ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО КАФЕДРА АЭРОГИДРОМЕХАНИКИ 010800.62 – МЕХАНИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЫПУСКНАЯ БАКАЛАВРСКАЯ РАБОТА ОБТЕКАНИЕ ПЛАСТИНКИ ВБЛИЗИ ЭКРАНА Работа завершена: «___»___________2015г. _____________ И.З. Ибрагимов Работа допущена к защите: Научный руководитель Кандидат физ.-мат. наук, доцент «___»___________2015г. _______________ Р.Ф. Марданов Заведующий кафедрой: Доктор физ.-мат. наук, профессор «___»___________2015г _________________ А.Г. Егоров Казань – 2015 год Содержание Введение ................................................................................................................... 3 1.Постановка задачи................................................................................................ 5 2.Решение ................................................................................................................. 6 3.Вычисление интеграла типа Коши ................................................................... 12 4.Результаты расчетов........................................................................................... 14 Заключение ............................................................................................................ 23 Список литературы ............................................................................................... 24 2 Введение Теория потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости – наиболее развитый раздел современной гидромеханики. Объясняется это двумя обстоятельствами. Во-первых, данная теория имеет целый ряд важных практических приложений и дает вполне приемлемые результаты в тех областях исследования, где вязкость жидкости можно пренебречь. Сюда относят струйные и кавитационные течения, поверхностные волны на воде, течения около крыловых профилей при дозвуковых скоростях [1,2]. Вовторых, при исследовании плоских потенциальных течений можно с успехом использовать глубоко развитый аппарат теории функций комплексного переменного: технику конформных отображений, вариационные методы и метод интегральных уравнений, что позволяет во многих случаях получить точное аналитическое решение задачи. Задачи взаимодействия потоков с различными константами Бернулли даже в рамках ИНЖ сложны, так как в данных задачах функция комплексного потенциала терпит скачок на линии раздела сред. Чаще всего применяются итерационные методы решения. Примерами рассматриваемых проблем является задачи: о движении тела вблизи свободной поверхности; движение тел с выдувом реактивных струй; взаимодействие, соударение струй с различными константами Бернулли; движение тел вблизи твердого экрана. В настоящей работе рассмотрена задача об обтекании пластинки вблизи экрана. Экран интерпретируется как плоскопараллельный поток очень тяжелой жидкости. Классический подход к решению таких задач, заключается в использовании аппарата эллиптических функций для решения краевой задачи в двусвязной области [3]. 3 В данной работе применялся другой подход, который был предложен Д.В. Маклаковым [4], заключающийся в введении фиктивного плоскопараллельного потока ИНЖ под экраном. В этом случае область течения становится односвязной, а решение задач сводится к отысканию кусочно аналитической функции комплексного потенциала. Также в работе изложен метод численного интегрирования интеграла типа Коши, проведена серия расчетов распределения скорости и коэффициента давления по поверхности плоской пластинки, построены линии тока. 4 1. Постановка задачи В физической плоскости 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 на пластинку CB длиной l, натекает поток ИНЖ со скоростью 𝑣∞ (рис. 1). Пластинка расположена под углом 𝛼 к горизонту и на расстоянии h от экрана. Точка A – точка разветвления потока, точка B – задняя кромка, является точкой схода потока, h – расстояние между точкой B и экраном. Направим ось 𝑥 по горизонтали вправо, так чтобы ось совпадала с линией экрана L. Ось 𝑦 проведем через точку B. Требуется построить распределение скорости 𝑣(𝑠) и коэффициент давления 𝐶𝑝 по поверхности пластинки, а так же линии тока. Рис. 1. Физическая плоскость z 5 2. Решение Согласно [4] под экраном введем фиктивный плоскопараллельный поток тяжелой ИНЖ со скоростью 𝑣∞ , и рассмотрим кусочно-аналитическую функцию 𝑤(𝑧). При этом линия L экрана, будет линией раздела сред, являющейся линией тока. Введем каноническую область 𝜁 (рис. 2), в которой течению в физической плоскости будет соответствовать обтекание цилиндра единичного радиуса. Скорость потока 𝑢0 направлена под углом 𝛽 к горизонту. Поток разделяется в точке A с координатой 𝜁𝑎 = 𝑒 𝑖𝛾𝑎 на окружности и сходит в точке B с координатой 𝜁 = 1. Обозначим за 𝐿𝜁 образ экрана в плоскости 𝜁. Рис. 2. Каноническая плоскость 𝜁 Применив функцию Жуковского, найдем отображение 𝑧(𝜁). Потребуем, для однозначности отображения, переход точки 𝜁 = 1 в точку 𝑧 = 𝑖ℎ и соответствие бесконечно удаленных точек плоскостей 𝑧 и 𝜁: 6 𝑙 1 1 2 2 𝜁 𝑧(𝜁 ) = 𝑒 −𝑖𝛼 ( (𝜁 + ) − 1) + 𝑖ℎ . (1) Используя обратную функцию Жуковского, не трудно найти обратное отображение 𝜁(𝑧): 2 2 𝑙 𝑙 2 𝜁 (𝑧) = [𝑒 𝑖𝛼 (𝑧 − 𝑖ℎ) + 1] + √[𝑒 𝑖𝛼 (𝑧 − 𝑖ℎ) + 1] − 1 . (2) Отобразив линию L при помощи (2), можно найти 𝐿𝜁 – образ экрана в плоскости 𝜁. Согласно [4] введем комплексно сопряженную скорость в плоскости 𝜁 в виде: 𝑑𝑤 𝑑𝜁 1 𝜁𝑎 𝜁 𝜁 = 𝑢0 𝑒 −𝑖𝛽 (1 − ) (1 − ) 𝑒 −𝛺(𝜁) , (3) где 𝛺 = 𝑇 + 𝑖𝛬. 𝑇 – реальная, 𝛬 – мнимая часть 𝛺. Введем функцию Жуковского – Мичела 𝜒: 𝜒 = ln ( 1 𝑑𝑤 𝑣∞ 𝑑𝑧 ) = ln 𝑣̅ 𝑣∞ + 𝑖𝜃. (4) Выделим особенности этой функции в критических точках и на линии 𝐿𝜁 , построив функцию: 𝜒0 = ln (1 − 𝜁𝑎 𝜁 1 ) − ln (1 + ) − 𝛺(𝜁 ) , 𝜁 и введем функцию: 𝜒̃ = 𝜒 − 𝜒0 = 𝑆̃ + 𝑖𝜃. Выразим из (4) комплексно сопряженную скорость: 𝑑𝑤 𝑑𝑧 = 𝑣∞ 𝑒 𝜒̃−𝛺(𝜁) 𝜁−𝜁𝑎 𝜁+1 Продифференцировав (1), найдем: 7 . (5) 𝑑𝑧 𝑑𝜁 С другой стороны 𝑙 1 4 𝜁2 = 𝑒 −𝑖𝛼 (1 − 𝑑𝑧 𝑑𝜁 𝑑𝑧 (6) можно получить из формулы, (3) на (5) в виде: = 𝑑𝜁 ). 𝑑𝑤 𝑑𝑤 𝑑𝜁 ⁄ 𝑑𝑧 = 𝑢0 𝑣∞ 1 1 𝜁 𝜁 𝑒 −𝑖𝛽−𝜒̃ (1 − ) (1 + ) . (7) Так как функция (7) аналитическая, следовательно, функция 𝜒̃ тоже является аналитической, и скачок на 𝐿𝜁 убран правильно. Рассмотрим (7) на бесконечности с учетом формул (3), (5), (6): 𝑑𝑧 | = 𝑑𝜁 ∞ 𝑑𝑤 𝑑𝑤 | ⁄ 𝑙 | ⇒ 𝑒 𝑖𝛼 = 𝑢0 𝑒 −𝑖𝛽 ⁄𝑣∞ , 𝑑𝜁 ∞ 𝑑𝑧 ∞ 4 откуда найдем: 𝑙 𝑢0 = 𝑣∞ , 𝛽=𝛼. 4 (8) Выразим из (7) 𝜒̃: 1 1 𝑣∞ 𝑑𝑧 𝜁 𝜁 𝑢0 𝑑𝜁 𝜒̃ = −𝑖𝛽 + ln (1 − ) + ln (1 + ) − ln ( ). (9) Подставив формулу (6) и соотношение (8) в формулу (9) получим, что для нашей задачи функция 𝜒̃(𝜁) ≡ 0. Рассмотрим функцию 𝛬(𝛾 ) = 𝑑𝑤 𝑑𝜁 𝛾𝑎 +𝜋 2 на окружности 𝜁 = 𝑒 𝑖𝛾 , откуда следует, что: − 𝛽 = 𝛿 ≡ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 . Комплексно сопряженная скорость отыскивается в виде: 𝑑𝑤 𝑑𝑧 = 𝑓(𝑧)𝑒 −𝛺(𝑧) , 8 (10) где 𝑓(𝑧) – непрерывная функция (аналитическая, может иметь особенности в некоторых точках), 𝛺(𝜁) – содержит скачок на линии L, т. е. кусочно аналитическая. 𝑑𝑤1 𝑑𝑧 = 𝑓 (𝑧)𝑒 −𝛺1 (𝑧) = 𝑣1 e−i𝜃1 , 𝑑𝑤2 𝑑𝑧 = 𝑓(𝑧)𝑒 −𝛺2 (𝑧) = 𝑣2 e−i𝜃2 . Прологарифмируем и рассмотрим на границе линии раздела, где 𝜃1 = 𝜃2 . Получим 𝛺2 − 𝛺1 = 𝑇2 − 𝑇1 = ln 𝑣1 = 𝜆 . Для удовлетворения этого условия 𝑣2 приходится организовывать итерационный процесс. 𝜆(𝑡) = ln ( 𝑣∞ 𝑣(𝑡) ) (11) Функция 𝛺, удовлетворяющая заданному скачку на 𝐿𝜁 и условию 𝛬(𝛾) ≡ 𝛿, можно найти по формуле [4]: ̅̅̅̅̅̅̅ 1 𝛺(𝜁 ) = Ф(𝜁 ) + Ф ( ̅ ) − Ф(0) . 𝜁 (12) Здесь черта означает комплексное сопряжение. Ф(𝜁) – интеграл типа Коши [5]: Ф(𝜁 ) = 1 𝜆(𝑡)𝑑𝑡 ∫ . 2𝜋𝑖 𝑡−𝜁 (13) 𝐿𝜁 Не трудно показать, что: 𝛬(𝛾 ) = 𝛿 = ImФ(0). Интеграл типа Коши является функцией аналитической во всей комплексной плоскости, кроме точек контура 𝐿𝜁 . Для вычисления данного интеграла необходимо знать линию интегрирования 𝐿𝜁 , которая в нашей задаче известна, и функцию плотности 𝜆(𝑡). 9 Для нахождения неизвестной заранее функции 𝜆(𝑡), организуем итерационный процесс по следующей схеме: 𝜆(𝑡) → 𝛺(𝜁 ) → 𝑑𝑤 → 𝑣 (𝑡) → 𝜆(𝑡) . 𝑑𝑧 На начальном этапе задаем начальное приближение, например 𝜆0 (𝑡) ≡ 0. Основной этап итерационного процесса содержит следующие шаги: 1. Вычислим 𝛺(𝜁) по формуле (12), т.е. определим 𝑇(𝑡) , 𝑇(𝛾) и 𝛿. 2. Найдем точку разветвления потока в канонической плоскости 𝜁𝑎 = 𝑒 𝑖𝛾𝑎 , где 𝛾𝑎 = 𝜋 + 2(𝛿 + 𝛽) выразим из формулы (10). 3. Затем определим скорость 𝑣(𝑡) на экране используя (5) 𝑣 (𝑡) = | 4. 𝑑𝑤 𝑡 − 𝜁𝑎 | = 𝑣∞ 𝑒 −𝑇(𝑡) | | 𝑑𝑧 𝜁=𝑡 𝑡+1 Подставляя 𝑣 (𝑡) в формулу (11), вычислим новое приближение функции 𝜆𝑘 (𝑡). Итерационный процесс продолжается, пока не выполнится следующее условие: ‖𝜆𝑘 − 𝜆𝑘−1 ‖ < 𝜀 Найдем распределение скорости 𝑣(𝑠) по пластинке. 𝑣(𝑠) = { 𝑣(𝛾) , 𝑠(𝛾) . Функцию 𝑣(𝛾) найдем из формулы (5), подставив 𝜁 = 𝑒 𝑖𝛾 : 𝑣 (𝛾 ) = −𝑣∞ 𝑒 −𝑇(𝛾) sin 𝛾 − 𝛾𝑎 𝛾 cos−1 . 2 2 Дуговую абсциссу представим в виде: 1 − 𝑥1 , 𝑠={ 3 + 𝑥1 , на нижней поверхности пластинки , на верхней поверхности пластинки 10 1 1 где 𝑥1 выразим, как 𝑥1 = 𝑅𝑒 ( (𝑒 𝑖𝛾 + 𝑖𝛾)) = cos 𝛾. Тогда 2 𝑒 𝑙 1 − cos 𝛾 , 𝑠(𝛾) = { 2 3 + cos 𝛾 , 𝜋 < 𝛾 < 2𝜋 0<𝛾<𝜋 Зная, 𝑣(𝛾) найдем коэффициент давления по пластинке по формуле: 𝑣(𝛾)2 𝐶𝑝 (𝛾) = 1 − 𝑣∞ 2 11 3. Вычисление интеграла типа Коши Основной сложностью является вычисление интеграла (13). Интеграл типа Коши построен так же, как и интеграл Коши, только 𝜆(𝑡) –произвольная комплексная функция, а линия 𝑙 – может быть незамкнутой: Ф(𝑧) = 1 𝜆(𝑡)𝑑𝑡 ∫ , 2𝜋𝑖 𝑡−𝑧 (14) 𝑙 где функция 𝜆(𝑡) называется его плотностью, 1⁄(𝑡 − 𝜁) – ядром. Функция (14) дает решение задачи Римана об определении двух аналитических функций Ф+ (𝑧) и Ф− (𝑧) через значение скачка на границе 𝜆(𝑧) = Ф+ (𝑧) − Ф− (𝑧). По формулам Сохоцкого [6], если 𝑧 → 𝑡: 1 Ф+ (𝑡) = Ф(𝑡) + 𝜆(𝑧) , 2 1 Ф− (𝑡) = Ф(𝑡) − 𝜆(𝑧) , 2 где Ф(𝑡) – особый интеграл, взятый в смысле главного значения по Коши. Если 𝑧 ∉ 𝑙, то интеграл (14) без особенностей. Подынтегральную функцию разбиваем на реальную и мнимую часть. Интегрируем по отдельности любым удобным методом. Необходимо учесть, что 𝑑𝑡 = 𝑒 𝑖𝜗 𝑑𝜎, где 𝜗 и 𝜎– угол наклона касательной и дуговая абсцисса линии 𝑙. Если 𝑧 ∈ 𝑙, тогда разбиваем (14) на две части: Ф(𝑧) = 1 𝜆(𝑡) − 𝜆(𝑧) 𝜆(𝑧) 𝑑𝑡 ∫ 𝑑𝑡 + ∫ . 2𝜋𝑖 𝑡−𝑧 2𝜋𝑖 𝑡 − 𝑧 𝑙 𝑙 Первый интеграл 𝐼1 не содержит особенностей, так как в точке 𝑡 = 𝑧, подынтегральная функция вычисляется как: 𝜆(𝑡) − 𝜆(𝑧) → 𝜆′ (𝑧) , 𝑡−𝑧 12 и не имеет особенностей второй интеграл 𝐼2 , вычислим аналитически: 1 𝑑𝑡 1 1 ∫ = ln(𝑡 − 𝑧)| = (𝐴 + 𝑖𝐵) 2𝜋𝑖 𝑡 − 𝑧 2𝜋𝑖 2𝜋𝑖 𝑙 𝑙 Если 𝑙 – замкнута, то 𝐴 = 0, иначе 𝐴 = ln | 𝑡к −𝑧 𝑡н −𝑧 |, где 𝑡н и 𝑡к – начало и конец линии 𝑙. Основная сложность численного вычисления инт. типа Коши в правильном нахождении 𝐵 = arg(𝑡к − 𝑧) − arg(𝑡н − 𝑧), так как функция arg многозначна. Для определенности будем считать, что ищем Ф+ (𝑧), т.е. 𝑧 подходит к 𝑙 слева. Введем в рассмотрение функцию 𝑓(𝑡) = arg(𝑡 − 𝑧) — функция для всех точек 𝑙. При правильном выборе ветви arg(𝑡 − 𝑧), 𝑓(𝑡) не должна иметь скачков, кроме точки 𝑡 = 𝑧, где ее скачок должен иметь значение равное 𝜋. Если это не так, то добавим или отнимем 2𝜋 на нужных участках, пока не добьемся нужного поведения 𝑓(𝑡). После этого вычислим 𝐵 = 𝑓(𝑡к ) − 𝑓(𝑡н ). Тогда из формул Сохоцкого: Ф+ (𝑧) = 𝐼1 + 𝜆(𝑧)𝐼2 — 𝑧 подходит слева, Ф− (𝑧) = 𝐼1 + 𝜆(𝑧)𝐼2 − 𝜆(𝑧) — 𝑧 подходит справа, Ф (𝑧) = 𝐼1 + 𝜆(𝑧)𝐼2 − 𝜆(𝑧) 2 — главное значение (14). 13 4. Результаты расчетов Для проведения расчетов составлена программа на языке Fortran. Не теряя общности, во всех расчетах полагалось, что скорость набегающего потока 𝑣∞ = 1, и длина пластинки 𝑙 = 1. Проведена серия расчетов распределения скорости и коэффициента давления по поверхности плоской пластинки, построены линии тока. В ходе работы программы, был найден образ экрана в плоскости 𝜁. На рис. 3 показана линия 𝐿𝜁 при ℎ = 0.01, 𝛼 = 30𝑜 . 2 0 -2 -3 -2 -1 0 1 2 3 Рис. 3. Образ экрана в плоскости 𝜁 Также при следующих значениях ℎ = 0.1, 𝛼 = 30𝑜 на рис.4 изображен график функции 𝜆(𝑠), где 𝑠 – дуговая абсцисса линии 𝐿𝜁 . 14 Lambda 2.25 2 1.75 1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25 0 25 30 35 40 45 50 s Рис. 4. График зависимости 𝜆(𝑠) Результаты работы программы сравнивались с другим аналитическим решением [3], где используется аппарат эллиптических функций. На рис. 5 представлено распределение скоростей при ℎ = 1, 𝛼 = 0.1. На рис. 6 распределение скорости по пластинке при ℎ = 0.1, 𝛼 = 30° . На обоих графиках сплошной линией построено аналитическое решение [3], точками V(g) отмечены значения, полученные при помощи программы. 3 2 1 0 0 0.5 1 1.5 2 s(g) Рис. 5. Сравнение решений при ℎ = 1, 𝛼 = 0.1 15 V(g) 4 3 2 1 0 0 0.5 1 1.5 2 s(g) Рис. 6. Сравнение решений при ℎ = 0.1, 𝛼 = 30° Из рис. 5 и рис. 6 видно, что результаты, полученные при помощи метода [3], полностью совпали с нашим решением. На рис. 7 и рис 8 показано распределение скоростей и коэффициента давления по пластинке при 𝛼 = 5° . Сплошной линией обозначен график при V(g) ℎ = 1, ℎ = 0.1 — штриховая линия, ℎ = 0.01 — штрих-пунктир. 3 2 1 0 -1 0 0.5 1 1.5 2 s(g) Рис. 7. 𝑣(𝛾) при 𝛼 = 5° 16 Cp(g) 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 0 0.5 1 1.5 2 s(g) Рис.8. 𝐶𝑝 при 𝛼 = 5° Распределение скоростей и коэффициента давления по пластинке при 𝛼 = 30° показано на рис. 9 и рис. 10: ℎ = 0.01 — штрих-пунктир, ℎ = 0.1 — V(g) штрих, ℎ = 1 — сплошная линия. 3 2 1 0 -1 0 0.5 1 1.5 2 s(g) Рис. 9. 𝑣(𝛾) при 𝛼 = 30° 17 Cp(g) 1 0 -1 -2 -3 -4 0 0.5 1 1.5 2 s(g) Рис.10. 𝐶𝑝 при 𝛼 = 30° На рис. 11 и рис. 12 построены графики распределения скоростей и коэффициента давления по пластинке при ℎ = 0.1 и разных углах 𝛼, 𝛼 = 5° V(g) — штрих-пунктир, 𝛼 = 10° — штрих, 𝛼 = 30° — сплошная линия. 3 2 1 0 0 0.5 1 1.5 2 s(g) Рис.11. 𝑣(𝛾) при ℎ = 0.1 18 Cp(g) 1 0 -1 -2 -3 -4 0 0.5 1 1.5 2 s(g) Рис.12. 𝐶𝑝 при ℎ = 0.1 На рис. 13 и рис. 14 построены графики распределения скоростей и коэффициента давления по пластинке при ℎ = 1 и разных углах 𝛼, 𝛼 = 5° — V(g) штрих-пунктир, 𝛼 = 10° — штрих, 𝛼 = 30° — сплошная линия. 4 3 2 1 0 0 0.5 1 1.5 2 s(g) Рис.13. 𝑣(𝛾) при ℎ = 1 19 Cp(g) 1 0 -1 -2 -3 -4 0 0.5 1 1.5 2 s(g) Рис.14. 𝐶𝑝 при ℎ = 1 На рис. 15 изображены линии тока при 𝛼 = 30° и ℎ = 1. Рис. 15. Линия тока при 𝛼 = 30° , ℎ = 1 20 Линии тока при 𝛼 = 10° и ℎ = 1 построены на рис. 16. Рис. 16. Линия тока 𝛼 = 10° , ℎ = 1 Линии тока при малых ℎ , можно увидеть на рис. 17, где 𝛼 = 30° и ℎ = 0.1 . Рис. 17. Линия тока 𝛼 = 30° , ℎ = 0.1 21 На рис. 18 показаны линии тока при 𝛼 = 10° и ℎ = 0.1 . 22 Заключение Таким образом, поставленная задача об обтекании пластинки вблизи твердого экрана решена. Решение было получено в численно-аналитическом виде. Так же был организован итерационный процесс для нахождения неизвестной функции 𝜆(𝑡). Проведены 4 серии расчетов: 1) при малом угле между пластинкой и экраном, 2) при большом угле между пластинкой и экраном, 3) при малом расстоянии задней кромки пластинки от экрана, 4) при большом расстоянии задней кромки пластинки от экрана. Построены линии тока при разных параметрах ℎ и 𝛼. Входе работы были сделаны следующие выводы: — Решение, полученное методом [4], полностью совпало с решением, описанным в [3]. — Скорость потока воздуха в т. 𝐴 равна нулю. — В передней кромке пластинки коэффициент давления стремится в минус бесконечность, в результате чего возникает, так называемая, подсасывающая сила, что затрудняет нахождение коэффициента подъемной силы. — В задней кромки пластинки поток сходит, и скорость потока не превосходит скорости на бесконечности. — При уменьшении высоты ℎ, коэффициент давления в каждой точке нижней поверхности пластинки возрастает, что говорит о появлении экранного эффекта. На верхней поверхности пластинки значительных изменений не наблюдается. 23 Список литературы 1. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979. 536с. 2. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа: Учеб. для вузов. — 7-е изд., испр — М. Дрофа, 2003 — 840 с., 311 ил., 22 табл.. — (Классика отечественной науки) 3. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. 3-е изд. — М. 1980. 4. Маклаков Д.В., Об одной задаче взаимодействия потоков с разными константами Бернулли, Тр. сем. по краев. задачам, 1983, выпуск 20, 159–170 5. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. 6-е изд., стер.–СПб.: Издательство «Лань», 2002 г.–688с. 6. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. Изд. 3-е. Главная редакция физико- математической литературы издательства «Наука», 1977. 7. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т. 2, Главная редакция физикоматематической литературы издательства «Наука», 1976 г., стр. 576. 24