 2 1
i
a,
при
yz
x2 y 2 1
векторное
поле
2
2
j a x y 1k будет по-
тенциальным, и найти его скалярный потенциал.
98
котором
Вариант 24
2 x x2 , 0 x 2 ,
и материальной прямой AB с концами в точках A 0,0 , B 2,0 . Линейная
1. Фигура состоит из дуги материальной кривой y
плотность x, y
тельно оси ОY.
2. Вычислить интеграл
2 x . Найти момент инерции этой фигуры относи-
e
x
ydx xdy вдоль дуги y shx между точками
AB
2
e e 1 e e2
A 1,
, B 2,
.
2
2
3. Используя формулу Грина, вычислить циркуляцию векторного поля
A x, y yi x 2 j по контуру, образованному линиями L1 : x 1 y 2
2
и L2 : x 1 1 y , при положительном направлении обхода.
4. Найти массу всей замкнутой поверхности, образованной поверхностями
z x 2 y 2 x 0 , x 0, z 1, z 2 , с поверхностной плотностью
x, y , z 1 z .
2
2
5. Найти поток вектора A x, y, z yzi sin x z j xyzk через часть
2
2
2
плоскости 2x y , находящуюся внутри гиперболоида 2 x y 2 z 1
, в положительном направлении относительно оси OY.
2
6. Найти поток вектора A x, y , z xzi yj z k через замкнутую поверхность,
ограничивающую
общую
часть
x2 y 2 z 2 4 ,
тел
x 2 y 2 z 2 2 z 0 , в направлении внешней нормали.
котором
векторное
7. Найти производную скалярного поля u x, y, z div grad V A , где
2
A x, y, z xyi z j xk , в точке M 1,2, 1 по направлению вектора
a i 2 j 2k .
8. Определить
значение
параметра
a,
A x, y, z ayx3 z 2 1i x 4 z 2 1 j
и найти его скалярный потенциал.
99
при
z
z2 1
поле
k будет потенциальным,
Вариант 25
2 x x2 , 0 x 2 ,
и материальной прямой AB с концами в точках A 0,0 , B 2,0 . Линейная
1
плотность x, y
. Найти момент инерции этой фигуры относи2 x
1. Фигура состоит из дуги материальной кривой y
тельно оси ОX.
ex
2. Вычислить интеграл
dx xdy вдоль дуги y chx между точками
y
AB
e e 1
A 1,
, B 0,1 .
2
3. Используя формулу Грина, вычислить циркуляцию векторного поля
A x, y x 2 y 2 i xy 2 j
по
контуру,
образованному
линиями
L1 : x 2 y 2 и L2 : x y 2 , при положительном направлении обхода.
4. Найти массу всей замкнутой поверхности, образованной поверхностями
z 2 x 2 y 2 , x 2 y 2 1 y 0 , y 0 , с поверхностной плотностью
x, y , z 1 y .
2
2
2
5. Найти поток вектора A x, y, z z i zj x y k через часть плос-
2
2
2
x 3 y , находящуюся внутри гиперболоида x 4 y 5 z 1,
кости
в положительном направлении относительно оси OХ.
6. Найти поток вектора A x, y, z x y i yzj xzk через замкнутую
поверхность,
ограничивающую
общую
часть
x2 y 2 z 2 3,
тел
z 1 x 2 y 2 , в направлении внешней нормали.
7. Найти производную скалярного поля u x, y, z div rot A A , где
2
A x, y, z xyi z j x z k , в точке M(0,2,–1) по направлению векто
ра a i 2 j k .
8. Определить
A x, y , z
значение
axz
x
2
1
параметра
5
i
j
2
1
x2 1
a,
при
котором
векторное
поле
k будет потенциальным, и найти его
скалярный потенциал.
100
9. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
u u( x, y , z ) , где u( x, y , z ) –
Cкалярное поле
скалярная функция, называемая
функцией поля
Производная по направлению
u
u
Производная скалярного поля u( x, y , z ) в u u
cos cos cos ,
l x
y
z
точке P ( x, y, z ) по направлению вектора
cos , cos , cos – направляющие
u
):
l (обозначение
l
косинусы вектора l
u
определяет скорость изменения поля в направлении вектора l .
l
u u u
grad u i
j k
Градиент скалярного поля
x
y
z
оператор Гамильтона, или
i j k ; ;
символический вектор “набла”
x
y
z x y y
Выражение вида u ( x, y , z ) понимается как результат действия оператора на
соответствующую функцию: grad u u .
Правила
действий с оператором «набла»
1 Если оператор действует на какое-либо произведение, то вначале
используются его дифференциальные, а затем векторные свойства.
Чтобы отметить тот факт, что «набла» не воздействует на какую-либо
2 величину, входящую в состав сложной формулы, эту величину помечают
индексом c (const).
Все величины, на которые оператор «набла» не действует,
3
в окончательном варианте ставятся впереди него.
Связь градиента и производной по направлению
u
(u l0 ) u l0 cos grad u cos
Свойства градиента
1
(u v ) u v
2
(u v ) (u )v u(v )
c u cu , c const
3
4
f (u ) f u u – градиент сложной функции.
5
f (u, v ) f u u f v v
101
a ax i a y j az k , где ax ax ( x, y, z ) ,
Векторное поле
a y a y ( x, y , z ) , a z a z ( x , y , z )
Векторные линии. Уравнения векторных линий
Векторной линией поля a P a x, y, z называется кривая, в каждой точке
которой вектор a ax ; a y ; az направлен по касательной к этой кривой.
Уравнения векторных линий:
dx dy dz
.
ax a y az
Поверхностный интеграл 1-го рода
f x, y, z d
1 z x z y dS xy
z z x, y .
f x , y , z d f x , y , z x , y
y y x, z ,
f x, y, z d f x, y x, z , z y y
x x y, z ,
2
2
D xy
2
x
z
2
1 dS xz
Dxz
f x, y, z d
f x y , z , y , z 1 x y x z dS yz
2
2
D yz
Dxy , Dxz , D yz – проекции на плоскости Oxy , Oxz, Oyz .
Поверхностный интеграл 2-го рода a ( x, y , z ) n0 d
I a( x, y, z) n0 d ax ( x, y, z)cos a y ( x, y, z)cos az ( x, y, z)cos d
a x ( x, y , z )dydz a y ( x, y , z )dxdz a z ( x, y , z )dxdy .
вариант записи d n0 d ,
I
a ( x, y, z ) d .
Поток векторного поля
Поток вектора a через поверхность – поверхностный интеграл 2-го рода от
вектора a по поверхности .
Способы вычисления потока
a d a n0 d a n0 d ,
( a d ) a n0 d Пpn0 a d .
Проектирование на одну координатную плоскость
Поверхность задана уравнением z f ( x, y ) и однозначно проектируется
в область Dxy на координатной плоскости Oxy ,
dxdy
П a n0 d a n0
a n0
cos D
D
f x f y
2
2
1 dxdy
ax x, y, f x, y f x a y x, y, f x, y f y az x, y, f x, y dxdy ,
Dxy
102
Аналогичные формулы получаются при проектировании на другие координатные плоскости для поверхностей вида x f ( y, z ) и y f ( x, z ) .
Проектирование на три координатные плоскости
Поверхность задана неявно уравнением F x, y, z 0 .
Fy
Fx
Fz
n
;
;
n0
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
n
F F F
Fx Fy Fz Fx Fy Fz
x y z
n0 cos ,cos ,cos . a ax , a y , az , a n0 ax cos a y cos az cos ,
a
n0 d ax cos d a y cos d az cos d .
(a d ) ax ( x,( y, z), y, z)dydz ay ( x, y( x, z), z)dxdz az ( x, y, z( x, y))dxdy .
Dyz
Dxz
Dxy
Знаки перед слагаемыми соответствуют знакам направляющих косинусов
нормали cos ,cos ,cos .
Дивергенция векторного поля
a ( x, y, z ) a y ( x, y, z ) az ( x, y, z )
,
diva x
z
x
y
a
a
a
или diva x y z , diva ( a ) .
x
z
y
Свойства дивергенции
1
2
div(λa μb ) λdiva μdivb
div(u a ) u diva (a grad u )
Теорема Остроградского–Гаусса
Поток векторного поля a с непрерывными частными производными
ax a y az
через внешнюю сторону кусочно-гладкой замкнутой поверхно,
,
x y z
a a
a
сти равен тройному интегралу от функции x y z по области G,
y
z
x
ограниченной поверхностью :
ax a y az
a
d
a
n
d
div
a
dxdydz
(
)
(
)
dxdydz ,
0
x
y
z
G
V
где символ
обозначает интеграл по замкнутой поверхности.
103
Соленоидальное поле
Векторное поле a a ( P) называется соленоидальным, если div(a ) 0 .
Свойства соленоидального поля
1
Соленоидальные поля не имеют источников и стоков.
Поток a через любую замкнутую поверхность равен нулю:
П
(
a
d ) diva dV 0 .
2
G
3
В соленоидальном поле векторные линии не могут начинаться или
кончаться во внутренней точке поля, они либо замкнуты, либо имеют
концы на границе поля.
4
Поток векторного поля через поперечное сечение векторной трубки
в соленоидальном поле остается постоянным вдоль всей трубки.
Линейный интеграл в векторном поле
(a dr ) a dx a dy a dz = a ( x, y, z )dx a
x
AB
1
2
3
y
z
x
AB
y
( x, y, z ) dy az ( x, y, z ) dz .
AB
Свойства линейного интеграла
((
a
b
)
dr
)
(
a
dr
)
(
b
dr ) .
AB
AB
AB
(a dr ) (a dr ) (a dr ) .
AB
AC
CB
(a dr ) (a dr ) .
AB
BA
Криволинейный интеграл по замкнутому контуру называется циркуляцией
векторного поля по замкнутому контуру: C (a dr ) .
L
Вычисление линейного интеграла
Пусть AB L и кривая L задана параметрическими уравнениями:
x x(t )
L : y y (t ) ,
z z (t )
x0 x(t0 )
x1 x(t1 )
при t t0 имеем точку A : y0 y (t0 ) , при t t1 B : y1 y (t1 ) , тогда
z z (t )
z z (t )
0
1
0
1
104
(a dr ) a ( x, y, z )dx a
x
AB
y
( x, y, z )dy a z ( x, y, z )dz
AB
t1
ax ( x(t ), y (t ), z (t )) x (t ) a y ( x(t ), y(t ), z (t )) y (t ) az ( x(t ), y(t ), z (t )) z(t ) dt ,
t0
где обозначения x , y , z означают дифференцирование по переменной t.
a a a a a a
rot a i z y j x z k y x
z
x
z
y
x y
С использованием оператора набла, rot a a .
Ротор (вихрь)
i
j
векторного поля
В виде символического определителя rot a
x y
ax a y
k
z
az
Свойства ротора (вихря)
1
2
rot (a b ) rot a rot b , иначе
a b a b .
Пусть u u ( x, y, z ) . rot (u a ) grad u a u rot a .
В векторных обозначениях: (ua ) u a u a .
(a dr ) (rot a d ) , поток вектора rot a через ориенL
Теорема Стокса
Условия Стокса
тированную поверхность равен циркуляции поля a по
границе поверхности L, ориентированной в соответствии
с ориентацией
Для того чтобы циркуляция вектора a , непрерывного вместе с первыми производными, равнялась нулю, необходи
мо и достаточно, чтобы выполнялись условия: rot a 0 ,
a a ax az a y ax
иначе z y ;
;
.
x x
y
y
z z
Потенциальное векторное поле
Векторное поле a называется потенциальным, если оно является градиен
том некоторого скалярного поля (функции) u u ( P) , т. е. a grad (u ) .
105
Свойства потенциального поля
Циркуляция потенциального векторного поля, непрерывного вместе
с первыми производными, по любому замкнутому контуру, лежащему
в области определения поля, равна нулю.
По теореме Стокса (a dr ) = (rot a d ) 0.
1
Q
L
Линейный интеграл в потенциальном поле не зависит от пути интегрирования и равен разности потенциалов поля в конечной и начальной точках
интегрирования.
2
Условия потенциальности поля
Для того чтобы векторное поле a a ( P ) в некоторой односвязной области G
было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихре
вым, т. е. rot a 0 .
Вычисление потенциала поля
u
a x dx a y dy a z dz , где А(x0, y0, z0) – фиксированная
AP
точка поля, а Р(x,y,z) – текущая точка поля. Линейный интеграл вычисляется по любому контуру дуги L : AP ,
важно лишь положение начальной и конечной точек.
Наиболее удобен для вычисления контур в виде ломаной,
звенья которой параллельны осям координат.
x
y
z
x0
y0
z0
u ( x, y, z ) ax ( x, y0 , z0 )dx a y ( x, y, z0 )dy az ( x, y, z )dy .
Дифференциальные операции
Оператор Гамильтона, или
i j k ; ;
символический вектор «набла»
x
y
z x y z
Дифференциальные операции второго порядка
2 2
2
2
Оператор
( ) () 2 2 2
Лапласа
x
y
z
Таблица дифференциальных операций второго порядка
Скалярное поле
Векторное поле
grad
grad
div
grad (div a )
rot
div
div( grad (u)) u
div(rot (a )) 0
rot
rot ( grad (u )) 0
rot ( rot ( a )) grad ( diva ) a
106
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Вся высшая математика / М. Л. Краснов [и др.]. М.: Едиториал УРСС,
2003. Т. 1.
2. Гаврилов В. Г. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля : учеб. для вузов / В. Г. Гаврилов, Е. Е. Иванова, В. Д. Морозова; под ред.
В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. – 2-е изд., стереотип. – М.: Изд-во МГТУ
им. Н. Э. Баумана, 2003. – 496 с.
3. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления : учеб. пособие для студентов втузов : В 2 т. Т. 2 / Н. С. Пискунов. М. : Интеграл-Пресс,
2004.
4. Сборник задач по математике для втузов: В 4 ч. Ч. 3: Векторный анализ /
А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, С. М. Коган [и др.] ; под ред. А. В. Ефимова,
А. С. Поспелова. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Физматлит, 2003.
5. Кузнецов Л. А. Сборник задач по высшей математике. Типовые расчеты:
учеб. пособие / Л. А. Кузнецов. – Изд. 3-е, испр. – СПб. ; М. ; Краснодар: Лань,
2005.
107
Учебное издание
Кеда Ольга Анатольевна
Мохрачева Людмила Павловна
Пампура Елена Михайловна
Рыбалко Александр Федорович
Рыбалко Наталья Михайловна
МАТЕМАТИКА
Часть 8. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Редактор Н. П. Кубыщенко
Компьютерная верстка – А. Ф. Рыбалко
Компьютерный набор – В. К. Матвеев
Подписано в печать 18.04.2014. Формат 70×100 1/16.
Бумага писчая. Плоская печать. Гарнитура Times New Roman.
Усл. печ. л. 9,1. Уч.-изд. л. 5,0. Тираж 200 экз. Заказ № 399.
Издательство Уральского университета
Редакционно-издательский отдел ИПЦ УрФУ
620049, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 5
Тел.: + 7 (343) 375-48-25, 375-46-85, 374-19-41
E-mail: rio@urfu.ru
Отпечатано в Издательско-полиграфическом центре УрФУ
620075, Екатеринбург, ул. Тургенева, 4
Тел. + 7 (343) 350-56-64, 350-90-13
Факс + 7 (343) 358-93-06
E-mail: press-urfu@mail.ru
Для заметок
МАТЕМАТИКА
ЧАСТЬ 8. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
