Сборник методических материалов Живая математика

ÈÍÑÒÈÒÓÒ ÍÎÂÛÕ ÒÅÕÍÎËÎÃÈÉ
ÆÈÂÀß
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
ÑÁÎÐÍÈÊ ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÕ ÌÀÒÅÐÈÀËÎÂ
ÌÎÑÊÂÀ
Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà: Ñáîðíèê ìåòîäè÷åñêèõ ìàòåðèàëîâ. — Ì.: ÈÍÒ.
— 176 ñ.
 ñîñòàâëåíèè ñáîðíèêà ó÷àñòâîâàëè:
Ã.Á. Øàáàò (íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü ïðîåêòà)
Â.Ì. ×åðíÿâñêèé (Ðàáîòà ñ ïðîãðàììîé «Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà», ïåðåâîä
è íàó÷íîå ðåäàêòèðîâàíèå)
Ã.Á. Øàáàò, Ñ.Â. Ñìèðíîâ, Â.Â. Êóëàãèíà, Â.Î. Ôèëèìîíåíêîâ, Ë.Ì. Ñìîëèíà,
Â.Í. Áîðîâèêîâà (êîìïüþòåðíûå àëüáîìû «Óðîêè ïëàíèìåòðèè»)
Â.Í. Äóáðîâñêèé (êîìïüþòåðíûé àëüáîì «Ñòåðåîìåòðèÿ»)
Ã.À. Àäæåìÿí (êîìïüþòåðíûé àëüáîì «Çàäàíèÿ è ïðîåêòû äëÿ øêîëüíèêîâ
5–6 êëàññîâ»)
Ã.Á. Øàáàò (Äåñÿòü ïðèìåðîâ èç ãåîìåòðèè)
À.Â. Ïàíòóåâ (Ïðîåêòíûå ðàáîòû «Äèíàìè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ»)
© The Geometer's Sketchpad. Key Curriculum Press
© Ïåðåâîä íà ðóññêèé ÿçûê. Èíñòèòóò íîâûõ òåõíîëîãèé
Ñîäåðæàíèå
Ââåäåíèå â ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêèé êîìïëåêò
«Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Ôîðìû è ìåòîäû îðãàíèçàöèè ó÷åáíîé äåÿòåëüíîñòè . . . . . . . . . . . 8
Òèïû èíòåðàêòèâíûõ ÷åðòåæåé è èõ îñîáåííîñòè . . . . . . . . . . . . . . . 11
Èíñòðóìåíòàðèé ïðîãðàììû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Ñîñòàâ ÓÌÊ «Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Ðàáîòà ñ ïðîãðàììîé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
×òî òàêîå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
×òî ìîæíî äåëàòü ïðè ïîìîùè ïðîãðàììû? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Îáçîð óðîêîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Óñòàíîâêà ïðîãðàììû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Óñòàíîâêà ïîä Windows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Óñòàíîâêà ïîä Mac OS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Îñíîâíûå ñâåäåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
×òî íóæíî çíàòü î ñâîåì êîìïüþòåðå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
×òî íóæíî çíàòü î ïðîãðàììå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Óðîêè 1­–4. Çíàêîìñòâî ñ ïðîãðàììîé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Óðîê 1. Ïîñòðîåíèå êâàäðàòà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
×òî áóäåì èçó÷àòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ïðîñòî ïîïðîáóåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
À òåïåðü çàéìåìñÿ âñåðüåç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ñòðîèì ïåðïåíäèêóëÿðíûå è ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå . . . . . . . . . . .
Çàâåðøàåì ïîñòðîåíèå è èñïûòûâàåì åãî «íà ïðî÷íîñòü» . . . . . .
×òî äåëàòü äàëüøå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
32
32
33
34
35
36
Óðîê 2. Òåîðåìà î ÷åòûðåõóãîëüíèêàõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
×òî áóäåì èçó÷àòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ñòðîèì ïðîèçâîëüíûé ÷åòûðåõóãîëüíèê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Êîíñòðóèðóåì âïèñàííûé ÷åòûðåõóãîëüíèê . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Èñïûòûâàåì êîíñòðóêöèþ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ñîçäàåì íàäïèñü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
37
37
38
38
39
Óðîê 3. Îæèâøèå ÷åðòåæè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
×òî áóäåì èçó÷àòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Âûäåëÿåì îáúåêò è ñëåäèì çà åãî òðàåêòîðèåé . . . . . . . . . . . . . . . .
Ñîçäàåì êíîïêó àíèìàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ðàñêðàøèâàåì öâåòàìè ðàäóãè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
41
41
43
44
Óðîê 4. Êîëëåêöèÿ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
×òî áóäåì èçó÷àòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ïåðåëèñòûâàåì äîêóìåíò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Èññëåäóåì êîíñòðóêöèþ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ïîêàçûâàåì ñïðÿòàííûå îáúåêòû è èññëåäóåì èõ ñâîéñòâà . . . . .
Äîáàâëÿåì ñòðàíèöó ê äîêóìåíòó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ñîçäàåì èíñòðóìåíò ïîëüçîâàòåëÿ Ìîé êâàäðàò . . . . . . . . . . .
46
46
46
47
47
49
50
Óðîêè 5–6. Ïðåîáðàçîâàíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Óðîê 5. Îòðàæåíèÿ + Îòðàæåíèÿ = ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
×òî áóäåì èçó÷àòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ââåäåíèå ê óðîêó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ñòðîèì îñè îòðàæåíèÿ è âíóòðåííîñòü ìíîãîóãîëüíèêà . . . . . . . . .
Îòìå÷àåì îñè îòðàæåíèÿ è îòðàæàåì îáúåêòû . . . . . . . . . . . . . . . .
Îòìå÷àåì, âðàùàåì, èçìåðÿåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Âû÷èñëÿåì, îòìå÷àåì, âðàùàåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
53
54
54
55
56
57
Óðîê 6. Êàëåéäîñêîï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
×òî áóäåì èçó÷àòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ñîçäàåì è ïðèìåíÿåì íîâûé èíñòðóìåíò ïîëüçîâàòåëÿ . . . . . . . .
Ýêñïåðèìåíòèðóåì ñ óãëîì îòðàæåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ãîìîòåòèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Àíèìàöèÿ è îáúåäèíåíèå îáúåêòîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
58
58
60
61
62
Óðîê 7. Íåìíîãî àëãåáðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
×òî áóäåì èçó÷àòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ñòðîèì ãðàôèê â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ (x, y) . . . . . . . . . . . . . . .
Èçîáðàæàåì ñåìåéñòâî êðèâûõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Èññëåäóåì ôóíêöèè, çàâèñÿùèå îò ðàäèóñà îêðóæíîñòè . . . . . . . .
64
64
64
65
67
Óðîê 8. Èòåðàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
×òî áóäåì èçó÷àòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
×òî òàêîå êðèâàÿ Êîõà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Îïðåäåëÿåì ïðîîáðàç è îáðàç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Èòåðàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ãëóáèíà èòåðàöèè, öâåò ôîíàè âûâîä âñåõ îáðàçîâ . . . . . . . . . . . .
Ñíåæèíêà Êîõà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
69
70
71
72
73
74
Ïðèëîæåíèå. Îáçîð êîìàíä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Êîìïüþòåðíûå àëüáîìû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
ÒÅÎÐÅÌÛ È ÇÀÄÀ×È ØÊÎËÜÍÎÃÎ ÊÓÐÑÀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Ââåäåíèå â êîìïüþòåðèçèðîâàííûé êóðñ ïëàíèìåòðèè . . . . . . . . . . .
Õàðàêòåðèñòèêà ìàòåðèàëîâ àëüáîìà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Î ðàáîòå ó÷àùèõñÿ ñ ÷åðòåæàìè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ìåòîäè÷åñêèå çàìå÷àíèÿ ê ðåøåíèþ çàäàíèé . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
88
90
91
Ñòåðåîìåòðèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ìèíèìóì íåîáõîäèìûõ íàâûêîâ äëÿ ðàáîòû ñ àëüáîìîì
«Ñòåðåîìåòðèÿ» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Óïðàâëåíèå èçîáðàæåíèåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Õàðàêòåðèñòèêè ÷åðòåæåé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Èñïîëüçîâàíèå ñòåðåî÷åðòåæåé â ó÷åáíîì ïðîöåññå . . . . . . . . . . .
93
95
95
97
99
Ðàáîòà ñî ñòåðåî÷åðòåæàìè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Èëëþñòðàöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Äåìîíñòðàöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå ñå÷åíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Çàäà÷è íà âû÷èñëåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Äðóãèå âèäû çàäàíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Øàáëîíû è èíñòðóìåíòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
101
101
104
105
107
109
Ìîäåëè òèïè÷íûõ ôîðì èñïîëüçîâàíèÿ ÆÌ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
ÄÎÏÎËÍÈÒÅËÜÍÛÅ ÌÀÒÅÐÈÀËÛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Çàäàíèÿ è ïðîåêòû äëÿ øêîëüíèêîâ 5–6 êëàññîâ . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Òðåóãîëüíèê: çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè è ëèíèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ìàòåðèàëû â ðàìêàõ øêîëüíîé ïðîãðàììû . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ìàòåðèàëû âíå ðàìîê øêîëüíîé ïðîãðàììû . . . . . . . . . . . . . . . . .
Òðàåêòîðèè çàìå÷àòåëüíûõ òî÷åê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Îòêðûòûé óðîê «Ìàëîèçâåñòíàÿ òî÷êà â ãåîìåòðèè» . . . . . . . . . . .
115
116
123
130
134
Îðíàìåíòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ñèììåòðèè: îñåâàÿ è öåíòðàëüíàÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Çíàêîìñòâî ñ ãåîìåòðè÷åñêèìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè . . . . . . . . . . .
Ïîñòðîåíèå è ðàáîòà ñ îðíàìåíòàìè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Âûâîäû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Çàùèòà ïðîåêòíûõ ðàáîò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
138
139
145
152
159
160
Çàäàíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Äåñÿòü ïðèìåðîâ èç ãåîìåòðèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Ïðèìåðû èç ðàçëè÷íûõ îáëàñòåé ìàòåìàòèêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Ïðîåêòíûå ðàáîòû «Äèíàìè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ» . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Èíñòðóìåíòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Íîâûå âîçìîæíîñòè Æèâîé Ìàòåìàòèêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Ââåäåíèå â ó÷åáíîìåòîäè÷åñêèé êîìïëåêò
«Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà»
Òðàäèöèîííûé ïîäõîä ê ïðåïîäàâàíèþ ãåîìåòðèè ïðèâîäèò
ê ìàëîé ïîïóëÿðíîñòè ýòîãî ïðåäìåòà, îñîáåííî ñðåäè ó÷àùèõñÿ,
äàë¸êèõ îò ìàòåìàòèêè. Íàèáîëåå î÷åâèäíàÿ ïðè÷èíà ýòîãî
çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ôîðìóëèðîâêè è äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì
çàó÷èâàþò, íî íå ïðîâåðÿþò. Òàêîé ñòèëü îáó÷åíèÿ íàöåëåí íà
ðàçâèòèå íåêðèòè÷åñêîãî, íåòâîð÷åñêîãî ìûøëåíèÿ è åñòåñòâåííî
îòòîðãàåòñÿ ñîâðåìåííûìè øêîëüíèêàìè.
Ìíîãèå èäåîëîãè ñîâðåìåííîãî îáðàçîâàíèÿ ñ÷èòàþò, ÷òî ôàêòû,
îòêðûòûå ó÷àùèìèñÿ ñàìîñòîÿòåëüíî, óñâàèâàþòñÿ èìè ëó÷øå,
÷åì ïðåïîäíåñåííûå ó÷èòåëåì â ãîòîâîì âèäå. Àâòîðû ñáîðíèêà
ïîëíîñòüþ ïîääåðæèâàþò ïîâûøåíèå ðîëè ýêñïåðèìåíòà â
ãåîìåòðèè. Î÷åíü âàæíàÿ ðîëü îòâîäèòñÿ ãåíåðàöèè âîïðîñîâ
ó÷àùèìèñÿ, ôîðìèðîâàíèþ ïðåäïîëîæåíèé, èõ ïîäòâåðæäåíèþ
è (îñîáåííî!) îïðîâåðæåíèþ. Ïðè ýòîì ðîëü ó÷èòåëÿ, îáó÷àþùåãî
ïðàâèëüíûì óìîçàêëþ÷åíèÿì, ïðåäñòàâëÿåòñÿ íàì ïî-ïðåæíåìó
öåíòðàëüíîé.
Áîëüøóþ ðîëü â èçìåíåíèè ñîäåðæàíèÿ è ñòèëÿ ïðåïîäàâàíèÿ
ãåîìåòðèè èãðàþò êîìïüþòåðíûå òåõíîëîãèè. Ñîâðåìåííûé
êîìïüþòåðíûé ÷åðòåæ âûãëÿäèò, êàê òðàäèöèîííûé, è, êàê
ïðàâèëî, ëåãêî èäåíòèôèöèðóåòñÿ ñ òðàäèöèîííûì, îäíàêî
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êà÷åñòâåííî ñîâåðøåííî íîâîå ÿâëåíèå. Åãî
ìîæíî òèðàæèðîâàòü, äåôîðìèðîâàòü, ïåðåìåùàòü èâèäîèçìåíÿòü.
Ýëåìåíòû ÷åðòåæà ëåãêî èçìåðèòü êîìïüþòåðíûìè ñðåäñòâàìè,
à ðåçóëüòàòû ýòèõ èçìåðåíèé äîïóñêàþò äàëüíåéøóþ
êîìïüþòåðíóþ îáðàáîòêó. Âîçìîæíû òàêæå ìíîãîêðàòíûå îáìåíû
÷åðòåæàìè ñ ó÷èòåëåì, õðàíåíèå íåñêîëüêèõ âàðèàíòîâ îäíîãî
è òîãî æå ÷åðòåæà è ò. ï. Ïîÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü äîáèâàòüñÿ
îò ó÷àùèõñÿ òî÷íûõ è ãðàìîòíûõ ïèñüìåííûõ ôîðìóëèðîâîê
(ïî êðàéíåé ìåðå, êîíñòàòèðóþùèõ òî, ÷òî îíè âèäÿò); èõ ìîæíî
ïåðåäåëûâàòü ñòîëüêî ðàç, ñêîëüêî òðåáóåòñÿ.
 ýòèõ óñëîâèÿõ äàæå ó÷àùèéñÿ, íåñïîñîáíûé ê ïîëíîìó
óñâîåíèþ äîêàçàòåëüñòâ ãåîìåòðè÷åñêèõ ôàêòîâ, ìîæåò äîñòàòî÷íî
óâåðåííî ÷óâñòâîâàòü ñåáÿ õîòÿ áû â òîì, ÷òî êàñàåòñÿ ïîâåäåíèÿ
åãî ñîáñòâåííûõ ÷åðòåæåé. Ó÷àùèéñÿ èìååò âîçìîæíîñòü ìåíÿòü
âíåøíèé âèä ôèãóðû, ñîïðîâîæäàòü åå íîâûìè íàäïèñÿìè è ò. ï.
Ïîíèìàíèå äîñòèãàåòñÿ ïðîäîëæèòåëüíûìè ýêñïåðèìåíòàìè
ñ ÷åðòåæàìè, äåôîðìàöèÿìè, èçìåðåíèÿìè è ñðàâíåíèÿìè.
Íàèáîëåå æå âàæíî òî, ÷òî ó÷àùèéñÿ ïðàêòè÷åñêè íèêîãäà íå
ðàáîòàåò ñ êàêèì‑òî åäèíñòâåííûì, ñêàæåì òðåóãîëüíèêîì,
à âñåãäà — ñ öåëûì èõ ñåìåéñòâîì, ÷òî ñïîñîáñòâóåò ðàçâèòèþ åãî
ãåîìåòðè÷åñêîé èíòóèöèè.
Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêèé êîìïëåêò (ÓÌÊ) «Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà»
ñôîðìèðîâàí íà îñíîâå ïðîãðàììû Geometry’s Sketchpad v. 4
(â ðóññêîì ïåðåâîäå «Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà»), ðàçðàáîòàííîé
ôèðìîé Key Currculum Press (USA), ïåðåâåäåííîé íà ðóññêèé
ÿçûê è àäàïòèðîâàííîé Èíñòèòóòîì íîâûõ òåõíîëîãèé.
Èñêëþ÷èòåëüíî ïðîñòàÿ â îñâîåíèè, ïðîãðàììà ïîçâîëÿåò
ñîçäàâàòü êðàñî÷íûå, ëåãêî âàðüèðóåìûå è ðåäàêòèðóåìûå
÷åðòåæè, îñóùåñòâëÿòü îïåðàöèè íàä íèìè, à òàêæå ïðîèçâîäèòü
âñå íåîáõîäèìûå èçìåðåíèÿ, ÷òî, â ñâîþ î÷åðåäü, îáåñïå÷èâàåò
ðàçâèòèå äåÿòåëüíîñòè ó÷àùåãîñÿ ïî òàêèì íàïðàâëåíèÿì, êàê
àíàëèç, èññëåäîâàíèå, ïîñòðîåíèå, äîêàçàòåëüñòâî, ðåøåíèå
çàäà÷, ãîëîâîëîìîê è äàæå ðèñîâàíèå.
Ïðîãðàììíûé ïàêåò äîïîëíåí ðàçðàáîòàííûìè Èíñòèòóòîì
äèíàìè÷åñêèìè ìîäåëÿìè (êîìïüþòåðíûìè àëüáîìàìè,
çàäà÷íèêàìè, ïðèìåðàìè èñïîëüçîâàíèÿ ïðîãðàììû â øêîëüíîì
è âíåøêîëüíîì êóðñå ìàòåìàòèêè) è ìåòîäè÷åñêèì ïîñîáèåì.
Âåñü ýòîò êîìïëåêò ïðåâðàùàåò ÓÌÊ «Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà»
â âèðòóàëüíóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ ëàáîðàòîðèþ äëÿ ó÷åáíûõ
èññëåäîâàíèé ïðè èçó÷åíèè ïëàíèìåòðèè, ñòåðåîìåòðèè, àëãåáðû,
òðèãîíîìåòðèè, ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà.
Ïðè ðàçðàáîòêå ÓÌÊ «Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà» àâòîðû ñòàâèëè ïåðåä
ñîáîé ñëåäóþùèå öåëè:
• îáåñïå÷åíèå ïîòðåáíîñòè ó÷åáíîãî ïðîöåññà
â èíôîðìàöèîííûõ ðåñóðñàõ äëÿ èçó÷åíèÿ ãåîìåòðèè;
• ñîçäàíèå ó÷åáíûõ ìàòåðèàëîâ íîâîãî ïîêîëåíèÿ,
îðèåíòèðîâàííûõ íà äîñòèæåíèå êà÷åñòâåííî íîâûõ
îáðàçîâàòåëüíûõ ðåçóëüòàòîâ è îáåñïå÷èâàþùèõ ñèñòåìíîå
âíåäðåíèå è àêòèâíîå èñïîëüçîâàíèå ÈÊÒ â ó÷åáíîì ïðîöåññå
îáùåîáðàçîâàòåëüíûõ ó÷ðåæäåíèé;
• ïîääåðæêó ìîäåðíèçàöèè îáðàçîâàòåëüíîãî ïðîöåññà
íà îñíîâå ñîâðåìåííûõ ïåäàãîãè÷åñêèõ è èíôîðìàöèîííûõ
òåõíîëîãèé;
• âíåäðåíèå â ïðåïîäàâàíèå ìàòåìàòèêè ñîâðåìåííûõ ìåòîäèê,
êîòîðûå äîëæíû ïîâûñèòü åãî ýôôåêòèâíîñòü ïðè ñîõðàíåíèè
òðàäèöèîííûõ è õîðîøî ñåáÿ çàðåêîìåíäîâàâøèõ îáùèõ
îðèåíòèðîâ ñèñòåìû ðîññèéñêîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî
îáðàçîâàíèÿ;
• îáåñïå÷åíèå îðãàíèçàöèè ó÷åáíîé äåÿòåëüíîñòè, ïðåäïîëà­
ãàþùåé øèðîêîå èñïîëüçîâàíèå ôîðì ñàìîñòîÿòåëüíîé
ãðóïïîâîé è èíäèâèäóàëüíîé èññëåäîâàòåëüñêîé è ïðîåêòíîé
äåÿòåëüíîñòè.
Ôîðìû è ìåòîäû îðãàíèçàöèè ó÷åáíîé äåÿòåëüíîñòè
ÓÌÊ ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ ïðàêòè÷åñêè ïðè ëþáûõ âèäàõ
ó÷åáíîé äåÿòåëüíîñòè, â òîì ÷èñëå, ïðè âûïîëíåíèè äîìàøíèõ
ðàáîò, òâîð÷åñêèõ ïðîåêòîâ è ò. ä.
Êàê íàì ïðåäñòàâëÿåòñÿ, çíà÷åíèå ýëåêòðîííûõ ÷åðòåæåé
äëÿ ïîíèìàíèÿ êóðñà ãåîìåòðèè (ìû èñõîäèì, ïðåæäå
âñåãî, èç èíòåðåñîâ ó÷àùèõñÿ ñî ñðåäíèìè ñïîñîáíîñòÿìè
è îãðàíè÷åííûì èíòåðåñîì ê ãåîìåòðèè) íåâîçìîæíî
ïðåóâåëè÷èòü. Ïåðåõîä îò ñòàòè÷åñêîé ãåîìåòðèè ê äèíàìè÷åñêîé
ìåíÿåò îáúåêòû èññëåäîâàíèÿ íå ìåíüøå, ÷åì ïåðåõîä îò ÷èñåë
ê ôóíêöèÿì — ó÷àùèéñÿ ðåàëüíî ðàáîòàåò ñ êîíôèãóðàöèÿìè.
Ðàáîòà â âèðòóàëüíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ëàáîðàòîðèè îáåñïå÷èâàåò
ïîääåðæêó ðàáîòû ïðîåêòíîãî òèïà, ïîäðàçóìåâàþùåãî ïî÷òè
íåçàìåòíûé è ïëàâíûé ïåðåõîä îò íåñëîæíûõ îïûòîâ è ïðîñòûõ
çàäàíèé ê óãëóáëåííîìó èçó÷åíèþ ÿâëåíèÿ, âûçâàâøåãî èíòåðåñ.
Êðîìå òîãî, ïðîãðàììíàÿ ñðåäà ïîääåðæèâàåò è òðàäèöèîííóþ
«çàäà÷íóþ» ôîðìó. Îñîáåííî óäà÷íî ðåàëèçóåòñÿ â íåé øèðîêèé
ñïåêòð çàäà÷ «íà ïîñòðîåíèå».
Èñïîëüçîâàíèå ÓÌÊ ïîçâîëÿåò ðàçâèòü ó ó÷åíèêîâ íàâûêè
âîñïðèÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ (ôèãóð, ñâÿçàííûõ ñ íèìè
âåëè÷èí, ôîðìóëèðîâîê óòâåðæäåíèé è âîïðîñîâ, äîêàçàòåëüñòâ
è ò. ï.) è ïðîâåäåíèÿ ðàçëè÷íûõ àêòèâíûõ äåéñòâèé (èçìåðåíèé,
ñðàâíåíèé, ïîñòðîåíèé, íàáëþäåíèé, ôîðìèðîâàíèÿ ïðåäïîëîæå­
íèé, èõ ïîäòâåðæäåíèé è îïðîâåðæåíèé, äîêàçàòåëüñòâ è ò. ï.).
Ðàáîòàÿ ñ ÓÌÊ «Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà» ó÷èòåëü ìîæåò:
• ïðîèëëþñòðèðîâàòü îáúÿñíåíèÿ ýôôåêòíûìè è òî÷íûìè
÷åðòåæàìè;
• îðãàíèçîâàòü ýêñïåðèìåíòàëüíóþ èññëåäîâàòåëüñêóþ
äåÿòåëüíîñòü ó÷àùèõñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ óðîâíåì
è ïîòðåáíîñòÿìè ó÷àùèõñÿ;
• ïîâûñèòü ðàçíîîáðàçèå ôîðì ðàáîòû ó÷àùèõñÿ, çíà÷èòåëüíî
óâåëè÷èòü äîëþ àêòèâíîé òâîð÷åñêîé ðàáîòû â èõ ó÷åáíîé
äåÿòåëüíîñòè;
• âûñâîáîäèòü âðåìÿ íà âûïîëíåíèå ó÷àùèìèñÿ òâîð÷åñêèõ
çàäà÷;
• ðåàëèçîâàòü äèôôåðåíöèàöèþ ïî óðîâíþ çíàíèé
è âîçìîæíîñòåé ó÷åíèêîâ è èíäèâèäóàëèçèðîâàòü îáó÷åíèå
(ýòî îòíîñèòñÿ êàê ê óðîâíþ ôîðìèðîâàíèÿ ïðåäìåòíûõ
óìåíèé è çíàíèé, òàê è èíòåëëåêòóàëüíûõ è îáùèõ óìåíèé).
Íàõîäÿñü â ñðåäå âèðòóàëüíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ëàáîðàòîðèè
Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà ó÷àùèéñÿ ïîëó÷àåò âîçìîæíîñòü:
• âèäåòü ïðåäïîëîæèòåëüíîå ðàâåíñòâî è ïîäîáèå ôèãóð;
• îòëè÷àòü îñìûñëåííûå óòâåðæäåíèÿ î ôèãóðàõ îò
áåññìûñëåííûõ, òî÷íûå îò íåòî÷íûõ;
• ïîíèìàòü, ÷òî óòâåðæäåíèÿ î ôèãóðàõ äåëÿòñÿ íà èñòèííûå
è ëîæíûå;
• ïîíèìàòü, ÷òî ëîæíûå óòâåðæäåíèÿ î ôèãóðàõ îïðîâåðãàþòñÿ
êîíòðïðèìåðàìè, è ñàìîñòîÿòåëüíî ñòðîèòü êîíòðïðèìåðû;
• ïîíèìàòü ñîîòíîøåíèå ìåæäó ìàòåìàòè÷åñêèì óòâåðæäåíèåì,
åãî îáîáùåíèÿìè è ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè;
• îòëè÷àòü âåðíûå äîêàçàòåëüñòâà îò íåâåðíûõ, â îòäåëüíûõ
ñëó÷àÿõ ñàìîñòîÿòåëüíî äîêàçûâàòü ïðàâäîïîäîáíûå
óòâåðæäåíèÿ.
Ïðè ðàáîòå â ðàìêàõ äàííîãî ÓÌÊ êàæäàÿ îáñóæäàåìàÿ ôèãóðà
èçîáðàæàåòñÿ íà ýêðàíå ìîíèòîðà. Ïðîãðàììà ïîçâîëÿåò
ñîçäàâàòü î÷åíü ñëîæíûå êîíñòðóêöèè çà îãðàíè÷åííîå âðåìÿ,
äåëàòü àêêóðàòíûå, ÷åòêèå è ãðàìîòíûå ÷åðòåæè, à òàêæå
ëåãêî èñïðàâëÿòü îøèáêè. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ èç âõîäÿùèõ
â ÓÌÊ íàáîðîâ ãîòîâûõ ìîäåëåé è êîìïüþòåðíûõ àëüáîìîâ
ó÷àùèåñÿ ìîãóò âûïîëíÿòü çàäàíèÿ íà ÷åðòåæå, ïðèëîæåííîì
ê ïðîãðàììå, à ìîãóò ñîçäàâàòü ñîáñòâåííûå ÷åðòåæè è ñâåðÿòü
ñâîè ïîñòðîåíèÿ ñ îáðàçöîì. Åñëè æå ðàáîòà ïðîèñõîäèò â êëàññå,
îñíàùåííîì òîëüêî îäíèì êîìïüþòåðîì è ïðîåêòîðîì, ó÷åíèêàì
ìîæíî ïðåäëîæèòü âûïîëíÿòü ðåøåíèÿ â òåòðàäè, ïîëüçóÿñü ïðè
ýòîì óêàçàíèÿìè è ïîäñêàçêàìè, äàííûìè â çàäà÷àõ, è ñâåðÿòü
ñâîè ïîñòðîåíèÿ ñ îáðàçöîì.
Ó÷àùèåñÿ äîëæíû ñîïðîâîæäàòü ðåøåíèå êàæäîé çàäà÷è
àíàëèçîì òîãî, íàñêîëüêî ôîðìóëèðóåìûå èìè ïîëîæåíèÿ
âûäåðæèâàþò âàðèàöèè èñõîäíûõ ýëåìåíòîâ ÷åðòåæåé. Âñå
ïîëîæåíèÿ, äîïóñêàþùèå ïðÿìóþ ïðîâåðêó (ðàâåíñòâî äëèí
è óãëîâ, íàõîæäåíèå òî÷êè íà ëèíèè, ïåðåñå÷åíèÿ ëèíèé
â îäíîé òî÷êå è ò. ï.), äîëæíû îáÿçàòåëüíî ïðîâåðÿòüñÿ.
Ëþáûå óòâåðæäåíèÿ î êîëè÷åñòâåííûõ ñâîéñòâàõ ÷åðòåæåé
ìîãóò ïðîâåðÿòüñÿ ñ ïîìîùüþ âñòðîåííîãî àïïàðàòà èçìåðåíèé
è àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé íàä íèìè. Åùå óáåäèòåëüíåé
è ïðîùå îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðîâåðêà ïîñòðîåíèé. Íàïðèìåð, êðóã
âïèñàí â òðåóãîëüíèê ïðàâèëüíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
îí îñòàåòñÿ âïèñàííûì ïðè ïðîèçâîëüíûõ âàðèàöèÿõ âåðøèí
òðåóãîëüíèêà; ýòî ïðîâåðÿåìî è ñàìèì ó÷àùèìñÿ, è ó÷èòåëåì
áóêâàëüíî çà ñåêóíäû.
Âñå ðåçóëüòàòû ðàáîòû íà êîìïüþòåðàõ äîëæíû õðàíèòüñÿ
â âèäå îôîðìëåííûõ ÷åðòåæåé â ïðàâèëüíî ñòðóêòóðèðîâàííûõ
äèðåêòîðèÿõ — íàäî íàó÷èòü ó÷àùèõñÿ îðãàíèçîâûâàòü
àêòèâíûå äèðåêòîðèè è àðõèâû, ãðàìîòíî ïðîèçâîäèòü îáìåí
÷åðòåæàìè è ò. ï.
Çàìå÷àíèÿ ïðåïîäàâàòåëÿ ìîæíî ôèêñèðîâàòü íà ÷åðòåæàõ
ñïåöèàëüíûì «ó÷èòåëüñêèì» øðèôòîì (àíàëîãîì êðàñíûõ
÷åðíèë…).  îòëè÷èå îò òðàäèöèîííûõ òåòðàäåé, ýòè çàìå÷àíèÿ,
êàê ïðàâèëî, íå äîëæíû áûòü íàïðàâëåíû íà êîíñòàòàöèþ
îøèáîê ó÷àùåãîñÿ èëè ïðîáåëîâ â åãî çíàíèÿõ; âìåñòî ýòîãî
çàìå÷àíèÿ äîëæíû ñîäåðæàòü êîíñòðóêòèâíûå ïðåäëîæåíèÿ ïî
äîðàáîòêå èëè ïåðåðàáîòêå ÷åðòåæà.
Ñîäåðæàòåëüíî-ìàòåìàòè÷åñêèå êðèòåðèè îöåíêè óñïåøíîñòè
ó÷åíèêîâ ïðè ðàáîòå ñ ÓÌÊ â îñíîâíîì ñîâïàäàþò ñ òðàäèöè­
îííûìè. Êîìïüþòåðíûå êðèòåðèè ñâÿçàíû ñî ñïåöèôèêîé
ñòðóêòóðû ÷åðòåæåé (âçàèìíàÿ çàâèñèìîñòü ýëåìåíòîâ ÷åðòåæåé,
îðãàíèçàöèÿ ñòåïåíåé ñâîáîäû, ò. å. âûáîð óïðàâëÿþùèõ
îáúåêòîâ, è ò. ï.). Ýñòåòèêî-ñòèëèñòè÷åñêèå — ñâÿçàíû
10
ñî ñòåïåíüþ èñïîëüçîâàíèÿ ó÷àùèìñÿ âûðàçèòåëüíûõ
âîçìîæíîñòåé ïðîãðàììû: âûäåëåíèåì è ïîä÷åðêèâàíèåì
ãëàâíûõ è ïðÿòàíüåì âñïîìîãàòåëüíûõ ýëåìåíòîâ, ÿñíûìè
è ãðàìîòíûìè ïîÿñíåíèÿìè. Îò ó÷àùèõñÿ âñåõ óðîâíåé
ìîæíî òðåáîâàòü ïîëíîé îòâåòñòâåííîñòè çà èõ ïîñòðîåíèÿ,
óâåðåííîñòè â ðàáîòå ñ íèìè. Ñëàáûå ó÷àùèåñÿ èìåþò
âîçìîæíîñòü âèäåòü è íàáëþäàòü òî æå, ÷òî è ñðåäíèå; ëèøü
óðîâåíü ïîíèìàíèÿ èìè ëîãè÷åñêèõ ñâÿçåé ìîæåò áûòü íèæå.
Ñëåäóåò äîïóñêàòü, ÷òî îíè ñäåëàþò ìåíüøå ñðåäíèõ, íî
ïîëíîñòüþ ïðî÷óâñòâóþò ïðîèñõîäÿùåå. Ñðåäíèå ó÷àùèåñÿ,
êàê ïðàâèëî, â ñîñòîÿíèè ïîëíîñòüþ âûïîëíèòü îáÿçàòåëüíûå
çàäàíèÿ è èíîãäà ïîïðîáîâàòü ñâîè ñèëû â äîïîëíèòåëüíûõ.
Äëÿ ñèëüíûõ ó÷àùèõñÿ âîçíèêàåò âîçìîæíîñòü áûñòðî
âûïîëíèòü íåîáõîäèìûé ìèíèìóì è âûñâîáîäèòü âðåìÿ äëÿ
çàäà÷ ïîâûøåííîé òðóäíîñòè è ñîáñòâåííûõ èññëåäîâàíèé.
Ó÷èòåëþ ìàòåìàòèêè, ïðèñòóïàþùåìó ê ðàáîòå â ÓÌÊ,
äîñòàòî÷íî âëàäåòü êîìïüþòåðîì íà óðîâíå íà÷èíàþùåãî
ïîëüçîâàòåëÿ. Ñàìà ïðîãðàììà Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà ëåãêî
îñâàèâàåòñÿ ïðè ïîìîùè ðóêîâîäñòâà, ñîäåðæàùåãîñÿ â ïåðâîì
ðàçäåëå äàííîãî ïîñîáèÿ. Ìû ðåêîìåíäóåì êîîðäèíèðîâàòü
îñâîåíèå ïðîãðàììû â êëàññå ñ ïðåïîäàâàòåëÿìè èíôîðìàòèêè
è ÈÊÒ ñ òåì, ÷òîáû ñ èõ ïîìîùüþ îñâàèâàëèñü áîëåå
ïðîäâèíóòûå âîçìîæíîñòè êîìïüþòåðà. Ìîæíî òàêæå ââåñòè
â êóðñ èíôîðìàòèêè è ÈÊÒ óðîêè, ïîñâÿùåííûå îñâîåíèþ
ïðîãðàììû, íà êîòîðûõ ó÷èòåëÿ ìàòåìàòèêè è èíôîðìàòèêè
ðàáîòàëè áû ñîâìåñòíî.
Òèïû èíòåðàêòèâíûõ ÷åðòåæåé è èõ îñîáåííîñòè
Êàê ìû óæå îòìå÷àëè, ãëàâíîé îñîáåííîñòüþ êîìïüþòåðíûõ
÷åðòåæåé ÿâëÿåòñÿ èõ äèíàìè÷íîñòü (ïîäâèæíîñòü). ×åðòåæ
ñóùåñòâóåò âìåñòå ñî âñåìè ñâîèìè âîçìîæíûìè äåôîðìàöèÿìè.
Ýëåìåíòû ÷åðòåæåé ìîæíî äâèãàòü, ïðè ýòîì ñîõðàíÿåòñÿ
êîíôèãóðàöèÿ, çàäàííàÿ ïîñòðîåíèåì: ïåðïåíäèêóëÿðíûå ëèíèè
îñòàþòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíûìè, ðàâíûå îòðåçêè — ðàâíûìè
è ò. ä. È ó÷èòåëü, è ó÷åíèê èìåþò âîçìîæíîñòü èçìåíÿòü
èñõîäíûå ïàðàìåòðû ÷åðòåæà, ïîëó÷àÿ áîëüøîå êîëè÷åñòâî
äîïîëíèòåëüíûõ âàðèàíòîâ çàäà÷. Îôîðìëåíèå ÷åðòåæà çàâèñèò
îò òèïà çàäà÷è èëè òåîðåòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà, äëÿ èëëþñòðàöèè
êîòîðîãî ýòîò ÷åðòåæ ñîçäàí.
Èëëþñòðàöèè ê îïðåäåëåíèÿì ñîäåðæàò ïîäâèæíûé
÷åðòåæ îïðåäåëÿåìîãî îáúåêòà, êîòîðûé, êàê ïðàâèëî,
âûäåëåí êàêèì-íèáóäü ÿðêèì öâåòîì è, èíîãäà, èçìåðåíèÿ,
õàðàêòåðèçóþùèå åãî. Ðàáîòà ñ îïðåäåëåíèÿìè àíàëîãè÷íà
òðàäèöèîííîé (çàïîìíèòü ÷åðòåæ, ïîâòîðèòü ôîðìóëèðîâêó,
âäóìàòüñÿ â ôîðìóëèðîâêó, ñîîòíåñòè ñ äðóãèìè èçâåñòíûìè
îïðåäåëåíèÿìè…). Äîïîëíèòåëüíûå âîçìîæíîñòè ñâÿçàíû
ñ âàðèàöèÿìè ÷åðòåæåé, êîòîðûå ïîçâîëÿþò çðèòåëüíî çàïîìíèòü
ñâîéñòâà, îòíîñÿùèåñÿ ê ñåìåéñòâàì ôèãóð, à íå òîëüêî
ê îòäåëüíûì ôèãóðàì.
11
Èëëþñòðàöèÿìè êà÷åñòâåííûõ óòâåðæäåíèé ñëóæàò
ïîäâèæíûå ÷åðòåæè, ïîçâîëÿþùèå ðàáîòàòü ñî âñåìè îáúåêòàìè,
ñîñòàâëÿþùèìè êîíôèãóðàöèè, èñïîëüçóåìûå â ôîðìóëèðîâêàõ.
Èíîãäà òàêèå ÷åðòåæè ñîäåðæàò íåêîòîðûå çíà÷åíèÿ ÷èñëåííûõ
õàðàêòåðèñòèê, åñëè ïîñëåäíèå ïîäòâåðæäàþò ñïðàâåäëèâîñòü
êà÷åñòâåííûõ óòâåðæäåíèé. Äâèãàÿ ýëåìåíòû ÷åðòåæà, ó÷åíèê
ìîæåò óáåäèòüñÿ â èñòèííîñòè óòâåðæäåíèÿ. Ó÷èòåëü èìååò
âîçìîæíîñòü â ïðîöåññå ýòîé ðàáîòû êîíòðîëèðîâàòü ïîíèìàíèå
ôîðìóëèðîâîê: çàäàâàòü âîïðîñû î ñóùåñòâåííîñòè óñëîâèé,
ïðîñèòü ó÷åíèêà òî÷íî ôîðìóëèðîâàòü åãî íàáëþäåíèÿ.
Âñå çàäà÷è ìîæíî óñëîâíî ðàçáèòü íà òðè ãðóïïû: çàäà÷è,
òðåáóþùèå òîëüêî îòâåòà; çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå è çàäà÷è íà
äîêàçàòåëüñòâî. Ñîîòâåòñòâåííî îôîðìëåíèå ÷åðòåæà çàâèñèò îò
ãðóïïû çàäà÷, äëÿ èëëþñòðàöèè êîòîðîé ýòîò ÷åðòåæ ñîçäàí.
 Çàäà÷àõ íà âû÷èñëåíèå è çàäà÷àõ, òðåáóþùèõ òîëüêî îòâåòà,
â îñíîâíîì, èñïîëüçóþòñÿ ðàçëè÷íûå ÷èñëåííûå õàðàêòåðèñòèêè
ãåîìåòðè÷åñêèõ îáúåêòîâ, ïðè÷åì íåêîòîðûå èç íèõ íåëüçÿ
âûðàçèòü êîíå÷íûìè äåñÿòè÷íûìè äðîáÿìè, ò. å. òî÷íî èçìåðèòü
ñðåäñòâàìè Æèâîé Ìàòåìàòèêè. Èëëþñòðàöèè ê òàêèì çàäà÷àì
ñîäåðæàò èíîãäà áîëåå îáùèå êîíôèãóðàöèè. Ñâåäåíèå áîëåå
îáùåé êîíôèãóðàöèè ê ÷àñòíîìó ñëó÷àþ ïîçâîëÿåò ïðîâåðèòü
ïðàâèëüíîñòü ïðèâåäåííîãî îòâåòà.  íåêîòîðûõ çàäà÷àõ,
íàîáîðîò, êîíôèãóðàöèÿ îñòàâëåíà äîñòàòî÷íî æåñòêîé, ò. å.
ó÷åíèêó ïðåäëàãàåòñÿ ïðîñòî ïîóïðàæíÿòüñÿ â âîçìîæíîñòÿõ
ïðîãðàììû, ïîëó÷èòü îòâåò è ñâåðèòü åãî ñî ñïðÿòàííûì
îòâåòîì. Çàäà÷è ýòîãî òèïà îòëè÷àþòñÿ, ïî ñóòè, îò çàäà÷ íà
äîêàçàòåëüñòâî òîëüêî òåì, ÷òî óòâåðæäåíèå íàäî íå òîëüêî
äîêàçàòü, íî è ñôîðìóëèðîâàòü. Ýêñïåðèìåíòèðóÿ ñ ÷åðòåæîì
(âàðüèðóÿ ýëåìåíòû, ïðîèçâîäÿ èçìåðåíèÿ è àðèôìåòè÷åñêèå
îïåðàöèè íàä íèìè), ó÷àùèéñÿ ôîðìóëèðóåò ãèïîòåçû.
Ïîñëå ýòîãî çàäà÷à ïðåâðàùàåòñÿ â çàäà÷ó íà äîêàçàòåëüñòâî
ñôîðìóëèðîâàííîé ãèïîòåçû.
×åðòåæè ê Çàäà÷àì íà ïîñòðîåíèå, â êîòîðûõ ïîñòðîåíèå íå
ñëèøêîì ãðîìîçäêî è âûïîëíÿåòñÿ áåç êàêèõ-ëèáî ñïåöèàëüíî
âûäóìàííûõ ïðèåìîâ, ñîäåðæàò ñïðÿòàííîå ïîñòðîåíèå (à èíîãäà
åùå è ïîøàãîâîå îïèñàíèå ýòîãî ïîñòðîåíèÿ). ×åðòåæè ê çàäà÷àì,
òðåáóþùèì íåòðèâèàëüíîãî èññëåäîâàíèÿ, èìåþò îòâåò. ×åðòåæè
êî âñåì çàäà÷àì íà ïîñòðîåíèå âêëþ÷àþò â ñåáÿ äàííûå,
ñîîòâåòñòâóþùèå óñëîâèþ êîíôèãóðàöèè. Ó÷åíèêó ïðåäëàãàåòñÿ
ñàìîñòîÿòåëüíî âûïîëíèòü ïîñòðîåíèå ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðíûõ
àíàëîãîâ öèðêóëÿ è ëèíåéêè è ïðîâåðèòü åãî ïðàâèëüíîñòü
è âûïîëíèìîñòü, âàðüèðóÿ âåëè÷èíû èëè ðàñïîëîæåíèå äàííûõ
ãåîìåòðè÷åñêèõ îáúåêòîâ.
 Çàäà÷àõ íà äîêàçàòåëüñòâî òðåáóåòñÿ äîêàçàòü íåêîå
ñâîéñòâî ãåîìåòðè÷åñêîãî îáúåêòà. Èëëþñòðàöèè ê íèì ïîäîáíû
÷åðòåæàì ê òåîðåòè÷åñêîìó ìàòåðèàëó. Äâèãàÿ ñ ïîìîùüþ
ìûøêè ýëåìåíòû êîíôèãóðàöèè, èçîáðàæåííîé íà ÷åðòåæå,
ìîæíî óáåäèòüñÿ â èñòèííîñòè ïðèâåäåííîãî óòâåðæäåíèÿ.
Èíîãäà, åñëè ïîñòðîåíèå ÷åðòåæà, óäîâëåòâîðÿþùåãî âñåì
12
óñëîâèÿì çàäà÷è íà äîêàçàòåëüñòâî, îñòàâëÿåò ÷åðòåæó ñëèøêîì
ìàëî ñòåïåíåé ñâîáîäû, ñòðîèòñÿ ÷åðòåæ ñ äîïîëíèòåëüíûìè
ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Ó÷åíèêó ïðåäëàãàåòñÿ óáåäèòüñÿ «âðó÷íóþ»,
÷òî, êàê òîëüêî óñëîâèÿ âûïîëíåíû, âûïîëíåíî è óòâåðæäåíèå
çàäà÷è (íàïðèìåð, ëþáîé òðåóãîëüíèê — æåñòêàÿ ôèãóðà,
ò. å. îí îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèìè ñòîðîíàìè; ïîýòîìó,
äëèíû åãî ñòîðîí íà ÷åðòåæå ìîãóò íå ñîîòâåòñòâîâàòü äàííûì
çàäà÷è). Òàêèì îáðàçîì, ÷åðòåæè ê çàäà÷àì íà äîêàçàòåëüñòâà
íå òîëüêî ñëóæàò èëëþñòðàöèÿìè, íî è ïîìîãàþò óáåäèòü
ó÷åíèêà â èñòèííîñòè óòâåðæäåíèÿ, õîòÿ è íå ñîäåðæàò ñàìèõ
äîêàçàòåëüñòâ.
Îòäåëüíàÿ ãðóïïà — Æèâûå ñòåðåî÷åðòåæè, ïðåäñòàâëÿþùèå
ñîáîé èíòåðàêòèâíûå ñòåðåîìåòðè÷åñêèå ìîäåëè èíñòðóìåí­
òàëüíîãî òèïà — ñî÷åòàíèå äâóìåðíîãî è òðåõìåðíîãî
ïðåäñòàâëåíèÿ ôèãóðû â îäíîì èçîáðàæåíèè. Â ëþáîé ìîìåíò
ìîæíî âêëþ÷èòü âðàùåíèå êîíñòðóêöèè âîêðóã îäíîé èëè
íåñêîëüêèõ îñåé è âûáðàâ íîâûé ðàêóðñ èçîáðàæåíèÿ ïðîâåðèòü
ïðàâèëüíîñòü âûïîëíåííûõ ïîñòðîåíèé.
Îñîáåííîñòè ðàáîòû ñ êàæäûì èç òèïîâ ÷åðòåæåé îáñóæäàþòñÿ
â ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçäåëàõ äàííîãî ïîñîáèÿ.
Èíñòðóìåíòàðèé ïðîãðàììû
 Æèâîé Ìàòåìàòèêå ðåàëèçîâàíû ñîâðåìåííûå ìåòîäû
îáúåêòíîãî êîíñòðóèðîâàíèÿ, îïèðàþùèåñÿ íà èíòóèòèâíî
ÿñíûå è ãåîìåòðè÷åñêè òî÷íûå ïðèíöèïû, ïðîäîëæåííûå
â îáëàñòü äèíàìè÷åñêèõ êîíñòðóêöèé, ÷òî îáåñïå÷èâàåò åé
èñêëþ÷èòåëüíóþ ãèáêîñòü, óïðàâëÿåìîñòü è ïðîçðà÷íîñòü.
ßäðî áëîêà êîíñòðóèðîâàíèÿ ñîñòàâëÿåò êîíöåïöèÿ «ëîêàëüíîäèíàìè÷åñêèõ èíñòðóìåíòîâ». Äèíàìè÷åñêèå âîçìîæíîñòè
òàêîãî èíñòðóìåíòà âêëþ÷àþòñÿ íåïîñðåäñòâåííî â ïðîöåññå
åãî èñïîëüçîâàíèÿ: ñîçäàâàåìûé îáúåêò ïîñòîÿííî âèäåí íà
ýêðàíå è ïðè ýòîì íåïðåðûâíî âèäîèçìåíÿåòñÿ â çàâèñèìîñòè
îò òåêóùåãî ïîëîæåíèÿ êóðñîðà.
Äëÿ ñîçäàíèÿ êîìïüþòåðíûõ ÷åðòåæåé â Æèâîé Ìàòåìàòèêå
èñïîëüçóþòñÿ ñòàíäàðòíûå ãåîìåòðè÷åñêèå îïåðàöèè —
ïðîâåäåíèå ïðÿìîé (ëó÷à, îòðåçêà) ÷åðåç äâå âûäåëåííûå òî÷êè,
ïîñòðîåíèå îêðóæíîñòåé ïî öåíòðó è òî÷êå íà îêðóæíîñòè
(à òàêæå ïî öåíòðó è ðàäèóñó), ôèêñàöèÿ ïåðåñå÷åíèé ïðÿìûõ
è îêðóæíîñòåé, ïðîâåäåíèå ïàðàëëåëüíûõ, áèññåêòðèñ è ò. ï.
Èìååòñÿ õîðîøî ðàçâèòàÿ ñèñòåìà èçìåðåíèé (ñ ðåãóëèðóåìîé
òî÷íîñòüþ) äëèí, ïëîùàäåé è óãëîâ è âñòðîåííûå âîçìîæíîñòè
àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé íàä ðåçóëüòàòàìè èçìåðåíèé.
Ñèñòåìà ïðåîáðàçîâàíèé ñîäåðæèò âñå, ÷òî îò íåå åñòåñòâåííî
îæèäàòü: óïðàâëÿåìûå ïîâîðîòû, ïåðåíîñû è îòðàæåíèÿ.
Èíòåðôåéñ ïðîñò è óäîáåí, ÷åðòåæè âûðàçèòåëüíû è ëåãêî
ðåäàêòèðóåìû. Èíñòðóìåíòû Æèâîé Ìàòåìàòèêè îáðàçóþò
åñòåñòâåííóþ èåðàðõè÷åñêóþ ñòðóêòóðó.
13
Ïåðâè÷íûìè ýëåìåíòàìè ÿâëÿþòñÿ èíñòðóìåíòû «òî÷êà»,
«ïðÿìàÿ», «îêðóæíîñòü» (òî åñòü, ôàêòè÷åñêè, êîìïüþòåðíàÿ
ðåàëèçàöèÿ öèðêóëÿ è ëèíåéêè — ãåîìåòðè÷åñêèõ èíñòðóìåíòîâ,
ñîñòàâëÿþùèõ îñíîâó êëàññè÷åñêîé ãåîìåòðèè).
Íà ñëåäóþùåì óðîâíå — âñòðîåííûå â ïðîãðàììó
äîïîëíèòåëüíûå èíñòðóìåíòû, ïîçâîëÿþùèå «çà îäèí õîä»
âûïîëíèòü òàêèå ýëåìåíòàðíûå ïîñòðîåíèÿ öèðêóëåì è
ëèíåéêîé, êàê ïðîâåäåíèå ïåðïåíäèêóëÿðîâ è ïàðàëëåëåé
è äð., è áîëåå ñëîæíûå îïåðàöèè, ñîçäàþùèå îáðàçû
ïîñòðîåííûõ ôèãóð ïðè ðàçëè÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ïîäîáèÿ è
ïðåäïîëàãàþùèå çàäàíèå ÷èñëîâûõ ïàðàìåòðîâ, êîòîðûå ìîãóò
ââîäèòñÿ íåïîñðåäñòâåííî èëè êàê èçìåðåíèÿ ðàíåå ïîñòðîåííûõ
îáúåêòîâ.
Òðåòèé óðîâåíü — èíñòðóìåíòû-ìàêðîêîìàíäû, ñîçäàâàåìûå
ïîëüçîâàòåëåì; òàêîé èíñòðóìåíò ìîæåò ìîìåíòàëüíî
âîñïðîèçâîäèòü îäíàæäû âûïîëíåííóþ ïîëüçîâàòåëåì
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîñòðîåíèé â ïðèìåíåíèè ê ïðîèçâîëüíûì
èñõîäíûì äàííûì.
Ñòðóêòóðà èíòåðôåéñà îòâå÷àåò îïèñàííîé èåðàðõèè
èíñòðóìåíòîâ, òàê ÷òî îñíîâíûå èíñòðóìåíòû — öèðêóëü
è ëèíåéêà — äîñòóïíû èç êíîïî÷íîé ïàíåëè è óïðàâëÿþòñÿ
íåïîñðåäñòâåííî ìûøüþ ïðîñòûì è åñòåñòâåííûì îáðàçîì, áîëåå
ñëîæíûå ïîñòðîåíèÿ ïðîèçâîäÿòñÿ ñ ïîìîùüþ ìåíþ, äëÿ ââîäà
÷èñëîâûõ çíà÷åíèé èñïîëüçóþòñÿ äèàëîãîâûå îêíà è ò. ä.
Âîçìîæíîñòü ðåàëèçîâàòü â Æèâîé Ìàòåìàòèêå íå òîëüêî
ïëàíèìåòðè÷åñêèå, íî è ñòåðåîìåòðè÷åñêèå ÷åðòåæè
ñóùåñòâåííî ýêîíîìèò ó÷åáíîå âðåìÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ ñîçäàíèåì
ïðîñòðàíñòâåííûõ êîíôèãóðàöèé â íåêîòîðûõ ãðîìîçäêèõ
«ñòåðåîìåòðè÷åñêèõ êîíñòðóêòîðàõ».
 ïðîãðàììå èìååòñÿ âñòðîåííàÿ ïîìîùü, äàþùàÿ âîçìîæíîñòü
ïîëó÷èòü ïîëíîå ïðåäñòàâëåíèå î âîçìîæíîñòÿõ íàáîðà
ïðîãðàììû è ïðèåìàõ ðàáîò â íåé.
Ñîñòàâ ÓÌÊ «Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà»
Ïîìèìî ñàìîé ïðîãðàììû Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà è íàñòîÿùåãî
ïîñîáèÿ â ñîñòàâ ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîãî êîìïëåêñà âõîäÿò
àëüáîìû ãîòîâûõ äèíàìè÷åñêèõ ÷åðòåæåé, ðàçäåëåííûå
íà äâå ãðóïïû: «ÒÅÎÐÅÌÛ È ÇÀÄÀ×È ØÊÎËÜÍÎÃÎ ÊÓÐÑÀ»
è «ÄÎÏÎËÍÈÒÅËÜÍÛÅ ÌÀÒÅÐÈÀËÛ».
Ïåðâàÿ ãðóïïà «ÒÅÎÐÅÌÛ È ÇÀÄÀ×È ØÊÎËÜÍÎÃÎ ÊÓÐÑÀ»
âêëþ÷àåò àëüáîì Ââåäåíèå â êîìïüþòåðèçèðîâàííûé êóðñ
ïëàíèìåòðèè, ñîäåðæàùèé 46 óðîêîâ ïî òåìàì: íà÷àëüíûå
ãåîìåòðè÷åñêèå ñâåäåíèÿ, òðåóãîëüíèêè, ÷åòûðåõóãîëüíèêè;
ïëîùàäè, ïîäîáèå, îêðóæíîñòü. Àëüáîì Ñòåðåîìåòðèÿ
ñîäåðæàùèò áîëåå 100 ñòåðåîìåòðè÷åñêèõ ìîäåëåé èíñòðóìåí­
òàëüíîãî òèïà. Â àëüáîìå Äåìîíñòðàöèîííûå ìîäåëè
ïðåäñòàâëåíî ñâûøå 40 äèíàìè÷åñêèõ ÷åðòåæåé, ïîêàçûâàþùèõ
14
äèäàêòè÷åñêèå âîçìîæíîñòè Æèâîé Ìàòåìàòèêè. Èõ ìîæíî
ðàññìàòðèâàòü â êà÷åñòâå ïðèìåðà íîâîãî ìåòîäè÷åñêîãî ïîñîáèÿ,
âêëþ÷àþùåãî äåìîíñòðàöèè, ñáîðíèê çàäà÷, ó÷åáíèê è ñáîðíèê
ïðîåêòîâ. Ðàáîòàÿ ñ ïîäîáíûìè ìàòåðèàëàìè ó÷åíèêè óñâàèâàþò
íîâûå ïîíÿòèÿ, îòðàáàòûâàþò íàâûêè èõ èñïîëüçîâàíèÿ
â ðàçëè÷íûõ êîíôèãóðàöèÿõ, ðåøàþò çàäà÷è íà ðàçâèòèå
ãåîìåòðè÷åñêîé èíòóèöèè è ãåîìåòðè÷åñêîãî âîîáðàæåíèÿ.
Áëîê «ÄÎÏÎËÍÈÒÅËÜÍÛÅ ÌÀÒÅÐÈÀËÛ» ñîäåðæèò ïðèìåðû
èñïîëüçîâàíèÿ ïðîãðàììû â ðàìêàõ øêîëüíîé è âíåøêîëüíîé
ãåîìåòðèè è âêëþ÷àåò 6 àëüáîìîâ.
Çàäàíèÿ è ïðîåêòû äëÿ øêîëüíèêîâ 5­–6 êëàññîâ, ñîäåðæàùàò
îêîëî 200 çàäàíèé çàíèìà­òåëüíûõ çàäàíèé è ïðîåêòîâ ïî äâóì
ðàçäåëàì ãåîìåòðèè («Òðåóãîëüíèê: çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè
è ëèíèè» è «Îðíàìåíòû»), ïðåäíàçíà÷åíû äëÿ ïðîïåäåâòè÷åñêîãî
êóðñà çíàêîìñòâà ñ ãåîìåòðè÷åñêèìè ïîíÿòèÿìè ó÷åíèêîâ
5– 6 êëàññîâ.
Àëüáîì Âîçìîæíûå ïðîãðàììû â äåñÿòè ïðèìåðàõ ïîçâîëÿåò
ïîëó÷èòü ïðåäñòàâëåíèå î ðàçíîîáðàçíûõ âîçìîæíîñòÿõ
ïðîãðàììû äëÿ ðàáîòû ñ ó÷àùèìèñÿ ðàçíûõ âîçðàñòîâ, óðîâíåé
ìàòåìàòè÷åñêîé ïîäãîòîâêè è èíòåðåñà ê ãåîìåòðèè.
Àëüáîì Èíñòðóìåíòû ñîäåðæèò íàáîð ïðèìåðîâ èñïîëüçîâàíèÿ
ðàçíîîáðàçíûõ èíñòðóìåíòîâ, êîòîðûå ìîãóò îêàçàòüñÿ
ïîëåçíûìè êàê äëÿ äåìîíñòðàöèîííûõ è ó÷åáíûõ öåëåé, òàê
è ïðè âûïîëíåíèè ñëîæíûõ ñàìîñòîÿòåëüíûõ ðàáîò.
Àëüáîì Äèíàìè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ñîäåðæèò 44 ïðèìåðà
äëÿ ïîääåðæêè ïðîåêòíîé ðàáîòû øêîëüíèêîâ — «æèâûå
ôîðìóëû» è ãðàôèêè.
 àëüáîìå Ïðèìåðû èç ðàçëè÷íûõ îáëàñòåé ìàòåìàòèêè —
ñâûøå 50 ìîäåëåé ïî òåìàì: Ãåîìåòðèÿ è ñòåðåîìåòðèÿ â ðàìêàõ
è çà ðàìêàìè áàçîâîé øêîëüíîé ïðîãðàììû; Àíàëèòè÷åñêàÿ
è àëãåáðàè÷åñêàÿ ãåîìåòðèè; Àëãåáðà è íà÷àëà àíàëèçà
â ñîîòâåòñòâèè ñ áàçîâîé øêîëüíîé ïðîãðàììîé; Îáûêíîâåííûå
äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ; Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé
è ñòàòèñòèêà.
 àëüáîìå Íîâûå âîçìîæíîñòè äåìîíñòðèðóþòñÿ ñâîéñòâà
Æèâîé Ìàòåìàòèêè, íåäîñòóïíûå â ïðåäûäóùèõ âåðñèÿõ
ïðîãðàììû Geometry’s Sketchpad.
15
Ðàáîòà ñ ïðîãðàììîé
×òî òàêîå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà?
Åñëè ïðîãðàììà
Æèâàÿ
Ìàòåìàòèêà åùå
íå óñòàíîâëåíà,
òî ñëåäóåò íà÷àòü
ñ åå óñòàíîâêè,
îáðàòèâøèñü äëÿ
ýòîãî ê íèæåñëå­
äóþùåìó ðàçäåëó.
Ðèñóíîê è âîîáùå âèçóàëèçàöèÿ
âñåãäà áûëè âàæíîé ñîñòàâíîé ÷àñòüþ
ìàòåìàòèêè. Òðàäèöèîííî èçó÷åíèå
ãåîìåòðèè ñîïðîâîæäàåòñÿ çàäà÷åé
ïîñòðîåíèÿ íåêîòîðîé êîíñòðóêöèè
ïðè ïîìîùè öèðêóëÿ è ëèíåéêè,
à èçó÷åíèå àëãåáðû îáÿçàòåëüíî
âêëþ÷àåò â ñåáÿ ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâ.
Ðàáîòà ñ êàðàíäàøîì è áóìàãîé èìååò
âàæíåéøåå çíà÷åíèå, íî îáëàäàåò äâóìÿ Ãèïåðêóá (êóá â ÷åòûðåõìåðíîì
ïðîñòðàíñòâå) ïîñòðîåí
íåäîñòàòêàìè: òðåáóåò áîëüøèõ çàòðàò
â Æèâîé Ìàòåìàòèêå
âðåìåíè è êîíå÷íûé ïðîäóêò
îêàçûâàåòñÿ ñòàòè÷íûì. Íåòðóäíî
óáåäèòüñÿ, ÷òî êîìïüþòåðíàÿ ïðîãðàììà, ñêàæåì Æèâàÿ
Ìàòåìàòèêà, ïîçâîëÿåò çíà÷èòåëüíî ýêîíîìèòü âðåìÿ. Ìîæíî
ìãíîâåííî âûïîëíÿòü òðóäîåìêèå çàäà÷è è, â èòîãå, ñòðîèòü
î÷åíü ñëîæíûå êîíñòðóêöèè
çà îãðàíè÷åííîå âðåìÿ.
Äèíàìè÷åñêàÿ ìàòåìàòèêà
×òîáû ïîëíåå îñîçíàòü ïîëüçó îò ïðèìåíåíèÿ
Æèâîé Ìàòåìàòèêè, íåîáõîäèìî îòìåòèòü
òå ïðåèìóùåñòâà, êîòîðûå äàþò åå
äèíàìè÷åñêèå âîçìîæíîñòè ïî ñðàâíåíèþ
ñî ñòàòè÷íûìè ðèñóíêàìè íà áóìàãå èëè
íà äîñêå è äàæå íà äèñïëåå ãðàôè÷åñêîãî
êàëüêóëÿòîðà.
Íåêîòîðûå ñâîéñòâà ãåîìåòðè÷åñêîé
êîíñòðóêöèè, êàæóùèåñÿ âåðíûìè, ìîãóò áûòü èñòèííûìè
ëèøü â íåêîòîðûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ, è òðåáóåòñÿ íåîäíîêðàòíîå
ïîñòðîåíèå êîíñòðóêöèè, ÷òîáû ñôîðìóëèðîâàòü óòâåðæäåíèå,
âåðíîå âî âñåõ ñëó÷àÿõ. Íàïðèìåð, íåëåãêî ñäåëàòü çàêëþ÷åíèå
îòíîñèòåëüíî ñâîéñòâ ñåìåéñòâà ïðÿìûõ y = mx + b, íå ïîñòðîèâ
ìíîæåñòâî ïðÿìûõ ñ çàäàííûìè ïàðàìåòðàìè.
Ëó÷ r ÿâëÿåòñÿ áèññåêòðèñîé óãëà ABC. Íåêîòîðûå ñâîéñòâà, íàïðèìåð
ïåðåñå÷åíèå ýòèì ëó÷îì ïðîòèâîëåæàùåé ñòîðîíû â ñåðåäèíå
îòðåçêà ÀÑ, ìîãóò êàçàòüñÿ èñòèííûìè, åñëè îðèåíòèðîâàòüñÿ íà ëåâûé
ðèñóíîê. Åñëè ïîòàùèòü òî÷êó B, òî âèäíî, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå ýòî íåâåðíî.
19
Íàñòîÿùàÿ öåííîñòü êîíñòðóêöèé Æèâîé Ìàòåìàòèêè â òîì,
÷òî îíè ìîãóò äâèãàòüñÿ: èõ ìîæíî ïåðåìåùàòü
è äåôîðìèðîâàòü, ìàñøòàáèðîâàòü è ò. ä., íå ðàçðóøàÿ
íàëîæåííûå îãðàíè÷åíèÿ è ñâÿçè, èëè, äðóãèìè ñëîâàìè,
ñîõðàíÿÿ çàäàííûå ìàòåìàòè÷åñêèå ñâîéñòâà. Ïðè äåôîðìàöèè
ôèãóðû îïðåäåëåííûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó åå ýëåìåíòàìè
(ê ïðèìåðó, ïåðïåíäèêóëÿðíîñòü äâóõ îòðåçêîâ) îñòàþòñÿ
íåèçìåííûìè, íî ñîîòíîøåíèÿ, êîòîðûå ÿâíî íå çàäàíû,
íå ñîõðàíÿþòñÿ. Ïîýòîìó, èçìåíÿÿ ôèãóðó, ìîæíî èçó÷èòü
âñå ìíîãîîáðàçèå åå ôîðì ñ çàäàííûìè ñâîéñòâàìè. Ëåãêî
îòëè÷èòü ñîîòíîøåíèÿ, êîòîðûå âåðíû âñåãäà, îò ñîîòíîøåíèé,
êîòîðûå âåðíû ëèøü â ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ. Êðîìå òîãî, àíèìàöèÿ
ïàðàìåòðîâ m è b â âûðàæåíèè y = mx + b ïîçâîëÿåò íà îäíîì
÷åðòåæå èññëåäîâàòü äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ïðÿìûõ.
×òî ìîæíî äåëàòü ïðè ïîìîùè ïðîãðàììû?
Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà — ýòî âåñüìà ãèáêèé
èíñòðóìåíò, ïîçâîëÿþùèé ðåàëèçîâàòü
ìíîãèå ôàíòàçèè, îãðàíè÷åííûå òîëüêî
ñîáñòâåííûì âîîáðàæåíèåì. Íà ðèñóíêå
ïðèâåäåí ïðèìåð òàêîãî ðîäà.
Îáúÿñíåíèå ñëîæíûõ òåì
è èçó÷åíèå òåîðåì
Ó÷åáíèêè ãåîìåòðèè ñîäåðæàò ìíîãî÷èñëåííûå îïðåäåëåíèÿ,
ïîñòóëàòû, òåîðåìû, ëåììû, êîòîðûå áûâàåò íåëåãêî ïîíÿòü
èëè âîñïðîèçâåñòè. Ïðè ïîìîùè Æèâîé Ìàòåìàòèêè óäîáíî
ïîñòèãàòü (è ïðåïîäàâàòü) ñëîæíûå òåìû, ñîçäàâàÿ êîíñòðóêöèè,
ìîäåëèðóþùèå óñëîâèÿ òåîðåì, è ýêñïåðèìåíòèðóÿ ñ íèìè.
Ïðèìåð òàêîãî ðîäà ïðèâîäèòñÿ â ðàçäåëå «Óðîê 2. Òåîðåìà
î ÷åòûðåõóãîëüíèêàõ».
Ïðåçåíòàöèè
×åðòåæ Æèâîé Ìàòåìàòèêè, ïîäãîòîâëåííûé äëÿ ïðåçåíòàöèè,
îáû÷íî òùàòåëüíî îôîðìëÿåòñÿ, âêëþ÷àåò â ñåáÿ àíèìàöèîííûå
ýëåìåíòû è èñïîëíèòåëüíûå êíîïêè è ñîäåðæèò íåñêîëüêî
ñòðàíèö. Ïðåçåíòàöèè ÿâëÿþòñÿ ýôôåêòèâíûì ìåòîäè÷åñêèì
ñðåäñòâîì ïðåïîäàâàíèÿ, èõ ìîæíî ñîçäàâàòü â êîìïüþòåðíîì
êëàññå èëè, ÷òî ëó÷øå, ñ ïîìîùüþ ïðîåêòîðà. Ó÷àùèåñÿ òàêæå
ìîãóò ïðåäñòàâëÿòü ñâîè ðàáîòû â âèäå ïðåçåíòàöèè èëè ñäåëàòü
ñîáñòâåííûé äèíàìè÷åñêèé ó÷åáíèê ãåîìåòðèè.
Îæèâëåíèå ðèñóíêîâ èç ó÷åáíèêà
Ïîëó÷èâ îïðåäåëåííûé íàâûê
â Æèâîé Ìàòåìàòèêå, íåòðóäíî
ïîíÿòü, ÷òî ïðîùå è áûñòðåå
âîñïðîèçâåñòè ðèñóíîê èç ó÷åáíèêà
íà êîìïüþòåðå, ÷åì ðèñîâàòü åãî
íà áóìàãå. Ïðè ýòîì ñòàíîâÿòñÿ
äîñòóïíûìè òàêæå âñå äèíàìè÷åñêèå
20
âîçìîæíîñòè ïðîãðàììû è ïðåèìóùåñòâà ìàíèïóëÿöèè
ñ ÷åðòåæîì, î êîòîðûõ óæå ñêàçàíî âûøå.
Ïðèìåíåíèå ïðîãðàììû â äðóãèõ ðàçäåëàõ ìàòåìàòèêè
Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà — íåçàìåíèìûé
èíñòðóìåíò äëÿ èçó÷åíèÿ íå òîëüêî ãåîìåòðèè, íî è âîîáùå âñåõ
ìàòåìàòè÷åñêèõ êóðñîâ.  êóðñå àëãåáðû, íàïðèìåð, ïîëåçíî
îáðàòèòüñÿ ê ýòîé ïðîãðàììå äëÿ ïîíèìàíèÿ ãåîìåòðè÷åñêîãî
ñìûñëà ïðîèçâîäíîé êàê
õàðàêòåðèñòèêè íàêëîíà êðèâîé
èëè ïðè èññëåäîâàíèè è ïîñòðîåíèè
ãðàôèêîâ ôóíêöèé è èõ ñåìåéñòâ,
ïðè èçó÷åíèè ñâîéñòâ ïàðàáîëû
è, ÷òî îñîáåííî âàæíî, äëÿ óÿñíåíèÿ òåðìèíà «ôóíêöèÿ»
êàê ïîíÿòèÿ. Íåêîòîðûå ïðèìåðû ìîæíî íàéòè â ðàçäåëå
«Óðîê 7. Íåìíîæêî àëãåáðû». Â êóðñå òðèãîíîìåòðèè ñòîèò
âîñïîëüçîâàòüñÿ âîçìîæíîñòÿìè ïðîãðàììû äëÿ îïðåäåëåíèÿ
òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé íà åäèíè÷íîì êðóãå è â
ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå.
Ñòàðøåêëàññíèêàì è ñòóäåíòàì Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà áóäåò
ïîëåçíà ïðè èññëåäîâàíèè èíòåãðàëîâ, äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäåé
ïîä êðèâûìè ñ ïîìîùüþ êîìàíäû Ïðîèçâîäíàÿ. Òå, êòî
óãëóáëåííî èçó÷àåò ìàòåìàòèêó è ôèçèêó, ìîãóò óáåäèòüñÿ, ÷òî
ïðîãðàììà Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà ïîìîãàåò ïîíÿòü íåýâêëèäîâó
ãåîìåòðèþ è èíûå ñëîæíûå ìàòåìàòè÷åñêèå òåîðèè.
Îáðàòèâøèñü
ê Óðîêó 8, ìîæíî
óâèäåòü, êàê
ëåãêî ñîçäàòü
ôðàêòàëüíóþ
ñòðóêòóðó —
ñíåæèíêó Êîõà.
Ïîñòðîåíèå ôðàêòàëîâ
Óäèâèòåëüíûå ãåîìåòðè÷åñêèå îáúåêòû —
ôðàêòàëû — ìîäåëèðóþò ñëîæíûå è
êðàñèâûå ÿâëåíèÿ ïðèðîäû è ïîýòîìó ÿâëÿþòñÿ
ýëåìåíòîì ìíîãèõ ãðàôè÷åñêèõ êîìïüþòåðíûõ
ïðîãðàìì. Ôðàêòàë — ýòî ñàìîïîäîáíûé
ãåîìåòðè÷åñêèé îáúåêò, êîòîðûé âûãëÿäèò
îäèíàêîâûì îáðàçîì ïðè ëþáîì óâåëè÷åíèè
èçîáðàæåíèÿ. Ïîñòðîåíèå ôðàêòàëà âêëþ÷àåò
â ñåáÿ èçãîòîâëåíèå ïðîñòîé êîíñòðóêöèè, êîòîðàÿ ôîðìèðóåò
âñå ìåíüøèå è ìåíüøèå äåòàëè ôèãóðû. Êîìàíäà Èòåðàöèè
ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü êîíñòðóêöèè òàêîãî ðîäà, âïðî÷åì, êàê
è äðóãèå ôèãóðû ñ ïîâòîðÿþùèìñÿ àëãîðèòìîì ïîñòðîåíèÿ
ýëåìåíòîâ.
Èçîáðàæåíèå òðåõìåðíûõ òåë è ãåîìåòðè÷åñêèå ðèñóíêè
Õîòèòå ñäåëàòü îðèãèíàëüíóþ ïîçäðàâèòåëüíóþ
îòêðûòêó èëè ñïðîåêòèðîâàòü äèçàéí
ñîáñòâåííîé âåá-ñòðàíèöû? Ñ ïîìîùüþ
èíñòðóìåíòîâ Æèâîé Ìàòåìàòèêè, äîïîëíåí­
íûìè êîìàíäàìè ìåíþ Âèä è äðóãèìè
âîçìîæíîñòÿìè ïðîãðàììû, ìîæíî ñîçäàòü
ìíîæåñòâî èíòåðåñíûõ è çàíèìàòåëüíûõ
êàðòèí.
21
Âîçìîæíî, êîìó‑òî
çàõî÷åòñÿ ïðîéòè
8 óðîêîâ â îäèí
ïðèåì, à êîìó‑òî
çà íåñêîëüêî ðàç.
 ëþáîì ñëó÷àå,
ïîëåçíî ïðîâåñòè
êàêîå-òî âðåìÿ,
ïîâòîðÿÿ
ïðîéäåííîå
íà óðîêàõ
ñàìîñòîÿòåëüíî.
Óðîêè 1–4
ñîñòàâëÿþò
ãðóïïó, êîòîðóþ
ìû íàçâà­ëè
«Çíàêîìñòâî
ñ ïðîãðàììîé».
Ýòè óðîêè
ÿâëÿþòñÿ îñíîâîé
äëÿ ïîíèìàíèÿ
ïðîãðàììû.
 êàæäîì èç íèõ
ïîñòðîåíèå êâàäðà­
òà ðàññìàòðèâàåòñÿ
ñ îïðåäåëåííîé
ìåòîäè÷åñêîé
òî÷êè çðåíèÿ.
Îáçîð óðîêîâ
Óðîêè â ýòîì ïîñîáèè ïîñòåïåííî, øàã çà øàãîì, ââîäÿò âî
âñå îñíîâíûå è ìíîãèå äîïîëíèòåëüíûå âîçìîæíîñòè Æèâîé
Ìàòåìàòèêè. Íîâè÷êó ñëåäóåò íà÷àòü ñ Óðîêà 1 è àêêóðàòíî
ïðîéòè âåñü ïóòü, ïî êðàéíåé ìåðå, ïåðâûå ÷åòûðå óðîêà.
Îïûòíîìó ïîëüçîâàòåëþ äîñòàòî÷íî ïðîãëÿäåòü ïåðâûå çàíÿòèÿ,
îáðàùàÿ âíèìàíèå íà âîçìîæíûå ïîëåçíûå ñîâåòû. Êàê òîëüêî
ïîÿâèòñÿ ÷òî-òî íîâîå, äâèãàòüñÿ äàëüøå ñëåäóåò ïîìåäëåííåå.
 ýòîì ðàçäåëå ìû ïðèâåäåì îáçîð âñåõ âîñüìè óðîêîâ.
Óðîê 1. Ïîñòðîåíèå êâàäðàòà
Íà ýòîì óðîêå ìû çàéìåìñÿ ïîñòðîåíèåì
êâàäðàòà. Íàó÷èìñÿ ïîëüçîâàòüñÿ
èíñòðóìåíòàìè Îòðåçîê è Öèðêóëü, à òàêæå
êîìàíäàìè Ïåðåñå÷åíèå, Ïàðàëëåëüíàÿ
ïðÿìàÿ è Ïåðïåíäèêóëÿð. Áóäåì
èñïûòûâàòü êîíñòðóêöèþ «íà ïðî÷íîñòü».
Óðîê 2. Òåîðåìà î ÷åòûðåõóãîëüíèêàõ
Íà ýòîì çàíÿòèè ðàññìîòðèì ïîñòðîåíèå ïðîñòîé ôèãóðû
(ïðè ïîìîùè êîìàíä ìåíþ Ïîñòðîåíèÿ è Èçìåðåíèÿ) è èçó÷èì
íåêîòîðóþ òåîðåìó ãåîìåòðèè. Ñòàíåò ÿñíî, ÷òî äèíàìè÷åñêèå
âîçìîæíîñòè ïðîãðàììû ïîçâîëÿþò äåëàòü âûâîäû î ñâîéñòâàõ
öåëîãî êëàññà ôèãóð íà îñíîâå ïîñòðîåíèÿ îäíîé èç íèõ. Êðîìå
òîãî, ìû íàó÷èìñÿ ñîçäàâàòü íàäïèñè èíñòðóìåíòîì Òåêñò.
Óðîê 3. Îæèâøèå ÷åðòåæè
Êîìàíäû Îñòàâëÿòü ñëåä, Öâåò è Àíèìàöèÿ, à òàêæå êíîïêà
Àíèìàöèÿ ïîçâîëÿþò îæèâèòü ÷åðòåæ è ñäåëàòü åãî áîëåå
ïðèâëåêàòåëüíûì è íàãëÿäíûì, ðàñêðàñèâ è ïðèâîäÿ â äâèæåíèå
åãî îáúåêòû.
Óðîê 4. Êîëëåêöèÿ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ
Íà ýòîì óðîêå ïîçíàêîìèìñÿ
ñ äîêóìåíòàìè, êîòîðûå ñîäåðæàò
íåñêîëüêî ñòðàíèö.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðåäëàãàåòñÿ
íàáîð ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ,
ïîìåùàåìûõ
íà ñòðàíèöàõ äîêóìåíòà. Íàó÷èìñÿ
«ïåðåëèñòûâàòü» ñòðàíèöû,
èññëåäîâàòü îáúåêò, ïîëüçóÿñü
êîìàíäîé Ñâîéñòâà…
è ïàíåëüþ ñâîéñòâ. Íàó÷èìñÿ, êðîìå òîãî, ñîçäàâàòü
èíñòðóìåíòû ïîëüçîâàòåëÿ, êîòîðûå ïîçâîëÿþò àâòîìàòè÷åñêè
âîñïðîèçâîäèòü ñîîòâåòñòâóþùóþ êîíñòðóêöèþ.
22
Óðîêè 5 è 6 ìû
îáúåäèíèëè
â ãðóïïó
«Ïðåîáðàçîâàíèÿ».
Óðîê 5. Îòðàæåíèå + Îòðàæåíèå = ?
Êàêîå îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ êîìïîçèöèåé äâóõ
îòðàæåíèé? Ïûòàÿñü îòâåòèòü íà ýòîò âîïðîñ,
ïîçíàêîìèìñÿ ñ êîìàíäàìè ìåíþ
Ïðåîáðàçîâàíèÿ è Êàëüêóëÿòîðîì ïðîãðàììû.
Óðîê 6. Êàëåéäîñêîï
Îòòàëêèâàÿñü îò ôèãóðû èç Óðîêà 5, ñîçäàäèì èíñòðóìåíò
ïîëüçîâàòåëÿ. Ýòîò èíñòðóìåíò ïðèìåíèì ïðè èññëåäîâàíèÿõ
ïðåîáðàçîâàíèé è ñâîéñòâ ñèììåòðèè. Çàòåì, ïîëüçóÿñü
àíèìàöèåé è êîìàíäîé Ñâÿçàòü îáúåêòû, ñîçäàäèì ïðîñòîé, íî
êðàñèâûé êàëåéäîñêîï.
Óðîê 7. Íåìíîæêî àëãåáðû
Îäíîãî óðîêà êîíå÷íî íåäîñòàòî÷íî, ÷òîáû îïèñàòü
àëãåáðàè÷åñêèå âîçìîæíîñòè Æèâîé Ìàòåìàòèêè. Çäåñü ìû
ëèøü ïîïðîáóåì îñâîèòü íåêîòîðûå èç íèõ: ïîñòðîåíèå
ãðàôèêîâ ôóíêöèé è ñåìåéñòâ ôóíêöèé, à òàêæå èññëåäóåì
îäíó ôóíêöèþ.
Óðîê 8. Èòåðàöèè
Íà ýòîì óðîêå îñâîèì êîìàíäó Èòåðàöèè
íà ïðèìåðå ïîñòðîåíèÿ ôðàêòàëüíîé êðèâîé Êîõà.
Çàòåì ñîçäàäèì ñîîòâåòñòâóþùèé èíñòðóìåíò
è ñ åãî ïîìîùüþ ïîñòðîèì ñíåæèíêó Êîõà.
23
Óñòàíîâêà ïðîãðàììû
Âíèìàíèå!
Ïðè ðàáîòå
ñ ñèñòåìàìè
Windows 2000/XP
óñòàíîâêó
Æèâîé
Ìàòåìàòèêè
è åå ïåðâûé
çàïóñê ñëåäóåò
ïðîâîäèòü
òîëüêî îò èìåíè
àäìèíèñòðàòîðà
ñèñòåìû.
 ïðîòèâíîì
ñëó÷àå ïðîãðàììà
ìîæåò îêàçàòüñÿ
íåðàáîòîñïî­
ñîáíîé.
Äàëåå îïèñûâàåòñÿ ïðîöåññ óñòàíîâêè Æèâîé Ìàòåìàòèêè
íà ïëàòôîðìàõ Windows® è Mac OS®.
Óñòàíîâêà ïîä Windows
Âñòàâüòå êîìïàêò-äèñê â äèñêîâîä.
Åñëè ïðîèçîéäåò àâòîìàòè÷åñêèé çàïóñê ïðîãðàììû óñòàíîâêè,
òî ñëåäóéòå èíñòðóêöèÿì íà ýêðàíå.
 ïðîòèâíîì ñëó÷àå âûïîëíèòå ñëåäóþùèå øàãè:
1.Îòîáðàçèòå íà ýêðàíå ôàéëû, ñîäåðæàùèåñÿ
íà êîìïàêò-äèñêå.
2.Çàïóñòèòå ïðîãðàììó ñ èìåíåì GskSetup.exe.
3.Ñëåäóéòå èíñòðóêöèÿì íà ýêðàíå.
Óñòàíîâêà ïîä Mac OS
1.Âñòàâüòå êîìïàêò-äèñê â äèñêîâîä.
2.Ñîçäàéòå íà æåñòêîì äèñêå ñâîåãî êîìïüþòåðà ïàïêó
(æåëàòåëüíî èñïîëüçóÿ ëàòèíñêèå áóêâû) è ïåðåïèøèòå
â íåå ñîäåðæèìîå êîìïàêò-äèñêà.
24
Îñíîâíûå ñâåäåíèÿ
Äëÿ ðàáîòû ñ ïðîãðàììîé Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà òðåáóþòñÿ
íåêîòîðûå íàâûêè îáðàùåíèÿ ñ êîìïüþòåðîì è ñàìîé
ïðîãðàììîé. Íîâè÷êó ïîëåçíî ïðî÷èòàòü ýòîò ðàçäåë ïîëíîñòüþ,
à áîëåå èñêóøåííîìó ïîëüçîâàòåëþ äîñòàòî÷íî ñðàçó ïåðåéòè
ê îïèñàíèþ íàáîðà èíñòðóìåíòîâ, à òî è âîâñå ê Óðîêàì.
×òî íóæíî çíàòü î ñâîåì êîìïüþòåðå
Òîìó, êòî ñîâñåì íåçíàêîì ñ îïåðàöèîííûìè ñèñòåìàìè Windows
èëè Mac OS, ñëåäóåò íà÷àòü ñ îïèñàíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé
ïëàòôîðìû.
Ïîçíàêîìèìñÿ ñ òåðìèíîëîãèåé, îïèñûâàþùåé äåéñòâèÿ ñ
ìûøüþ.
Óêàçàòü
Ïåðåäâèíóòü ìûøü òàê, ÷òîáû óêàçàòåëü
ñîîòâåòñòâóþùåãî èíñòðóìåíòà îêàçàëñÿ íàä
æåëàåìûì ìåñòîì èëè îáúåêòîì.
Ùåëêíóòü
Íàæàòü è áûñòðî îòïóñòèòü êëàâèøó ìûøè.
(Äëÿ Windows èñïîëüçóåòñÿ ëåâàÿ êëàâèøà,
åñëè ÿâíî íå ñêàçàíî èíîå.)
Äâàæäû ùåëêíóòü
Áûñòðî ùåëêíóòü êëàâèøó äâà ðàçà. (Äëÿ
Windows èñïîëüçóåòñÿ ëåâàÿ êëàâèøà, åñëè
ÿâíî íå ñêàçàíî èíîå.)
Ïåðåòàùèòü
Óêàçàòü íà æåëàåìûé îáúåêò, íàæàòü
è, óäåðæèâàÿ êëàâèøó, ïåðåäâèíóòü ìûøü
â íóæíîå ìåñòî, à çàòåì îòïóñòèòü êëàâèøó.
(Äëÿ Windows èñïîëüçóåòñÿ ëåâàÿ êëàâèøà,
åñëè ÿâíî íå ñêàçàíî èíîå.)
25
×òî íóæíî çíàòü î ïðîãðàììå
Íà ðèñóíêàõ ïðåäñòàâëåíû êîïèè îêîí äîêóìåíòà íà ïëàòôîðìàõ
Windows è Mac OS.
Граница окна
Номер страницы
Свернуть
Восстановить
Закрыть
Заголовок
Окно документа
Чертеж
Переключатель страниц
Разделитель
Полосы прокрутки
Изменение размера
Îêíî äîêóìåíòà (Windows)
Закрыть
Свернуть
Восстановить
Номер страницы
Разделитель
Полосы прокрутки
Изменение размера
Заголовок
Окно документа
Чертеж
Переключатель
страниц
Îêíî äîêóìåíòà (Mac OS)
26
Ñëåäóþùèå óïðàâëÿþùèå ýëåìåíòû èñïîëüçóþòñÿ îáåèìè
îïåðàöèîííûìè ñèñòåìàìè.
Íåêîòîðûå
îáúåêòû,
íàïðèìåð ëó÷è
èëè ïðÿìûå,
ïðîñòèðàþòñÿ çà
âèäèìûå ãðàíèöû
÷åðòåæà. Îäíàêî
åñòü âîçìîæíîñòü
ïðîêðóòèòü
÷åðòåæ, íàæàâ
íà ñòðåëêè
ïðîêðóòêè, äàæå
åñëè áåãóíîê
óïèðàåòñÿ
â îãðàíè÷èòåëü.
Çàãîëîâîê
×òîáû èçìåíèòü ïîëîæåíèå îêíà,
ïåðåòàùèòå åãî çàãîëîâîê.
Çàêðûòü
Ùåë÷îê íà ýòîì ýëåìåíòå çàêðûâàåò îêíî
÷åðòåæà.
Íîìåðà ñòðàíèö ×òîáû ïåðåñêî÷èòü íà íóæíóþ ñòðàíèöó,
íóæíî ùåëêíóòü íà åå íîìåðå (èëè èìåíè).
Ýòîò óïðàâëÿþùèé ýëåìåíò ïðèñóòñòâóåò
òîëüêî íà äîêóìåíòàõ, ñîñòîÿùèõ áîëåå ÷åì
èç îäíîé ñòðàíèöû.
Ðàçäåëèòåëü
×òîáû óâåëè÷èòü èëè óìåíüøèòü
ïðîñòðàíñòâî, îòâåäåííîå äëÿ íîìåðîâ
ñòðàíèö, ïîòàùèòå ðàçäåëèòåëü.
Ïîëîñà ïðîêðóòêè
×òîáû ïðîêðóòèòü ÷åðòåæ, ïåðåòàñêèâàéòå
áåãóíîê ëèáî ùåëêàéòå íà ïîëîñå èëè
íàæèìàéòå íà ñòðåëêè ïðîêðóòêè.
Èçìåíåíèå ðàçìåðà ×òîáû èçìåíèòü ðàçìåð îêíà, ïîòàùèòå ýòîò
ýëåìåíò èëè âîñïîëüçóéòåñü êëàâèøàìè
ïåðåìåùåíèÿ êóðñîðà.
Òèïû è ôóíêöèè äðóãèõ óïðàâëÿþùèõ ýëåìåíòîâ çàâèñÿò
îò èñïîëüçóåìîãî êîìïüþòåðà.
Äëÿ îïåðàöèîííîé ñèñòåìû Windows
Ãðàíèöà îêíà
×òîáû èçìåíèòü ðàçìåð îêíà, ïîòàùèòå
ëþáóþ èç ÷åòûðåõ ãðàíèö.
Ðàçâåðíóòü
Ùåëêíèòå, ÷òîáû ðàçâåðíóòü îêíî ÷åðòåæà
äî ðàçìåðîâ ýêðàíà.
Ñâåðíóòü
Ùåëêíèòå, ÷òîáû óìåíüøèòü îêíî ÷åðòåæà
äî çíà÷êà.
Äëÿ îïåðàöèîííîé ñèñòåìû Mac OS
Âîññòàíîâèòü
Ùåëêíèòå, ÷òîáû âîññòàíîâèòü ïðåæíèé
ðàçìåð îêíà ÷åðòåæà.
Ñâåðíóòü
Ùåëêíèòå, ÷òîáû ñâåðíóòü îêíî ÷åðòåæà
äî çàãîëîâêà.
27
Ðàáîòà ñ ìåíþ
Âûïîëíåíèå êîìàíä ìåíþ
1. Óêàæèòå êóðñîðîì íà èìÿ ìåíþ, ñîäåðæàùåãî íóæíóþ
êîìàíäó.
2. Ùåëêíèòå íà èìåíè ìåíþ. (Íà íåêîòîðûõ êîìïüþòåðàõ
òðåáóåòñÿ íàæàòü è óäåðæèâàòü êëàâèøó ìûøè.)
Ìåíþ ðàñêðûâàåòñÿ, âû âèäèòå åãî êîìàíäû. Ïðè äâèæåíèè
êóðñîðà êîìàíäà, íà êîòîðóþ îí óêàçûâàåò, âûäåëÿåòñÿ
öâåòîì, åñëè îíà â äàííûé ìîìåíò ãîòîâà ê èñïîëíåíèþ.
Åñëè êîìàíäà îñòàåòñÿ òóñêëîé, òî îíà íåäîñòóïíà.
3. Óêàæèòå êóðñîðîì (âûäåëèòå öâåòîì) æåëàåìóþ êîìàíäó,
ùåëêíèòå íà íåé (èëè åñëè êëàâèøà óäåðæèâàëàñü, òî
îòïóñòèòå êëàâèøó).
Âûáîð êîìàíäû â ìåíþ Âèä (Mac OS)
Ïî÷åìó íåêîòîðûå êîìàíäû âûãëÿäÿò òóñêëûìè?
Íåêîòîðûå êîìàíäû (êàê íà ýòèõ ðèñóíêàõ) âûãëÿäÿò òóñêëûìè
(Ïîêàçàòü âñå ñïðÿòàííîå, Ñòåðåòü ñëåäû). Â äàííûé ìîìåíò
ýòè êîìàíäû íåäîñòóïíû, ïîñêîëüêó íå âûïîëíåíû íåîáõîäèìûå
óñëîâèÿ. Íàïðèìåð, êîìàíäà Ïîêàçàòü âñå ñïðÿòàííîå
ñòàíîâèòñÿ äîñòóïíîé, åñëè ïðåäâàðèòåëüíî õîòÿ áû îäèí îáúåêò
àêòèâíîãî ÷åðòåæà áûë ñïðÿòàí.  äàëüíåéøåì ìû áóäåì
îáñóæäàòü óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ òà èëè èíàÿ êîìàíäà
ñòàíîâèòñÿ äîñòóïíîé.
Âûïîëíåíèå êîìàíä ìåíþ ïðè ïîìîùè êëàâèàòóðû
 ìåíþ Âèä, ïîêàçàííîì âûøå, ñïðàâà îò èìåíè êîìàíäû
Îñòàâëÿòü ñëåä òî÷êè, èçîáðàæåí íàáîð ñèìâîëîâ T.
Ýòà êîìáèíàöèÿ ñèìâîëîâ ÿâëÿåòñÿ èíûì ñïîñîáîì âûïîëíåíèÿ
êîìàíäû — ïðè ïîìîùè êëàâèàòóðû. ×òîáû âûïîëíèòü ýòó
êîìàíäó íà êîìïüþòåðå Mac OS, íàäî óäåðæèâàÿ êëàâèøó < >,
íàæàòü êëàâèøó <T>. Äëÿ âûïîëíåíèÿ êîìàíäû íà ïëàòôîðìå
Windows ñëåäóåò, óäåðæèâàÿ êëàâèøó <Ctrl>, íàæàòü ñèìâîë
<T> àíãëèéñêîé êîäèðîâêè.
28
Âûïîëíåíèå êîìàíä ïîäìåíþ
Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî íåêîòîðûå êîìàíäû ìåíþ Âèä èìåþò
òðåóãîëüíèêè ñïðàâà îò èìåíè êîìàíäû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ýòè
êîìàíäû ñàìè ñîäåðæàò íàáîð êîìàíä, òî åñòü ÿâëÿþòñÿ èìåíåì
ïîäìåíþ. ×òîáû âûáðàòü êîìàíäó ïîäìåíþ, íåîáõîäèìî:
1. Óêàçàòü êóðñîðîì æåëàåìóþ êîìàíäó — èìÿ ïîäìåíþ.
Ðàñêðûâàåòñÿ ïîäìåíþ.
2. Ïåðåäâèíóòü êóðñîð ÷åðåç òðåóãîëüíèê íà ïîäìåíþ è äàëåå
äî íóæíîé êîìàíäû.
3. Ùåëêíóòü (èëè îòïóñòèòü) êëàâèøó ìûøè.
Âûáîð êîìàíäû èç ïîäìåíþ (Windows)
Êîìàíäû, êîòîðûå
çàêàí÷èâàþòñÿ
ìíîãîòî÷èåì (…),
ïðåæäå âñåãî
îòîáðàæàþò
îêíà äèàëîãà,
â êîòîðûõ
çàïðàøèâàåòñÿ
äîïîëíèòåëüíàÿ
èíôîðìàöèÿ.
Îêíà äèàëîãà
Îêíà äèàëîãà ïðåäíàçíà÷åíû
äëÿ çàäàíèÿ äîïîëíèòåëüíîé
èíôîðìàöèè, íåîáõîäèìîé ïðè
âûïîëíåíèè êîìàíäû.
Íàïðèìåð, âûïîëíåíèå
êîìàíäû Ïåðåíåñòè… ìåíþ
Ïðåîáðàçîâàíèÿ ñîïðîâîæäàåòñÿ
ïîÿâëåíèåì îêíà äèàëîãà,
ïîêàçàííîãî íà ðèñóíêå. Âûáðàâ
Äèàëîãîâîå îêíî Ïåðåíîñ (Mac OS)
æåëàåìûå îïöèè è ââåäÿ
ñîîòâåòñòâóþùóþ èíôîðìàöèþ,
ùåëêíèòå íà êíîïêå Ïåðåíîñ, òåì ñàìûì çàâåðøàÿ äèàëîã è
âûïîëíÿÿ êîìàíäó. Ùåë÷îê íà êíîïêå Îòìåíà îçíà÷àåò îòêàç
îò âûïîëíåíèÿ êîìàíäû, à ùåë÷îê íà êíîïêå ? (Mac OS) èëè
íà êíîïêå Ñïðàâêà (Windows) âûçûâàåò ñïðàâî÷íûé ìàòåðèàë,
îòíîñÿùèéñÿ ê ðàáîòå ñ äàííûì äèàëîãîâûì îêíîì. (Äëÿ âûçîâà
Ñïðàâêè â ñèñòåìå Windows ìîæíî òàêæå âîñïîëüçîâàòüñÿ
êëàâèøåé <F1>.)
29
Íàáîð èíñòðóìåíòîâ
Íàáîð èíñòðóìåíòîâ (â íà÷àëå ðàáîòû ðàñïîëîæåí âäîëü ëåâîé
÷àñòè îêíà ÷åðòåæà) ñîäåðæèò èíñòðóìåíòû, ïîçâîëÿþùèå
âûäåëÿòü, ïåðåòàñêèâàòü, ñîçäàâàòü îáúåêòû è äàâàòü èì èìåíà.
Êðîìå òîãî, èìååòñÿ îñîáûé èíñòðóìåíò, ñëóæàùèé äëÿ
èçãîòîâëåíèÿ è õðàíåíèÿ íåñòàíäàðòíûõ èíñòðóìåíòîâ,
ñîçäàííûõ ñàìèìè ïîëüçîâàòåëÿìè.
Èíñòðóìåíò Ñòðåëêà
Ïðåäíàçíà÷åí äëÿ âûäåëåíèÿ è ïåðåäâèæåíèÿ
(ïåðåòàñêèâàíèÿ) îáúåêòîâ ÷åðòåæà. Èìååòñÿ òðè
ðàçíîâèäíîñòè ýòîãî èíñòðóìåíòà (êàê âûáðàòü
îäíó èç íèõ, îïèñàíî íèæå), êîòîðûå ñëóæàò äëÿ
ïåðåíîñà, âðàùåíèÿ è ðàñòÿæåíèÿ (ñæàòèÿ).
Èíñòðóìåíò Òî÷êà Ñîçäàåò òî÷êó.
Èíñòðóìåíò Öèðêóëü Ñîçäàåò îêðóæíîñòü.
Èíñòðóìåíò Ëèíåéêà Ñîçäàåò îòðåçîê, ëó÷ èëè ïðÿìóþ — â çàâèñèìîñòè îò
òîãî, êàêàÿ èç òðåõ ðàçíîâèäíîñòåé èíñòðóìåíòà àêòèâíà
â íàñòîÿùèé ìîìåíò.
Èíñòðóìåíò Òåêñò Ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ñîçäàíèÿ è óïðàâëåíèÿ èìåíàìè
è íàäïèñÿìè.
Èíñòðóìåíòû ïîëüçîâàòåëÿ Ñîäåðæèò íàáîð êîìàíä äëÿ ñîçäàíèÿ èíñòðóìåíòîâ
ïîëüçîâàòåëÿìè è ðàáîòû ñ íèìè, à òàêæå ñïèñîê ýòèõ
èíñòðóìåíòîâ.
Âûáîð èíñòðóìåíòà èç íàáîðà
Ùåëêíèòå íà çíà÷êå íóæíîãî èíñòðóìåíòà. Ýòîò èíñòðóìåíò
îñòàåòñÿ àêòèâíûì äî òåõ ïîð, ïîêà íå âûáðàí äðóãîé.
Âûáîð ðàçíîâèäíîñòè èíñòðóìåíòà
Èíñòðóìåíòû Ñòðåëêà è Ëèíåéêà èìåþò ïî òðè ðàçíîâèäíîñòè
êàæäûé.
Ëèíåéêà
Ñòðåëêà
Перенос
Вращение
Растяжение
Отрезок
Луч
Прямая
×òîáû âûáðàòü îäíó èç ðàçíîâèäíîñòåé èíñòðóìåíòà
1. Ïîñòàâüòå êóðñîð íà çíà÷îê èíñòðóìåíòà Ñòðåëêà èëè Ëèíåéêà.
2. Íàæìèòå è óäåðæèâàéòå êëàâèøó ìûøè; ïðè ýòîì
îòêðûâàþòñÿ çíà÷êè ðàçíîâèäíîñòåé èíñòðóìåíòà.
3. Óäåðæèâàÿ êëàâèøó ìûøè, ïåðåìåñòèòå êóðñîð íà íóæíûé
çíà÷îê è îòïóñòèòå êëàâèøó.
30
Óðîêè 1­–4. Çíàêîìñòâî
ñ ïðîãðàììîé
Óðîêè 1–4 çíàêîìÿò ñ îñíîâíûìè ïðèíöèïàìè îðãàíèçàöèè
ïðîãðàììû íà ïðèìåðå ïîñòðîåíèÿ ÷åòûðåõóãîëüíèêà.
Ïîìèìî ïîñòðîåíèÿ, ìû íàó÷èìñÿ óïðàâëÿòü ðàçëè÷íûìè
õàðàêòåðèñòèêàìè ýòîé ôèãóðû è èññëåäîâàòü èõ, à òàêæå
ñîçäàäèì íåêîòîðûå õóäîæåñòâåííûå êàðòèíû íà ýòîé îñíîâå.
Êðîìå òîãî, ìû ïîçíàêîìèìñÿ ñ îäíîé òåîðåìîé ãåîìåòðèè
î ñâîéñòâàõ ÷åòûðåõóãîëüíèêà.  èòîãå, ïîòðóäèâøèñü, ìîæíî
ñòàòü çíàòîêîì îñíîâíûõ âîçìîæíîñòåé Æèâîé Ìàòåìàòèêè.
Ñìåëî ýêñïåðèìåíòèðóéòå! Ëó÷øèé ñïîñîá èçó÷åíèÿ ìàòåðèàëà
òîò, êîòîðûé ïîäõîäèò èìåííî âàì. Ê òîìó æå Æèâàÿ
Ìàòåìàòèêà îáëàäàåò çàìå÷àòåëüíîé âîçìîæíîñòüþ:
ðàçðåøàåòñÿ îòìåíèòü íåîãðàíè÷åííîå êîëè÷åñòâî
âûïîëíåííûõ êîìàíä. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî, ïîâòîðÿÿ ñêîëüêî
óãîäíî ðàç êîìàíäó Îòìåíèòü ìåíþ Ïðàâêà (<Ctrl+Z>
äëÿ Windows èëè < +Z> äëÿ Mac OS), ìîæíî âåðíóòüñÿ íàçàä
íà ëþáîå ÷èñëî øàãîâ, âïëîòü äî íà÷àëà óðîêà. Ïîýòîìó
ïðîáóéòå, âîçâðàùàéòåñü, åñëè ïðîìàæåòå, è ñíîâà
ýêñïåðèìåíòèðóéòå.
31
Óðîê 1. Ïîñòðîåíèå êâàäðàòà
Íà ýòîì çàíÿòèè ïîóïðàæíÿåìñÿ ñ îñíîâíûìè èíñòðóìåíòàìè
Æèâîé Ìàòåìàòèêè è ïîïûòàåìñÿ ïîñòðîèòü ãåîìåòðè÷åñêóþ
ôèãóðó — êâàäðàò.
×òî áóäåì èçó÷àòü
• Êàê âîñïîëüçîâàòüñÿ êîìàíäîé Îòìåíèòü, ÷òîáû ïðîäåëàòü
îáðàòíûé ïóòü — îòìåíèòü äåéñòâèå âûïîëíåííûõ êîìàíä.
• Êàê ïîñòðîèòü îòðåçêè è îêðóæíîñòè.
• Êàê âûäåëèòü è ïåðåòàùèòü îáúåêòû.
• Êàê ïîñòðîèòü ïåðïåíäèêóëÿðíûå è ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå.
• Êàê ïîñòðîèòü òî÷êè — ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ãåîìåòðè÷åñêèõ
îáúåêòîâ. • Êàê ñîõðàíèòü äîêóìåíò Æèâîé Ìàòåìàòèêè.
Ïðîñòî ïîïðîáóåì
Âïåðâûå ðàáîòàþùåìó â ïðîãðàììå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà
òðóäíî ñîïðîòèâëÿòüñÿ æåëàíèþ ïîèãðàòü. Ïîïðîáóåì ðàçâëå÷üñÿ
âìåñòå, âîñïîëüçîâàâøèñü íåáîëüøèìè ïîäñêàçêàìè.
1. Çàïóñòèòå ïðîãðàììó èëè, åñëè îíà óæå çàïóùåíà, âûáåðèòå
êîìàíäó Íîâûé ÷åðòåæ ìåíþ Ôàéë.
 äàëüíåéøåì âû
óçíàåòå îá ýòèõ
èíñòðóìåíòàõ åùå
áîëüøå.
32
Îòêðûâàåòñÿ íîâîå ïóñòîå îêíî ÷åðòåæà.
2. Ïîèãðàéòå ñ èíñòðóìåíòàìè.
• Èíñòðóìåíòû Òî÷êà, Öèðêóëü è Îòðåçîê (îíè
èçîáðàæåíû íà ðèñóíêå ñïðàâà òàê, êàê îíè
ðàñïîëîæåíû â íàáîðå èíñòðóìåíòîâ) — èçâåñòíûå
«ðó÷íûå» èíñòðóìåíòû. Íàðèñóéòå ñîîòâåòñòâóþùèå
îáúåêòû íà ÷åðòåæå, ïîëüçóÿñü ýòèìè
èíñòðóìåíòàìè. Ùåëêíèòå íà çíà÷êå èíñòðóìåíòà,
à çàòåì ùåëêíèòå íà ÷åðòåæå. ×òîáû ïîñòðîèòü
òî÷êó, äîñòàòî÷íî ùåëêíóòü îäèí ðàç èíñòðóìåíòîì
Òî÷êà. ×òîáû ïîñòðîèòü îêðóæíîñòü èëè îòðåçîê,
íóæíî ùåëêíóòü íà äâóõ ðàçíûõ ìåñòàõ íà ÷åðòåæå
èíñòðóìåíòàìè Öèðêóëü è Îòðåçîê, ñîîòâåòñòâåííî.
Ïîïðîáóéòå ùåëêàòü íà ðàçíûõ ìåñòàõ — íà
ñâîáîäíîì ïðîñòðàíñòâå è íà óæå ñîçäàííûõ îáúåêòàõ
(òî÷êàõ, îêðóæíîñòÿõ è îòðåçêàõ).
• Åñëè ÷åðòåæ íàñûùåí îáúåêòàìè, ìîæåò âîçíèêíóòü
æåëàíèå èõ ðàññðåäîòî÷èòü. Âûáðàâ èíñòðóìåíò
Ñòðåëêà, âû ñìîæåòå âûäåëÿòü è ïåðåòàñêèâàòü
îáúåêòû. Ïîïðîáóéòå, â ÷àñòíîñòè, îòòàùèòü
îáúåêòû, ïðèñîåäèíåííûå ê äðóãèì îáúåêòàì. ×òîáû
îòìåíèòü âûäåëåíèå âñåõ îáúåêòîâ ñðàçó, äîñòàòî÷íî
ùåëêíóòü íà ïóñòîì ìåñòå ÷åðòåæà.
• ×òîáû ïîêàçàòü èëè ñïðÿòàòü èìÿ îáúåêòà, ñëåäóåò
ùåëêíóòü íà îáúåêòå èíñòðóìåíòîì Òåêñò. Äâîéíîé
ùåë÷îê íà îáúåêòå èëè åãî èìåíè ïîçâîëÿåò èçìåíèòü
èìÿ. ×òîáû ñîçäàòü ïðîñòðàíñòâî äëÿ íàäïèñè,
äâàæäû ùåëêíèòå íà ïóñòîì ìåñòå (èëè íàæìèòå
êëàâèøó, ïåðåòàùèòå ìûøü, îòïóñòèòå êëàâèøó).
• Ñíîâà âîñïîëüçóéòåñü èíñòðóìåíòîì Ñòðåëêà äëÿ
òîãî, ÷òîáû âûäåëèòü îäèí èëè íåñêîëüêî îáúåêòîâ.
Ïîñìîòðèòå, êàêèå êîìàíäû ìåíþ îêàçûâàþòñÿ
äîñòóïíûìè. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî íåêîòîðûå
êîìàíäû äîñòóïíû âñåãäà, à äðóãèå òðåáóþò, ÷òîáû
áûëè âûäåëåíû îáúåêòû íóæíîãî òèïà.
À òåïåðü çàéìåìñÿ âñåðüåç
Åñëè çíà÷îê
èíñòðóìåíòà
Ëèíåéêà âûãëÿäèò
èíà÷å, ÷åì
èçîáðàæåíèå
íà ðèñóíêå ñïðàâà,
òî íóæíî íàæàòü
êëàâèøó
è ïðîòàùèòü
ìûøü äî
èíñòðóìåíòà
Îòðåçîê.
3. Åñëè âû ãîòîâû äâèãàòüñÿ äàëüøå, ïðîäåëàéòå ñëåäóþùåå:
âûáåðèòå êîìàíäó Îòìåíèòü â ìåíþ Ïðàâêà èëè, äàæå
ëó÷øå, íàáåðèòå êîìáèíàöèþ <Ctrl+Z> (Windows) èëè < +Z>
(Mac OS). Êàæäîå î÷åðåäíîå âûïîëíåíèå ýòîé êîìàíäû
âîçâðàùàåò ïðîäåëàííóþ ðàíåå ðàáîòó íà îäèí øàã íàçàä.
Çàìå÷àíèå. Åñëè óäåðæèâàòü êëàâèàòóðíóþ êîìáèíàöèþ
â íàæàòîì ñîñòîÿíèè, òî êîìàíäà ïîâòîðÿåòñÿ íåïðåðûâíî.
Íàæàòèå êëàâèøè <Shift> ïðè âûïîëíåíèè êîìàíäû
Îòìåíèòü çàìåíÿåò åå íà êîìàíäó Îòìåíèòü âñå è íåìåäëåííî
âîçâðàùàåò ÷åðòåæ â íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå. Íàîáîðîò, ìîæíî
âåðíóòü âûïîëíåííîå äåéñòâèå, âûáðàâ êîìàíäó Âåðíóòü
(<Ctrl+R> äëÿ Windows èëè < +R> äëÿ Mac OS).
4. Òåïåðü ñíîâà íà÷íåì ñ ÷èñòîãî ëèñòà — ïóñòîãî ÷åðòåæà.
Âûáåðåì èíñòðóìåíò Îòðåçîê.
5. Ïîñòðîèì ãîðèçîíòàëüíûé îòðåçîê, êîòîðûé áóäåò
íèæíåé ñòîðîíîé êâàäðàòà. Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî
ãîðèçîíòàëüíûå îòðåçêè (è âåðòèêàëüíûå òîæå)
óäîáíî ñòðîèòü, óäåðæèâàÿ íàæàòîé êëàâèøó
Ïîñëå øàãà 5
<Shift>.
6. Òåïåðü âûáåðåì èíñòðóìåíò Öèðêóëü.
Êàê âû äóìàåòå, çà÷åì íóæåí öèðêóëü ïðè ïîñòðîåíèè
êâàäðàòà?
33
Âñòðåòèâøèñü
ñ êàêèìè-òî
òðóäíîñòÿìè,
ïîëåçíî îòêðûòü
(êîìàíäà
Îòêðûòü ìåíþ
Ôàéë) äîêóìåíò
Urok1.gsp â
ïàïêå Ïîñîáèå.
Òàì ñîäåðæàòñÿ
èëëþñòðàöèè
ê óðîêó.
Íàïîìíèì, ÷òî
èíñòðóìåíò
Ñòðåëêà
èñïîëüçóåòñÿ äëÿ
âûäåëåíèÿ
è ïåðåòàñêèâàíèÿ
îáúåêòîâ.
7. Óñòàíîâèì Öèðêóëü íà ïðàâîì êîíöå îòðåçêà.
Òî÷êà áóäåò çàìåòíî ÿð÷å, çíà÷èò, îíà äåéñòâèòåëüíî ìîæåò
ñòàòü öåíòðîì îêðóæíîñòè.
8. Òåïåðü, êîãäà ïðàâàÿ òî÷êà ÿðêî ñâåòèòñÿ,
ùåëêíåì íà íåé. Çàòåì ïåðåäâèíåì
èíñòðóìåíò (ïðè ýòîì âèäíà îêðóæíîñòü)
òàê, ÷òîáû çàñâåòèëàñü ëåâàÿ òî÷êà.
Ùåëêíåì íà íåé.
Ïîñòðîåíà îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â ïðàâîì
êîíöå îòðåçêà, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç åãî ëåâûé
Ïîñëå øàãà 8
êîíåö.
9. Âûáåðåì èíñòðóìåíò Ñòðåëêà è ïîòàñêàåì îáå
êîíöåâûå òî÷êè, óáåæäàÿñü, ÷òî îêðóæíîñòü äåéñòâèòåëüíî
ïðèñîåäèíåíà ê îòðåçêó. Åñëè îêàæåòñÿ, ÷òî îòðåçîê
îòðûâàåòñÿ îò îêðóæíîñòè (à ýòî çíà÷èò, ÷òî íà ñàìîì äåëå
íà ÷åðòåæå áîëåå äâóõ òî÷åê), òî âûáåðåì êîìàíäó Îòìåíèòü
ìåíþ Ïðàâêà íåñêîëüêî ðàç, ïîêà íå èñ÷åçíåò îêðóæíîñòü.
Ñíîâà âûïîëíèì øàãè 6–8, àêêóðàòíî óñòàíàâëèâàÿ
èíñòðóìåíò íà êîíöåâûå òî÷êè.
10.Òåïåðü îòìåíèì âûäåëåíèå âñåõ îáúåêòîâ íà ÷åðòåæå,
ùåëêíóâ èíñòðóìåíòîì Ñòðåëêà íà ïóñòîì ìåñòå.
Âàæíî, ÷òîáû ïåðåä òåì, êàê âû íà÷íåòå âûäåëÿòü íîâûå
îáúåêòû, âûäåëåííûõ îáúåêòîâ íå áûëî. Èíà÷å ìîæåò
ñëó÷èòüñÿ, ÷òî âûäåëåíî áîëüøå îáúåêòîâ, ÷åì õîòåëîñü.
Ñòðîèì ïåðïåíäèêóëÿðíûå è ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå
Äàëåå ïîñòðîèì ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç öåíòð îêðóæíîñòè
è ïåðïåíäèêóëÿðíóþ îòðåçêó. Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî
îïðåäåëåííàÿ ïðÿìàÿ ïîëó÷àåòñÿ ïðè óñëîâèè çàäàíèÿ òî÷êè,
÷åðåç êîòîðóþ îíà ïðîõîäèò, è îòðåçêà, ê êîòîðîìó îíà
ïåðïåíäèêóëÿðíà. Òî÷íî òàê æå ïðîãðàììå òðåáóåòñÿ äâà
âûäåëåííûõ îáúåêòà — òî÷êà è ïðÿìîëèíåéíûé îáúåêò — ÷òîáû
ïîñòðîèòü ïåðïåíäèêóëÿðíóþ (èëè ïàðàëëåëüíóþ) ïðÿìóþ.
11.Âûäåëèì îòðåçîê è åãî ïðàâûé êîíåö,
ùåëêíóâ íà íèõ èíñòðóìåíòîì Ñòðåëêà.
Âûáåðåì êîìàíäó Ïåðïåíäèêóëÿð ìåíþ
Ïîñòðîåíèÿ.
Ïîñòðîåíà ïðÿìàÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ
âûäåëåííîìó îòðåçêó è ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç
âûäåëåííóþ òî÷êó.
12. äîïîëíåíèå ê âûäåëåííîé ïðÿìîé
âûäåëèì îêðóæíîñòü è âûáåðåì êîìàíäó
Ïåðåñå÷åíèå ìåíþ Ïîñòðîåíèÿ.
Ïîÿâèëèñü òî÷êè íà ïåðåñå÷åíèè ïðÿìîé
ñ îêðóæíîñòüþ.
Ïîñëå øàãà 12
34
×òîáû Æèâàÿ
Ìàòåìàòèêà
ìîãëà ïîñòðîèòü
ïàðàëëåëüíóþ
ïðÿìóþ,
íåîáõîäèìî
âûäåëèòü
ïðÿìîëèíåéíûé
îáúåêò, êîòîðîìó
ïðÿìàÿ äîëæíà
áûòü ïàðàëëåëüíà,
è òî÷êó, ÷åðåç
êîòîðóþ îíà
äîëæíà ïðîõîäèòü
(àíàëîãè÷íî
ïîñòðîåíèþ
ïåðïåíäèêóëÿðà).
13.Îòìåíèì âûäåëåíèå âñåõ îáúåêòîâ, ùåëêíóâ íà ïóñòîì ìåñòå
÷åðòåæà, à çàòåì âûäåëèì âåðõíþþ òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ è
îòðåçîê. Òåïåðü âûáåðåì êîìàíäó Ïàðàëëåëüíàÿ ïðÿìàÿ
ìåíþ Ïîñòðîåíèÿ.
Ïîñòðîåíà åùå îäíà ïðÿìàÿ.
14.Òåïåðü ïîñòðîèì âåðòèêàëü, ïðîõîäÿùóþ
÷åðåç ëåâûé êîíåö îòðåçêà, âûáðàâ
ëþáóþ èç êîìàíä: Ïåðïåíäèêóëÿð èëè
Ïàðàëëåëüíàÿ ïðÿìàÿ.
Ïîëüçóåìñÿ òåõíèêîé ïîñòðîåíèÿ, óæå
ïðèìåíÿâøåéñÿ íà øàãàõ 11 èëè 13.
15.Îòìåíèâ âûäåëåíèå âñåõ îáúåêòîâ,
âûäåëèì äâå ïîñëåäíèå ïîñòðîåííûå
ïðÿìûå è íàéäåì èõ ïåðåñå÷åíèå ïðè
Ïîñëå øàãà 15
ïîìîùè êîìàíäû Ïåðåñå÷åíèå ìåíþ
Ïîñòðîåíèÿ.
Çàâåðøàåì ïîñòðîåíèå è èñïûòûâàåì
åãî «íà ïðî÷íîñòü»
 ðÿäå ñëó÷àåâ
âîçíèêàåò íåîáõî­
äèìîñòü â ïåðåòàñ­
êèâàíèè îáúåêòîâ.
Âîò ëèøü íåêîòî­
ðûå èç íèõ:
èññëåäîâàíèå
îòíîøåíèé ìåæäó
îáúåêòàìè, ñðàâíå­
íèå èçìåðåíèé,
ñîçäàíèå óäîáî­
÷èòàåìûõ ÷åðòå­
æåé. Îäíàêî, åñëè
â çàäà÷å òðåáóåòñÿ
âûÿñíèòü, ñîõðà­
íÿåòñÿ ëè ôîðìà
êîíñòðóêöèè
íåèçìåííîé, òàêîé
ýêñïåðèìåíò
ìû íàçûâàåì
èñïûòàíèåì
«íà ïðî÷íîñòü».
Èòàê, åñòü ÷åòûðå òî÷êè, îïðåäåëÿþùèå êâàäðàò. Âîïðîñ
çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, áóäåò ëè ýòîò êâàäðàò îñòàâàòüñÿ êâàäðàòîì,
åñëè ïûòàòüñÿ åãî äåôîðìèðîâàòü, ïåðåòàñêèâàÿ êàêèå-ëèáî
åãî ÷àñòè. Îòâåò «Äà», ïîñêîëüêó Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà
ïåðåäâèãàåò îáúåêòû, ñîõðàíÿÿ çàäàííûå ïðè ïîñòðîåíèè
ìàòåìàòè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ (ñâÿçè) ìåæäó íèìè. Ê ïðèìåðó,
ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòð îêðóæíîñòè, îñòàåòñÿ
ïåðïåíäèêóëÿðíîé èñõîäíîìó îòðåçêó ïðè ëþáûõ äâèæåíèÿõ,
èáî òàê îíà áûëà ïîñòðîåíà íà øàãå 11.
Òåì íå ìåíåå, ïîïðîáóéòå! Òàùèòå ðàçíûå ýëåìåíòû êâàäðàòà,
ïîî÷åðåäíî âûäåëÿÿ íóæíûé îáúåêò è îòìåíÿÿ âûäåëåíèå.
16.Âûäåëèì âñå, çà èñêëþ÷åíèåì ÷åòûðåõ òî÷åê — óãëîâ
êâàäðàòà è èñõîäíîãî îòðåçêà. Åñëè â ñòðîêå ñîñòîÿíèÿ
ñêàçàíî: «Âûäåëåíû 5 îáúåêòîâ», òî âñå ñäåëàíî ïðàâèëüíî.
Ñòðîêà ñîñòîÿíèÿ — ýòî èíôîðìàöèîííîå ñîîáùåíèå, êîòîðîå
ïîÿâëÿåòñÿ â íèæíåì ëåâîì (Windows) èëè íèæíåì ïðàâîì
(Mac OS) óãëó îêíà ÷åðòåæà.
17.Âûáåðåì êîìàíäó Ñïðÿòàòü îáúåêòû ìåíþ Âèä.
Âèäíû ÷åòûðå óãëîâûå òî÷êè è íèæíÿÿ
ñòîðîíà êâàäðàòà. Åñëè îêàçàëîñü, ÷òî
ñïðÿòàíû íå òå îáúåêòû, òî íàäî âûáðàòü
êîìàíäó Îòìåíèòü ìåíþ Ïðàâêà
è ïîïûòàòüñÿ ñíîâà.
Ïîñëå øàãà 17
18.Ñ ïîìîùüþ èíñòðóìåíòà Îòðåçîê äîñòðîèì òðè
ñòîðîíû êâàäðàòà.
35
Åñëè ôèãóðà
äåéñòâèòåëüíî
êâàäðàò, òî
íåâàæíî êàê
äâèæóòñÿ åå
÷àñòè. Åñëè
æå ýòî âàæíî,
òî ôèãóðà
íå ÿâëÿåòñÿ
êâàäðàòîì.
 ýòîì è åñòü ñóòü
èñïûòàíèÿ
«íà ïðî÷íîñòü».
Èòàê, ïåðâàÿ êîíñòðóêöèÿ ïîñòðîåíà!
19.Åùå ðàç ïîòàùèòå ðàçëè÷íûå ÷àñòè êâàäðàòà ïðè ïîìîùè
èíñòðóìåíòà Ñòðåëêà.
20.Òåïåðü âûáåðåì êîìàíäó Ñîõðàíèòü ìåíþ Ôàéë. Ïðèñâîèì
÷åðòåæó ñîäåðæàòåëüíîå èìÿ, ñêàæåì Êâàäðàò, è ùåëêíåì
íà êíîïêå Ñîõðàíèòü.
Çàïîìíèì, ãäå ñîõðàíåí ýòîò ÷åðòåæ, ïîñêîëüêó îí åùå
ïîíàäîáèòñÿ.
×òî äåëàòü äàëüøå
Ïðåæäå ÷åì ïåðåéòè ê ñëåäóþùåìó óðîêó, âîçìîæíî, âàì
çàõî÷åòñÿ ïîñòðîèòü ÷òî-íèáóäü ñàìîñòîÿòåëüíî. Ïîïûòàéòåñü
ïîñòðîèòü ïàðàëëåëîãðàìì, ïðÿìîóãîëüíèê, ðîìá. Ïîñòðîåííóþ
ôèãóðó èñïûòàéòå íà ïðî÷íîñòü. Íå îãîð÷àéòåñü, åñëè ÷òî-òî
íå âûéäåò.  äàëüíåéøåì èçó÷åííîå íà ïåðâîì çàíÿòèè áóäåò
äîïîëíåíî è ðàñøèðåíî.
36
Óðîê 2. Òåîðåìà î ÷åòûðåõóãîëüíèêàõ
Âñåì èçâåñòíî, ÷òî íåêîòîðûå òåîðåìû ãåîìåòðèè òðóäíî
óñâàèâàþòñÿ. Êîìó-òî íå õâàòàåò ïðîñòðàíñòâåííîãî
âîîáðàæåíèÿ, êîìó-òî èíòóèöèè. Îòëè÷íûé ñïîñîá îñâîåíèÿ
ãåîìåòðèè — ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ â ïðîãðàììå
Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà. Íà ýòîì çàíÿòèè ìû ðàññìîòðèì
íåêîòîðóþ òåîðåìó, ôîðìóëèðîâêó êîòîðîé ïðåäñòîèò âûÿñíèòü.
 ïðîöåññå âûÿñíåíèÿ âû óçíàåòå ìíîæåñòâî íîâûõ ïîëåçíûõ
âîçìîæíîñòåé ïðîãðàììû.
Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíèòü ñåðåäèíû ñòîðîí
÷åòûðåõóãîëüíèêà, òî ïîëó÷åííàÿ ôèãóðà åñòü ______________.
Çäåñü òåîðåìà ãåîìåòðèè ñôîðìóëèðîâàíà êàê âîïðîñ èç
êðîññâîðäà. Íàøà çàäà÷à: íàéòè îòãàäêó ïðè ïîìîùè
èññëåäîâàíèÿ â ïðîãðàììå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà. Åñëè âàì
ïîêàæåòñÿ, ÷òî âîïðîñ ñëèøêîì ñëîæåí èëè, íàîáîðîò, ñëèøêîì
ïðîñò — íåâàæíî. Âñå æå îñíîâíàÿ öåëü çàêëþ÷àåòñÿ â èçó÷åíèè
ñîáñòâåííî ïðîãðàììû.
×òî áóäåì èçó÷àòü
•
•
•
•
•
Êàê
Êàê
Êàê
Êàê
Êàê
ïîñòðîèòü ìíîãîóãîëüíèê ñ ïîìîùüþ èíñòðóìåíòà Îòðåçîê.
ïîêàçàòü èìÿ îáúåêòà.
èçìåðèòü äëèíó è óãîë.
ñîçäàòü íàäïèñü.
ôîðìàòèðîâàòü òåêñò.
Ñòðîèì ïðîèçâîëüíûé ÷åòûðåõóãîëüíèê
Ïðîèçâîëüíûé
÷åòûðåõóãîëüíèê
õàðàêòåðèçóåòñÿ
îòñóòñòâèåì
êàêèõ-ëèáî
÷àñòíûõ ñâîéñòâ,
òèïà ðàâåíñòâà
ñòîðîí, óãëîâ
è ò. ï.
1. Çàïóñòèòå ïðîãðàììó èëè, åñëè îíà óæå çàïóùåíà,
âûáåðèòå êîìàíäó Íîâûé ÷åðòåæ ìåíþ Ôàéë.
2. Ïîñòðîèì îòðåçîê èíñòðóìåíòîì Îòðåçîê.
3. Ïîñòðîèì äðóãîé îòðåçîê, îäèí èç êîíöîâ êîòîðîãî
ñîâïàäàåò ñ êàêèì-òî êîíöîì ïåðâîãî îòðåçêà.
Êîíåö ïåðâîãî îòðåçêà ñòàíåò ÿð÷å, êîãäà
èíñòðóìåíò îêàæåòñÿ äîñòàòî÷íî áëèçêî ê íåìó.
Ïîñëå øàãà 3
37
Òåïåðü ìîæíî ùåëêíóòü, ÷òîáû ñîâìåñòèòü êîíöåâûå òî÷êè
äâóõ îòðåçêîâ.
4. Ïîñòðîèâ åùå äâà îòðåçêà ïîäîáíûì îáðàçîì, çàâåðøàåì
ïîñòðîåíèå ÷åòûðåõóãîëüíèêà.
5. Èíñòðóìåíòîì Ñòðåëêà ïîòàùèòå ðàçíûå ÷àñòè
êîíñòðóêöèè, ÷òîáû óáåäèòüñÿ, ÷òî îíè
íå îòðûâàþòñÿ äðóã îò äðóãà.
Êîíå÷íî, ýòî ñíîâà èñïûòàíèå «íà ïðî÷íîñòü».
Åñëè êîíñòðóêöèÿ ðàçðûâàåòñÿ, òî íóæíî
îòìåíèòü íåñêîëüêî øàãîâ è àêêóðàòíî ñîåäèíèòü Ïîñëå øàãà 5
êîíöû îòðåçêîâ.
Êîíñòðóèðóåì âïèñàííûé ÷åòûðåõóãîëüíèê
Ïîñêîëüêó áûëè
âûäåëåíû ÷åòûðå
ñòîðîíû, èõ
ñåðåäèíû ñòðîÿòñÿ
îäíîâðåìåííî.
Òåïåðü, èìåÿ ÷åòûðåõóãîëüíèê è âñïîìíèâ íà÷àëî òåîðåìû:
«Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíèòü ñåðåäèíû ñòîðîí
÷åòûðåõóãîëüíèêà…», ïîñòðîèì è ñîåäèíèì ñåðåäèíû ñòîðîí.
6. Îòìåíèì âûäåëåíèå âñåõ îáúåêòîâ, ùåëêíóâ íà ïóñòîì ìåñòå
÷åðòåæà. Äàëåå ïîñëåäîâàòåëüíî (ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå èëè
ïðîòèâ, íåâàæíî) âûäåëèì ÷åòûðå ñòîðîíû ÷åòûðåõóãîëüíèêà.
7. Âûáåðåì êîìàíäó Ñåðåäèíû ìåíþ Ïîñòðîåíèÿ.
8. Âûáåðåì êîìàíäó Ïîêàçàòü èìåíà ìåíþ Âèä,
ïðåäâàðèòåëüíî óáåäèâøèñü, ÷òî ÷åòûðå ñðåäíèå
òî÷êè îñòàþòñÿ âûäåëåííûìè.
9. Âûáåðåì êîìàíäó Îòðåçêè ìåíþ Ïîñòðîåíèÿ
åùå ðàç, óáåäèâøèñü, ÷òî ÷åòûðå ñðåäíèå òî÷êè
îñòàþòñÿ âûäåëåííûìè.
Ïîñëå øàãà 9
Âïèñàííûé ÷åòûðåõóãîëüíèê ïîñòðîåí.
Èñïûòûâàåì êîíñòðóêöèþ
Ãèïîòåçà — ýòî
îáîñíîâàííàÿ
äîãàäêà,
ïðåäïîëîæåíèå.
38
Âîçìîæíî, ó âàñ óæå åñòü ïðåäïîëîæåíèå î òîì, êàêîâû
ñâîéñòâà âïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà. Îäíàêî áóäåì
îñòîðîæíû, ïîñêîëüêó òàêîé õàðàêòåð âíóòðåííåãî
÷åòûðåõóãîëüíèêà, ìîæåò áûòü, îïðåäåëÿåòñÿ ëèøü ÷àñòíîé
ôîðìîé âíåøíåãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà. Íóæíî óáåäèòüñÿ,
÷òî ãèïîòåçà îñòàåòñÿ âåðíîé ïðè ëþáîé ôîðìå âíåøíåãî
÷åòûðåõóãîëüíèêà. Äëÿ ïðîâåðêè áóäåì ìåíÿòü âèä âíåøíåãî
÷åòûðåõóãîëüíèêà, ïîòàùèâ åãî, ñêàæåì, çà îäèí èç óãëîâ.
Êðîìå òîãî, äëÿ íàäåæíîñòè ñòàíåì ïðîâîäèòü èçìåðåíèÿ.
10.Ïîòàùèì òóäà-ñþäà ðàçëè÷íûå ÷àñòè èñõîäíîãî
÷åòûðåõóãîëüíèêà, íàáëþäàÿ çà ôîðìîé âíóòðåííåãî.
11.Òåïåðü, âûäåëèâ ÷åòûðå âíóòðåííèõ îòðåçêà,
AB=2.53 ñì
âûáåðåì êîìàíäó Äëèíà ìåíþ Èçìåðåíèÿ.
Ïîÿâèëèñü ÷åòûðå èçìåðåíèÿ.
12.Îòìåíèì âûäåëåíèå âñåõ îáúåêòîâ, à çàòåì
∠ABC=84.61°
ïîñëåäîâàòåëüíî (íàïðèìåð, ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå)
âûäåëèì òðè ñåðåäèíû è âûáåðåì êîìàíäó Óãîë
ìåíþ Èçìåðåíèÿ.
Îòâåò íà âîïðîñ —
êàêîâà ôîðìà
ôèãóðû —
ïðèâåäåí íà
èëëþñòðàöèè
â êîíöå óðîêà.
Ïîÿâèëîñü èçìåðåíèå óãëà, âåðøèíà êîòîðîãî áûëà îòìå÷åíà
âòîðîé èç òðåõ âûäåëåííûõ òî÷åê.
13.Ñíîâà îòìåíèì âûäåëåíèå âñåõ îáúåêòîâ è âûäåëèì òðè
ïîñëåäîâàòåëüíûå, íî, êîíå÷íî, óæå äðóãèå òî÷êè, è îïÿòü
âûáåðåì êîìàíäó Óãîë. Åùå äâàæäû ïîâòîðèì ýòîò
øàã, êàæäûé ðàç, íà÷èíàÿ ñî âòîðîé òî÷êè ïðåäûäóùåãî
èçìåðåíèÿ.
Òåïåðü èìåþòñÿ ÷åòûðå èçìåðåíèÿ âíóòðåííèõ óãëîâ
âïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà.
14.Ïîòàùèì ðàçíûå ÷àñòè èñõîäíîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà,
íàáëþäàÿ, ÷òî ïðîèñõîäèò ñ èçìåðåíèÿìè. ×òî èçìåíÿåòñÿ
è ÷òî îñòàåòñÿ íåèçìåííûì (èíîãäà ãîâîðÿò èíâàðèàíòíûì)?
Ïîäòâåðæäàåòñÿ ëè ãèïîòåçà èëè ñòîèò ïîäóìàòü î åå
óòî÷íåíèè? Åñëè ãèïîòåçà êàæåòñÿ ñïðàâåäëèâîé, ìîæíî ëè
óâåðåííî ãîâîðèòü, ÷òî òåîðåìà äîêàçàíà?
Ñîçäàåì íàäïèñü
Äîïîëíèòåëüíûå
ñâåäåíèÿ îá
óñòðîéñòâå
è èñïîëüçîâàíèè
ïàíåëè
ôîðìàòèðîâàíèÿ
òåêñòà ìîæíî
íàéòè â ñïðàâî÷íîé
ñèñòåìå (Ñïðàâêà/
Ýëåìåíòû).
×òîáû áûëî ëåã÷å ðàçáèðàòüñÿ â ñäåëàííîì, äîïîëíèì ÷åðòåæ
ïîÿñíÿþùèì åãî òåêñòîì.
15.Âûáåðåì èíñòðóìåíò Òåêñò.
16.Äâàæäû ùåëêíåì (èëè íàæìåì êëàâèøó, ïîòàùèì
ìûøü, îòïóñòèì êëàâèøó) íà ïóñòîì ìåñòå ÷åðòåæà.
Ïîÿâëÿåòñÿ ðàìêà îáðàìëåíèÿ òåêñòà.
17.Íàáåðåì íóæíûé ïîÿñíèòåëüíûé òåêñò, íà÷èíàÿ
ñ ôîðìóëèðîâêè òåîðåìû è ãèïîòåçû. Ùåëêíóâ âíå ðàìêè
íàäïèñè, çàêðîåì åå. Ùåë÷îê âíóòðè ðàìêè ñíîâà îòêðîåò
íàäïèñü.
Áûòü ìîæåò, ïðè ðàáîòå ñ òåêñòîì âû óñïåëè çàìåòèòü íàáîð
èíñòðóìåíòîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà òàê íàçûâàåìîé ïàíåëè
ôîðìàòèðîâàíèÿ òåêñòà. Èíñòðóìåíòû ýòîé ïàíåëè ïðèìåíÿþòñÿ
äëÿ ôîðìàòèðîâàíèÿ òåêñòà — èçìåíåíèé ñàìîãî øðèôòà è åãî
ðàçìåðà, öâåòà è ò. ä. Ìåíþ Âèä ñîäåðæèò êîìàíäó Ñïðÿòàòü/
Ïîêàçàòü ïàíåëü ôîðìàòèðîâàíèÿ òåêñòà.
Ïàíåëü ôîðìàòèðîâàíèÿ òåêñòà (Windows)
18.Âîñïîëüçóåìñÿ ïàíåëüþ ôîðìàòèðîâàíèÿ òåêñòà è èçìåíèì
øðèôò, öâåò òåêñòà è äðóãèå ñâîéñòâà íàäïèñè. Èçìåíåíèÿ
êîñíóòñÿ íàäïèñè â öåëîì, åñëè îíà âûäåëåíà. Ùåëêíóâ
âíóòðè íàäïèñè è ïîòàùèâ ìûøü, ìîæíî ñ ïîìîùüþ
èíñòðóìåíòà Òåêñò âûäåëèòü îòäåëüíûå ñèìâîëû è
ôîðìàòèðîâàòü òîëüêî èõ.
19.Òåïåðü ñîõðàíèì ÷åðòåæ, äàâ åìó êàêîå-òî ðàçóìíîå íàçâàíèå.
39
Âîçìîæíî,
âàì çàõî÷åòñÿ
ïîóïðàæíÿòüñÿ
ñ âèäîì
ìàòåìàòè÷åñêèõ
ñèìâîëîâ
è îáîçíà÷åíèé.
Ùåë÷îê íà
ñàìîé ïðàâîé
êíîïêå ïàíåëè
ôîðìàòèðîâàíèÿ
òåêñòà îòêðûâàåò
äîïîëíèòåëüíûå
èíñòðóìåíòû.
40
Ãèïîòåçà. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíî
ñîåäèíèòü ñåðåäèíû ñòîðîí
÷åòûðåõóãîëüíèêà, òî ïîëó÷åííàÿ
ôèãóðà áóäåò ïàðàëëåëîãðàììîì.
Óðîê 3. Îæèâøèå ÷åðòåæè
Íà ïåðâûõ äâóõ óðîêàõ ðàññìàòðèâàëèñü òðàäèöèîííûå âîïðîñû
ãåîìåòðèè. Â äàëüíåéøåì óâèäèì, ÷òî Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà
íå ìåíåå ïîëåçíà äëÿ èçó÷åíèÿ àëãåáðû, ãåîìåòðèè ôðàêòàëîâ
è äðóãèõ ðàçäåëîâ ìàòåìàòèêè. Îäíàêî, ìîæåò áûòü, íàèáîëåå
âïå÷àòëÿþùåå äîñòîèíñòâî Æèâîé Ìàòåìàòèêè çàêëþ÷àåòñÿ
â åå âîçìîæíîñòÿõ «îæèâëåíèÿ» ÷åðòåæà. Íà ýòîì óðîêå
çàéìåìñÿ ñëåæåíèåì çà îáúåêòàìè è àíèìàöèåé.
×òî áóäåì èçó÷àòü
• Êàê ñäåëàòü ïðîñòóþ àíèìàöèþ.
• Êàê èñïîëüçóåòñÿ ïàíåëü óïðàâëåíèÿ äâèæåíèåì
ïðè àíèìàöèè.
• Êàê ñëåäèòü çà îáúåêòîì.
• Êàê âûïîëíèòü îïðåäåëåííóþ êîìàíäó ïðè ïîìîùè
Êîíòåêñòíîãî ìåíþ.
• Êàê ñîçäàòü êíîïêó Àíèìàöèÿ.
Âûäåëÿåì îáúåêò è ñëåäèì çà åãî òðàåêòîðèåé
 ïàïêå Ïîñîáèå,
ñîäåðæèòñÿ
èëëþñòðàöèÿ
ê óðîêó — ÷åðòåæ
Urok3.gsp.
Ïàíåëü Óïðàâëåíèå
äâèæåíèåì
â îïåðàöèîííîé
ñèñòåìå Mac OS
âûãëÿäèò
íåñêîëüêî èíà÷å.
1. Îòêðîåì ÷åðòåæ Urok3.gsp.
Âèäíû äâå òî÷êè íà ñòîðîíàõ ïðÿìîóãîëüíèêà
è ñîåäèíÿþùèé èõ æåëòûé îòðåçîê. Îäíàêî âìåñòî òîãî,
÷òîáû ñòðîèòü ìíîæåñòâî æåëòûõ îòðåçêîâ, ïðèâåäåì
îòðåçîê â äâèæåíèå è ïîñìîòðèì íà îñòàâëÿåìûé èì ñëåä.
2. Âûäåëèì æåëòûé îòðåçîê, ùåëêíóâ íà íåì èíñòðóìåíòîì
Ñòðåëêà.
3. Âûáåðåì êîìàíäó Àíèìàöèÿ ìåíþ Âèä.
Îòðåçîê íà÷èíàåò äâèãàòüñÿ, è îäíîâðåìåííî ïîÿâëÿåòñÿ
ïàíåëü Óïðàâëåíèå äâèæåíèåì.
Объекты
управления
Пауза
Пуск
Изменение
направления
Стоп
Увеличить скорость
Скорость
Уменьшить скорость
41
ßñíî, ÷òî
ýòà ôèãóðà
íå ÿâëÿåòñÿ
ïðÿìîóãîëüíèêîì,
â ñìûñëå Æèâîé
Ìàòåìàòèêè,
ïîñêîëüêó
íå âûäåðæèâàåò
èñïûòàíèÿ
íà «ïðî÷íîñòü».
 äàííîì ñëó÷àå,
ýòî íåâàæíî.
42
4. Ïîèãðàåì êíîïêàìè ýòîé ïàíåëè, íàïðèìåð, óâåëè÷èì
è óìåíüøèì ñêîðîñòü, îáðàòèì äâèæåíèå.  êîíå÷íîì ñ÷åòå,
óñòàíîâèì óìåðåííóþ ñêîðîñòü — ìåæäó 3 è 4.
5. Åñëè æåëòûé îòðåçîê âñå åùå âûäåëåí, òî ïåðåéäåì
ê ñëåäóþùåìó øàãó.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå íàæìåì
êíîïêó Ïàóçà íà ïàíåëè, ùåëêíåì íà ïóñòîì ìåñòå, âûäåëèì
îòðåçîê è ñíîâà íàæìåì Ïàóçó, âîçîáíîâëÿÿ äâèæåíèå.
6. Âûáåðåì êîìàíäó Îñòàâëÿòü ñëåä ìåíþ Âèä.
Òåïåðü âèäåí ñëåä äâèæóùåãîñÿ îòðåçêà.
7. Ïîñìîòðèì çàòåì, êàê âñå ýòî âûãëÿäèò ïðè èçìåíåíèè öâåòà
îòðåçêà. Âûáåðåì òîò èëè èíîé öâåò èç ïîäìåíþ
(íà ÷åðíîì ôîíå ëó÷øå ñìîòðÿòñÿ ÿðêèå öâåòà), äëÿ ÷åãî
âûáåðåì êîìàíäó Öâåò ìåíþ Âèä.
Èçìåíåíèå öâåòà îòðåçêà ìåíÿåò öâåò îñòàâëÿåìîãî îòðåçêîì
ñëåäà. Ïîäáåðèòå ïîäõîäÿùèé âàì öâåò.
8. Äàëåå çàéìåìñÿ àíèìàöèåé. Âîò íåñêîëüêî ïðåäëîæåíèé.
• Ñðàâíèòå àíèìàöèîííûå èçîáðàæåíèÿ â çàâèñèìîñòè
îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó êîíöàìè îòðåçêà. Äëÿ ýòîãî íóæíî
íàæàòü êíîïêó Ïàóçà, ïîòàùèòü â òó èëè äðóãóþ ñòîðîíó
êîíöåâóþ òî÷êó, à çàòåì ñíîâà çàïóñòèòü àíèìàöèþ, åùå
ðàç íàæàâ Ïàóçó.
• Ñðàâíèòå èçîáðàæåíèÿ
â çàâèñèìîñòè îò ñêîðîñòåé
äâèæåíèÿ êîíöåâûõ òî÷åê.
×òîáû ïîäåéñòâîâàòü íà ñêîðîñòü
îäíîé òî÷êè, ñëåäóåò íàæàòü
êíîïêó Âûäåëåíî è ïðîòàùèòü
ìûøü äî íóæíîãî îáúåêòà, êàê
ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. Òåïåðü
èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè íà ïàíåëè
áóäóò îòíîñèòüñÿ òîëüêî ê ýòîé òî÷êå.
• Ïîñìîòðèòå âëèÿíèå ôîðìû ÷åòûðåõóãîëüíèêà, ïîòàùèâ åãî
âåðøèíû.
• Ïîñìîòðèòå, ÷òî ïðîèñõîäèò, åñëè òî÷êè äâèæóòñÿ
íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó. (Ñäåëàéòå îáúåêòîì óïðàâëåíèÿ îäíó
èç òî÷åê è îáðàòèòå åå äâèæåíèå, íàæàâ êíîïêó Èçìåíåíèå
íàïðàâëåíèÿ.)
Êîíå÷íî, âû çàìåòèëè, ÷òî ñëåä îòðåçêà ïîñòåïåííî çàòóõàåò.
Ýòî óäîáíî, ïîñêîëüêó ìîæíî íàáëþäàòü çà èçìåíåíèÿìè
êàðòèíû. À ìîæíî ïîïðîáîâàòü èçìåíèòü ñêîðîñòü çàòóõàíèÿ
èëè âîâñå ïðåêðàòèòü åãî.
9. Âûáåðèòå êîìàíäó Íàñòðîéêè/Åäèíèöû ìåíþ Ïðàâêà
è ïàíåëü Öâåò, ùåëêíóâ íà åå íàçâàíèè. Òåïåðü èçìåíèì
ïîëîæåíèå äâèæêà, ðåãóëèðóþùåãî ñêîðîñòü çàòóõàíèÿ ñëåäà,
à çàòåì îòêàæåìñÿ îò çàòóõàíèÿ ñëåäà.
Ñëåä ïëàâíî èñ÷åçàåò ñî âðåìåíåì. Âûáîð ýòîé ïîçèöèè
óñòàíàâëèâàåò, ÷òî ñëåä îáúåêòà ïîñòåïåííî óãàñàåò. Ïðè
ýòîì, ïîÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü çàäàòü ñêîðîñòü óãàñàíèÿ.
Äâå ïîçèöèè
âûáîðà â íèæíåé
÷àñòè ýòîé ïàíåëè
îïðåäåëÿþò, áóäóò
ëè èçìåíåíèÿ
êàñàòüñÿ äàííîãî
÷åðòåæà èëè âñåõ
íîâûõ ÷åðòåæåé.
Ïî óìîë÷àíèþ,
èçìåíåíèÿ
îòíîñÿòñÿ òîëüêî
ê äàííîìó
÷åðòåæó.
Ïàíåëü íàñòðîéêè öâåòà (Windows)
Êîìàíäó Ñòåðåòü
ñëåäû âûïîëíÿåò
êëàâèàòóðíàÿ
êîìáèíàöèÿ
<Ctrl+B>
(Windows)
èëè< +B>
(Mac OS).
Âû íå çíàåòå,
êàê âåñòè äèàëîã
â ýòîì îêíå? Âû
çàõîòåëè óçíàòü
áîëüøå
î äèàëîãîâûõ
îêíàõ? Îòâåòû
ñîäåðæàòñÿ
â ñïðàâî÷íîé
ñèñòåìå.
Îòìåíà âûáîðà ýòîé ïîçèöèè ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ñëåäû
âîîáùå íå ãàñíóò. Òîãäà, ÷òîáû óäàëèòü ñëåä, íóæíî âûáðàòü
êîìàíäó Ñòåðåòü ñëåäû (èëè íàæàòü êëàâèøó <Esc>
íåñêîëüêî ðàç).
10.Âîò äâà ñîâåòà, êàê ïðîâîäèòü ýêñïåðèìåíò ñ ðàçíûìè
ñêîðîñòÿìè çàòóõàíèÿ.
• Ìíîãîêðàòíî âûïîëíÿòü êîìàíäó Íàñòðîéêè/Åäèíèöû
óäîáíî, ïîëüçóÿñü êîíòåêñòíûì ìåíþ. Äëÿ âûçîâà ýòîãî
ìåíþ â ñèñòåìå Windows, íóæíî ùåëêíóòü ïðàâîé
êëàâèøåé ìûøè íà ïóñòîì ìåñòå. Â ñèñòåìå Mac, ñëåäóåò
ùåëêíóòü íà ïóñòîì ìåñòå, óäåðæèâàÿ êëàâèøó <Ctrl>.
• Åñëè çàäàíî óñëîâèå, ÷òî ñëåä íå èñ÷åçàåò, òî â êàêîé-òî
ìîìåíò ðàçóìíî âûáðàòü êîìàíäó Ñòåðåòü ñëåäû ìåíþ Âèä.
Ñîçäàåì êíîïêó àíèìàöèè
Âîñïîëüçîâàòüñÿ êîìàíäîé Àíèìàöèÿ (ìåíþ Âèä) èëè
êíîïêîé Ïóñê íà ïàíåëè óïðàâëåíèÿ äâèæåíèåì — íàèáîëåå
ïðîñòûå ñïîñîáû çàïóñêà àíèìàöèè. Îäíàêî âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ
(íàïðèìåð, åñëè íåîáõîäèìî, ÷òîáû ðàçíûå îáúåêòû êîíñòðóêöèè
äâèãàëèñü ñ ðàçíûìè ñêîðîñòÿìè) ãîðàçäî óäîáíåå îêàçûâàåòñÿ
êíîïêà Àíèìàöèÿ ïîäìåíþ Êíîïêè ìåíþ Ïðàâêà.
11.Ùåëêíåì íà ïóñòîì ìåñòå, òàê ÷òîáû âñå äâèæóùèåñÿ
îáúåêòû ñòàëè îáúåêòàìè óïðàâëåíèÿ, à çàòåì íàæìåì
êíîïêó Ñòîï íà
ïàíåëè óïðàâëåíèÿ.
12.Îòìåíèì âûäåëåíèå
âñåõ îáúåêòîâ
è âûäåëèì îòðåçîê.
Âûáåðåì ïóíêò
Àíèìàöèÿ ïîäìåíþ
Êíîïêè ìåíþ Ïðàâêà.
Ïîÿâëÿåòñÿ
äèàëîãîâîå îêíî
Ñâîéñòâà îáúåêòà: êíîïêà
Àíèìàöèÿ.
Äèàëîãîâîå îêíî Ñâîéñòâà îáúåêòà:
êíîïêà Àíèìàöèÿ (Windows)
43
Ê ñïðàâî÷íîé
ñèñòåìå ìîæíî
îáðàòèòüñÿ òàêæå,
âûáðàâ êîìàíäó
ìåíþ Ñïðàâêà.
Áîëåå ïîäðîáíî
îá óñòàíîâêàõ
ñêîðîñòè
è íàïðàâëåíèÿ
äâèæåíèÿ ìîæíî
óçíàòü
èç ñïðàâî÷íîé
ñèñòåìû.
Îáðàòèòüñÿ
ê äèàëîãîâîìó
îêíó Ñâîéñòâà
ëþáîãî îáúåêòà
ìîæíî òàêæå
ùåë÷êîì íà ýòîì
îáúåêòå ïðàâîé
êëàâèøåé ìûøè
(Windows) èëè
ùåë÷êîì ìûøè
ñ îäíîâðåìåííûì
íàæàòèåì
êëàâèøè <Ctrl>
(Mac OS).
×òîáû èçìåðåíèå
áûëî âèäíî íà
÷åðíîì ýêðàíå, åãî
íóæíî îêðàñèòü
â ÿðêèé öâåò.
44
13.Ùåëêíåì íà êíîïêå ñïðàâêè â äèàëîãîâîì îêíå (Ñïðàâêà
â Windows, ? â Mac OS), ÷òîáû âûçâàòü ñîîòâåòñòâóþùèé
ðàçäåë ñïðàâî÷íîé ñèñòåìû.
Çàïóñêàåòñÿ êàêàÿ-ëèáî èç ïîèñêîâûõ ïðîãðàìì (âîçìîæíî,
Netscape® èëè Explorer®) è íàõîäèòñÿ íóæíûé ðàçäåë
ñïðàâî÷íîé ñèñòåìû. Ïîòðàòüòå íåêîòîðîå âðåìÿ íà
çíàêîìñòâî ñ ýòîé ñèñòåìîé.
14.Âîçâðàùàåìñÿ ê ÷åðòåæó Æèâîé Ìàòåìàòèêè, âûáèðàÿ
çíà÷îê Æèâîé Ìàòåìàòèêè (èç ìåíþ Ïðèëîæåíèÿ â âåðõíåì
ïðàâîì óãëó äëÿ Mac OS, èëè èç ïàíåëè çàäà÷ äëÿ Windows).
Äèàëîãîâîå îêíî Ñâîéñòâà îáúåêòà ïî-ïðåæíåìó îòêðûòî.
Çàäàåì ñêîðîñòü è íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ äëÿ òî÷åê À è Â,
îïðåäåëÿþùèõ âûäåëåííûé îòðåçîê. Êîãäà âñå ñäåëàíî,
ñêàæèòå ÎÊ.
Íà ÷åðòåæå ïîÿâëÿåòñÿ êíîïêà Àíèìàöèÿ, íàæàòèå íà
êîòîðóþ çàïóñêàåò è îñòàíàâëèâàåò äâèæåíèå îòðåçêà.
15.Ïîéäåì äàëüøå — ñîçäàäèì êíîïêè àíèìàöèè ñ äðóãèìè
óñòàíîâêàìè èëè, ÷òîáû èçìåíèòü óñòàíîâêè íà óæå
ñîçäàííîé êíîïêå, âûäåëèì åå (ùåë÷êîì íà ÷åðíîé ïîëîñêå
âäîëü ëåâîãî êðàÿ) è âûáåðåì êîìàíäó Ñâîéñòâà…
ìåíþ Ïðàâêà.
Ðàñêðàøèâàåì öâåòàìè ðàäóãè
Çàìå÷àíèå.  ýòîì ïàðàãðàôå äåìîíñòðèðóåòñÿ îäíà èç ñàìûõ
âïå÷àòëÿþùèõ âîçìîæíîñòåé ïðîãðàììû Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà —
ìíîãîöâåòíàÿ ðàñêðàñêà. Îäíàêî, åñëè âû åùå íå âïîëíå
óâåðåíû â òîì, ÷òî ïðåäûäóùèé ìàòåðèàë âïîëíå îñâîåí, ìîæåòå
íå ÷èòàòü äàííûé ðàçäåë è äâèíóòüñÿ äàëüøå, íå îïàñàÿñü
ïðîïóñòèòü ÷òî-òî âàæíîå.
Ñåé÷àñ ìû áóäåì ó÷èòüñÿ ðàñêðàøèâàòü îòðåçîê, à çíà÷èò è åãî
ñëåä, â ðàçíûå öâåòà. Òîò èëè èíîé öâåò áóäåò çàäàâàòüñÿ ÷èñëîì
èëè ïàðàìåòðîì — äëèíîé îòðåçêà â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè.
Çíà÷èò ïðè äâèæåíèè îòðåçêà åãî öâåò áóäåò ìåíÿòüñÿ
â çàâèñèìîñòè îò èçìåíåíèÿ åãî äëèíû.
16.Åñëè îòðåçîê â íàñòîÿùèé ìîìåíò äâèæåòñÿ, íàæìèòå êíîïêó
Ïàóçà íà ïàíåëè óïðàâëåíèÿ äâèæåíèåì.
17.Îòìåíèì âûäåëåíèå âñåõ îáúåêòîâ, à çàòåì âûäåëèì îòðåçîê.
Âûáåðåì êîìàíäó Äëèíà ìåíþ Èçìåðåíèÿ. Ïðè âûäåëåííîì
èçìåðåíèè, ïîÿâèâøåìñÿ íà ýêðàíå, âûáåðåì ÿðêèé öâåò
èç ïîäìåíþ Öâåò ìåíþ Âèä.
18.Âûäåëèì òåïåðü äâà îáúåêòà — îòðåçîê è èçìåðåíèå åãî
äëèíû. Âûáåðåì êîìàíäó Çàäàåòñÿ ïàðàìåòðîì… èç
ïîäìåíþ Öâåò ìåíþ Âèä.
Ïîÿâëÿåòñÿ äèàëîãîâîå îêíî Öâåò, çàâèñÿùèé îò ïàðàìåòðà.
Äèàëîãîâîå îêíî Öâåò, çàâèñÿùèé îò ïàðàìåòðà (Windows)
Òàêîé äèàïàçîí
èçìåíåíèÿ
ïàðàìåòðà
äàåò ëó÷øèå
ðåçóëüòàòû, êîãäà
òî÷êè äâèæóòñÿ
ñ ðàçíûìè
ñêîðîñòÿìè.
Âïðî÷åì, ìîæåòå
ïîïðîáîâàòü
çàäàòü è äðóãîé
äèàïàçîí.
19.Óñòàíîâèì â äèàëîãîâîì îêíå Ïàðàìåòð ìåíÿåòñÿ îò 0 äî 2
è íàæìåì Ãîòîâî.
20.Ïîòàùèì îäèí èç êîíöîâ îòðåçêà òóäà-ñþäà, òàê ÷òîáû åãî
äëèíà óâåëè÷èâàëàñü è óìåíüøàëàñü. Öâåò îòðåçêà ìåíÿåòñÿ!
Êîãäà äëèíà ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ îò 0 äî 2, öâåò ìåíÿåòñÿ
âî âñåì äèàïàçîíå öâåòîâ ðàäóãè.
21.Òåïåðü òåì èëè èíûì ñïîñîáîì çàïóñòèì àíèìàöèþ: íàæìåì
êíîïêó Ïàóçà èëè îäíó èç ñîçäàííûõ êíîïîê Àíèìàöèÿ
ëèáî ñîçäàäèì íîâóþ êíîïêó Àíèìàöèÿ.
22.Ñîõðàíèì ÷åðòåæ, äàâ åìó êàêîå-ëèáî ñîäåðæàòåëüíîå
íàçâàíèå.
45
Óðîê 4. Êîëëåêöèÿ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ
Èíîãäà ïðèõîäèòñÿ ñîçäàâàòü ÷åðòåæ ñàìîñòîÿòåëüíî
ñ ñàìîãî íà÷àëà, êàê â ïåðâûõ äâóõ óðîêàõ, à èíîãäà ìîæíî
âîñïîëüçîâàòüñÿ íåêîòîðîé çàãîòîâêîé ÷åðòåæà, êàê
â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå. Çäåñü ìû ñêîìáèíèðóåì ýòè ïîäõîäû —
âîñïîëüçóåìñÿ óæå ñäåëàííûì ÷åðòåæîì, òî÷íåå
ìíîãîñòðàíè÷íûì äîêóìåíòîì, à çàòåì äîáàâèì ê äîêóìåíòó
íîâûé ÷åðòåæ. Íàêîíåö, íàó÷èìñÿ, êàê ïðåîáðàçîâàòü
êîíñòðóêöèþ â óäîáíûé èíñòðóìåíò.
×òî áóäåì èçó÷àòü
• Êàê ïåðåìåùàòüñÿ âíóòðè ìíîãîñòðàíè÷íîãî äîêóìåíòà.
• Êàê ïîêàçàòü ñïðÿòàííûå îáúåêòû (è ñíîâà èõ ñïðÿòàòü).
• Êàê èññëåäîâàòü êîíñòðóêöèþ îáúåêòà ïðè ïîìîùè
äèàëîãîâîãî îêíà Ñâîéñòâà.
• Êàê äîáàâèòü ñòðàíèöó ê äîêóìåíòó.
• Êàê ïðåîáðàçîâàòü êîíñòðóêöèþ â èíñòðóìåíò è êàê
èì ïîëüçîâàòüñÿ â äàëüíåéøåì.
Ïåðåëèñòûâàåì äîêóìåíò
1. Çàïóñòèì ïðîãðàììó Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà (åñëè îíà óæå
íå çàïóùåíà) è âûáåðåì êîìàíäó Îòêðûòü ìåíþ Ôàéë.
2. Íàéäåì ïàïêó Ïîñîáèå è îòêðîåì ôàéë Urok4.gsp.
Ýòîò äîêóìåíò ÿâëÿåòñÿ â äåéñòâèòåëüíîñòè ìíîãîñòðàíè÷íûì
äîêóìåíòîì, ïîñêîëüêó ñîäåðæèò íåñêîëüêî ÷åðòåæåé
íà îòäåëüíûõ ñòðàíèöàõ. Åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñåáå êàê
íåáîëüøóþ êíèãó ÷åðòåæåé.
46
3. Ïîïðîáóåì ïåðåëèñòûâàòü ñòðàíèöû ýòîé
êíèãè äâóìÿ ñïîñîáàìè: ïðè ïîìîùè êíîïîê,
êîòîðûå íàçûâàþòñÿ êíîïêàìè Ññûëîê
è èçîáðàæåíû ñïðàâà, è ïîñðåäñòâîì
ïåðåêëþ÷àòåëåé ñòðàíèö, êîòîðûå ïîÿâëÿþòñÿ
â íèæíåé ÷àñòè îêíà ÷åðòåæà è èìåþò íîìåðà
(èìåíà) ñòðàíèö.
×òîáû íàæàòü êíîïêó, ñëåäóåò ùåëêíóòü íà íåé
èíñòðóìåíòîì Ñòðåëêà.
Èññëåäóåì êîíñòðóêöèþ
4. Îòêðîåì ñòðàíèöó Ðàâíîáî÷íàÿ òðàïåöèÿ è ïîòàùèì òî÷êó L.
Êàêîâà ñâÿçü (èëè êàêîâî ñîîòíîøåíèå) ìåæäó òî÷êàìè L è K?
Êàêîå óñëîâèå çàñòàâëÿåò òðàïåöèþ îñòàâàòüñÿ ðàâíîáî÷íîé?
Êàêèå èçìåðåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî îíà ðàâíîáî÷íàÿ?
5. Íà ñòðàíèöå Ïðÿìîóãîëüíèê ïîòàùèì
òî÷êè E, H è G — âåðøèíû ïðÿìîóãîëüíèêà
(ïî î÷åðåäè).
Êàê âåäåò ñåáÿ ïðÿìîóãîëüíèê?
6. Íà ñòðàíèöå Ïàðàëëåëîãðàìì ïîòàùèì
îòðåçêè MN è NO (ïî î÷åðåäè) è ïîñëåäèì
çà èçìåðåíèÿìè.
×òî ïðîèñõîäèò ñ óãëàìè è äëèíàìè
ïàðàëëåëîãðàììà?
7.  êà÷åñòâå ýêñïåðèìåíòà ïîòàùèì äðóãèå òî÷êè è îòðåçêè.
Åñëè ÷åðòåæ ñòàíîâèòñÿ «çàìóñîðåííûì», òî âñåãäà ìîæíî
âåðíóòüñÿ íà íåñêîëüêî øàãîâ íàçàä ïðè ïîìîùè êîìàíäû
Îòìåíèòü.
Èòàê, ïî÷åìó ôèãóðû âåäóò ñåáÿ òàê, à íå èíà÷å? ×òî çàñòàâëÿåò
èõ ñîõðàíÿòü íåêîòîðûå ñâîéñòâà? Òåõíîëîãèÿ, ñ ïîìîùüþ
êîòîðîé ìû áóäåì èñêàòü îòâåòû, ïðèãîäèòñÿ êàê ïðè èçó÷åíèè
ñäåëàííûõ êåì-òî ÷åðòåæåé, òàê è ïðè ñàìîñòîÿòåëüíîì
ñîçäàíèè ñëîæíûõ êîíñòðóêöèé.
Ïîêàçûâàåì ñïðÿòàííûå îáúåêòû
è èññëåäóåì èõ ñâîéñòâà
8. Îòêðîåì ñòðàíèöó Ðàâíîáî÷íàÿ òðàïåöèÿ. Âûáåðåì êîìàíäó
Ïîêàçàòü âñå ñïðÿòàííîå ìåíþ
Âèä. Åñëè íè îäèí èç îáúåêòîâ íå
áûë ñïðÿòàí, êîìàíäà Ïîêàçàòü âñå
ñïðÿòàííîå íåäîñòóïíà.
Òåïåðü âèäíû âûäåëåííûå îáúåêòû,
êîòîðûå äî âûïîëíåíèÿ êîìàíäû áûëè
ñïðÿòàíû.
47
9. Îòìåíèì âûäåëåíèå âñåõ îáúåêòîâ, ùåëêíóâ íà ïóñòîì ìåñòå.
10.Ïîòàùèì ðàçëè÷íûå ýëåìåíòû òðàïåöèè.
Êàê ñîîòíîñÿòñÿ ðàçëè÷íûå îáúåêòû ÷åðòåæà ñ ïðÿìîé m?
Ìîæíî ëè ÷òî-òî ïðåäïîëîæèòü î ïîëîæåíèè òî÷êè X
íà îòðåçêå IJ?
11.Îòìåíèì âûäåëåíèå âñåõ îáúåêòîâ è âûäåëèì ïðÿìóþ m,
ùåëêíóâ íà íåé. Âûáåðåì êîìàíäó Ñâîéñòâà ìåíþ Ïðàâêà.
Åñëè åñòü êàêèå-ëèáî îòëè÷èÿ äèàëîãîâîãî îêíà îò åãî
èçîáðàæåíèÿ íà ðèñóíêå, òî ñëåäóåò ùåëêíóòü
íà ïåðåêëþ÷àòåëå Îáúåêò â âåðõíåé ÷àñòè äèàëîãîâîãî îêíà.
Äèàëîãîâîå îêíî Ñâîéñòâà îáúåêòà (Windows)
Ïðåäêè
îáúåêòà — ýòî
îáúåêòû, êîòîðûå
îïðåäåëÿþò
äàííûé îáúåêò.
Ïîòîìêè
îáúåêòà — ýòî
îáúåêòû, êîòîðûå
îïðåäåëÿþòñÿ
äàííûì îáúåêòîì.
48
Ïîòðàòüòå íåêîòîðîå âðåìÿ íà ÷òåíèå îïèñàíèÿ ïðÿìîé m.
Ýòà ïðÿìàÿ, î÷åâèäíî, áûëà ïîñòðîåíà ïðè ïîìîùè êîìàíäû
Ïåðïåíäèêóëÿð, ïðè÷åì îòðåçîê IJ è òî÷êà X áûëè âûäåëåíû
â ìîìåíò âûïîëíåíèÿ êîìàíäû. Çàìåòüòå òàêæå, ÷òî îïöèÿ
Ñïðÿòàòü íå âûáðàíà, òî åñòü ïðÿìàÿ m ñåé÷àñ âèäíà. Åñëè
âûáðàòü ýòó îïöèþ, òî ëèíèÿ âèäíà íå áóäåò (áóäåò ñïðÿòàíà).
Îïöèÿ Ìîæíî âûäåëÿòü ìûøüþ âûáðàíà,
à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ùåë÷îê íà ïðÿìîé m èíñòðóìåíòîì
Ñòðåëêà âûäåëÿåò ïðÿìóþ.
12.Ñäâèíåì äèàëîãîâîå îêíî, ïîòàùèâ ñòðîêó åãî çàãîëîâêà òàê,
÷òîáû ñòàëè âèäíû âñå îáúåêòû ÷åðòåæà.
13.Íàæìåì âñïîìîãàòåëüíîå ìåíþ Ïðåäêè è âûñâåòèì,
ïðîäâèãàÿ ìûøü è ïîêà íå îòïóñêàÿ êëàâèøó ìûøè, îäèí,
çàòåì äðóãîé îáúåêò.
Âûñâå÷èâàåìûå èìåíà îáúåêòîâ â ìåíþ îäíîâðåìåííî
âûñâå÷èâàþò è ñàìè îáúåêòû íà ÷åðòåæå. Îòìåòèì, ÷òî
îáúåêòû â ìåíþ — ýòî òå æå îáúåêòû, ÷òî è óïîìÿíóòûå
â îïèñàíèè ïðÿìîé m.
14.Îòïóñòèì êëàâèøó ìûøè íàä îäíèì èç ïðåäêîâ ïðÿìîé m.
Ïàíåëü ïåðåêëþ÷àåòñÿ íà âûáðàííûé îáúåêò.
15.Ïðîäâèíüòåñü äàëüøå ïî «ãåíåàëîãè÷åñêîìó äåðåâó»
ñàìîñòîÿòåëüíî. Ïîïûòàéòåñü äîáðàòüñÿ äî ïàíåëåé ñâîéñòâ
âñåõ îáúåêòîâ ÷åðòåæà, âêëþ÷àÿ èçìåðåíèÿ. Îáðàùàéòå
Èìÿ îáúåêòà
ìîæíî èçìåíèòü,
äàæå åñëè èìÿ
íå ïîêàçûâàåòñÿ.
Äëÿ ýòîãî ñëåäóåò
ùåëêíóòü
íà ïåðåêëþ÷àòåëå
Èìåíà ïàíåëè
Ñâîéñòâà îáúåêòà.
âíèìàíèå íà îïèñàíèÿ ñâîéñòâ îáúåêòîâ. Ïîäóìàéòå, ïî÷åìó
êàæäûé èç îáúåêòîâ èìååò òåõ èëè èíûõ ïðåäêîâ è ïîòîìêîâ
è ïî÷åìó êîíñòðóêöèÿ ðàáîòàåò òàê, êàê çàäóìàíî.
Êîíå÷íî, ïðèäåòñÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ âñïîìîãàòåëüíûì ìåíþ
Ïîòîìêè.
Äîáàâëÿåì ñòðàíèöó ê äîêóìåíòó
 ñëåäóþùèõ äâóõ ïàðàãðàôàõ ðå÷ü ïîéäåò îá ýêîíîìèè ñèë
è âðåìåíè. Íà ïåðâîì óðîêå áûë ïîñòðîåí êâàäðàò. Âîçìîæíî,
â áóäóùåì åùå íåîäíîêðàòíî ïîòðåáóåòñÿ êâàäðàò äëÿ òåõ
èëè èíûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé. Ïîýòîìó íà÷íåì
ó÷èòüñÿ, êàê ìíîãîêðàòíî âîñïîëüçîâàòüñÿ òåì, ÷òî ñäåëàííî
åäèíîæäû.
Ïîðÿäîê
ðàñïîëîæåíèÿ
ñòðàíèö
â äîêóìåíòå
ìîæíî èçìåíèòü,
ïåðåòàñêèâàÿ
èõ ìûøêîé
ïî ñïèñêó
ñòðàíèö. Êðîìå
òîãî, ìîæíî
ïåðåèìåíîâàòü
ñòðàíèöó â ñòðîêå
èìåíè òåêóùåé
ñòðàíèöû
è óäàëèòü
ñòðàíèöó, íàæàâ
êíîïêó Óäàëèòü
ñòðàíèöó.
Ïðåæäå âñåãî, çàìåòèì, ÷òî êíèãà ÷åðòåæåé, íàçâàííàÿ
«Êîëëåêöèÿ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ» íå ñîäåðæèò ñàìîãî
ñîâåðøåííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà — êâàäðàòà.
17.Åñëè ÷åðòåæ ïåðâîãî óðîêà (íàçâàííûé, ñêàæåì,
Êâàäðàò. gsp) îòêðûò, òî ïåðåõîäèì ê ñëåäóþùåìó øàãó.
 ïðîòèâíîì ñëó÷àå âûáåðàåì êîìàíäó Îòêðûòü
ìåíþ Ôàéë.
18.Òåïåðü àêòèâèçèðóåì äîêóìåíò Urok4.gsp, äëÿ ÷åãî ùåëêàåì
íà êàêîì-òî ìåñòå ýòîãî ÷åðòåæà.
19. Âûáåðàåì êîìàíäó Íàñòðîéêè äîêóìåíòà ìåíþ Ôàéë.
Ïîÿâëÿåòñÿ äèàëîãîâîå îêíî Íàñòðîéêè äîêóìåíòà.
Äèàëîãîâîå îêíî Íàñòðîéêè äîêóìåíòà (Windows)
49
20.Äîáàâèì ñòðàíèöó Êâàäðàò.gsp â êíèãó, âûáðàâ åå èìÿ
èç âñïîìîãàòåëüíîãî ìåíþ Äîáàâèòü êîïèþ, êàê ïîêàçàíî
íà ïðåäûäóùåì ðèñóíêå. Ùåëêíåì íà êíîïêå Ãîòîâî.
Íîâàÿ ñòðàíèöà îòêðûâàåòñÿ ùåë÷êîì íà ñîîòâåòñòâóþùåì
ïåðåêëþ÷àòåëå. Åñëè ñòðàíèö ñëèøêîì ìíîãî, òî ÷àñòü
ïåðåêëþ÷àòåëåé íå ïîêàçûâàåòñÿ.  ýòîì ñëó÷àå ïîÿâëÿþòñÿ
êíîïêè ïðîêðóòêè ïåðåêëþ÷àòåëåé, íàæèìàÿ êîòîðûå ìîæíî
äîáðàòüñÿ äî íóæíîé ñòðàíèöû.
Ñîçäàåì èíñòðóìåíò ïîëüçîâàòåëÿ Ìîé êâàäðàò
Åñëè òðåáóåòñÿ äîïîëíèòåëüíî ïîñòðîèòü íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî
êâàäðàòîâ, òî äîâîëüíî óòîìèòåëüíî ïîâòîðÿòü ðàç çà ðàçîì îäíè
è òå æå øàãè ïîñòðîåíèÿ. Õîðîøî áûëî áû èìåòü ñïåöèàëüíûé
èíñòðóìåíò ïîñòðîåíèÿ êâàäðàòà. Ê ñ÷àñòüþ, Æèâàÿ
Ìàòåìàòèêà ïðåäîñòàâëÿåò âîçìîæíîñòü ïðåîáðàçîâàòü ïî÷òè
ëþáóþ êîíñòðóêöèþ â èíñòðóìåíò. Ýòîò èíñòðóìåíò ïîìåùàåòñÿ
â íàáîð èíñòðóìåíòîâ, ïîëó÷àåò ñâîå èìÿ è òðåáóåòñÿ âñåãî ëèøü
íåñêîëüêî ùåë÷êîâ, ÷òîáû âîñïðîèçâåñòè êîíñòðóêöèþ. Âîò êàê
ýòî äåëàåòñÿ.
21.Íà ñòðàíèöå, êîòîðàÿ ñîäåðæèò ïîñòðîåííûé êâàäðàò,
âûáåðåì èíñòðóìåíò Ñòðåëêà. Çàòåì âûáåðåì êîìàíäó
Âûäåëèòü âñå ìåíþ Ïðàâêà.
22.Âûáåðåì êîìàíäó Ñîçäàòü
íîâûé èíñòðóìåíò èç ìåíþ
Èíñòðóìåíòû ïîëüçîâàòåëÿ
íàáîðà èíñòðóìåíòîâ. Ââåäåì èìÿ
Øàã 22
èíñòðóìåíòà, ñêàæåì Êâàäðàò.
Ùåëêíåì íà êíîïêå Ãîòîâî.
Òåïåðü, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå,
èìÿ íîâîãî èíñòðóìåíòà ïîÿâèëîñü
â ñïèñêå èíñòðóìåíòîâ
ïîëüçîâàòåëÿ.
23.Ùåëêíåì íà çíà÷êå Èíñòðóìåíòû
Ïîñëå øàãà 22
ïîëüçîâàòåëÿ â íàáîðå
èíñòðóìåíòîâ, òåì ñàìûì,
âûáèðàÿ ïîñëåäíèé èç ñîçäàííûõ
èíñòðóìåíòîâ, â äàííîì ñëó÷àå — Êâàäðàò.
Êóðñîð ïðèíèìàåò âèä áåëîé ñòðåëêè ñ òî÷êîé íà âåðøèíå.
24.Ùåëêíåì íà ïðîèçâîëüíîì ìåñòå ÷åðòåæà, ïîòàùèì ìûøü
è ñíîâà ùåëêíåì.
Èíñòðóìåíò Êâàäðàò ñòðîèò êâàäðàò, îïðåäåëÿåìûé äâóìÿ
òî÷êàìè. Èíñòðóìåíò îñòàåòñÿ àêòèâíûì, ïîýòîìó ìîæíî
ïðîäîëæàòü ñòðîèòü êâàäðàòû, ïîêà íå áóäåò âûáðàí äðóãîé
èíñòðóìåíò.
25.Ïîòðåíèðóéòåñü â ïîñòðîåíèè êâàäðàòîâ. Îáðàòèòå âíèìàíèå,
÷òî ðàñïîëîæåíèå êâàäðàòà çàâèñèò îò òîãî, ãäå áûëè ñäåëàíû
ùåë÷êè. Ïîïðîáóéòå ñëåäóþùèå âàðèàíòû:
50
• ùåëêàéòå ñëåâà íàïðàâî;
• ùåëêàéòå ñïðàâà íàëåâî;
• ïðè ñîçäàíèè êâàäðàòà óäåðæèâàéòå êëàâèøó <Shift>
(ïðè ýòîì íàêëîí îòðåçêà êðàòåí 15°, ÷òî ïîçâîëÿåò ëåãêî
îáåñïå÷èòü âåðòèêàëüíîñòü è ãîðèçîíòàëüíîñòü ñòîðîí);
• ïîïðîáóéòå ïðèìåíèòü êîìàíäó Îòìåíèòü (ïðè ýòîì
êîíñòðóêöèÿ îòìåíÿåòñÿ öåëèêîì);
• ïðè ùåë÷êå íà óæå ñóùåñòâóþùåé òî÷êå èëè äðóãîì îáúåêòå,
êâàäðàò ïðèêðåïëÿåòñÿ ê ýòîìó îáúåêòó.
Ïîïûòàéòåñü â òî÷íîñòè âîñïðîèçâåñòè èíñòðóìåíòîì Êâàäðàò
êîíñòðóêöèþ, èçîáðàæåííóþ íà ðèñóíêå. Ìîæåò áûòü, âàì
óäàñòñÿ ïîñòðîèòü åùå êàêîé-íèáóäü èíòåðåñíûé îðíàìåíò.
51
Óðîêè 5–6. Ïðåîáðàçîâàíèÿ
Ãåîìåòðèÿ ïðåîáðàçîâàíèé èçó÷àåò âðàùåíèå, ñäâèã, ðàñòÿæåíèåñæàòèå è îòðàæåíèå ôèãóð. Íåêîòîðûå èç íèõ áóäóò ðàññìîòðåíû
â äâóõ ïîñëåäóþùèõ óðîêàõ ïðè ïîìîùè ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ
ïðîãðàììû Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà. Âíà÷àëå áóäåì èññëåäîâàòü
íåêóþ ôóíäàìåíòàëüíóþ ïðîáëåìó, ðåøàåìóþ ïðè ïîìîùè
âðàùåíèÿ è îòðàæåíèÿ. Çàòåì ïîñòðîèì ïðîñòîé êàëåéäîñêîï.
 ïðîöåññå èññëåäîâàíèé óçíàåì íåñêîëüêî áîëüøå î ïðèìåíåíèè
ìåíþ Èçìåðåíèÿ è Èíñòðóìåíòû ïîëüçîâàòåëÿ.
52
Óðîê 5. Îòðàæåíèÿ + Îòðàæåíèÿ = ?
Íà ýòîì çàíÿòèè ìû áóäåì èçó÷àòü îäèí èç âîïðîñîâ ãåîìåòðèè
ïðåîáðàçîâàíèé è ïîñìîòðèì, êàêóþ ïîìîùü â ýòîì ìîæåò
îêàçàòü ïðèìåíåíèå Æèâîé Ìàòåìàòèêè.
×òî áóäåì èçó÷àòü
•
•
•
•
Êàê áûñòðî ïîñòðîèòü âíóòðåííîñòü ìíîãîóãîëüíèêà.
Êàê îòðàçèòü îáúåêòû îòíîñèòåëüíî ïðÿìûõ.
Êàê âîñïîëüçîâàòüñÿ Êàëüêóëÿòîðîì.
Êàê ïîâåðíóòü îáúåêò âîêðóã îòìå÷åííîé òî÷êè íà
îòìå÷åííûé óãîë èëè íà îòìå÷åííîå âû÷èñëåíèå.
53
Ââåäåíèå ê óðîêó
Ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ ñîäåðæèò ÷åòûðå êîìàíäû, îòâå÷àþùèå
îñíîâíûì ïðåîáðàçîâàíèÿì.
– òî÷êà,
îòíîñèòåëüíî
êîòîðîé
âûïîëíÿåòñÿ
ïðåîáðàçîâàíèå
(ïîâîðîò èëè
ãîìîòåòèÿ)
Íà ñàìîì äåëå,
â íåêîòîðûõ
ñëó÷àÿõ ãîìîòåòèÿ
è ïîâîðîò
ýêâèâàëåíòíû.
Íàïðèìåð,
ãîìîòåòèÿ
ñ êîýôôèöèåíòîì
–1 ýêâèâàëåíòíà
ïîâîðîòó íà 180° .
ßâëÿþòñÿ ëè êàêèå-ëèáî ïðåîáðàçîâàíèÿ «áîëåå îñíîâíûìè»,
÷åì äðóãèå? Äðóãèìè ñëîâàìè, íåëüçÿ ëè ïîëó÷èòü îäíî èç íèõ,
êîìáèíèðóÿ îñòàëüíûå? Íàïðèìåð, ìîæíî ëè ðåàëèçîâàòü
ïîâîðîò êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïåðåíîñîâ? Îòâåò «Íåò»,
ïîñêîëüêó ïîâîðîò âðàùàåò îáúåêò, à ïåðåíîñ íå âðàùàåò.
Ìîæåò ëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âðàùåíèé áûòü ýêâèâàëåíòíîé
ðàñòÿæåíèþ? Ñíîâà íåò, ïîñêîëüêó ïðè ðàñòÿæåíèè ðàçìåðû
ìåíÿþòñÿ, à ïðè âðàùåíèè — ñîõðàíÿþòñÿ. À ìîæåò ëè
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îòðàæåíèé ñîîòâåòñòâîâàòü ïîâîðîòó?
Ïîëîæèòåëüíûé îòâåò íå êàæåòñÿ íåâîçìîæíûì, è çäåñü ìû
çàéìåìñÿ èññëåäîâàíèåì ýòîãî âîïðîñà.
Ñòðîèì îñè îòðàæåíèÿ è âíóòðåííîñòü ìíîãîóãîëüíèêà
Åñëè âîçíèêàþò
êàêèå-òî
òðóäíîñòè ïðè
èçó÷åíèè ýòîãî
èëè äðóãèõ
óðîêîâ, ñòîèò
îáðàòèòüñÿ
ê ÷åðòåæàì â
ïàïêå Ïîñîáèå.
Äàííûé óðîê
èëëþñòðèðóåòñÿ
÷åðòåæîì
Urok5. gsp.
54
Íà÷íåì ñ ïîñòðîåíèÿ äâóõ îòðåçêîâ, êîòîðûå ñòàíóò îñÿìè
îòðàæåíèÿ, è âíóòðåííîñòè ìíîãîóãîëüíèêà, êîòîðûé áóäåò
îòðàæàòüñÿ.
1. Èíñòðóìåíòîì Îòðåçîê ïîñòðîèì îòðåçîê íà íîâîì
÷åðòåæå.
2. Âòîðîé îòðåçîê ïîñòðîèì òàê, ÷òîáû îäèí èç åãî êîíöîâ
ñîâïàäàë ñ êîíöîì ïåðâîãî îòðåçêà.
Íàçîâåì ýòó ôèãóðó V.
Ìíîãîóãîëüíèê îáùåãî âèäà íå èìååò êàêèõ‑ëèáî
ñïåöèàëüíûõ ñâîéñòâ, ïîäîáíûõ ðàâåíñòâó
ñòîðîí, óãëîâ èëè ÷åãî-òî â ýòîì ðîäå. Òàêîé
ìíîãîóãîëüíèê ìîæíî ïîñòðîèòü âñåãî ëèøü
çà äâà ñëåäóþùèõ øàãà.
Ïîñëå øàãà 2
Íàæàòèå êëàâèøè
<Shift> îçíà÷àåò,
÷òî ðàíåå
ïîñòðîåííûå
îáúåêòû îñòàíóòñÿ
âûäåëåííûìè.
Çàìåòüòå, ÷òî
ïðè ïîñòðîåíèè
ìíîãîóãîëüíèêà
âûäåëÿòü íóæíî
âåðøèíû,
à íå ñòîðîíû.
3. Âûáåðåì èíñòðóìåíò Òî÷êà è, ùåëêíóâ
âíóòðè V, ïîñòðîèì òî÷êó. Íàæìåì
êëàâèøó <Shift> è ïîáëèçîñòè îò ïåðâîé
òî÷êè ïîñòðîèì åùå ÷åòûðå.
Èìååì ïÿòü âûäåëåííûõ òî÷åê âíóòðè V.
4. Âûáåðåì êîìàíäó Âíóòðåííÿÿ îáëàñòü
ìåíþ Ïîñòðîåíèÿ.
Åñëè ìíîãîóãîëüíèê ñàìîïåðåñåêàåòñÿ
(êàê ñëîæåííûé ëèñò áóìàãè), òî íóæíî
ðàñòàùèòü åãî âåðøèíû òàê, ÷òîáû îí ñòàë
îäíîçíà÷íûì, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå.
Îòìå÷àåì îñè îòðàæåíèÿ
è îòðàæàåì îáúåêòû
Çäåñü è íà
ñëåäóþùåì óðîêå
ðåêîìåíäóåì
îêðàøèâàòü
îáúåêòû â íåÿðêèå
òîíà.
Øàã 4. ×òîáû ïîëó­÷èòü
îäíîçíà÷íûé (ò.å. áåç
ñàìîïåðå­ñå­÷åíèé)
ìíîãîóãîëü­íèê, íóæíî
ðàñòàùèòü åãî âåðøè­íû.
Òåïåðü çàéìåìñÿ âîïðîñîì, çàäàííûì âî ââåäåíèè ê óðîêó.
Îòðàçèì âíóòðåííîñòü îòíîñèòåëüíî îäíîãî èç îòðåçêîâ, çàòåì
ïîëó÷åííûé îáðàç îòðàçèì îòíîñèòåëüíî äðóãîãî îòðåçêà.
5. Âûäåëèì íèæíèé îòðåçîê è âûáåðåì êîìàíäó Îòìåòèòü îñü
îòðàæåíèÿ ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ.
Êîðîòêàÿ àíèìàöèÿ óêàçûâàåò, ÷òî îòðåçîê îòìå÷åí êàê îñü
îòðàæåíèÿ ïîñëåäóþùèõ ïðåîáðàçîâàíèé.
6. Âûäåëèì âíóòðåííîñòü ìíîãîóãîëüíèêà (ùåëêíóâ íà íåé)
è âûáåðåì êîìàíäó Îòðàçèòü ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ.
Ïîÿâèëñÿ îòðàæåííûé îáðàç.
7. Îñòàþùèéñÿ âûäåëåííûì îòðàæåííûé îáðàç ïîêðàñèì èíûì
öâåòîì, äëÿ ÷åãî âûáåðåì öâåò èç ïîäìåíþ Öâåò ìåíþ Âèä.
Òåïåðü äâàæäû ùåëêíåì íà âåðõíåì îòðåçêå, òåì ñàìûì
îòìå÷àÿ åãî êàê íîâóþ îòìå÷åííóþ îñü îòðàæåíèÿ.
Îòìåòèòü îñü ìîæíî, âûáðàâ êîìàíäó èëè äâàæäû ùåëêíóâ
íà ïðÿìîëèíåéíîì îáúåêòå.
8. Ñíîâà âûáåðåì êîìàíäó Îòðàçèòü.
Âûäåëåííûé ìíîãîóãîëüíèê (îáðàç
èñõîäíîãî) îòðàæàåòñÿ îòíîñèòåëüíî
âåðõíåãî îòðåçêà. Îïÿòü æå, ïîêðàñèì
ïîëó÷åííûé íîâûé îáðàç â äðóãîé öâåò.
9. Ïîòàùèì êàêóþ-íèáóäü òî÷êó èñõîäíîãî
ìíîãîóãîëüíèêà è ïîñìîòðèì, ÷òî
ïðîèñõîäèò ñ îáðàçàìè. Ìîæíî ïîòàùèòü
è äðóãèå îáúåêòû.
Ïîñëå øàãà 8
Êàê ñîîòíîñèòñÿ òðåòèé ìíîãîóãîëüíèê
ñ ïåðâûì?
Íåò ëè âïå÷àòëåíèÿ, ÷òî òðåòèé ÿâëÿåòñÿ ïîâîðîòîì ïåðâîãî?
Åñëè äà, òî âîêðóã êàêîé òî÷êè? Êàæåòñÿ åñòåñòâåííûì
ïðåäïîëîæèòü, ÷òî öåíòð âðàùåíèÿ — âåðøèíà V. ×òîáû
ïðîâåðèòü ýòî ïðåäïîëîæåíèå, áóäåì âðàùàòü èñõîäíûé
ìíîãîóãîëüíèê, à â äàëüíåéøåì ïðîâåäåì èçìåðåíèÿ.
55
Îòìå÷àåì, âðàùàåì, èçìåðÿåì
Îòìå÷àÿ (èëè
èçìåðÿÿ) óãîë,
ñëåäóåò âûäåëÿòü
òî÷êè òàê,
÷òîáû âåðøèíà
óãëà áûëà
âûäåëåíà âòîðîé.
Îòìå÷åííûé óãîë
íàïðàâëåí
îò ïåðâîé
âûäåëåííîé òî÷êè
ê òðåòüåé ïðè
âðàùåíèè âîêðóã
âòîðîé.
Îáðàç äâèæåòñÿ,
êîãäà äâèæåòñÿ
òî÷êà D.
Ïî÷åìó? Ïîòîìó
÷òî ìåíÿåòñÿ
îòìå÷åííûé
óãîë, çàäàþùèé
ïîâîðîò.
56
10.Âûáåðåì èíñòðóìåíò Îòðåçîê. Ïîñòðîèì òðåòèé îòðåçîê
âíå V òàê, ÷òîáû îäèí èç åãî êîíöîâ ñîâïàäàë ñ âåðøèíîé
(êàê íà ðèñóíêå íèæå).
11.Ïóñòü ýòîò îòðåçîê âûäåëåí; òåïåðü âûáåðåì îïöèþ
Ïóíêòèðíàÿ èç ïîäìåíþ Òîëùèíà ëèíèè ìåíþ Âèä.
Ïóíêòèðíàÿ ëèíèÿ îòëè÷àåò íîâûé
îòðåçîê îò äâóõ ñòàðûõ.
12.Èíñòðóìåíòîì Òåêñò ùåëêíåì íà
÷åòûðåõ êîíöàõ îòðåçêîâ â òîì ïîðÿäêå,
êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò àëôàâèòíîé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè áóêâ íà ðèñóíêå.
Çàäà÷à, ðåøàåìàÿ â íåñêîëüêèõ ñëåäóþùèõ
ïóíêòàõ, ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïîâåðíóòü
èñõîäíûé ìíîãîóãîëüíèê íà óãîë ∠ABD.
Ïîñëå øàãà 12
Âíà÷àëå îòìåòèì ýòîò óãîë, ïîäîáíî òîìó
êàê íåìíîãî ðàíüøå îòìåòèëè îñü îòðàæåíèÿ.
13.Îòìåíèì âûäåëåíèå âñåõ îáúåêòîâ, à çàòåì âûäåëèì òðè
òî÷êè â ñëåäóþùåì ïîðÿäêå: ñíà÷àëà A, çàòåì B, íàêîíåö D.
14.Âûáåðåì êîìàíäó Îòìåòèòü óãîë ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ.
Êîðîòêàÿ àíèìàöèÿ óêàçûâàåò, ÷òî óãîë îòìå÷åí è, êðîìå
òîãî, ïîêàçûâàåò íàïðàâëåíèå âðàùåíèÿ.
15.Âûäåëèì âåðøèíó (òî÷êó B) è âûáåðåì êîìàíäó Îòìåòèòü
öåíòð ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ.
Àíèìàöèÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî
òî÷êà îòìå÷åíà êàê öåíòð
âðàùåíèÿ è ãîìîòåòèè.
16.Âûäåëèì èñõîäíûé
ìíîãîóãîëüíèê è âûáåðåì
êîìàíäó Ïîâåðíóòü ìåíþ
Ïðåîáðàçîâàíèÿ.
 ïîÿâèâøåìñÿ äèàëîãîâîì îêíå
óêàçûâàåì îïöèþ Ïîâåðíóòü
Äèàëîãîâîå îêíî Ïîâîðîò (Windows)
íà: Îòìå÷åííûé óãîë, à çàòåì
íàæèìàåì êíîïêó Ïîâåðíóòü.
Ïîÿâëÿåòñÿ îáðàç — ïîâîðîò
èñõîäíîãî ìíîãîóãîëüíèêà
íà îòìå÷åííûé óãîë.
17.Ïîòàùèì òî÷êó D òàê, ÷òîáû îáðàç
ïðè ïîâîðîòå ñîâïàë ñî âòîðûì
îáðàçîì, ïîëó÷åííûì ïðè
îòðàæåíèè.
Êàê ñîïîñòàâèòü óãîë ìåæäó îñÿìè
îòðàæåíèÿ (∠ABC) ñ óãëîì ïîâîðîòà
(∠ABD)? Ïðåäëîæèòå ãèïîòåçó.
18.Èçìåðèì óãîë (∠ABC). Äëÿ ýòîãî
Ïîñëå øàãà 19
âûäåëèì òðè òî÷êè (òî÷êà B âûäåëÿåòñÿ
âòîðîé) è âûáåðåì êîìàíäó Óãîë ìåíþ Èçìåðåíèÿ.
Ïîÿâëÿåòñÿ èçìåðåíèå óãëà.
19.Òàê æå èçìåðÿåòñÿ è áîëüøèé óãîë (∠ABD).
Ïîäòâåðæäàåòñÿ ëè ãèïîòåçà î ñîîòíîøåíèè ìåæäó óãëàìè?
Òàùèòå è èññëåäóéòå.
Âû÷èñëÿåì, îòìå÷àåì, âðàùàåì
Âîçìîæíî
ïîòðåáóåòñÿ
ïåðåäâèíóòü
äèàëîãîâîå îêíî
Íîâîå âû÷èñëåíèå
òàê, ÷òîáû îíî
íå çàñëîíÿëî
èçìåðåíèå.
Ðàíåå áûëà
èñïîëüçîâàíà
êîìàíäà Îòìåòèòü
óãîë, ïðèìåíåííàÿ
ê òðåì
âûäåëåííûì
òî÷êàì. Ìîæíî,
îäíàêî, îòìåòèòü
óãîë, èçìåðåíèå
èëè âû÷èñëåíèå
èíà÷å, êàê
äåëàåòñÿ
íà ýòîì øàãå.
Ìîæåò áûòü, âû óæå çàìåòèëè, ÷òî áîëüøîé óãîë âäâîå áîëüøå
ìàëîãî, êîãäà îáðàçû ïðè âðàùåíèè è îòðàæåíèè ñîâïàäàþò.
Êîíå÷íî, êòî-òî ïîñ÷èòàåò, ÷òî ýòî è åñòü äîêàçàòåëüñòâî. Îäíàêî
äëÿ áîëüøåé óáåäèòåëüíîñòè, à òàêæå â êà÷åñòâå çíàêîìñòâà
ñ Êàëüêóëÿòîðîì ïðîãðàììû ïðîäîëæèì èññëåäîâàíèå, äîïîëíèâ
åãî ïîâîðîòîì èñõîäíîãî ìíîãîóãîëüíèêà íà óãîë, îïðåäåëÿåìûé
âû÷èñëåíèÿìè.
20.Âûäåëèì òî÷êó D è íàæìåì êëàâèøó <Delete> (Mac OS) èëè
<Backspace> (Windows).
Òî÷êà óíè÷òîæåíà âìåñòå ñî ñâîèìè ïîòîìêàìè —
ïóíêòèðíîé ëèíèåé, ïîñëåäíåé ïîñòðîåííîé âíóòðåííîñòüþ
ìíîãîóãîëüíèêà è èçìåðåíèåì
âòîðîãî óãëà.
21.Âû÷èñëèì óäâîåííîå èçìåðåíèå
óãëà V. Äëÿ ýòîãî âûáåðåì êîìàíäó
Âû÷èñëèòü ìåíþ Èçìåðåíèÿ, çàòåì
íàáåðåì íà êëàâèàòóðå öèôðó 2
è ùåëêíåì íà èçìåðåíèè óãëà.
Çàòåì ùåëêíåì íà êíîïêå Ãîòîâî.
22.Íîâîå èçìåðåíèå âûäåëåíî,
âûáèðàåì êîìàíäó Îòìåòèòü óãîë.
Êîðîòêàÿ àíèìàöèÿ ïîäòâåðæäàåò,
÷òî âû÷èñëåíèå óãëà îòìå÷åíî.
23.Ïîâåðíåì âíóòðåííîñòü èñõîäíîãî
ìíîãîóãîëüíèêà íà îòìå÷åííûé
âû÷èñëåííûé óãîë.
Åñëè ýòî íåîáõîäèìî, ïîñìîòðèòå
Êàëüêóëÿòîð (Windows)
øàã 16, ÷òîáû âñïîìíèòü, êàê ýòî
äåëàåòñÿ.
Âíîâü ïîñòðîåííàÿ îáëàñòü ïîìåùàåòñÿ òî÷íî ïîâåðõ äâàæäû
îòðàæåííîé âíóòðåííîñòè ìíîãîóãîëüíèêà. Òàêèì îáðàçîì,
âðàùåíèå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå êîìïîçèöèè äâóõ
îòðàæåíèé îòíîñèòåëüíî ïåðåñåêàþùèõñÿ ïðÿìûõ ñ öåíòðîì
â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ. Óãîë ïîâîðîòà ðàâåí óäâîåííîìó óãëó
ìåæäó îñÿìè îòðàæåíèé.
Îñòàëîñü ëèøü ïîäãîòîâèòüñÿ ê ñëåäóþùåìó óðîêó.
24.Âûäåëèì âû÷èñëåíèå (2·∠ABC = …) è íàæìåì êëàâèøó
<Delete> (Mac OS) èëè <Backspace> (Windows).
25.Íå çàáóäåì ñîõðàíèòü ÷åðòåæ, ïîñêîëüêó îí åùå ïîíàäîáèòñÿ
ïðè ïîñòðîåíèè êàëåéäîñêîïà â Óðîêå 6.
57
Óðîê 6. Êàëåéäîñêîï
Íà ïðåäûäóùåì óðîêå ìû ñóìåëè îòðàçèòü âíóòðåííîñòü
ìíîãîóãîëüíèêà îòíîñèòåëüíî äâóõ îñåé. ×òî, åñëè ðåçóëüòàò,
ôèíàëüíûé îáðàç, îòðàçèòü îòíîñèòåëüíî òåõ æå ñàìûõ
îñåé è ïðîäîëæàòü ïîäîáíûé ïðîöåññ ñî âíîâü ïîëó÷àåìûìè
îáðàçàìè? Êàêàÿ âîçíèêíåò êàðòèíà? Êàê îíà çàâèñèò îò óãëà
ìåæäó îòðåçêàìè? Íà÷íåì óðîê ñ ñîçäàíèÿ èíñòðóìåíòà, ïðè
ïîìîùè êîòîðîãî ïîïûòàåìñÿ îòâåòèòü íà ýòè âîïðîñû. Çàòåì
íåìíîãî ðàçâëå÷åìñÿ — ïîñòðîèì êàëåéäîñêîï.  êîíöå êîíöîâ,
âû óçíàåòå êîå-÷òî î ãîìîòåòèè, î òîì êàê ïðèñîåäèíèòü òî÷êè
ê òðàåêòîðèÿì, à òàêæå î òîì êàê ïðèâåñòè êîíñòðóêöèþ
â äâèæåíèå.
×òî áóäåì èçó÷àòü
• Êàê ñîçäàòü èíñòðóìåíò ïîëüçîâàòåëÿ, êîòîðûé îïðåäåëÿåò
ìíîãîøàãîâîå ïðåîáðàçîâàíèå.
• Êàê ðàñòÿíóòü îáúåêòû îòíîñèòåëüíî îòìå÷åííîãî öåíòðà.
• Êàê ïðèñîåäèíèòü íåçàâèñèìûå òî÷êè ê òðàåêòîðèÿì.
Ñîçäàåì è ïðèìåíÿåì íîâûé èíñòðóìåíò ïîëüçîâàòåëÿ
Áîëåå ïîëíîå
îïèñàíèå ñâîéñòâ
è âîçìîæíîñòåé
èíñòðóìåíòà
ïîëüçîâàòåëÿ
ìîæíî íàéòè
â ñïðàâî÷íîé
ñèñòåìå (ìåíþ
Ñïðàâêà).
58
Íà Óðîêå 4 óæå áûë ñäåëàí èíñòðóìåíò äëÿ ïîñòðîåíèÿ
êâàäðàòà. Çäåñü ìû ñîçäàäèì áîëåå ñëîæíûé èíñòðóìåíò,
êîòîðûé îòðàæàåò ëþáîé çàäàííûé îáúåêò îòíîñèòåëüíî äâóõ
ïðîèçâîëüíûõ îñåé â äâà îáðàçà.
Èíñòðóìåíò ïîëüçîâàòåëÿ, êàê ìû óæå âèäåëè, äàåò âîçìîæíîñòü
ìíîãîêðàòíî ïðèìåíÿòü èìåþùóþñÿ êîíñòðóêöèþ äëÿ
ïîñòðîåíèÿ íîâûõ îáúåêòîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðåæäå âñåãî íóæíî
ïîñòðîèòü êîíñòðóêöèþ. Çàòåì — âûäåëèòü Äàííûå — îáúåêòû,
Î÷åðåäíîñòü,
â êîòîðîé
âûäåëÿþòñÿ
Äàííûå, îïðåäåëÿåò
î÷åðåäíîñòü,
â êîòîðîé äîëæíû
óêàçûâàòüñÿ
îáúåêòû ïðè
ïîñòðîåíèè
êîíñòðóêöèè.
Î÷åðåäíîñòü
âûäåëåíèÿ
Ðåçóëüòàòîâ
íåñóùåñòâåííà.
Êîãäà èíñòðóìåíò
óêàçûâàåò
íà îáëàñòü, âèäíî,
÷òî åå ïåðèìåòð
ïîäñâå÷èâàåòñÿ.
êîòîðûå îïðåäåëÿþò êîíñòðóêöèþ, è Ðåçóëüòàòû — îáúåêòû,
êîòîðûå äîëæíû áûòü ïîñòðîåíû â èòîãå.  íàøåì ñëó÷àå
Äàííûìè ÿâëÿþòñÿ èñõîäíàÿ âíóòðåííîñòü è äâå îñè îòðàæåíèÿ.
Ðåçóëüòàòàìè äåéñòâèÿ èíñòðóìåíòà ÿâëÿþòñÿ äâå îáëàñòè —
îòðàæåíèÿ îðèãèíàëà îòíîñèòåëüíî îñåé.
1. Îòêðîåì ÷åðòåæ ïðåäûäóùåãî óðîêà
(åñëè îí åùå íå îòêðûò).
2. Ïîòàùèì îäèí èç êîíöîâ V, òàê ÷òîáû
óãîë ñòàë áëèçîê ê 45°.
3. Âûäåëèì Äàííûå (âíà÷àëå èñõîäíóþ
âíóòðåííîñòü, çàòåì îòðåçîê AB, çàòåì
îòðåçîê BC), à ïîòîì Ðåçóëüòàòû (äâå
îáëàñòè — îòðàæåíèÿ).
Äîëæíî ïîëó÷èòüñÿ ïÿòü âûäåëåííûõ
îáúåêòîâ.
Ïîñëå øàãà 2
4. Âûáåðåì êîìàíäó Ñîçäàòü íîâûé
èíñòðóìåíò èç ìåíþ
Èíñòðóìåíòû ïîëüçîâàòåëÿ â
íàáîðå èíñòðóìåíòîâ. Â äèàëîãîâîì
îêíå ââåäåì èìÿ èíñòðóìåíòà
Øàã 4
Äâîéíîå îòðàæåíèå. Ùåëêíåì íà
êíîïêå Ãîòîâî.
Èìÿ íîâîãî èíñòðóìåíòà ïîÿâèëîñü
â ñïèñêå â íèæíåé ÷àñòè ìåíþ
(ñì. ðèñóíîê).
5. Ùåëêíåì íà çíà÷êå Èíñòðóìåíòû
ïîëüçîâàòåëÿ â íàáîðå èíñòðóìåíòîâ,
÷òîáû àêòèâèçèðîâàòü ïîñëåäíèé
èç ñîçäàííûõ èíñòðóìåíòîâ,
â äàííîì ñëó÷àå Äâîéíîå îòðàæåíèå.
Çàòåì ùåëêíåì íà âåðõíåé ëåâîé
îáëàñòè, ïîòîì íà íèæíåì îòðåçêå,
äàëåå íà âåðõíåì îòðåçêå.
Ïîÿâèëèñü äâå íîâûå îáëàñòè,
êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ îòðàæåíèÿìè
îäíîãî èç îáðàçîâ èñõîäíîãî
ìíîãîóãîëüíèêà.
6. Èíñòðóìåíò ïî-ïðåæíåìó àêòèâåí.
Ùåëêíåì íà ïîñëåäíåé ïîñòðîåííîé
îáëàñòè (òîãî æå öâåòà, ÷òî
è îáëàñòü, íàçâàííàÿ íàìè âåðõíåé
ëåâîé) è íà äâóõ îòðåçêàõ.
Òåïåðü èìååì ñåìü ìíîãîóãîëüíèêîâ, êàê íà ðèñóíêå.
Ïîñëå øàãà 6
7. Äâà ðàçà âûáåðåì êîìàíäó
Îòìåíèòü ìåíþ Ïðàâêà. Çàìåòèì,
÷òî êàæäûé ðàç îòìåíÿåòñÿ
äåéñòâèå Äâîéíîå îòðàæåíèå.
59
Âîññòàíîâèì ïðåæíåå ñîñòîÿíèå, âûáðàâ äâà ðàçà êîìàíäó
Âîññòàíîâèòü îòìåíåííîå äåéñòâèå.
8. Ïîòàùèì îäíó èç âåðøèí èñõîäíîãî ìíîãîóãîëüíèêà, ÷òîáû
ïðè ýòîì îöåíèòü ïîâåäåíèå øåñòè îáðàçîâ.
9. Íàéäåì ìíîãîóãîëüíèê, ðàñïîëîæåííûé âáëèçè âåðõíåé
ëåâîé îáëàñòè, è áóäåì ñëåäèòü çà íèì. Ïîòàùèì òî÷êó C
òàê, ÷òîáû óãîë áûë ìåíåå «êðàñèâûì», ÷åì 45° (íàïðèìåð,
48° èëè 83°). Ùåëêíåì íà ìíîãîóãîëüíèêå, çà êîòîðûì
ñëåäèì, è íà îòðåçêàõ AB è BC. Çàòåì â êà÷åñòâå äàííîé
îáëàñòè âîçüìåì ïîñëåäíèé èç ïîñòðîåííûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ
(îäèí èç äâóõ âûäåëåííûõ) è, êîíå÷íî, ùåëêíåì íà îòðåçêàõ.
Ïîäîáíûì îáðàçîì ïðèìåíÿÿ èíñòðóìåíò Äâîéíîå îòðàæåíèå,
ïîñòðîèì 25–30 ìíîãîóãîëü­íèêîâ.
Ýòî äîâîëüíî õèòðîóìíûé øàã. Åñëè âîçíèêàþò êàêèå-òî
ïðåïÿòñòâèÿ, òî ìîæíî, êàê âñåãäà, îáðàòèòüñÿ çà ïîìîùüþ
ê ñòðàíèöå Ïîñëå øàãà 5 íà ÷åðòåæå Urok6.gsp.
Ýêñïåðèìåíòèðóåì ñ óãëîì îòðàæåíèÿ
×òîáû áîëåå òî÷íî
óïðàâëÿòü óãëîì,
íóæíî óäëèíèòü
îòðåçîê, ïîòàùèâ
åãî êîíåö, à çàòåì
íàæèìàòü ñòðåëêè
íà êëàâèàòóðå,
ïîñëåäîâàòåëüíî
ïåðåìåùàÿ êîíåö
îòðåçêà íà îäèí
ïèêñåë.
10.Ïîèãðàåì ñ óãëîì îòðàæåíèÿ. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ íåêîòîðûõ
óãëîâ îáëàñòè ñîâïàäàþò, òî åñòü íàêëàäûâàþòñÿ äðóã íà
äðóãà.  ýòîì ëåãêî óáåäèòüñÿ, çàäàâ, â ÷àñòíîñòè, óãëû 60°,
36°, 30° è 90°.
Ìîæíî ëè ïðåäëîæèòü ãèïîòåçó äëÿ îáúÿñíåíèÿ, ïî÷åìó ïðè
îïðåäåëåííûõ óãëàõ ïðåîáðàçîâàíèå îòðàæåíèÿ èìååò ñòîëü
ñïåöèàëüíûå ñâîéñòâà? Ìîæíî ëè íà îñíîâàíèè ýòîé ãèïîòåçû
ïðåäñêàçàòü, êàêîå êîëè÷åñòâî îáëàñòåé (ñ÷èòàÿ äâå è áîëåå
íàëîæåííûõ îáëàñòåé çà îäíó) ïîëó÷èòñÿ äëÿ çàäàííîãî óãëà?
Îòâåòû íà ýòè âîïðîñû âû íàéäåòå â êîíöå óðîêà.
Øàã 10 äëÿ äâóõ ðàçíûõ óãëîâ
Çàêîí÷èâ èññëåäîâàíèå ïîñòàâëåííûõ âîïðîñîâ, ïðîäîëæèòå
ïîñòðîåíèå êàëåéäîñêîïà.
11.Âîñïîëüçîâàâøèñü êëàâèàòóðíîé êîìáèíàöèåé ýêâèâàëåíòíîé
êîìàíäå Îòìåíèòü (<Ctrl+Z> äëÿ Windows èëè < +Z>
äëÿ Mac), âåðíåìñÿ ê ÷åðòåæó, íà êîòîðîì áûëî ðîâíî ñåìü
îáëàñòåé.
60
12.Óñòàíîâèì óãîë V íàñêîëüêî
âîçìîæíî áëèçêèì ê 60°.
13.Âûáåðåì êîìàíäó Ñïðÿòàòü ìåíþ
Âèä ïî îòíîøåíèþ ê èñõîäíîìó
ìíîãîóãîëüíèêó, ïðåäâàðèòåëüíî
åãî âûäåëèâ. Ïðîùå âñåãî â äàííîì
ñëó÷àå âûäåëèòü îäíó èç åãî âåðøèí
è âûáðàòü êîìàíäó Âûäåëèòü
ïîòîìêîâ ìåíþ Ïðàâêà.
Ãîìîòåòèÿ
 íàñòîÿùèõ
êàëåéäîñêîïàõ
íå èñïîëüçóåòñÿ
ïðåîáðàçîâàíèå
ãîìîòåòèè.
Çäåñü æå ýòî
ïðåîáðàçî­âàíèå
ïîçâîëÿåò ñäåëàòü
êàëåé­äîñêîï
áîëåå èíòåðåñíûì.
Ïîñëå øàãà 13
Êîìàíäà Ãîìîòåòèÿ ñæèìàåò (ðàñòÿãèâàåò) îáúåêòû
â íàïðàâëåíèè îòìå÷åííîãî öåíòðà ñ îïðåäåëåííûì ìàñøòàáíûì
êîýôôèöèåíòîì. Îòðèöàòåëüíîå çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà
ïåðåíîñèò îáðàç ïî äðóãóþ ñòîðîíó îò ïðîîáðàçà îòíîñèòåëüíî
öåíòðà.
14.Äâàæäû ùåëêíåì íà òî÷êå B (ðèñ. ïîñëå øàãà 13), îòìå÷àÿ åå
êàê öåíòð ïðåîáðàçîâàíèÿ.
15.Âûäåëèì òðè îáëàñòè
îäíîãî öâåòà è âûáåðåì
êîìàíäó Ãîìîòåòèÿ
ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ.
Ïîÿâëÿåòñÿ äèàëîãîâîå
îêíî Ãîìîòåòèÿ.
16.Ââåäåì –1/2
â êà÷åñòâå ìàñøòàáíîãî
ìíîæèòåëÿ, êàê
ïîêàçàíî íà ðèñóíêå;
ùåëêíåì íà êíîïêå
Äèàëîãîâîå îêíî Ãîìîòåòèÿ (Windows)
Ãîìîòåòèÿ.
Ïîÿâëÿþòñÿ òðè îáðàçà, êîòîðûå âäâîå ìåíüøå ïðîîáðàçîâ
è ðàñïîëîæåíû íà äðóãîé ñòîðîíå îòíîñèòåëüíî öåíòðà, ÷åì
ïðîîáðàçû.
17.Âûäåëèâ òðè íîâûå îáëàñòè, ïîêðàñèì èõ â äðóãîé öâåò.
Äëÿ ýòîãî âûáåðåì öâåò èç ïîäìåíþ Öâåò ìåíþ Âèä.
18.Ê âûäåëåííûì íîâûì îáëàñòÿì ñíîâà ïðèìåíèì êîìàíäó
Ãîìîòåòèÿ ñ òåì æå êîýôôèöèåíòîì. Îïÿòü èçìåíèì öâåò
âíîâü ïîñòðîåííûõ îáëàñòåé.
61
19.Âûäåëèì äðóãèå òðè îáëàñòè
èç ïåðâîíà÷àëüíûõ øåñòè
è ïîâòîðèì øàãè 15–18.
Òåïåðü èìååòñÿ 18 îáëàñòåé: ïî òðè
îáëàñòè øåñòè ðàçíûõ öâåòîâ, êàê
íà ðèñóíêå.
20.Ïîòàùèì îäíó èëè íåñêîëüêî âåðøèí
èñõîäíîãî ìíîãîóãîëüíèêà
è ïîñìîòðèì, êàê ìåíÿåòñÿ ÷åðòåæ.
Àíèìàöèÿ è îáúåäèíåíèå îáúåêòîâ
Èìååòñÿ
ìíîæåñòâî èíûõ
ïðèëîæåíèé
êîìàíäû Ñâÿçàòü
îáúåêòû ìåíþ
Ïðàâêà, ÷åì
ðàññìàòðèâàåìûå
çäåñü. Íàïðèìåð,
ìîæíî ñâÿçàòü
èçìåðåíèÿ
è íàäïèñè.
 îïðåäåëåííûõ
ñèòóàöèÿõ
ýòó êîìàíäó
çàìåíÿåò êîìàíäà
Îñâîáîäèòü
òîãî æå ìåíþ,
ïðèìåíèâ êîòîðóþ
ìîæíî îñâîáîäèòü
òî÷êó îò åå
òðàåêòîðèè,
òî åñòü ñäåëàòü
íåçàâèñèìîé.
62
Ïîñëå øàãà 19
21.Âûäåëèì ëþáîé ìíîãîóãîëüíèê è âûáåðåì êîìàíäó
Àíèìàöèÿ ìåíþ Âèä.
Òî÷êè, êîòîðûå îïðåäåëÿþò âûäåëåííûé ìíîãîóãîëüíèê — ïÿòü
åãî âåðøèí, ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè òî÷êàìè, òî åñòü òî÷êàìè,
ïîñòðîåííûìè íà ïóñòîì ìåñòå ÷åðòåæà, à íå íà êàêîì-ëèáî
îáúåêòå. Êàê âèäíî, íåçàâèñèìûå òî÷êè, à òàêæå îáúåêòû —
ïîòîìêè ýòèõ òî÷åê äâèæóòñÿ ïðè àíèìàöèè ñëó÷àéíûì îáðàçîì.
Ìîæíî çàñòàâèòü èõ äâèãàòüñÿ áîëåå êîíòðîëèðóåìûì îáðàçîì,
åñëè ïðåäâàðèòåëüíî ïðèñîåäèíèòü èõ ê êàêîé-òî òðàåêòîðèè.
22.Ùåëêíåì íà êíîïêå Ñòîï ïàíåëè óïðàâëåíèÿ äâèæåíèåì
(èëè âûáåðåì êîìàíäó Îñòàíîâèòü àíèìàöèþ ìåíþ Âèä).
23.Âûäåëèì îäíó èç âåðøèí è îäèí èç îòðåçêîâ, ïîñëå ÷åãî
âûáåðåì êîìàíäó Ïîìåñòèòü îáúåêò òî÷êà íà îáúåêò
îòðåçîê ìåíþ Ïðàâêà.
Òî÷êà «ñàäèòñÿ» íà îòðåçîê. Åñëè ïîòàùèòü òî÷êó, òî áóäåò
âèäíî, ÷òî îíà ñòàëà äâèãàòüñÿ âäîëü îòðåçêà — òðàåêòîðèè
åå äâèæåíèÿ.
24.Ïðèìåíèâ òó æå òåõíèêó, ïîìåùàåì
âòîðóþ âåðøèíó íà äðóãîé îòðåçîê.
25.Èíñòðóìåíòîì Öèðêóëü ïîñòðîèì òðè
îêðóæíîñòè ëþáûõ ðàäèóñîâ â ëþáîì
ïóñòîì ìåñòå ÷åðòåæà (âàæíî, ÷òîáû
îêðóæíîñòè íå áûëè ïðèñîåäèíåíû
ê êàêîìó-ëèáî îáúåêòó).
26.Òåïåðü ïîìåñòèì îäíó çà äðóãîé
Ïîñëå øàãà 25
òðè îñòàâøèåñÿ âåðøèíû íà òðè
îêðóæíîñòè.
Èòàê, êàæäàÿ âåðøèíà ïîìåùåíà íà ñîáñòâåííóþ òðàåêòîðèþ,
ïðÿìîëèíåéíóþ èëè êðóãîâóþ.
27.Âûäåëèì ëþáóþ îáëàñòü, çàòåì âûáåðåì êîìàíäó Àíèìàöèÿ.
Êàæäàÿ âåðøèíà äâèæåòñÿ âäîëü ñâîåé òðàåêòîðèè.
28.Äëÿ òîíêîé íàñòðîéêè êàëåéäîñêîïà âîñïîëüçóåìñÿ ïàíåëüþ
óïðàâëåíèÿ äâèæåíèåì. ×òîáû ñêîððåêòèðîâàòü äâèæåíèå
îòäåëüíîé òî÷êè (èçìåíèòü åå ñêîðîñòü èëè íàïðàâëåíèå
äâèæåíèÿ), íóæíî «íàöåëèòüñÿ» íà íåå, òî åñòü âûáðàòü
íà ïàíåëè óïðàâëåíèÿ. Ïîèãðàåì ñêîðîñòÿìè íåñêîëüêèõ
òî÷åê, à òàêæå ðàçìåðàìè è ìåñòîïîëîæåíèåì òðàåêòîðèé.
29.Íàèãðàâøèñü è íàñëàäèâøèñü âèäîì êàëåéäîñêîïà, ñïðÿ÷åì
âñå îáúåêòû, êðîìå ìíîãîóãîëüíèêîâ.
Âîò óäîáíûé è áûñòðûé ñïîñîá äëÿ ýòîãî.
• Îòìåíèòü âûäåëåíèå âñåõ îáúåêòîâ.
• Âûáðàòü èíñòðóìåíò Òî÷êà, à çàòåì — êîìàíäó Âûäåëèòü âñå
òî÷êè ìåíþ Ïðàâêà.
• Âûáðàòü êîìàíäó Ñïðÿòàòü òî÷êè ìåíþ Âèä.
• Ïîâòîðèòü ïîñëåäíèå äâà ïîëøàãà, ñíà÷àëà âûáðàâ
èíñòðóìåíò Öèðêóëü, çàòåì èíñòðóìåíò Îòðåçîê.
Îòâåò íà âîïðîñ, çàäàííûé â øàãå 10. Ìíîãîóãîëüíèêè
íàêëàäûâàþòñÿ äðóã íà äðóãà, åñëè óãîë V óêëàäûâàåòñÿ â êðóãå
öåëîå ÷èñëî ðàç. Êîëè÷åñòâî ìíîãîóãîëüíèêîâ, áåç ó÷åòà ÷èñëà
íàëîæåíèé, ðàâíî ýòîìó öåëîìó ÷èñëó. Íàïðèìåð, äëÿ óãëà 36°
êîëè÷åñòâî ìíîãîóãîëüíèêîâ ðàâíî 10.
63
Óðîê 7. Íåìíîãî àëãåáðû
Íàçâàíèå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà îòðàæàåò òîò ôàêò, ÷òî, ïîìèìî
ñðåäñòâ ãåîìåòðè÷åñêèõ ïîñòðîåíèé, ïðîãðàììà èìååò íàáîð
èíñòðóìåíòîâ, ïîçâîëÿþùèé ðåøàòü àëãåáðàè÷åñêèå
è òðèãîíîìåòðè÷åñêèå çàäà÷è, à òàêæå çàäà÷è ïî êóðñó
ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà — êàê â ñèìâîëüíîì, òàê
è â ãðàôè÷åñêîì âèäå. Ýòîò óðîê çíàêîìèò ñ íåêîòîðûìè
àëãåáðàè÷åñêèìè ïðèìåðàìè.
×òî áóäåì èçó÷àòü
• Êàê çàäàòü äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò è èçìåðèòü
êîîðäèíàòû òî÷êè.
• Êàê îïðåäåëèòü ôóíêöèþ è ïîñòðîèòü åå ãðàôèê.
• Êàê èçîáðàçèòü äâà èçìåðåíèÿ â âèäå (x, y) òî÷êè íà
ïëîñêîñòè.
• Êàê ïîñòðîèòü ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê.
Ñòðîèì ãðàôèê â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ (x, y)
Äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò, èíîãäà íàçûâàåìàÿ
x–y ïëîñêîñòüþ, ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì ñðåäñòâîì âèçóàëèçàöèè
â àëãåáðå. Â ýòîì ïàðàãðàôå îïðåäåëèì êîîðäèíàòíóþ
ïëîñêîñòü, èçìåðèì êîîðäèíàòû òî÷êè è ïîñòðîèì ãðàôèê
ïðîñòîé ôóíêöèè.
1. Îòêðîåì íîâûé ÷åðòåæ è âûáåðåì êîìàíäó Çàäàòü ñèñòåìó
êîîðäèíàò ìåíþ Ãðàôèêè.
Ñîçäàåòñÿ x–y ñèñòåìà êîîðäèíàò ñ êâàäðàòíûìè ÿ÷åéêàìè
ñåòêè è íà÷àëîì â öåíòðå îêíà ÷åðòåæà.
2. Èíñòðóìåíòîì Òî÷êà ïîñòðîèì òî÷êó â ëþáîì ìåñòå, íî âíå
îñåé êîîðäèíàò.
64
Ïîñòðîèòü ãðàôèê
ìîæíî, íå çàäàâàÿ
ïðåäâàðèòåëüíî
ñèñòåìó
êîîðäèíàò. Æèâàÿ
Ìàòåìàòèêà
çàäàåò åå àâòîìàòè­
÷åñêè â íóæíûõ
îáñòîÿòåëüñòâàõ.
Ïðè èçìåíåíèè
ìàñøòàáà
íà øàãå 7, âèäíî,
÷òî îáëàñòü îïðåäå­
ëå­íèÿ ãðàôèêà
îãðà­íè÷åíà. ×òîáû
èçìåíèòü åå, ñëå­
äóåò ïîòàùèòü
ñòðåëêó íà êîíå÷­
íîé òî÷êå ãðàôèêà
èëè âûäåëèòü
ãðàôèê, âûáðàòü
êîìàíäó Ñâîéñòâà,
è çàäàòü ãðàíèöû
îáëàñòè íà ïàíåëè
ñâîéñòâ.
3. Òî÷êà âñå åùå âûäåëåíà,
ïîýòîìó ñðàçó âûáåðåì êîìàíäó
Êîîðäèíàòû ìåíþ Èçìåðåíèÿ.
Íà ýêðàíå ïîÿâëÿþòñÿ èìÿ òî÷êè
è åå êîîðäèíàòû. Êîîðäèíàòû
ìåíÿþòñÿ ïðè ïåðåòàñêèâàíèè
òî÷êè.
 ýòîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y = x.
4. Âûáåðåì êîìàíäó Ïîñòðîèòü
ãðàôèê ôóíêöèè ìåíþ Ãðàôèêè.
Ïîÿâëÿåòñÿ äèàëîãîâîå îêíî Íîâàÿ
ôóíêöèÿ.
5. Ùåëêíåì íà êíîïêå x
Êàëüêóëÿòîðà â äèàëîãîâîì îêíå
Äèàëîãîâîå îêíî Íîâàÿ
ôóíêöèÿ (Windows)
èëè íàáåðåì êëàâèøó <x> íà
êëàâèàòóðå. Ùåëêíåì íà êíîïêå Ãîòîâî.
Íà ýêðàíå ïîÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ f(x) = x è åå ãðàôèê y = x.
6. Âûäåëèì ïîñòðîåííûé ãðàôèê è íåçàâèñèìóþ òî÷êó
(êîîðäèíàòû êîòîðîé èçìåðÿëè ðàíåå). Òåïåðü âûáåðåì
êîìàíäó Ïîìåñòèòü îáúåêò òî÷êà íà îáúåêò ãðàôèê
ôóíêöèè ìåíþ Ïðàâêà.
Òî÷êà «ñàäèòñÿ» íà ãðàôèê ôóíêöèè. Åñëè ïîòàùèòü òî÷êó,
òî áóäåò âèäíî, ÷òî îíà äâèæåòñÿ âäîëü ãðàôèêà, à åå
êîîðäèíàòû îêàçûâàþòñÿ ðàâíûìè äðóã äðóãó (÷òî ñîâñåì
íå óäèâèòåëüíî äëÿ ôóíêöèè y = x).
7. Ïîòàùèâ ÷èñëîâóþ ìåòêó íà îñÿõ êîîðäèíàò èëè òî÷êó (1, 0)
âïðàâî èëè âëåâî, ìû óâèäèì èçìåíåíèå ìàñøòàáà ñèñòåìû
êîîðäèíàò.
Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî ÷èñëà íà îñÿõ êîîðäèíàò àâòîìàòè÷åñêè
ïîäñòðàèâàþòñÿ ïîä èçìåíåíèÿ ñåòêè.
8. Ïåðåòàùèì òî÷êó (1, 0) â íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå òàê, ÷òîáû
âèäèìàÿ íà ýêðàíå îáëàñòü x ïðîñòèðàëàñü îò –10 äî 10.
Èçîáðàæàåì ñåìåéñòâî êðèâûõ
«Ïàðàìåòðîì»
ìû íàçûâàåì ïåðå­
ìåííóþ, êîòîðàÿ
ìîæåò ïðèíèìàòü
ôèêñèðîâàííîå
çíà÷åíèå.
Áåçóñëîâíî âàæíî èìåòü âîçìîæíîñòü ïîñòðîèòü ãðàôèê
ôóíêöèè. Îäíàêî íàñòîÿùàÿ ñèëà Æèâîé Ìàòåìàòèêè
ïðîÿâëÿåòñÿ, êîãäà âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü ïîñòðîèòü ñåìåéñòâî
ôóíêöèé, òèïà ìíîæåñòâà ïðÿìûõ y = mx + b. Íà÷íåì
ñ îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ m è b, çàòåì èñïðàâèì èìåþùóþñÿ
ôóíêöèþ òàê, ÷òîáû îíà ñîäåðæàëà ïàðàìåòðû. Íàêîíåö,
çàïóñòèì àíèìàöèþ ïàðàìåòðîâ è óâèäèì äèíàìè÷åñêîå
ïðåäñòàâëåíèå ñåìåéñòâà ïðÿìûõ.
9. Âûáåðåì êîìàíäó Íîâûé ïàðàìåòð ìåíþ Ãðàôèêè.
 äèàëîãîâîì îêíå ââåäåì m â ïîëå Èìÿ è 2 â ïîëå Çíà÷åíèå.
Ùåëêíåì íà êíîïêå Ãîòîâî (ñì. ðèñ. íà ñ. 66).
10.Àíàëîãè÷íî îïðåäåëèì ïàðàìåòð b ðàâíûé –1.
65
Êîìàíäà
Èçìåíèòü
ôóíêöèþ
çàìåíÿåòñÿ íà
îäíó èç êîìàíä —
Èçìåíèòü
âû÷èñëåíèå,
Èçìåíèòü
ïàðàìåòð,
Èçìåíèòü
êîîðäèíàòû
òî÷êè —
â çàâèñèìîñòè îò
òèïà âûäåëåííîãî
îáúåêòà.
Êëàâèàòóðíàÿ
êîìáèíàöèÿ
< +E> (Mac)
èëè<Ctrl+E>
(Windows)
ýêâèâàëåíòíà ýòîé
êîìàíäå. Äâîéíîé
ùåë÷îê íà îáúåêòå
(êðîìå òî÷êè)
òàêæå âûçûâàåò
ñîîòâåòñòâóþùåå
äèàëîãîâîå îêíî.
66
11.Âûäåëèì îïðåäåëåíèå (íî íå
ãðàôèê) ôóíêöèè f(x) = x
è âûáåðåì êîìàíäó Èçìåíèòü
ôóíêöèþ ìåíþ Ïðàâêà.
Ïîÿâëÿåòñÿ äèàëîãîâîå îêíî
Èçìåíèòü ôóíêöèþ.
12.Òåïåðü îïðåäåëèì ôóíêöèþ òàê:
f(x) = m x + b. ×òîáû ââåñòè
Äèàëîãîâîå îêíî Íîâûé
ïàðàìåòðû m è b, íóæíî ùåëêíóòü
ïàðàìåòð (Windows)
íà íèõ íà ÷åðòåæå. Çíàêîì
óìíîæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ *. Ùåëêíåì
íà êíîïêå Ãîòîâî.
Îäíîâðåìåííî ìîäèôèöèðóþòñÿ ôóíêöèÿ è ãðàôèê. Ïîñëå
ýòîãî ìû èìååì ãðàôèê ôóíêöèè y = 2x – 1, ïîñêîëüêó ìû
ñòðîèëè y = mx + b ïðè m = 2 è b = –1.
13.Èçìåíèì çíà÷åíèÿ m è b, âûçûâàÿ äèàëîãîâîå îêíî äâîéíûì
ùåë÷êîì. Ïîñòðîèì íåñêîëüêî ãðàôèêîâ âèäà y = mx + b,
íàïðèìåð y = 5x + 2, y = –1x – 7, y = 0.5x.
Êîíå÷íî, ìíîãîå ìîæíî óçíàòü ìåíÿÿ ïàðàìåòðû âðó÷íóþ, êàê
â ïðåäûäóùåì øàãå. Îäíàêî ãîðàçäî áîëüøå èíôîðìàöèè óäàåòñÿ
ïîëó÷èòü ïðè àâòîìàòè÷åñêîì (íåïðåðûâíîì èëè ñòóïåí÷àòîì)
èçìåíåíèè ïàðàìåòðà.
14.Îòìåíèì âûäåëåíèå âñåõ îáúåêòîâ. Çàòåì âûäåëèì ïàðàìåòð
m è âûáåðåì êîìàíäó Àíèìàöèÿ (ïàðàìåòð) ìåíþ Âèä.
Çíà÷åíèå m óâåëè÷èâàåòñÿ («äâèæåòñÿ»), è îäíîâðåìåííî
ìåíÿåòñÿ ãðàôèê ôóíêöèè. Ïðè ýòîì ïîÿâëÿåòñÿ ïàíåëü
óïðàâëåíèÿ äâèæåíèåì, êîòîðîé óäîáíî âîñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ
èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè è íàïðàâëåíèÿ èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà.
(Íàïîìèíàåì, ÷òî îáçîð ôóíêöèé êíîïîê ïàíåëè íàõîäèòñÿ
íà ñ. 41.)
15.Íàæàâ íà êíîïêó Ñòîï, îñòàíîâèì àíèìàöèþ.
16.Âûäåëèì ïàðàìåòð m
è âûáåðåì êîìàíäó
Ñâîéñòâà ìåíþ Ïðàâêà.
Íà ïàíåëè Ñâîéñòâà
èçìåíèì óñòàíîâêè òàê,
êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå,
è íàæìåì êíîïêó OK.
17.Ñíîâà âûáåðåì êîìàíäó
Àíèìàöèÿ (ïàðàìåòð).
×åì îòëè÷àåòñÿ íîâûé
âàðèàíò èçìåíåíèÿ
ïàðàìåòðà
Äèàëîãîâîå îêíî Ñâîéñòâà ïàðàìåòðà
îò ïðåäûäóùåãî?
(Windows)
18.Ïðîäîëæàåì
ýêñïåðèìåíòèðîâàòü ñ àíèìàöèåé ïàðàìåòðîâ. Ïîïðîáóåì
îäíîâðåìåííî èçìåíåíÿòü îáà ïàðàìåòðà, ïîïðîáóåì òàêæå
ñëåäèòü (êîìàíäà Îñòàâëÿòü ñëåä ìåíþ Âèä) çà ãðàôèêîì.
Èññëåäóåì ôóíêöèè, çàâèñÿùèå îò ðàäèóñà îêðóæíîñòè
Çàâèñèìîñòü äëèíû îêðóæíîñòè è ïëîùàäè êðóãà îò ðàäèóñà —
ïðèìåðû ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèé, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò
ñîáîé ôóíêöèè è ïîýòîìó ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ ñ
àëãåáðàè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ.
×òîáû âûáðàòü
èíñòðóìåíò Ëó÷,
ñëåäóåò íàæàòü
êëàâèøó íà
çíà÷êå Ëèíåéêà
(êàêîé áû
èíñòðóìåíò
íè áûë îòîáðàæåí
íà íåé)
è ïðîòàùèòü
ìûøü äî
èçîáðàæåíèÿ
íóæíîãî
èíñòðóìåíòà,
à çàòåì îòïóñòèòü
êëàâèøó.
Âî âñåõ ñëó÷àÿõ,
÷òîáû âûáðàòü
êîìàíäó ìåíþ
Èçìåðåíèÿ, íàäî
âûäåëèòü òîëüêî
îêðóæíîñòü
(è íè÷åãî áîëåå).
 ïðÿìîóãîëüíîé
ñèñòåìå
êîîðäèíàò îñè
ìîãóò èìåòü
íåçàâèñèìûå
ìàñøòàáû.
 ëþáîé ìîìåíò
ñëåäû ñòèðàþòñÿ
ïðè âûïîëíåíèè
êîìàíäû Ñòåðåòü
ñëåäû ìåíþ Âèä.
Íà÷íåì ñ ïîñòðîåíèÿ îêðóæíîñòè, ðàäèóñ êîòîðîé ïðèíèìàåò
âñåâîçìîæíûå çíà÷åíèÿ.
19.Ïðè ïîìîùè èíñòðóìåíòà Ëó÷ ïîñòðîèì íà íîâîì ÷åðòåæå
ãîðèçîíòàëüíûé ëó÷.
Ïðîâåñòè ëó÷ ãîðèçîíòàëüíî ëåã÷å, óäåðæèâàÿ êëàâèøó <Shift>.
20.Ïîñêîëüêó ëó÷ âñå åùå âûäåëåí, âûáåðåì êîìàíäó Ïîìåñòèòü
íîâóþ òî÷êó íà îáúåêò ëó÷ ìåíþ Ïîñòðîåíèÿ.
 êàêîì-òî ìåñòå íà ëó÷å ïîñòðîåíà òî÷êà. Òî÷êó ìîæíî áûëî
áû ïîñòðîèòü, ùåëêíóâ íà ëó÷å (íåçàâèñèìî îò òîãî, âûäåëåí
ëè îí) èíñòðóìåíòîì Òî÷êà.
21.Îòìåíèì âûäåëåíèå âñåõ îáúåêòîâ.
Òåïåðü âûäåëèì íà÷àëî ëó÷à è çàòåì
ïîñòðîåííóþ íà øàãå 20 òî÷êó. Âûáåðåì
êîìàíäó Îêðóæíîñòü ïî öåíòðó è òî÷êå
ìåíþ Ïîñòðîåíèÿ.
Ïîñòðîåíà îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â
Øàã 21
ïåðâîé âûäåëåííîé òî÷êå è ïðîõîäÿùàÿ
÷åðåç âòîðóþ.
(Çàìåòèì, ÷òî ïîñòðîåííóþ íà øàãàõ 20 è 21 êîíñòðóêöèþ
ìîæíî áûëî áû ñîçäàòü èíñòðóìåíòîì Öèðêóëü).
22.Èçìåðèì ðàäèóñ îêðóæíîñòè, åå äëèíó è ïëîùàäü êðóãà.
23.Ïîòàùèì òî÷êó, êîòîðàÿ çàäàåò ðàäèóñ îêðóæíîñòè,
è ïîíàáëþäàåì çà èçìåíåíèÿìè èçìåðåíèé.
Êàê èçìåíÿþòñÿ äëèíà îêðóæíîñòè è ïëîùàäü êðóãà?  ÷åì
ðàçëè÷èå ìåæäó íèìè? Èññëåäóåì ýòè âîïðîñû ãðàôè÷åñêè.
24.Âûäåëèì èçìåðåíèå ðàäèóñà, çàòåì èçìåðåíèå äëèíû
îêðóæíîñòè. Âûáåðåì êîìàíäó Ïîñòðîèòü òî÷êó (x, y) ìåíþ
Ãðàôèêè.
Ñîçäàåòñÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò è ñòðîèòñÿ òî÷êà. Åñëè òî÷êà
íå âèäíà, òî, ñêîðåå âñåãî, îíà íàõîäèòñÿ âíå âèäèìîé
îáëàñòè ýêðàíà.
25.Âûáåðåì Ïðÿìîóãîëüíóþ ñåòêó èç ïîäìåíþ Ôîðìà ñåòêè
ìåíþ Ãðàôèêè. Ïîòàùèì âíèç íîâóþ åäèíè÷íóþ òî÷êó (0, 1),
ïîêà íå ïîÿâèòñÿ òî÷êà, ïîñòðîåííàÿ íà øàãå 24.
ßñíî, ÷òî x-êîîðäèíàòà — ýòî ðàäèóñ îêðóæíîñòè,
à y-êîîðäèíàòà — äëèíà îêðóæíîñòè. Èìåííî òàêèì áûëî
ïîñòðîåíèå íà øàãå 24.
26.Âûäåëèì ïîñòðîåííóþ òî÷êó è âûáåðåì êîìàíäó Îñòàâëÿòü
ñëåä ìåíþ Âèä. Ïîòàùèì òî÷êó, êîòîðàÿ çàäàåò ðàäèóñ
îêðóæíîñòè, è óâèäèì ñëåä ïîñòðîåííîé òî÷êè ñ çàäàííûìè
êîîðäèíàòàìè.
67
Áîëåå òî÷íî, ÃÌÒ
â ïðîãðàììå —
ýòî íåêîòîðîå
÷èñëî ïîëîæåíèé
âåäîìîãî îáúåêòà.
×òîáû èçìåíèòü
ýòî ÷èñëî, íóæíî
âûäåëèòü ÃÌÒ
è âûáðàòü êîìàíäó
Ñâîéñòâà ìåíþ
Ïðàâêà.
Íàæàâ íà
ïåðåêëþ÷àòåëü
Ïàðàìåòð
íà âêëàäêå
Ãåîìåòðè÷åñêîå
ìåñòî òî÷åê çàäàòü
×èñëî äèñêðåòíûõ
ïîëîæåíèé.
 ïîäîáíûõ ñëó÷àÿõ (êîãäà îòñëåæèâàåòñÿ îáúåêò ïðè äâèæåíèè
íåêîòîðîé òî÷êè âäîëü òðàåêòîðèè) ìîæíî ïîëó÷èòü áîëåå
òî÷íóþ êàðòèíó, ñîçäàâ îáúåêò — ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê
(ÃÌÒ).
27.Âûäåëèì ïîñòðîåííóþ òî÷êó è òî÷êó, êîòîðàÿ çàäàåò ðàäèóñ
îêðóæíîñòè, à çàòåì âûáåðåì êîìàíäó Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî
òî÷åê ìåíþ Ïîñòðîåíèÿ.
Ñîçäàåòñÿ ÃÌÒ — ìíîæåñòâî âñåâîçìîæíûõ ïîëîæåíèé
âåäîìîãî îáúåêòà (ïîñòðîåííîé òî÷êè) ïðè äâèæåíèè
âåäóùåãî îáúåêòà
(òî÷êè, çàäàþùåé
ðàäèóñ).
28.Îñòàëîñü ïîâòîðèòü
øàãè 24 è 27, âçÿâ íà
ýòîò ðàç ïëîùàäü
êðóãà âìåñòî äëèíû
îêðóæíîñòè.
Èìååì äâà ÃÌÒ. Êàê
âåäóò ñåáÿ ýòè êðèâûå?
Êàêàÿ âåëè÷èíà ðàñòåò
áûñòðåå è ïî÷åìó?
Ýòî áûë ëèøü íåáîëüøîé ïðèìåð àëãåáðàè÷åñêîãî èññëåäîâàíèÿ
â ïðîãðàììå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà. Ãëàâà «Ìåíþ Ãðàôèêè»
Ñïðàâî÷íîé ñèñòåìû (ìåíþ Ñïðàâêà) ñîäåðæèò äîïîëíèòåëüíûå
ñâåäåíèÿ îá àëãåáðàè÷åñêèõ âîçìîæíîñòÿõ ïðîãðàììû.
68
Óðîê 8. Èòåðàöèè
Èòåðàöèè —
ìîùíûé è ñëîæíûé
ìàòåìàòè÷åñêèé
èíñòðóìåíò.
Íå îãîð÷àéòåñü,
åñëè íå âñå
ñòàíåò àáñîëþòíî
ÿñíî ïðè ïåðâîé
âñòðå÷å. Áóäåì
íàäåÿòüñÿ, ÷òî,
ïðîéäÿ ýòîò óðîê,
âû ïðîäîëæèòå
çíàêîìñòâî, áóäåòå
ñàìîñòîÿòåëüíî
ýêñïåðèìåíòèðîâàòü
è ñòàíåòå
÷óâñòâîâàòü ñåáÿ
âñå áîëåå óâåðåííî
â ïðèìåíåíèè
èòåðàöèé.
Ïðèìåíåíèå èòåðàöèè äàåò âîçìîæíîñòü ìíîãîêðàòíî
âîñïðîèçâîäèòü êîíñòðóêöèè èëè ïðåîáðàçîâàíèÿ. Èòåðàöèÿ
ïîçâîëÿåò íå òîëüêî ýêîíîìèòü âðåìÿ ïîñòðîåíèÿ êîíñòðóêöèè
ñ ïîâòîðÿþùèìèñÿ ýëåìåíòàìè, íî è ñîçäàâàòü ñëîæíûå
êîíñòðóêöèè, òèïà ôðàêòàëîâ. Ãðóáî ãîâîðÿ, ôðàêòàë — ýòî
ôèãóðà, êîòîðàÿ âûãëÿäèò íåèçìåííî ïðè ëþáîì óâåëè÷åíèè.
Èíûìè ñëîâàìè, ëþáàÿ ÷àñòü ôèãóðû ïîäîáíà âñåé ôèãóðå.
Íà÷íåì ñ ïîñòðîåíèÿ, êîòîðîå âêëþ÷àåò â ñåáÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ
ãîìîòåòèè è ïîâîðîòà. Ïîòîì, ïðèìåíÿÿ êîìàíäó Èòåðàöèè,
áóäåì ñòðîèòü âñå áîëåå ìåëêèå ÷àñòè ôèãóðû ïðè ïîìîùè
îäíîé è òîé æå êîíñòðóêöèè.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ôðàêòàë,
íàçûâàåìûé êðèâîé Êîõà. Çàòåì, ïðèìåíèâ äðóãîé
èòåðàöèîííûé ïðîöåññ, ïîñòðîèì âíóòðåííþþ îáëàñòü ýòîé
êðèâîé. Ïîëó÷åííóþ ôèãóðó ïðåîáðàçóåì â èíñòðóìåíò
ïîëüçîâàòåëÿ, êîòîðûé, áóäó÷è ïðèìåíåí ê âåðøèíàì
ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà, ñîçäàñò êðàñèâóþ êîíñòðóêöèþ —
ñíåæèíêó Êîõà.
×òî áóäåì èçó÷àòü
• Êàê âîñïîëüçîâàòüñÿ êîìàíäîé Èòåðàöèè.
• Êàê óïðàâëÿòü ïîÿâëåíèåì íà ýêðàíå îáðàçîâ èòåðàöèîííîãî
ïðîöåññà.
• Êàê èçìåíèòü ãëóáèíó èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà.
• Êàê ïîìåíÿòü öâåò ôîíà ÷åðòåæà.
69
×òî òàêîå êðèâàÿ Êîõà
Ïðåæäå âñåãî ïîïûòàåìñÿ ïîíÿòü, ÷òî òàêîå êðèâàÿ Êîõà è êàê
îíà óñòðîåíà. Âïåðâûå ýòà êðèâàÿ áûëà îïèñàíà Êîõîì (Helge
von Koch) â 1904 ãîäó, çàäîëãî äî òîãî âðåìåíè, êîãäà ïîÿâèëñÿ
ðàçäåë ìàòåìàòèêè, íàçûâàåìûé ôðàêòàëüíîé ãåîìåòðèåé.
Êîõ èçó÷àë êðèâóþ, òåïåðü íîñÿùóþ åãî èìÿ, ÷òîáû ïîêàçàòü,
÷òî êðèâàÿ, êîòîðàÿ íå âûõîäèò çà ïðåäåëû êîíå÷íîé îáëàñòè
ïðîñòðàíñòâà, ìîæåò èìåòü áåñêîíå÷íóþ äëèíó. Âîò êàê îí ýòî
äåëàë.
• Íà÷èíàåòñÿ ñ ïîñòðîåíèÿ äâóõ òî÷åê.
• Ìåæäó òî÷êàìè ñòðîèòñÿ îòðåçîê,
êîòîðûé äåëèòñÿ íà òðè ðàâíûå ÷àñòè.
Ìàòåìàòè÷åñêè
âûðàæåíèå
«ñäåëàòü òî
æå ñàìîå»
ýêâèâàëåíòíî
òåðìèíó èòåðàöèè.
×åòâåðòàÿ
ôèãóðà íà
ðèñóíêå ÿâëÿåòñÿ
ïåðâûì îáðàçîì
èòåðàöèîííîãî
ïðîöåññà.
• Ñðåäíÿÿ ÷àñòü óäàëÿåòñÿ, íàä
óäàëåííîé ÷àñòüþ ñòðîÿòñÿ ñòîðîíû
ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà.
• Îïèñàííûé ïðîöåññ ïîâòîðÿåòñÿ
ïðèìåíèòåëüíî ê êàæäîìó èç ÷åòûðåõ
ìåíüøèõ îòðåçêîâ.
• Ïîñòðîåíèå ïðèìåíÿåòñÿ (àíàëîãè÷íûì
îáðàçîì) êî âñå ìåíüøèì è ìåíüøèì
îòðåçêàì (òåîðåòè÷åñêè —
äî áåñêîíå÷íîñòè).
Âîò êàê ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò äåìîíñòðèðóåò, ÷òî êðèâàÿ
â êîíå÷íîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà ìîæåò èìåòü áåñêîíå÷íóþ
äëèíó. Íà êàæäîì øàãå ïîñòðîåíèÿ äëèíà êðèâîé áîëüøå, ÷åì
íà ïðåäûäóùåì (èíòåðåñíî, âî ñêîëüêî ðàç?). Åñëè ïðîöåññ
ïîâòîðÿåòñÿ áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç, òî êðèâàÿ îñòàåòñÿ
çàêëþ÷åííîé â êîíå÷íîé îáëàñòè, à åå äëèíà ñòàíîâèòñÿ
íåîãðàíè÷åííî áîëüøîé.
Ðàçóìååòñÿ, Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà íå â ñîñòîÿíèè ïîñòðîèòü
áåñêîíå÷íîå ÷èñëî èòåðàöèé, íî èõ ìîæåò áûòü äîñòàòî÷íî
ìíîãî, ÷òîáû ïðîÿñíèòü ñòðóêòóðó êðèâîé Êîõà è äðóãèõ
ôðàêòàëîâ. Íà ýòîì óðîêå ïîïðîáóåì çàäàâàòü ðàçíóþ ãëóáèíó
èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà. Ìû óâèäèì, ÷òî íå î÷åíü áîëüøàÿ
ãëóáèíà ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü äîñòàòî÷íî òî÷íîå ïðèáëèæåíèå
ê êðèâîé Êîõà.
70
Îïðåäåëÿåì ïðîîáðàç è îáðàç
 ïåðâóþ î÷åðåäü ïðè ïîñòðîåíèè èòåðàöèé ñëåäóåò
ñêîíñòðóèðîâàòü îñíîâíûå îïåðàöèè, êîòîðûå äîëæíû
ïîâòîðÿòüñÿ.  äàííîì ñëó÷àå îñíîâíûìè îïåðàöèÿìè ÿâëÿþòñÿ:
äåëåíèå îòðåçêà íà òðè ÷àñòè è ïîñòðîåíèå ðàâíîñòîðîííåãî
òðåóãîëüíèêà íàä ñðåäíåé ÷àñòüþ.
1. Íà íîâîì ÷åðòåæå âûáåðåì êîìàíäó Íàñòðîéêè/Åäèíèöû
ìåíþ Ïðàâêà. Íà âêëàäêå Òåêñò âûáåðåì îïöèþ Ïîêàçûâàòü
èìåíà âñåõ íîâûõ òî÷åê. Íàæìåì êíîïêó OK.
Òåïåðü èìåíà âñåõ âíîâü ñîçäàâàåìûõ òî÷åê àâòîìàòè÷åñêè
îòîáðàæàþòñÿ íà ýêðàíå.
2. Èíñòðóìåíòîì Îòðåçîê ïîñòðîèì
(óäåðæèâàÿ êëàâèøó <Shift>)
Ïîñëå øàãà 2
ãîðèçîíòàëüíûé îòðåçîê ñëåâà íàïðàâî.
3. Âûäåëèì òî÷êó B è âûáåðåì êîìàíäó
Îòìåòèòü öåíòð ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ.
4. Âûäåëèì òî÷êó A è âûáåðåì
êîìàíäó Ãîìîòåòèÿ ìåíþ
Ïðåîáðàçîâàíèÿ. Â äèàëîãîâîì
îêíå îñòàâèì ÷èñëèòåëü
ðàâíûì 1, à çíàìåíàòåëü
óñòàíîâèì ðàâíûì 3. Ùåëêíåì
íà êíîïêå Ãîìîòåòèÿ.
Ïîñòðîåíà òî÷êà íà ðàññòîÿíèè
Äèàëîãîâîå îêíî Ãîìîòåòèÿ (Windows)
1/3 îò òî÷êè B äî òî÷êè A.
5. Ïîâòîðèì øàãè 3 è 4,
íî íà ýòîò ðàç ïðîèçâåäåì
ïðåîáðàçîâàíèå ãîìîòåòèè
òî÷êè B ñ öåíòðîì â òî÷êå A.
Ïîñëå øàãà 5
6. Äâîéíûì ùåë÷êîì îòìåòèì
òî÷êó B' êàê öåíòð.
7. Âûäåëèì òî÷êó A' è âûáåðåì
êîìàíäó Ïîâåðíóòü ìåíþ
Ïðåîáðàçîâàíèÿ. Â äèàëîãîâîì
îêíå óñòàíîâèì óãîë, êàê
íà ðèñóíêå. Íàæìåì êíîïêó
Ïîâåðíóòü.
Ïîÿâëÿåòñÿ òî÷êà — îáðàç
ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîâîðîòà.
Äèàëîãîâîå îêíî Ïîâîðîò (Windows)
8. Ñïðÿ÷åì èñõîäíûé îòðåçîê.
9. Èíñòðóìåíòîì Îòðåçîê ñîåäèíèì
ïÿòü òî÷åê òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå.
10.Ïåðåèìåíóåì òðè ñðåäíèå òî÷êè,
êàê íà ðèñóíêå. ×òîáû èçìåíèòü èìÿ,
íóæíî äâàæäû ùåëêíóòü íà èìåíè
èíñòðóìåíòîì Ñòðåëêà èëè
èíñòðóìåíòîì Òåêñò.
Ïîñëå øàãà 10
71
Èòåðàöèè
Íåìíîãî ïîäóìàåì î òîì, ÷òî «ñäåëàíî» ñ òî÷êàìè A è B.
Ñíà÷àëà áûë ïîñòðîåí îòðåçîê ìåæäó íèìè, çàòåì ñäåëàíû
íåêîòîðûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, à ñàì îòðåçîê áûë ñïðÿòàí. Òåïåðü
âîîáðàçèì, ÷òî òî æå ñàìîå «äåëàåòñÿ» ñ ïàðàìè òî÷åê: A
è C, C è D, D è E, E è B. Èìåííî ýòî ìû áóäåì ñåé÷àñ äåëàòü.
Ïðåäñòàâëÿåòñÿ, ÷òî òàêîé âçãëÿä ïîìîæåò ïîíÿòü ëîãèêó
ïîñòðîåíèÿ.
11.Âûäåëèì òî÷êè A è B è âûáåðåì êîìàíäó Èòåðàöèè ìåíþ
Ïðåîáðàçîâàíèÿ.
Ïîÿâëÿåòñÿ äèàëîãîâîå îêíî Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ, â êîòîðîì
ïðåäëàãàåòñÿ óñòàíîâèòü ñîîòâåòñòâèå ñ ïðîîáðàçàìè A è B.
Øàã 12. Ùåë÷îê íà òî÷êå A îòîáðàæàåò åå íà ñåáÿ
Ýêâèâàëåíòîì
îïöèè
Äîáàâèòü íîâîå
îòîáðàæåíèå
ÿâëÿåòñÿ
êîìáèíàöèÿ
êëàâèø
< +A> (Mac OS)
èëè <Ctrl+A>
(Windows).
72
12.Ìû õîòèì, ÷òîáû «ñäåëàííîå» ñ òî÷êàìè A è B, áûëî áû
âîñïðîèçâåäåíî («ñäåëàíî») ñ òî÷êàìè A è C. Ïîýòîìó,
ùåëêíóâ íà òî÷êå A íà ÷åðòåæå, îòîáðàæàåì òî÷êó A íà ñåáÿ.
Çàòåì ùåëêíåì íà òî÷êå C, ÷òîáû îòîáðàçèòü òî÷êó B
íà òî÷êó C.
 êîëîíêå 1-ÿ èòåðàöèÿ äèàëîãîâîãî îêíà Èòåðàöèè äîëæíû
áûòü èìåíà A è C.
13.Âûáåðåì îïöèþ Äîáàâèòü íîâîå îòîáðàæåíèå
èç ðàñêðûâàþùåãîñÿ ìåíþ Ñòðóêòóðà â äèàëîãîâîì îêíå
Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ.
Ïîÿâëÿåòñÿ êîëîíêà âòîðîãî îòîáðàæåíèÿ (Îòîáðàæ. ¹2),
â êîòîðîé íóæíî óêàçàòü íîâûå òî÷êè — îáðàçû òî÷åê A è B.
14.Íà ýòîò ðàç ùåëêíåì ïî î÷åðåäè íà òî÷êàõ C è D, ÷òîáû îíè
ñûãðàëè ðîëè A è B, ñîîòâåòñòâåíî.
15.Ïîâòîðèì øàãè 13 è 14 äëÿ òî÷åê D è E, à çàòåì äëÿ òî÷åê
E è B.
Ïî÷òè âñå ãîòîâî, ÷òîáû âûïîëíèòü èòåðàöèè. Çàìåòèì òîëüêî,
÷òî áîëüøèé îòðåçîê ìû íå ïðÿòàëè ïðè ïåðåõîäå ñ îäíîãî
óðîâíÿ èòåðàöèè íà äðóãîé. Ñäåëàåì ýòî íåìíîãî ïîçæå.
(Åñëè âû íå âïîëíå ïîíèìàåòå, î ÷åì èäåò ðå÷ü, òî ïðîäåëàéòå
ñëåäóþùèé øàã è ïîñìîòðèòå, ÷òî ïðîèñõîäèò íà ÷åðòåæå.)
16.Âûáåðåì îïöèþ Ïîêàçàòü îáðàçû òîëüêî ïîñëåäíåé
èòåðàöèè èç ðàñêðûâàþùåãîñÿ ìåíþ Ïàðàìåòðû äèàëîãîâîãî
îêíà Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ.
17.Åñëè äèàëîãîâîå îêíî âûãëÿäèò, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå,
íàæìåì êíîïêó Âûïîëíèòü.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñëåäóåò
íàæàòü ÿ÷åéêó ñ îøèáî÷íîé çàïèñüþ è ùåëêíóòü íà
ïðàâèëüíîé òî÷êå.
18.Ñïðÿ÷åì ÷åòûðå èñõîäíûõ îòðåçêà.
Èòàê, ïîñòðîåí ôðàêòàë — êðèâàÿ Êîõà. Áîëåå òî÷íî, ïîñòðîåíî
êîíå÷íîå ÷èñëî èòåðàöèé — ïðèáëèæåíèå ê êðèâîé Êîõà.
Ïîòàùèòå òî÷êè A è B, ÷òîáû ëó÷øå ðàññìîòðåòü êîíñòðóêöèþ.
Ãëóáèíà èòåðàöèè, öâåò ôîíà
è âûâîä âñåõ îáðàçîâ
Óâåëè÷èòü
(óìåíüøèòü)
÷èñëî èòåðàöèé,
ìîæíî ïîëüçóÿñü
êëàâèøàìè <+>
(<–>).
Ïî óìîë÷àíèþ ïðîãðàììà ñòðîèò òðè øàãà èòåðàöèîííîãî
ïðîöåññà. Ìîæíî èçìåíèòü ÷èñëî èòåðàöèé, èëè ãëóáèíó
èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà, òåì ñàìûì ìåíÿÿ êðèâóþ.
19.Âûäåëèì ëþáóþ ÷àñòü èòåðàöèîííîãî îáðàçà è íàæìåì
êëàâèøó <+> èëè <–> íà êëàâèàòóðå.
×èñëî èòåðàöèé óâåëè÷èâàåòñÿ èëè óìåíüøàåòñÿ.
20.Ñíîâà óñòàíîâèì ãëóáèíó èòåðàöèè ðàâíóþ 3. Ïðîùå âñåãî
ñäåëàòü ýòî òàê: íàæèìàòü êëàâèøó <–> äî òåõ ïîð, ïîêà
ãëóáèíà èòåðàöèè íå ïåðåñòàíåò ìåíÿòüñÿ, òî åñòü
äî ãëóáèíû 1, à ïîòîì íàæàòü <+> äâà ðàçà.
Ìû ñîáèðàåìñÿ ñäåëàòü ñíåæèíêó, ïîýòîìó óñòàíîâèì ãîëóáîé
öâåò ôîíà.
73
21.Âûáåðåì êîìàíäó Íàñòðîéêè/Åäèíèöû è â äèàëîãîâîì îêíå
îòêðîåì ïàíåëü Öâåò. Çàòåì ùåëêíåì íà ÿ÷åéêå Ôîí
è óñòàíîâèì íåáåñíî-ãîëóáîé öâåò ïðè ïîìîùè Êîíñòðóêòîðà
öâåòà. Ùåëêíåì íà êíîïêå Ãîòîâî (OK).
Òåïåðü ñîçäàäèì âòîðîé îáðàç èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà —
âíóòðåííîñòü ìíîãîóãîëüíèêà áåëîãî öâåòà — ñîáñòâåííî
ñíåæèíêó.
22.Âûäåëèì òî÷êè C, D è E
è âûáåðåì êîìàíäó Âíóòðåííÿÿ
îáëàñòü ìåíþ Ïîñòðîåíèÿ.
23.Âíóòðåííîñòü âûäåëåíà, ïîýòîìó,
âûáðàâ êîìàíäó Öâåò ìåíþ Âèä,
Øàã 22
îòêðûâàåì Êîíñòðóêòîð öâåòà
è óñòàíàâëèâàåì áåëûé öâåò.
Ùåëêàåì íà êíîïêå Ãîòîâî.
24.Ñíîâà ïðîõîäèì øàãè 11–15. (Íà øàãå 16 ìû âûáðàëè
îïöèþ Ïîêàçàòü îáðàçû òîëüêî ïîñëåäíåé èòåðàöèè
èç ðàñêðûâàþùåãîñÿ ìåíþ Ïàðàìåòðû äèàëîãîâîãî îêíà
Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ. Òåïåðü ìû âûáèðàåì îïöèþ Ïîêàçàòü
îáðàçû âñåõ ïðîìåæóòî÷íûõ èòåðàöèé.) Ùåëêíåì íà
êíîïêå Âûïîëíèòü.
25.Ïîïûòàåìñÿ óâåëè÷èâàòü è óìåíüøàòü ãëóáèíó îáîèõ
èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ (äëÿ êðèâîé è âíóòðåííîñòè)
îäíîâðåìåííî. Äëÿ ýòîãî íóæíî âûäåëèòü âñå è íàæèìàòü
êëàâèøè <+> è <–>, êàê íà øàãå 19.
26.Ñïðÿ÷åì òî÷êè C, D è E.
Ñíåæèíêà Êîõà
×òîáû ðàçãëÿäåòü
íîâóþ òî÷êó —
îáðàç ïðè ïîâîðîòå,
âîçìîæíî,
ïîòðåáóåòñÿ
ïðîêðóòèòü ýêðàí
èëè óâåëè÷èòü
ðàçìåð ÷åðòåæà.
×òî ïðîèçîéäåò,
åñëè ùåëêàòü íà
òî÷êàõ â îáðàòíîì
îïèñàííîìó íà
øàãå 31 ïîðÿäêå?
Ïîïðîáóéòå.
74
Òåïåðü ñîâñåì íåñëîæíî ïîñòðîèòü êðàñèâóþ ôèãóðó, êîòîðàÿ
íàçûâàåòñÿ ñíåæèíêîé Êîõà. Äëÿ ýòîãî ñîçäàåòñÿ èíñòðóìåíò
ïîñòðîåíèÿ ôèãóðû, êîòîðàÿ áûëà ñäåëàíà «âðó÷íóþ». Çàòåì
ñòðîèòñÿ ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê è ïðèìåíÿåòñÿ íîâûé
èíñòðóìåíò.
27.Âûáåðåì êîìàíäó Âûäåëèòü âñå ìåíþ Ïðàâêà.
28.Âûáåðåì êîìàíäó Ñîçäàòü íîâûé èíñòðóìåíò, ùåëêíóâ
íà çíà÷êå Èíñòðóìåíòû ïîëüçîâàòåëÿ èç íàáîðà èíñòðóìåíòîâ.
 äèàëîãîâîì îêíå Ñîçäàòü íîâûé èíñòðóìåíò ââåäåì èìÿ
Ñíåæèíêà. Ùåëêíåì íà êíîïêå Ãîòîâî.
29.Ïîâåðíåì òî÷êó A íà 60° âîêðóã òî÷êè B. Äâîéíûì ùåë÷êîì
íà òî÷êå B îòìå÷àåì åå êàê öåíòð, âûäåëÿåì òî÷êó A
è âûáèðàåì êîìàíäó Ïîâåðíóòü ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ.
Çíà÷åíèå óãëà äîëæíî áûòü ðàâíûì 60°. Ùåëêíåì íà êíîïêå
Ïîâåðíóòü.
30.Ïîñòðîèì âíóòðåííîñòü òðåóãîëüíèêà ïî òðåì òî÷êàì: A, B
è îáðàçó ïðè ïîâîðîòå.
(Íà øàãå 22 äåëàëîñü òî æå ñàìîå.)
31.Ïðèìåíèì èíñòðóìåíò Ñíåæèíêà ê äâóì äðóãèì ñòîðîíàì
òðåóãîëüíèêà, äëÿ ÷åãî, âûáðàâ ýòîò èíñòðóìåíò èç ìåíþ
Èíñòðóìåíòû ïîëüçîâàòåëÿ, ùåëêíåì ïî î÷åðåäè
íà òî÷êàõ B è A', à çàòåì — íà òî÷êàõ A' è A.
32.Ñïðÿ÷åì âñå òî÷êè è ñîõðàíèì ÷åðòåæ.
Âñå óðîêè ïðîéäåíû, çàäàíèÿ âûïîëíåíû. Òåïåðü ìîæíî
íåìíîãî îòäîõíóòü, à çàòåì ïåðåéòè ê ñàìîñòîÿòåëüíûì
èññëåäîâàíèÿì.
75
Ïðèëîæåíèå. Îáçîð êîìàíä
Çäåñü îïèñûâàåòñÿ ñîäåðæàíèå âñåõ êîìàíä ìåíþ Æèâîé
Ìàòåìàòèêè. Áîëåå ïîäðîáíóþ èíôîðìàöèþ ìîæíî íàéòè
â ñïðàâî÷íîé ñèñòåìå (ìåíþ Ñïðàâêà).
Ìåíþ Ôàéë
Íîâûé ÷åðòåæ
Îòêðûâàåò íîâûé ïóñòîé äîêóìåíò
Îòêðûòü
Îòêðûâàåò îäèí èëè íåñêîëüêî ðàíåå
ñîõðàíåííûõ äîêóìåíòîâ.
Ñîõðàíèòü
Ñîõðàíÿåò àêòèâíûé äîêóìåíò
ñ èçìåíåíèÿìè, ñäåëàííûìè ïîñëå òîãî,
êàê îí áûë îòêðûò.
Ñîõðàíèòü êàê…
Ïðèñâàèâàåò èìÿ è ñîõðàíÿåò àêòèâíûé
äîêóìåíò â óêàçàííîì ìåñòå.
Çàêðûòü…
Çàêðûâàåò îêíî äîêóìåíòà.
Íàñòðîéêè
äîêóìåíòà
Óïðàâëÿåò ñòðàíèöàìè è èíñòðóìåíòàìè,
êîòîðûå ñîäåðæàòñÿ â äîêóìåíòå.
Ïàðàìåòðû ïå÷àòè Óñòàíàâëèâàåò ðàçìåð ñòðàíèöû,
åå îðèåíòàöèþ è äðóãèå îïöèè ïå÷àòè
äîêóìåíòà.
Ïðåäâàðèòåëüíûé
ïðîñìîòð
Îòîáðàæàåò íà ýêðàíå äîêóìåíò â âèäå,
â êîòîðîì îí áóäåò íàïå÷àòàí.
Ïå÷àòü
Ïå÷àòàåò òåêóùóþ ñòðàíèöó àêòèâíîãî
äîêóìåíòà.
Âûõîä
Çàêðûâàåò âñå îòêðûòûå äîêóìåíòû
è ïðîãðàììó. Åñëè êàêîé-ëèáî ÷åðòåæ íå
áûë ñîõðàíåí äî âûõîäà èç ïðîãðàììû, òî
îí ìîæåò áûòü ñîõðàíåí ïðè âûïîëíåíèè
ýòîé êîìàíäû (çàïðîñ íà ñîõðàíåíèå
÷åðòåæà).
Ìåíþ Ïðàâêà
76
Îòìåíèòü
Îòìåíÿåò ïîñëåäíåå âûïîëíåííîå
ïðîãðàììîé äåéñòâèå.
Âåðíóòü
îòìåíåííîå
äåéñòâèå
Âîññòàíàâëèâàåò ðàíåå îòìåíåííîå
äåéñòâèå.
Âûðåçàòü
Óäàëÿåò âûäåëåííûå è çàâèñèìûå îò íèõ
îáúåêòû è ïîìåùàåò èõ â áóôåð îáìåíà.
Êîïèðîâàòü
Ïîìåùàåò êîïèè âûäåëåííûõ îáúåêòîâ
â áóôåð îáìåíà.
Âñòàâèòü
Âñòàâëÿåò ñîäåðæèìîå áóôåðà îáìåíà
â àêòèâíûé ÷åðòåæ.
Óäàëèòü
Óäàëÿåò âûäåëåííûå è çàâèñèìûå îò íèõ
îáúåêòû.
Êíîïêè
Ñîçäàåò îäíó èñïîëíèòåëüíóþ êíîïêó
èç íàáîðà. (Êíîïêè — ýòî îáúåêòû
÷åðòåæà, êîòîðûå âûïîëíÿþò îïðåäåëåííîå
äåéñòâèå, íàïðèìåð, çàïóñêàþò àíèìàöèþ
èëè ïðÿ÷óò îáúåêòû.)
Âûäåëèòü âñå
Âûäåëÿåò âñå îáúåêòû íà ÷åðòåæå,
åñëè àêòèâíû èíñòðóìåíò Ñòðåëêà èëè
Èíñòðóìåíòû ïîëüçîâàòåëÿ. Èíà÷å âûäåëÿåò
òå îáúåêòû, êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò
àêòèâíîìó èíñòðóìåíòó.
Âûäåëèòü ïðåäêîâ
Âûäåëÿåò âñåõ ïðåäêîâ âñåõ âûäåëåííûõ
îáúåêòîâ. (Ïðåäêàìè îáúåêòà ÿâëÿþòñÿ
òå îáúåêòû, îò êîòîðûõ äàííûé îáúåêò
íåïîñðåäñòâåííî çàâèñèò.)
Âûäåëèòü
ïîòîìêîâ
Âûäåëÿåò âñåõ ïîòîìêîâ âñåõ âûäåëåííûõ
îáúåêòîâ.
(Ïîòîìêàìè îáúåêòà ÿâëÿþòñÿ òå îáúåêòû,
êîòîðûå íåïîñðåäñòâåííî çàâèñÿò
îò äàííîãî.)
Îñâîáîäèòü èëè
ñâÿçàòü îáúåêòû
Èçìåíÿåò îòíîøåíèÿ ìåæäó îáúåêòàìè:
îñâîáîæäàåò òî÷êè îò èõ ïðåäêîâ,
ñîâìåùàåò òî÷êè è ïîìåùàåò òî÷êè íà
òðàåêòîðèè, à òàêæå îáúåäèíÿåò òåêñòîâûå
îáúåêòû.
Èçìåíèòü
îïðåäåëåíèå
(Èçìåíèòü
âû÷èñëåíèå,
Èçìåíèòü
ôóíêöèþ,
Èçìåíèòü
ïàðàìåòð,
Èçìåíèòü
êîîðäèíàòû òî÷êè)
Ïðåäîñòàâëÿåò âîçìîæíîñòü èçìåíèòü
âûäåëåííîå âû÷èñëåíèå èëè ôóíêöèþ ëèáî
ïàðàìåòð, à òàêæå êîîðäèíàòû âûäåëåííîé
òî÷êè.
Ñâîéñòâà
Ïðåäîñòàâëÿåò âîçìîæíîñòü èçìåíèòü
ñâîéñòâà âûäåëåííîãî îáúåêòà.
Íàñòðîéêè/
Åäèíèöû…
Ïîçâîëÿåò çàäàòü óñòàíîâêè ïðîãðàììû.
77
Ìåíþ Âèä
Ïîêàçàòü/
Ñïðÿòàòü èìåíà
Ïîêàçûâàåò èëè ïðÿ÷åò èìåíà âûäåëåííûõ
îáúåêòîâ.
Ïåðåèìåíîâàòü…
Ïîçâîëÿåò äàòü íîâîå èìÿ è íîâûå
ñâîéñòâà îäíîìó âûäåëåííîìó îáúåêòó
èëè ïðèñâîèòü ìíîæåñòâó îáúåêòîâ
îïðåäåëåííóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìåí.
Îñòàâëÿòü ñëåä
Ïåðåêëþ÷àòåëü (òèïà Äà–Íåò) óïðàâëÿåò
ðåæèìîì ïîêàçà ñëåäîâ âûäåëåííûõ
îáúåêòîâ.
Ñòåðåòü ñëåäû
Óäàëÿåò ñ ýêðàíà âñå âèäèìûå ñëåäû.
Àíèìàöèÿ
Ïðèâîäèò â äâèæåíèå âñå âûäåëåííûå
ãåîìåòðè÷åñêèå îáúåêòû.
Óâåëè÷èòü
ñêîðîñòü/
Óìåíüøèòü
ñêîðîñòü
Óâåëè÷èâàåò èëè óìåíüøàåò ñêîðîñòü
âûäåëåííûõ äâèæóùèõñÿ îáúåêòîâ
(èëè, åñëè íè÷åãî íå âûäåëåíî, òî âñåõ
äâèæóùèõñÿ îáúåêòîâ).
Îñòàíîâèòü
àíèìàöèþ/
Îñòàíîâèòü âñå
Îñòàíàâëèâàåò äâèæåíèå âûäåëåííûõ
îáúåêòîâ/îñòàíàâëèâàåò äâèæåíèå âñåõ
îáúåêòîâ, åñëè íè÷åãî íå âûäåëåíî.
Ïîêàçàòü/
Ñïðÿòàòü ïàíåëü
ôîðìàòèðîâàíèÿ
òåêñòà
Ïîêàçûâàåò/ïðÿ÷åò òåêñòîâóþ ïàíåëü.
Ïîêàçàòü/
Ñïðÿòàòü ïàíåëü
óïðàâëåíèÿ
äâèæåíèåì
Ïîêàçûâàåò/ïðÿ÷åò ïàíåëü óïðàâëåíèÿ
äâèæåíèåì
Ïîêàçàòü/
Ñïðÿòàòü
íàáîð
èíñòðóìåíòîâ
Ïîêàçûâàåò/ïðÿ÷åò íàáîð èíñòðóìåíòîâ
ïðîãðàììû.
Ìåíþ Ïîñòðîåíèÿ
78
Ïîìåñòèòü íîâóþ
òî÷êó íà îáúåêò
Ñòðîèò íîâóþ òî÷êó íà êàæäîé âûäåëåííîé
òðàåêòîðèè, åñëè ïðåäâàðèòåëüíî âûäåëåíû
îäíà èëè íåñêîëüêî òðàåêòîðèé.
Ñåðåäèíà
Ñòðîèò ñðåäèííóþ òî÷êó íà êàæäîì
âûäåëåííîì îòðåçêå, åñëè ïðåäâàðèòåëüíî
âûäåëåí îäèí èëè íåñêîëüêî îòðåçêîâ.
Ïåðåñå÷åíèå
Ñòðîèò òî÷êó â êàæäîì ïåðåñå÷åíèè äâóõ
âûäåëåííûõ îáúåêòîâ, åñëè ïðåäâàðèòåëüíî
âûäåëåíû äâà ïåðåñåêàþùèõñÿ îáúåêòà.
Îòðåçîê/Ëó÷/
Ïðÿìàÿ
Ñòðîèò îòðåçîê, ëó÷ èëè ïðÿìóþ ïî äâóì
âûäåëåííûì òî÷êàì. Îòðåçîê íà÷èíàåòñÿ
è çàêàí÷èâàåòñÿ â ýòèõ òî÷êàõ. Ëó÷ íà÷è­
íàåòñÿ â ïåðâîé òî÷êå è ñîäåðæèò âòîðóþ.
Åñëè âûäåëåíî áîëåå äâóõ òî÷åê, òî ÷èñëî
ïîñòðîåííûõ îáúåêòîâ ðàâíî ÷èñëó òî÷åê.
Ïðåäâàðèòåëüíî íóæíî âûäåëèòü äâå èëè
íåñêîëüêî òî÷åê.
Ïàðàëëåëüíàÿ
ïðÿìàÿ
Ñòðîèò ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå âñåì
âûäåëåííûì ïðÿìîëèíåéíûì îáúåêòàì
è ïðîõîäÿùèå ÷åðåç âûäåëåííûå òî÷êè, åñëè
âûäåëåíû ïðÿìîëèíåéíûé îáúåêò è îäíà èëè
íåñêîëüêî òî÷åê, à òàêæå îäíà òî÷êà è îäèí
èëè íåñêîëüêî ïðÿìîëèíåéíûõ îáúåêòîâ.
Ïåðïåíäèêóëÿð
Ñòðîèò ïðÿìûå, ïåðïåíäèêóëÿðíûå âñåì
âûäåëåííûì ïðÿìîëèíåíåéíûì îáúåêòàì
è ïðîõîäÿùèå ÷åðåç âñå âûäåëåííûå
òî÷êè, åñëè âûäåëåíû ïðÿìîëèíåéíûé
îáúåêò è îäíà èëè íåñêîëüêî òî÷åê,
à òàêæå îäíà òî÷êà è îäèí èëè íåñêîëüêî
ïðÿìîëèíåéíûõ îáúåêòîâ.
Áèññåêòðèñà
Ñòðîèò ëó÷ — áèññåêòðèñó óãëà, çàäàííîãî
òðåìÿ âûäåëåííûìè òî÷êàìè, åñëè
âûäåëåíû òðè òî÷êè òàê, ÷òî âòîðàÿ
èç íèõ ÿâëÿåòñÿ âåðøèíîé óãëà.
Îêðóæíîñòü
ïî öåíòðó è òî÷êå
Ñòðîèò îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â ïåðâîé
âûäåëåííîé òî÷êå è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç
âòîðóþ, åñëè âûäåëåíû äâå òî÷êè.
Îêðóæíîñòü
ïî öåíòðó
è ðàäèóñó
Ñòðîèò îäíó èëè íåñêîëüêî îêðóæíîñòåé
ñ öåíòðàìè â âûäåëåííûõ òî÷êàõ
è ðàäèóñàìè, çàäàííûìè âûäåëåííûìè
îòðåçêàìè èëè èçìåðåíèÿìè ðàññòîÿíèÿ,
åñëè âûäåëåíû òî÷êà è íåñêîëüêî îòðåçêîâ
è/èëè èçìåðåíèÿ ðàññòîÿíèé, à òàêæå
åñëè âûäåëåíû îäèí îòðåçîê èëè îäíî
èçìåðåíèå ðàññòîÿíèÿ è íåñêîëüêî òî÷åê.
Äóãà ïî
îêðóæíîñòè
Ñòðîèò äóãó íà äàííîé îêðóæíîñòè èëè
ñ äàííûì öåíòðîì è äâóìÿ âûäåëåííûìè
òî÷êàìè íà îêðóæíîñòè, åñëè âûäåëåíû
îêðóæíîñòü è äâå òî÷êè íà ýòîé îêðóæ­
íîñòè èëè åñëè âûäåëåíû öåíòð è äâå
äðóãèå òî÷êè ðàâíîóäàëåííûå îò öåíòðà.
Äóãà ÷åðåç 3 òî÷êè Ñòðîèò äóãó, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òðè
âûäåëåííûå òî÷êè òàê, ÷òî îíà íà÷èíàåòñÿ
â ïåðâîé òî÷êå, ïðîõîäèò ÷åðåç âòîðóþ
è çàêàí÷èâàåòñÿ â òðåòüåé, åñëè âûäåëåíû
òðè íåêîëëèíåàðíûå òî÷êè, òî åñòü òðè
òî÷êè, íå ïðèíàäëåæàùèå îäíîé ïðÿìîé.
79
Âíóòðåííÿÿ
îáëàñòü
(Âíóòðåííîñòü
ìíîãîóãîëüíèêà,
Êðóã, Ñåêòîð èëè
Ñåãìåíò)
Ñòðîèò âíóòðåííîñòü ìíîãîóãîëüíèêà,
êîãäà âûäåëåíû òî÷êè — âåðøèíû
ìíîãîóãîëüíèêà, èëè êðóãè, êîãäà
âûäåëåíû îêðóæíîñòè, èëè ñåêòîðà è
ñåãìåíòû, êîãäà âûäåëåíû äóãè.
Êîìàíäà äîñòóïíà, åñëè âûäåëåíû òðè
èëè áîëåå òî÷åê, èëè åñëè âûäåëåíû îäíà
èëè íåñêîëüêî îêðóæíîñòåé, èëè åñëè
âûäåëåíû îäíà èëè íåñêîëüêî äóã.
Ãåîìåòðè÷åñêîå
ìåñòî òî÷åê
Ñòðîèò ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê
âûäåëåííîãî îáúåêòà, êîãäà âåäóùàÿ
òî÷êà äâèæåòñÿ âäîëü òðàåêòîðèè, åñëè
âûäåëåíû âåäîìûé îáúåêò è òî÷êà
(âåäóùèé îáúåêò), êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò
ïîëîæåíèå âåäîìîãî.
Ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ
80
Îòìåòèòü öåíòð
Îòìå÷àåò ïîñëåäíþþ èç âûäåëåííûõ òî÷åê
êàê öåíòð ïðåîáðàçîâàíèé ïîâîðîòà
è ãîìîòåòèè.
Îòìåòèòü îñü
îòðàæåíèÿ
Îòìå÷àåò ïîñëåäíèé èç âûäåëåííûõ
ïðÿìîëèíåéíûõ îáúåêòîâ êàê îñü,
îòíîñèòåëüíî êîòîðîé áóäåò
îñóùåñòâëÿòüñÿ ïðåîáðàçîâàíèå îòðàæåíèÿ.
Îòìåòèòü óãîë
Îòìå÷àåò ïîñëåäíèé èç âûäåëåííûõ óãëîâ
èëè èçìåðåíèé óãëà êàê óãîë ïîâîðîòà
è óãëà ïîëÿðíîãî ïåðåíîñà, åñëè âûäåëåíû
òðè òî÷êè èëè èçìåðåíèå óãëà.
Îòìåòèòü
îòíîøåíèå/
Îòìåòèòü
îòíîøåíèå
îòðåçêîâ/Îòìåòèòü
êîýôôèöèåíò
­­
Îòìå÷àåò
ïîñëåäíèé èç âûäåëåííûõ
ïàðàìåòðîâ èëè âû÷èñëåíèé êàê êîýôôè­
öèåíò ïðåîáðàçîâàíèÿ ãîìîòåòèè (ïîäîáèÿ),
åñëè âûëåëåíû òðè êîëëèíåàðíûå
òî÷êè, èëè äâà îòðåçêà, èëè èçìåðåíèå
áåçðàçìåðíîé âåëè÷èíû, èëè ïàðàìåòð,
èëè áåçðàçìåðíîå âû÷èñëåíèå.
Îòìåòèòü âåêòîð
Îòìåí÷àåò äâå ïîñëåäíèå èç âûäåëåííûõ
òî÷åê êàê âåêòîð ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåíîñà.
Îòìåòèòü
ðàññòîÿíèå
Îòìå÷àåò îäíî èëè äâà ïîñëåäíèå
èç âûäåëåííûõ èçìåðåíèé ðàññòîÿíèÿ
(èëè äëèíû) êàê âåêòîð ïðåîáðàçîâàíèÿ
ïîëÿðíîãî èëè äåêàðòîâîãî ïåðåíîñà.
Ïåðåíåñòè
Ñòðîèò îáðàçû ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåíîñà
âûäåëåííûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ îáúåêòîâ.
Ïîâåðíóòü
Ñòðîèò îáðàçû ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîâîðîòà
âûäåëåííûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ îáúåêòîâ.
Ãîìîòåòèÿ
Ñòðîèò îáðàçû ïðåîáðàçîâàíèÿ ãîìîòåòèè
âûäåëåííûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ îáúåêòîâ.
Îòðàçèòü
Ñòðîèò îáðàçû îòðàæåíèÿ âûäåëåííûõ
ãåîìåòðè÷åñêèõ îáúåêòîâ îòíîñèòåëüíî
îòìå÷åííîé îñè.
Èòåðàöèè
Ñòðîèò îáðàçû èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà
ñâÿçàííûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ îáúåêòîâ
â ñîîòâåòñòâèè ñ çàäàâàåìûì èòåðàöèîí­
íûì ïðàâèëîì, åñëè âûäåëåíû íåñêîëüêî
ïðîîáðàçîâ — íåçàâèñèìûõ òî÷åê èëè
ïàðàìåòðîâ, êîòîðûå îïðåäåëÿþò îáðàçû —
çàâèñèìûå òî÷êè èëè âû÷èñëåíèÿ.
Ìåíþ Èçìåðåíèÿ
Äëèíà
Èçìåðÿåò äëèíû âûäåëåííûõ îòðåçêîâ,
åñëè âûäåëåíû íåñêîëüêî îòðåçêîâ.
Ðàññòîÿíèå
Èçìåðÿåò ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè
èëè ðàññòîëÿíèå îò òî÷êè äî ïðÿìîëèíåé­
íîãî îáúåêòà, åñëè âûäåëåíû äâå òî÷êè
èëè îäíà òî÷êà è îäèí ïðÿìîëèíåéíûé
îáúåêò.
Ïåðèìåòð
Èçìåðÿåò ïåðèìåòðû íåñêîëüêèõ
ìíîãîóãîëüíèêîâ, ñåãìåíòîâ è ñåêòîðîâ
êðóãà, åñëè âûäåëåíû îäèí èëè íåñêîëüêî
âíóòðåííîñòåé ìíîãîóãîëüíèêîâ, ñåãìåíòîâ
èëè ñåêòîðîâ.
Äëèíà îêðóæíîñòè Èçìåðÿåò äëèíû îêðóæíîñòåé, åñëè
âûäåëåíû îäíà èëè íåñêîëüêî îêðóæíîñòåé
ëèáî îäèí èëè íåñêîëüêî êðóãîâ.
Óãîë
Èçìåðÿåò óãîë, îïðåäåëåííûé òðåìÿ
âûäåëåííûìè òî÷êàìè, èç êîòîðûõ âòîðàÿ
òî÷êà ÿâëÿåòñÿ âåðøèíîé, åñëè âûäåëåíû
òðè òî÷êè.
Ïëîùàäü
Èçìåðÿåò ïëîùàäè âûäåëåííûõ
ìíîãîóãîëüíèêîâ, êðóãîâ, îáëàñòåé âíóòðè
îêðóæíîñòåé, ñåãìåíòîâ è ñåêòîðîâ, åñëè
âûäåëåíû îäíà èëè íåñêîëüêî âíóòðåííèõ
îáëàñòåé.
Óãëîâàÿ ìåðà äóãè Èçìåðÿåò óãëîâûå ìåðû äóã, åñëè
âûäåëåíû îäíà èëè íåñêîëüêî äóã, ëèáî
åñëè âûäåëåíû îêðóæíîñòü è äâå èëè òðè
òî÷êè íà îêðóæíîñòè.
Äëèíà äóãè
Èçìåðÿåò äëèíû äóã, åñëè âûäåëåíû îêðóæ­
íîñòü è äâå èëè òðè òî÷êè íà îêðóæíîñòè.
81
82
Ðàäèóñ
Èçìåðÿåò ðàäèóñû âûäåëåííûõ
îêðóæíîñòåé, êðóãîâ, äóã, ñåêòîðîâ
è ñåãìåíòîâ, åñëè âûäåëåíû íåñêîëüêî
îêðóæíîñòåé, êðóãîâ, äóã, ñåêòîðîâ
èëè ñåãìåíòîâ.
Îòíîøåíèå
Èçìåðÿåò îòíîøåíèå äëèí äâóõ îòðåçêîâ,
åñëè âûäåëåíû äâà îòðåçêà èëè òðè
êîëëèíåàðíûå òî÷êè.
Âû÷èñëèòü…
Îòêðûâàåò Êàëüêóëÿòîð ïðîãðàììû.
Êîîðäèíàòû
Èçìåðÿåò êîîðäèíàòû âûäåëåííûõ òî÷åê
â îòìå÷åííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, åñëè
âûäåëåíû îäíà èëè íåñêîëüêî òî÷åê.
Àáñöèññà (õ)
Èçìåðÿåò àáñöèññû (õ-êîîðäèíàòû)
âûäåëåííûõ òî÷åê â îòìå÷åííîé ñèñòåìå
êîîðäèíàò, åñëè âûäåëåíû îäíà èëè
íåñêîëüêî òî÷åê.
Îðäèíàòà (ó)
Èçìåðÿåò îðäèíàòû (ó-êîîðäèíàòû)
âûäåëåííûõ òî÷åê â îòìå÷åííîé ñèñòåìå
êîîðäèíàò, åñëè âûäåëåíû îäíà èëè
íåñêîëüêî òî÷åê.
Ðàññòîÿíèå
â ñèñòåìå
êîîðäèíàò
Èçìåðÿåò ðàññòîÿòèå ìåæäó äâóìÿ
âûäåëåííûìè òî÷êàìè â ìàñøòàáå
îòìå÷åííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, åñëè
âûäåëåíû äâå òî÷êè.
Íàêëîí
Èçìåðÿåò íàêëîíû ïðÿìûõ â îòìå÷åííîé
ñèñòåìå êîîðäèíàò, åñëè âûäåëåíû îäèí
èëè íåñêîëüêî ïðÿìîëèíåéíûõ îáúåêòîâ.
Óðàâíåíèå
Îïðåäåëÿåò óðàâíåíèÿ âûäåëåííûõ
îáúåêòîâ â îòìå÷åííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò,
åñëè âûäåëåíû îäíà èëè íåñêîëüêî ïðÿìûõ
èëè îêðóæíîñòåé.
Ìåíþ Ãðàôèêè
Çàäàòü ñèñòåìó
êîîðäèíàò/Çàäàòü
íà÷àëî êîîðäèíàò/
Çàäàòü åäèíè÷íóþ
îêðóæíîñòü/
Çàäàòü åäèíè÷íûé
îòðåçîê/Çàäàòü
åäèíè÷íûå
îòðåçêè
Ñîçäàåò è îòìå÷àåò íîâóþ ñèñòåìó
êîîðäèíàò, âèä è ìàñøòàá êîòîðîé çàâèñÿò
îò âûäåëåíèÿ òåõ èëè èíûõ îáúåêòîâ, åñëè
âûäåëåíû:
•îäíà òî÷êà;
•îäíà îêðóæíîñòü;
•îäèí îòðåçîê (åãî èçìåðåíèå);
•îäíà òî÷êà è îäèí îòðåçîê (åãî
èçìåðåíèå);
•äâà îòðåçêà (èõ èçìåðåíèÿ);
•îäíà òî÷êà è äâà îòðåçêà (èõ èçìåðåíèÿ);
•íè÷åãî.
Îòìåòèòü ñèñòåìó
êîîðäèíàò
Îòìå÷àåò ñèñòåìó êîîðäèíàò, â êîòîðîé
ñòðîÿòñÿ ãðàôèêè è ïðîèçâîäÿòñÿ
èçìåðåíèÿ, åñëè âûäåëåíû:
•îñè ñèñòåìû êîîðäèíàò;
•íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò;
•åäèíè÷íàÿ òî÷êà;
•åäèíè÷íàÿ îêðóæíîñòü;
•êîîðäèíàòíàÿ ñåòêà.
Ôîðìà ñåòêè
Çàäàåò òèï è ìàñøòàá îòìå÷åííîé
ñèñòåìû êîîðäèíàò. Âîçìîæíûìè òèïàìè
ñèñòåìû êîîðäèíàò ÿâëÿþòñÿ êâàäðàòíàÿ,
ïîëÿðíàÿ è ïðÿìîóãîëüíàÿ.
Ïîêàçàòü/Ñïðÿòàòü Ïîêàçûâàåò èëè ïðÿ÷åò êîîðäèíàòíóþ
ñåòêó îòìå÷åííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò.
ñåòêó
Ïðèâÿçûâàòü
òî÷êè ê ñåòêå
Ïåðåêëþ÷àòåëü ïðèâÿçêè òî÷åê ê ñåòêå.
Ïðèâÿçêà îçíà÷àåò, ÷òî íåçàâèñèìûå
òî÷êè ïðè ñîçäàíèè èëè ïåðåòàñêèâàíèè
«ïåðåñêàêèâàþò» â áëèæàéøèå
öåëî÷èñëåííûå óãëû ñåòêè.
Ïîñòðîèòü òî÷êó
ñ êîîðäèíàòàìè…/
Ïîñòðîèòü òî÷êó
(õ,ó)/Ïîñòðîèòü
òî÷êó (r,theta)/
Ïîñòðîèòü ãðàôèê
ïî äàííûì
èç òàáëèöû…
Ñòðîèò îäíó èëè íåñêîëüêî òî÷åê, çàäàâàå­
ìûõ â äèàëîãîâîì îêíå, â îòìå÷åííîé ñèñ­
òåìå êîîðäèíàò, åñëè íè÷åãî íå âûäåëåíî.
Ñòðîèò òî÷êó, êîîðäèíàòû êîòîðîé
îïðåäåëÿþòñÿ èçìåðåíèÿìè â îòìå÷åííîé
ñèñòåìå êîîðäèíàò, åñëè âûäåëåíû äâà
èçìåðåíèÿ.
Ñòðîèò òî÷êè, êîîðäèíàòû êîòîðûõ
îïðåäåëÿþòñÿ äàííûìè èç òàáëèöû, åñëè
âûäåëåíà îäíà òàáëèöà.
Âî âñåõ ñëó÷àÿõ êîìàíäà Ôîðìà ñåòêè
îïðåäåëÿåò òèï ïàðû êàê (õ,ó) èëè
(r,theta).
Íîâûé ïàðàìåòð
Ñîçäàåò íîâûé ïàðàìåòð — èçìåíÿåìóþ
âåëè÷èíó.
83
Íîâàÿ ôóíêöèÿ
Îòêðûâàåò êàëüêóëÿòîð Íîâàÿ ôóíêöèÿ,
â êîòîðîì îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèÿ.
Ãðàôèê ôóíêöèè/
Ïîñòðîèòü ãðàôèê
ôóíêöèè…
Ñòðîèò ãðàôèêè âûäåëåííûõ ôóíêöèé èëè
îêðûâàåò êàëüêóëÿòîð Íîâàÿ ôóíêöèÿ
è ñòðîèò ãðàôèê íîâîé ôóíêöèè, åñëè
íè÷åãî íå âûäåëåíî.
Ïðîèçâîäíàÿ
Âû÷èñëÿåò ôóíêöèþ — ïðîèçâîäíóþ
ïî íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé îò âûäåëåííîé
ôóíêöèè.
Çàïîëíÿòü
òàáëèöó
Ñîçäàåò òàáëèöó çíà÷åíèé âûäåëåííûõ
èçìåðåíèé.
Äîáàâèòü äàííûå
â òàáëèöó
Äîáàâëÿåò ñòðîêó èëè çàäàííîå êîëè÷åñòâî
ñòðîê â âûäåëåííóþ òàáëèöó ëèáî
àâòîìàòè÷åñêè çàïîëíÿåò âûäåëåííóþ
òàáëèöó â çàâèñèìîñòè îò óñòàíîâîê â îêíå
äèàëîãà.
Óäàëèòü äàííûå
èç òàáëèöû
Óäàëÿåò ïîñëåäíþþ ñòðîêó èëè âñå ñòðîêè
âûäåëåííîé òàáëèöû â çàâèñèìîñòè
îò óñòàíîâîê â îêíå äèàëîãà.
Ìåíþ Îêíî
Ñîäåðæèò ñïèñîê îòêðûòûõ äîêóìåíòîâ è óïðàâëÿåò
ðàñïîëîæåíèåì èõ îêîí íà ýêðàíå.
Ìåíþ Ñïðàâêà
Êîìàíäà ýòîãî ìåíþ ÿâëÿåòñÿ ïî ñóùåñòâó ññûëêîé íà íåêîòîðûé
ðàçäåë ñïðàâî÷íîé ñèñòåìû. Âûïîëíåíèå ëþáîé êîìàíäû
ìåíþ ïðèâîäèò ê çàïóñêó ïîèñêîâîé ïðîãðàììû è îòêðûâàåò
ñïðàâî÷íóþ ñèñòåìó íà ñîîòâåòñòâóþùåé ñòðàíèöå.
84
Êîìïüþòåðíûå àëüáîìû
ÓÌÊ «Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà» ñîäåðæèò íåñêîëüêî àëüáîìîâ
äèíàìè÷åñêèõ ÷åðòåæåé. Îäíè èç íèõ ÿâëÿþòñÿ íåïîñðåäñ­
òâåííîé ïîääåðæêîé êóðñà ãåîìåòðèè è ñòåðåîìåòðèè, äðóãèå
ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ îðãàíèçàöèé ïðîåêòíîé äåÿòåëü­íîñòè
ó÷àùèõñÿ è ôàêóëüòàòèâíûõ çàíÿòèé, òðåòüè – äåìîíñòðèðóþò
âîçìîæíîñòè ïðîãðàììû Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà.
Àëüáîìû ïðåäíàçíà÷åíû, ïðåæäå âñåãî, äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé
ðàáîòû ó÷àùèõñÿ. ×åðòåæè â ñðåäå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà
íåñðàâíåííî íàãëÿäíåå òðàäèöèîííûõ, îíè ýñòåòè÷åñêè
ïðèâëåêàòåëüíû, óïðàâëÿåìû è ðåäàêòèðóåìû. Ýòè êà÷åñòâà
ýëåêòðîííûõ ÷åðòåæåé ïðèçâàíû îáëåã÷èòü ó÷åíèêó ïîíèìàíèå
ôîðìóëèðîâîê òåîðåì è óñëîâèé çàäà÷. Â ïðîöåññå ðàáîòû
ó÷àùèéñÿ íàõîäèòñÿ â ïðÿìîì êîíòàêòå ñ ýëåìåíòàìè ÷åðòåæåé;
îí ìîæåò èõ äåôîðìèðîâàòü, ïåðåìåùàòü, ðàñêðàøèâàòü,
ðåãóëèðîâàòü òîëùèíó ëèíèé è íàñûùåííîñòü îáëàñòåé. Êðîìå
òîãî, îí ìîæåò âûçûâàòü èìåíà îáúåêòîâ, ïðîèçâîäèòü èõ
èçìåðåíèÿ è ðàñïîëàãàòü çàïèñè ðåçóëüòàòîâ ýòèõ èçìåðåíèé
ïî ñâîåìó âêóñó. Ó÷àùèéñÿ èìååò âîçìîæíîñòü ñàì ïðîâåðèòü
êîëè÷åñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè ÷åðòåæà è ïðàâèëüíîñòü
ïîñòðîåíèé. Âñå ýòî ñîçäàåò ïðåäïîñûëêè äëÿ êîìïüþòåðíîãî
ãåîìåòðè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà.
×òîáû îòêðûòü íóæíûé àëüáîì
1. Íàæìèòå êíîïêó Ïóñê
è âûáåðèòå ïóíêò Ïðîãðàììû/ÓÌÊ Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà/
Ïóòåâîäèòåëü. Îòêðîåòñÿ «îáëîæêà» Ïóòåâîäèòåëÿ
ñ îãëàâëåíèåì âñåõ ðåñóðñîâ ÓÌÊ.
2. Ùåëêíèòå â îãëàâëåíèè íà íàçâàíèè àëüáîìà, êîòîðûé âû
õîòèòå îòêðûòü.
ÒÅÎÐÅÌÛ È ÇÀÄÀ×È
ØÊÎËÜÍÎÃÎ ÊÓÐÑÀ
Ââåäåíèå â êîìïüþòåðèçèðîâàííûé
êóðñ ïëàíèìåòðèè
 ýòîì ðàçäåëå ðàññìàòðèâàþòñÿ ïðàêòè÷åñêèå àñïåêòû âåäåíèÿ
óðîêîâ.  êà÷åñòâå îäíîãî èç âàðèàíòîâ ïëàíèðîâàíèÿ óðîêîâ
ïðåäëàãàåòñÿ êîìïüþòåðíûé àëüáîì «Ââåäåíèå â êîìïüþòåðèçè­
ðîâàííûé êóðñ ïëàíèìåòðèè», ñîäåðæàùèé äèíàìè÷åñêèå
÷åðòåæè ê ñëåäóþùèì ðàçäåëàì êóðñà ìàòåìàòèêè.
•
•
•
•
Íà÷àëüíûå ãåîìåòðè÷åñêèå ñâåäåíèÿ (6 óðîêîâ)
Òðåóãîëüíèêè (10 óðîêîâ)
×åòûðåõóãîëüíèêè (9 óðîêîâ)
Ïëîùàäü (5 óðîêîâ)
87
• Ïîäîáèå (8 óðîêîâ)
• Îêðóæíîñòü (8 óðîêîâ)
Íåñêîëüêî îáùèõ ïðèíöèïîâ îðãàíèçàöèè óðîêà
• Êàæäàÿ îáñóæäàåìàÿ ôèãóðà èçîáðàæàåòñÿ íà ýêðàíå
êîìïüþòåðà.
• Âñå ïîëîæåíèÿ, äîïóñêàþùèå ïðÿìóþ ïðîâåðêó (ðàâåíñòâî
äëèí è óãëîâ, íàõîæäåíèå òî÷êè íà ëèíèè, ïåðåñå÷åíèÿ
ëèíèé â îäíîé òî÷êå è ò. ï.), îáÿçàòåëüíî ïðîâåðÿþòñÿ.
• Ó÷àùèåñÿ ñîïðîâîæäàþò ðåøåíèå êàæäîé çàäà÷è àíàëèçîì
òîãî, íàñêîëüêî ôîðìóëèðóåìûå èìè ïîëîæåíèÿ âûäåðæèâàþò
âàðèàöèè èñõîäíûõ ýëåìåíòîâ ÷åðòåæåé.
• Ó÷àùèåñÿ ðàáîòàþò òîëüêî ñ êîìïüþòåðîì, íå âåäÿ íèêàêèõ
çàïèñåé íè â òåòðàäÿõ, íè íà ëèñòî÷êàõ.
• Âñå ðåçóëüòàòû ðàáîòû õðàíÿòñÿ â âèäå ãðàìîòíî îôîðìëåí­
íûõ ÷åðòåæåé â ãðàìîòíî ñòðóêòóðèðîâàííûõ äèðåêòîðèÿõ.
Ðåêîìåíäóåòñÿ îðãàíèçàöèÿ õðàíåíèÿ ìàòåðèàëîâ íà ëè÷íûõ
ýëåêòðîííûõ íîñèòåëÿõ (äèñêåòàõ, ôëýø-êàðòàõ, è ò. ï.)
ó÷àùèõñÿ. Âñå ìàòåðèàëû ðàáîò ñîõðàíÿþòñÿ òàêæå (äóáëè­ðó­
þòñÿ) â ëè÷íûõ äèðåêòîðèÿõ íà øêîëüíîì ñåðâåðå è/èëè âíåø­
íèõ ýëåêòðîííûõ íîñèòåëÿõ. Ê ôàéëàì ðàáîò ó ó÷àùèõñÿ ñëåäóåò
âûðàáîòàòü òàêîå æå îòâåòñòâåííîå îòíîøåíèå, êàê ê òåòðàäÿì.
 êîíòàêòå ñ ïðåïîäàâàòåëåì èíôîð­ìà­òèêè ó÷àùèåñÿ äîëæíû
ïðèó÷èòüñÿ ïðàâèëüíî îðãàíèçî­âûâàòü àêòèâíûå äèðåêòîðèè,
àðõèâû, îñâîèòü ñèñòåìàòè÷åñêèé îáìåí ÷åðòåæàìè.
Õàðàêòåðèñòèêà ìàòåðèàëîâ àëüáîìà
Òåîðåòè÷åñêèå ðàçäåëû
 àëüáîì âêëþ÷åíû âñå îñíîâíûå òåîðåìû, îòíîñÿùèåñÿ
ê òåìàì óðîêîâ. Êîìïüþòåðíûå ÷åðòåæè ïðèëîæåíû ê òåêñòàì,
íåïîñðåäñòâåííî çàèìñòâîâàííûì èç ó÷åáíèêà Àòàíàñÿíà.
Îñíîâíîå íàçíà÷åíèå ýòèõ ÷åðòåæåé — «áûòü ïîä ðóêîé»
íà âñÿêèé ñëó÷àé; îäíàêî âñìàòðèâàíèå â ÷åðòåæè, èõ ñîïîñòàâ­
ëåíèå ñ ôîðìóëèðîâêàìè è, îñîáåííî, âàðèàöèè ýëåìåíòîâ
÷åðòåæåé ìîãóò ïðèâåñòè ó÷àùèõñÿ ê óãëóáëåííîìó ïîíèìàíèþ
òåîðåì.
Îáùèå îáúåêòû
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïðè ïåðåõîäå ê èçó÷åíèþ ëþáîãî
íîâîãî êëàññà îáúåêòîâ êàæäûé ó÷àùèéñÿ ñòðîèò, ñîçäàåò
ñîîòâåòñòâóþùèé îáùèé îáúåêò. Íàïðèìåð, îáùàÿ òðàïåöèÿ —
ýòî òàêîé ÷åòûðåõóãîëüíèê â ñðåäå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà,
êîòîðûé ïðè ëþáûõ âàðèàöèÿõ èñõîäíûõ ýëåìåíòîâ îñòàåòñÿ
òðàïåöèåé è ïðè ýòîì ìîæåò ïðèíèìàòü ôîðìû âñåõ òðàïåöèé.
Ìû ïðèëàãàåì âñå îáùèå îáúåêòû â êà÷åñòâå îáðàçöîâ äëÿ
ðàáîòû ó÷àùèõñÿ; ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî îáùèå
îáúåêòû ìîãóò ñòðîèòüñÿ ìíîãèìè ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè.
88
Çàäà÷è
Îáÿçàòåëüíûå çàäà÷è ïîäîáðàíû â íàøåì êóðñå â ðàñ÷åòå
íà ñðåäíåãî ó÷àùåãîñÿ. Åñëè ó÷àùèéñÿ óâåðåííî âëàäååò
êîìïüþòåðîì è õîðîøî çíàêîì ñ Æèâîé Ìàòåìàòèêîé (íà ýòî
çíàêîìñòâî óõîäèò 3–4 óðîêà), òî îí ñïðàâëÿåòñÿ ñ îáÿçàòåëüíîé
÷àñòüþ íàøèõ çàäàíèé ñðàíèòåëüíî ëåãêî. Ó íåãî îñòàåòñÿ
âðåìÿ íà íåòîðîïëèâîå, âäóì÷èâîå îôîðìëåíèå ÷åðòåæåé, èõ
ëîãè÷åñêîå, ñòèëèñòè÷åñêîå è ýñòåòè÷åñêîå óñîâåðøåíñòâîâàíèå.
Ó ñðåäíåãî ó÷àùåãîñÿ òàêæå îáÿçàòåëüíî äîëæíî îñòàâàòüñÿ
âðåìÿ äëÿ ðàáîòû íàä îøèáêàìè.
 ðàçâèòèè îòíîøåíèé êëàññà ñ ãåîìåòðèåé î÷åíü âàæíà
òà ñòàäèÿ, íà êîòîðîé äàæå ñàìûå ñëàáûå ó÷àùèåñÿ íà÷èíàþò
÷óâñòâîâàòü, ÷òî èõ ôèãóðû âåäóò ñåáÿ ïîíÿòíûì äëÿ íèõ,
ïðåäñêàçóåìûì îáðàçîì. Ýòî ÷óâñòâî ìîæåò îêàçàòüñÿ ïðåäïî­
ñûë­êîé äëÿ ïðåîäîëåíèÿ ñòðàõà ó÷àùèõñÿ ïåðåä ìàòåìàòèêîé,
íåïðèÿòèÿ ïðåäìåòà è ÷óâñòâà áåññèëèÿ. Äëÿ ñëàáûõ
ó÷àùèõñÿ âûïîëíåíèå âñåõ îáÿçàòåëüíûõ çàäàíèé âîçìîæíî
îêàæåòñÿ çàòðóäíèòåëüíûì. Ìû íå ðåêîìåíäóåì ó÷èòåëþ
íàñòàèâàòü íà ðåøåíèè èìè âñåõ çàäà÷; îäíàêî íåêîòîðûå
äîëæíû áûòü ðåøåíû (ïî êðàéíåé ìåðå íà ýêñïåðèìåí­òàëüíîì
óðîâíå) ïîëíîñòüþ. Ñëåäóåò ñ îñîáûì âíèìàíèåì îòíîñèòüñÿ
ê ïîíèìàíèþ óñëîâèé çàäà÷ ñëàáûìè ó÷àùèìèñÿ; îäèí èç î÷åíü
íàäåæíûõ êðèòåðèåâ ñîñòîèò ïðîñòî â ñïîñîáíîñòè ó÷àùåãîñÿ
ñðåäñòâàìè Æèâîé Ìàòåìàòèêè èçîáðàçèòü óñëîâèå. Êðîìå òîãî,
àíàëèç çàòðóäíåíèé ó÷àùèõñÿ ÷àñòî ïîçâîëÿåò ÿñíåå, ÷åì íà
òðàäèöèîííûõ óðîêàõ (êîãäà îí íå ìîæåò ÷åãî-òî ïîâòîðèòü…),
âûÿâèòü îáû÷íûå ìàòåìàòè÷åñêèå ïðîáåëû.
×òî æå êàñàåòñÿ ñèëüíûõ ó÷àùèõñÿ, òî ñ îáÿçàòåëüíûìè
çàäà÷àìè îíè, êàê ïðàâèëî, ñïðàâëÿþòñÿ î÷åíü áûñòðî.
Æåëàòåëüíî çàèíòåðåñîâàòü èõ äîïîëíèòåëüíûìè çàäà÷àìè
è ñàìîñòîÿòåëüíûìè èññëåäîâàíèÿìè íàñòîëüêî, ÷òîáû îíè, íå
îòâëåêàÿñü, ñòðåìèëèñü êàê ìîæíî áûñòðåå äî íèõ äîáðàòüñÿ.
 íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ñèëüíûõ ó÷àùèõñÿ ìîæíî îñâîáîæäàòü
îò çàâåäîìî ëåãêèõ äëÿ íèõ çàäà÷ (îñîáåííî îäíîòèïíûõ) ñ
öåëüþ âûñâîáîæäåíèÿ èõ âðåìåíè äëÿ áîëåå ïðîäâèíóòûõ
ðàññìîòðåíèé.
Äîïîëíèòåëüíûå çàäà÷è. Äëÿ ñèëüíûõ ó÷àùèõñÿ ñðåäà
ïðåäîñòàâ­ëÿåò óíèêàëüíûå âîçìîæíîñòè ïîïðîáîâàòü ñâîè ñèëû
â îòäåëüíûõ çàäà÷àõ ïîâûøåííîé òðóäíîñòè.  áîëüøèíñòâå
ñâîåì îíè çàèìñòâîâàíû íàìè èç ó÷åáíèêà Àòàíàñÿíà.
Ýêñïåðèìåíòû
Ýêñïåðèìåíòû â ñðåäå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà òàêæå îòíîñÿòñÿ
ê «äîïîëíèòåëüíîé» øêîëüíîé äåÿòåëüíîñòè, íî îòíþäü íå
îáÿçàòåëüíî ÿâëÿþòñÿ òðóäíûìè. Íàîáîðîò, ìíîãèå èç íèõ ìîãóò
áûòü ðåêîìåíäîâàíû ñàìûì ñëàáûì ó÷àùèìñÿ. Êàê ïðàâèëî, ýòè
ýêñïåðèìåíòû íå èìåþò «áóìàæíûõ» àíàëîãîâ; â íèõ ñóùåñò­
âåííî èñïîëüçóþòñÿ âîçìîæíîñòè Æèâîé Ìàòåìàòèêè.
89
Ñàìîñòîÿòåëüíûå èññëåäîâàíèÿ
Íàêîíåö, íàèáîëåå ðåêîìåíäóåìûé íàìè âèä äåÿòåëüíîñòè
ñèëüíûõ ó÷àùèõñÿ — ñàìîñòîÿòåëüíûå ñèñòåìàòè÷åñêèå
èññëåäîâàíèÿ, âïëîòü äî âûõîäà íà íàó÷íûé óðîâåíü. Ãëàâíîå
îòëè÷èå òåì îò òðóäíûõ çàäà÷ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî êàæäûé
óñïåõ â èññëåäîâàíèÿõ ïîðîæäàåò íîâûå âîïðîñû, è óâëå÷åííûé
ó÷àùèéñÿ ïîñòåïåííî ïðåâðàùàåòñÿ â ñïåöèàëèñòà.
Î ðàáîòå ó÷àùèõñÿ ñ ÷åðòåæàìè
Ñàìîïðîâåðêà
Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà äàåò øèðîêèå âîçìîæíîñòè äëÿ ñàìî­
ïðîâåðêè ó÷àùèìèñÿ. Âñå óòâåðæäåíèÿ î ðàçìåðàõ ýëåìåíòîâ
÷åðòåæåé ïðîâåðÿåìû, à ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó âåëè÷èíàìè
î÷åâèäíû; êîíôè­ãó­ðàöèè íå äîëæíû ðàçâàëèâàòüñÿ ïðè
âàðèàöèÿõ è ò. ï.
Çíà÷èòåëüíûå óñèëèÿ ïåäàãîãîâ äîëæíû áûòü íàïðàâëåíû
íà ðàçâèòèå ó ó÷àùèõñÿ êðèòè÷åñêîãî îòíîøåíèÿ ê ñîáñòâåííûì
ðàáîòàì, ïðèâû÷êè ïûòàòüñÿ ïðåîäîëåâàòü çàòðóäíåíèÿ
äî îáðàùåíèÿ ê ó÷èòåëþ.
Ñàìîîöåíêà
Ðàáîòó ñëåäóåò îðãàíèçîâàòü òàê, ÷òîáû åå ñóòü íå çàñëîíÿëàñü
ïîãîíåé ó÷àùåãîñÿ çà õîðîøåé îöåíêîé èëè çà ïîõâàëîé ó÷èòåëÿ.
Îäíà èç îñíîâíûõ öåëåé ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ó÷àùèéñÿ íàó÷èëñÿ
ñîñòàâëÿòü ñîáñòâåííîå ñóæäåíèå î òîì, ðåøåíà ëè èì çàäà÷à.
Ïðè âñåé î÷åâèäíîñòè ýòîãî ïîæåëàíèÿ åãî âûïîëíåíèÿ
íåëåãêî äîáèòüñÿ. Âîçìîæíî, åãî âûïîëíåíèÿ è âîîáùå íåëüçÿ
äîáèòüñÿ â çàäà÷àõ íà äîêàçàòåëüñòâî (âåäü äîêàçàòåëüñòâî, óâû,
ïðàâèëüíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî ïðèçíàë ó÷èòåëü…);
îäíàêî â ñðåäå Æèâîé Ìàòåìàòèêè áåçóñëîâíî ìîæíî äîáèòüñÿ
îòâåòñòâåííîé ñàìîîöåíêè ðåøåíèé çàäà÷ íà ïîñòðîåíèå è íà
âû÷èñëåíèå.
Âûÿâëåíèå çàòðóäíåíèé
Ðàáîòàÿ â ñðåäå Æèâîé Ìàòåìàòèêè, ó÷àùèéñÿ ïðèîáðåòàåò
âîçìîæíîñòè îñîçíàíèÿ ñâîèõ çàòðóäíåíèé, íå èìåþùèå íèêàêèõ
àíàëîãîâ íà òðàäèöèîíûõ óðîêàõ. Òèïè÷íûå ïðèìåðû: «ÿ âèæó,
÷òî ýòè îòðåçêè ðàâíû, à ïî÷åìó — íå ïîíèìàþ», «íà ïðîøëîì
óðîêå ó ìåíÿ ýòè ëó÷è ïåðåñåêàëèñü â îäíîé òî÷êå, à ñåé÷àñ —
íå ïåðåñåêàþòñÿ» è ò. ï.
Ñàìîñòîÿòåëüíîå èñïðàâëåíèå îøèáîê
Îò ðàçâèòûõ íàâûêîâ ñàìîñòîÿòåëüíîãî îñîçíàíèÿ çàòðóäíåíèé
ñðàâíèòåëüíî íåäàëåêî äî ñàìîñòîÿòåëüíîãî æå èõ ïðåîäîëåíèÿ.
Ó÷àùèéñÿ ìîæåò ïîïûòàòüñÿ ïîâòîðèòü òå æå äåéñòâèÿ íà íîâîì
÷åðòåæå, ïðîÿâèòü âíèìàíèå ê ÷àñòíûì ñëó÷àÿì, êîãäà òðåáóåìîå
óòâåðæäåíèå âûïîëíÿåòñÿ, è ïðîàíàëèçèðîâàòü íàðóøåíèÿ è ò. ä.
90
Ìåòîäè÷åñêèå çàìå÷àíèÿ ê ðåøåíèþ çàäàíèé
Ðàññìîòðèì íèæå íåêîòîðûå îñîáåííîñòè îôîðìëåíèÿ ÷åðòåæåé
àëüáîìà.  çàâèñèìîñòè îò õàðàêòåðà çàäàíèé äèíàìè÷åñêèå
÷åðòåæè îôîðìëåíû ïî‑ðàçíîìó.
Åñòü çàäà÷è, êîòîðûå ðåøàþòñÿ äîñòàòî÷íî ïðîñòî, íå òðåáóþò
óêàçàíèé ê ðåøåíèþ è ïîäñêàçîê. Äëÿ òàêèõ çàäà÷ ïðîñòî
âûïîëíåí ÷åðòåæ: â îäíèõ ñëó÷àÿõ ýòî ñòàòè÷åñêèé ÷åðòåæ,
â äðóãèõ — äèíàìè÷åñêèé. Èíòåðåñíû òàêæå çàäà÷è,
ñíàáæåííûå «æèâûì» ÷åðòåæîì, ïîçâîëÿþùèå ïðîâîäèòü
ýêñïåðèìåíò, ïåðåìåùàÿ óêàçàííûå îáúåêòû, ïðè ýòîì
íàáëþäàÿ è äåëàÿ íåîáõîäèìûå âûâîäû. Ïðè÷åì ïîëüçîâàòåëü
ìîæåò ëèáî ïðîâîäèòü ýêñïåðèìåíò ñàì, ëèáî âîñïîëüçîâàòüñÿ
âîçìîæíîñ­òÿìè ïðîãðàììû (àíèìàöèîííûå ýôôåêòû,
çàëîæåííûå â ÷åðòåæàõ).
Äðóãàÿ ãðóïïà çàäà÷ ñíàáæåíà êíîïêîé «îòâåò». Îòâåò ìîæåò
áûòü äàí â âèäå ÷èñëîâîé âåëè÷èíû, ãîòîâîãî ÷åðòåæà èëè
âûïîëíåííîãî ïîñòðîåíèÿ.
 ðÿäå çàäà÷ äàåòñÿ óêàçàíèå, êîòîðîå ëèáî ïîäñêàçûâàåò
ïóòè ðåøåíèÿ, ëèáî óêàçûâàåò íà âîçìîæíîñòè ðàññìîòðåíèÿ
ðàçëè÷íûõ ñëó÷àåâ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ
îáúåêòîâ — êíîïêà «óêàçàíèå».
Çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü çàäà÷ ñíàáæåíà êíîïêîé «ïîäñêàçêà»,
êîòîðàÿ ïîìîãàåò íàéòè ðåøåíèå çàäà÷è.
Êíîïêà «ïðîâåðü ñåáÿ» ïîìîãàåò âûÿñíèòü ïðàâèëüíîñòü
âûïîëíåíèÿ çàäàíèÿ, áóäü òî çàäà÷à íà âû÷èñëåíèå, ïîñòðîåíèå
èëè äîêàçàòåëüñòâî.
Åñòü ãðóïïà çàäà÷ (â îñíîâíîì íà äîêàçàòåëüñòâî) ñíàáæåííûõ
êíîïêîé «ýêñïåðèìåíò».  ðÿäå ñëó÷àåâ îíà ñêðûâàåò
÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ íåêîòîðûõ ýëåìåíòîâ îáúåêòà, îò êîòîðûõ
çàâèñèò èñõîä äîêàçàòåëüñòâà. Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî èçìåíèòü
ðàçìåðû ñàìîãî îáúåêòà, ÷òîáû óáåäèòüñÿ ïðàêòè÷åñêèì ïóòåì
â èñòèííîñòè òîãî óòâåðæäåíèÿ, êîòîðîå òðåáóåòñÿ äîêàçàòü.
 àëüáîìå ïðåäñòàâëåíû òàêæå çàäà÷è íà äîêàçàòåëüñòâî,
ñíàáæåííûå êíîïêàìè, ïîä êîòîðûìè ñêðûòî ïîýòàïíîå
äîêàçàòåëüñòâî çàäà÷è ñ ïîøàãîâûìè äîïîëíèòåëüíûìè
ïîñòðîåíèÿìè.
 íåêîòîðûõ çàäà÷àõ åñòü êíîïêà «ðåøåíèå». Îíà äàåò
âîçìîæíîñòü ðàññìîòðåòü ãîòîâîå ðåøåíèå çàäà÷è è ïðèìåð åå
îôîðìëåíèÿ.
Êíîïêà «ïîñòðîåíèå» íåñåò ìíîãîôóíêöèîíàëüíóþ íàãðóçêó:
â îäíèõ ñëó÷àÿõ ïîä íåé ñêðûòà ãîòîâàÿ äåìîíñòðàöèÿ
ïîñòðîåíèÿ ÷åðòåæà; â äðóãèõ — ïîøàãîâîå ïîñòðîåíèå;
â òðåòüèõ — «âûäàåòñÿ» ãîòîâûé ÷åðòåæ, êîòîðûé íåîáõîäèìî
ñðàâíèòü ñ òåì, ÷òî âûïîëíèë ó÷åíèê ñàìîñòîÿòåëüíî.
91
Êíîïêà «â èñõîäíîå ïîëîæåíèå» ïîçâîëÿåò âåðíóòüñÿ ê íà÷àëó
çàäà÷è è ìíîãîêðàòíî ïðîñìîòðåòü õîä ðåøåíèÿ. Åñëè çàäà÷à
ñíàáæåíà ïóíêòàìè à), á) è ò. ä., òî äëÿ ïåðåõîäà îò ïóíêòà
ê ïóíêòó íåîáõîäèìî ëèáî èñïîëüçîâàòü êíîïêó «â èñõîäíîå
ïîëîæåíèå», ëèáî âòîðîé ðàç ùåëêíóòü íà êíîïêå äàííîãî
ïóíêòà, ÷òîáû ñïðÿòàòü èìåþùèéñÿ ÷åðòåæ.
92
Ñòåðåîìåòðèÿ
Ïðåäëàãàåìûé êîìïëåêò «æèâûõ ñòåðåî÷åðòåæåé» ïðåäíàçíà÷åí
â ïîìîùü ó÷èòåëÿì è ó÷åíèêàì ïðè èçó÷åíèè ñòåðåîìåòðèè,
òîé ÷àñòè øêîëüíîé ìàòåìàòèêè, êîòîðàÿ âûçûâàåò íàèáîëüøèå
òðóäíîñòè.
×åðòåæè êîìïëåêòà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé èíòåðàêòèâíûå ñòåðåî­
ìåòðè÷åñêèå ìîäåëè èíñòðóìåíòàëüíîãî òèïà, ñîçäàííûå â ñðåäå
Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà è îòêðûâàåìûå ýòîé ïðîãðàììîé.
Ó÷àùèåñÿ ïîëó÷àþò èçîáðàæåíèå ïðîñòðàíñòâåííîé ôèãóðû,
ÿâëÿþùååñÿ è îáúåêòîì, è èíñòðóìåíòîì, è ñðåäîé êîíñòðóè­
ðîâàíèÿ è èññëåäîâàíèÿ. Âàæíåéøàÿ îñîáåííîñòü ýòèõ
ìîäåëåé çàêëþ÷àåòñÿ â ñî÷åòàíèè äâóìåðíîãî è òðåõìåðíîãî
ïðåäñòàâëåíèÿ ôèãóðû â îäíîì èçîáðàæåíèè, äîñòèãàåìîì
ïðåæäå âñåãî çà ñ÷åò âîçìîæíîñòè ïðîèçâîëüíîãî èçìåíåíèÿ
ðàêóðñà, à òàêæå áëàãîäàðÿ äðóãèì ýôôåêòàì òðåõìåðíîé
ãðàôèêè. Áóäó÷è çàôèêñèðîâàííûì, òàêîå èçîáðàæåíèå
âûïîëíÿåò âñå ôóíêöèè ðèñóíêà â ó÷åáíèêå è/èëè ÷åðòåæà
â òåòðàäè (íî ÷åðòåæà ìàòåìàòè÷åñêè òî÷íîãî è ïîëèãðàôè÷åñêè
êà÷åñòâåííîãî), ïðè÷åì îíî äîïóñêàåò ðåäàêòèðîâàíèå,
äîïîëíèòåëüíûå ïîñòðîåíèÿ è ò. ï.
Îäíàêî â ëþáîé ìîìåíò ïîëüçîâàòåëü ìîæåò «ïåðåéòè â òðåõìåð­
íûé ðåæèì», âêëþ÷èâ âðàùåíèå êîíñòðóêöèè âîêðóã îäíîé
èëè íåñêîëüêèõ îñåé, à òàêæå íåêîòîðûå äðóãèå ýôôåêòû,
ñîçäàþ­ùèå îùóùåíèå òðåõìåðíîñòè. Âûáèðàÿ íîâûé ðàêóðñ
èçîáðàæåíèÿ, ìîæíî ïðîâåðèòü ïðàâèëüíîñòü âûïîëíåííûõ
ïîñòðîåíèé, ïðîäîëæèòü èõ, ïðîèçâåñòè èçìåðåíèÿ è ò. ä. Ðàáîòà
â òàêîé «êâàçèòðåõìåðíîé ñðåäå» — ýòî óíèêàëüíîå ñðåäñòâî
ðàçâèòèÿ ïðîñòðàíñòâåííîãî âîîáðàæåíèÿ, íàâûêà, ÿâëÿþùåãîñÿ
âàæíåéøåé ïðåäïîñûëêîé è, â òî æå âðåìÿ, ðåçóëüòàòîì óñïåø­
íîãî èçó÷åíèÿ ñòåðåîìåòðèè, ðåøåíèÿ ñòåðåîìåòðè÷åñêèõ çàäà÷.
 êîìïëåêò âõîäèò áîëåå 100 ÷åðòåæåé. Ïðè îòáîðå èõ
ñþæåòîâ àâòîðû ñòðåìèëèñü â ïåðâóþ î÷åðåäü ïðèäåðæèâàòüñÿ
ñîäåðæàíèÿ «Ãåîìåòðèè 10–11» Ë.Ñ. Àòàíàñÿíà è äð.,
íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííîãî â Ðîññèè íà ñåãîäíÿ ó÷åáíèêà
ãåîìåòðèè; ê êîìïëåêòó ïðèëîæåíà òàáëèöà, êîòîðàÿ ïîçâîëèò
ó÷èòåëþ íàéòè æèâîé ÷åðòåæ (åñëè îí èìååòñÿ) ê çàäàííîìó
òåîðåòè÷åñêîìó ðàçäåëó èëè çàäà÷å èç ýòîãî ó÷åáíèêà.
Îäíàêî ïðàêòè÷åñêè âñå ÷åðòåæè ìîæíî èñïîëüçîâàòü è ïðè
ïðåïîäàâàíèè ïî ëþáîìó äðóãîìó ó÷åáíèêó. Áîëüøèíñòâî
÷åðòåæåé êîìïëåêòà ïîñâÿùåíû íà÷àëüíûì, áàçîâûì òåìàì
êóðñà — âçàèìíîìó ðàñïîëîæåíèþ, ïàðàëëåëüíîñòè è ïåðïåíäè­
êó­ëÿðíîñòè ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé, îñîáåííî ïîëíî ïðåäñòàâëåíû
çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå ñå÷åíèé. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ, â îñíîâíîì, òåì,
÷òî èìåííî ïåðâûå øàãè â èçó÷åíèè ãåîìåòðèè ïðîñòðàíñòâà
âûçûâàþò ó ó÷åíèêîâ îñíîâíûå òðóäíîñòè, çäåñü çàêëàäûâàåòñÿ
îñíîâà äëÿ óñïåøíîãî îñâîåíèÿ âñåãî êóðñà, è íà ýòîì ýòàïå
ðàáîòà ñ ìîäåëÿìè ïðèíåñåò íàèáîëüøóþ ïîëüçó.
93
 äðóãèõ ðàçäåëàõ êóðñà âûáèðàëèñü ìàòåðèàëû, ñàìûå
ñóùåñòâåííûå äëÿ ñàìîãî êóðñà èëè ïîçâîëÿþùèå íàèáîëåå
ïîëíî ðåàëèçîâàòü ïðåèìóùåñòâà äèíàìè÷åñêèõ òðåõìåðíûõ
÷åðòåæåé.
Ñ òî÷êè çðåíèÿ ñëîæíîñòè àâòîðû òàêæå îðèåíòèðîâàëèñü
íà îñíîâíóþ ìàññó ó÷àùèõñÿ. Ëèøü íåáîëüøîå ÷èñëî çàäàíèé
ìîæíî îòíåñòè ê óðîâíþ íåñêîëüêî âûøå ñðåäíåãî.
Íî ïîèñòèíå íåèñ÷åðïàåìîå ïîëå äåÿòåëüíîñòè äëÿ ñèëüíûõ
ó÷åíèêîâ îòêðûâàþò çàäàíèÿ ïî ñàìîñòîÿòåëüíîìó êîíñòðóèðî­
âàíèþ ÷åðòåæåé áîëåå ñëîæíûõ òåë è êîíñòðóêöèé.
Ñ ýòîé öåëüþ â êîìïëåêò âêëþ÷åíû øàáëîíû è èíñòðóìåíòû,
êîòîðûå ñóùåñòâåííî óïðîñòÿò ÷èñòî òåõíè÷åñêóþ ñòîðîíó ýòîé
ðàáîòû, ñäåëàâ åå èíòåðåñíåå.
94
Ìèíèìóì íåîáõîäèìûõ íàâûêîâ äëÿ ðàáîòû
ñ àëüáîìîì «Ñòåðåîìåòðèÿ»
Èíòåðåñíîé îñîáåííîñòüþ ÷åðòåæåé äàííîãî êîìïëåêòà ÿâëÿåòñÿ
òî, ÷òî äëÿ ðàáîòû ñ íèìè, â îòëè÷èå îò çàäàíèé, ïðåäëàãàåìûõ
îáû÷íî ïðè èçó÷åíèè ïðîãðàììû Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà,
äîñòàòî÷íî ñàìîãî ìèíèìàëüíîãî âëàäåíèÿ èíòåðôåéñîì
ïðîãðàììû.  ïîäàâëÿþùåì áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ âñå, ÷òî
òðåáóåòñÿ îò ïîëüçîâàòåëÿ, ýòî óìåòü:
• ðàáîòàòü ñ ôàéëàìè — îòêðûâàòü, çàêðûâàòü, ñîõðàíÿòü;
• ðàáîòàòü ñ ìûøüþ, â ÷àñòíîñòè, íàæèìàòü âèðòóàëüíûå
êíîïêè, èìåþùèåñÿ íà âñåõ ÷åðòåæàõ (îäèíî÷íûé ùåë÷îê
íà êíîïêå), è ïåðåìåùàòü ìûøüþ ïîäâèæíûå ýëåìåíòû òàê
íàçûâàåìûõ «äâèæêîâ» (ïåðåòàñêèâàíèåì; ïðèìåðû ñì.
â ñëåäóþùåì ïîäðàçäåëå) — ýòîãî óæå âïîëíå äîñòàòî÷íî äëÿ
èñïîëüçîâàíèÿ ÷åðòåæåé èëëþñòðàòèâíîãî õàðàêòåðà;
• ñòðîèòü ïðÿìîëèíåéíûå îáúåêòû è âûïîëíÿòü ñâÿçàííûå
ñ íèìè êîìàíäû ìåíþ: ïðîâîäèòü ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå
(ïåðïåíäèêóëÿðàìè ïðàêòè÷åñêè ïîëüçîâàòüñÿ íå ïðèõîäèòñÿ),
íàõîäèòü ïåðåñå÷åíèÿ, ñòðîèòü ñåðåäèíó îòðåçêà, ïðÿòàòü
íåíóæíûå ýëåìåíòû ÷åðòåæà — ýòîãî õâàòèò äëÿ ðåøåíèÿ
çàäà÷ íà ïîñòðîåíèå;
• ðåäàêòèðîâàòü âû÷èñëåíèÿ ñ ïîìîùüþ âñòðîåííîãî
êàëüêóëÿòîðà — ýòî íåîáõîäèìî äëÿ çàïèñè îòâåòîâ â çàäà÷àõ
íà âû÷èñëåíèå.
×òîáû ñàìîñòîÿòåëüíûå ïîñòðîåíèÿ âûãëÿäåëè àêêóðàòíåå
è êðàñèâåå, æåëàòåëüíî íàó÷èòüñÿ ñòðîèòü âíóòðåííèå îáëàñòè
ìíîãîóãîëüíèêîâ, èçìåíÿòü öâåò îáúåêòîâ, òîëùèíó ëèíèé,
èìåíà îáúåêòîâ. Â îòäåëüíûõ çàäàíèÿõ íóæíî èçìåðÿòü äëèíû
îòðåçêîâ.
Óïðàâëåíèå èçîáðàæåíèåì
Íà âñåõ ÷åðòåæàõ èìååòñÿ «ïàíåëü», íà êîòîðîé ðàñïîëîæåíû
âèðòóàëüíûå äâèæêè è êíîïêè, óïðàâëÿþùèå ðàêóðñîì
è ðàçìåðîì èçîáðàæåíèÿ. Íà ðèñ. 1 òàêèõ ýëåìåíòîâ ìíîãî —
ýòà ïàíåëü âçÿòà èç ÷åðòåæà-øàáëîíà ïðÿìîóãîëüíîãî
ïàðàëëåëåïèïåäà è ïðåäóñìàòðèâàåò âîçìîæíîñòü åãî
èñïîëüçîâàíèÿ â ðàçíîîáðàçíûõ ñèòóàöèÿõ, êîãäà òðåáóåòñÿ
âûáðàòü êàêîé-òî êîíêðåòíûé ðàêóðñ ôèãóðû.
Åñëè èçìåíåíèå ðàêóðñà èñïîëüçóåòñÿ òîëüêî äëÿ ñîçäàíèÿ
«ñòåðåîýôôåêòà» è âûáèðàòü êîíêðåòíûé âèä íå íóæíî,
íà ïàíåëè îáû÷íî îñòàþòñÿ:
• äâèæîê Ìàñøòàá: äëèíà ñîîòâåòñòâóþùåãî îòðåçêà
èçìåíÿåòñÿ ïåðåòàñêèâàíèåì òðåóãîëüíèêà–óêàçàòåëÿ
ìûøüþ è ïîçâîëÿåò ïðîïîðöèîíàëüíî ìåíÿòü âñå ðàçìåðû
èçîáðàæåíèÿ,
• êíîïêà Ñòàðò/ñòîï è óãëîâîé äâèæîê, ïðèâîäÿùèå
èçîáðàæåííóþ êîíñòðóêöèþ âî âðàùåíèå âîêðóã ñâÿçàííîé
95
ñ íåé îñè: êíîïêà âêëþ÷àåò è âûêëþ÷àåò âðàùåíèå, äâèæîê
ïîçâîëÿåò âðàùàòü ôèãóðó âðó÷íóþ;
• äâèæîê Íàêëîí, ïîâîðà÷èâàþùèé ôèãóðó âîêðóã
ãîðèçîíòàëüíîé îñè âïåðåä è íàçàä â äèàïàçîíå îò –90° äî 90°;
ïðè íóëåâîì íàêëîíå îñü âðàùåíèÿ âåðòèêàëüíà.
Ðèñ. 1
Íà ðèñ. 1 èìååòñÿ òàêæå äâèæîê Âûñîòà, èçìåíÿþùèé
âûñîòó ïàðàëëåëåïèïåäà, è êíîïêè âûáîðà êîíêðåòíûõ âèäîâ
(ïðîåêöèé). Îáû÷íî íà ïàíåëè åñòü è êíîïêà  èñõîäíîå
ïîëîæåíèå, âîçâðàùàþùàÿ èçîáðàæåíèå ê èñõîäíîìó
«óäîáíîìó» ðàêóðñó.
 áîëüøèíñòâå ìîäåëåé èñïîëüçóþòñÿ è âèðòóàëüíûå êíîïêè
äðóãèõ òèïîâ — ïîêàçà è ñêðûòèÿ îáúåêòîâ, ïðåçåíòàöèé
(êîìáèíàöèè íåñêîëüêèõ êíîïîê) è äð. Íàïðèìåð, íà òîì
æå ÷åðòåæå ïàðàëëåëåïèïåäà èìååòñÿ êíîïêà Ñìåíèòü
ïðåäñòàâëåíèå ðåáåð, êîòîðàÿ çàäàåò îäèí èç äâóõ ñïîñîáîâ
èçîáðàæåíèÿ ðåáåð (ñ ó÷åòîì è áåç ó÷åòà èõ âèäèìîñòè; ðèñ. 2).
Ðèñ. 2
Îáðàòèì âíèìàíèå íà êíîïêè, íàçûâàåìûå, â çàâèñèìîñòè
îò êîíòåêñòà, Ê íà÷àëó, Ñáðîñ, Îòìåíèòü è ò. ï. Îíè
âîçâðàùàþò ðèñóíîê â èñõîäíîå ñîñòîÿíèå, íî íå ìîãóò «ñòåðåòü»
ïîñòðîåíèÿ èëè îòìåíèòü èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ, ïðîèçâåäåííûå
ïîëüçîâàòåëåì.  ýòèõ ñëó÷àÿõ ñëåäóåò çàêðûòü ÷åðòåæ áåç
ñîõðàíåíèÿ (ñì. «Èñïîëüçîâàíèå ñòåðåî÷åðòåæåé â ó÷åáíîì
ïðîöåññå»).
96
Õàðàêòåðèñòèêè ÷åðòåæåé
×òîáû îáëåã÷èòü èñïîëüçîâàíèå êîìïëåêòà, ê íåìó ïðèëîæåíà
òàáëèöà, êðàòêî îïèñûâàþùàÿ âñå õàðàêòåðèñòèêè ÷åðòåæåé.
Ôàéë òàáëèöû âû ìîæåòå íàéòè ïî àäðåñó:
…/Modules/Stereometry/Documentation/Õàðàêòåðèñòèêè ÷åðòåæåé.xls.
Ïåðâûå äâà ñòîëáöà ïðåäíàçíà÷åíû äëÿ ïîèñêà íóæíîãî ÷åðòåæà.
 ïåðâîì ñòîëáöå íàõîäÿòñÿ íàçâàíèÿ âñåõ ÷åðòåæåé, îòðàæàþùèå
èõ òåìàòèêó. Îíè ðàçáèòû íà 9 ðàçäåëîâ, ïðèáëèçèòåëüíî
ñîîòâåòñòâóþùèõ ãëàâàì ñòàíäàðòíûõ ó÷åáíèêîâ ñòåðåîìåòðèè,
ïðåæäå âñåãî, «Ãåîìåòðèè 10–11» Ë.Ñ. Àòàíàñÿíà è äð.:
• Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé
• Ïàðàëëåëüíîñòü ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé
• Ïîñòðîåíèå ñå÷åíèé
• Ïåðïåíäèêóëÿðíîñòü ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé
• Óãëû è ðàññòîÿíèÿ â ïðîñòðàíñòâå
• Âåêòîðû è êîîðäèíàòû
• Ìíîãîãðàííèêè
• Êðóãëûå òåëà
• Øàáëîíû è èíñòðóìåíòû
Ðàçäåë Ïîñòðîåíèå ñå÷åíèé îáðàçîâàí â ñâÿçè ñ áîëüøèì
÷èñëîì ñîîòâåòñòâóþùèõ çàäàíèé, èõ âàæíîñòüþ ïðè èçó÷åíèè
ñòåðåîìåòðèè è òåì, ÷òî â ýòèõ çàäàíèÿõ îñîáåííî ÿðêî
ïðîÿâëÿåòñÿ ýôôåêò îò ïðèìåíåíèÿ êîìïüþòåðíûõ ìîäåëåé
â ïðåïîäàâàíèè ãåîìåòðèè.
97
Îñîáíÿêîì ñòîèò ïîñëåäíèé ðàçäåë — Øàáëîíû è èíñòðóìåíòû,
÷åðòåæè êîòîðîãî îáúåäèíåíû íå òåìàòè÷åñêè (êîíêðåòíîãî
ó÷åáíîãî ñîäåðæàíèÿ îíè íå íåñóò, õîòÿ è ìîãóò áûòü îòíåñåíû,
â îñíîâíîì, ê ðàçäåëó Ìíîãîãðàííèêè), à ïî ñâîèì ôóíêöèÿì;
ïîäðîáíåå î íèõ ãîâîðèòñÿ íèæå.
Íàçíà÷åíèå âòîðîãî ñòîëáöà òàêæå î÷åâèäíî: çäåñü ïåðå÷èñëåíû
ïóíêòû ó÷åáíèêà, ê êîòîðûì îòíîñÿòñÿ «òåîðåòè÷åñêèå»
÷åðòåæè, è íîìåðà çàäà÷, íà îñíîâå êîòîðûõ áûëè ïîñòðîåíû
÷åðòåæè–çàäàíèÿ. Îòìåòèì, ÷òî â íåñêîëüêèõ ñëó÷àÿõ ìû ñî÷ëè
öåëåñîîáðàçíûì ïîìåñòèòü ÷åðòåæ â èíîé ðàçäåë, ÷åì áîëüøèíñòâî
äðóãèõ ÷åðòåæåé, îòíîñÿùèõñÿ ê òîé æå ãëàâå ó÷åáíèêà.
Òðåòèé ñòîëáåö òàáëèöû â êîììåíòàðèÿõ íå íóæäàåòñÿ — â íåì
ñòîÿò èìåíà ñîîòâåòñòâóþùèõ ôàéëîâ Æèâîé Ìàòåìàòèêè.
 ñëåäóþùèõ äâóõ ñòîëáöàõ îïèñàí òèï ÷åðòåæà êàê ó÷åáíîãî
îáúåêòà.
 ÷åòâåðòîì ñòîë­­­áöå óêàçàí õàðàêòåð èëëþñòðèðóåìîãî
÷åðòåæîì ìàòåðèàëà: ôðàãìåíò òåîðèè — îïðåäåëåíèå èëè
óòâåðæäåíèå (òåîðåìà èëè ëåììà) èëè çàäà÷à äëÿ
ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ (ïðîèëëþñòðèðîâàííûì ìîæåò áûòü
òîëüêî åå óñëîâèå èëè òàêæå è ðåøåíèå); êðîìå òîãî, èìååòñÿ
íåñêîëüêî ÷åðòåæåé-øàáëîíîâ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíûõ ïîñòðîåíèé.
Ïÿòûé ñòîëáåö ïîÿñíÿåò ôîðìó ïðåäñòàâëåíèÿ ìàòåðèàëà.
×åðòåæè, ðàññ÷èòàííûå òîëüêî íà ïðîñìîòð è ïîëó÷åíèå
èíôîðìàöèè, íàçâàíû èëëþñòðàöèÿìè è äåìîíñòðàöèÿìè,
à ïðåäïîëàãàþùèå àêòèâíîå öåëåíàïðàâëåííîå âìåøàòåëüñòâî
ó÷åíèêà â ÷åðòåæ — çàäàíèÿìè.
• Èëëþñòðàöèÿ — íàèáîëåå ïðîñòîé ïî ñòðóêòóðå ÷åðòåæ,
ïðåäíàçíà÷åííûé ëèøü äëÿ òîãî, ÷òîáû ñäåëàòü áîëåå
íàãëÿäíîé è ïîíÿòíîé ðàññìàòðèâàåìóþ êîíôèãóðàöèþ èëè
ïðîèçâîäèìûå íà íåé ïîñòðîåíèÿ; òåêñò íà òàêèõ ÷åðòåæàõ,
êàê ïðàâèëî, ñâîäèòñÿ ê ôîðìóëèðîâêå ôàêòà èëè óñëîâèÿ
çàäà÷è.
• Äåìîíñòðàöèÿ — ýòî èçëîæåíèå äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû èëè
ðåøåíèÿ çàäà÷è, «ðàçâîðà÷èâàþùååñÿ âî âðåìåíè», òî åñòü
ðàçáèòîå íà øàãè, íà êàæäîì èç êîòîðûõ èçìåíÿåòñÿ ðèñóíîê,
ïîÿâëÿþòñÿ êðàòêèå òåêñòîâûå ïîÿñíåíèÿ, êîíòðîëüíûå
âîïðîñû; ïåðåõîä ê íîâûì øàãàì îñóùåñòâëÿåòñÿ íàæàòèåì
íà êíîïêè.
• Çàäàíèå — ýòî èëëþñòðàöèÿ ê çàäà÷å, ÷àùå âñåãî, íà
ïîñòðîåíèå èëè íà âû÷èñëåíèå.  çàäàíèÿõ ó÷åíèê äîëæåí
âûïîëíèòü íåêîòîðûå ïîñòðîåíèÿ (êàê â çàäà÷àõ íà ñå÷åíèÿ),
èçìåíèòü çíà÷åíèÿ ÷èñëîâûõ ïàðàìåòðîâ (ââîäÿ îòâåòû),
ïåðåäâèíóòü êàêèå-òî ÷àñòè ìîäåëè (íàïðèìåð, ñ öåëüþ
âûáîðà ñïåöèàëüíîãî «óäîáíîãî» ðàêóðñà èçîáðàæåíèÿ).
Îáû÷íî çàäàíèÿ ñîäåðæàò ôîðìóëèðîâêó òîãî, ÷òî
òðåáóåòñÿ ñäåëàòü, ÷åðòåæ–ìîäåëü è, çà÷àñòóþ, ìåõàíèçì
àâòîìàòè÷åñêîé ïðîâåðêè, ñîîáùàþùèé, âåðíî ëè âûïîëíåíî
çàäàíèå.
98
Íåêîòîðûå ÷åðòåæè èìåþò ïðèçíàêè íåñêîëüêèõ ðàçíûõ òèïîâ,
è îñòàëüíûå ñòîëáöû òàáëèöû ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü áîëåå ÿñíîå
ïðåäñòàâëåíèå î òîì, êàê óñòðîåí ÷åðòåæ è êàê ñ íèì ðàáîòàòü.
Ïðè ðàçðàáîòêå ñöåíàðèåâ äåìîíñòðàöèé àâòîðû ñòðåìèëèñü óéòè
îò ïàññèâíîãî âîñïðèÿòèÿ èíôîðìàöèè, èçáåãàëè ïîäðîáíûõ
îáúÿñíåíèé «êàê â ó÷åáíèêå». Ïîýòîìó ðàññóæäåíèÿ äàþòñÿ
â êîíñïåêòèâíîé ôîðìå, à íåäîñòàþùèå äåòàëè âîñïîëíÿþòñÿ
ïîäñêàçêàìè, íàâîäÿùèìè è êîíòðîëüíûìè âîïðîñàìè.
Ïðè÷åì ïîäñêàçêè ýòè — «ãðàôè÷åñêèå»: ïî íàæàòèþ
êíîïêè ïîÿâëÿþòñÿ äîïîëíèòåëüíûå ïîñòðîåíèÿ, èçìåíÿåòñÿ
ðàñïîëîæåíèå ýëåìåíòîâ èëè ðàêóðñ èçîáðàæåíèÿ òàê, ÷òîáû
íàìåêíóòü íà èäåþ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû èëè ðåøåíèÿ çàäà÷è.
 øåñòîì ñòîëáöå òàáëèöû îòìå÷åíû ìàòåðèàëû, ñîäåðæàùèå
òàêèå ïîäñêàçêè, à â ñåäüìîì ñòîëáöå — íàëè÷èå íàâîäÿùèõ
è êîíòðîëüíûõ âîïðîñîâ.
Ïîñëåäíèå äâà ñòîëáöà îòíîñÿòñÿ, â îñíîâíîì, ê ÷åðòåæàìçàäàíèÿì: â âîñüìîì ñòîëáöå óêàçàíî, êàêîãî ðîäà çàäàíèå
äîëæåí âûïîëíèòü ó÷àùèéñÿ (ïîñòðîåíèå, âû÷èñëåíèå,
èçìåðåíèå, âûáîð íóæíîãî ðàêóðñà èçîáðàæåíèÿ èëè
«èçìåíåíèå» — òàê ìû îáîçíà÷èëè ðàçíîîáðàçíûå çàäàíèÿ,
â êîòîðûõ òðåáóåòñÿ ïåðåìåñòèòü êàêèå-òî ýëåìåíòû ÷åðòåæà,
èçìåíèòü ðàçìåðû è ò. ï.), à èç äåâÿòîãî ñòîëáöà ìîæíî
óçíàòü, ïðîâåðÿåòñÿ ëè îòâåò àâòîìàòè÷åñêè.
Èñïîëüçîâàíèå ñòåðåî÷åðòåæåé â ó÷åáíîì ïðîöåññå
Òèï ÷åðòåæà êàê ó÷åáíîãî îáúåêòà îïðåäåëÿåò ñïîñîá åãî
èñïîëüçîâàíèÿ. Ìû îãðàíè÷èìñÿ óïîìèíàíèåì òðåõ îñíîâíûõ
âàðèàíòîâ îðãàíèçàöèè ðàáîòû:
1. Ãðóïïîâàÿ ðàáîòà ñ êëàññîì ïðè ó÷àñòèè ó÷èòåëÿ òðåáóåò
íàëè÷èÿ â êëàññå ìåäèà-ïðîåêòîðà. Ó÷èòåëü äåìîíñòðèðóåò
÷åðòåæ íà íàñòåííîì ýêðàíå, îáñóæäàåò åãî ñ ó÷åíèêàìè,
ïîëó÷àåò îò íèõ îòâåòû íà âîïðîñû, çàäàâàåìûå íà ÷åðòåæå,
âûïîëíÿåò ïî èõ ïðåäëîæåíèÿì çàäàíèÿ è ò. ï. Ìåñòî
ó÷èòåëÿ çäåñü ìîæåò çàíÿòü è âûçâàííûé «ê äîñêå» ó÷åíèê.
2. Ñàìîñòîÿòåëüíàÿ ðàáîòà â êëàññå âîçìîæíà â êîìïüþòåðíîì
êëàññå ñ äîñòàòî÷íûì êîëè÷åñòâîì ðàáî÷èõ ìåñò. Ó÷åíèêè
âûïîëíÿþò ñâîè çàäàíèÿ ñàìîñòîÿòåëüíî ëèáî íåáîëüøèìè
ãðóïïàìè ïî 2–3 ÷åëîâåêà, ÷òî áûâàåò äàæå áîëåå
ýôôåêòèâíî.
3. Ñàìîñòîÿòåëüíàÿ èíäèâèäóàëüíàÿ ðàáîòà äîìà.
Ñ ÷åðòåæàìè, èëëþñòðèðóþùèìè òåîðèþ è ðåøåíèÿ çàäà÷,
òî åñòü èëëþñòðàöèÿìè è äåìîíñòðàöèÿìè ëó÷øå ðàáîòàòü
íà áîëüøîì ýêðàíå, õîòÿ ìîæíî èçó÷àòü èõ è â ðåæèìå
ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû. Ïîøàãîâûå äåìîíñòðàöèè îáû÷íî
ñîäåðæàò ïîÿñíèòåëüíûé òåêñò; ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ó÷èòåëü
ïðèìåíÿåò èõ êàê íàãëÿäíîå ñîïðîâîæäåíèå ïðè îáúÿñíåíèè
íîâîãî ìàòåðèàëà èëè ïîâòîðåíèè.
99
 èëëþñòðàöèÿõ ñ ïîäñêàçêàìè (êîòîðûå ìîæíî íàéòè ïî ñïèñêó
ìàòåðèàëîâ) âñå ðàññóæäåíèå ïðåäñòàâëåíî ïîñëåäîâàòåëüíûìè
èçìåíåíèÿìè êàðòèíêè, ýòî ñâîåãî ðîäà «äåìîíñòðàöèè áåç ñëîâ».
Èìè ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ êàê êàíâîé, íà îñíîâå êîòîðîé
ó÷àùèåñÿ äîëæíû ñàìîñòîÿòåëüíî âîññòàíîâèòü (èëè âñïîìíèòü)
è èçëîæèòü ïðîïóùåííûå äåòàëè. Íåêîòîðûå äîêàçàòåëüñòâà
è ðåøåíèÿ çàäà÷ äàíû â îáîèõ âàðèàíòàõ.
Çàäàíèÿ ðàññ÷èòàíû, â ïåðâóþ î÷åðåäü, íà ñàìîñòîÿòåëüíûå
çàíÿòèÿ. Ïðè ýòîì ðàáîòà çà êîìïüþòåðîì ìîæåò ñî÷åòàòüñÿ
ñ ðàáîòîé â òåòðàäè.  ÷àñòíîñòè, ýòî óìåñòíî â áîëüøèíñòâå
çàäà÷ íà âû÷èñëåíèå; â òàêîì ñëó÷àå ÷åðòåæ ïîìîãàåò ëó÷øå
ïîíÿòü óñëîâèå çàäà÷è, ïðèäóìàòü ðåøåíèå è ïðîâåðèòü
îòâåò. Çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå ðåøàþòñÿ íåïîñðåäñòâåííî
çà êîìïüþòåðîì.
Âàæíûé ñîâåò. ×òîáû çàäàíèå ìîæíî áûëî èñïîëüçîâàòü
ïîâòîðíî, ïîñëå îêîí÷àíèÿ ðàáîòû ôàéë ñëåäóåò çàêðûòü
áåç ñîõðàíåíèÿ; à ñîõðàíÿòü âíîâü âûïîëíåííûå ïîñòðîåíèÿ
ñëåäóåò â äðóãîì ôàéëå. Òàê æå ìîæíî ïîñòóïàòü, åñëè
ïðè âûïîëíåíèè çàäàíèÿ áûëè äîïóùåíû îøèáêè è íóæíî
íà÷àòü âñå ñíà÷àëà. Äðóãîé ïóòü — çàäàòü êîìàíäó îòìåíû
ïîñëåäíåãî âûïîëíåííîãî äåéñòâèÿ èç ìåíþ Ïðàâêà (èëè íàæàòü
êîìáèíàöèþ êëàâèø <Ctrl+Z>); îòìåíèòü ñðàçó âñå äåéñòâèÿ
(ïîñòðîåíèÿ, ïåðåìåùåíèÿ è ò. ä.), âûïîëíåííûå ïîñëå îòêðûòèÿ
ôàéëà, ìîæíî êîìàíäîé <Ctrl+Shift+Z>. Îäíàêî ýòî íå âñåãäà
îáåñïå÷èâàåò âîçâðàò ÷åðòåæà ê èñõîäíîìó ñîñòîÿíèþ — íà
ðèñóíêå ìîãóò ïîÿâèòüñÿ ëèøíèå îáúåêòû (÷òî ñâÿçàíî ñ
îñîáåííîñòÿìè ðàáîòû âèðòóàëüíûõ êíîïîê); â òàêîì ñëó÷àå
íóæíî âåðíóòüñÿ ê íà÷àëó ñ ïîìîùüþ ñîîòâåòñòâóþùåé êíîïêè,
ïðèñóòñòâóþùåé íà âñåõ ÷åðòåæàõ.
Øàáëîíû ñîäåðæàò ãîòîâûå èçîáðàæåíèÿ ñòàíäàðòíûõ ôèãóð, ñ
ïîìîùüþ êîòîðûõ ìîæíî ñîçäàâàòü íîâûå ÷åðòåæè, íàäñòðàèâàÿ
èëè èçìåíÿÿ çàãîòîâêè. ×åðòåæè ýòîãî òèïà ñíàáæåíû íàèáîëåå
ïîëíûì íàáîðîì óïðàâëÿþùèõ ýëåìåíòîâ (ïàíåëü íà ðèñ. 1 âçÿòà
ñ øàáëîíà ïàðàëëåëåïèïåäà). Â íåêîòîðûå øàáëîíû âñòðîåíû
ïîëüçîâàòåëüñêèå èíñòðóìåíòû äëÿ ïîñòðîåíèÿ èçîáðàæåíèé
âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêîâ ñ ó÷åòîì âèäèìîñòè èõ ýëåìåíòîâ
è èíñòðóìåíòû äëÿ íàíåñåíèÿ òî÷åê íà ïîäâèæíóþ ñèñòåìó
êîîðäèíàò, ïîçâîëÿþùèå ñòðîèòü èçîáðàæåíèÿ ëþáûõ ôèãóð.
Êîíå÷íî, îíè ðàññ÷èòàíû íà èíäèâèäóàëüíóþ ðàáîòó.
Íàêîíåö, ïðàêòè÷åñêè âñå ÷åðòåæè êîìïëåêòà ïîäõîäÿò äëÿ
ñàìîñòîÿòåëüíîé äîìàøíåé ðàáîòû, îäíàêî ó÷èòåëü äîëæåí
ïîäðîáíî îáúÿñíèòü, â ÷åì ñîñòîèò çàäàíèå è êàê åãî âûïîëíÿòü.
Ïîñêîëüêó ìíîãèå êîíñòðóêöèè â ÷åðòåæàõ ïîÿâëÿþòñÿ òîëüêî
ïî õîäó ðàáîòû, ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà çàãîëîâîêêîëîíòèòóë.  íåì óêàçàíà òåìàòèêà ÷åðòåæà è åãî òèï êàê
ó÷åáíîãî îáúåêòà. Áîëåå ïîäðîáíî ïîðÿäîê ðàáîòû ñ ÷åðòåæàìè
îáúÿñíÿåòñÿ íà ïðèìåðàõ â ñëåäóþùåì ðàçäåëå.
100
Ðàáîòà ñî ñòåðåî÷åðòåæàìè
Èëëþñòðàöèÿ
Íà ðèñ. 3 ïðèâåäåí ïðèìåð ÷åðòåæà-èëëþñòðàöèè (ê «ïðèçíàêó
ñêðåùèâàþùèõñÿ ïðÿìûõ»). Ðèñóíîê äàåò ÿñíîå è íàãëÿäíîå
ïðåäñòàâëåíèå î òîì, ÷òî òàêîå ñêðåùèâàþùèåñÿ ïðÿìûå,
ïîçâîëÿÿ óâèäåòü èõ ñ ðàçíûõ ñòîðîí è ïðè ðàçíûõ
ðàñïîëîæåíèÿõ òî÷åê. Ïðî÷óâñòâîâàòü ñìûñë òåîðåìû Ïðèçíàê
ñêðåùèâàþùèõñÿ ïðÿìûõ ïîçâîëÿåò âñòðîåííîå â ÷åðòåæ
çàäàíèå (â ýòîì ñìûñëå äàííûé ïðèìåð íåñòàíäàðòíûé): åñëè
ïîìåñòèòü ïîäâèæíóþ òî÷êó C íà ïðÿìóþ AB («âðó÷íóþ» èëè
Ðèñ. 3
ñ ïîìîùüþ êíîïêè), òî ïðÿìûå ñòàíóò ïåðåñåêàþùèìèñÿ,
î ÷åì è ñîîáùèò íàäïèñü ñïðàâà âíèçó. Îïòèìàëüíûé ñïîñîá
èñïîëüçîâàíèÿ ýòîãî ÷åðòåæà — äåìîíñòðàöèÿ íà áîëüøîì
ýêðàíå ïðè îáúÿñíåíèè ñîîòâåòñòâóþùåé òåìû. Ìîæíî ñäåëàòü
è èíà÷å: ñïðÿòàâ ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû, ïðåäëîæèòü ó÷àùèìñÿ
ïîýêñïåðèìåíòèðîâàòü è ñàìèì ñôîðìóëèðîâàòü ïðèçíàê
ñêðåùèâàþùèõñÿ ïðÿìûõ, à âîçìîæíî, è îïðåäåëåíèå. Ïðèìåðû
èëëþñòðàöèé ñ ïîäñêàçêàìè ðàññìàòðèâàþòñÿ â ñëåäóþùåì
ïîäðàçäåëå.
Äåìîíñòðàöèÿ
Ïîçíàêîìèìñÿ ñ äåìîíñòðàöèåé «Óãîë ìåæäó ïðÿìîé
è ïëîñêîñòüþ» èç òåìû «Óãëû è ðàññòîÿíèÿ â ïðîñòðàíñòâå».
Íà èñõîäíîé êàðòèíêå (ðèñ. 4 à) ïîêàçàíû ïëîñêîñòü
è ïåðåñåêàþùàÿ åå ïðÿìàÿ (òî÷êè A è M, çàäàþùèå ïðÿìóþ,
ìîæíî ïåðåäâèãàòü, à âñþ êîíôèãóðàöèþ â öåëîì âðàùàòü).
101
Íàæàâ íà êíîïêó Îïðåäåëåíèå, ìû óâèäèì (ðèñ. 4 á) åãî
ñëîâåñíóþ ôîðìóëèðîâêó è ãðàôè÷åñêóþ èëëþñòðàöèþ
ê íåìó. Îäíîâðåìåííî ïîÿâëÿåòñÿ íîâàÿ êíîïêà Óòâåðæäåíèå,
Ðèñ. 4 à
Ðèñ. 4 á
Ðèñ. 4 â
102
âûçûâàþùàÿ ôîðìóëèðîâêó ýêñòðåìàëüíîãî ñâîéñòâà óãëà
ìåæäó ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ, à òàêæå êíîïêè ïîøàãîâîãî ïîêàçà
åãî äîêàçàòåëüñòâà, âûçûâàåìûå èìè íàäïèñè, êîíòðîëüíûå
âîïðîñû è äîïîëíèòåëüíûå ïîñòðîåíèÿ. Íà ðèñ. 4 â ïîêàçàí
îêîí÷àòåëüíûé âèä ÷åðòåæà. Ýòà äåìîíñòðàöèÿ ïðåäíàçíà÷åíà
äëÿ ïîêàçà ÷åðåç ïðîåêòîð ïðè àêòèâíîì îáñóæäåíèè ñ êëàññîì.
 ó÷åáíèêå Ë.Ñ. Àòàíàñÿíà è äð. ðàçáèðàåìîå â íåé óòâåðæäåíèå
äàíî â âèäå çàäà÷è (ñ ðåøåíèåì).  êîìïëåêòå èìååòñÿ âòîðîé
âàðèàíò ýòîãî æå ÷åðòåæà, â êîòîðîì îòñóòñòâóþò ïîÿñíåíèÿ
è âîïðîñû ê äîêàçàòåëüñòâó, íî ïðîâåäåíî äîïîëíèòåëüíîå
ïîñòðîåíèå (â ñïèñêå ìàòåðèàëîâ ýòîò ÷åðòåæ îòíåñåí ê
èëëþñòðàöèÿì ñ ïîäñêàçêàìè). Åãî ìîæíî èñïîëüçîâàòü, êîãäà
óòâåðæäåíèå ïðåäëàãàåòñÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ.
Áîëåå òèïè÷íûé ïðèìåð ÷åðòåæà òîãî òèïà ïîêàçàí íà ðèñ. 5.
Ïîñòðîåíèå ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé äàííîé ïðÿìîé a
Ðèñ. 5
è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó M, çäåñü ïðîèñõîäèò ïî øàãàì: ñíà÷àëà
ïðîâîäèòñÿ ïëîñêîñòü ÷åðåç à è M, ïîòîì â ýòîé ïëîñêîñòè —
ïåðïåíäèêóëÿð p è ò. ä. Îïèðàÿñü íà ýòîò «ðàçâèâàþùèéñÿ»
ðèñóíîê, ó÷àùèåñÿ âîññòàíàâëèâàþò è îáîñíîâûâàþò äåòàëè
ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîñòðîåíèé è äîêàçàòåëüñòâ.
Îáðàòèì âíèìàíèå íà êíîïêè, èìåþùèåñÿ íà ýòîì è ìíîãèõ
äðóãèõ ÷åðòåæàõ òîãî æå òèïà.
Êíîïêà Âñå øàãè ïîäðÿä ïîçâîëÿåò ïðîñìîòðåòü âñå ïîñòðîåíèå
ñ íåáîëüøèìè ïàóçàìè ìåæäó øàãàìè. Ó÷èòåëü ìîæåò
âîñïîëüçîâàòüñÿ ýòîé âîçìîæíîñòüþ ïðè îïðîñå.
Êíîïêà Ê äîêàçàòåëüñòâó åäèíñòâåííîñòè îñóùåñòâëÿåò ïåðåõîä
íà âòîðóþ ñòðàíèöó ÷åðòåæà ê ñîîòâåòñòâóþùåìó ðàññóæäåíèþ,
à êíîïêà Ê íà÷àëó äîêàçàòåëüñòâà ñêðûâàåò âñå, ÷òî áûëî
ïîêàçàíî ïðè íàæàòèè êíîïîê øàãîâ.
Íàêîíåö, íà Ïàíåëè óïðàâëåíèÿ â äàííîì ñëó÷àå èìååòñÿ òîëüêî
äâå êíîïêè — îäíà èç íèõ çàïóñêàåò èëè ïðåêðàùàåò âðàùåíèå,
à äðóãàÿ óñòàíàâëèâàåò èñõîäíûé óãîë ïîâîðîòà.
103
Çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå ñå÷åíèé
 ãðàôå «âèä çàäàíèÿ» ñïèñêà ÷åðòåæåé óêàçàíû òàêèå âèäû
çàäàíèé: ïîñòðîåíèå, âû÷èñëåíèå, èçìåðåíèå, èçìåíåíèå, âûáîð
ðàêóðñà, à òàêæå èõ êîìáèíàöèè.
Áîëüøàÿ ÷àñòü çàäàíèé íà ïîñòðîåíèå — ýòî çàäà÷è íà
ïîñòðîåíèå ñå÷åíèé. Íà ðèñ. 6 ïîêàçàíî îäíî èç òàêèõ çàäàíèé,
òî÷íåå, ÷åðòåæ ñ åãî ðåøåíèåì â çàêëþ÷èòåëüíîì ñîñòîÿíèè,
ïîñëå ïðîõîäà ïî âñåì øàãàì (ðåøåíèÿ äàíû êî âñåì çàäà÷àì
íà ñå÷åíèÿ). Ñî ñòðóêòóðîé ÷åðòåæåé òàêîãî òèïà ìû óæå
ïîçíàêîìèëèñü â ïðåäûäóùåì ïîäðàçäåëå.
Ðèñ. 6
Îòìåòèì íåêîòîðûå îñîáåííîñòè ñàìîé ìîäåëè íà ýòîì ÷åðòåæå.
Âî-ïåðâûõ, äàííûå òî÷êè K, M, N ìîæíî ïðîèçâîëüíî ñìåùàòü
âäîëü ðåáåð, íà êîòîðûõ îíè ëåæàò; ïðè ýòîì ñîîòâåòñòâóþùèì
îáðàçîì èçìåíÿåòñÿ è ñå÷åíèå (â ÷àñòíîñòè, îíî ìîæåò ñòàòü
÷åòûð¸õóãîëüíèêîì). Âî-âòîðûõ, ðåáðà ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîïàäàÿ
íà åãî íåâèäèìóþ ñòîðîíó ïðè âðàùåíèè ôèãóðû, ñòàíîâÿòñÿ
ïóíêòèðíûìè, à íà âèäèìîé ñòîðîíå — ñïëîøíûìè. Òàêèì
îáðàçîì, ìîäåëü ïîçâîëÿåò â íàãëÿäíîé ôîðìå èññëåäîâàòü çàäà÷ó
âî âñåé ïîëíîòå. Íî ïðåäëàãàòü âñåì ó÷àùèìñÿ ñòðîèòü òàêóþ
ìîäåëü íå íóæíî, ñêîðåå, ýòî ïðîåêòíîå çàäàíèå.
×åðòåæ ê çàäàíèþ êàê òàêîâîìó, íà êîòîðîì ó÷åíèêè
âûïîëíÿþò ïîñòðîåíèÿ ñàìîñòîÿòåëüíî, ñîäåðæèò òîëüêî
èçîáðàæåíèå ïàðàëëåëåïèïåäà è äàííûõ òî÷åê K, M, N, à òàêæå
ïàíåëü óïðàâëåíèÿ è òåêñò óñëîâèÿ. Íà ÷åðòåæàõ-çàäàíèÿõ
ýôôåêò «íåâèäèìîñòè» ðåáåð íå èñïîëüçóåòñÿ, òàê êàê òî÷êà,
ïîñòðîåííàÿ, íàïðèìåð, íà ïóíêòèðíîì ðåáðå, áóäåò èñ÷åçàòü
ñ ÷åðòåæà ïðè âðàùåíèè, êîãäà ýòî ðåáðî áóäåò ïîïàäàòü íà
âèäèìóþ ñòîðîíó ïàðàëëåëåïèïåäà.
104
Èíñòðóìåíòàðèé ïðîãðàììû Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà ïîçâîëÿåò
âûïîëíÿòü íà ýêðàíå öèðêóëåì è ëèíåéêîé îáû÷íûå
ïîñòðîåíèÿ — òàêèå æå, êàê íà áóìàãå (êñòàòè, â çàäà÷àõ
íà ïîñòðîåíèå ñå÷åíèé ìîæíî — è æåëàòåëüíî — îáõîäèòüñÿ
îäíîé ëèíåéêîé). Â òî æå âðåìÿ, áëàãîäàðÿ òîìó, ÷òî ðàêóðñ
èçîáðàæåíèÿ â ëþáîé ìîìåíò ìîæíî èçìåíèòü, ýòè ïîñòðîåíèÿ
ïðîèñõîäÿò êàê áû â ïðîñòðàíñòâå, ÷òî ïðèäàåò ïðîöåññó
ðåøåíèÿ íîâîå êà÷åñòâî.
Îñîáî âûäåëèì âîçìîæíîñòü ñàìîêîíòðîëÿ: âñå âåðøèíû
ïðàâèëüíî ïîñòðîåííîãî ñå÷åíèÿ äîëæíû ëåæàòü â îäíîé
ïëîñêîñòè è, ñëåäîâàòåëüíî, â íåêîòîðîì ðàêóðñå îíè
îáÿçàòåëüíî ïîïàäóò íà îäíó ïðÿìóþ; ýòî ïðîèñõîäèò, êîãäà
íàïðàâëåíèå ïðîåêöèè ñòàíîâèòñÿ ïàðàëëåëüíûì ïëîñêîñòè
ñå÷åíèÿ. Åñëè âåðøèíû íèêîãäà íå îêàçûâàþòñÿ íà îäíîé
ïðÿìîé ïðè âðàùåíèÿõ — ïîñòðîåíèå îøèáî÷íî. Àíàëîãè÷íî
ìîæíî êîíòðîëèðîâàòü íå òîëüêî ðåçóëüòàò ïîñòðîåíèÿ, íî
è êàæäûé åãî øàã.
Çàäà÷è íà âû÷èñëåíèå
Ïðèìåð çàäà÷è íà âû÷èñëåíèå ïîêàçàí íà ðèñ. 7.
Ðèñ. 7
Êàê è â áîëüøèíñòâå çàäà÷ ýòîãî òèïà, íà ÷åðòåæå, êðîìå
óñëîâèÿ çàäà÷è è ìîäåëè ðàññìàòðèâàåìîé ôèãóðû, èìåþòñÿ
ïîëÿ äëÿ ââîäà è ïðîâåðêè îòâåòà. Îáû÷íî ýòî âûäåëåííûå
êðàñíûì öâåòîì âåëè÷èíû; â íàøåì ïðèìåðå èõ ÷åòûðå
(AM, DM è ò. ä.). Äëÿ ââîäà îòâåòà íóæíî äâàæäû ùåëêíóòü
íà ñîîòâåòñòâóþùåé âåëè÷èíå è îòðåäàêòèðîâàòü åå
â îòêðûâàþùåìñÿ îêíå. Íèæå ñëåäóåò áîëåå ïîäðîáíîå
îáúÿñíåíèå.
105
 Æèâîé Ìàòåìàòèêå åñòü òðè âèäà âåëè÷èí:
1. Èçìåðåíèÿ, òî÷íåå, ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé, ìåíÿþùèåñÿ
âìåñòå ñ èçìåðÿåìîé ôèãóðîé; íàïðèìåð, íà ðèñ. 7 ýòî äëèíû
èçìåíÿåìûõ îòðåçêîâ m è n, îïðåäåëÿþùèå äàííûå ïî
óñëîâèþ äëèíû ðåáåð AB è MB ïèðàìèäû;
2. Ïàðàìåòðû — òî åñòü äåñÿòè÷íûå ÷èñëà, ââîäèìûå
íåïîñðåäñòâåííî ñ êëàâèàòóðû; ïðè äâîéíîì ùåë÷êå ìûøüþ
íà ïàðàìåòðå îòêðûâàåòñÿ îêîøêî äëÿ ïðîñòîãî ÷èñëîâîãî
(«òåêñòîâîãî») ââîäà;
3. Âû÷èñëåíèÿ — ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ âûðàæåíèé, ñîñòàâëåííûõ
èç âåëè÷èí ëþáûõ òèïîâ ïðè ïîìîùè àëãåáðàè÷åñêèõ
îïåðàöèé è ôóíêöèé, çàëîæåííûõ â ïðîãðàììó; ïðè äâîéíîì
ùåë÷êå íà âû÷èñëåíèè íà ýêðàíå âûâîäèòñÿ âñòðîåííûé
â ïðîãðàììó ìîäóëü Êàëüêóëÿòîð, â êîòîðîì ìîæíî èçìåíèòü
ôîðìóëó èëè ïåðåîïðåäåëèòü âõîäÿùèå â íåå âåëè÷èíû.
Íàïðèìåð, åñëè âàì íóæíà âåëè÷èíà, ðàâíàÿ 1/3, ïðè÷åì âàñ
óñòðàèâàåò åå äåñÿòè÷íîå ïðèáëèæåíèå ñ òî÷íîñòüþ äî òûñÿ÷íûõ,
ìîæíî èñïîëüçîâàòü «ïðîñòîé» ÷èñëîâîé ïàðàìåòð, ïðèñâîèâ åìó
çíà÷åíèå 0,333 èëè âìåñòî ýòîãî äåñÿòè÷íîãî çíà÷åíèÿ ââåñòè
âûðàæåíèå 1/3 — îíî áóäåò àâòîìàòè÷åñêè ïðåîáðàçîâàíî
â äåñÿòè÷íóþ äðîáü (â ïðèíöèïå, â ïîëå ââîäà ïàðàìåòðà
äîïóñòèìû ëþáûå àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè). Íî åñëè âàì
òðåáóåòñÿ êàê ìîæíî áîëåå òî÷íîå çíà÷åíèå òîé æå äðîáè,
ñëåäóåò âîñïîëüçîâàòüñÿ «âû÷èñëåíèåì», òî åñòü îòðåäàêòèðîâàòü
âåëè÷èíó ñ ïîìîùüþ êàëüêóëÿòîðà, íàáðàâ â åãî îêíå âûðàæåíèå
1/3. Òîãäà çíà÷åíèå äðîáè áóäåò õðàíèòüñÿ â ïàìÿòè êîìïüþòåðà
ñ ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîé òî÷íîñòüþ (14–16 çíà÷àùèõ öèôð),
õîòÿ, êîíå÷íî, è ýòî çíà÷åíèå íå ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíî òî÷íûì.
Îòìåòèì, ÷òî íå ñëåäóåò ïóòàòü òî÷íîñòü ýêðàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ
÷èñåë ñ òî÷íîñòüþ ïðåäñòàâëåíèÿ â ïàìÿòè (ñì. ðàçäåë
«Âíóòðåííÿÿ ìàòåìàòèêà ïðîãðàììû Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà»
â ñèñòåìå ïîìîùè ïðîãðàììû). Òàê, åñëè íà ýêðàíå ÷èñëà
ïðåäñòàâëÿþòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî äâóõ çíàêîâ, òî îáà íàøèõ ÷èñëà
áóäóò âûãëÿäåòü êàê 0,33, à åñëè ñ òî÷íîñòüþ äî 6 çíàêîâ,
òî 0,333 áóäåò âûãëÿäåòü êàê 0,333000, à 1/3 êàê 0,333333.
Åñëè â îêíå êàëüêóëÿòîðà ââåñòè ëþáóþ äåñÿòè÷íóþ äðîáü, òî
ïîëó÷åííàÿ âåëè÷èíà àâòîìàòè÷åñêè ïðåîáðàçóåòñÿ â ïàðàìåòð
(äåñÿòè÷íîå ÷èñëî); äëÿ îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïàðàìåòðà
â âû÷èñëåíèå íóæíî ïðèìåíèòü ê íåìó êîìàíäó Èçìåíèòü
ïàðàìåòð (<Ctrl+E>), èìåþùóþñÿ â êîíòåêñòíîì ìåíþ
ïàðàìåòðà è â ìåíþ Ïðàâêà.
Îòâåòû â çàäà÷àõ âñåãäà ñëåäóåò ââîäèòü ñ ìàêñèìàëüíîé
òî÷íîñòüþ — ÷àùå âñåãî, êàê «âû÷èñëåíèå», ïðè÷åì â âèäå
âûðàæåíèÿ îò äàííûõ âåëè÷èí, à íå êîíêðåòíîãî ÷èñëîâîãî
âûðàæåíèÿ.
Íàïðèìåð, â íàøåì ïðèìåðå âåðíîå çíà÷åíèå AM ðàâíî
. Åñëè äâàæäû ùåëêíóòü íà ñîîòâåòñòâóþùåé
âåëè÷èíå íà ÷åðòåæå (íà AM = 7,57 ñì), òî îòêðîåòñÿ îêíî
106
êàëüêóëÿòîðà ñ âûðàæåíèåì n*2 (ýòî íåêîå ïðîèçâîëüíîå
âû÷èñëåíèå, íóæíîå òîëüêî äëÿ òîãî, ÷òîáû áûëî ïðîùå âûâåñòè
íà ýêðàí êàëüêóëÿòîð), êîòîðîå è ñëåäóåò çàìåíèòü èñêîìûì
âûðàæåíèåì.
Ïðè ýòîì, ÷òîáû âñòàâèòü â ôîðìóëó, íàáèðàåìóþ â êàëüêóëÿòîðå,
òðåáóåìóþ âåëè÷èíó (â äàííîì ñëó÷àå m èëè n, ïîìåùåííûå
â ôîðìóëèðîâêå óñëîâèÿ), äîñòàòî÷íî äâàæäû ùåëêíóòü íà íåé
ìûøüþ. Åñëè â èòîãå ââåäåíî èñòèííîå çíà÷åíèå èñêîìîé
âåëè÷èíû, òî ñîîáùåíèå ïîêà íåïðàâèëüíî çàìåíèòñÿ íà âåðíî!,
è ýòî ñîîáùåíèå áóäåò ñîõðàíÿòüñÿ íà ýêðàíå è ïðè âàðèàöèè
äàííûõ.
Çàìåòèì, êñòàòè, ÷òî â íàøåì ïðèìåðå äàííûå ìîæíî âàðüèðîâàòü
êàê ïåðåäâèãàÿ äâèæêè âíèçó ýêðàíà, òàê è ñëó÷àéíûì îáðàçîì
(êíîïêîé Íîâûå äàííûå), ïðè÷åì èçîáðàæåíèå ïèðàìèäû áóäåò
èçìåíÿòüñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ íîâûìè äàííûìè. Òàêèì îáðàçîì,
êàæäûé ó÷åíèê ìîæåò ïîëó÷èòü ñâîå êîíêðåòíîå çàäàíèå.
 íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ äëÿ òîãî, ÷òîáû óâèäåòü ñîîáùåíèå
î ïðàâèëüíîñòè îòâåòà ïîñëå åãî ââîäà, íàäî íàæàòü ñïåöèàëüíóþ
êíîïêó Ïðîâåðêà.
Íàêîíåö, óïîìÿíåì î êíîïêå Ïîäñêàçêà. Â ðàññìàòðèâàåìîì
ïðèìåðå îíà ïîìîãàåò ðåøèòü çàäà÷è. Ïîäñêàçêà ñîñòîèò â òîì,
÷òî ïèðàìèäà ïîâîðà÷èâàåòñÿ òàê, ÷òîáû ñîâïàëè èçîáðàæåíèÿ
òî÷åê A è C, òî åñòü ïîëó÷èëàñü ïðîåêöèÿ âäîëü ïðÿìîé AC
(ðèñ. 8). Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî â ýòîé ïðîåêöèè èñêîìûå
Ðèñ. 8
ðàññòîÿíèÿ ðàâíû AM è MB, ñîîòâåòñòâåííî. Âûáîð îïòèìàëüíîãî
ðàêóðñà (èëè ìåòîä ïðîåêöèè) — ýòî ìåòîä ðåøåíèÿ
ñòåðåîìåòðè÷åñêèõ çàäà÷, êîòîðûé íàèëó÷øèì îáðàçîì îòâå÷àåò
èíñòðóìåíòàðèþ íàøèõ ìîäåëåé, ïîñêîëüêó âûáèðàòü ðàêóðñ
ìîæíî, íåïîñðåäñòâåííî ïîâîðà÷èâàÿ èçîáðàæåíèå.
Äðóãèå âèäû çàäàíèé
 íåñêîëüêèõ çàäàíèÿõ êîìïëåêòà òðåáóåòñÿ ïåðåäâèíóòü
íåêîòîðûå òî÷êè òàê, ÷òîáû âûïîëíèòü îïðåäåëåííîå óñëîâèå.
Íàïðèìåð, â çàäàíèè «Âåêòîðíûå óðàâíåíèÿ» (ðèñ. 9) íóæíî
ðàñïîëîæèòü âåêòîð x òàê, ÷òîáû îí óäîâëåòâîðÿë çàäàííîìó
ñîîòíîøåíèþ.
107
Î òîì, ÷òî öåëü äîñòèãíóòà, ñîîáùèò íàäïèñü íà ýêðàíå. Ê ýòîìó
çàäàíèþ ïðèëàãàþòñÿ èíñòðóìåíòû äëÿ ðèñîâàíèÿ âåêòîðîâ
(ñòðåëîê) è äëÿ îòêëàäûâàíèÿ âåêòîðà îò òî÷êè.
Ðèñ. 9
Ðèñ. 10
Ïåðâûå ïóíêòû çàäàíèÿ íà òåìó «Êîìïëàíàðíîñòü âåêòîðîâ»
(ðèñ. 10) ñîñòîÿò â òîì, ÷òîáû, ïîëüçóÿñü äâèæêàìè íà
Ïàíåëè óïðàâëåíèÿ, ïîäîáðàòü òàêîé ðàêóðñ, ïðè êîòîðîì
ðàññìàòðèâàåìûå îòðåçêè îêàçûâàþòñÿ íà îäíîé ïðÿìîé —
îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñàìè îòðåçêè â ïðîñòðàíñòâå ëåæàò â îäíîé
ïëîñêîñòè.
Íàêîíåö, óïîìÿíåì è î çàäàíèÿõ, â êîòîðûõ òðåáóåòñÿ
âûïîëíèòü èçìåðåíèÿ, ÷òîáû âûâåñòè èëè ïðîâåðèòü ôîðìóëû,
ñâÿçûâàþùèå íåêîòîðûå âåëè÷èíû. Êîìàíäû èçìåðåíèÿ îïèñàíû
â ñîîòâåòñòâóþùåì ðàçäåëå ñïðàâêè ïî ïðîãðàììå. Íàéòè ýòè
çàäàíèÿ ìîæíî ïî ñïèñêó ÷åðòåæåé êîìïëåêòà.
108
Øàáëîíû è èíñòðóìåíòû
 êîìïëåêòå èìååòñÿ ïÿòü ÷åðòåæåé-øàáëîíîâ. Òðè èç íèõ —
ýòî ìîäåëè ìíîãîãðàííèêîâ (íàêëîííîãî è ïðÿìîóãîëüíîãî
ïàðàëëåëåïèïåäîâ, òåòðàýäðà — ñì. ðèñ. 11). Êðîìå Ïàíåëè
óïðàâëåíèÿ ïîëîæåíèåì ñ äâèæêàìè, çàäàþùèìè ïîâîðîò
è íàêëîí èçîáðàæåíèÿ, îáùèé ìàñøòàá è ðàçìåðû ôèãóðû,
Ðèñ. 11
è êíîïêàìè ñïåöèàëüíûõ «õîðîøèõ» ðàêóðñîâ (î íèõ ìû óæå
ãîâîðèëè ðàññìàòðèâàÿ ðèñ. 1), íà ýòèõ ÷åðòåæàõ èìåþòñÿ
êíîïêè äëÿ óïðàâëåíèÿ âèäîì, òî÷íåå, ñïîñîáîì ïðåäñòàâëåíèÿ
ôèãóðû. Ýòè êíîïêè ïîçâîëÿþò:
• ïîêàçûâàòü ãðàíè ìíîãîãðàííèêà èëè ïðÿòàòü èõ, îñòàâëÿÿ
òîëüêî «êàðêàñ» èç åãî ðåáåð (îòìåòèì, ÷òî ïðè ïîïàäàíèè
íà îáðàòíóþ, íåâèäèìóþ, ñòîðîíó ôèãóðû ãðàíè èñ÷åçàþò,
÷òîáû âíîâü ïîÿâèòüñÿ íà âèäèìîé ñòîðîíå; öâåò êàæäîé
ãðàíè îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèì ÷èñëîâûì ïàðàìåòðîì,
êîòîðûì ìîæíî óïðàâëÿòü);
• èçìåíÿòü ïðåäñòàâëåíèå ðåáåð: íà ðèñ. 11 âèäèìûå ðåáðà
ïîêàçàíû æèðíûìè ëèíèÿìè, à íåâèäèìîå — ïóíêòèðîì
(è ýòî áóäåò ñîáëþäàòüñÿ ïðè âðàùåíèè ïèðàìèäû), íî ìîæíî
âñå ðåáðà ïîêàçàòü îäèíàêîâî — ñïëîøíûìè ëèíèÿìè;
ýòîò «ïðîñòîé» âèä íóæíî âûáèðàòü, åñëè íà ÷åðòåæå
ïðåäïîëàãàåòñÿ ïðîèçâîäèòü êàêèå-òî ïîñòðîåíèÿ;
• ïîêàçûâàòü èëè ñêðûâàòü âåðøèíû.
Òàêæå ìîæíî óâèäåòü èçîáðàæåíèå íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ
ýëåìåíòîâ (â íàøåì ïðèìåðå — ìåäèàí òåòðàýäðà, ñèñòåìû
êîîðäèíàò, â êîòîðîé îí ïîñòðîåí). Åùå îäíî âàæíîå ñâîéñòâî
äàííîé ìîäåëè — âîçìîæíîñòü ïåðåìåùàòü âåðøèíû,
ïðîèçâîëüíî èçìåíÿÿ ôîðìó ïèðàìèäû.
Ìîäåëè ìíîãîãðàííèêîâ ìîãóò ñëóæèòü çàãîòîâêàìè äëÿ
èëëþñòðèðîâàíèÿ èõ ðàçíîîáðàçíûõ ñâîéñòâ èëè îñíîâîé äëÿ
äîïîëíèòåëüíûõ ïîñòðîåíèé, ïîçâîëÿþùåé ñîçäàâàòü ìîäåëè
áîëåå ñëîæíûõ ôèãóð. Ïðè èñïîëüçîâàíèè ìîäåëåé íåíóæíûå
êíîïêè ñëåäóåò ñïðÿòàòü èëè âîîáùå óäàëèòü (ïàðàìåòðû óäàëÿòü
íåëüçÿ!).
×åðòåæ Èçîáðàæåíèå íåâèäèìûõ ýëåìåíòîâ ñîäåðæèò ìîäåëü
ïðàâèëüíîé ÷åòûð¸õóãîëüíîé ïèðàìèäû íà îäíîé èç ñòðàíèö,
109
íî ãëàâíîå åãî íàçíà÷åíèå â äðóãîì: â íåì «óïàêîâàíû»
èíñòðóìåíòû äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìîäåëåé ñ ýôôåêòîì íåâèäèìûõ
ðåáåð è ãðàíåé, ïîäîáíûì îïèñàííîìó âûøå. Ïðàâèëà
èñïîëüçîâàíèÿ ýòèõ èíñòðóìåíòîâ ïîäðîáíî îáúÿñíÿþòñÿ â ñàìîì
÷åðòåæå.
Íà ÷åðòåæå Îñíîâíîé øàáëîí äëÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ êîíñòðóêöèé
èçîáðàæåíû îñè OX, OY è OZ âðàùàþùåéñÿ ñèñòåìû êîîðäèíàò è
ïàíåëü óïðàâëåíèÿ âðàùåíèÿìè. Ìîæíî âçÿòü òî÷êó íà êàæäîé
îñè (x, y, z, ñîîòâåòñòâåííî) è ïîñòðîèòü ïî ýòèì òî÷êàì
èçîáðàæåíèå òàêîé òî÷êè A, ÷òîáû åå ïðîåêöèÿ íà îñü OX
ïàðàëëåëüíî ïëîñêîñòè OYZ ñîâïàäàëà ñ òî÷êîé x, à àíàëîãè÷íûå
ïðîåêöèè íà äâå äðóãèå îñè ñîâïàäàëè ñ y è z. Òîãäà ïðè
âðàùåíèè ñèñòåìû êîîðäèíàò òî÷êà A áóäåò âðàùàòüñÿ âìåñòå
ñ íåé. Ïîñòðîèâ äîñòàòî÷íîå ÷èñëî òî÷åê, ìîæíî ïîëó÷èòü
èçîáðàæåíèå ëþáîé ôèãóðû, «ïðèâÿçàííîé» ê ñèñòåìå êîîðäèíàò.
 ôàéëå èìåþòñÿ èíñòðóìåíòû, îáëåã÷àþùèå ïîñòðîåíèå òî÷åê,
ïðèâÿçàííûõ ê îñÿì: îäèí èç íèõ ñòðîèò òî÷êó ñ çàäàííûìè
÷èñëîâûìè çíà÷åíèÿìè êîîðäèíàò, à äðóãîé — â ïëîñêîñòè,
ñîäåðæàùåé äâå äàííûå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå ñòðîèò òî÷êó,
êîòîðàÿ âðàùàåòñÿ âìåñòå ñ ïëîñêîñòüþ è êîòîðóþ, â òî æå
âðåìÿ, ìîæíî ïåðåìåùàòü ïî ïëîñêîñòè.
Äîïîëíèòåëüíûå ñâåäåíèÿ ïî ðàññìîòðåííûì âîïðîñàì ìîæíî
íàéòè â ñëåäóþùèõ èñòî÷íèêàõ.
1. Äóáðîâñêèé Â.Í. Íåîæèäàííûé ðàêóðñ. — «Êâàíò» ¹2, 1980.
2. Äóáðîâñêèé Â.Í. Ñòåðåîìåòðèÿ ñ êîìïüþòåðîì. — «Êîìïüþòåðíûå
èíñòðóìåíòû â îáðàçîâàíèè» ¹6, 2003.
3. Äóáðîâñêèé Â.Í. è äð. Îáðàçîâàòåëüíûé êîìïëåêñ «Ìàòåìàòèêà,
5– 11 êëàññû. Ïðàêòèêóì». — ÇÀÎ «1Ñ», ÈÍÒ è äð., 2002–2005.
110
Ìîäåëè òèïè÷íûõ ôîðì
èñïîëüçîâàíèÿ ÆÌ
 ýòîì àëüáîìå ïðåäñòàâëåíû ìîäåëè, êîòîðûå ìîãóò áûòü
ïîëåçíû êàê äëÿ îáúÿñíåíèÿ íîâîãî ìàòåðèàëà, òàê è äëÿ
çàêðåïëåíèÿ ïîëó÷åííûõ çíàíèé: «äåìîíñòðàöèÿ», «çàäà÷íèê»,
«ó÷åáíèê», «ïðîåêò». Ìîäåëè äàþò ãðàôè÷åñêèé îáðàç ïîíÿòèé
è èõ ñâÿçåé â äèíàìèêå è èëëþñòðèðóþò òàêèå òåìû è ïîíÿòèÿ
êàê ïðîèçâîäíàÿ, èíòåãðàë, ïðîèçâîäíàÿ ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè
è åå ñâîéñòâà, ñðåäíåå è äèñïåðñèÿ, ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå
êâàäðàòíîãî íåðàâåíñòâà.
Îñíîâíàÿ öåëü ìîäåëåé, ñëóæàùèõ äëÿ çàêðåïëåíèÿ
ïîëó÷åííûõ çíàíèé, — äàòü ó÷åíèêó èíñòðóìåíò äëÿ ñàìîñòîÿ­
òåëüíîé ðàáîòû â ðàìêàõ îñâîåíèÿ íîâîé òåìû, ïîìî÷ü ó÷àùèìñÿ
ñâÿçàòü ãðàôè÷åñêèé îáðàç ïîíÿòèé è èõ òî÷íûå îïðåäåëåíèÿ;
îâëàäåòü ïîíÿòèÿìè íàñòîëüêî, ÷òîáû äîáèâàòüñÿ òðåáóåìûõ
ðåçóëüòàòîâ; îñâîèòü ïîíÿòèÿ íå òîëüêî íà êà÷åñòâåííîì, íî
è íà êîëè÷åñòâåííîì óðîâíå, ïðîâîäÿ èçìåðåíèÿ è ïðîâåðÿÿ
ñîîòâåòñòâèå ðåçóëüòàòîâ çàäàííûì èëè îæèäàåìûì
çíà÷åíèÿì; ðàçîáðàòüñÿ â ñâÿçÿõ âïåðâûå ââîäèìûõ ïîíÿòèé
ñ óæå îñâîåííûìè; îáðàòèòü âíèìàíèå íà äåòàëè, îñîáåííî
ïðîïåäåâòè÷åñêîãî õàðàêòåðà.
Çäåñü ïðåäëàãàþòñÿ ìîäåëè ïî ñëåäóþùèì òåìàì:
• äðîáíî-ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ, òåîðåìà Ïèôàãîðà, ãåîìåòðè÷åñêîå
îïðåäåëåíèå ïàðàáîëû;
• íåïðåðûâíûé ñïåêòð êîíè÷åñêèõ ñå÷åíèé, çàäà÷à Åâêëèäà,
îñâîåíèå ïîíÿòèé ñðåäíåãî è äèñïåðñèè äëÿ äèñêðåòíîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ.
Êëàññ çàäà÷ «íà ïîñòðîåíèå» ïî÷òè íå èìååò àíàëîãà
â øêîëüíîé àëãåáðå è íà÷àëàõ àíàëèçà. Ìåæäó òåì ðîëü ýòèõ
çàäà÷ òðóäíî ïåðåîöåíèòü. Áîëåå òîãî, ñîäåðæàùèéñÿ â íèõ
àëãîðèòìè÷åñêèé ýëåìåíò íåîáõîäèì äëÿ ôîðìèðîâàíèÿ
ìûøëåíèÿ, ðåàëèçóþùåãî öåëîñòíûé ïîäõîä. Ïîýòîìó
çàäà÷è èç êóðñà èíôîðìàòèêè, íàïðàâëåííûå íà îñâîåíèå
àëãîðèòìè÷åñêîãî ïîäõîäà, íå çàìåíÿþò ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷
íà ïîñòðîåíèå, íî ìîãóò (è äîëæíû) äîïîëíÿòü èõ.
Èìåííî â ýòîì êëàññå çàäà÷ äèäàêòè÷åñêèå âîçìîæíîñòè
Æèâîé Ìàòåìàòèêè îñîáåííî âåëèêè áëàãîäàðÿ èñêëþ÷èòåëüíîé
ÿñíîñòè è öåëüíîñòè çàëîæåííûõ â íåé ïðèíöèïîâ êîíñòðóèðî­
âàíèÿ. Èëëþñòðàöèåé ê ýòîìó ðàçäåëó ÿâëÿþòñÿ è ÷åðòåæè,
è íàáîðû ñöåíàðèåâ è èíñòðóìåíòîâ: ðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêîâ
ïî äâóì ñòîðîíàì è äâóì ïðèëåãàþùèì ê íèì, ðàâåíñòâî
òðåóãîëüíèêîâ ïî äâóì ñòîðîíàì è óãëó ìåæäó íèìè, ðàâåíñòâî
òðåóãîëüíèêîâ ïî òðåì ñòîðîíàì, òðåóãîëüíèêè ñ òðåìÿ
ðàâíûìè óãëàìè, çàäà÷à çàìîùåíèÿ ïëîñêîñòè ïðàâèëüíûìè
ìíîãîóãîëüíèêàìè è èõ êîìïëåêñàìè.
111
Çàäà÷è íà ðàçâèòèå ãåîìåòðè÷åñêîé èíòóèöèè è àëãîðèòìè­
÷åñêîãî âîîáðàæåíèÿ — óíèêàëüíûé êëàññ çàäà÷, íåêîòîðûå
èç êîòîðûõ ìîãëè áû âûïîëíÿòüñÿ ó÷àùèìèñÿ íà ó÷åáíûõ
ìåõàíè÷åñêèõ øàðíèðíûõ ìîäåëÿõ. ×àñòü ýòèõ çàäà÷ ïîñòðîåíà
ïî ïðèíöèïó «÷åðíîãî ÿùèêà» — íàáëþäåíèÿ çà äâèæåíèåì
âåäóùèõ è âåäîìûõ òî÷åê (ýëåìåíòîâ) ïîçâîëÿþò âûñêàçàòü
ïðåäïîëîæåíèÿ î íåâèäèìîì ìåõàíèçìå (àëãîðèòìå ïîñòðîåíèÿ
ôèãóðû â öåëîì), ñâÿçûâàþùåì «âõîä» è «âûõîä». Çäåñü
ïðèâåäåíû øåñòü âàðèàíòîâ òàêèõ çàäà÷.
Ñàìûå òèïè÷íûå ôîðìû èñïîëüçîâàíèÿ ÆÌ â çàíÿòèÿõ
ñ ó÷àùèìèñÿ — ýòî äåìîíñòðàöèîííàÿ ôîðìà (çäåñü: ôèëüì),
òðàäèöèîííàÿ ôîðìà îñâîåíèÿ ìàòåðèàëà (çäåñü: çàäà÷íèê);
ôîðìà ðàáîòû ñ íîâûì ïîíÿòèåì (çäåñü: ó÷åáíèê); ïðîåêòíàÿ
ôîðìà ðàáîòû (çäåñü: ïðîåêò).
«Ôèëüì» — ýòî ÷åðòåæ, êîòîðûé íà÷èíàåò ðàáîòàòü ïðè
îòêðûòèè è íå òðåáóåò íèêàêèõ äåéñòâèé îò ó÷àùåãîñÿ.
Ïðè ïîäãîòîâêå òàêîãî ÷åðòåæà èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå
âîçìîæíîñòè ÆÌ:
• êîìàíäà ÖÅÏÎ×ÊÀ ñîçäàåò êíîïêó, ïîî÷åðåäíî
è ñ çàäàííûìè ïàóçàìè âêëþ÷àþùóþ ðÿä äðóãèõ êíîïîê.
• êîìàíäà ñîçäàíèÿ êíîïîê ÑÏÐßÒÀÒÜ/ÏÎÊÀÇÀÒÜ ïîçâîëÿåò
ïîäãîòîâèòü îáúåêò (÷åðòåæ, òåêñò, êíîïêó, ãðàôè÷åñêèé
ôàéë, âñòàâëåííûé èç PAINT èëè PHOTOSHOP) äëÿ ïîêàçà
åãî â íóæíûé ìîìåíò âðåìåíè.
• êíîïêè ÌÓËÜÒÈÏËÈÊÀÖÈß è ÄÂÈÆÅÍÈÅ äàþò
âîçìîæíîñòü îðãàíèçîâàòü äâèæåíèå â ÷åðòåæå.
• ïîñðåäñòâîì êîìàíäû ÖÅÏÎ×ÊÀ â êà÷åñòâå êíîïêè âêëþ÷àþòñÿ
ïðèëîæåíèÿ, íàïðèìåð, ìóçûêà, ðå÷ü, âèäåîôðàãìåíò è ò. ï.
• ìóçûêàëüíûé ôàéë âîñïðîèçâîäèòñÿ ñèñòåìíûìè ñðåäñòâàìè
òàê, ÷òî îí ìîæåò èäòè îäíîâðåìåííî ñ ìóëüòèïëèêàöèåé
â ÷åðòåæå ÆÌ.
Òèïîâûå «÷åðòåæè-çàäà÷è» (çàäà÷íèê) îòëè÷àþòñÿ ïî ñòåïåíè
àêòèâíîñòè ó÷àùåãîñÿ, íåîáõîäèìîé äëÿ ðàáîòû ñ íèìè. Ñàìàÿ
ïðîñòàÿ ôîðìà — ïðåäîñòàâëÿåòñÿ ãîòîâàÿ êîíñòðóêöèÿ è
èíñòðóêöèÿ-òåêñò, ðàçâîðà÷èâàþùèéñÿ ïî ìåðå îòâåòîâ. Áîëåå
ñëîæíàÿ ôîðìà ïðåäóñìàòðèâàåò ñàìîñòîÿòåëüíûå ïîñòðîåíèÿ
ïî õîäó ðåøåíèÿ çàäà÷è. Ïðè ïîäãîòîâêå òàêèõ ÷åðòåæåé
èñïîëüçóþòñÿ âîçìîæíîñòè ïîÿâëåíèÿ ïîäñêàçîê â çàâèñèìîñòè îò
äåéñòâèé ó÷àùèõñÿ. Íàïðèìåð, ãðàôè÷åñêèé ôàéë, âñòàâëåííûé
â ÷åðòåæ êàê ïîòîìîê òî÷êè, âèäèì òîëüêî òîãäà, êîãäà ýòà
òî÷êà ñóùåñòâóåò. Òàê æå âåäåò ñåáÿ è èìÿ òàêîé òî÷êè, äàæå
åñëè îíî çàäàíî êàê âèäèìîå. Íàïîìíèì, ÷òî òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ
äâóõ îòðåçêîâ ìîæåò ñóùåñòâîâàòü, íàïðèìåð, â çàâèñèìîñòè îò
èõ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ. Êðîìå òîãî, óäîáíî èñïîëüçîâàòü
ñî÷åòàíèÿ êíîïîê ÖÅÏÎ×ÊÀ è ÑÏÐßÒÀÒÜ/ÏÎÊÀÇÀÒÜ.
«Ó÷åáíèêîì» ìû çäåñü íàçûâàåì ìàòåðèàë, ïðè ïîìîùè
êîòîðîãî ââîäÿòñÿ è îáúÿñíÿþòñÿ íîâûå ïîíÿòèÿ êóðñà.
Ïðèìåðíàÿ ñõåìà òàêîâà: íà÷èíàåì ñ óïðàâëÿåìîé äåìîíñòðàöèè,
112
ñëóæàùåé äëÿ ââåäåíèÿ è ðàçúÿñíåíèÿ ïîíÿòèÿ, çàòåì ñëåäóåò
ñåðèÿ èç íåñêîëüêèõ íåñëîæíûõ çàäà÷ íà îâëàäåíèå ïîíÿòèåì,
è, íàêîíåö, åñëè ââîäèìîå ïîíÿòèå ýòî ïîçâîëÿåò, èäóò çàäàíèÿ
íà îñâîåíèå áèáëèîòåêè îïåðàöèé, ñâÿçàííûõ ñ ââåäåííûì
ïîíÿòèåì. Äëÿ ïîäãîòîâêè òàêèõ ÷åðòåæåé èñïîëüçóþòñÿ
ñëåäóþùèå âîçìîæíîñòè ÆÌ:
• ñðåäñòâà, ïåðå÷èñëåííûå äëÿ äåìîíñòðàöèé è çàäà÷, ñ îñîáûì
âíèìàíèåì ê âîçìîæíîñòÿì äèçàéíà (öâåò, ðàìêè, ôîðìàò,
âñòàâêè, ðàñïîëîæåíèå);
• êîìàíäà ÏÎÑÒÐÎÈÒÜ… ÆÈÂÎÉ ÑËÅÄ, äàþùàÿ ìîùíîå
ñðåäñòâî îáîçðåíèÿ ïðîñòðàíñòâà êîíôèãóðàöèé âî ìíîãèõ
çàäà÷àõ;
• ñîçäàíèå è ïîääåðæêà áèáëèîòåêè ËÈ×ÍÛÕ
ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÎÂ.
Ïðîåêò â ÆÌ ìîæíî îïðåäåëèòü êàê çàäà÷ó êîíöåíòðè÷åñêîé
ñëîæíîñòè. Îáû÷íî â òàêîé çàäà÷å çàäàåòñÿ îäèí–äâà ïðÿìûõ
(«íàâîäÿùèõ») âîïðîñà è ïðåäëàãàåòñÿ ïðîâåñòè äàëüíåéøåå
èññëåäîâàíèå óæå ñàìîñòîÿòåëüíî. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ñëåäóþùèå
âîïðîñû ó÷àùèéñÿ äîëæåí ñòàâèòü ñåáå ñàì — è ñàì æå íà
íèõ îòâå÷àòü, íî ïèñüìåííî è â êîíòàêòå ñ ïðåïîäàâàòåëåì.
Äåÿòåëüíîñòü òàêîãî ðîäà òðåáóåò îò ó÷àùåãîñÿ íàâûêà
ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû ñ ïðîãðàììîé, ïðåæäå âñåãî
â ïîñòðîåíèè è â ïðîâåðêå ãèïîòåç — â èçìåðåíèÿõ (ìåíþ
ÈÇÌÅÐÅÍÈß) è âû÷èñëåíèÿõ (ÊÀËÜÊÓËßÒÎÐ).
Âàæíî íàó÷èòüñÿ îôîðìëÿòü ðàáîòó â âèäå ëè÷íûõ èíñòðóìåíòîâ
ñ êîììåíòàðèÿìè è ñîáèðàòü èõ â ïàïêè. Çäåñü ïðèãîäèòñÿ è
âîçìîæíîñòü ñáðàñûâàòü ÷åðòåæè â ôàéë â ôîðìàòå WMF. ×àñòî
ïðèõîäèòñÿ ïîëüçîâàòüñÿ àâòîâûçîâîì íåêîòîðûõ îáúåêòîâ,
îáùèõ äëÿ íåñêîëüêèõ èíñòðóìåíòîâ. Ïðèìåíÿåòñÿ è êîìàíäà
ÒÀÁËÈÖÛ — âûâîä ñîáðàííîé â ÆÌ èíôîðìàöèè â ÷èñëåííîì
âèäå äëÿ îáðàáîòêè â äðóãèõ ñðåäàõ.
113
ÄÎÏÎËÍÈÒÅËÜÍÛÅ ÌÀÒÅÐÈÀËÛ
Çàäàíèÿ è ïðîåêòû
äëÿ øêîëüíèêîâ 5–6 êëàññîâ
Äàííûé àëüáîì ñîäåðæèò ìàòåðèàëû äëÿ ïðîïåäåâòè÷åñêîãî
êóðñà çíàêîìñòâà ñ ãåîìåòðè÷åñêèìè ïîíÿòèÿìè ó÷åíèêîâ
ìëàäøèõ êëàññîâ â ñðåäå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà. Öåëü ýòîãî
ìîäóëÿ — ðàçâèòü ãåîìåòðè÷åñêîå ìûøëåíèå è íàó÷èòü
øêîëüíèêîâ 5–6 êëàññîâ ïðèìåíÿòü êîìïüþòåðû äëÿ ðåøåíèÿ
ðàçíîîáðàçíûõ çàäà÷. Àâòîð ñòðåìèëñÿ íå ñòîëüêî ñîîáùèòü
íîâûå ñâåäåíèÿ, ñêîëüêî «îæèâèòü» è îñâåæèòü â ïàìÿòè
ó÷åíèêîâ ïðîñòåéøèå ãåîìåòðè÷åñêèå ôàêòû, ñ êîòîðûìè
îíè óæå âñòðå÷àëèñü íà óðîêàõ ìàòåìàòèêè. Çàäàíèÿ íîñÿò
ýêñïåðèìåíòàëüíûé õàðàêòåð, îíè ó÷àò øêîëüíèêîâ ïîäìå÷àòü
çàêîíîìåðíîñòè, âûñêàçûâàòü è ïðîâåðÿòü ãèïîòåçû.
210 çàíèìàòåëüíûõ çàäàíèé ðàñïðåäåëåíû ïî 27 òåìàì.
 òåìàõ «Îòðåçîê. Äëèíà îòðåçêà», «Ëîìàíàÿ», «Ëó÷, ïðÿìàÿ,
îòðåçîê», «Òðåóãîëüíèê», «Ïðÿìîóãîëüíèê», «Ïëîùàäü
è ïåðèìåòð ìíîãîóãîëüíèêà», «Ðàâåíñòâî ôèãóð», «Ïëîùàäü
ïðÿìîóãîëüíèêà», «Îêðóæíîñòü», «Óãîë», «Áèññåêòðèñà óãëà»,
«Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ñòîðîíàìè è óãëàìè òðåóãîëüíèêà»,
«Ïåðïåíäèêóëÿð è íàêëîííàÿ», «Ïàðàëëåëîãðàìì», «Äåëåíèå
îòðåçêà íà n ÷àñòåé», «Âïèñàííûå óãëû», «Âïèñàííûå
è îïèñàííûå ìíîãîóãîëüíèêè» ó÷åíèê ñòðîèò è èññëåäóåò óæå
çíàêîìûå åìó ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Íîâûì çäåñü ÿâëÿåòñÿ
«íàáëþäåíèå» çà ôèãóðîé ïðè åå äâèæåíèè ïî ÷åðòåæó. Ó÷åíèêó
íóæíî íàéòè çàêîíîìåðíîñòè äâèæåíèÿ è ñäåëàòü èç ýòèõ
íàáëþäåíèé îáîñíîâàííûå âûâîäû.
Òåìû «Îñåâàÿ ñèììåòðèÿ», «Îñåâàÿ è öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ»,
«Àëãîðèòìû ïîñòðîåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ ôèãóð», «Çàìå÷àòåëüíûå
òî÷êè òðåóãîëüíèêà», «Ðàçíîå», «Äâèæåíèå ôèãóð è èõ
òðàåêòîðèÿ», «Îðíàìåíòû», «Ïðÿìàÿ Ýéëåðà», «Âíåâïèñàííûå
îêðóæíîñòè», «Èçáðàííûå çàäà÷è è òåîðåìû», âûõîäÿùèå
çà ðàìêè øêîëüíîé ïðîãðàììû, ðàññ÷èòàíû íà «ïðîäâèíóòûõ»
ó÷åíèêîâ.
Êàæäîå çàäàíèå ñîäåðæèò ïîäðîáíîå ïîøàãîâîå ðóêîâîäñòâî
ïî ñîçäàíèþ ÷åðòåæà è íå íóæäàåòñÿ â äîïîëíèòåëüíîì
îïèñàíèè. Ïåðå÷åíü âñåõ çàäàíèé ïîìåùåí â êîíöå îïèñàíèÿ
äàííîãî àëüáîìà.
Íèæå ïðèâîäÿòñÿ êîììåíòàðèè ê äâóì ðàçäåëàì àëüáîìà —
«Òðåóãîëüíèê: çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè è ëèíèè» è «Îðíàìåíòû».
114
Òðåóãîëüíèê: çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè è ëèíèè
 àëüáîì âêëþ÷åíî áîëüøîå êîëè÷åñòâî ÷åðòåæåé, ñâÿçàííûõ
ñ òåìîé «Òðåóãîëüíèêè». Êàæäîå òàêîå çàäàíèå ñîäåðæèò
ïîøàãîâûå èíñòðóêöèè, ïîçâîëÿþùèå ïðîâîäèòü ãåîìåòðè÷åñêèå
ýêñïåðèìåíòû, «ïîäñêàçêè» è íåêîòîðûå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ.
Íàëè÷èå òåîðåòè÷åñêîé ÷àñòè îñâîáîæäàåò ïîëüçîâàòåëÿ
îò íåîáõîäèìîñòè èìåòü ïðè ñåáå ó÷åáíèê ïðè ðàáîòå
ñ êîìïüþòåðíûì àëüáîìîì.
Ïðåäñòàâëåí íàáîð ÷åðòåæåé, èëëþñòðèðóþùèõ çàìå÷àòåëüíûå
òî÷êè è ëèíèè â òðåóãîëüíèêå, ïðèìåðû óðîêîâ ïî ïîñòðîåíèþ
òàêèõ ÷åðòåæåé â ñðåäå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà.  îñíîâå ëåæàò
ìàòåðèàëû ïðîåêòíîé ðàáîòû, ïðîâåäåííîé â 6–7 êëàññàõ
øêîëû ¹ 1012 Çàïàäíîãî îêðóãà ãîðîäà Ìîñêâû, öåëüþ êîòîðîé
áûëî ïðîèëëþñòðèðîâàòü èçâåñòíûå è îáíàðóæèòü íîâûå ôàêòû
î çàìå÷àòåëüíûõ òî÷êàõ òðåóãîëüíèêà è èõ ñâîéñòâàõ.
Çäåñü ñîäåðæàòñÿ ðåçóëüòàòû íàáëþäåíèé è èññëåäîâàíèé,
êàê ïðàâèëî, ñâÿçàííûõ ñ êîìïüþòåðíûìè ýêñïåðèìåíòàìè
â âèðòóàëüíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ëàáîðàòîðèè Æèâàÿ
Ìàòåìàòèêà, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñèñòåìàòèçèðîâàí­
íûé íàáîð êîìïüþòåðíûõ ÷åðòåæåé, èëëþñòðèðóþùèõ
òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë î çàìå÷àòåëüíûõ òî÷êàõ òðåóãîëüíèêà.
×åðòåæè â ñðåäå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà íåñðàâíåííî íàãëÿäíåå
òðàäèöèîííûõ. Îíè ýñòåòè÷åñêè ïðèâëåêàòåëüíû, èìè ìîæíî
óïðàâëÿòü, èõ ìîæíî ðåäàêòèðîâàòü. Äåôîðìèðóÿ ÷åðòåæ
è îäíîâðåìåííî íàáëþäàÿ çà çàìå÷àòåëüíûìè òî÷êàìè, ó÷åíèêè
ïðîâåðÿþò ñîõðàíÿåìîñòü íàáëþäàåìûõ ôàêòîâ ïðè ðàçëè÷íûõ
ôîðìàõ òðåóãîëüíèêà. Äâèãàÿ ýëåìåíòû ÷åðòåæà â ñðåäå Æèâàÿ
Ìàòåìàòèêà, îíè óáåæäàþòñÿ â èñòèííîñòè ïðèâåäåííûõ
ó÷èòåëåì óòâåðæäåíèé èëè âûäâèãàåìûõ ñàìèìè øêîëüíèêàìè
ãèïîòåç. Ýòè óòâåðæäåíèÿ ïðîâåðÿåìû ñòîëüêî ðàç, ñêîëüêî
íóæíî, ÷òîáû ïîëíîñòüþ ñíÿòü ñîìíåíèÿ — ó÷àùèåñÿ íèêîãäà
íå ðàáîòàþò ñ åäèíñòâåííûì òðåóãîëüíèêîì, à âñåãäà ñ öåëûì èõ
ñåìåéñòâîì.
Ïðè âðàùåíèè òðåóãîëüíèêà ïî îïèñàííîé îêðóæíîñòè, çàìå÷à­
òåëüíûå òî÷êè òîæå îïèñûâàþò îêðóæíîñòè ðàçíûõ äèàìåòðîâ,
çàâèñÿùèõ îò âèäà òðåóãîëüíèêà. Äëÿ ðàçâèòèÿ ãåîìåòðè÷åñêîé
èíòóèöèè ó÷åíèêàì ïðåäëàãàåòñÿ ïðîâåñòè èññëåäîâàíèÿ íà
îïðåäåëåíèå «ñëåäîâ» äâèæóùèõñÿ «çàìå÷àòåëüíûõ» òî÷åê.
Ïîëó÷åííûå ÷åðòåæè ïðèâåäåíû â òðåòüåé ÷àñòè ýòîãî ðàçäåëà.
Ðàáîòó ïî ýòîé òåìå æåëàòåëüíî íà÷èíàòü â 6 êëàññå —
ñ ñîñòàâëåíèÿ «ýíöèêëîïåäèè» çàìå÷àòåëüíûõ òî÷åê
òðåóãîëüíèêà (â âèäå áðîøþðû), â êîòîðóþ ìîæíî âêëþ÷èòü
òåêñòîâûé êîììåíòàðèé — âñå íàáëþäåíèÿ, ïðîâîäèìûå
äåòüìè, è ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé — ÷åðòåæè.  ñòàðøèõ
êëàññàõ ê ýòèì ÷åðòåæàì ìîæíî âåðíóòüñÿ, ÷òîáû ïîäâåñòè ïîä
ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû òåîðåòè÷åñêóþ áàçó.
115
Ìàòåðèàëû â ðàìêàõ øêîëüíîé ïðîãðàììû
 ýòîé ÷àñòè ñîáðàíû ÷åðòåæè, èëëþñòðèðóþùèå ñâîéñòâà
òðåóãîëüíèêà. Îíè ïîìîãóò ó÷èòåëþ îðãàíèçîâàòü ïðîöåññ
èçó÷åíèÿ è ïîâòîðåíèÿ ìàòåðèàëà.
Çàìå÷àòåëüíûå ëèíèè â òðåóãîëüíèêå
Ìåäèàíà
Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé âåðøèíó
òðåóãîëüíèêà ñ ñåðåäèíîé
ïðîòèâîëåæàùåé ñòîðîíû.
Áèññåêòðèñà âíóòðåííåãî óãëà
Îòðåçîê áèññåêòðèñû óãëà
òðåóãîëüíèêà, ñîåäèíÿþùèé
âåðøèíó òðåóãîëüíèêà ñ òî÷êîé
ïðîòèâîïîëîæíîé ñòîðîíû.
Áèññåêòðèñà âíåøíåãî óãëà
Ëó÷, äåëÿùèé âíåøíèé óãîë
ïîïîëàì.
Âûñîòà
Ïåðïåíäèêóëÿð, ïðîâåäåííûé èç
âåðøèíû òðåóãîëüíèêà ê ïðÿìîé,
ñîäåðæàùåé ïðîòèâîïîëîæíóþ
ñòîðîíó.
Ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð
Ïðÿìàÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ
ñòîðîíå òðåóãîëüíèêà è äåëÿùàÿ
åå ïîïîëàì.
116
Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ìåäèàíû, áèññåêòðèñû è âûñîòû
 ëþáîì òðåóãîëüíèêå
áèññåêòðèñà ëåæèò âíóòðè
óãëà, îáðàçîâàííîãî âûñîòîé è
ìåäèàíîé, ïðîâåäåííûìè èç ýòîé
æå âåðøèíû.
Çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè â òðåóãîëüíèêå
Ñâîéñòâà ìåäèàí
Òåîðåìà: òðè ìåäèàíû
ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå è
äåëÿòñÿ ýòîé òî÷êîé â îòíîøåíèè
2:1, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû. Äàííàÿ
òî÷êà âñåãäà íàõîäèòñÿ âíóòðè
òðåóãîëüíèêà.
Ÿ íàçûâàþò öåíòðîì ìåäèàí èëè
öåíòðîì òÿæåñòè òðåóãîëüíèêà.
Êàæäàÿ ìåäèàíà äåëèò
òðåóãîëüíèê íà äâà òðåóãîëüíèêà
îäèíàêîâîé ïëîùàäè.
Òðè ìåäèàíû äåëÿò òðåóãîëüíèê
íà øåñòü ðàâíîâåëèêèõ
òðåóãîëüíèêîâ.
Ðàñïîëîæåíèå öåíòðà òÿæåñòè òðåóãîëüíèêà
Îñòðîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê
Òóïîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê
117
Ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê
Ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê
Ïðàâèëüíûé (ðàâíîñòîðîííèé) òðåóãîëüíèê
Ñâîéñòâà áèññåêòðèñû
Òåîðåìà: âíóòðåííèå áèññåêòðèñû
òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â
îäíîé òî÷êå, êîòîðàÿ âñåãäà
ëåæèò âíóòðè òðåóãîëüíèêà.
Ýòà òî÷êà ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì
âïèñàííîé îêðóæíîñòè.
Áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà äåëèò
ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó íà
÷àñòè, ïðîïîðöèîíàëüíûå äâóì
äðóãèì ñòîðîíàì:
à1/à2 = b/ñ
Âíóòðåííÿÿ è âíåøíÿÿ
áèññåêòðèñû òðåóãîëüíèêà,
ïðîõîäÿùèå ÷åðåç
îäíó âåðøèíó òðåóãîëüíèêà,
âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû.
118
Äâå áèññåêòðèñû âíåøíèõ óãëîâ
òðåóãîëüíèêà, ïðèëåæàùèå ê
îäíîé ñòîðîíå, ïåðåñåêàþòñÿ â
îäíîé òî÷êå.
Ðàñïîëîæåíèå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ òðåóãîëüíèêà
Îñòðîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê
Ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê
Òóïîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê
Ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê
Ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê
119
Ñâîéñòâà âûñîò
Òåîðåìà Àðõèìåäà: ïðÿìûå,
ñîäåðæàùèå âûñîòû òðåóãîëüíèêà,
ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå.
Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò
òðåóãîëüíèêà íàçûâàåòñÿ
îðòîöåíòðîì.
Îðòîöåíòð îñòðîóãîëüíîãî
òðåóãîëüíèêà ëåæèò âíóòðè
òðåóãîëüíèêà.
Îðòîöåíòð ïðÿìîóãîëüíîãî
òðåóãîëüíèêà ñîâïàäàåò ñ
âåðøèíîé ïðÿìîãî óãëà.
Îðòîöåíòð òóïîóãîëüíîãî
òðåóãîëüíèêà ëåæèò âíå
òðåóãîëüíèêà.
Îðòîöåíòð ðàâíîáåäðåííîãî
òðåóãîëüíèêà ëåæèò âíóòðè
òðåóãîëüíèêà áëèæå ê îñíîâàíèþ.
Îðòîöåíòð ïðàâèëüíîãî
òðåóãîëüíèêà ëåæèò âíóòðè
òðåóãîëüíèêà è ñîâïàäàåò ñ
òî÷êàìè ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí,
áèññåêòðèñ è ñåðåäèííûõ
ïåðïåíäèêóëÿðîâ.
120
Ñâîéñòâà ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ
Ïðÿìûå, ïåðïåíäèêóëÿðíûå
ê ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà â
èõ ñåðåäèíàõ, íàçûâàþòñÿ
ñåðåäèííûìè ïåðïåíäèêóëÿðàìè
(ìåäèàòðèñàìè).
Òðè ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðà
ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå.
Ýòà òî÷êà ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì
îïèñàííîé îêðóæíîñòè.
 îñòðîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå
òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ñåðåäèííûõ
ïåðïåíäèêóëÿðîâ ëåæèò âíóòðè
òðåóãîëüíèêà.
 ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå
òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ñåðåäèííûõ
ïåðïåíäèêóëÿðîâ ñîâïàäàåò
ñ ñåðåäèíîé ãèïîòåíóçû.
121
 òóïîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå
òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ñåðåäèííûõ
ïåðïåíäèêóëÿðîâ ëåæèò âíå
òðåóãîëüíèêà.
Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ñåðåäèííûõ
ïåðïåíäèêóëÿðîâ ðàâíîáåäðåííîãî
òðåóãîëüíèêà ëåæèò íà ìåäèàíå
(áèññåêòðèñå, âûñîòå) ïðîâåäåííîé
ê îñíîâàíèþ.
Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ñåðåäèííûõ
ïåðïåíäèêóëÿðîâ ðàâíîñòîðîííåãî
òðåóãîëüíèêà ñîâïàäàåò ñ åãî
öåíòðîì.
Ñâîéñòâà ñåðåäèííîãî ïåðïåíäèêóëÿðà è áèññåêòðèñû
Ïðîäîëæåíèå áèññåêòðèñû
òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàåòñÿ
ñ ñåðåäèííûì ïåðïåíäèêóëÿðîì
â òî÷êå, ëåæàùåé íà îêðóæíîñòè,
îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà.
122
Ìàòåðèàëû âíå ðàìîê øêîëüíîé ïðîãðàììû
 ýòîé ÷àñòè îáñóæäàþòñÿ âîïðîñû, ëåæàùèå âíå øêîëüíîé
ïðîãðàììû, íî êîòîðûå ìîãóò áûòü èíòåðåñíû äëÿ âíåóðî÷íîé
äåÿòåëüíîñòè è ìîòèâèðîâàííûõ ó÷àùèõñÿ.
Òî÷êà Æåðãîíû
Ïðÿìûå, ñîåäèíÿþùèå âåðøèíû
òðåóãîëüíèêà ñ òî÷êàìè
êàñàíèÿ âïèñàííîé îêðóæíîñòè,
ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Ýòó
òî÷êó íàçûâàþò òî÷êîé Æåðãîíû.
Âíåâïèñàííûå îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà. Òî÷êà Íàãåëÿ
Âíóòðåííÿÿ áèññåêòðèñà
îäíîãî èç óãëîâ òðåóãîëüíèêà
è âíåøíèå áèññåêòðèñû äâóõ
äðóãèõ åãî óãëîâ, ïåðåñåêàþòñÿ
â îäíîé òî÷êå. Ýòà òî÷êà
ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì âíåâïèñàííîé
îêðóæíîñòè.
Äëÿ âñÿêîãî òðåóãîëüíèêà
ñóùåñòâóþò òðè
âíåâïèñàííûõ îêðóæíîñòè.
Ïðÿìûå, ñîåäèíÿþùèå
âåðøèíû òðåóãîëüíèêà
ñ òî÷êàìè êàñàíèÿ
âíåâïèñàííûõ îêðóæíîñòåé
ñî ñòîðîíàìè òðåóãîëüíèêà,
ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå.
Ýòó òî÷êó íàçûâàþò òî÷êîé
Íàãåëÿ.
123
Ïðÿìûå, ñîåäèíÿþùèå
âåðøèíû òðåóãîëüíèêà
ñ òî÷êàìè êàñàíèÿ
âïèñàííîé èëè âíåâïèñàííîé
îêðóæíîñòè, ïåðåñåêàþòñÿ
â îäíîé òî÷êå. Ýòî òîæå
òî÷êà Íàãåëÿ.
Ïåðïåíäèêóëÿðû
ê ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà
èç öåíòðîâ âíåâïèñàííûõ
â íåãî îêðóæíîñòåé
ïåðåñåêàþòñÿ
â îäíîé òî÷êå.
Ýêñòðåìàëüíûå câîéñòâà òî÷åê, ðàñïîëîæåííûõ
âíóòðè òðåóãîëüíèêà
• Âíóòðè òðåóãîëüíèêà ñóùåñòâóåò òî÷êà, ñóììà ðàññòîÿíèé
îò êîòîðîé äî âåðøèí òðåóãîëüíèêà íàèìåíüøàÿ
(îíà íàçûâàåòñÿ òî÷êîé Ôåðìà).
Ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê
124
Òóïîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê
Ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê
Ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê
Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ òî÷êè Ôåðìà ñì. íèæå
• Âíóòðè òðåóãîëüíèêà ñóùåñòâóåò òî÷êà, ñóììà ðàññòîÿíèé
îò êîòîðîé äî ñåðåäèí ñòîðîí òðåóãîëüíèêà íàèìåíüøàÿ.
Ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê
Òóïîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê
Ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê
Ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê
125
Ñâîéñòâà çàìå÷àòåëüíûõ òî÷åê òðåóãîëüíèêà. Ïðÿìàÿ Ýéëåðà
 ëþáîì òðåóãîëüíèêå òðè çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè — îðòîöåíòð,
öåíòð òÿæåñòè è öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè — ïðèíàäëåæàò
îäíîé ïðÿìîé. Ýòó ïðÿìóþ íàçûâàþò ïðÿìîé Ýéëåðà.
Çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè íà ïðÿìîé Ýéëåðà â îñòðîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå
Çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè íà ïðÿìîé Ýéëåðà â òóïîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå
126
Çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè íà ïðÿìîé Ýéëåðà â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå
 ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ÷åòûðå çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè —
îðòîöåíòð, öåíòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè, öåíòð òÿæåñòè è öåíòð
îïèñàííîé îêðóæíîñòè — ëåæàò íà ïðÿìîé Ýéëåðà.
127
 ðàâíîñòîðîííåì òðåóãîëüíèêå âñå ÷åòûðå çàìå÷àòåëüíûå ëèíèè
ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Ýòó òî÷êó íàçûâàþò öåíòðîì
òðåóãîëüíèêà, è îíà ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì âïèñàííîé è îïèñàííîé
îêðóæíîñòåé.
Àëãîðèòì Òîððè÷åëëè ïîñòðîåíèÿ òî÷êè Ôåðìà
• ïîñòðîèòü íà ñòîðîíàõ òðåóãîëüíèêà, âîâíå, ðàâíîñòîðîííèå
òðåóãîëüíèêè;
• ñîåäèíèòü îòðåçêîì êàæäóþ âåðøèíó òðåóãîëüíèêà
ñ âåðøèíîé ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà, ïîñòðîåííîãî
íà ïðîòèâîïîëîæíîé ñòîðîíå;
• ïîñòðîèòü òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ îòðåçêîâ.
128
Ñâîéñòâà òî÷êè Ôåðìà
• Êàæäàÿ ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà âèäíà èç òî÷êè Ôåðìà ïîä
óãëîì 120 ãðàäóñîâ;
• îêðóæíîñòè, îïèñàííûå îêîëî ïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ
ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Ôåðìà.
129
Òðàåêòîðèè çàìå÷àòåëüíûõ òî÷åê
Ïðè âðàùåíèè òðåóãîëüíèêà ïî îïèñàííîé îêðóæíîñòè
çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè òîæå îïèñûâàþò îêðóæíîñòè ðàçíûõ
äèàìåòðîâ â çàâèñèìîñòè îò âèäà òðåóãîëüíèêà. Íèæå ïðèâåäåíû
ñíèìêè ýêðàíîâ ñ òàêèìè ýêñïåðèìåíòàìè, êîòîðûå ìîæíî
ïðîâîäèòü â ñðåäå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà. Ïðè íàæàòèè êíîïêè
Ìóëüòèïëèêàöèÿ ÷åðòåæ «îæèâàåò» è ïîÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü
ïîëó÷èòü òðàåêòîðèþ òî÷êè.
Òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ öåíòðà òÿæåñòè îñòðîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà
Òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ öåíòðà òÿæåñòè ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà
130
Òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ öåíòðà òÿæåñòè òóïîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà
Òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ öåíòðà âïèñàííîé îêðóæíîñòè
îñòðîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà
Òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ öåíòðà âïèñàííîé îêðóæíîñòè
ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà
131
Òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ öåíòðà âïèñàííîé îêðóæíîñòè
òóïîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà
Òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ îðòîöåíòðà îñòðîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà
Òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ îðòîöåíòðà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà
132
Òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ îðòîöåíòðà òóïîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà
Òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ çàìå÷àòåëüíûõ òî÷åê òðåóãîëüíèêà
133
Îòêðûòûé óðîê «Ìàëîèçâåñòíàÿ òî÷êà
â ãåîìåòðèè»
Óðîê ïðîâîäèòñÿ â 7 êëàññå.
Öåëü óðîêà
• çíàêîìñòâî ñ ôèçè÷åñêîé ìîäåëüþ òî÷êè Ôåðìà;
• ïîñòðîåíèå òî÷êè Ôåðìà äëÿ òðåóãîëüíèêà Íàïîëåîíà.
Îáîðóäîâàíèå
Êîìïüþòåð, ôèçè÷åñêàÿ ìîäåëü äëÿ íàõîæäåíèÿ òî÷êè Ôåðìà.
Ïëàí óðîêà
1) Ââåäåíèå
Ìû ñ âàìè íà÷àëè âìåñòå ñîçäàâàòü áðîøþðó «Ýíöèêëîïåäèÿ
çàìå÷àòåëüíûõ òî÷åê òðåóãîëüíèêà». Ðàíåå, çàíèìàÿñü ïðîåêòîì
«Çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè òðåóãîëüíèêà», ìû îáíàðóæèëè î÷åíü
èíòåðåñíûé ôàêò. Áåðÿ íåêîòîðûå òî÷êè èç ìíîæåñòâà òî÷åê
âíóòðè òðåóãîëüíèêà, ìû óâèäåëè, ÷òî ñóììà ðàññòîÿíèé îò ýòèõ
òî÷åê äî âåðøèí òðåóãîëüíèêà óìåíüøàëàñü. È âûäâèíóëè
ãèïîòåçó (ïðåäïîëîæåíèå, òðåáóþùåå ïîäòâåðæäåíèÿ), ÷òî ìîæåò
áûòü ñðåäè ýòèõ òî÷åê åñòü òî÷êà, ñóììà ðàññòîÿíèé îò êîòîðîé
äî âåðøèí òðåóãîëüíèêà ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé. Îêàçûâàåòñÿ,
ýòèì âîïðîñîì èíòåðåñîâàëèñü ó÷åíûå åù¸ â 18 âåêå:
ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê Ïüåð Ôåðìà, øâåéöàðñêèé ãåîìåòð
ßêîá Øòåéíåð, èòàëüÿíñêèé ó÷¸íûé Ýâàíæåëèñòà Òîððè÷åëëè,
èçâåñòíûé êàê èçîáðåòàòåëü ðòóòíîãî áàðîìåòðà. Âñå îíè
ïîäõîäèëè ê íàõîæäåíèþ ýòîé òî÷êè ïî-ðàçíîìó, íî êàæäûé
äîêàçàë, ÷òî òàêàÿ òî÷êà â òðåóãîëüíèêå åñòü.
 ãåîìåòðèè ýòó çàäà÷ó íàçûâàþò êëàññè÷åñêîé çàäà÷åé
Ôåðìà, à ñàìó òî÷êó — òî÷êîé Ôåðìà. Èíîãäà åå íàçûâàþò
òî÷êîé Òîððè÷åëëè èëè òî÷êîé Áðîêàðà. Ìû íàó÷èëèñü
ñòðîèòü äàííóþ òî÷êó ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìà, ïðåäëîæåííîãî
èòàëüÿíñêèì ó÷¸íûì Òîððè÷åëëè (ñì. âûøå). Ïîýòîìó, äàâàéòå
ñåãîäíÿ åù¸ ðàç íàéä¸ì òî÷êó Ôåðìà äëÿ âàøèõ òðåóãîëüíèêîâ.
2) Òåîðåòè÷åñêèå âîïðîñû
• Êàêóþ òî÷êó òðåóãîëüíèêà íàçûâàþò òî÷êîé Ôåðìà?
[Òî÷êîé Ôåðìà íàçûâàåòñÿ òàêàÿ òî÷êà òðåóãîëüíèêà,
ñóììà ðàññòîÿíèé îò êîòîðîé äî âåðøèí òðåóãîëüíèêà
ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé.]
• Ïîñòðîéòå òðåóãîëüíèê ÀÂÑ. Êàêîâ 1-ûé øàã ïîñòðîåíèÿ
òî÷êè Ôåðìà ïî àëãîðèòìó Òîððè÷åëëè?
[Ïîñòðîèì íà ñòîðîíàõ òðåóãîëüíèêà âíå åãî ïðàâèëüíûå
òðåóãîëüíèêè.]
• Êàêîâ 2-é øàã àëãîðèòìà ïîñòðîåíèÿ òî÷êè Ôåðìà?
[Ñîåäèíèì îòðåçêàìè âåðøèíû ïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ
ñ ïðîòèâîïîëîæíûìè âåðøèíàìè òðåóãîëüíèêà.]
134
• Êàêîâ 3-é øàã àëãîðèòìà ïîñòðîåíèÿ òî÷êè Ôåðìà?
[Ïîñòðîèì òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ îòðåçêîâ è îáîçíà÷èì
òî÷êîé F.]
• Ïåðå÷èñëèòå ñâîéñòâà òî÷êè Ôåðìà, êîòîðûå ìû ñ âàìè
îáíàðóæèëè.
[1-å ñâîéñòâî: îêðóæíîñòè, îïèñàííûå îêîëî ïðàâèëüíûõ
òðåóãîëüíèêîâ, ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Ôåðìà.
Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ îêðóæíîñòåé îêîëî ïðàâèëüíûõ
òðåóãîëüíèêîâ:
1) ïîñòðîèòü öåíòðû ïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ;
2) ïîñòðîèòü îêðóæíîñòè, îïèñàííûå îêîëî ïðàâèëüíûõ
òðåóãîëüíèêîâ.]
• ×òîáû äîêàçàòü ýòî çàìå÷àòåëüíîå ñâîéñòâî òî÷êè Ôåðìà,
íàçîâ¸ì ýòó çàäà÷ó «Çàäà÷åé áóäóùåãî» è âåðí¸ìñÿ ê íåé
â ñòàðøèõ êëàññàõ. Ñïðÿ÷üòå îêðóæíîñòè, à öåíòðû
ïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ ñîõðàíèòå.
• Êàêîå åùå ñâîéñòâî òî÷êè Ôåðìà âû îáíàðóæèëè?
[2-å ñâîéñòâî: êàæäàÿ ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà èç òî÷êè
Ôåðìà âèäíà ïîä óãëîì 120 ãðàäóñîâ.
Àëãîðèòì èçìåðåíèÿ:
1) èçìåðèòü óãëû AFC, AFB è BFC;
2) ñðàâíèòü.]
• À ñåé÷àñ èçìåíèòå âèä òðåóãîëüíèêà è ïîñìîòðèòå
âíèìàòåëüíî íà ýòè óãëû. ×òî âû çàìåòèëè?
[Óãëû íå èçìåíèëèñü.]
3) Ïðàêòè÷åñêàÿ ðàáîòà
• Èòàê, ìû ñ âàìè ïîäîøëè ê èçâåñòíîìó ôàêòó èç êóðñà
ôèçèêè. Åñëè íà òåëî äåéñòâóþò òðè îäèíàêîâûå ñèëû
è îíè óðàâíîâåøèâàþò äðóã äðóãà, òî óãëû ìåæäó íèìè
ñîñòàâëÿþò 120 ãðàäóñîâ.
Ïîñòðîèì ìîäåëü, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò ïðàêòè÷åñêèì ïóò¸ì
íàéòè òî÷êó Ôåðìà äëÿ ëþáîãî òðåóãîëüíèêà. Ýòó ìîäåëü
âû ñåé÷àñ âèäèòå âïåðâûå, ïîýòîìó öåëüþ ñåãîäíÿøíåãî
çàíÿòèÿ ÿâëÿåòñÿ çíàêîìñòâî ñ ôèçè÷åñêîé ìîäåëüþ òî÷êè
Ôåðìà.
Âûñòóïàþò äâà ó÷åíèêà, êîòîðûå èçãîòîâèëè ýòó
ìîäåëü* è çíàêîìÿò àóäèòîðèþ ñ ìîäåëüþ. Îäèí èç íèõ
ðàññêàçûâàåò, à äðóãîé ïîêàçûâàåò.
Äîêëàä ó÷åíèêîâ
Ýòà ôèçè÷åñêàÿ ìîäåëü ïîçâîëÿåò ïðàêòè÷åñêèì ïóò¸ì íàéòè
ìåñòîïîëîæåíèå òî÷êè Ôåðìà äëÿ ëþáîãî òðåóãîëüíèêà. Ñóòü
ìîäåëè â ñëåäóþùåì: íà äîñêå â âèäå ðåøåòêè çàêðåïëåíû
øòûðè ñ ïîäøèïíèêàìè òàê, ÷òî èõ ìîæíî ñâîáîäíî ïåðåñòàâèòü
â ëþáîå îòâåðñòèå ðåøåòêè. Ýòè øòûðè ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè
* Ìîäåëü ïðåäëîæåíà ó÷àùèìèñÿ 7 «Â» êëàññà øêîëû ¹ 1012 Çàïàäíîãî
îêðóãà.
135
òðåóãîëüíèêà. Ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ñäåëàíû èç ðåçèíêè,
÷òîáû áûëî ëåãêî èçìåíèòü âèä òðåóãîëüíèêà. ×åðåç êàæäûé
ïîäøèïíèê ïåðåêèíóòà íèòü ñ ãðóçîì íà êîíöå. Âñå ãðóçû
îäèíàêîâû, ìàññà êàæäîãî ðàâíà 100 ãðàììàì. Íèòè âçÿòû
ñïåöèàëüíûå, íåðàñòÿæèìûå. Ñâîáîäíûå êîíöû íèòåé ñâÿçàíû
â îäèí óçåë. Êîãäà ãðóçû áóäóò îòïóùåíû, îíè íàòÿíóò íèòè.
Íà óçåë ñî ñòîðîíû íèòåé ñ ãðóçîì äåéñòâóþò ñèëû íàòÿæåíèÿ
íèòåé. Ïîñëå òîãî, êàê ñèëû ñòàíóò ðàâíûìè ïî âåëè÷èíå
è áóäóò óðàâíîâåøèâàòü äðóã äðóãà, óçåë óñòàíîâèòñÿ â èñêîìîé
òî÷êå. Åñëè èçìåðèòü óãëû ìåæäó íèòÿìè, òî áóäåò âèäíî,
÷òî îíè ñîñòàâëÿþò ìåæäó ñîáîé óãëû 120 ãðàäóñîâ. Êàæäàÿ
ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà èç ýòîé òî÷êè áóäåò âèäíà ïîä óãëîì
120 ãðàäóñîâ, à òàêèì ñâîéñòâîì îáëàäàåò òî÷êà Ôåðìà.  ýòîì
ìû ìîæåì óáåäèòüñÿ, åñëè ïðèñòàâèì ê íàøåé ìîäåëè äèñê èç
îðãñòåêëà, íà êîòîðîì íà÷åð÷åíû ëó÷è, èñõîäÿùèå èç îäíîé
òî÷êè è îáðàçóþùèå ìåæäó ñîáîé óãîë 120 ãðàäóñîâ. Ïîñëå òîãî,
êàê ëó÷è è íèòè ïîëíîñòüþ ñîâìåñòÿòñÿ íàëîæåíèåì, ìîæíî
îòìåòèòü ôëîìàñòåðîì ìåñòîïîëîæåíèå òî÷êè Ôåðìà äëÿ äàííîãî
òðåóãîëüíèêà.
Ýêñïåðèìåíò ïîâòîðÿåòñÿ íåñêîëüêî ðàç, äëÿ ðàçíûõ âèäîâ
òðåóãîëüíèêà. Äàëåå ðåáÿòà ïðåäëàãàþò æåëàþùèì ïîïðîáîâàòü
íàéòè òî÷êó Ôåðìà.
Äàâàéòå ïîñòðîèì òî÷êó Ôåðìà äëÿ òðåóãîëüíèêà
Íàïîëåîíà.
Âñïîìíèì «òåîðåìó Íàïîëåîíà».
[Åñëè íà ñòîðîíàõ ïðîèçâîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ïîñòðîèòü
ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè, òî èõ öåíòðû îáðàçóþò äðóãîé
ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê.]
• Êàê âû áóäåòå èñïîëüçîâàòü ñâîé ÷åðò¸æ äëÿ ïîñòðîåíèÿ
òðåóãîëüíèêà Íàïîëåîíà?
[Ñîåäèíèì îòðåçêàìè öåíòðû ïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ.]
• À òåïåðü ïî àëãîðèòìó Òîððè÷åëëè íàéäèòå òî÷êó Ôåðìà
äëÿ òðåóãîëüíèêà Íàïîëåîíà.
136
4) Èòîãè óðîêà
Îòêðîéòå áðîøþðû «Ýíöèêëîïåäèÿ çàìå÷àòåëüíûõ òî÷åê
òðåóãîëüíèêà», ñîñòàâëåííûå âàìè ðàíåå, íàéäèòå ðàçäåë
«Ýêñòðåìàëüíûå ñâîéñòâà òî÷åê, ðàñïîëîæåííûõ âíóòðè
òðåóãîëüíèêà» è ïîñìîòðèòå, ÷òî âû íàïèñàëè ïðî òî÷êó
Ôåðìà. Çäåñü åñòü îïðåäåëåíèå òî÷êè Ôåðìà è ðàçíûå âèäû
òðåóãîëüíèêîâ, äëÿ êîòîðûõ ìû íàõîäèëè òî÷êó Ôåðìà. Òåïåðü
íàì íàäî äîïèñàòü òå ñâîéñòâà òî÷êè Ôåðìà, êîòîðûå ìû ñ âàìè
ðàññìîòðåëè.
Äîìàøíåå çàäàíèå: ïîäãîòîâèòü ìàëåíüêîå ñîîáùåíèå î òîì,
êàê êàæäûé èç âàñ âïèñàë áû ñâîéñòâà òî÷êè Ôåðìà â ñâîþ
ýíöèêëîïåäèþ. À ëó÷øåå ñîîáùåíèå ìû âêëþ÷èì â íàø
ñáîðíèê.
Æåëàþùèå ìîãóò ïîäîéòè ê ôèçè÷åñêîé ìîäåëè òî÷êè Ôåðìà
è ïîïðîáîâàòü íàéòè å¸ â ëþáîì òðåóãîëüíèêå.
137
Îðíàìåíòû
Ýòîò ðàçäåë ïîñâÿùåí îïèñàíèþ íàáîðà ïðîåêòîâ «Îðíàìåíòû».
Êàê ïîêàçûâàåò äåâÿòèëåòíèé îïûò ðàáîòû àâòîðà â 5– 11 êëàññàõ
ìîñêîâñêîé øêîëû 1012 è â íåñêîëüêèõ äðóãèõ øêîëàõ,
ñîçäàíèå îðíàìåíòîâ â ñðåäå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà âûçûâàåò
ó äåòåé áîëüøîé èíòåðåñ. Èì íðàâèòñÿ, ÷òî â ðåçóëüòàòå
äîñòàòî÷íî ïðîñòûõ ìàíèïóëÿöèé êàæäûé èç íèõ ìîæåò
ïîëó÷èòü ðàçíîîáðàçíûå êðàñèâûå êàðòèíêè. Îäíîâðåìåííî
äåòè ëó÷øå îñâàèâàåò âàæíåéøèå ãåîìåòðè÷åñêèå ïîíÿòèÿ,
ïðèîáðåòàþò íàâûêè èññëåäîâàòåëüñêîé ðàáîòû.
×òîáû îòêðûòü ñïèñîê ÷åðòåæåé íàáîðà «Îðíàìåíòû», ùåëêíèòå
â îãëàâëåíèè êîìïüþòåðíîãî àëüáîìà «Çàäàíèÿ è Ïðîåêòû»
íà ññûëêå «Îðíàìåíòû».
Íàáîð «Îðíàìåíòû» ñîäåðæèò ïðîåêòû ðàçëè÷íîé ñëîæíîñòè,
òàê ÷òî ó÷èòåëü èìååò âîçìîæíîñòü ó÷èòûâàòü èíäèâèäóàëüíûå
îñîáåííîñòè ó÷åíèêà. Ñèëüíîìó ó÷åíèêó ñòîèò ïðåäëîæèòü
îðíàìåíòû èç ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ (ïðîãðàììà
9 êëàññà), ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå ïîòðåáóþòñÿ ñëîæíûå
ïîñòðîåíèÿ. À ñëàáîìó ó÷åíèêó ëó÷øå çàíÿòüñÿ îðíàìåíòàìè
èç ïðîñòåéøèõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ôèãóð.
 ïåðâîé ÷àñòè ýòîãî ðàçäåëà ïîäðîáíî ðàññêàçûâàåòñÿ
î ïîäãîòîâèòåëüíîé ÷àñòè ðàáîòû íàä ïðîåêòîì — îñâîåíèè
ïîíÿòèÿ ñèììåòðèè.
Âî âòîðîé ÷àñòè ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ãåîìåòðè÷åñêîãî
ïðåîáðàçîâàíèÿ, ðàññìàòðèâàþòñÿ âèäû ïðåîáðàçîâàíèé
è ñïîñîáû ðàáîòû ñ íèìè â ïðîãðàììå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà.
Òðåòüÿ ÷àñòü ïîñâÿùåíà ñîáñòâåííî îðíàìåíòàì è íà÷èíàåòñÿ
ñ áåñåäû î íèõ. Çàòåì îïèñûâàåòñÿ ïðîöåäóðà ñîçäàíèÿ
èíñòðóìåíòîâ Æèâîé Ìàòåìàòèêè, ïîçâîëÿþùèõ ñòðîèòü
ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè, ïðèâîäÿòñÿ ïðèìåðû ïîñòðîåíèÿ
ýëåìåíòàðíûõ ÿ÷ååê îðíàìåíòîâ. Äàëåå ñ ïîìîùüþ îñâîåííîé
òåõíîëîãèè ïðåîáðàçîâàíèé ñòðîÿòñÿ îðíàìåíòû.
 ÷åòâåðòîé ÷àñòè äëÿ ïðèìåðà ïðèâîäèòñÿ îïèñàíèå çàùèòû
ïðîåêòíûõ ðàáîò â ìîñêîâñêîé øêîëå 1012.
138
Ñèììåòðèè: îñåâàÿ è öåíòðàëüíàÿ
 îñíîâå ïîñòðîåíèÿ îðíàìåíòîâ ëåæèò ñèììåòðèÿ.
Ðàáîòó ìîæíî íà÷àòü ñ èçó÷åíèÿ âèäîâ ñèììåòðèè, ðàçäåëèâ ýòîò
ïðîöåññ íà íåñêîëüêî ýòàïîâ.
Ñèììåòðèÿ â ïðèðîäå
Îðãàíèçóéòå ñ äåòüìè ïðîãóëêó â ëåñ. Ïóñòü îíè âíèìàòåëüíî
ðàññìîòðÿò ëèñòüÿ äåðåâüåâ, öâåòû, íàñåêîìûõ; îáðàòèòå èõ
âíèìàíèå íà ñèììåòðè÷íî ðàñïîëîæåííûå óçîðû íà êðûëüÿõ
áàáî÷êè, íà ñïèíå ãóñåíèöû. Ïîñëå ïðîãóëêè ìîæíî äàòü äåòÿì
çàäàíèå: íàðèñîâàòü êàðòèíêó íà òåìó «Ëåòîì â ñèììåòðè÷íîì
ëåñó». Ê ïðèìåðó, èçîáðàçèòü äåðåâüÿ ñ êðóïíûìè ëèñòüÿìè,
íàñåêîìûõ, öâåòû è ïîêàçàòü èõ îñè ñèììåòðèè.
Ñèììåòðèÿ â ðèñóíêàõ
Ïðåäëîæèòå ðåáÿòàì ðàññìîòðåòü äîìà ñâîè èãðóøêè, êàðòèíêè
â êíèæêàõ è íàéòè â íèõ ñèììåòðèþ (îñîáåííî ìíîãî
ñèììåòðè÷íûõ êàðòèíîê âñòðå÷àåòñÿ â êíèæêàõ äëÿ ðàñêðàñêè).
Çàòåì ìîæíî ïðåäëîæèòü ñëåäóþùèå çàäàíèÿ.
1. Íàðèñîâàòü ëþáèìóþ èãðóøêó è ïîêàçàòü íà ðèñóíêå îñü åå
ñèììåòðèè. Ïðèìåðû:
2. Íàðèñîâàòü ãåîìåòðè÷åñêîãî ñèììåòðè÷íîãî ðîáîòà ñ ïîìîùüþ
òðåõ ôèãóð — êâàäðàòà, ïðÿìîóãîëüíèêà, òðåóãîëüíèêà è íà
ðèñóíêå ïîêàçàòü âñå îñè ñèììåòðèè. Ïðèìåð:
3. Íàðèñîâàòü æèâîòíîå èëè íàñåêîìîå, òåëî êîòîðîãî èìååò
ôîðìó ãåîìåòðè÷åñêîé ôèãóðû, è, åñëè ìîæíî, ïîêàçàòü åãî
îñü èëè îñè ñèììåòðèè. Ïðèìåðû:
139
Ñèììåòðèÿ â áóêâàõ, ñëîâàõ è öèôðàõ
Òåïåðü ìîæíî ïîïûòàòüñÿ îáíàðóæèòü ñèììåòðèþ â áóêâàõ
è ñëîâàõ. Íà äîì äàòü çàäàíèå: çàïèñàòü áóêâû ðóññêîãî
àëôàâèòà è óêàçàòü òå, ó êîòîðûõ åñòü îñü ñèììåòðèè; ïðèâåñòè
ïðèìåðû ñëîâ, èìåþùèõ îñè ñèììåòðèè. Íàïðèìåð, ñëîâî ÎÍÎ
èìååò äâå îñè ñèììåòðèè (âåðòèêàëüíóþ è ãîðèçîíòàëüíóþ);
ñëîâî ØÀËÀØ — âåðòèêàëüíóþ îñü ñèììåòðèè; ñëîâà ÝÕÎ,
ÑÎÍ — ãîðèçîíòàëüíóþ îñü ñèììåòðèè è ò. ä. Ìîæíî
ïðåäëîæèòü ïðèäóìàòü ñâîè ïðèìåðû ñèììåòðè÷íûõ ñëîâ è
ïîêàçàòü, êàê ïðîõîäÿò îñè ñèììåòðèè; íàïèñàòü öèôðû è
çåðêàëüíî îòðàçèòü èõ îòíîñèòåëüíî çàäàííîé îñè.
ÝÕÎ
ÎÍÎ
Ïîñòðîåíèå ïëîñêèõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ôèãóð
Ïîñòðîåíèå ïëîñêèõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ôèãóð ó÷àùèåñÿ âûïîëíÿþò
íà áóìàãå è íà êîìïüþòåðå.
Ïîñòðîåíèÿ íà êëåò÷àòîé áóìàãå
• Ïîñòðîèòü ñèììåòðè÷íóþ ôèãóðó, çàòåì, ñêëàäûâàÿ áóìàãó,
ïîêàçàòü âñå îñè ñèììåòðèè ôèãóðû è, åñëè åñòü, öåíòð
ñèììåòðèè (íàïðèìåð, íàðèñîâàòü êâàäðàò è ñëîæèòü åãî
âäîëü êàæäîé äèàãîíàëè);
• íàðèñîâàòü ãåîìåòðè÷åñêóþ ôèãóðó (êâàäðàò,
ïðÿìîóãîëüíèê, ðîìá), ïîñòðîèòü âñå îñè ñèììåòðèè
è óêàçàòü öåíòð ñèììåòðèè, åñëè îí åñòü;
• ïîñòðîèòü ëþáóþ ôèãóðó è îòðàçèòü åå îòíîñèòåëüíî
çàäàííîé îñè ñèììåòðèè;
• ïîñòðîèòü ëþáóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ ôèãóðó, îòðàçèòü åå
îòíîñèòåëüíî ãîðèçîíòàëüíîé îñè ñèììåòðèè, à ïîòîì
îòíîñèòåëüíî âåðòèêàëüíîé.
Ïîñòðîåíèÿ â ñðåäå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà
Çàäàíèå 1
Ïðèìåð: Îðíàìåíòû_Ñèììåòðèÿ, ñòð. 1:
1.
Ðèñ. 1.1
140
Ïîñòðîéòå ôèãóðó À è ïðÿìóþ Ï.
2. Ïîñòðîéòå ôèãóðó Á, ñèììåòðè÷íóþ ôèãóðå À îòíîñèòåëüíî
ïðÿìîé Ï.
Ïîðÿäîê ïîñòðîåíèÿ ñèììåòðè÷íîé ôèãóðû:
• âûäåëèòå ïðÿìóþ Ï è â ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ âûáåðèòå
êîìàíäó Îòìåòèòü îñü îòðàæåíèÿ;
• âûáåðèòå êîìàíäó Âûäåëèòü âñå èç ìåíþ Ïðàâêà;
• âûáåðèòå êîìàíäó Îòðàçèòü èç ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ.
3. Ïîäâèãàéòå ôèãóðû À è Á. Èçìåðüòå èõ ïëîùàäè è
ïåðèìåòðû, âûäåëÿÿ âíóòðåííèå îáëàñòè ôèãóð è âûáèðàÿ
êîìàíäû Ïëîùàäü è Ïåðèìåòð ìåíþ Èçìåðåíèÿ. ×òî ìîæíî
ñêàçàòü î ïëîùàäÿõ è ïåðèìåòðàõ ýòèõ ôèãóð?
4. Èçìåðüòå ðàññòîÿíèå îò êàæäîé âåðøèíû ôèãóðû À äî îñè
ñèììåòðèè è ðåçóëüòàòû ïðåäñòàâüòå â âèäå òàáëèöû.
Àíàëîãè÷íî èçìåðüòå ðàññòîÿíèå îò êàæäîé âåðøèíû
ôèãóðû Á äî îñè.
Äëÿ èçìåðåíèÿ ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè äî ïðÿìîé (îòðåçêà,
ëó÷à) ñëåäóåò âûäåëèòü ýòè îáúåêòû è âûáðàòü êîìàíäó
Ðàññòîÿíèå èç ìåíþ Èçìåðåíèÿ.
Ñîâåò 1.Ñîáëþäàéòå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âûäåëåíèÿ
ñîîòâåòñòâóþùèõ äðóã äðóãó âåðøèí è èçìåðåíèé.
Ñîâåò 2.Íå çàáûâàéòå îòìåíÿòü âûäåëåíèå ëèøíèõ îáúåêòîâ,
ïîñêîëüêó êîìàíäó ìîæíî âûïîëíèòü ïðè óñëîâèè, ÷òî
âûäåëåíû òå è òîëüêî òå îáúåêòû, êîòîðûå åé íóæíû.
5. Ïîäâèãàéòå ôèãóðû îòíîñèòåëüíî îñè ñèììåòðèè. ×òî
ïðîèñõîäèò ñ ðåçóëüòàòàìè èçìåðåíèÿ? ×òî èíòåðåñíîãî âû
çàìåòèëè?
6. Ïîäâèãàéòå îñü ñèììåòðèè. À ÷òî èíòåðåñíîãî âû íàáëþäàåòå
òåïåðü?
Çàäàíèå 2
Ïðèìåð: Îðíàìåíòû_Ñèììåòðèÿ, ñòð. 2
Ïîñòðîéòå ôèãóðó À è ïðÿìóþ Ï, êàê íà ðèñóíêå. Ïîñòðîéòå
ôèãóðó Á, ñèììåòðè÷íóþ ôèãóðå À îòíîñèòåëüíî îñè Ï,
è âûïîëíèòå óïðàæíåíèÿ, àíàëîãè÷íûå ïóíêòàì 3–6 Çàäàíèÿ 1.
Ðèñ. 1.2
141
Çàäàíèå 3
Ïðèìåð: Îðíàìåíòû_Ñèììåòðèÿ, ñòð. 3
1. Ïîñòðîéòå îòðåçêè a, b, ñ.
Ðèñ. 1.3
2. Äëÿ êàæäîãî îòðåçêà ïîñòðîéòå åãî îñü ñèììåòðèè. Ñêîëüêî
îñåé ñèììåòðèè ó îòðåçêà?
Ïîñòðîåíèå îñè ñèììåòðèè îòðåçêà:
• âûäåëèòå ùåë÷êîì îòðåçîê, à â ìåíþ Ïîñòðîåíèÿ âûáåðèòå
êîìàíäó Ñåðåäèíà;
• âûäåëèòå îòðåçîê è åãî ñåðåäèíó, à â ìåíþ Ïîñòðîåíèÿ
âûáåðèòå êîìàíäó Ïåðïåíäèêóëÿð.
3. Ïîäâèãàéòå îòðåçêè, ïîäâèãàéòå êîíöû îòðåçêîâ. ×òî
èíòåðåñíîãî âû çàìåòèëè?
Çàäàíèå 4
Ïðèìåð: Îðíàìåíòû_Ñèììåòðèÿ, ñòð. 4
1. Ïîñòðîéòå ôèãóðû, èçîáðàæåííûå íà ðèñóíêå.
Ðèñ. 1.4
2.
3.
4.
5.
Êàêèå èç ýòèõ ôèãóð èìåþò îñü ñèììåòðèè?
Åñòü ëè íà ðèñóíêå ôèãóðà, êîòîðàÿ íå èìååò îñè ñèììåòðèè?
Åñòü ëè ôèãóðà, êîòîðàÿ èìååò íåñêîëüêî îñåé ñèììåòðèè?
Ïîñòðîéòå äëÿ êàæäîé ôèãóðû åå îñü (èëè îñè) ñèììåòðèè
(åñëè èìååòñÿ íåñêîëüêî îñåé ñèììåòðèè, òî âûäåëèòå èõ
ðàçíûìè öâåòàìè).
Ïîñòðîåíèå îñè ñèììåòðèè ôèãóðû:
• âûäåëèòå êàêóþ-íèáóäü ñòîðîíó ôèãóðû è ïîñòðîéòå åå
ñåðåäèíó;
• ïîñòðîéòå ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð èëè ïîñòðîéòå
ïðÿìóþ, ñîäåðæàùóþ ýòó ñåðåäèíó è êàêóþ-òî èíóþ
ïîäõîäÿùóþ òî÷êó (äðóãóþ âåðøèíó, ñåðåäèíó äðóãîé
ñòîðîíû è ò. ä.).
142
Çàäàíèå 5
Ïðèìåð: Îðíàìåíòû_Ñèììåòðèÿ, ñòð. 5
1. Ïîñòðîéòå ôèãóðû, èçîáðàæåííûå íà ðèñóíêå.
Ðèñ. 1.5
2. Äëÿ êàæäîé ôèãóðû ïîñòðîéòå åå îñü ñèììåòðèè. Åñëè îñåé
íåñêîëüêî, òî âûäåëèòå èõ ðàçíûìè öâåòàìè.
3. Îòâåòüòå íà âîïðîñû
• Ñêîëüêî îñåé ñèììåòðèè ó êàæäîé ôèãóðû?
• Åñòü ëè íà ðèñóíêå ôèãóðà, ó êîòîðîé íåò îñè ñèììåòðèè?
• Åñòü ëè íà ðèñóíêå ôèãóðà, êîòîðàÿ èìååò áåñêîíå÷íî
ìíîãî îñåé ñèììåòðèè?
Çàäàíèå 6
Ïðèìåð: Îðíàìåíòû_Ñèììåòðèÿ, ñòð. 6
1. Ïîñòðîéòå ôèãóðó À1, ñèììåòðè÷íóþ ôèãóðå À îòíîñèòåëüíî
ïðÿìîé a, è ôèãóðó À2, ñèììåòðè÷íóþ ôèãóðå À1
îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé b.
Ðèñ. 1.6
2. Ïîäóìàéòå, ÷òî ìîæíî ñêàçàòü î ôèãóðàõ À è À2.
3. Ïîäâèãàéòå ôèãóðû À, À1 è À2 è îòâåòüòå, åñòü ëè
âçàèìîñâÿçü ìåæäó íèìè.
4. Èçìåðüòå ðàññòîÿíèå îò âåðøèí ôèãóðû À äî îñåé a
è b, çàòåì ïîäâèãàéòå ôèãóðó À îòíîñèòåëüíî îñåé a è b
è ïîíàáëþäàéòå çà èçìåíåíèåì ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé.
5. Ïîâòîðèòå ïóíêò 4 äëÿ ôèãóð À1 è À2 (ïîäóìàéòå, ñòîèò ëè
ýòî äåëàòü — èëè âû óæå äîãàäàëèñü?).
6. Ïîäâèãàéòå îñè a è b è ïîíàáëþäàéòå çà ðåçóëüòàòàìè
èçìåðåíèÿ.
7. Ñäåëàéòå âûâîä èç ñâîèõ íàáëþäåíèé î ñîõðàíåíèè
ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè.
143
Çàäàíèå 7
Ïðèìåð: Îðíàìåíòû_Ñèììåòðèÿ, ñòð. 7
1. Ñäåëàéòå òðè ÷åðòåæà, ïîäîáíûå ñëåäóþùèì ðèñóíêàì
(ïîñìîòðèòå íà íèõ âíèìàòåëüíî, ÷òîáû ïðàâèëüíî âûïîëíèòü
ïîñòðîåíèå).
Ðèñ. 1.7
2. Íà êàæäîì ðèñóíêå ïðîâåäèòå (åñëè ìîæíî) îñü ñèììåòðèè
òàê, ÷òîáû îíà äåëèëà ïîïîëàì ïëîùàäè îáåèõ ôèãóð.
3. Ïîäóìàéòå, íà êàêîì èç ðèñóíêîâ íåëüçÿ ïðîâåñòè òàêóþ îñü
ñèììåòðèè è ïî÷åìó.
144
Çíàêîìñòâî ñ ãåîìåòðè÷åñêèìè
ïðåîáðàçîâàíèÿìè
Íà ýòèõ óðîêàõ ó÷àùèåñÿ ïîëó÷àþò ïðåäñòàâëåíèå
î ãåîìåòðè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ è ó÷àòñÿ ðàáîòàòü ñ íèìè
â ïðîãðàììå Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà, ÷òîáû çàòåì âîñïîëüçîâàòüñÿ
èìè ïðè ïîñòðîåíèè îðíàìåíòîâ.
Âèäû ïðåîáðàçîâàíèé:
•
•
•
•
îòðàæåíèå;
ïîâîðîò;
ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ;
ãîìîòåòèÿ.
Çàäàíèå 1
Ïðèìåð: Îðíàìåíòû_Ïðåîáðàçîâàíèå, ñòð. 1
1. Ïîñòðîéòå äâå ïðÿìûå m è ð, ïåðåñåêàþùèåñÿ â òî÷êå Î,
è ïðîèçâîëüíóþ ôèãóðó, íàïðèìåð, òðåóãîëüíèê ÂÑÅ:
Ðèñ. 2.1
2. Ïîñòðîéòå òðåóãîëüíèê Â'Ñ'Å', ñèììåòðè÷íûé òðåóãîëüíèêó
ÂÑÅ îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé m, à çàòåì òðåóãîëüíèê Â''Ñ''Å'',
ñèììåòðè÷íûé òðåóãîëüíèêó Â'Ñ'Å' îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ð.
3. Ñîåäèíèòå òî÷êè Â, Ñ è Å è ñîîòâåòñòâóþùèå èì òî÷êè Â'',
Ñ'' è Å'' ñ òî÷êîé Î. Èçìåðüòå óãëû ÂÎÂ'', ÑÎÑ'', ÅÎÅ'' è óãîë,
îáðàçîâàííûé ïðÿìûìè m è ð, à òàêæå äëèíû îòðåçêîâ ÂÎ è
Â''Î, ÑÎ è Ñ''Î, ÅÎ è Å''Î.
4. Äâèãàéòå ïðÿìûå îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà, ïåðåìåùàéòå
ôèãóðû ïî ÷åðòåæó.
×òî èíòåðåñíîãî âû óâèäåëè?
Çàäàíèå 2
Ïðèìåð: Îðíàìåíòû_Ïðåîáðàçîâàíèå, ñòð. 2
1. Ïîñòðîéòå òðåóãîëüíèê DEC.
Ðèñ. 2.2
145
2. Ïîñòðîéòå òî÷êó  âíå òðåóãîëüíèêà è îòìåòüòå åå êàê öåíòð
ïðåîáðàçîâàíèÿ.
• Âûäåëèòå òî÷êó  è âûáåðèòå êîìàíäó Îòìåòèòü öåíòð
â ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ.
• Ïîñëå ýòîãî òî÷êà  áóäåò îñòàâàòüñÿ öåíòðîì ïîâîðîòà
è ðàñòÿæåíèÿ, ïîêà âû íå óêàæåòå äðóãîé öåíòð.
3. Ñ ïîìîùüþ èíñòðóìåíòà Ðàñòÿæåíèå èç íàáîðà èíñòðóìåíòîâ
Ñòðåëêà èçìåíèòå ðàçìåðû òðåóãîëüíèêà.
• âûäåëèòå òðåóãîëüíèê è öåíòð Â;
• â íàáîðå èíñòðóìåíòîâ Ñòðåëêà âûáåðèòå èíñòðóìåíò
Ðàñòÿæåíèå;
• óñòàíîâèòå óêàçàòåëü íà âíóòðåííþþ îáëàñòü òðåóãîëüíèêà,
íàæìèòå êíîïêó ìûøè è ïîäâèãàéòå óêàçàòåëü.
Âíèìàíèå!Îäíîâðåìåííî ñ ðàçìåðàìè òðåóãîëüíèêà ìåíÿåòñÿ
è åãî ðàññòîÿíèå îò öåíòðà Â.
4. Ïîëó÷èòå òðåóãîëüíèê óìåíüøåííîãî ðàçìåðà ïðè ïîìîùè
êîìàíäû Ãîìîòåòèÿ:
Èñïîëüçîâàíèå êîìàíäû Ãîìîòåòèÿ:
• âûäåëèòå òðåóãîëüíèê è öåíòð ãîìîòåòèè èíñòðóìåíòîì
Ñòðåëêà;
• âûáåðèòå êîìàíäó Ãîìîòåòèÿ èç ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ —
ïîÿâèòñÿ äèàëîãîâîå îêíî Ãîìîòåòèÿ;
• â îòêðûâøåìñÿ îêíå âûáåðèòå îïöèþ Â çàäàííîì îòíîøåíèè
è óñòàíîâèòå êîýôôèöèåíò ãîìîòåòèè, ðàâíûì 1/2;
• íàæìèòå êíîïêó Ãîìîòåòèÿ — ïîÿâèòñÿ íîâûé òðåóãîëüíèê
D'E'C', âäâîå ìåíüøèé ïðåäûäóùåãî.
Ðèñ. 2.3
5. Äîáàâüòå ê ÷åðòåæó îòðåçîê, îòìåòüòå åãî êàê îñü
ñèììåòðèè, îòðàçèòå òðåóãîëüíèêè îòíîñèòåëüíî äàííîé îñè,
ïîäâèãàéòå âåðøèíû òðåóãîëüíèêîâ è ñàìó îñü, ïåðåìåùàéòå
òðåóãîëüíèêè ïî ëèñòó ÷åðòåæà.
Ðèñ. 2.4
×òî èíòåðåñíîãî âû çàìåòèëè?
146
Ïîñòðîåíèå ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ
(êâàäðàòà, òðåóãîëüíèêà, øåñòèóãîëüíèêà)
Ïîñòðîåíèå ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà è êâàäðàòà ó÷àùèåñÿ
ìîãóò èçó÷èòü ñàìîñòîÿòåëüíî ñ ïîìîùüþ ëþáîãî ó÷åáíèêà
ãåîìåòðèè.
Îâëàäåâ ïîñòðîåíèåì ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ íà áóìàãå,
ïîëåçíî âñå ïîñòðîåíèÿ âîñïðîèçâåñòè â ñðåäå Æèâàÿ
Ìàòåìàòèêà.
Ðèñ. 3.1
Íà ñòðàíèöå 1 ÷åðòåæà Îðíàìåíòû_Ìíîãîóãîëüíèêè ïðèâåäåíû
ñëåäóþùèå àëãîðèòìû ïîñòðîåíèÿ ìíîãîóãîëüíèêîâ.
Ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê
1. Èíñòðóìåíòîì Öèðêóëü ïîñòðîèòü îäíó îêðóæíîñòü, à çàòåì,
âçÿâ ðàäèàëüíóþ (òî åñòü çàäàþùóþ ðàäèóñ) òî÷êó íà
îêðóæíîñòè â êà÷åñòâå öåíòðà O2, ïîñòðîèòü âòîðóþ
îêðóæíîñòü òàêîãî æå ðàäèóñà, îïðåäåëèâ â êà÷åñòâå
ðàäèàëüíîé òî÷êè öåíòð O1.
Ðèñ. 3.2
2. Ùåë÷îê íà îäíîé èç òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ îêðóæíîñòåé
îïðåäåëèò òðåòüþ âåðøèíó òðåóãîëüíèêà.
Êâàäðàò
1. Èíñòðóìåíòîì Öèðêóëü ïîñòðîèòü îäíó îêðóæíîñòü, à çàòåì,
âçÿâ ðàäèàëüíóþ òî÷êó íà îêðóæíîñòè â êà÷åñòâå öåíòðà,
ïîñòðîèòü âòîðóþ îêðóæíîñòü òàêîãî æå ðàäèóñà.
147
2. Ïîñòðîèòü îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé öåíòðû îêðóæíîñòåé, ïîñëå
÷åãî âûäåëèòü öåíòðû.
3. Ïîñòðîèòü íà ýòèõ öåíòðàõ ïåðïåíäèêóëÿðû ê îòðåçêó. Äâå
òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðîâ ñ îêðóæíîñòÿìè (íà
ðèñóíêå íèæå ýòî òî÷êè Å è D) è öåíòðû îêðóæíîñòåé çàäàþò
÷åòûðå âåðøèíû êâàäðàòà.
Ðèñ. 3.3
Ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê
1. Èíñòðóìåíòîì Öèðêóëü ïîñòðîèòü îäíó îêðóæíîñòü,
à çàòåì, âçÿâ ðàäèàëüíóþ (òî åñòü çàäàþùóþ ðàäèóñ) òî÷êó
íà îêðóæíîñòè â êà÷åñòâå öåíòðà O2, ïîñòðîèòü âòîðóþ
îêðóæíîñòü òàêîãî æå ðàäèóñà, óêàçàâ â êà÷åñòâå ðàäèàëüíîé
òî÷êè öåíòð O1.
2. Òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ O3 îòìåòèòü êàê öåíòð òðåòüåé
îêðóæíîñòè, à ðàäèàëüíîé òî÷êîé íàçíà÷èòü O1.
Ïåðåñå÷åíèå O4 — öåíòð, O1 — ðàäèàëüíàÿ òî÷êà.
Ïåðåñå÷åíèå O5 — öåíòð, O1 — ðàäèàëüíàÿ òî÷êà.
Ðèñ. 3.4
3. Òî÷êè O2, O3, … , O7 — âåðøèíû øåñòèóãîëüíèêà.
Èíñòðóìåíòû äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ
×òîáû óïðîñòèòü ðàáîòó ïî ñîçäàíèþ îðíàìåíòîâ, ìû çàðàíåå
çàãîòîâèëè èíñòðóìåíòû Æèâîé Ìàòåìàòèêè, êîòîðûå
ïîçâîëÿþò ïðîñòî «âçÿòü» íóæíûé ìíîãîóãîëüíèê èç
Ãîòîâàëüíè, à íå ñòðîèòü åãî ñàìîñòîÿòåëüíî. Ýòè èíñòðóìåíòû
ïîêàçàíû íà ñòðàíèöå 2 ÷åðòåæà Îðíàìåíòû_Ìíîãîóãîëüíèêè. Äëÿ
êàæäîé ôèãóðû èìåþòñÿ äâà âàðèàíòà èíñòðóìåíòîâ — îäèí
äëÿ ïîñòðîåíèÿ òîëüêî åå âíóòðåííåé îáëàñòè (áåç ñòîðîí),
äðóãîé äëÿ ïîñòðîåíèÿ òàêæå è ñòîðîí (íàçâàíèå âòîðîãî
âàðèàíòà ñîäåðæèò îêîí÷àíèå «_1»).
148
Ðèñ. 3.5.
Îòêðûòîå ìåíþ
Èíñòðóìåíòû
ïîëüçîâàòåëÿ
Ïîòðåíèðóéòåñü. Âûáåðèòå èç îòêðûâàþùåãîñÿ ìåíþ
Èíñòðóìåíòû ïîëüçîâàòåëÿ êàêîé-íèáóäü èíñòðóìåíò
è ïîñòðîéòå äâå òî÷êè. Ïîëó÷èòñÿ ìíîãîóãîëüíèê.
Îðèåíòàöèÿ ìíîãîóãîëüíèêà çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ
óêàçàòåëÿ îò ïåðâîé òî÷êè äî âòîðîé (ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå èëè
ïðîòèâ).
Ðèñ. 3.6
Èíñòðóìåíò óïðàâëåíèÿ ìíîãîóãîëüíèêàìè (ÓÌ)
Åùå îäèí ïîëüçîâàòåëüñêèé èíñòðóìåíò Æèâîé Ìàòåìàòèêè
ñîçäàí äëÿ óäîáñòâà èçìåíåíèÿ ìàñøòàáà è îðèåíòàöèè
îðíàìåíòà. Îí íàçâàí èìåíåì ÓÌ (óïðàâëåíèå
ìíîãîóãîëüíèêàìè).
Âûáåðèòå â ìåíþ Èíñòðóìåíòû ïîëüçîâàòåëÿ èíñòðóìåíò ÓÌ,
è ïîñòàâüòå íà ÷åðòåæå òðè òî÷êè (íà ðèñóíêå íèæå ýòî òî÷êè 1,
2 è Á1). Ïðè ýòîì àâòîìàòè÷åñêè ïîÿâèòñÿ åùå îäíà òî÷êà
(íà ðèñóíêå íèæå Á2). Òî÷êè Á1 è Á2 áóäåì íàçûâàòü áàçîâûìè
òî÷êàìè.
Ðèñ. 3.7.
Ïðàâèëüíûé
øåñòèóãîëüíèê,
ïîñòðîåííûé íà áàçîâûõ
òî÷êàõ
Åñëè òåïåðü ïðè ïîìîùè îäíîãî èç íàøèõ ïîëüçîâàòåëüñêèõ
èíñòðóìåíòîâ ïîñòðîèòü ìíîãîóãîëüíèê, ñîâìåùàÿ åãî ïåðâûå
äâå âåðøèíû ñ áàçîâûìè òî÷êàìè, òî äâèæåíèå ëþáîé òî÷êè
èíñòðóìåíòà ÓÌ (íà ðèñóíêå âûøå 1 èëè 2) ïðèâåäåò ê
èçìåíåíèþ ðàçìåðà è/èëè îðèåíòàöèè ìíîãîóãîëüíèêà è âñåõ
ñâÿçàííûõ ñ íèì ôèãóð.
149
Ïîñòðîåíèå ýëåìåíòàðíûõ ÿ÷ååê
ñ ïîìîùüþ ãåîìåòðè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé
Ïîñëå òîãî, êàê ó÷àùèåñÿ íàó÷èëèñü ñòðîèòü íà êîìïüþòåðå
ðàâíîñòîðîííèå ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû, ó÷èòåëü ñòàâèò
ïåðåä íèìè î÷åðåäíóþ çàäà÷ó — ñîñòàâèòü èç ôèãóð ðàçíûå
ýëåìåíòàðíûå ÿ÷åéêè ñ ïîìîùüþ èíñòðóìåíòîâ ïîñòðîåíèÿ
ìíîãîóãîëüíèêîâ è ñëåäóþùèõ îïåðàöèé:
• îòìåòèòü êàêóþ-ëèáî ñòîðîíó ôèãóðû êàê îñü ñèììåòðèè
è îòðàçèòü ôèãóðó îòíîñèòåëüíî äàííîé îñè;
• îòìåòèòü êàêóþ-ëèáî âåðøèíó ôèãóðû êàê öåíòð è
ïîâåðíóòü ôèãóðó îòíîñèòåëüíî ýòîãî öåíòðà íåñêîëüêî ðàç;
• îêðàñèòü ìíîãîóãîëüíèêè, ñîñòàâëÿþùèå ÿ÷åéêó, ðàçíûìè
öâåòàìè.
Ïðèìåðû çàäàíèé
1. Íà ñòîðîíàõ ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà ïîñòðîèòü êâàäðàòû.
2. Íà ñòîðîíàõ ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà ïîñòðîèòü
êâàäðàòû è ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè.
3. Ïîñòðîèòü ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê T è îòðàçèòü åãî
îòíîñèòåëüíî ñòîðîíû a, ïîëó÷åííûé ðîìá T+T' ïîâåðíóòü
íà 90 ãðàäóñîâ âîêðóã òî÷êè À. Ïîëó÷åííóþ ôèãóðó ïîâåðíóòü
íà 90 ãðàäóñîâ âîêðóã òî÷êè À' è ò. ä.
4. Ïîêðàñèòü ìíîãîóãîëüíèêè, ñîñòàâëÿþùèå ÿ÷åéêó, ðàçíûìè
öâåòàìè è ñïðÿòàòü ëèøíèå ëèíèè.
Ïðèìåðû âûïîëíåííûõ çàäàíèé ñîäåðæàòñÿ íà ñòðàíèöå 1
÷åðòåæà Îðíàìåíòû_ß÷åéêè.
150
Ïðèìåðû ÿ÷ååê
Ïðèìåðû ÿ÷ååê ïðèâåäåíû íà ñòðàíèöå 2 ÷åðòåæà
Îðíàìåíòû_ß÷åéêè:
151
Ïîñòðîåíèå è ðàáîòà ñ îðíàìåíòàìè
Áåñåäà îá îðíàìåíòàõ
Âî âðåìÿ áåñåäû ó÷èòåëü ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðà äåìîíñòðèðóåò
íà ýêðàíå çàðàíåå ïîñòðîåííûå ÿðêèå è êðàñî÷íûå îðíàìåíòû,
ðèñóíêè ïàðêåòîâ è áîðäþðîâ, îáðàùàåò âíèìàíèå äåòåé íà
óçîðû íà èõ îäåæäàõ è ò. ä., âûâåøèâàåò íà äîñêå â âèäå
ïëàêàòîâ íåñêîëüêî îáðàçöîâ îáîåâ è ïðåäëàãàåò ó÷àùèìñÿ íàéòè
ñèììåòðèþ è ïîâòîðÿåìîñòü â ðèñóíêàõ.
Äîìàøíåå çàäàíèå: ðàññìîòðåòü óçîðû íà êîâðàõ, ëèíîëåóìå,
îáîÿõ, øòîðàõ è ò. ä. è ñäåëàòü âûâîäû (ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî
ó÷àùèåñÿ ñäåëàþò âûâîäû î òîì, ÷òî ýëåìåíòû óçîðà îáëàäàþò
ñèììåòðèåé è ÷òî ýòè ýëåìåíòû ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþòñÿ).
Äàëåå ó÷èòåëü ïðåäëàãàåò ó÷àùèìñÿ âûáðàòü ðèñóíêè äëÿ
ïðîåêòíîé ðàáîòû: îðíàìåíòû èç ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ
è óçîðû íà êëåò÷àòîé áóìàãå, íàïðèìåð èç ïðåäñòàâëåííûõ
â ÷åðòåæå Îðíàìåíòû_Ïðèìåðû.
Ïðèìåðû ïîñòðîåíèÿ
Ïðèìåðû ïîñòðîåíèÿ îðíàìåíòîâ ïðèâåäåíû íà ÷åðòåæå
Îðíàìåíòû_Ïîñòðîåíèå.
Øàõìàòíàÿ äîñêà
Ïðèìåð: Îðíàìåíòû_Ïîñòðîåíèå, ñòð. 1.
Êàæäàÿ ÿ÷åéêà øàõìàòíîé äîñêè ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì, ïîýòîìó
ïîñòðîèòü äàííûé îðíàìåíò î÷åíü ëåãêî.
Øàãè ïîñòðîåíèÿ:
1. Ïîñòðîéòå ÓÌ, à íà åãî áàçîâûõ òî÷êàõ èíñòðóìåíòîì
Êâàäðàò_1 ïîñòðîéòå êâàäðàò.
2. Òåì æå èíñòðóìåíòîì ïîñòðîéòå åùå îäèí êâàäðàò, èìåþùèé
îáùóþ ñòîðîíó ñ ïåðâûì.
3. Ïîêðàñüòå êâàäðàòû â ðàçíûå öâåòà.
4. Âûäåëèòå ëåâóþ âåðõíþþ è ïðàâóþ íèæíþþ âåðøèíû
ëþáîãî êâàäðàòà, à çàòåì âûáåðèòå êîìàíäó Îòìåòèòü âåêòîð
èç ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ.
5. Âûäåëèòå âñþ ôèãóðó. Íåñêîëüêî ðàç ïîäðÿä âûáåðèòå
êîìàíäó Ïåðåíåñòè èç ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ (â îêíå Ïåðåíîñ
âûáèðàéòå êàæäûé ðàç ñïîñîá «ïåðåíîñ íà îòìå÷åííûé
âåêòîð»).
152
6. Òåïåðü óêàæèòå âåêòîð ñ îáðàòíûì íàïðàâëåíèåì. Âûäåëèòå
ñíà÷àëà ïðàâóþ âåðõíþþ, çàòåì ëåâóþ íèæíþþ âåðøèíû
ëþáîãî êâàäðàòà. Ïîâòîðèòå äåéñòâèÿ 4 è 5.
Áóãîðêè
Ïðèìåð: Îðíàìåíòû_Ïîñòðîåíèå, ñòð. 3.
Øàãè ïîñòðîåíèÿ:
1. Ïîñòðîéòå ÓÌ, à íà åãî áàçîâûõ òî÷êàõ Ïðàâèëüíûé
òðåóãîëüíèê_1 è ñìåæíûé ñ íèì òðåóãîëüíèê.
2. Ñìåæíûé òðåóãîëüíèê ïîêðàñüòå, ïîñòðîéòå ñåðåäèíó C
áàçîâîé ñòîðîíû.
3. Îòìåòüòå âåêòîð ÀÑ, âûäåëèòå ôèãóðó è òðè ðàçà âûáåðèòå
êîìàíäó Ïåðåíåñòè èç ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ, òî åñòü
ïîñëåäîâàòåëüíî ïîñòðîéòå òðè îáðàçà ïðåîáðàçîâàíèÿ ñäâèãà,
è ðàñêðàñüòå, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå íèæå.
4. Îòìåòüòå âåêòîð Á1Á2, âûäåëèòå ôèãóðó è ïîñòðîéòå òðè
îáðàçà ïðåîáðàçîâàíèÿ ñäâèãà.
5. Âûáåðèòå â ãîòîâàëüíå èíñòðóìåíò Òî÷êà , à çàòåì
â ìåíþ Ïðàâêà âûáåðèòå êîìàíäó Âûäåëèòü âñå òî÷êè.
Ñïðÿ÷üòå òî÷êè ñ ïîìîùüþ êîìàíäû Ñïðÿòàòü òî÷êè èç
ìåíþ Âèä.
×òîáû ïðîäîëæèòü îðíàìåíò, âû ìîæåòå âîñïîëüçîâàòüñÿ
ïîäñêàçêîé íà ÷åðòåæå Îðíàìåíòû_Ïîñòðîåíèå, ñòð. 3: òî÷êè íà
ýòîì ÷åðòåæå ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü äëÿ ïîñòðîåíèÿ âåêòîðîâ
ñäâèãà.
153
Ñêàòåðòü 1
Ïðèìåð: Îðíàìåíòû_Ïîñòðîåíèå, ñòð. 4.
Øàãè ïîñòðîåíèÿ:
1. Ïîñòðîéòå ÓÌ, à íà åãî áàçîâûõ òî÷êàõ Ïðàâèëüíûé
òðåóãîëüíèê_1. Ïîêðàñüòå òðåóãîëüíèê.
2. Îòìåòüòå òî÷êó À êàê öåíòð, âûäåëèòå ôèãóðó è ïîâåðíèòå
åå íà 90 ãðàäóñîâ, âûáðàâ êîìàíäó Ïîâåðíóòü èç ìåíþ
Ïðåîáðàçîâàíèÿ.
3. Îòìåòüòå áàçîâóþ ñòîðîíó êàê îñü îòðàæåíèÿ, âûäåëèòå
âñþ ôèãóðó è âûáåðèòå êîìàíäó Îòðàçèòü èç ìåíþ
Ïðåîáðàçîâàíèÿ.
4. Îòìåòüòå êàêóþ-ëèáî ñòîðîíó, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ áàçîâîé,
(íàïðèìåð, BC) êàê îñü îòðàæåíèÿ, âûäåëèòå âñþ ôèãóðó
è âûáåðèòå êîìàíäó Îòðàçèòü èç ìåíþ Ïðåîáðàçîâàíèÿ.
Âûäåëèòå âñå âåðøèíû âíóòðåííåãî ìíîãîóãîëüíèêà
(ñêîëüêî ýòèõ âåðøèí?), ïîñòðîéòå Âíóòðåííþþ îáëàñòü
è çàêðàñüòå åå.
154
5. Îòìåòüòå âåêòîð DÑ, âûäåëèòå ôèãóðó è ïîñòðîéòå îáðàç
ïðåîáðàçîâàíèÿ ñäâèãà. Îòìåòüòå âåêòîð Á1Å, âûäåëèòå
ôèãóðó è ïîñòðîéòå îáðàç ïðåîáðàçîâàíèÿ ñäâèãà.
6. Âûäåëèòå âåðøèíû P1, P2, …, P6, D, Á1, ïîñòðîéòå Âíóòðåííþþ
îáëàñòü è ïîêðàñüòå åå «ôîíîâûì» öâåòîì.
7. Ñïðÿ÷üòå âñå òî÷êè è îòðåçêè.
Ñêàòåðòü 2
Ïðèìåð: Îðíàìåíòû_Ïîñòðîåíèå, ñòð. 5
Ýòîò îðíàìåíò ïîäîáåí îðíàìåíòó Ñêàòåðòü 1, îòëè÷èå
çàêëþ÷àåòñÿ òîëüêî â çàäàíèè âåêòîðîâ ñäâèãà.
1. Ïîâòîðèòå øàãè 1–4 ïîñòðîåíèÿ Ñêàòåðòè 1.
2. Îòìåòüòå âåêòîð M1A, âûäåëèòå ôèãóðó è ïîñòðîéòå îáðàç
ïðåîáðàçîâàíèÿ ñäâèãà. Îòìåòüòå âåêòîð M1M2, âûäåëèòå
ôèãóðó è ïîñòðîéòå îáðàç ïðåîáðàçîâàíèÿ ñäâèãà.
3. Ïîâòîðèòå øàãè 6–7 ïîñòðîåíèÿ Ñêàòåðòè 1.
8. Ðàñêðàñüòå îðíàìåíò.
155
Ñàëôåòêè
Ïðèìåð: Îðíàìåíòû_Ïîñòðîåíèå, ñòð. 6
Øàãè ïîñòðîåíèÿ:
1. Ïîñòðîéòå ÓÌ, à íà åãî áàçîâûõ òî÷êàõ Êâàäðàò_1.
2. Âûäåëèòå îäíó èç åãî âåðøèí è îòìåòüòå åå êàê öåíòð
ïîâîðîòà.
3. Âûäåëèòå êâàäðàò âìåñòå ñ åãî ñòîðîíàìè è ïîâåðíèòå âîêðóã
âûáðàííîãî öåíòðà ñåìü ðàç íà 45 ãðàäóñîâ.
4. Ïðåæäå ÷åì ðàñêðàøèâàòü ïîëó÷åííóþ ôèãóðó, ïîñòðîéòå âñå
òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ñòîðîí ïîëó÷åííûõ êâàäðàòîâ. Äëÿ ýòîãî
ïîñëåäîâàòåëüíî âûäåëÿéòå êàæäóþ ïàðó ïåðåñåêàþùèõñÿ
ñòîðîí è âûáèðàéòå èç ìåíþ Ïîñòðîåíèå êîìàíäó
Ïåðåñå÷åíèå. Ïîñëå ýòîãî âû ñìîæåòå ðàñêðàñèòü ôèãóðó,
êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå íèæå.
5. Îòìåòüòå âåêòîð AB è ïåðåíåñèòå ôèãóðó.
6. Îòìåòüòå âåêòîð ÑD è ñíîâà ïåðåíåñèòå âñþ ôèãóðó.
Âûáåðèòå äðóãèå âåêòîðû è ïðåîáðàçóéòå äàííûé îðíàìåíò.
Êàêîé îðíàìåíò âû ñ÷èòàåòå ñàìûì êðàñèâûì?
Òàíåö çâåçäî÷åê
Ïðèìåð: Îðíàìåíòû_Ïîñòðîåíèå, ñòð. 7
156
Øàãè ïîñòðîåíèÿ:
1. Ïîñòðîéòå ÓÌ, à íà åãî áàçîâûõ òî÷êàõ Êâàäðàò.
2. Íà ñòîðîíàõ êâàäðàòà ïîñòðîéòå Ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè_1.
3. Ðàñêðàñüòå ôèãóðó.
4. Îòìåòüòå âåêòîð AB è ïåðåíåñòè ôèãóðó, ïîòîì îòìåòüòå
âåêòîð CD è ïåðåíåñòè íîâóþ ôèãóðó.
5. Ïîñòðîéòå öâåòíîé ôîí.
Àëìàçèêè
Øàãè ïîñòðîåíèÿ:
1. Ïîñòðîéòå Ïðàâèëüíûé Òðåóãîëüíèê_1.
2. Îòìåòüòå åãî âåðòèêàëüíóþ ñòîðîíó êàê îñü îòðàæåíèÿ
è îòðàçèòå òðåóãîëüíèê.
3. Íà ñòîðîíàõ ïîëó÷èâøåãîñÿ ðîìáà ïîñòðîéòå äâà Êâàäðàòà_1
è ñîåäèíèòå íèæíèå âåðøèíû êâàäðàòîâ îòðåçêîì.
4. Âûäåëèòå ýòîò îòðåçîê êàê îñü îòðàæåíèÿ è îòðàçèòå âñþ
ôèãóðó. Òî, ÷òî ïîëó÷èëîñü, ðàñêðàñüòå.
157
5. Îòìåòüòå âåêòîð îò òî÷êè 1 äî òî÷êè 2 è ïåðåíåñèòå ôèãóðó.
6. Îòìåòüòå âåêòîð îò òî÷êè 3 äî òî÷êè 4 è ïåðåíåñèòå ôèãóðó.
Ïîâòîðÿÿ äåéñòâèÿ 5 è 6, âû ìîæåòå «çàìîñòèòü» àëìàçèêàìè
âåñü ÷åðòåæ.
Ðàáîòó ñ «Àëìàçèêàìè» ìîæíî ïîñòðîèòü êàê íåáîëüøîå
èññëåäîâàíèå. Íàïðèìåð, ïîïðîñèòü äåòåé íàéòè íàèáîëåå
«ýêîíîìè÷íóþ» ÿ÷åéêó, ïîçâîëÿþùóþ ñîçäàòü òîò æå óçîð.
Ïðèìåð òàêîé ðàáîòû ïðèâåäåí â ÷åðòåæå Îðíàìåíòû_Ïîñòðîåíèå,
ñòð. 8.
158
Âûâîäû
Ïðèâåäåííûå âûøå ïðèìåðû ïîêàçûâàþò, ÷òî îáùàÿ èäåÿ
àëãîðèòìà ïîñòðîåíèÿ îðíàìåíòîâ ñâîäèòñÿ ê íåñêîëüêèì
ïóíêòàì:
• òâîð÷åñêîìó — èçîáðåòåíèþ ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêè
îðíàìåíòà, ìîæåò áûòü, íà îñíîâå ñòàíäàðòíûõ äåòàëåé
(â íàøåì ñëó÷àå — ìíîãîóãîëüíèêîâ);
• òåõíîëîãè÷åñêîìó — ñîçäàíèþ óäîáíûõ èíñòðóìåíòîâ
èçãîòîâëåíèÿ ñòàíäàðòíûõ äåòàëåé (â íàøåì ñëó÷àå —
Èíñòðóìåíòîâ ïîëüçîâàòåëÿ Æèâîé Ìàòåìàòèêè);
• «èññëåäîâàòåëüñêîìó» — ïðèìåð: ïîèñê «îïòèìàëüíîé»
ÿ÷åéêè â îðíàìåíòå «Àëìàçèêè»;
• «ìàòåìàòè÷åñêîìó» — ïðèâÿçêå ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêè
ê âåêòîðó, óïðàâëÿþùåìó åå ìàñøòàáîì è îðèåíòàöèåé
(ÓÌ), è çàäàíèþ äâóõ âåêòîðîâ ñäâèãà, òèðàæèðóþùèõ
ÿ÷åéêó.
159
Çàùèòà ïðîåêòíûõ ðàáîò
Ïî çàâåðøåíèè òåîðåòè÷åñêîé è ïðàêòè÷åñêîé ðàáîòû
ó÷àùèåñÿ ãîòîâÿòñÿ ê çàùèòå ñâîèõ ïðîåêòîâ. Ïîäãîòîâêó
íà÷èíàþò ñ ïðîáíûõ âûñòóïëåíèé. Äëÿ ýòîãî ó÷åíèêè
äåëÿòñÿ íà òâîð÷åñêèå ãðóïïû. Êàæäàÿ ãðóïïà ïðèäóìûâàåò
ñâîè îðíàìåíòû. Çàòåì, âûñòóïàÿ íà óðîêå-ñåìèíàðå, ðåáÿòà
ðàññêàçûâàþò î ïðîäåëàííîé ðàáîòå, ïîêàçûâàþò ðåçóëüòàòû íà
êîìïüþòåðå. Ïîñëå âûñòóïëåíèé ãðóïïû îáìåíèâàþòñÿ óçîðàìè
è ñòðîÿò íà êîìïüþòåðàõ îðíàìåíòû, ïðèäóìàííûå äðóãèìè,
âîñõèùàþòñÿ ñâîèìè è ÷óæèìè äîñòèæåíèÿìè.
Ïðèìåð óðîêà çàùèòû ïðîåêòîâ
Òåìà: «Îðíàìåíòû â íàøåé æèçíè»
Äëÿ ïîäâåäåíèÿ èòîãîâ ïðîäåëàííîé êîëëåêòèâíîé ðàáîòû
â êîìïüþòåðíîì êëàññå ïðîâîäèòñÿ äâóõ÷àñîâîé óðîê.
Öåëü óðîêà
Ïîñòðîåíèå îðíàìåíòîâ ñ ïðèìåíåíèåì ðàçíûõ âèäîâ
ïðåîáðàçîâàíèé ôèãóð (îòðàæåíèå, ïîâîðîò, ñäâèã, ðàñòÿæåíèå);
çàùèòà ïðîåêòíûõ ðàáîò.
Çàäà÷è óðîêà
1. Îáðàçîâàòåëüíûå — îáåñïå÷èòü â õîäå óðîêà ïîâòîðåíèå
ñëåäóþùèõ îñíîâíûõ ïîíÿòèé:
• âèäû ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ;
• âèäû ïðåîáðàçîâàíèé;
à òàêæå çàêðåïëåíèå ñëåäóþùèõ íàâûêîâ è óìåíèé:
• ïîñòðîåíèå ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ íà áóìàãå
è íà êîìïüþòåðå;
• ñîñòàâëåíèå èç ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ îðíàìåíòîâ
ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèé íà áóìàãå è íà êîìïüþòåðå;
• çàïîëíåíèå ëèñòà ÷åðòåæà óçîðàìè;
• ïîñòðîåíèå îðíàìåíòîâ íà êëåò÷àòîé áóìàãå;
• óìåíèå ñïëàíèðîâàòü ñâîå âûñòóïëåíèå è îòâåòèòü
íà âîïðîñû, âîçíèêøèå â õîäå åãî ïðåäñòàâëåíèÿ;
• óìåíèå â íåîáõîäèìîì òåìïå ðàññêàçàòü î ïîñòðîåíèè óçîðà;
• íàâûêè ñàìîêîíòðîëÿ;
• íàâûêè è óìåíèå ðàáîòàòü ñ êîìïüþòåðîì.
2. Ðàçâèâàþùèå — ñïîñîáñòâîâàòü ðàçâèòèþ ó ó÷àùèõñÿ:
• ñàìîñòîÿòåëüíîñòè, óìåíèÿ ëîãè÷åñêè èçëàãàòü ñâîè ìûñëè
âî âðåìÿ äèñêóññèè;
• âîëè è ñïîñîáíîñòè ïðåîäîëåâàòü òðóäíîñòè â ïðîöåññå
îáó÷åíèÿ;
• ïîçíàâàòåëüíîãî èíòåðåñà è òâîð÷åñêèõ ñïîñîáíîñòåé.
160
3. Âîñïèòàòåëüíûå — ñïîñîáñòâîâàòü âîñïèòàíèþ ó ó÷àùèõñÿ:
• óâàæåíèÿ äðóã ê äðóãó â ïðîöåññå êîëëåêòèâíîé ðàáîòû;
• ñïîñîáíîñòè âêëþ÷àòüñÿ â îáùåíèå, ÷óâñòâîâàòü ñåáÿ
êîìôîðòíî â íîâûõ, íåïðèâû÷íûõ óñëîâèÿõ.
Íà óðîêå äåòè ðàáîòàþò ãðóïïàìè. Çà êàæäûì êîìïüþòåðîì
ñèäÿò äâà ó÷åíèêà. Äî íà÷àëà óðîêà êàæäàÿ ãðóïïà âûâåøèâàåò
íà äîñêå ëèñòû ñ èçîáðàæåííûìè íà íèõ ýëåìåíòàðíûìè
ÿ÷åéêàìè îðíàìåíòîâ, ïîäãîòîâëåííûõ èìè äîìà. Ïðåäñòàâèòåëè
êàæäîé ãðóïïû ïîêàçûâàþò íà ýòèõ ëèñòàõ îðíàìåíòû, êîòîðûå
îíè äîëæíû ñòðîèòü.
Íà óðîêå íóæíî îòñëåæèâàòü ñîáëþäåíèå íîðì ãèãèåíû òðóäà
øêîëüíèêà — ðàáîòà íà êîìïüþòåðå íå áîëüøå 20 ìèíóò.
 òå÷åíèå ïåðâîé ÷àñòè óðîêà ó÷àùèåñÿ ñòðîÿò îðíàìåíòû èç
ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ. Çàâåðøèâ ðàáîòó, êàæäàÿ ãðóïïà
çàùèùàåò ñâîé ïðîåêò: âûñòóïàåò ñ ðàññêàçîì î ïðåäñòàâëÿåìîì
îðíàìåíòå, äåìîíñòðèðóÿ åãî ïîñòðîåíèå íà ýêðàíå. Âî âðåìÿ
çàùèòû âûñòóïàþùèå ðàññêàçûâàþò åùå è î òîì, ñ êàêèìè
òðóäíîñòÿìè îíè ñòîëêíóëèñü â ïðîöåññå âûïîëíåíèÿ ïðîåêòà
è êàêèì îáðàçîì èì óäàëîñü èõ ïðåîäîëåòü, îòâå÷àþò íà
âîïðîñû ãîñòåé, ïîêàçûâàþò, êàê, èçìåíÿÿ ôîðìó îðíàìåíòà
è íàïðàâëåíèå çàäàííîãî âåêòîðà, ïîëó÷èòü íîâûå óçîðû.
 òå÷åíèå âòîðîãî ÷àñà ó÷àùèåñÿ äåìîíñòðèðóþò ïðèäóìàííûå
èìè îðíàìåíòû.
Íà óðîêå ðåáÿòà ðàáîòàþò ñâîáîäíî: îíè ìîãóò ïîäõîäèòü
äðóã ê äðóãó, ÷òî-òî ñïðàøèâàòü. Ó÷èòåëü âûñòóïàåò â ðîëè
ïîìîùíèêà. Ïîñëå çàùèòû ïðîåêòîâ ó÷àùèåñÿ çàïèñûâàþò ñâîè
îðíàìåíòû íà äèñêåòàõ.
161
Çàäàíèÿ
1. Îòðåçîê, äëèíà îòðåçêà. Çàäàíèÿ 1.1–1.6
2. Ëîìàíàÿ. Çàäàíèÿ 2.1–2.4
. Ëó÷. Ïðÿìàÿ. Îòðåçîê. Çàäàíèÿ 3.1–3.7
. Òðåóãîëüíèê. Çàäàíèÿ 4.1–4.5
. Ïðÿìîóãîëüíèê. Çàäàíèÿ 5.1–5.6
6. Ïëîùàäü è ïåðèìåòð ìíîãîóãîëüíèêà. Çàäàíèÿ 6.1–6.7
. Ðàâåíñòâî ôèãóð. Ïëîùàäü ìíîãîóãîëüíèêà. Çàäàíèÿ 7.1–7.4
. Îñåâàÿ ñèììåòðèÿ. Çàäàíèÿ 8.1–8.5
. Îñåâàÿ è öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ. Çàäàíèÿ 9.1–9.17
10. Îêðóæíîñòü. Çàäàíèÿ 10.1–10.14
11. Óãîë. Çàäàíèå 11.1–11.14
12. Áèññåêòðèñà óãëà. Çàäàíèÿ 12.1–12.6
1. Àëãîðèòìû ïîñòðîåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ ôèãóð.
Çàäàíèÿ 13.1–13.7
1. Çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè òðåóãîëüíèêà. Çàäàíèÿ 14.1–14.4
1. Äâèæåíèå ôèãóð è èõ òðàåêòîðèÿ. Çàäàíèÿ 15.1–15.16
16. Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ýëëèïñà. Çàäàíèå 16.1
1. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ñòîðîíàìè è óãëàìè òðåóãîëüíèêà.
Çàäàíèÿ 17.1–17.4
1. Ïåðïåíäèêóëÿð è íàêëîííàÿ. Çàäàíèÿ 18.1–18.2
1. Ïàðàëëåëîãðàìì. Çàäàíèÿ 19.1–19.7
20. Äåëåíèå îòðåçêà íà n-÷àñòåé. Çàäàíèÿ 20.1–20.2
21. 21. Âíåâïèñàííûå îêðóæíîñòè. Çàäàíèÿ 21.1–21.2
22. Ïðÿìàÿ Ýéëåðà. Çàäàíèÿ 22.1–22.2
2. Âïèñàííûå óãëû. Çàäàíèÿ 23.1–23.4
2. Âïèñàííûå è îïèñàííûå ìíîãîóãîëüíèêè. Çàäàíèÿ 24.1–24.4
2. Èçáðàííûå çàäà÷è è òåîðåìû. Çàäàíèÿ 25.1–25.7
26. Îðíàìåíòû
Îðíàìåíòû_Ìíîãîóãîëüíèêè
Îðíàìåíòû_Ïîñòðîåíèÿ
Îðíàìåíòû_Ïðåîáðàçîâàíèÿ
Îðíàìåíòû_Ïðèìåðû
Îðíàìåíòû_Ñèììåòðèÿ
Îðíàìåíòû_ß÷åéêè
2. Ðàçíîå. Çàäàíèÿ 27.1–27.12
162
Äåñÿòü ïðèìåðîâ èç ãåîìåòðèè
Ïðèâåäåííûå â äàííîì àëüáîìå äåñÿòü ïðèìåðîâ ïîçâîëÿþò
ñîñòàâèòü ïðåäñòàâëåíèå î ðàçíîîáðàçíûõ âîçìîæíîñòÿõ
ïðîãðàììû â ðàáîòå ñ ó÷àùèìèñÿ ðàçíûõ âîçðàñòîâ, óðîâíåé
ìàòåìàòè÷åñêîé ïîäãîòîâêè è èíòåðåñà ê ãåîìåòðèè.
Ïåðâûå äâà ÷åðòåæà ïîñâÿùåíû òðåóãîëüíèêàì. Èç ýòîé òåìû
âûáðàíû äâà ôàêòà: îäèí îáùåèçâåñòíûé (ëåãêèé) è îäèí
ìàëîèçâåñòíûé (òðóäíûé è ãëóáîêèé).
 ÷åðòåæå 01 ïðåäëàãàåòñÿ èññëåäîâàòü âèäû òðåóãîëüíèêîâ
ñ ôèêñèðîâàííûì îñíîâàíèåì (òî÷íåå, èçìåíåíèå âèäà
òðåóãîëüíèêà). Äâèãàÿ ïî ýêðàíó åäèíñòâåííóþ âåðøèíó,
ó÷àùåìóñÿ ïðåäëàãàåòñÿ ïîíÿòü, «ãäå» òðåóãîëüíèê ïðåâðàùàåòñÿ
èç îñòðîóãîëüíîãî â òóïîóãîëüíûé. Ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïîëåçíûì
ïîðàáîòàòü ñ ýòèì ÷åðòåæîì äî ïðîõîæäåíèÿ òåìû. Ñëåäóåò
ïîóïðàæíÿòüñÿ â òî÷íûõ ôîðìóëèðîâêàõ è îñîçíàòü
òðèâèàëüíîñòü ïðîáëåìû «îòóïëåíèÿ» óãëà ïðè îñíîâàíèè;
«îòóïëåíèå» óãëà, ïðîòèâîëåæàùåãî îñíîâàíèþ, íåî÷åâèäíî,
è ó÷àùåìóñÿ (ëþáîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî óðîâíÿ!) ïðåäëàãàåòñÿ
ñ ïîìîùüþ ÷åðòåæà ñàìîñòîÿòåëüíî îáíàðóæèòü, ãäå îíî
ïðîèñõîäèò. ×åðòåæ ñîäåðæèò ãåîìåòðè÷åñêóþ ïîäñêàçêó,
êîòîðàÿ îäíîâðåìåííî ïîçâîëÿåò óáåäèòüñÿ â âåðíîñòè
ïðåäïîëîæåíèÿ.
×åðòåæ 02 ïîñâÿùåí òåîðåìå Ïîíñåëå — êëàññè÷åñêîìó
ôàêòó î âïèñàííûõ è îïèñàííûõ îêðóæíîñòÿõ, ñâÿçûâàþùåìó
ýëåìåíòàðíóþ ãåîìåòðèþ ñ «âçðîñëîé» ìàòåìàòèêîé.
Ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû î÷åâèäíà èç ÷åðòåæà (íî íà âñÿêèé
ñëó÷àé ïðèâåäåíà è âûçûâàåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùåé êíîïêîé);
êðîìå òîãî, ÷åðòåæ èëëþñòðèðóåò äèíàìè÷åñêèå âîçìîæíîñòè
ïðîãðàììû, äåëàþùèå òåîðåìó íåñîìíåííîé â êà÷åñòâå
ýêñïåðèìåíòàëüíîãî ôàêòà ãåîìåòðèè. Î äîêàçàòåëüñòâå ðå÷è
íå èäåò, ò. ê. èçâåñòíûå äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Ïîíñåëå
(«øêîëüíîé» ïî ñâîåìó ñîäåðæàíèþ) ñóùåñòâåííî èñïîëüçóþò
«âíåøêîëüíóþ» ìàòåìàòèêó. Îäíàêî ðàáîòà ñ ÷åðòåæîì,
íåñîìíåííî, ìîæåò ñòèìóëèðîâàòü ó÷àùåãîñÿ ê èçó÷åíèþ
ðàçäåëîâ àëãåáðàè÷åñêîé ãåîìåòðèè, íóæíûõ äëÿ ñåðüåçíîãî
ïîíèìàíèÿ òåîðåìû.
 ÷åðòåæå 03 îáúÿñíÿåòñÿ òåîðåìà ×åâû. Ïðèâîäèìàÿ
ôîðìóëèðîâêà íàöåëåíà íà êàê ìîæíî áîëåå ïðîñòîå
ïîíèìàíèå åå êàê íåïîñðåäñòâåííî íàáëþäàåìîãî ÿâëåíèÿ.
Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü äèäàêòè÷åñêóþ ôóíäàìåíòàëüíîñòü
ýòîé òåîðåìû: óñëîâèå ïðîõîæäåíèÿ òðåõ ïðÿìûõ ÷åðåç îäíó
òî÷êó, ðàâíîñèëüíîå îáðàùåíèþ â íîëü ñîîòâåòñòâóþùåãî
îïðåäåëèòåëÿ òðåòüåãî ïîðÿäêà, â ñðåäå ÆÌ èíòåðïðåòèðóåòñÿ
êàê êîëè÷åñòâåííîå ñîîòíîøåíèå, ñâÿçûâàþùåå àáñîëþòíî
ïîíÿòíûå øêîëüíèêó äëèíû.  ÷åðòåæàõ 04 è 05 ïðåäëàãàåòñÿ
ñ òåõ æå ïîçèöèé îñîçíàòü õîðîøî èçâåñòíûå ôàêòû èç
øêîëüíîé ïðîãðàììû: ðàâåíñòâî âïèñàííûõ â îêðóæíîñòü óãëîâ,
163
îïèðàþùèõñÿ íà ôèêñèðîâàííóþ äóãó, è ðàâåíñòâî ïðîèçâåäåíèé
îòðåçêîâ õîðä, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ôèêñèðîâàííóþ òî÷êó.
 ÷åðòåæå 06 ïðåäëàãàåòñÿ ïîðàáîòàòü ñ ìåíåå èçâåñòíîé
âåëè÷èíîé èç àðñåíàëà øêîëüíîé ãåîìåòðèè: ñ ñóììîé
ðàññòîÿíèé îò ïåðåìåííîé òî÷êè îñíîâàíèÿ ðàâíîáåäðåííîãî
òðåóãîëüíèêà äî áîêîâûõ ñòîðîí. Çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿ íåêîòîðàÿ
ñàìîñòîÿòåëüíîñòü ó÷àùåãîñÿ; äâèãàòü òî÷êó îí äîëæåí ñàì
(â îòëè÷èå îò ïðåäûäóùèõ ÷åðòåæåé, ãäå äëÿ âêëþ÷åíèÿ
äâèæåíèÿ äîñòàòî÷íî íàæàòü êíîïêè). Ñàì æå îí äîëæåí
äåëàòü âûâîäû è ïðîèçâîäèòü êîíòðîëüíûå èçìåðåíèÿ; ïðè
íåîáõîäèìîñòè îí ìîæåò ïîëó÷èòü ñîîòâåòñòâóþùèå óêàçàíèÿ,
íàæàâ êíîïêó.
Ïîñëåäíèå ÷åòûðå ÷åðòåæà íå ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé íèêàêîé
îáùåé èäååé. ×åðòåæ 07 ïîçâîëÿåò ïîçíàêîìèòüñÿ ñ ïëîñêîñòüþ
Ëîáà÷åâñêîãî è ïîñìîòðåòü íà ïðÿìóþ Ëîáà÷åâñêîãî,
ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç äâå ïðîèçâîëüíûå òî÷êè. ×åðòåæ 08
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé «ýêñïåðèìåíòàëüíóþ óñòàíîâêó» äëÿ ðåøåíèÿ
ïîïóëÿðíîé âàðèàöèîííîé çàäà÷è «Ãäå ïîñòðîèòü ìîñò?».
Ñíà÷àëà ìîæíî, äâèãàÿ ìîñò ïîïåðåê ðåêè, îïðåäåëèòü, ïðè
êàêîì åãî ïîëîæåíèè äîðîãà, ñîåäèíÿþùàÿ äâà ðàçäåëåííûå
ðåêîé ãîðîäà, áóäåò íàèêðàò÷àéøåé. Çàòåì íåêîòîðûå ó÷àùèåñÿ
ìîãóò (ïðè æåëàíèè âîñïîëüçîâàâøèñü ïîäñêàçêîé, ñïðÿòàííîé
ïîä êíîïêîé) îáîñíîâàòü ðåøåíèå. Ëþáîå ïðåäïîëîæåíèå ìîæíî
ïðîâåðèòü — íàïðèìåð, ìåíÿÿ øèðèíó ðåêè. ×åðòåæ 09 —
øóòî÷íûé ÷åðòåæ, íà íåì ïðîèëëþñòðèðîâàíû âîçìîæíîñòè ÆÌ
â ðàáîòå ñ ïîäîáèåì è çåðêàëüíîé ñèììåòðèåé. Åñëè ïîäâèãàòü
áîëüøèíñòâî îáúåêòîâ ÷åðòåæà, òî íà÷íóò äâèãàòüñÿ øàðíèðíûå
ìåõàíèçìû, ÷òî âîñïðèíèìàåòñÿ êàê çàðÿäêà ïåðåä çåðêàëîì
ñåìüè æèâîòíûõ. Ñ ïîìîùüþ îñòàâøèõñÿ îáúåêòîâ ìîæíî
ìåíÿòü âíåøíèé âèä æèâîòíûõ. ×åðòåæ 10 âîçâðàùàåò íàñ
ê ñåðüåçíîé ìàòåìàòèêå — íà íåì ïðîèëëþñòðèðîâàíà òåîðåìà
Ïàñêàëÿ î âïèñàííûõ øåñòèóãîëüíèêàõ. Çäåñü îñìûñëåíèå
òåîðåìû (êàê è îñâîåíèå åå äèíàìè÷åñêîãî ñîäåðæàíèÿ) öåëèêîì
ïðåäîñòàâëÿåòñÿ ó÷àùåìóñÿ.
Ïðèìåðû èç ðàçëè÷íûõ îáëàñòåé
ìàòåìàòèêè
Ýòîò àëüáîì ñîäåðæèò áîëåå 50 ìîäåëåé ïî òåìàì:
• Çàáàâíûå è êðàñèâûå ïðîñòûå ÷åðòåæè, èñïîëüçóþùèå äóãè
• Çàáàâíûå è êðàñèâûå ñëîæíûå ÷åðòåæè, èñïîëüçóþùèå
æèâûå ñëåäû (locus) è êîîðäèíàòíóþ ñèñòåìó
• Ãåîìåòðèÿ â ðàìêàõ áàçîâîé øêîëüíîé ïðîãðàììû
• Ñòåðåîìåòðèÿ â ðàìêàõ áàçîâîé øêîëüíîé ïðîãðàììû
• Ãåîìåòðèÿ âíå øêîëüíîé ïðîãðàììû
• Ñòåðåîìåòðèÿ âíå øêîëüíîé ïðîãðàììû
164
•
•
•
•
•
•
Àíàëèòè÷åñêàÿ è àëãåáðàè÷åñêàÿ ãåîìåòðèè
Àëãåáðà â ðàìêàõ áàçîâîé øêîëüíîé ïðîãðàììû
Íà÷àëà àíàëèçà â ðàìêàõ áàçîâîé øêîëüíîé ïðîãðàììû
Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ñòàòèñòèêà
Çàäà÷è íà ðàçâèòèå ãåîìåòðè÷åñêîé èíòóèöèè è íà àíàëèç
àëãîðèòìîâ ãåîìåòðè÷åñêèõ ïîñòðîåíèé
Ïðîåêòíûå ðàáîòû «Äèíàìè÷åñêàÿ
ãåîìåòðèÿ»
Àëüáîì ñîäåðæèò ïðèìåðû äëÿ ïîääåðæêè ïðîåêòíîé ðàáîòû
øêîëüíèêîâ, â òîì ÷èñëå íåñêîëüêî ìîäåëåé, ñäåëàííûõ
àíãëèéñêèìè è ðîññèéñêèìè øêîëüíèêàìè.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Àòòðàêöèîí, Ïòèöà Ëåîíàðäî
Ðàçíîöâåòíûé âåòåð
Ãåîìåòðè÷åñêèå ìåñòà òî÷åê
Ïàðàáîëà è óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê íåé
Ó÷åáíûé ÷åðòåæ ê òåìå «Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå êâàäðàòíîãî
íåðàâåíñòâà»
Äðîáíî-ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ
Òðåõìåðíàÿ èíòåðïðåòàöèÿ òåîðåìû «Ñâîéñòâà
ïàðàëëåëîãðàììà, îáðàçîâàííîãî ñåðåäèíàìè ïðîèçâîëüíîãî
÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD»
Êëàññ öèêëè÷åñêèõ âîñüìèóãîëüíèêîâ: al–a3+a5–a7=0a2–
à4+à6–à8=0
Ðàçëîæåíèå ïðîèçâîëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà â âåêòîðíóþ
ñóììó àôèííî-ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà è äâàæäûïðîéäåííîãî òðåóãîëüíèêà
Çàäà÷è «÷åðíûé ÿùèê» 1–5
Òåîðåìà Ïèôàãîðà
Íàëîæåíèå ãåîìåòðè÷åñêîãî è àíàëèòè÷åñêîãî ÷åðòåæåé äðóã
íà äðóãà
Ãðàôèê â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ
Ãåîìåòðè÷åñêîå îïðåäåëåíèå ïàðàáîëû
Êðèâîëèíåéíûé òðåóãîëüíèê
50 èòåðàöèé â çàäà÷å äâóõ òåë
Èëëþñòðàöèÿ: òåîðåìà î òî÷êàõ ïåðåñå÷åíèÿ ÷åòûðåõ
îêðóæíîñòåé
Îáúåìíàÿ ìóëüòèïëèêàöèÿ: ñòåðåîïàðà
Çàäà÷à çàìîùåíèÿ ïëîñêîñòè
Íåïðåðûâíûé ñïåêòð êîíè÷åñêèõ ñå÷åíèé
Ïðåäåë íàêëîíà êàñàòåëüíîé êóáè÷åñêîé ôóíêöèè
165
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Ïðîèçâîäíàÿ ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè è åå ñâîéñòâà
Ïëîùàäü ïîä êðèâîé
Ãåîìåòðè÷åñêîå è àíàëèòè÷åñêîå çàäàíèå êðèâîé
Ïðîåêöèÿ ïðèçìû è ïèðàìèäû íà íåé ñ ñå÷åíèåì
Êàëåéäîñêîï â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ
Äâå îêðóæíîñòè, ñâÿçàííûå íèòÿìè
Äèíàìè÷åñêèé ïîäñ÷åò òî÷åê, íàõîäÿùèõñÿ â çàäàííîé
îáëàñòè
Öèêëîèäà — Òðàåêòîðèÿ òî÷êè íà êîëåñå.
Çàäà÷à Åâêëèäà
Îáðàçîâàíèå ñðåäíåãî è äèñïåðñèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
Ýâîëþòà îáðàçà ýëëèïñà ïðè èíâåðñèè
Ìîäåëèðîâàíèå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
Îñâîåíèå ïîíÿòèé ñðåäíåãî è äèñïåðñèè äëÿ äèñêðåòíîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ
t-êðèòåðèé â ñòàòèñòèêå
Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè Ñïèðìåíà
Áðîñàíèå ïîä óãëîì
Ïàðàëëåëîãðàìì Óàòòà
Èíñòðóìåíòû
Àëüáîì Èíñòðóìåíòû ñîäåðæèò íàáîð ïðèìåðîâ èñïîëüçîâàíèÿ
ðàçíîîáðàçíûõ èíñòðóìåíòîâ, êîòîðûå ìîãóò îêàçàòüñÿ
ïîëåçíûìè êàê äëÿ äåìîíñòðàöèîííûõ è ó÷åáíûõ öåëåé, òàê
è ïðè âûïîëíåíèè ñëîæíûõ ñàìîñòîÿòåëüíûõ ðàáîò.
Íàïîìíèì ðàçíèöó ìåæäó èíñòðóìåíòîì è êîìàíäîé: èíñòðóìåíò
ïîðîæäàåò âñå èñõîäíûå òî÷êè ñàì, à êîìàíäà èñïîëüçóåò óæå
ñîçäàííûå; êðîìå òîãî, â ïðîöåññå ðàáîòû èíñòðóìåíòà ìû âèäèì
â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ïîñòðîåííóþ êîíñòðóêöèþ, è ùåë÷îê
ìûøè òîëüêî çàêðåïëÿåò òî, ÷òî óæå ïîÿâèëîñü íà ýêðàíå.
Ýòîò àëüáîì íà÷èíàåòñÿ ñ ââåäåíèÿ, â êîòîðîì ïðèâîäÿòñÿ
íà÷àëüíûå ñâåäåíèÿ îá Èíñòðóìåíòàõ Ïîëüçîâàòåëÿ. Çàòåì
îïèñûâàþòñÿ ÷åòûðå èíñòðóìåíòà ñ ïðèìåðàìè ïðèìåíåíèÿ
è íåñêîëüêî óïðàæíåíèé: îïèñàííàÿ îêðóæíîñòü, ïðÿìîóãîëüíûé
òðåóãîëüíèê, êâàäðàò, ïàðàáîëà.
Ðàçäåë «Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè» ñîäåðæèò èíñòðóìåíòû
äëÿ ñîçäàíèÿ ìíîãîóãîëüíèêîâ ñ ðàçëè÷íûìè ÷èñëàìè ñòîðîí.
Âñå èíñòðóìåíòû ñòðîÿò ìíîãîóãîëüíèêè èëè ïî ñòîðîíå, èëè ïî
öåíòðó è ðàäèóñó îïèñàííîé îêðóæíîñòè.
Äàëåå ïðèâåäåíû íåñêîëüêî Èíñòðóìåíòîâ Ïîëüçîâàòåëÿ äëÿ
ïîñòðîåíèÿ êîíè÷åñêèõ ñå÷åíèé ïî çàäàííûì îáúåêòàì: ïàðàáîëà
(äàí ôîêóñ è äèðåêòðèñà), ýëëèïñ (äàíû îáà ôîêóñà è òî÷êà íà
ýëëèïñå), ãèïåðáîëà (äàíû îáà ôîêóñà è òî÷êà íà íåé), ýëëèïñ
166
èëè ãèïåðáîëà (äàíû äâà ôîêóñà è çíà÷åíèå ýêñöåíòðèñèòåòà)
è îáùåå êîíè÷åñêîå ñå÷åíèå (äàíû ïÿòü òî÷åê).
Èíñòðóìåíòû ÷åðòåæà «Çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè» èñïîëüçóþòñÿ
äëÿ ïîñòðîåíèÿ çàìå÷àòåëüíûõ òî÷åê òðåóãîëüíèêîâ — öåíòðà,
öåíòðà îïèñàííîé îêðóæíîñòè, öåíòðà âïèñàííîé îêðóæíîñòè,
è îðòîöåíòðà, à çàòåì è ïðÿìîé Ýéëåðà, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç âñå
ýòè òî÷êè íà íåì.
Èíñòðóìåíòû â ïàïêå «Äðîáè» äàþò âîçìîæíîñòü ðàáîòàòü
ñ äðîáÿìè â âèäå à/b. Âû ñìîæåòå èñïîëüçîâàòü èõ äëÿ
äåìîíñòðàöèîííûõ öåëåé è äëÿ âûâîäà ÷èñëåííûõ ðåçóëüòàòîâ
â âèäå äðîáè.
Äîêóìåíò «Äâèæêè» ñîäåðæèò ïÿòü èíñòðóìåíòîâ äëÿ ñîçäàíèÿ
äâèæêîâ. Äâèæêè — ýòî óñòðîéñòâà, ïîçâîëÿþùèå ïîëüçîâàòåëþ
óïðàâëÿòü âàæíûìè äëÿ ÷åðòåæà âåëè÷èíàìè âðó÷íóþ,
ïåðåäâèãàÿ ìûøêîé ñïåöèàëüíî ñîçäàííóþ òî÷êó (èëè äðóãîé
îáúåêò).
 ïàïêå «Âñïîìîãàòåëüíûå èíñòðóìåíòû» ñîáðàíû Èíñòðóìåíòû,
îñîáåííî ÷àñòî íåîáõîäèìûå äëÿ ïîñòðîåíèÿ, õîòÿ è íå
ÿâëÿþùèåñÿ ïðîñòûìè ñàìè ïî ñåáå. Ýòî ðàçëè÷íûå ñòðåëêè,
äóæêè, âåêòîðà è ñóììà âåêòîðîâ.
Èíñòðóìåíòû Ïîëüçîâàòåëÿ, âñòðîåííûå â äîêóìåíò «Àíèìàöèÿ
ïî íåçàâèñèìûì òî÷êàì», ñîçäàþò êíîïêè, êîòîðûå âêëþ÷àþò
àíèìàöèþ çàäàííîé òî÷êè ïî çàäàííîìó ïóòè. Îíè íå
ïåðåîïðåäåëÿþò òî÷êè, òî åñòü íå ñâÿçûâàþò åå ñ êàêèì-ëèáî
ïóòåì, òàê ÷òî åå ìîæíî òóò æå ïóñêàòü è ïî ëþáîìó äðóãîìó
ïóòè!
Èíñòðóìåíòû Ïîâûøåííîé ñëîæíîñòè ïîçâîëÿþò ðåøàòü öåëûé
ðÿä èíòåðåñíûõ çàäà÷. Êàê íàéòè òî÷êó, ðàñïîëîæåííóþ íà
äàííîì óäàëåíèè (âû÷èñëÿåìîì ïî êîîðäèíàòàì) îò äàííîé
òî÷êè? Êàê ñîçäàòü ôóíêöèþ, ïîëîâèíà êîòîðîé ñîâïàäàåò
ñ îäíîé äàííîé ôóíêöèåé, à âòîðàÿ ïîëîâèíà ñî âòîðîé? Êàê
âû÷èñëèòü ìèíèìóì äâóõ âåëè÷èí? Êàê ïîñòðîèòü ãðàôèê
ôóíêöèè ñîâïàäàþùåé ñ äàííîé òîëüêî íà çàäàííîì èíòåðâàëå
îñè X? Êàê âû÷èñëèòü íàêëîí ôóíêöèè?
Íîâûå âîçìîæíîñòè Æèâîé Ìàòåìàòèêè
 ýòîì àëüáîìå äåìîíñòðèðóþòñÿ íîâûå âîçìîæíîñòè ïðîãðàììû
Æèâàÿ Ìàòåìàòèêà, íåäîñòóïíûå â ïðåæíèõ âåðñèÿõ ïàêåòà
Geometry’s Sketchpad.
Ñòðîèì ÃÌÒ. Çäåñü ìû ïîçíàêîìèìñÿ ñ íåêîòîðûìè íåñëîæíûìè
êîíñòðóêöèÿìè, èñïîëüçóþùèìè ïîíÿòèå ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî
òî÷åê è ïîêàçûâàåì, êàê ïîñòðîèòü èõ â ÆÌ.
Êàê ñòðîèòü èòåðàöèè. «Èòåðàöèÿ» äëÿ íåêîòîðîé îïåðàöèè
çíà÷èò ïîâòîðåíèå åå.
167
 ìàòåìàòèêå ïîä èòåðàöèåé ïîíèìàþò òàêîå ïîâòîðåíèå
îïåðàöèè, êîãäà äëÿ î÷åðåäíîãî ïîâòîðåíèÿ áåðåòñÿ ðåçóëüòàò
ïðåäûäóùåé îïåðàöèè. Â àëãåáðå ïðè èòåðàöèè òî, ÷òî
ïîëó÷èëîñü íà âûõîäå îäíîãî øàãà, ñëóæèòü âõîäíûìè
äàííûìè äëÿ ñëåäóþùåãî. Â ãåîìåòðèè èòåðàöèÿ ñîñòîèò
â ïîâòîðåíèè îïåðàöèè íàä ãåîìåòðè÷åñêèìè îáúåêòàìè. Ìû
èìååì ãåîìåòðè÷åñêèé îáúåêò, ïðèìåíÿåì ê íåìó îïåðàöèþ,
â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì íîâûé ãåîìåòðè÷åñêèé îáúåêò.
Èñõîäíîå ìíîæåñòâî ãåîìåòðè÷åñêèõ îáúåêòîâ — íà âõîäå
îïåðàöèè, íîâîå — íà âûõîäå. Äëÿ ïîâòîðåíèÿ íóæíî
óêàçàòü, êàêèå æå èç îáúåêòîâ íà âûõîäå ñòàíóò îáúåêòàìè íà
âõîäå? Ýòî óêàçàíèå ñòðîèòñÿ êàê ñîîòâåòñòâèå èìåí âõîäíûõ
è âûõîäíûõ îáúåêòîâ, òî åñòü òàáëèöà ñîîòâåòñòâèÿ èìåí. Âû
ìîæåòå èñïîëüçîâàòü èòåðàöèè äëÿ ñîçäàíèÿ ïîâòîðÿþùèõñÿ
ïðåîáðàçîâàíèé (òàêèõ êàê ìîçàèêè, çàìîùåíèÿ è ò. ï.), äëÿ
ïîñòðîåíèÿ ôðàêòàëîâ è äðóãèõ ñàìîïîäîáíûõ îáúåêòîâ, èëè
ñîçäàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ñåðèé — êàê ÷èñëîâûõ, òàê
è ãåîìåòðè÷åñêèõ.
Êàê èñïîëüçîâàòü ïàðàìåòðè÷åñêèé öâåò. Èñïîëüçîâàíèå
ïîëíîöâåòíîé ïàëèòðû äëÿ âñåõ îáúåêòîâ — ýòî åùå íå âñå
öâåòîâûå âîçìîæíîñòè ÆÌ. Ïàðàìåòðè÷åñêèé öâåò ïîçâîëÿåò
÷èñëåííî óïðàâëÿòü öâåòîì îáúåêòà, äàâàÿ òðåòüå èçìåðåíèå
ìîäåëÿì íà ïëîñêîñòè, ïðèäàâàÿ èì ãëóáèíó è íàïîëíÿÿ èõ
íîâûì ñìûñëîì.
168
ÄËß ÇÀÌÅÒÎÊ
169
ÄËß ÇÀÌÅÒÎÊ
170
Ïî âñåì âîïðîñàì, êàñàþùèìñÿ ìåòîäèêè èñïîëüçîâàíèÿ äàííîãî ïîñîáèÿ,
à òàêæå ïî ïîâîäó ïðèîáðåòåíèÿ äðóãîãî îáðàçîâàòåëüíîãî îáîðóäîâàíèÿ
îáðàùàéòåñü ê ñïåöèàëèñòàì Èíñòèòóòà íîâûõ òåõíîëîãèé (ÈÍÒ):
115162 Ìîñêâà, óë. Ìûòíàÿ, 50, òåë. (495) 221-2645, int@int-com.ru, www.int-edu.ru