краткий обзор методов синтеза регуляторов пониженного порядка

СБОРНИК НАУЧНЫХ ТРУДОВ НГТУ. – 2010. – № 4(62). – 25–34
УДК 681.511.26
КРАТКИЙ ОБЗОР МЕТОДОВ СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ
ПОНИЖЕННОГО ПОРЯДКА*
В.В. ВОРОНОЙ
В статье приводится краткое описание методов и принципов синтеза полного регулятора
для одноканальных и многоканальных систем. Рассматривается краткий обзор и характеристика основных методов расчета регуляторов пониженного порядка применяемых для
систем представленных в виде матричного полиномиального разложения, а также систем
управления с интервальными параметрами.
Ключевые слова: регулятор, пониженный порядок, область, устойчивость.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время существует множество методов синтеза систем автоматического регулирования. Основная часть из них связана с линейными одноканальными системами. Меньшее количество работ связано с многоканальными методами, на которые действуют не все принципы, используемые при
синтезе одноканальных систем управления. В большинстве случаев при синтезе идут по пути усложнения закона управления, однако, чем проще закон
управления, тем проще изготовление регулятора, тем меньше его стоимость и
выше надежность эксплуатации системы. Скорее всего этими же принципами
руководствовались разработчики промышленных систем автоматического
руправления при внедрении в инженерную практику ПИ-, ПИД- и другого
вида простых регуляторов. Таким образом, создание реулярной процедуры
синтеза систем с регулятором пониженного порядка является достаточно актуальной задачей.
1. СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ ПОЛНОГО ПОРЯДКА
Основная масса работ посвящена синтезу регуляторов полного порядка
для одноканальных систем, существует тенденция к разработке методов синтеза для многоканальных систем или же перенос методов и правил синтеза
регуляторов, применяемых для одноканальных систем, на многоканальные.
* Получена 22 декабря 2010 г.
В.В. Вороной
26
Для одноканальных систем в основном применяются следующие методы
синтеза: модальный метод синтеза в пространстве состояний с наблюдателем
полного или пониженного порядка [10]; модальный метод синтеза с использованием полиномиального представления [11]; метод локализации [12]; а также
частотный метод синтеза [10].
Несмотря на то, что частотные методы синтеза более привычны для инженеров, в отечественной литературе не так много опубликовано работ по этому
направлению. В то же время в течение двух последних десятилетий частотный
подход при синтезе систем автоматического управления является центральным в западной литературе. Частотный метод разработан в основном для
одноканальных объектов и годится лишь для устойчивых или минимально
фазовых систем. В настоящее время производятся попытки применения частотного метода для двухканальных систем.
Перечисленные выше методы также можно применять и для синтеза многоканальных систем управления, например, модальный метод синтеза с использованием полиномиальных матриц [13], модальный метод синтеза в пространстве состояний [14] и ряд других работ, рассматривающих различные
примеры синтеза многоканальных систем.
В однолинейных системах при синтезе регулятора часто в регулятор вводят элементы, которые частично или полностью сокращаются с регулируемым
объектом.
В многоканальных системах может быть проведена эта же мысль. Например, в курсовых работах по курсу «Многоканальные линейные системы» студенты кафедры автоматики НГТУ применяют данный метод на примере двухканальной системы, описание которой в общем виде представляется
матричным полиномиальным разложением:
P (s )  Dl1 ( s) N l (s )
Если матрицы Nl(s) и Dl(s) взаимно простые, то регулятор формируется в
следующем виде:
Wрег ( s )  Q( s) N l1 ( s) Dl ( s ),
где Q (s ) – функция описывающая желаемое поведение системы после ввода в
нее регулятора. Структурная схема системы с регулятором представлена на
рис. 1.
Краткий обзор методов синтеза регуляторов….
27
Рис. 1. Многоканальная система с обратной связью
В качестве еще одного примера рассмотрим систему из трех подвешенных грузов и трех пружин, описываемых следующей системой уравнений:
m1a1  F1  Fупр1  Fупр12  Fсопр1 ,

m2 a2  F2  Fупр21  Fупр23  Fсопр2 ,

m3 a3  F3  Fупр32  Fсопр3 ,
где Fупр i – сила упругости пружины, Fсопр i – сила сопротивления воздуха.
В матричном виде система в общем случае описывается системой:
Y (2)  AY  BU ,

 Z  CY .
Синтез регулятора осуществляется методом разделения движений. Уравнение желаемой динамики выглядит следующим образом:
Q ( p)Y ( p)  V ( p);
V ( p)  [ D( p) A( p )  C ( p)]Y ( p)
C0V ( p)   2 D2 p 4  D1 p 3  C1 p  C0
D( p )  D2 p 2  D1 p, C ( p )  C2 p 2  C1 p  C0
А уравнение управляющего воздействия имеет следующий вид:
U ( p)  B 1U x ( p ),
где Ux находится следующим образом:


1
1
U x   2 D21 Y   C1Y  D1U x  (C0Y  C0V )   .
p
p


В.В. Вороной
28
2. СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ ПОНИЖЕННОГО ПОРЯДКА
В настоящее время в большинстве случаев при синтезе систем управления
идут по пути усложнения закона управления, а следовательно, и самого регулятора. Самым важным преимуществом такого решения является желаемое
расположение каждого полюса регулируемой системы. Однако на качество
переходных процессов в системе влияет не точечное расположение корней, а
их расположение в определенной заданной области. И если ограничиваться
только желаемой областью, то задачу синтеза можно решить с помощью регулятора меньшей степени или с меньшим числом параметров [1], иначе говоря,
с помощью регулятора пониженного порядка.
В данной статье в общем случае рассматривается многоканальный объект
управления, описываемый правым или левым матричным разложением:
P (s )  N r ( s ) Dr1 ( s)  Dl1 (s ) Nl ( s) ,
где Nr(s), Dr(s), Nl(s) и Dl(s) – полиномиальные матрицы. Необходимо найти
такой стабилизирующий многоканальный регулятор для системы с обратной
связью, который обеспечивал бы расположение корней ее характеристического полинома в заданной области или как можно ближе к ней (см. рис. 2).
Если регулятор представить матричным разложением, то характеристический полином такой системы можно получить в виде:
detC(s) = det(A(s) X(s)+ B(s) Y(s)),
где A(s), B(s), X(s), Y(s), C(s) – полиномиальные матрицы; A(s), B(s) характеризуют объект управления; X(s), Y(s) – матрицы регулятора системы [2].
Рис. 2. Пример желаемой области расположения полюсов системы
Краткий обзор методов синтеза регуляторов….
29
Для выбора желаемых областей можно, например, воспользоваться специальными графами [15], которые рассматривают набор корней многочлена с
действительными коэффициентами как вектор с действительными же координатами.
В теории автоматического регулирования при синтезе регуляторов пониженного порядка в общем случае точного решения не существует. Это связано
с недостаточным количеством параметров регулятора для точного назначения
корней характеристического полинома замкнутой системы. В этом случае
данная задача может решаться с помощью различных численных процедур.
Например, оптимизационный сдвиг корней замкнутой системы в желаемую
область в пространстве осуществлять, изменяя параметры регулятора [17].
Однако практическая реализация вычислительного процесса затруднена, поскольку корни могут быть как действительными, так и комплексными, так что
реальное соотнесение метрических пространств коэжффициентов и корней
осуществимо только в объемлющих n-мерных комплексных пространствах. В
работе [18] представлены совмещенные декартовы координаты как для действительных, так и для комплексно-сопряженных пар корней, позволяющие
ограничиться n-мерными действительными пространствами, что упрощает
оптимизационную процедуру синтеза регулятора пониженного порядка.
При синтезе систем управления с интервальными параметрами фактически решается задача D-стабилизации, следовательно, можно сделать предположение о наличии аналогичного свойства разложения корней у интервальных
полиномов и о возможности D-стабилизации интервального объекта. Одной
из важнейших подзадач в задаче модального метода синтеза систем управления с интервальными параметрами является поиск интервального полинома с
областью расположения корней внутри желаемой. Решение поставленной
задачи приводится в виде алгоритма формирования минимального интервального полинома по заданному полиному с сосредоточенными параметрами
в [19, 20]. Методика синтеза регуляторов для объектов с интервальными параметрами достаточно подробно описана в [21].
Задача синтеза регуляторов пониженного порядка также может решаться
следующими несколькими способами, а именно: по квадратичному критерию
при ограничениях на норму передаточной функции замкнутой системы [3];
использованием свойств нормы некоторой верхней оценки разности собственных значений путем оптимизации некоторого функционала [4]; посредством
использования некоторых взвешивающих функций, минимизируются сингулярные значения оператора замкнутой системы [5]; с помощью интерполяци-
В.В. Вороной
30
онных методов так, чтобы частотная характеристика проектируемой системы
[6] или ее переходная характеристика [7] имела наперед заданные значения на
заданном наборе частот или временных отсчетов; с помощью оптимизационного алгоритма с использованием свойств кривизны и области расположения
корней производного (интегрального) полинома [1].
В [1] представлены градиентный метод, метод производных, метод положительной кривизны, а также метод линеаризации, основанный на достаточном условии устойчивости.
Суть градиентного метода заключается в последовательном итерационном
перемещении полюсов системы в желаемую область с помощью вычисления
матрицы производных значений полюсов по параметрам регулятора. Такое
перемещение удобно интерпретировать введением критериальной функции,
которая сходится к желаемой области. Отрицательной чертой данного метода
является трудоемкость вычисления частных производных, не смотря на это,
метод носит общий характер и может быть использован не только для стабилизации объекта управления, а также и для сопутствующих задач.
Метод производных использует новые условия гурвицевости характеристического полинома системы и позволяет изначально определить «центр»
расположения полюсов системы. К сожалению, данный метод не до конца
проработан применительно к синтезу регуляторов пониженного порядка для
многоканального случая.
Метод положительной кривизны также использует новые оригинальные
условия гурвицевости характеристического полинома. Метод рассматривает
кривизну параметрически заданной кривой c(x(ω), x(ω)), которая определяется
как:
kr ()  ( x () 
y ()  
x() y ()) / ( x () 2  y ( ) 2 )3/2 .
В [1] приведены результаты вычислений условий положительной кривизны годографа Михайлова для полиномов степени n = 3, …, 10. Данный метод
тесно связан с методом производных, но по сравнению с ним он менее формализован и практически не проработан для синтеза многоканальных систем
управления.
Метод линеаризации основан на достаточном условии устойчивости [9]:
ci 1ci  2  ci ci 1 ,
i  1, d  2 ,
где λ = 0.465; сi – коэффициенты характеристического полинома системы, а
d – степень характеристического полинома системы. Для задач синтеза мно-
Краткий обзор методов синтеза регуляторов….
31
гоканальных систем данный алгоритм применим в случае, если желаемая
матрица «знаменателя» замкнутой системы имеет диагональный или треугольный вид. Так как в этом характеристический полином определяется как
произведение элементов стоящих на главной диагонали. К сожалению, данный метод носит достаточный характер, но по сравнению с методом частных
производных он довольно прост и хорошо формализуется даже для многоканального случая.
К сожалению, рассмотренные методы не дают априорных рекомендаций о
выборе степени или структуры регулятора, но тем не менее комбинацией предложенных методов можно сравнительно быстро синтезировать регулятор пониженного порядка
В [8] рассматриваются два аппроксимационных алгоритма синтеза регуляторов пониженного характера. Первый основан на взятии конечного числа
членов числителя объекта управления. Второй метод предполагает разложение
части регулятора в ряд Тэйлора и взятии конечного числа членов ряда. В
обоих случаях в качестве объекта управления рассматривается система в виде
левого матричного полиномиального разложения:
Wl ( s )  Dl1 ( s) N l (s ) ,
где матрица Dp(s) = {di (s)} – диагональная. При использовании первого метода автономность каналов выполняется с некоторым приближением, т.к. при
расчете регулятора часть степеней s элементов присоединенной полиномиальной матрицы N p ( s ) не учитывается. Автономность каналов при использовании второго метода также выполняется с некоторым приближением, что связано с комбинированием разложения ( I  X (s ))1 в ряд Тейлора и приема
ограничения числа членов ряда.
Также интересным направлением в области синтеза линейных регуляторов
пониженного порядка является модальный метод синтеза с использованием
производных полинома. Предполагается на основе малоизвестного свойства,
которое связывает области расположения корней производного и исходного
полиномов, с помощью итерационного алгоритма искать регулятор пониженного порядка для D – стабилизации линейных, стационарных, управляемых и
наблюдаемых объектов управления с одинаковым числом входов и выходов
[16]. Процедура синтеза заключается в последовательном вычислении производных полинома до тех пор, пока все корни какой-либо l-й производной
этого полинома не будут принадлежать D, где l – порядок производной исходного полинома. Далее интегрируем полином производной степени l до степени
32
В.В. Вороной
иходного полинома и выбираем свободный коэффициент после каждого интегрирования таким образом, чтобы в конечном итоге корни скорректированного полинома принадлежали области D.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В статье были рассмотренны основные методы и подходы к синтезу
систем автоматического регулирования как одноканальных, так и многоканальных. В настоящее время большой интерес представляет разработка
регулярного алгоритма синтеза регулятора пониженного порядка для различных систем. Данный интерес связан с его более простым алгоритмом
работы, а следовательно, более дешевой и надежной физической реализации. Сложность же данной задачи заключается в недостаточном количестве исходной информации для ее решения. Поэтому четкое желаемое распределение корней, как в случае с регулятором полного порядка, мы найти
не можем, но можем задать желаемую область, в которой будут находиться желаемые корни.
Выражаю огромную благодарность профессору кафедры Автоматики
НГТУ Воеводе А.А. за помощь при написании данной статьи.
[1] Воевода А.А., Мелешкин А.И. Синтез регуляторов пониженного порядка // Научный вестник НГТУ. – 1997. – №3. – С. 41–58/
[2] Chen C.-T. Linear System Theory and Design. – Holt-Saunders International Editions, 1985. – 354 p.
[3] Домбровский В.В. Синтез динамических регуляторов пониженного порядка при H  ограничениях // Автоматика и телемеханика. – 1996. – № 11. –
С. 10–17.
[4] Kell L.H., Bhattacharyya S.P. State-Space Design of Low-Order Stabilizers // IEEE Trans. Automat. Contr. – 1990. – Vlo.35, No.2. – P. 182–186.
[5] Yang X.H., Packard A.A. Low Order Controller Design Method // Pros. Of
the 34th Conference on Decision & Control. – New Orleans, 1995. – P. 3068–3073.
[6] Скворцов Л.М. Синтез линейных систем методом полиномиальных
уравнений // Автоматика и телемеханика. – 1991. – № 6. – С. 54–59.
[7] Белихмайер М.Я., Гончаров В.И. Синтез корректирующих устройств
систем автоматического управления на основе равномерного приближения //
Автоматика и телемеханика. – 1997. – № 5. – С. 3–11.
Краткий обзор методов синтеза регуляторов….
33
[8] Боровиков А.Ю., Воевода А.А., Мелешкин А.И. Аппроксимационные
алгоритмы синтеза регуляторов пониженного порядка // Сб. науч. тр. НГТУ. –
1999. – № 2(15). –С. 130–134.
[9] Петров Б.Н., Соколов Н.И. и др. Системы автоматического управления объектами с переменными параметрами. – М.: Машиностроение, 1986. –
324 с.
[10] Востриков А.С., Французова Г.А.Теория автоматического регулирования : учеб. пособие для вузов. – М.: Высш. шк., 2004. – 365 с.: ил.
[11] Воевода А.А., Ижицкая Е.А. Стабилизация двухмассовой системы:
модальный метод синтеза // Сб. науч. тр. НГТУ. – 2009. – № 2(56). – С. 3–10.
[12] Востриков А. С. Синтез систем регулирования методом локализации// Новосибирск: НГТУ, 2007. – 251 c.
[13] Воевода А.А. Стабилизация двухмассовой системы: полиномиальный
метод синтеза двухканальной системы // Сб. науч. тр. НГТУ. – 2009. –
№ 4(58). – 121–124 с.
[14] Воевода А.А., Шоба Е.В. Стабилизация двухмассовой системы: модальный метод синтеза в пространстве состояний // Сб. науч. тр. НГТУ. –
2010. – № 1(59). – 25–34 с.
[15] Воевода А.А., Чехонадских А.В. Координатизация системы корней
вещественных многочленов степени 5 // Научный вестник НГТУ. – 2006. –
№ 1(22). – 173–176 с.
[16] Воевода А.А., Плохотников В.В., О множестве корней производных
интервального полинома // Сб. науч. тр. НГТУ. – 1999. – № 4(17). – 27–31 с.
[17] Воевода А.А., Мелешкин А.И. Синтез регуляторов пониженного порядка // Научный вестник НГТУ. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1997. – № 3. –
41–58 с.
[18] Воевода А.А., Плохотников В.В., Чехонадских А.В. О совмещенных
декартовых координатах в пространстве корней многочленов с действительными коэффициентами // Сб. науч. тр. НГТУ. – 2001. – № 1(23). – 153–156 с.
[19] Плохотников В.В. О минимальном интервальном полиноме, всключающем все множество D-устойчиваых интервальных полиномов // Сб. науч.
тр. НГТУ. – 2000. – № 5(22). – 151–154 с.
[20] Воевода А.А., Плохотников В.В. О свойствах отображения области
корней полинома в пространство коэффициентов // Сб. науч. тр. НГТУ. –
1999. – № 3(16). – 44–49 с.
В.В. Вороной
34
[21] Воевода А.А., Плохотников В.В. О методике синтеза регуляторов для
объектов с интервальными параметрами // Сб. науч. тр. НГТУ. – 1998. –
№ 3(12). – 157–160 с.
Вороной Вадим Владимирович – аспирант кафедры автоматики Новосибирского государственного технического университета.
E-mail: vorongo@yandex.ru.
V.V. Voronoy
The short review of synthesis methods of the lowered order regulators
In article the short description of methods and principles of synthesis of a full regulator for singlechannel and multichannel systems is resulted. The short review and the characteristic of the basic
methods of calculation of regulators of the lowered order applied to systems presented in the form
of matrix polinomyal decomposition, and also control systems with interval parametres is considered.
Key words: regulator, lowered order, area, stability.