физический практикум по механике

ФИЗИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ
ПО МЕХАНИКЕ
Издательство
Калининградского государственного университета
2001
КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
М.А. Никитин, С.В. Анферова
ФИЗИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ
ПО МЕХАНИКЕ
Калининград
Издательство Калининградского государственного университета
2001
УДК
ББК
Н
Печатается
по
решению
Редакционно-издательского
Калининградского государственного университета.
Н
совета
Никитин М.А., Анферова С.В.
Физический практикум по механике. – Калининград: Изд-во
КГУ, 2001. – 102 с.
ISBN 5-88874-225-2.
Практикум содержит описания лабораторных работ по механике,
включает краткие теоретические сведения, описание лабораторной
установки и методику проведения измерений.
УДК
ББК
ISBN 5-88874-225-2
© Издательство КГУ, 2001
© Никитин М.А., Анферова С.В.,
2001
Учебное издание
Михаил Анатольевич Никитин,
Софья Вадимовна Анферова
ФИЗИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ
ПО МЕХАНИКЕ
Практикум
Редактор А.М. Соколова
Оригинал-макет подготовлен Т.А. Гайдюковой
Лицензия № 020345 от 14.01.1997 г. Подписано в печать 1.10.2001 г.
Бумага для множительных аппаратов. Формат 60×90 1/16.
Гарнитура «Таймс». Ризограф. Усл. печ. л. 6,4. Уч.-изд. л. 5,1.
Тираж 120 экз. Заказ
.
Издательство Калининградского государственного университета,
236041, г. Калининград, ул. А. Невского, 14
ВВЕДЕНИЕ
Пособие содержит описание лабораторных работ по механике и
составлено таким образом, чтобы студенты, проходящие физический
практикум в лаборатории, могли самостоятельно:
1) изучить теорию рассматриваемых механических явлений и методику
измерений;
2) провести обработку и анализ полученных результатов, оценить погрешности измерений;
3) оформить лабораторные работы в соответствии с принятым стандартом.
В каждой лабораторной работе четко сформулирована цель работы.
Это делается для того, чтобы студент сознавал целевую направленность
физпрактикума – объединение теории и эксперимента на основе
простейших технических установок.
В числе лабораторных работ по механике две являются особенно
важными для всего физического практикума. Это работы по изучению
статистических закономерностей естественного радиоактивного фона и
изучению физических принципов работы осциллографа. Первая работа
является хорошим и, главное, наглядным введением в теорию случайных
величин и статистической обработки результатов эксперимента. Вторая
дает необходимые элементарные знания и навыки работы с одним из
основных измерительных средств современной экспериментальной
физики.
В связи с тем, что пользование пособием предполагает глубокую
самостоятельную проработку материала студентами, каждая лабораторная
работа содержит ряд контрольных вопросов, служащих своеобразными
тестами на правильное понимание цели работы, физической теории и
методики измерений и обработки данных.
3
Лабораторная работа 1
ИЗУЧЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ НА ОСЦИЛЛОГРАФЕ
Цель работы: измерение характеристик гармонических колебаний –
амплитуды и частоты на осциллографе; изучение траектории колебаний
при сложении двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний
с кратными частотами (фигуры Лиссажу).
Основные теоретические положения
Колебаниями, или осцилляциями, называется движение тела,
отличающееся той или иной степенью повторяемости. Достаточно часто
встречаются так называемые гармонические колебания, при которых
физическая величина x(t) с течением времени изменяется по закону синуса
или косинуса:
x(t ) = A sin(ω0t + ϕ);
(1)
x(t ) = A cos(ω0t + ϕ),
где A – амплитуда колебаний, то есть максимальное значение величины
x(t); (ω0t + ϕ) – аргумент синуса или косинуса называется текущей фазой
колебаний; ϕ – начальная фаза колебаний в момент времени t = 0; ω0 –
циклическая или собственная частота колебаний, то есть число колебаний
2π
за 2π ( ω0 =
, где T - период колебаний, или время одного полного
T
колебания). Для гармонических колебаний график изменения координаты
во времени представлен на рис. 1.
Рис. 1.
Простейшим примером гармонических колебаний служат колебания
груза массой m на конце горизонтальной пружины (рис. 2). Будем считать,
что массой пружины можно пренебречь и что груз движется без трения.
Если сдвинуть груз влево, сжимая пружину, то пружина начнет
действовать на груз с силой Fупр, которая стремится вернуть его в
4
положение равновесия (x = 0). Сила упругости Fупр прямо
пропорциональна расстоянию x, на которое сжимается или растягивается
пружина
(2)
Fупр = - kx,
где k - коэффициент жесткости пружины.
Знак минус означает, что сила упругости, играющая роль
возвращающей силы, всегда противоположна по направлению
перемещению x.
Рис. 2.
Если направить ось x вправо, при растягивании пружины x будет
положительным, а сила упругости Fупр будет направлена влево (см. рис. 2).
Заметим, что положение равновесия мы выбрали в точке x = 0. Сила
упругости сообщает грузу ускорение, и груз совершает колебания
относительно положения равновесия.
Для описания движения груза запишем второй закон Ньютона ( F = ma )
для нашей системы в скалярном виде
d 2x
(3)
m 2 = −kx .
dt
Преобразуем это уравнение и получим
d 2x k
+ x = 0,
(4)
dt 2 m
k
где
= ω0 , собственная частота колебаний, зависящая от параметров
m
колебательной системы (k и m).
Тогда уравнение (4) примет вид:
d 2x
+ ω02 x = 0 .
(5)
2
dt
5
Уравнение
(5)
называется
дифференциальным
уравнением
гармонических колебаний. Если из каких-либо законов для некоторой
величины x, получается уравнение такого вида, то изменение этой
величины в зависимости от времени должно представлять гармоническое
колебание. Решениями этого уравнения будут
x (t ) = A sin( ω 0 t + ϕ) или x (t ) = A cos( ω 0 t + ϕ) .
Действительно, если к грузу прикрепить перо (с чернилами), слегка
касающееся листа бумаги, то в процессе колебаний это перо запишет на
передвигающемся листе кривую, по форме совпадающую с синусоидой (рис.
3). Гармонические колебания являются наиболее простым видом
колебаний.
Рис. 3.
Разберем теперь более сложный вид колебаний, когда материальная
точка одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных
колебаниях, имеющих одинаковую динамическую частоту. Это движение
можно представить в виде сложения двух взаимно перпендикулярных
колебаний. Пусть одно колебание происходит вдоль оси x, а другое – вдоль
оси y декартовой системы координат:
x = A cos(ω t + ϕ1 );
(6)
y = B cos(ω t + ϕ 2 ).
Получим уравнение траектории точки, для этого исключим из
уравнений (6) время t. Перепишем (6) в следующем виде
x
= cos ωt cos ϕ1 − sin ωt sin ϕ1 ;
A
(7)
y
= cos ωt cos ϕ 2 − sin ωt sin ϕ 2 .
B
6
Умножим полученные уравнения на cos ϕ2 и cos ϕ1 соответственно.
Вычтем из первого равенства второе:
x
y
(8)
cos ϕ 2 − cos ϕ1 = sin ωt sin(ϕ 2 − ϕ1 ) .
A
B
Теперь умножим уравнения (7) на sin ϕ2 и sin ϕ1 соответственно и
вычтем из первого равенства второе:
x
y
(9)
sin ϕ 2 − sin ϕ1 = cos ωt sin(ϕ 2 − ϕ1 ) .
A
B
Возведя в квадрат и складывая последние два равенства, получим
уравнение траектории
xy
x2 y2
(10)
+ 2 −2
cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) .
2
AB
A
B
Последнее уравнение есть, вообще говоря, уравнение эллипса, оси
которого повернуты относительно координатных осей x и y. Ориентация
этого эллипса по отношению к осям x и y зависит от разности фаз
составляющих колебаний.
Определим формулу траектории для некоторых частных случаев.
Разность фаз ϕ2 - ϕ1 = 0.
Уравнение траектории примет вид:
x 2 y 2 2 xy
(11)
+
−
=0
A 2 B 2 AB
или
2
⎛ x y⎞
⎜ − ⎟ = 0.
⎝ A B⎠
(12)
B
(13)
x.
A
Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль
Отсюда получается уравнение прямой y =
этой прямой с частотой ω и амплитудой, равной
а
A 2 + B 2 (рис.4а).
б
Рис. 4.
7
2. Рассмотрим сложение колебаний, фазы которых ϕ1 и ϕ2 отличаются
π
на . В этом случае уравнение траектории примет вид
2
x2 y2
+
= 1.
(14)
A2 B 2
Уравнение (14) представляет собой каноническую форму уравнения
эллипса (оси координат совпадают с осями эллипса) (рис. 4б).
Следует отметить, что при равенстве амплитуд составляющих
колебаний (А = В) эллипс вырождается в окружность.
Итак, когда материальная точка участвует в двух взаимно
перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты, то траекторией ее
движения является эллипс. В некоторых частных случаях эллипс может
выродиться в прямую или окружность.
Все это можно продемонстрировать на примере маятника,
представляющего собой тяжелый шар, подвешенный на длинной нити
(рис. 5). Если находящийся в равновесии шар слегка ударить в
горизонтальном направлении, то он начнет колебаться вдоль линии удара.
Если теперь по движущемуся шару еще раз ударить в направлении,
перпендикулярном его движению, то этим маятник будет приведен во
второе колебательное движение. Между двумя этими колебаниями будет
определенный сдвиг фаз, зависящий от выбора места для удара на
траектории движения шара. Например, если второй удар нанести в момент
π
наибольшего отклонения шара от положения равновесия, то ϕ 2 − ϕ1 = , и
2
шар при определенной силе удара начнет двигаться по окружности. Во
всех других случаях второй удар приводит шар в движение по эллипсу.
Рис. 5.
8
Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, но
кратны целому числу, то траектория результирующего движения имеет вид
довольно сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу (рис. 6).
Рис. 6.
Например, при отношении частот
ωx 1
π
уравнения
= и разности фаз
2
ωy 2
π
колебаний имеют вид: x = A cos ωt , y = B cos(2ωt + ) . За то время, пока
2
вдоль оси х точка успевает переместиться из одного крайнего положения в
другое, вдоль оси у, выйдя из нулевого положения, она успевает
достигнуть одного крайнего положения, затем другого и вернуться в
нулевое положение.
Фигуры Лиссажу удобно наблюдать на экране осциллографа, подавая
на горизонтальный и вертикальный входы синусоидальные сигналы.
Изменяя амплитуды, частоты и фазы этих сигналов можно получать
множество различных кривых Лиссажу (см. рис. 6).
Вопросы к зачету
1. Какие колебания называются гармоническими? Приведите примеры
колебательных систем в повседневной жизни.
2. Перечислите и дайте определения характеристикам гармонических
колебаний.
3. Выведите дифференциальное уравнение гармонических колебаний.
4. Какое движение совершает точка, если она одновременно участвует
в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях c
одинаковыми частотами? При каких условиях траекторией движения будет
прямая и при каких – окружность?
5. Что называется фигурами Лиссажу и как их можно получить на
опыте? Как по виду фигуры Лиссажу установить соотношение частот
складываемых колебаний?
6. Как устроена электронно-лучевая трубка?
7. Перечислите назначения основных блоков структурной схемы
осциллографа.
9
8. Для чего необходима развертка сигнала? Какова связь между
временем развертки и периодом исследуемого сигнала? В каких единицах
градуируется развертка?
9. Сформулируйте условия синхронизации сигналов.
10. Какие фигуры Лиссажу вы увидите на экране, если на выходы
осциллографа X и Y будут поданы следующие сигналы:
U x = A cos(ωt );
11. а)
U y = A sin( 2ωt );
12. б)
U x = A sin(ωt );
U y = A cos(3ωt ).
Описание лабораторной установки
Лабораторная установка для исследования гармонических колебаний
состоит из звукового генератора Г3-7А и осциллографа С1-114/I .
Звуковой генератор Г3-7А создает гармонические колебания в
диапазоне частот 20÷200·103 Гц. Осциллограф С1-114/I в зависимости от
выбранного режима используется для наблюдения формы колебаний,
измерения их частот и амплитуд или для наблюдения фигур Лиссажу.
Порядок выполнения работы
Упражнение 1. Измерение характеристик гармонических колебаний –
частоты и амплитуды с помощью осциллографа.
Включить генератор и осциллограф в сеть.
– Подать с генератора гармоническое напряжение U = A sin(2πν Г t + ϕ )
на вход вертикального отклонения канала В осциллографа, где
ν Г = ω Г / 2 π – частота, устанавливаемая с помощью лимба звукового
генератора. Установить заданные значения частоты ν Г и амплитуды А
ручками «рег. выхода» на генераторе (по вольтметру), соответственно.
– Установить переключатели вида синхронизации на осциллографе в
положение «авт.» и «внутр.».
– Получить устойчивое изображение сигнала на весь экран
осциллографа. Размер изображения по вертикали регулируется ручкой
«V/дел.».
Время развертки подобрать переключателем «время/дел» такой
величины, чтобы на экране осциллографа наблюдались 3-4 периода
гармонического сигнала. Устойчивость изображения сигнала во времени
достигается синхронизацией частоты развертки с частотой исследуемого
сигнала переключателем «уровень» и «время/дел» – плавно.
– Расположить полученное изображение сигнала симметрично
относительно оси х, перемещая его по вертикали ручкой « ↑ ».
10
2. Вычислить амплитуду А исследуемого сигнала по формуле
A=
l
⋅ V / дел . Для этого измерить размер сигнала по вертикали l, где l –
2
число делений сетки осциллографа по вертикали, приходящихся на весь
данный сигнал. Учесть положение переключателя «V/дел». При этом ручка
”«V/дел» – плавно” должна находится в крайнем правом положении.
– Результаты измерений занести в табл. 1.
Таблица 1
№
1
2
3
4
5
l (дел)
V/дел
А (В)
3. Вычислить частоту исследуемого сигнала. Для этого измерить число
делений по горизонтали l1, приходящихся на один период колебаний.
Вычислить период колебаний T = l1⋅τр, учитывая положение переключателя
1
времени развертки «время/дел» – τр. Используя формулу ν = ,
T
определить частоту исследуемого сигнала. Точность измерения периода Т
сигнала можно повысить, если измерить число делений по горизонтали l2;
соответствующих нескольким периодам колебаний -n. В этом случае
l ⋅τ
T = 2 p . Результаты занести в табл. 2.
n
Таблица 2
№
1
2
3
4
5
τр
l1
T
ν
n
l2
T
ν
νген
– Измерить вышеуказанным способом амплитуды и частоты 5
различных гармонических напряжений. Сравнить результаты измерений с
показаниями генератора.
Упражнение 2. Изучение траектории колебаний при сложении двух
взаимно перпендикулярных гармонических колебаний (фигуры Лиссажу).
Для сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с кратными
частотами воспользуемся осциллографом, у которого в электроннолучевой трубке имеется две пары взаимно перпендикулярных
11
отклоняющихся пластин X и Y и два усилителя, выходы которых
подключены к этим пластинам.
– На пластины Х подать напряжение с частотой 50 Гц от сети. Для
этого переключатель – вид синхронизации – установить в положение
«сеть», а переключатель «время/дел» установить в положение «Ο→Х».
– Устанавливая на звуковом генераторе с помощью лимба частоты
кратные 50 Гц, получить устойчивые изображения фигур Лиссажу и
зарисовать их. Объяснить полученные изображения и сравнить частоты
νген с νрасч..
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. М.: Высш. шк., 1986.
§50.
2. Захаров В.Е., Никитин М.А. Физические принципы работы осциллографа.
/ Калинингр. ун-т. Калининград, 1985.
Лабораторная работа №2
ИЗУЧЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ
ЕСТЕСТВЕННОГО РАДИОАКТИВНОГО ФОНА
Цель работы: экспериментальное исследование статистических
погрешностей, возникающих при измерении радиоактивного фона Земли.
В ходе исследований выполняется серия измерений с помощью
ионизационного датчика. На основании данных опыта строятся
необходимые графические зависимости и вычисляются среднее значение
частиц, регистрируемых датчиком, стандартные ошибки и доверительные
интервалы для отдельного измерения и для результата.
Основные теоретические положения
Естественный радиоактивный фон на Земле образуют потоки частиц
высокой энергии, возникающие в результате космического излучения в
результате распада радиоактивных веществ.
При измерении радиоактивного фона пользуются понятием его
интенсивности как среднего числа частиц, проходящих в единицу времени
через некоторую единичную площадку.
Поскольку частицы, образующие радиоактивный фон, возникают в
результате случайных процессов, характерной особенностью фона
является его флуктуации, т.е. хаотические изменения числа частиц,
пролетающих через данную площадку за одинаковые промежутки
12
времени. Таким образом, если при каком-либо измерении фона, например,
в течение 10 сек будет зарегистрировано п частиц, то в любые следующие
10 сек может быть получено число, равное п ± 1, п ± 2 и т.д, причем
колебания числа частиц будут иметь характер случайных отклонений от
некоторого среднего значения, на основании чего и вводится понятие
средней интенсивности фона J.
Измерения радиоактивного фона выполняются обычно с помощью
ионизационного датчика Гейгера – Мюллера. Пусть площадь сечения
такого датчика равна S. Для определения величины J необходимо число
частиц п, зарегистрированных в интервале времени τ, разделить на
площадь датчика S и на время τ:
n
.
(1)
J=
τ⋅S
Рассмотрим погрешности измерения интенсивности J. Из формулы (1)
видно, что погрешности измерения J обусловлены флуктуациями числа
частиц п, а также погрешностями определения площади S и регистарации
интервалов времени τ.
Согласно правилам вычисления стандартной погрешности косвенного
измерения, нетрудно получить:
2
2
2
⎛ 1 ⎞ 2 ⎛ n ⎞ 2 ⎛ n ⎞ 2
ΔΙ = ⎜
(2)
⎟ Δn + ⎜ 2 ⎟ Δτ + ⎜ 2 ⎟ ΔS ,
⎝τS ⎠
⎝τS ⎠
⎝ Sτ ⎠
где ΔI – стандартная погрешность измерения интенсивности J;
Δп– стандартная погрешность измерения числа частиц п,
регистрируемых датчиком площади S в интервале времени τ (появление Δп
обусловлено флуктуацией числа частиц, проходящих на поверхность
датчика);
Δτ – стандартная погрешность измерения времени τ;
ΔS – стандартная погрешность измерения площади S.
Опыт показывает, что при измерении интенсивности фона на
поверхности Земли с помощью датчиков с относительно небольшими
сечениями
(S ≈ 102см2) и с использованием малых интервалов времени (τ < 1мин), все
погрешности оказываются пренебрежимо малыми по сравнению с
В данной работе
используется ионизационный
флуктуациями
фона, определяемыми
величиной Δп. датчик с площадью
2
сечения S = 80 см , а измерения выполняются в интервалы времени τ = 10
сек. Следовательно, основной вклад в погрешность измерения J дает
Δп ,
обусловленная
случайными
флуктуациями
погрешность
радиоактивного фона.
Погрешности, связанные с флуктуацией измеряемой величины,
называют статистическими погрешностями. Задача настоящей работы
13
состоит в экспериментальном исследовании свойств статистических
погрешностей, т.е. в исследовании характера флуктуаций числа частиц,
регистрируемых ионизационным датчиком за одинаковые интервалы
времени τ. Рассмотрим основные теоретические данные об обработке
измерений флуктуирующих величин.
Вначале приведем некоторые графические характеристики, удобные
при анализе флуктуирующих величин.
Графическая зависимость физической величины А, испытывающей
хаотические флуктуации относительно среднего значения, имеет в общем
случае вид, изображенный на рис. 1. В зависимости от времени t (или
номера опыта N) показано поведение некоторой величины А,
флуктуирующей относительно среднего значения A . Отклонение А от A ,
т.е. значения ΔА подчиняются нормальному закону распределения и
график распределения ΔА при достаточно большом числе опытов
описывается обычной гауссовой кривой (рис. 2).
Рис. 1.
Рис. 2.
На рис. 2 по оси абсцисс отложена величина отклонения ΔА, по оси
ординат – число случаев NΔA, когда величина ΔА принимает то или иное
числовое значение.
14
Следующей важной характеристикой является график распределения
вероятности для случайной величины, принимающей то или иное
значение.
Вероятностью некоторого искомого события можно назвать отношение
числа событий c данным результатом к полному числу событий. Если,
например, в N опытах для величины А регистрируется N1 случаев, когда А
принимает значение равное A1, то вероятность получить значение А1 в N
опытах определяется формулой:
N
(3)
W1 = 1 .
N
Графическая зависимость вероятности для случайных величин с нормальным законом распределения обычно имеет вид, приведенный на рис. 3.
Рис. 3.
На графике видно, что физическая величина, флуктуирующая
случайным образом, всегда имеет наибольшую вероятность для значения,
называемого наиболее вероятным.
Все зависимости, показанные на рис. 1-3, справедливы и для такой
флуктуирующей величины, как число частиц, регистрируемых датчиком в
одинаковые интервалы времени. Важной особенностью распределения
вероятности является то, что наиболее вероятным значением оказывается
среднее значение числа частиц, регистрируемых датчиком за 10 сек.
Одна из задач настоящей работы состоит в построении
соответствующих
графических
зависимостей,
характеризующих
распределение вероятности и отклонения от среднего для числа
регистрируемых
Необходимо частиц.
заметить, что «гладкие» кривые образуются лишь как
средний результат при весьма большом числе опытов, а при ограниченном
числе дискретных измерений, выполняемых в некоторых заданных
интервалах времени, вместо графиков (см. рис. 2–3) строятся так
называемые гистограммы, вид которых для опытов по регистрации
радиоактивного фона показан на рис. 4 и 5.
15
Рис. 4.
Рис. 5.
На рис. 4, 5 изображены гистограммы распределения вероятности и
отклонения от среднего для числа частиц. Гистограммы содержат
дискретные точки, которые для удобства обработки соединяют между
собой таким образом, чтобы графики представляли совокупности
вертикально расположенных прямоугольников. На рис. 4 прямоугольник,
расположенный между 0 и 1, характеризует случай, когда регистрируется 0
отсчетов. Прямоугольник, расположенный между 1 и 2, характеризует
случаи с одним отсчетом и т.д. Высота прямоугольников определяет
N
вероятность наблюдаемых случаев Wi = i , где N i – число опытов с
N
одинаковым результатом, N – полное число опытов.
На рис. 5 прямоугольник, расположенный между 0 и
±Δni
характеризует число отклонений, равных ±Δni и т.д. Здесь высота
прямоугольников определяет число одинаковых отклонений от среднего
значения Δni = ni − n , где n вычисляют по формуле (4).
Заметим, что в случае, когда измеряемая величина принимает значение,
равное среднему, на графике (рис. 5) по оси ординат откладывается число
зарегистрированных случаев при величине отклонения Δn = 0. Кроме того,
в зависимости от величины интервалов Δni, получаемых при обработке
экспериментальных данных, на графике (рис. 5) вправо и влево от 0 могут
16
откладываться несимметричные интервалы Δni . В частности, может быть
получено, что среднее значение определяется не целым числом частиц.
Например, пусть за 10 сек в среднем регистрируется 9,2 частицы; в этом
случае ближайшие интервалы Δni вправо и влево от 0 будут равны,
соответственно, (+0, 8) и (–0, 2).
Теперь рассмотрим исходные теоретические формулы для расчетов
средней величины, стандартных погрешностей и доверительных
интервалов для флуктуирующих величин.
Среднее значение флуктуирующей величины, в данном случае –
среднее число частиц, регистрируемых в одинаковые интервалы времени,
равно
1 N
n = ∑ ni ,
(4)
N i =1
где N – число опытов;
ni – число частиц, регистрируемых в каждом опыте.
Как и для всех случайных процессов, подчиняющихся закону
нормального распределения, стандартная погрешность отдельного
измерения Δотд и стандартная погрешность результата Δ n определяются
формулами:
1 N
(5)
(ni − n )2 ;
Δ отд =
∑
N i =1
1 N
(ni − n )2 .
(6)
∑
N i =1
Таким образом, выполнив серию N опытов, можно определить
стандартные погрешности Δотд и Δ n и доверительные интервалы ±Δ, ±2Δ,
±3Δ, для числа отсчетов датчика за одинаковые промежутки времени и,
следовательно, для интенсивности фона.
При большом числе опытов (а опыты по изучению флуктуирующих
величин, в частности, по измерению космического излучения
радиоактивного распада требуют сотен и тысяч измерений) обработка
погрешностей результатов по формулам (5, 6) становится весьма
затруднительной.
По этой причине для обработки статистических погрешностей обычно
используют другой метод, основанный на том, что в случае
флуктуирующих величин теория погрешностей дает еще одну формулу для
вычисления стандартной погрешности отдельного измерения:
Δ отд = n
(7)
где n – среднее число частиц, зарегистрированных в некоторой серии
опытов. Таким образом, результат отдельного измерения (например, в
Δn =
17
доверительном интервале ±Δ) для числа частиц, регистрируемых датчиком,
можно записать двумя способами:
n = n ± Δ отд(1) ;
(8, а)
n = n ± Δ отд( 2) ,
где
Δ отд(1) =
1
N
N
∑ (ni − n )2 ;
(8, б)
(9, а)
i =1
Δ отд( 2) = n .
(9, б)
Относительная погрешность отдельного измерения Еотд также может
быть определена двумя формулами:
Δ отд(1)
E отд(1) =
⋅ 100% ;
(10, а)
n
Δ отд( 2)
100%
E отд( 2) =
⋅ 100% =
(т.к. Δ отд ( 2) = n ).
(10, б)
n
n
Результат измерения n0 в данном случае есть среднее значение числа
регистрируемых частиц в доверительном интервале ± Δ n и определяется
также двумя выражениями:
n0 = n ± Δ n (1) ;
(11, а)
(11, б)
n0 = n ± Δn (2) ,
Δ отд(1 )
;
(12, а)
где
Δn (1) =
N
Δ отд( 2 )
.
(12, б)
Δn (2) =
N
Относительная погрешность результата:
Δn (1)
En (1) =
⋅ 100% ;
(13, а)
n
Δ n (2)
En (2) =
⋅ 100% .
(13, б)
n
Обсудим полученные формулы. Оказывается, что при измерении
флуктуирующих величин и обработке связанных с ними статистических
погрешностей можно значительно облегчить процедуру отыскания
стандартных погрешностей, доверительных интервалов и относительных
погрешностей как для отдельного измерения, так и для результата
измерения. Действительно, вместо трудоемких расчетов стандартных
погрешностей по формулам (5, 6), особенно громоздких при большом
числе опытов, достаточно лишь определить среднее значение измеряемой
величины по формуле (4) и затем, пользуясь формулами (9б, 10б, 12б, 13б),
легко вычислить все требуемые характеристики.
18
В заключение рассмотрим еще одно преобразование, позволяющее
получить новый вид формул для относительной погрешности результата
n Eотд(1)
E n . Учитывая, что согласно (10а) и (12а) Δn (1) =
, а согласно
N ⋅ 100%
n
, получаем для En (1) и En (2) новые
(10б) и (12б) Δ n (2) =
nN
выражения:
Eотд (1)
En (1) =
;
(14, а)
N
100%
.
(14, б)
En (2) =
nN
Формула (14б) показывает, что относительная погрешность результата
(т.е. среднего числа частиц, регистрируемых датчиком за равные
интервалы времени) определяется полным числом отсчетов nN и не
зависит от длительности интервалов времени в каждом опыте. Этот вывод
понятен, т.к. все измерения вместе составляют одно более продолжительное
измерение, в котором в итоге зарегистрировано число частиц, равное
N
∑ ni = n N .
Анализ формулы (14б) представляет особый интерес при оценке
точности замера интенсивности фона в зависимости от числа
зарегестрированных частиц. Если считать несущественными остальные
погрешности измерений (т.е. погрешности измерения площади и времени),
то, очевидно, относительная точность измерения интенсивности также
определяется формулой (14б). Из этой формулы следует, что для
измерения интенсивности с точностью до 1% требуется зарегистрировать
104 частиц, при точности 3% – 103 частиц, при точности 10% – 102 частиц.
При этом точность измерения интенсивности не зависит от того, получены
ли все отсчеты в одном или разных опытах (конечно, при условии, что
опыты ведутся с использованием измерительной установки со строго
фиксированными параметрами).
Вопросы к зачету
i =1
1. Что такое интенсивность радиоактивного излучения и каковы
причины возникновения радиоактивного фона Земли?
2. Как получить формулу (2) для стандартной погрешности измерения
радиоактивного фона I? Какими членами в ней можно пренебречь в
данном эксперименте и почему?
3. Что такое флуктуации случайной величины?
4. Что называется вероятностью события и какое число частиц в
данном эксперименте имеет наибольшую вероятность?
5. Как облегчить процедуру расчетов стандартных погрешностей
19
регистрируемого числа частиц при большом числе опытов?
6. Как устроен датчик Гейгера -Мюллера и каков принцип его работы?
Описание экспериментальной установки
При выполнении работы используются: счетчик Гейгера – Мюллера
типа СТС-6, высоковольтный выпрямитель (универсальный источник
питания типа УИП-1), предусилитель, пересчетный прибор типа ПС-64 в
комплекте с электромеханическим счетчиком типа СБ-1М/100,
секундомер. Предусилитель и счетчик Гейгера – Мюллера смонтированы в
виде отдельного выносного блока.
На рис. 6 изображена cтруктурная схема установки для измерения
интенсивности радиоактивного фона.
Рис. 6.
В данной работе счетчик Гейгера – Мюллера применяется для
регистрации частиц, образующих радиоактивный фон. Счетчик
представляет собой наполненный газом металлический цилиндр с двумя
электродами. Одним из электродов (катодом) служит сам корпус. Другим
электродом (анодом) является тонкая нить, натянутая вдоль оси цилиндра.
Снаружи счетчик закрыт изолирующим цилиндрическим экраном.
Постоянное напряжение 400В создается универсальным источником
питания УИП-1.
Принцип работы измерительной установки состоит в следующем.
Радиоактивные частицы, попадая в счетчик, могут ионизировать газ,
которым он заполнен, или выбить электроны из его стенок.
Образовавшиеся электроны ускоряются в электрическом поле между
электродами счетчика и, соударяясь с молекулами газа, выбивают из них
новые электроны. В результате дальнейшей ионизации образуется лавина
электронов и через счетчик протекает кратковременный импульс тока
(разряд). Этот импульс и регистрируется установкой.
20
Перед тем как поступить на вход пересчетного прибора ПС-64,
импульс проходит через предусилитель (катодный повторитель).
На рис. 6 приведена схема подачи напряжения на счетчик Гейгера –
Мюллера, показывающая, каким образом происходит регистрация
импульса тока. Напряжение на счетчик подается через сопротивление R,
исполняющее две функции. Во-первых, это сопротивление ограничивает
величину тока, который может протекать через счетчик и, таким образом,
предохраняет его от пробоя. Во-вторых, сопротивление R вместе с
конденсатором С образует входную цепочку предусилителя, работающего
следующим образом. Ток источника J, проходя через сопротивление R,
вызывает на нем падение напряжения JR. В результате, если до начала
разряда напряжение на конденсаторе было равно 400 В, то после
появления разряда напряжение на конденсаторе восстанавливается. Таким
образом, на входе предусилителя (на управляющей сетке лампы) возникает
кратковременное изменение напряжения (импульс напряжения), которое
вызывает импульс тока в цепи предусилителя, подаваемый на вход
пересчетного прибора ПС-64. Пересчетный прибор ПС-64 отсчитывает
число подаваемых на него импульсов, регистрация которых производится
на шкале электромеханического счетчика СБ-1М/100. Устройство и
принцип работы пересчетного прибора ПС-64 и электромеханического
счетчика СБ-1М/100 приведены в отдельных описаниях.
Порядок выполнения работы
1. Включите приборы и дайте им прогреться две – три минуты.
2. Не подавая напряжения на счетчик Гейгера – Мюллера, проверьте
правильность работы пересчетного прибора ПС-64. Для этого установите
переключатель прибора в положение «проверка» (при этом на вход
пересчетной схемы подается переменное напряжение с частотой 50 Гц).
Стрелки шкалы электромеханического счетчика установите на «0».
Нажмите кнопку «сброс» на панели прибора ПС-64 и затем включите
тумблер в положение «пуск».
Пересчетный прибор и электромеханический счетчик начнут
отсчитывать импульсы. Через минуту остановите счетчик, поставив
тумблер в положение «выключить». Время счета отмечайте с помощью
секундомера. Число импульсов определите по формуле:
n = n 1 × k + n2
где n1 – число делений на шкале электромеханического счетчика;
k – множитель пересчетного прибора, равный 16 при установке
переключателя в положение «проверка»;
n2 – сумма чисел, стоящих около светящих неоновых лампочек. Число
импульсов должно быть равно п с отклонением не более 103%.
21
Повторите проверку 2-3 раза, не забывая устанавливать стрелки
электромеханического счетчика на «0» перед проведением каждого
измерения.
3. С помощью регулятора напряжения на передней панели источника
УИП-1 подайте на счетчик Гейгера – Мюллера напряжение 400 В.
Напряжение контролируется с помощью вольтметра на панели прибора
УИП-1.
4. Установите переключатель прибора ПС-64 в положение (×1),
нажмите кнопку «сброс» на приборе ПС-64, затем включите тумблер в
положение «ПУСК» и одновременно засеките время с помощью
секундомера. Прибор и электромеханический счетчик начнут отсчитывать
импульсы, поступающие от счетчика Гейгера – Мюллера. Неоновые
лампочки при этом не горят.
5. Перед началом серии измерений для приобретения навыка
выполните эту операцию 3-4 раза, одновременно определяя по шкале
электромеханического счетчика число импульсов за интервал времени,
равный
6. Начинайте
10 сек.
серию измерений для определения числа частиц,
проходящих через счетчик за 10 сек. Повторите измерения 250 раз. Не
забывайте устанавливать стрелку первой шкалы электромеханического
счетчика на 0 перед каждым измерением. Вторая шкала счетчика покажет
полное число частиц, зарегистрированных в серии измерений.
Вычисления и обработка результатов
1. Результаты измерений представьте в виде гистограммы,
определяющей зависимость Wi = f(ni). Для этого по оси абсцисс отложите
последовательно целые числа пi (п – число частиц), а по оси ординат –
вероятность случаев Wi, когда число отсчетов счетчика равнялось ni.
Вероятность случаев Wi определяется по формуле (3):
N
Wi = i ,
N
где Ni – число измерений с данным числом частиц;
N – полное число измерений (N = 250).
2. Определите n – среднее число частиц, регистрируемых счетчиком за
10 сек в 250 измерениях по формуле (4).
3. Проведите вычисление отклонений ± Δni = ni − n и представьте
результаты в виде гистограммы, характеризующей зависимость числа
отклонений от величины отклонений NΔni = f(Δni). Для этого по оси
абсцисс вправо и влево от нуля отложите целые числа ±Δni, а по оси
ординат – число случаев, когда величина отклонения равнялась ±Δni.
4. Вычислите стандартную погрешность отдельного измерения Δотд по
формулам (9а) и (9б). Сравните результаты расчетов.
5. Определите процент случаев, когда зарегистрированное число частиц
ni лежит в доверительных интервалах n ± Δ отд , n ± 2 Δ отд , n ± 3Δ отд и
22
сравните полученные результаты с теоретическими данными (согласно
теоретическим данным в первом интервале должно находиться 68%
измеренных значений ni, во втором – 95% и в третьем – 99,7%).
При сравнении теоретических оценок с экспериментальными данными
следует помнить, что при однократной конечной серии измерений, а тем
более при относительно небольшом числе опытов (N = 250) точного
согласия между ними быть не может. Это объясняется тем, что любая
отдельная серия измерений содержит элемент случайности, в результате
чего появляется возможность некоторого отклонения от теоретических
оценок.
6. Вычислите стандартную погрешность результата Δ n по формулам
(12а) и (12б). Сравните результаты расчетов.
7. Вычислите относительную погрешность отдельного измерения Еотд
по формулам (10а) и (10б). Сравните результаты расчетов.
8. Вычислите относительную погрешность результата измерения En по
формулам (14а) и (14б). Сравните результаты расчетов.
Результаты работы
В отчете должны быть представлены следующие результаты работы.
1. Таблица, в которую сведены все измеренные и вычисленые
значения,необходимые для построения двух гистограмм.
2. Построенные на миллиметровой бумаге гистограмма распределения
вероятностей регистрации числа частиц, характеризующая зависимость Wi
= f(ni ) и гистограмма отклонений от среднего числа частиц,
характеризующая зависимость NΔni = f(Δni).
3. В отчете должны быть приведены также все данные,
характеризующие интенсивность радиоактивного фона, т.е. среднее число
зарегистрированных частиц, стандартные и относительные погрешности,
рассчитанные в соответствии с требованиями, перечисленными в
настоящей работы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Руководство к лабораторным занятиям по физике / Под ред. Л.Л.
Гольдина. М.: Наука, 1973.
Лабораторная работа 3
ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ
НА ПРИБОРЕ АТВУДА
Цель работы: опытное изучение равноускоренного движения и
нахождение ускорения свободного падения.
23
Основные теоретические положения
Схема экспериментальной установки приведена на рис. 1. Одним из
элементов установки является блок, который может вращаться с малым
сопротивлением вокруг неподвижной оси. Через ролик блока проходит
нить с двумя одинаковыми грузами каждый массой M. Если на одну из
сторон блока добавить небольшой перегрузок массой m, то блок придет в
движение.
Рис.1
Найдем ускорение грузов. Составим систему уравнений на основе
второго закона Ньютона, пренебрегая моментом инерции ролика,
сопротивлением воздуха и силами сопротивления в установке. Если
считать нить невесомой и нерастяжимой, то сила натяжения нити Т на всех
участках одинакова и все грузы движутся с одним и тем же ускорением а.
Определим силы, действующие на каждый из грузов. На груз с лежащим
на нем перегрузком действуют: Mg – сила тяжести; T – сила натяжения
нити; F – сила давления перегрузка. Записывая второй закон Ньютона для
этого груза в проекциях на выбранное направление, получаем
Mg+F–T=Ma.
(1)
На второй груз действуют: Mg – сила тяжести, T – сила натяжения
нити. Записывая второй закон Ньютона для второго груза в проекциях на
выбранное направление, получаем
T–Mg=ma.
(2)
24
На перегрузок действуют: mg – сила тяжести, N – сила реакции опоры.
Записывая второй закон Ньютона для перегрузка в проекциях на
выбранное направление, получаем
mg–N=ma.
(3)
Складывая уравнения (1)-(3) и учитывая, что F=N, получаем
a = mg / (2M+m),
(4)
где g – ускорение свободного падения.
С этим ускорением грузы блока проходят путь S0, в конце которого
располагается кольцо P. На кольце перегрузок m отцепляется, и дальше
грузы М движутся равномерно, проходя путь S.
Скорость равномерного движения грузов -υ:
υ = at 0 =
S
,
t
(5)
где t0 – время ускоренного движения,
t – время равномерного движения.
Объединяя (4) и (5), найдем выражение для земного ускорения
свободного падения
g=
2M + m S 2
.
m
2S 0 t 2
(6)
На участке равноускоренного движения
at 02
S0 =
.
2
(7)
Из (4) и (7) получим
S0 =
S2
.
2at 2
(8)
Как показывает формула (8), для фиксированных значений ускорения
между параметрами S0 и S2/t2 существует линейная зависимость.
Вопросы к зачету
1. Запишите систему уравнений, описывающих динамику машины
Атвуда на участке пути равноускоренного движения.
2. Получите формулу (1).
3. Как изменится ускорение движения грузов (формула 4), если учесть
влияние момента инерции ролика блока?
4. От каких параметров зависит ускорение свободного падения g в
реальных условиях Земли?
5. Чем неточна рабочая формула (6) для определения ускорения
свободного падения g?
6. Получите формулу для расчета погрешности косвенного измерения g
при использовании соотношения (6).
25
Описание лабораторной установки
На рис.2 представлена конструкция лабораторной установки. На
верхней втулке при помощи верхнего диска (8) закреплен узел
подшипника ролика (9), ролик (10) и электромагнит (11).
Через ролик проходит нить (12) с привязанными на ее концах грузами
(13) и (14). Электромагнит удерживает систему ролика с грузами в
состоянии покоя. Для определения длин путей равноускоренного и
равномерного движений на колонне имеется миллиметровая шкала (15).
На
среднем
кронштейне
закреплен
кронштейн
(16)
и
фотоэлектрический датчик (17). Этот кронштейн снимает с двигающегося
вниз груза дополнительный перегрузок (14), а фотодатчик в этот момент
вырабатывает электроимпульс, сигнализирующий о начале равномерного
движения грузов. Нижний кронштейн оснащен двумя кронштейнами (18) с
резиновыми амортизаторами, в которые ударяются завершающие свое
движение грузы, и фотоэлектрическим датчиком (19) с оптической осью на
уровне указателя положения кронштейна. На основании прибора
находится секундомер (20).
Рис.2.
Порядок выполнения работы
26
1. На правый груз положить один из дополнительных перегрузков.
2. Согласовать нижнюю грань правого груза с чертой, нанесенной на
верхнем кронштейне.
3. Измерить при помощи шкалы на колонке заданные пути
равноускоренного S0 и равномерного S движений груза.
4. Нажать клавишу «пуск».
5. Прочитать измеренное значение времени движения груза на пути S.
6. Измерения повторить 5 раз.
7. Измерения повторить с двумя другими перегрузками и в каждом
случае для новых значений S и S0.
Все измерения занести в таблицу:
№ п/п
m=
S0 =
S=
t
m=
S0 =
S=
t
m=
S0 =
S=
t
1.
2.
3.
4.
5.
M = 60,00 ± 0,01г; m = 6,50 ± 0,01г; m = 8,50 ± 0,01г; m = 10,50 ± 0,01г.
Обработка результатов измерений
1. Используя данные таблицы, найдите средние величины t и полные
погрешности всех измеряемых величин: m, M, S0, S, t.
2. С помощью формулы (6) определите значение ускорения свободного
падения g для всех трех значений S0 и S.
3. Рассчитайте полные погрешности измерений g с учетом случайных
(для t) и систематических (для t, m, M, S0, S) погрешностей.
4. Определите относительную погрешность измерений g по формуле:
δ=
(g
щм
− g тео р
g тео р
) 100% ,
где gщм - земное ускорение, определенное экспериментально,
gтеор - теоретическое значение земного ускорения.
5. Постройте графическую зависимость (М/m+½)(S/t)2 от S0 , используя
метод наименьших квадратов. По наклону этой зависимости определите
gэксп.
27
СПИСОК ЛИТЕРАТУРА
1. Савельев И.В. Курс общей физики. §§ 14, 21.
2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Механика. Т. 1. §§ 11, 60.
3. Киттель Ч., Найт У., Рудерман М. Механика. §§ 3.1, 3.9.
Лабораторная работа 4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТРЕНИЯ КАЧЕНИЯ МЕТОДОМ
ИССЛЕДОВАНИЯ КОЛЕБАНИЙ НАКЛОННОГО МАЯТНИКА
Цель работы: ознакомление с явлением трения качения в наклонном
маятнике. Определение коэффициента трения качения методом
исследования колебаний наклонного маятника.
Основные теоретические положения
На любое движущееся тело действуют силы трения. Природа этих сил
может быть различной, но в результате их действия всегда происходит
превращение механической энергии во внутреннюю энергию трущихся
тел, то есть энергию теплового движения частиц.
В механике различают два вида трения: сухое (или внешнее) между
твердыми телами и внутреннее (или вязкое) между слоями жидкости или
газа.
Внешним трением называется явление возникновения в месте контакта
двух соприкасающихся тел касательных сил, препятствующих
перемещению этих тел.
Внешнее трение между движущимися относительно друг друга телами
называется кинематическим. Внешнее трение между взаимно
неподвижными телами называется трением покоя. Оно проявляется в том,
что
для
возникновения
относительного
перемещения
двух
соприкасающихся тел к одному из них нужно приложить внешнюю силу F
> F0, где F0 - так называемая предельная сила покоя. В зависимости от
характера относительного движения различают трение скольжения,
возникающее при поступательном перемещении (скольжении) одного тела
по поверхности другого, и трение качения, возникающее тогда, когда одно
тело катится по поверхности другого.
Сила трения скольжения, возникающая при скольжении сухих
поверхностей тел относительно друг друга, в основном вызывается
механическим зацеплением между неровностями поверхностей и
28
взаимодействием между составными частями молекул в областях их
непосредственного соприкосновения.
В приближенных расчетах можно считать, что величина силы трения
скольжения
пропорциональна
силе
нормального
давления,
а
следовательно, и силе реакции опоры, действующей на тело:
(1)
Fт р = f k N ,
где f k - безразмерный коэффициент трения скольжения, зависящий от
свойств материалов обоих тел.
Коэффициент трения зависит также от множества других факторов:
качества обработки трущихся поверхностей, наличия на них загрязнения,
скорости скольжения и так далее.
При качении тела вращения (шара, цилиндра, диска и т. д.) по плоской
поверхности тело и поверхность в области соприкосновения
деформируются. Деформация является неупругой, поэтому линия действия
силы реакции поверхности R не совпадает с линией действия силы
нормального давления N (рис. 1.)
Рис. 1.
Нормальная к плоскости составляющая N силы R численно равна силе
нормального давления, а горизонтальная составляющая Fт р.к . представляет
собой силу трения качения. В первом приближении можно считать, что
N
(2)
Fтр.к. = f k ,
r
где r - радиус катящегося колеса, fk - коэффициент трения качения.
Коэффициент трения качения имеет размерность длины и зависит от
материала тел, состояния их поверхностей и ряда других факторов. Трение
качения значительно меньше трения скольжения, поэтому повсюду, где
возможно, трение скольжения колеса заменяют трением качения
(использование шариковых и роликовых подшипников и так далее).
Одним из экспериментальных методов определения коэффициента
трения качения является метод наблюдений колебаний наклонного
29
маятника. Наклонный маятник состоит из небольшого шарика,
подведенного к неподвижной опоре на длинной тонкой нити.
При колебаниях маятника шарик катится по исследуемому образцу,
при этом возникает сила трения качения, вызывающая затухание
колебаний маятника. Нить маятника и образец наклонены относительно
вертикали на одинаковый угол.
Рис. 2.
Шарик движется под действием следующих сил: силы тяжести mg ,
силы натяжения нити T , силы реакции образца N и силы трения качения
Fтр.к. . Результирующая всех сил - возвращающая сила Fе – стремится
вернуть маятник в положение равновесия. На рис. 2 схематически
изображен вид наклонного маятника сбоку, β - угол наклона образца
относительно вертикали.
Силу тяжести mg можно разложить на две составляющие: FH и T ′ .
Составляющая FH - сила нормального давления, уравновешивается силой
реакции образца N и определяет силу трения качения. На рис. 2 видно, что
FH = mg sin β .
(3)
Сила T ′ является проекцией силы тяжести mg на плоскость, в которой
колеблется нить маятника (плоскость колебаний), откуда следует:
T ′ = mg cos β .
(4)
30
Рис. 3.
На рис. 3 изображена плоскость колебаний. При отклонении маятника
на небольшой угол α от положения равновесия возникает сила Fе
(возвращающая), направленная в сторону уменьшения α. Она равна
FB = T ′ sin α .
(5)
Сила трения качения, возникающая при движении шарика, направлена
противоположно Fе .
Пусть в некоторый момент времени шарик отклоняется на
максимальный угол αi. Полная энергия i-го колебания Е(i) без учета трения
равна работе по подъему шарика на малый угол αi. Элементарная работа,
совершаемая при отклонении шарика на малый угол dα, равна
dA = FB dS = FB l dα ,
(6)
где dS - дуга, которую описывает шарик при его отклонении на малый
угол dα;
l - расстояние от оси вращения до центра шарика.
Тогда полная энергия i-го колебания будет равна
E
(i )
=A
(i )
=
αi
∫ FB l dα .
(7)
0
Подставляя в (7) выражения (5) и (4), получим:
E
(i )
αi
= ∫ mgl cos β sin α dα = mgl cos β(1 − cos α i ) .
(8)
0
Действие силы трения качения вызывает уменьшение энергии
колебаний. Полагая, что за период амплитуда колебаний изменяется мало,
из выражения (8) получим выражение для изменения энергии за период:
ΔE (i ) = mgl cos β sin α i Δα i ,
(9)
где Δα i - уменьшение отклонения маятника за i-е колебание.
31
Изменение энергии за период равно работе сил трения во время i-го
колебания. Эта работа равна
(i )
Aтр
= 4 Fтр.к.lα i .
(10)
Подставляя в (10) выражение (2) и учитывая, что N = Fн , получим
Fн
mg sin β
⎛ (i )
⎞ i)
(11)
lα i ⎟ A.(тр
lα i .
⎜ Aтр. = 4 f k
. = 4 fk
r
r
⎝
⎠
С учетом (3) выражение (11) перепишется в виде
mg sin β
(i )
Aтр
lα i .
(12)
. = 4 fk
r
Приравнивая (9) и (12) и учитывая, что при малых углах отклонения
(αi = 4…5°) sin α i ≈ α i , получим выражение для Δαi:
f
Δα i = 4 k tg β .
(13)
r
Уменьшение максимального угла отклонения за n колебаний при не
слишком большом числе колебаний (не более 10) найдем суммированием
всех Δαi за n колебаний
n
f
(14)
∑ Δα i = 4n rk tg β .
i =1
На основании (14) можно записать
f
(15)
α 0 − α n = 4n k tg β ,
r
где α 0 - угол начального отклонения маятника,
α n - угол отклонения после n полных колебаний.
Из (15) получим выражение для расчета коэффициента трения качения
α − αn
fk = r 0
ctg β .
(16)
4n
Вопросы к зачету
1. В чем заключается явление трения?
2. Какие виды трения вы знаете?
3. Напишите формулы для силы трения скольжения и силы трения
качения.
4. Объясните, почему силы трения качения вызываются неупругими
деформациями.
5. Что из себя представляет наклонный маятник?
6. Какие силы действуют на шарик в наклонном маятнике?
7. Выведите формулу для расчета коэффициента трения качения.
32
Описание лабораторной установки
В комплект лабораторной установки входят:
1) наклонный маятник ГРМ - 0,7;
2) набор образцов поверхностей и шариков.
Прибор «наклонный маятник ГРМ - 0,7» предназначен для определения
коэффициента трения качения. Лабораторная установка представлена на
рис.4. На основании 2, оснащенном четырьмя ножками с регулируемой
высотой, закреплена труба 3, на которой смонтирован корпус 4 с
червячной передачей. Червячная передача соединена с кронштейном 5. На
кронштейне закреплена шкала 6, по которой отсчитывают угол отклонения
маятника α и шкала 7, на которой устанавливается угол наклона образца β.
В кронштейне закреплена колонка 8, к которой подвешен на нити шар с
водилом 9. В кронштейне 5 по направляющим вставляются образцы 10.
Для установки угла наклона образца используется рукоятка 11. К
кронштейну 5 прикреплен фотоэлектрический датчик 12, соединенный с
миллисекундомером 1.
Рис.4
Во время колебаний наклонного маятника прерывается световой поток
от электролампочки, направленной на фотоэлектрический датчик. В
результате этого в цепи датчика генерируются электрические импульсы,
которые после усиления подводятся к выходу миллисекундомера.
Порядок выполнения работы
33
1. Измерить штангенциркулем диаметр шарика (d = 2r) в трех местах.
Результат занести в табл. 1.
Таблица 1
r = d 2 , (м)
rср, (м)
Δr,(м)
2. Установить угол наклона образца β = 30°.
3. Отклонить шар из положения равновесия на угол αо = 4 – 5° и
отпустить его. В этот момент начать отсчет числа колебаний, который в
данной работе удобнее производить визуально.
4. После 10 колебаний маятника быстро произвести отсчет угла αn по
угловой шкале прибора.
5. Измерение для угла αn и для угла β = 30° повторить 3 - 5 раз.
Результаты измерений занести в табл. 2.
6. Повторить опыт для углов β = 45° и β = 60°.
7. По указанию преподавателя выполнить измерения для других шаров
и образцов.
Вычисление и обработка результатов
1. Вычислить среднее значение угла отклонения маятника αn и
среднюю абсолютную погрешность его измерения для каждого угла β
наклона маятника. Результаты измерений занести в табл. 2.
2. По формуле (16) рассчитать коэффициент трения качения f k для
каждого угла β. При вычислениях f k значения углов αо и αn брать в
радианах (1° = π/180° рад = 1,75⋅10-2 рад).
3. Вывести формулу для расчета погрешности измерения f k .
4. Вычислить отдельно для каждого угла наклона β погрешности
измерения f k .
5. Результат всей работы определяется как среднее значение f k и Δf k из
опытов: f k = f k с р. ± Δf k с р. .
Таблица 2
Угол наклона β
30°
(градусы)
ctg β
Число колебаний
n
Номер опыта
1
2
34
α
α Δαn
o
n
45°
60°
Углы отклонения (градусы)
αо-α α α Δαn αо-α α α Δαn αо-α
n
o
n
n
o
n
n
3
4
5
Средние
значения
Коэффициент
трения качения
f k (м)
Среднее
значение f k с р. (м)
Погрешность
Δf k
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. М.: Высш. шк., 1986.
§56.
2. Савельев И.В. Курс общей физики. М.: Наука, 1982. Т.1. № 15, 54.
Лабораторная работа 5
ИССЛЕДОВАНИЕ СТОЛКНОВЕНИЙ ШАРОВ
Цель работы: экспериментальное подтверждение закона сохранения
импульса при упругом и неупругом ударах шаров.
Основные теоретические положения
В замкнутой системе при центральном абсолютно упругом ударе двух
шаров выполняется закон сохранения механической энергии и закон
сохранения импульса:
m1 υ12 m 2 υ22 m1u12 m2 u 22
+
=
+
;
(1)
2
2
2
2
m1 υ1 + m 2 υ2 = m1u1 + m 2 u 2 ,
(2)
где т1, т2 – массы шаров;
υ1 , υ 2 – скорости шаров до удара;
u1 , u 2 – скорости шаров после удара.
В данной работе два шара висят на нитях равной длины l (рис. 1). Если
шар с массой т1 отклонить на угол α1 и отпустить, то в момент удара он
будет иметь скорость υ1 . Эту скорость можно определить, исходя из закона
сохранения механической энергии. Шар, поднятый на высоту h над
35
положением равновесия, обладает потенциальной энергией m1gh, которая в
процессе движения переходит в кинетическую энергию, причем
m1 υ12
,
(3)
m1 gh =
2
где g – ускорение свободного падения.
Рис. 1.
В данном опыте проще и точнее измерить не высоту подъема h, а
угловое расстояние α1 (угол α1), с которого пускается шар. Из рис. 1
следует, что
h = l – l cosα1 = l (1 – cosα1) = 2 l sin2 (α1 /2).
(4)
Из равенства (3) с учетом формулы (4) получим формулу для скорости
ударяющего шара:
α
υ1 = 2 gh = 2 gl ⋅ sin ⎛⎜ 1 ⎞⎟ .
(5)
⎝ 2⎠
Импульс шаров до столкновения (второй шар покоится) равен:
(6)
P = m1 υ1 ,
где т1 – масса ударяющего шара вместе с подвеской;
υ1 – скорость ударяющего шара.
Суммарный импульс шаров после упругого удара определяется по
формуле:
P ′ = m1u1 + m2 u 2 ,
(7)
где т2 – масса ударяемого шара с подвеской;
u1 – скорость ударяющего шара после столкновения;
u 2 – скорость ударяемого шара после столкновения.
Скорости u 1 и u 2 рассчитываются по формулам:
α′
u1 = 2 gl sin ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ;
(8)
⎝ 2⎠
α′
u 2 = 2 gl sin⎛⎜ 2 ⎞⎟ ,
(9)
⎝ 2⎠
где α1′ – угловое расстояние, на которое после столкновения отскочил
ударяющий шар;
36
α ′2 – угловое расстояние, на которое после столкновения отскочил
ударяемый шар.
При неупругом ударе в замкнутой системе часть механической энергии
переходит во внутреннюю энергию шаров и выполняется только закон
сохранения импульса. После неупругого столкновения оба шара движутся
с общей скоростью u и суммарный импульс шаров будет равен:
(10)
P ′′ = (m1 + m2 )u .
Общая скорость шаров u определяется по формуле:
′′
u = 2 gl sin ⎛⎜ α 2 ⎞⎟ ,
(11)
⎝ 2⎠
где α′2′ – угловое расстояние, на которое после столкновения отскочат оба
шара.
m1 υ1 = (m1 + m 2 )u .
(12)
Тогда
Вопросы к зачету
1. Что называется импульсом тела?
2. Какая система называется замкнутой, или изолированной?
3. Сформулируйте закон сохранения импульса.
4. Какие виды энергии вам известны? Дайте определения механической, кинетической , потенциальной и внутренней энергии.
4. Что называется упругим и неупругим ударом?
5. Запишите законы сохранения энергии и импульса для данной
установки при упругом и неупругом ударе?
6. Каково должно быть соотношение между массами соударяющихся
шаров для максимальной передачи кинетической энергии от ударяющего
шара покоящемуся?
7.По каким причинам закон сохранения импульса не будет точно
выполняться в реальных условиях лаборатории?
Описание лабораторной установки
Общий вид установки для исследования столкновения шаров
представлен на рис. 2.
Прибор FPM-08 размещается на основании 1, которое выравнивается с
помощью регулируемых ножек (2). К колонке (3) прикреплены нижний
кронштейн (4) и верхний (5). На верхнем кронштейне с помощью
элементов (6) и (7) задается расстояние между шарами. Через подвесы
шаров к ним подводится электрическое напряжение. На нижнем
кронштейне (4) закреплены подвижные шкалы (8) и (9) и электромагнит
(10), который может передвигаться вдоль шкалы и высоту установки
которого можно фиксировать болтами.
На основании прибора (1) размещен микросекундомер (11), от которого
подается напряжение на шары и электромагнит.
37
Рис.2.
Порядок выполнения работы
1. Навинтить на подвес два произвольно выбранных шара с
одинаковым номером и установить между ними расстояние, при котором
они соприкасаются друг с другом, а лезвия подвесов находятся в одной
плоскости со шкалами, при этом черты на шариках должны находиться на
одном уровне. В положении покоя лезвия подвесов должны показывать на
шкалах нуль.
2. Установить электромагнит на такой высоте, чтобы его ось была
продолжением черты на шаре.
3. Включить микросекундомер с помощью кнопки «сеть» и с помощью
регулятора установить в электромагните такую силу тока, при которой
правый шар удерживается им. Определить по угловой шкале угол α1 и
записать значение α1.
4. С помощью кнопки «сброс» занулить счетчик времени. Индикаторы
секундомера должны высвечивать нули.
5. Нажать кнопку «пуск», в результате чего правый шар придет в
движение и столкнется с неподвижным левым шаром. После столкновения
шаров определить по угловой шкале углы α1′, α 2′ , α 2′′ и записать в табл. 1.
6. Записать продолжительность времени столкновения шаров t.
7. Отжать кнопку «пуск» и отодвинуть правый шар в сторону
электромагнита, который будет удерживать шар в этом положении.
8. Измерения углов α1′, α 2′ , α 2′′ и времени t провести п = 10 раз
согласно пунктам 4-7.
9. После измерений выключить микросекундомер с помощью кнопки
«сеть»
38
10. Измерить длину подвеса шаров l как расстояние между центром
шара и стержнем верхнего кронштейна.
Таблица 1
Номер опыта
Измеряемые величины
α 2′
α1′
α 2′′
1
2
.
.
.
10
Средние значения
Вычисления и обработка результатов
1. Вычислить средние значения углов α1′, α 2′ , α 2′′ .
2. Произвести расчет скоростей шаров до и после удара по формулам
(5), (8), (9) или (11).
3. Вычислить импульсы шаров до и после удара по формулам (6), (7)
или (10). Массы шаров указаны на лабораторной установке.
Расчеты провести для шаров трех типов и данные свести в табл. 2.
4. Проверить равенства (6) и (12), сделать вывод.
Таблица 2
№
Тип
шара
Скорость до
удара
υ1
υ2
Скорость
после упруг.
удара
u1
Скорость
после неупр.
удара
Значения импульсов
u
до уда- после удара
ра Р
Р′
Р′′
u2
1.
2.
3.
5. Определить
импульсов
относительное отклонение
Ε=
от закона сохранения
P − P′
,
P
где Р – импульс системы шаров до удара;
Р′ – импульс системы шаров после удара.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. М.: Высш. шк., 1986.
Гл. 10.
39
2. Савельев И.В. Курс общей физики. М.: Наука, 1982. Т.1. §24, 27, 28.
40
2. Произвести расчет скоростей шаров до и после удара по формулам
(5), (8), (9) или (11).
3. Вычислить импульсы шаров до и после удара по формулам (6), (7)
или (10). Массы шаров указаны на лабораторной установке.
Расчеты провести для шаров трех типов и данные свести в табл. 2.
4. Проверить равенства (6) и (12), сделать вывод.
Таблица 2
№
Тип
шара
Скорость до
удара
υ1
υ2
Скорость
после упруг.
удара
u1
Скорость
после неупр.
удара
Значения импульсов
u
до уда- после удара
ра Р
Р′
Р′′
u2
1.
2.
3.
5. Определить
импульсов
относительное
Ε=
отклонение
от закона сохранения
P − P′
,
P
где Р – импульс системы шаров до удара;
Р′ – импульс системы шаров после удара.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. М.: Высш. шк., 1986.
Гл. 10.
2. Савельев И.В. Курс общей физики. М.: Наука, 1982. Т.1. §24, 27, 28.
Лабораторная работа 6
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ СНАРЯДА
С ПОМОЩЬЮ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Цель работы: с помощью баллистического крутильного маятника,
принцип действия которого основан на использовании законов сохранения
механической энергии и момента импульса, определите скорости снарядов;
изучить зависимость скоростей снарядов от их массы.
Теоретическая часть
Крутильный маятник состоит из упругой нити, к которой подвешены
стержни с передвижными грузами и мисочками. Снаряд, выстреливаемый
39
из ускоряющего устройства, вклеивается в пластилин, находящийся в
одной из мисочек крутильного маятника (рис. 1).
Рис. 1.
В результате передачи крутильному маятнику от снаряда момента
импульса он приходит во вращение и отклоняется на некоторый угол,
который зависит от переданного момента импульса и параметров системы.
Будем считать крутильный маятник и снаряд замкнутой системой, а
моментом сил трения пренебрежем. Используя законы сохранения момента
импульса и полной механической энергии, выразим скорость снаряда через
основные параметры системы. Если считать удар полностью неупругим, то
закон сохранения момента импульса применительно к системе снаряд –
маятник имеет вид
mυR = J1ω0,
(1)
где т – масса снаряда,
υ– его скорость,
R – расстояние от оси вращения до точки попадания в пластилин,
J1 – момент инерции маятника,
ω0 – начальная угловая скорость вращения маятника со снарядом.
Закон сохранения полной механической энергии (после удара) дает
J 1ω 02 Gα 02
,
=
2
2
(2)
где G –модуль кручения,
α0 – максимальный угол поворота маятника.
Из (1) и(2) получим:
υ2 =
Gα 02 J 1
.
m2 R2
(3)
В выражении (3) неизвестен момент инерции J1 ситемы и модуль
кручения проволоки G.
Момент инерции крутильного маятника определяет его период собственных колебаний
40
T1 = 2π
J1
G.
(4)
Для исключения величины G можно поступить следующим образом.
Изменим момент инерции маятника, изменив расстояние между грузами.
Тогда
T2 = 2π
J2
G;
J1 – J2 = ΔJ,
где Т2 – период колебаний при новом значении момента инерции J2;
ΔJ – разность моментов инерции.
Уравнения (4) и (5) дают
J1 T12
=
.
J 2 T22
(5)
(6)
(7)
Из уравнений (6) и (7) получаем:
T12
J1 = 2
ΔJ .
T1 − T22
(8)
Подставляя выражение (8) в (3), получим:
2πα 0
T
⋅ 2 1 2 ΔJ .
υ=
(9)
mR T1 − T2
Величину ΔJ можно определить, пользуясь теоремой Гюйгенса –
Штейнера:
J 1 = J 0 + 2Mr12 ;
(10)
J 2 = J 0 + 2Mr22 .
(11)
где J0 – момент инерции маятника, когда центры тяжести грузов
максимально приближены к оси вращения маятника;
J1 – момент инерции, когда оба груза находятся на расстоянии r1 от оси
вращения;
J2 – момент инерции, когда оба груза находятся на расстоянии r2;
М – масса одного груза.
Пусть r1 > r2, тогда
ΔJ = J 1 − J 2 = 2 M (r12 − r22 ) .
(12)
Уравнения (9) и (12) дают окончательный результат:
T
4πα
⋅ 2 1 2 ⋅ (r12 − r22 ) .
υ=M
(13)
mR T1 − T2
Угол α0 измеряется в радианах.
Вопросы к зачету
1. Сформулируйте законы сохранения момента импульса и закон
сохранения энергии для баллистического маятника.
41
2. Дайте определение моменту инерции абсолютно твердого тела
относительно оси. Каков его физический смысл?
3.Сформулируйте теорему Гюйгенса – Штейнера и поясните
происхождение соотношений (10) и (11).
4. Напишите формулу для периода крутильных колебаний маятника.
Каков физический смысл модуля кручения?
5. Объясните суть метода измерения скорости полета снаряда при
помощи баллистического крутильного маятника. Получите формулу (13)
для скорости снаряда.
6. Увеличится или уменьшится угол отклонения маятника, если удар
вместо абсолютного неупругого считать абсолютно упругим?
Описание лабораторной установки
Общий вид баллистического маятника показан на рис. 2.
Основание (1) оснащено регулируемыми ножками (2), которые
позволяют выравнивать прибор, в основании закреплена колонна (3), на
которой закреплены верхний кронштейн (4), нижний кронштейн (5) и
средний кронштейн (6). Кронштейны 4 и 5 имеют зажимы, служащие для
крепления стальной проволоки 13, на которой подвешен маятник. К
среднему кронштейну прикреплено стреляющее устройство 7 в виде
пружинного пистолета, прозрачный экран с угловой шкалой 8 для
измерения угла отклонения маятника и фотоэлектрический датчик 9 для
счета числа крутильных колебаний маятника. Маятник состоит из 2-х
мисочек, наполненных пластилином (10), двух перемещаемых грузов (11),
двух стержней (12), водила (14).
Рис. 2.
42
Порядок выполнения работы
Измерения проводятся в следующей последовательности.
1. Максимально приблизить грузы друг к другу (r2 – минимум).
Обнулить маятник, т.е. установить его в таком положении,чтобы черта
на мисочке с пластилином совпадала с чертой 00 угловой шкалы α .
2. Выбрать один из снарядов и зарядить пружинный пистолет.
После выстрела по шкале измерить угол отклонения маятника α0 (α 01 ) .
3. Повторить операцию 2 не менее 3 раз и занести данные в табл. 1.
4. Включить и обнулить счетчик времени.
5. После выстрела измерить время для 10 колебаний и данные занести в
таблицу.
6. Далее максимально отдалить друг от друга грузы (r1 – максимум) и
повторить действия согласно пунктам 2-4.
7. После выстрела измерить время 10 колебаний и занести в табл. 1.
Таблица 1
Число колебаний п =10
№
r1
r2
α 0′
α 0′′
t1
t2
T1
T2
1
2
3
Средние
значения
8. Повторить все действия для другого снаряда и результаты также
занести в табл. 1.
Примечания. 1. В таблице α 0′ – максимальное угловое отклонение маятника для одной пули, а α0′′ – для другой.
2. Масса пули т′ = 2.050 (± 0.005) г;
масса пули т′′ = 0.500 (± 0.005) г;
R = 120 мм.
Вычисления и обработка результатов измерений
1. Пользуясь данными табл. 1, определить средние значения величин T1,
T2 и их погрешности.
2. Вычислить скорости снарядов по формуле (13).
3. Получить формулу для вычисления погрешности скорости полета
снаряда. Вычислить погрешности.
4. Сравнить скорости снарядов с разными массами. Сделать вывод.
43
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. М.: Высш. шк., 1986.
§ 32, 24, 25.
Лабораторная работа 7
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
С ПОМОЩЬЮ КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА
Цель работы: экспериментальное определение момента инерции
твердого тела относительно произвольной оси методом крутильных
колебаний.
Основные теоретические положения
При вращательном движении твердого тела относительно неподвижной
оси момент импульса связан с вектором угловой скорости соотношением:
L = Jω ,
(1)
где L – момент импульса твердого тела;
J – момент инерции относительно оси вращения;
ω – вектор угловой скорости тела.
Основной закон динамики вращательного движения в этом случае
принимает вид:
dL d ( Jω )
(2)
=
=M,
dt
dt
где M – суммарный момент внешних сил относительно закрепленной оси.
Дифференцируя выражение в круглых скобках, получим:
J
Так
как
dω
= M.
dt
вращательное
(3)
движение
закрепленной оси, то векторы ω , β =
происходит
относительно
dω
и M коллинеарны и уравнение
dt
(3) может быть записано в скалярном виде:
J⋅
dω ′
=M.
dt
(4)
При рассмотрении свободных крутильных колебаний единственным
моментом сил является момент сил кручения, величина которого
определяется соотношением:
(5)
М = – Dϕ,
где D – модуль кручения;
ϕ – угол кручения.
44
Знак (–) в (5) указывает на то, что момент сил кручения направлен
против изменения угла кручения. Подставляя (5) в (4) и учитывая связь
между угловой скоростью и углом поворота, получим:
J
dω
d 2ϕ
= J 2 = − Dϕ
dt
dt
(6)
или
d 2ϕ Dϕ
+
= 0.
J
dt 2
Уравнение (7) представляет
колебаний. Его решение имеет вид:
ϕ = ϕ 0 cos(ω 0 t + θ ) ,
где ϕ 0 – амплитуда колебаний;
ω0 =
(7)
собой
уравнение
гармонических
(8)
D
– собственная частота колебаний;
J
θ – начальная фаза.
Период колебаний крутильного маятника:
T=
2π
ω
= 2π
J
D
(9)
зависит от момента инерции вращающегося тела.
Соотношение (9) можно использовать для экспериментального нахождения момента инерции твердого тела, участвующего в крутильных
колебаниях, по измеренному периоду колебаний Т крутильного маятника:
J=
T2 ⋅ D
.
(10)
( 2π ) 2
Крутильный маятник можно использовать для измерения моментов
инерции только симметричных тел, у которых центр масс лежит на оси
вращения.
Вычисление момента инерции представляет собой в общем случае
сложную задачу. Однако если плотность тела во всем объеме тела
постоянна (однородные тела) и если тело имеет правильную
геометрическую форму, то вычисление момента инерции тел относительно
главных осей можно осуществить при помощи интегрирования. Ниже
приведены результаты таких вычислений для некоторых тел.
1. Момент инерции сплошного цилиндра (диска) относительно оси,
совпадающей с осью симметрии.
J=
1
mR 2 ,
2
(11)
где m– масса цилиндра;
R – радиус основания цилиндра.
45
2. Момент инерции полого толстостенного цилиндра (кольца) относительно оси, совпадающей с осью симметрии.
J =
(
)
1
m R 12 − R 22 ,
2
(11)
где R1 – внешний радиус цилиндра;
R2 – внутренний радиус цилиндра.
3. Момент инерции полого тонкостенного цилиндра (обруча) относительно оси, совпадающей с осью симметрии.
J = mR 2 ,
(12)
где R – радиус цилиндра.
4. Момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр
шара.
J=
2
mR 2 ,
5
(13)
где R – радиус шара.
5. Момент инерции длинного тонкого стержня относительно оси,
проходящей через середину стержня и перпендикулярной стержню.
46
1
mL2 ,
12
J=
(14)
где L – длина стрежня.
L
6. Моменты инерции сплошного прямоугольного параллелепипеда
относительно главных осей инерции, проходящих через центры
противоположных граней.
1
m( a 2 + b 2 ) ;
12
1
J O2 O2 = m(b 2 + c 2 ) ;
12
1
J O3 O3 = m ( a 2 + c 2 ) ,
12
J O1O1 =
(15)
где a, b, c – длины ребер параллелепипеда.
с
b
а
В случае тел, имеющих сложную геометрическую форму, или
произвольной
оси
вращения
более
простым
представляется
экспериментальное определение момента инерции методом крутильных
колебаний.
В данной работе исследуемым телом является куб или параллелепипед.
Вначале нужно определить период ТО крутильных колебаний исследуемого
тела относительно одной из главных осей инерции (момент инерции
относительно главной оси может быть вычислен по известным формулам).
Для определения момента инерции исследуемого тела относительно
некоторой оси необходимо измерить период ТХ крутильных колебаний
тела относительно этой оси.
Отношение этих периодов даст следующую пропорцию:
TX
=
TO
JX
.
JO
(16)
47
Из нее получим выражение для момента инерции тела JX относительно
некоторой произвольной оси:
2
⎛ TX ⎞
J X = JO ⎜ ⎟ .
⎝ TO ⎠
(17)
Вопросы к зачету
1. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения
твердого тела. Дайте определение всех величин, входящих в него.
2. Что называется моментом инерции материальной точки и твердого
тела относительно оси вращения? Каков его физический смысл?
3. Что называется главными осями инерции тела?
4. Какие способы для определения моментов инерции симметричных
тел вы можете предложить?
5. Напишите основное уравнение динамики для тела, совершающего
крутильные колебания.
6. По какому закону меняется угол поворота тела при крутильных
колебаниях?
7. Дайте определение амплитуды, частоты, периода и фазы
гармонических колебаний.
8. От чего зависит период свободных крутильных колебаний?
9. Что такое деформация кручения? Что такое модуль кручения и от
чего он зависит?
10. Сравните между собой метод крутильных колебаний и метод
интегрирования, используемые для определения осевых моментов
инерции, по точности и информативности.
Описание лабораторной установки
В комплект лабораторной установки входят крутильный маятник FРМ05 и набор исследуемых тел (куб и два параллелепипеда). Крутильный
маятник (рис. 1) предназначен для определения моментов инерции твердых
тел при помощи крутильных колебаний.
На основании установки (2), оснащенном четырьмя ножками с
регулируемой высотой, прикреплен миллисекундомер (1), а также
закреплена колонка (3), на которой при помощи прижимных винтов
закреплены кронштейны (4) и (6). Кронштейны (4) и (6) имеют зажимы,
служащие для закрепления стальной проволоки, на которой подвешена
рамка (7). На кронштейне (5) закреплена стальная планка (8), которая
служит основанием фотоэлектрическому датчику (9), электромагниту (10)
и угловой шкале (11). Электромагнит (10) может изменять положение на
планке, а его положение относительно фотоэлектрического датчика
показывает на угловой шкале стрелка, прикрепленная к электромагниту.
48
Рис. 1.
Конструкция рамки позволяет закреплять исследуемые тела (12),
значительно отличающиеся друг от друга по внешним размерам.
Исследуемые тела крепятся при помощи подвижной балки, которая
перемещается по направляющим между неподвижными балками.
Фотоэлектрический датчик и электромагнит соединены с миллисекундомером при помощи разъема.
Световой поток от лампочки попадает на фоторезистор. Во время
колебаний крутильного маятника стрелка рамки прерывает световой поток,
в результате чего в схеме формируются электрические импульсы, которые
после усиления подводятся ко входу миллисекундомера.
Порядок выполнения работы
1. Закрепить в рамке прибора исследуемое тело таким образом, чтобы
ось подвеса проходила через середины противоположных граней, для чего
переместить подвижную балку по направляющим между неподвижными
балками на необходимое расстояние и затянуть гайки.
2. Нажать кнопку «сеть».
3. Поворачивая рамку прибора, приблизить ее стрелку к
электромагниту таким образом, чтобы электромагнит зафиксировал
положение рамки.
49
4. Обнулить счетчик времени нажатием кнопки «сброс». Индикаторы
миллисекундомера должны высвечивать нули.
5. Нажать кнопку «пуск». После освобождения рамки от
электромагнита она будет совершать крутильные колебания.
6. Измерить время десяти колебаний крутильного маятника (кнопка
«стоп» нажимается после появления цифры 9 в окошечке «периоды») и
записать время t0 в табл. 1.
7. Отжать кнопку «пуск» и повернуть рамку с исследуемым телом,
приблизив ее стрелку к электромагниту. Рамка будет удерживаться
электромагнитом
№ опыта
t0, c
T0, c
tx, c
Tx, c
ΔTx, c
Таблица 1
ΔT0, c
1.
2.
.
.
.
6.
Средние
значения
8. Повторить измерение времени t0 5 – 6 раз (t0 – время крутильных
колебаний тела вокруг главной вертикальной оси) согласно пунктам 4-7.
9. Измерения выполнить относительно разных главных осей
исследуемого тела.
10. Закрепить в рамке прибора исследуемое тело таким образом, чтобы
ось подвеса проходила через противоположные вершины груза (совпадала
с одной из диагоналей параллелепипеда). Измерить время десяти
крутильных колебаний tх и занести в табл. 1.
11. По окончании измерений выключить миллисекундомер и вынуть
груз из рамки прибора.
Вычисление и обработка результатов
Тх .
1. Вычислить периоды крутильных колебаний Т0 и Тх по формуле:
Т = t / 10.
2. Произвести расчет погрешностей результатов прямых измерений Т0 и
3. Вычислить моменты инерции J0 исследуемого тела относительно
главных осей по известным теоретическим формулам, а также используя
экспериментальные данные, полученные методом крутильных колебаний.
Сравнить полученные результаты.
50
4. Вывести формулу для погрешности ΔJ0 и вычислить эти
погрешности.
5. Вычислить момент инерции тела Jх относительно вертикальной оси,
совпадающей с одной из диагоналей параллелепипеда.
6. Вывести формулу для расчета погрешности ΔJх и вычислить ее.
7. Сравнить экспериментальные и теоретические результаты, сделать
вывод.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. М.: Высш. шк., 1986.
§§ 32, 50.
2. Савельев И.В. Курс общей физики. М.: Наука, 1982. Т.1. №№ 38, 39, 40.
Лабораторная работа 8
ИЗУЧЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА
С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА
Цель работы: экспериментальная проверка основного уравнения
вращательного движения
(1)
I β = ∑M ,
где I - момент инерции тела;
β- его угловое ускорение;
M - векторная сумма моментов сил, приложенных к телу.
Экспериментальное определение момента инерции маятника Обербека.
Теоретическая часть
Маятник Обербека, применяемый в данной работе, представляет собой
инерционное колесо в виде крестовины (рис. 1). По четырем взаимно
перпендикулярным стержням могут перемещаться и закрепляться в
нужном месте (положении), по одному на каждом стержне, грузы
одинаковой массы (1). На горизонтальной оси крестовины имеется
двухступенчатый диск (2) с двумя различными радиусами, на который
наматывается нить.
Один конец нити прикреплен к диску, а ко второму концу
подвешиваются грузы различной массы (3). Под влиянием падающего
груза нить разматывается с диска и вызывает равноускоренное вращение
крестовины маятника.
В таком движении вращающий момент, приводящий маятник в
движение, создается под действием силы натяжения Т разматывающейся
нити. Пренебрегая силами трения, можем написать уравнение
вращательного движения маятника:
51
Iβ = M = RT ,
где I – момент инерции маятника Обербека;
β – угловое ускорение;
М – момент силы;
T - натяжение нити;
R – радиус диска, к которому крепится нить.
Уравнение поступательного движения грузов на нити:
ma = mg − T .
Уравнение, связывающее ускорения движений:
a = βR .
(2)
(3)
(4)
Рис. 1.
Эти уравнения дают постоянное во времени значение величины
ускорения a =
mR 2
g , которое может быть определено из уравнения:
I + mR 2
2h
a= 2 ,
(5)
t
где h - расстояние, проходимое грузом за время t.
В условиях эксперимента h - постоянная величина.
52
1-й случай проверки: (постоянный момент инерции, различные
моменты сил).
M1
Из уравнения (1) имеем:
β1
=
M2
β2
=I .
(6)
m1 R12 ( gt12 − 2h) m2 R22 ( gt 22 − 2h)
=
=I.
Уравнения (2) - (6) дают
2h
2h
(7)
В процессе выполнения работы необходимо провести прямые
измерения высоты h, с которой падает груз, и времени t его падения.
Значения массы mi каждого груза и радиусы дисков Ri указаны на
установке. Выражение (7) позволяет не только проверить выполнимость
уравнения моментов, но и экспериментально определить момент инерции
маятника Обербека.
2-й случай проверки: (различные моменты инерции, постоянный
момент сил: масса груза и радиус диска).
По теореме Гюйгенса – Штейнера о параллельном переносе осей
моментов инерции имеем:
I 1 = I 0 + m′ L2 ,
(8)
где I 0 - момент инерции тела массы m′ относительно оси, проходящей
через центр масс тела;
I1 - момент инерции того же тела относительно параллельной оси,
удаляемой на расстояние L от прежней.
Пусть I 0′ - момент инерции всех четырех грузов массы m′ относительно
оси, проходящей через их центры масс. При удалении их центров на
расстояние l1 от прежней оси момент инерции будет равен:
I 1 = I 0′ + 4m′ l12 .
Если I0 - момент инерции маятника без грузов, то полный момент
инерции маятника будет:
I1′ = I 0 + I 0′ + 4m′ l12 .
При удалении центров масс грузов на расстояние l2 соответственно
имеем:
I 2′ = I 0 + I 0′ + 4m′ l22 .
Если l1 > l2 , то
I 1′ − I 2′ = 4m′(l12 − l22 ) .
Уравнения (1) - (9) дают:
M1
β1
−
M2
β2
(
)
= 4m ′ l 12 − l 22 .
(9)
(10)
Из уравнений (2) - (5) и (10) получаем:
t12 − t 22 = 8h
m′ l12 − l22
.
m R2 g
(11)
53
В это уравнение входят величины, определяемые экспериментально.
Уравнения (7) и (11) получены без учета силы трения в оси маятника и
силы трения о воздух. Влияние сил трения при расчете момента инерции
можно будет оценить из графиков.
Вопросы к зачету
1. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения.
2. Дайте определение и объясните физический смысл величин: момента
инерции, момента сил, момента импульса.
3. Запишите выражение для момента инерции материальной точки. Как
определить момент инерции твердого тела относительно оси вращения,
проходящей через центр масс?
4. Сформулируйте теорему Гюйгенса – Штейнера и докажите ее.
5. Как направлена ось вращения в нашей установке и какая сила создает
вращательный момент?
6. Какие способы вы можете предложить для изменения момента сил и
момента инерции в маятнике Обербека?
7. Как учесть влияние сил трения при экспериментальном определении
момента инерции маятника Обербека?
8. Как определить погрешность измерения момента инерции маятника?
Какие способы проверки основного закона вращательного движения на
маятнике Обербека вы знаете?
Описание лабораторной установки
Маятник Обербека в виде крестовины с грузами укреплен на
вертикальной колонне (4) (рис. 1). Для отсчета длины пути падения груза
на колонне нанесена миллиметровая шкала. Длину пути можно
регулировать с помощью подвижного кронштейна (5), на котором
укреплен первый фотоэлектрический датчик (6), регистрирующий начало
отсчета времени падения. На неподвижном кронштейне (7) укреплен
второй фотоэлектрический датчик (8), регистрирующий окончание отсчета
времени
Регистрация
падениявремени
груза. падения производится с помощью секундомера
(9), к которому подключены оба фотоэлектрических датчика.
В промежутках между измерениями маятник удерживается в состоянии
покоя с помощью тормозного электромагнита.
При падении с заданной высоты h груз открывает окно первого
фотоэлектрического датчика, сигнал от которого снимает блокировку
электромагнита и запускает схему отсчета времени.
В конечной точке пути второй фотоэлектрический датчик в момент
закрывания его окна падающим грузом вырабатывает электроимпульс
конца измерений времени и включает электромагнит.
54
Порядок выполнения работы
1. Перед началом измерений необходимо установить выбранное число
грузов так, чтобы нижний край падающих грузов совпадал с чертой на
корпусе фотоэлектрического датчика. Подвижный кронштейн нужно
установить так, чтобы грузы, падая, проходили через середину рабочего
окна обоих фотоэлектрических датчиков.
2. Отсчитать по шкале, расположенной на колонне, длину пути падения.
3. Нажать кнопку «сеть». Проверить, горят ли индикаторы обоих
фотоэлектрических датчиков и показывают ли индикаторы секундомера нули.
Тормозной электромагнит должен удерживать крестовину в состоянии покоя.
4. Нажать кнопку «пуск». Система придет в движение. После
прохождения грузами всего пути записать показания секундомера.
5. Обнулить счетчик времени, нажав кнопку «сброс». При этом
электромагнитом освобождается блокировка крестовины с грузами.
6. Перевести грузы в верхнее положение и отжать кнопку «пуск»
(возникает повторная блокировка электромагнитом крестовины с грузами).
7. Для данного числа грузов и данного радиуса диска Ri измерение
времени падения повторить 5 - 6 раз согласно пунктам 4 - 6.
8. Опыт для фиксированной высоты и радиуса диска Ri провести для
четырех различных грузов. Результаты измерений занести в табл. 1.
9. Переместить дополнительные грузы m′ на другой уровень li
крестовины. Измерить и записать li. Провести измерения времени так, как
указано в пункте 7.
10. Снять дополнительные грузы m′ с крестовины и провести опыты по
измерению времени так, как указано в пункте 7.
Таблица 14
Масса
грузов, г
№ опыта
m1 =
радиус
диска, R
t1( c )
m2 =
t2( c )
m3 =
t3( c )
m4 =
t4( c )
1.
2.
R1
l 1 3.
4.
5.
Среднее значение
1.
2.
R2
l 2 3.
4.
5.
Среднее значение
55
Вычисления и обработка результатов измерений
1. Произвести обработку измерений времени ti, то есть вычислить ti ср..
2. Используя данные табл. 1, проверить выполнимость основного
закона вращательного движения по формуле (7) для двух значений
подвижных грузов m и одного значения радиуса диска R.
3. Используя формулу (7), вычислить значения момента инерции I0
маятника без дополнительных грузов и значения моментов инерции I1, I2
при установке дополнительных грузов m′ на разных расстояниях от оси маятника.
4. Проверить справедливость основного закона вращательного
движения по формуле (11) для двух положений li дополнительных грузов.
5. Вычислить угловое β и линейное a ускорения и момент M = RT силы
натяжения, используя данные табл. 1.
6. Построить графики зависимости β = β (M ) на миллиметровой бумаге.
Откладывая по оси ординат значение β, а по оси абсцисс - значения
M = RT , получим, в соответствии с уравнением (2), что момент инерции I
определяется ctg угла наклона этой прямой. Момент сил трения Мтр
определяется по отрезку, отсекаемому на оси абсцисс аппроксимированной
до этой оси экспериментальной кривой β = β (M ) . При построении
графиков линейных зависимостей воспользуемся методом наименьших
квадратов.
7. Определить из графиков значения моментов инерции I0, I1, I2 .
Сравнить полученные значения с рассчитанными по формуле (7).
8. Определить из графиков β = β (M ) моменты сил трения Мтр и
сравнить значения при различных моментах инерции.
Результаты работы
В отчете должны быть представлены следующие результаты.
1. Таблица, в которую сведены все измеренные и вычисленные
значения величин, необходимые для определения моментов инерции
маятника, а также полученные значения моментов инерции.
2. Построенные на миллиметровке графики зависимости β = β (M ) для
различных значений l (l = 0, l1, l2), содержащие не менее 4 точек
(соответственно числу использованных грузов m); таблица, содержащая
все необходимые для построения графиков величины и определенные из
графиков значения моментов инерции и моментов сил трения. Выводы о
полученных результатах и зависимостях.
Все результаты представить с учетом погрешностей. Погрешности
могут быть определены из графиков, если для их построения применить
метод наименьших квадратов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Савельев И.В. Курс общей физики. §§ 36 - 38.
2. Сивухин И.В. Общий курс физики: Механика. Т. 1. §§ 30 - 35.
56
Лабораторная работа 9
МАЯТНИК МАКСВЕЛЛА
Цель работы: определение момента инерции маятника Максвелла на
основе закона сохранения энергии.
Основные теоретические положения
Методика измерения момента инерции маятника Максвелла
относительно оси вращения основана на законе сохранения механической
энергии, согласно которому механическая энергия замкнутой системы
остается постоянной.
Момент инерции материальной точки численно равен произведению
массы m точки на квадрат ее расстояния r от оси вращения. Момент
инерции J всего твердого тела относительно оси вращения численно равен
сумме моментов инерции всех его материальных точек:
N
J = ∑ mi ri 2 .
i =1
(1)
Момент инерции
характеризует распределение массы тела
относительно оси вращения, и поэтому одно и то же тело может иметь
разные моменты инерции относительно разных осей. С другой стороны,
если изменить распределение массы тела относительно оси вращения, то
момент инерции тела относительно данной оси тоже изменится. Моменты
инерции тел правильной геометрической формы относительно главных
осей легко рассчитать с помощью метода интегрирования.
Маятник Максвелла принимает участие в двух видах движения –
поступательном и вращательном. Динамика поступательного движения
описывается вторым законом Ньютона.
Основной закон динамики для вращательного движения выражается
формулой:
M = Jβ ,
где M – момент сил, приложенных к телу;
J – момент инерции тела;
β – угловое ускорение, которое тело приобретает под действием
постоянного момента сил.
Момент инерции тела в динамике вращательного движения играет
такую же роль, как масса тела в динамике поступательного движения, то
есть является мерой инертности тела.
Принцип действия маятника Максвелла основан на преобразовании
энергии поступательного движения тела в энергию вращения, и наоборот.
На рис. 1 тело вращения 1 помещено на оси 2, подвешенной на двух нитях
к опоре. Нити наматываются на ось, и тело поднимается на некоторую
57
высоту h относительно положения равновесия. В этом положении маятник
обладает запасом потенциальной энергии (по отношению к положению
равновесия) Wпот = mgh .
Рис. 1.
При опускании маятник проходит расстояние h, и его потенциальная
энергия
постепенно
превращается
в
кинетическую
энергию
поступательного и вращательного движений, а также расходуется на
преодоление сил трения. Если потерями на трение пренебречь, то закон
сохранения энергии можно записать в виде:
mυ 2 Ι ω 2
mgh =
+
.
2
2
(3)
Уравнение (3) относится к тому моменту времени t (с начала движения
маятника), когда маятник находится в нижнем положении. Угловая
скорость маятника ω и его линейная скорость υ соответствуют конечному
моменту движения.
Так как нить намотана на ось маятника, то скорость его
поступательного движения связана со скоростью вращения следующим
соотношением υ=ωr, где r - радиус оси маятника. Значение линейной
скорости можно определить, применяя к движению маятника формулы
равноускоренного движения с начальной скоростью, равной нулю:
υ =α t ,
h=
α t2
2
,
где α - ускорение движения маятника, откуда
58
υ=
2h
,
t
ω=
2h
.
rt
Подставляя эти значения в формулу (3), получим:
2
mgh =
2
m ⎛ 2h ⎞
J ⎛ 2h ⎞
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ;
2⎝ t ⎠
2 ⎝ rt ⎠
2mh 2 2 Jh 2
mgh = 2 + 2 2 .
t
r t
Теперь получим рабочую формулу для определения момента инерции
маятника:
J=
⎛ gt 2
⎞
1
− 1⎟ ,
mD 2 ⎜
4
⎝ 2h
⎠
(4)
где J - момент инерции маятника, кг м2;
D - внешний диаметр оси маятника вместе с намотанной на нее нитью
подвески, м;
t - время падения маятника, с;
g - ускорение свободного падения, м/с2;
h - длина нити, равная высоте, м;
m - масса маятника вместе с кольцом, кг.
Масса маятника m определяется по формуле:
m = mo + mр + mк ,
(5)
где mo - масса оси маятника, кг;
mр - масса ролика, кг;
mк - масса наложенного на ролик кольца, кг.
Внешний диаметр оси маятника вместе с намотанной на ней нитью
подвески определяется по формуле:
D = Do + 2 Dн
(6)
где Do - диаметр оси маятника, м;
Dн - диаметр нити подвески, м.
Вопросы к зачету
1. Что называется моментом инерции материальной точки и твердого
тела относительно оси? В каких единицах он измеряется?
2. От чего зависит значение момента инерции данного тела?
3. Как читается теорема Гюйгенса – Штейнера?
4. Как формулируется основной закон динамики вращательного
движения? Какую роль в нем играет момент инерции вращающегося тела?
5. Какой закон положен в основу вывода рабочей формулы?
6. В каких видах движения участвует маятник Максвелла? Запишите
систему уравнений, описывающих динамику маятника.
7. Момент каких сил вызывает вращение маятника?
59
8. Выведите формулу погрешности для момента инерции маятника.
Описание лабораторной установки
Общий вид установки показан на рис. 2. Маятник Максвелла FРМ-03
размещается на основании (1), оснащенном регулируемыми ножками (2),
которые позволяют выравнивать прибор. В основании закреплена колонка
(3), к которой прикреплен неподвижный верхний кронштейн (4) и
подвижный нижний кронштейн (5). Необходимо, чтобы колонка (3)
располагалась строго вертикально.
На
верхнем
кронштейне
находится
электромагнит
(6),
фотоэлектрический датчик (7) и вороток (8) для закрепления и
регулирования длины подвески маятника.
Нижний кронштейн вместе с прикрепленным к нему вторым
фотоэлектрическим датчиком (9) можно перемещать вдоль колонки и
фиксировать в произвольно выбранном положении.
Маятник прибора FРМ-03 - это ролик, закрепленный на оси (10) и
подвешенный на двух нитях. Исследуемые тела (сменные кольца 11)
надеваются на ролик. Таким образом, момент инерции системы
определяется моментами инерции оси, ролика и моментом инерции
надеваемого на ролик кольца.
Рис. 2.
60
Маятник с закрепленным на нем кольцом удерживается в верхнем
положении электромагнитом. Длина маятника отсчитывается по
миллиметровой шкале на колонке прибора. Значение времени падения
маятника определяется с помощью электронной схемы, состоящей из
электромагнита, двух фотоэлектрических датчиков и секундомера (12).
Порядок выполнения работы
1. Проверить, чтобы в нижнем положении край стального кольца
находился на 2 мм ниже оптической оси нижнего фотоэлектрического
датчика. Если этого нет, то необходимо отрегулировать с помощью
воротка длину нити. Отрегулировать положение маятника таким образом,
чтобы его ось была параллельна основанию прибора.
2. Нажать кнопку «сеть». Проверить, горят ли лампочки фотодатчиков
и высвечивают ли индикаторы секундомера нули.
3. Намотать на ось маятника нить подвески, обращая внимание на то,
чтобы она наматывалась равномерно, виток к витку. В верхнем положении
ролик с кольцом должен удерживаться электромагнитом.
4. Проверить, чтобы в верхнем положении край стального кольца
находился на 2 мм выше оптической оси верхнего фотоэлектрического
датчика.
5. Проверить, соответствует ли нижняя грань кольца нулю шкалы на
колонке. Если нет - заметить положение нижней грани.
6. Нажать кнопку «сброс», обнулив тем самым шкалу секундомера.
7. Нажать кнопку «пуск». Маятник придет в движение. Когда маятник
достигнет нижнего фотодатчика, снять показания секундомера и записать
время падения t в табл. 1. Так как маятник будет двигаться вверх,
необходимо рукой остановить движение маятника.
8. Отжать кнопку «пуск».
9. Повторить измерение времени падения маятника (5 - 7 раз) согласно
пунктам 3 - 8 для 3 различных колец.
10. По шкале на вертикальной колонке прибора определить длину
маятника h.
Таблица 1
h=(
±
) мм
t, c
1
2
3
4
5
tср, c
Кольцо 1
Кольцо 2
Кольцо 3
61
Вычисление и обработка результатов
1. Произвести обработку времени падения маятника t, то есть
вычислить t ср и погрешность измерения времени.
2. Пользуясь формулой (6), определить диаметр оси вместе с
намотанной нитью. Диаметр оси До и диаметр нити подвески Дн указаны
на установке.
3. Пользуясь формулой (5), определить массу маятника вместе с
закрепленным на нем кольцом. Значения масс отдельных элементов
нанесены на них.
4. По формуле (4) вычислить значения моментов инерции маятника.
5. Вывести формулу для расчета погрешности момента инерции
маятника.
6. Вычислить погрешности Δ J .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. М.: Высш. шк., 1986.
§ 34.
2. Савельев И.В. Курс общей физики. М.: Наука, 1982. Т.1. №№ 38, 39, 41.
Лабораторная работа 10
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКТИВНОЙ СИЛЫ И СКОРОСТИ
ИСТЕЧЕНИЯ ГАЗОВОЙ СТРУИ
Цель работы: изучение элементарной теории реактивного движения,
элементов газовой динамики, ознакомление с принципом действия
реактивной силы и исследование ее зависимости от скорости истечения
газа на установке типа крутильного маятника.
Основные теоретические положения
Реактивным движением называется движение тел с выбросом массы.
При этом масса тела может меняться - имеет место движение с переменной
массой. Возможно реактивное движение и при сохранении массы
движущегося тела - в этом случае масса, необходимая для создания
реактивной силы, забирается извне. Рассмотрим движение с переменной
ρ
массой. Пусть в инерциальной системе отсчета движется со скоростью υ
тело массой M, от которого в каждый интервал времени dt отделяется
ρ
масса dm со скоростью υ1 относительно данной инерциальной системы
отсчета
(рис.
1).
В
62
результате отделения массы dm масса тела изменится и станет равной
ρ
ρ
M - dm, скорость тела также изменится и станет равной (υ + dυ ) .
Рис. 1.
Найдем изменение импульса системы: тело и отделенная масса за время
dt:
(M − dm)(υρ + dυρ) + dm υρ1 − M υρ = dp ,
где dp - изменение импульса системы.
Раскрывая скобки, получим:
σ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
Mυ + Mdυ − dm υ − dm dυ + dm υ1 − Mυ = dp .
(1)
(2)
ρ
Пренебрегая произведением двух малых величин dmdυ , производя
сокращения и учитывая связь между скоростями
ρ ρ
uотн’ = υ1 − υ ,
(3)
где uотн - скорость отделения или истекания газовой струи, относительно
тела, получим:
ρ
M dυ = −dm u отн + dp .
(4)
Разделив обе части равенства на dt, получим уравнение движения в
форме II закона Ньютона для тела переменной массы при действии
внешних сил:
M
dυ
dm
dp
u отн’ +
=−
.
dt
dt
dt
(5)
Так как изменение импульса системы равно результирующей внешних
сил, то есть
dm
dp
= μ - расход массы рабочего тела в единицу
= Fвнеш , а
dt
dt
времени, уравнение (5) можно переписать в виде:
dυ
M
= − μ u отн’ + Fвнеш .
dt
(7)
Величина, равная FR = − μ uотн ,
(8)
называется реактивной силой. Эта сила направлена противоположно
вектору относительной скорости струи uотн . Реактивная сила, как это
63
показывает выражение (8), зависит от скорости истечения и расхода массы
в единицу времени.
Уравнение (7) называется уравнением Мещерского и описывает общий
случай движения тел с переменной массой под действием реактивной и
любых внешних сил.
При отсутствии внешних сил или при их малости по сравнению с
реактивной силой уравнение (7) может быть легко проинтегрировано.
Действительно, из (7) имеем:
dυ
dm
dM
dm
M
u отн’ ,
=−
=−
,
dt
отсюда
1
u отн’
dt
dt
Интегрируя (9) в определенных пределах
получим
dt
dM
dυ = −
.
M
υ 2 − υ1 = u’ ln
M0
,
M
(9)
1
u отн’
υ2
M
dM
,
M
M0
∫ dυ = − ∫
υ1
(10)
где υ1 - скорость газовой струи в начальный период времени t = 0, υ1 = 0 , а
υ 2 - скорость в период времени t.
Соотношение (10) называется формулой Циолковского. Выражения (7)
и (10) описывают общие свойства реактивного движения и оставляют в
стороне вопрос о физическом механизме передачи импульса от струи
рабочего вещества к массе реактивного аппарата. При истечении газовой
струи реакция струи передается через посредство сил давления газа, при
этом давление определяется как суммарный импульс, передаваемый стенке
при столкновении с ней молекул газа. Рассмотрим качественную картину
действия реактивной силы при истечении газовой струи из некоторого
объема через отверстие.
На рис. 2 изображен резервуар, наполненный газом под некоторым
давлением. Если бы отверстие отсутствовало, на стенки резервуара
действовали бы одинаковые силы, так что суммарная действующая сила
была бы равна нулю. При наличии отверстия на одной из стенок на
противоположной стороне резервуара появляется неуравновешенная сила,
приближенно равная (p-P0) S, P0 - давление вне резервуара, а S - площадь
отверстия. Эта сила действует в направлении, обратном направлению
истечения струи через отверстие, и является реактивной силой. Более
точные расчеты, выполняемые в газовой динамике, показывают, что при
истечении струи за счет давления в окрестности отверстия реактивная сила
становится больше, чем произведение (p-P0) S. В общем случае реактивная
сила истекающей струи может представлена в виде:
2
FR = (p-P0) S + ρ υ S ,
64
(11)
где ρ - плотность истекающего газа, а υ - его скорость.
Как показывают теория и эксперимент, реактивная сила истечения газа
(газовой струи) зависит от формы канала, по которому эта струя течет.
Наиболее эффективны профилированные каналы, которые называются
соплами Лаваля (рис. 2). Сужающийся участок в сопле Лаваля необходим
для того, чтобы газовая струя, постоянно ускоряясь, равномерно заполнила
наиболее узкое сечение (горловину сопла). Расширяющийся участок
используется для того, чтобы устранить радиальный (боковой) разлет
струи и направить весь поток газа вдоль оси сопла. В этом случае
реактивная сила с большой точностью списывается произведением
скорости истечения на секундный расход массы. Реакция струи через
сопло Лаваля приложена на двух участках конструкции аппарата: одна
составляющая реактивной силы действует на дно резервуара, другая
составляющая действует на стенках расширяющегося участка сопла.
газовая
струя
Рис. 2.
В газовой динамике сужающийся и расширяющийся каналы обычно
называют дозвуковым и сверхзвуковым участками сопла. В сужающемся
канале газовый поток дозвуковой. Скорость звука достигается в горловине,
затем в расширяющемся канале поток становится сверхзвуковым. Сопла,
имеющие только сужающийся участок, называются звуковыми. Для
звукового сопла скорость истечения струи может быть рассчитана по
формуле:
1
γ −1
⎤ 2
⎡
γ
P
⎞
⎛
υ = 2C PT ⎢1 − ⎜ 0 ⎟ ⎥ ,
⎢ ⎝P⎠ ⎥
⎦
⎣
(12)
где C P - удельная теплоемкость при постоянном давлении,
Т - температура газа в резервуаре;
Р - давление в резервуаре;
Р0- давление снаружи;
γ - показатель адиабаты.
Для воздуха γ ≈ 7/5, C P =
γ R
, где R = 8,314 103 Дж/К моль γ -1
универсальная газовая постоянная.
65
Вопросы к зачету
1. Дайте определение реактивной силе. Какие способы существуют для
ее создания? От каких параметров она зависит?
2. По какой причине в реактивных двигателях используются виды
топлива с высокой температурой сгорания?
3. Объясните качественную картину действия реактивной силы при
истечении газовой струи из сопла.
4. Как можно измерить реактивную силу с помощью крутильного
маятника?
5. Какими уравнениями описывается динамика тел с переменной
массой? Произведите их вывод.
Описание лабораторной установки
Общий вид установки показан на рис. 4. Измерительная установка
состоит из крутильных весов, на одном плече которых укреплена модель
реактивного двигателя (МРД), а на другом противовес. В качестве
упругого элеаента крутильных весов используется никелевая лента,
закрепленная в жесткой металлической раме. В средней части ленты
укреплена металлическая платформа. Она служит для крепления двух
трубопроводов, соединяющих МРД с компрессором и манометром,
измеряющим давление в камере МРД. С другой стороны платформы
крепится штанга с противовесом. Для нагрузки крутильных весов к их
правой штанге прикреплена перекинутая нить с чашечкой для гирек
разновесов.
Измерительная часть крутильных весов состоит из плоских зеркал (1),
линзы (2), осветителя (3) и шкалы (4). Оптическая схема настраивается так,
чтобы четкое изображение отсчетного индекса (темная линия в световом
кружке), проецировалась на шкалу, рассматриваемую в зеркале под
шкалой (5).
При необходимости рама со шкалой может быть передвинута вправо
или влево для совмещения нуля шкалы с изображением отсчетного
индекса (при ненагруженных весах).
Сжатый воздух от компрессора подается в баллон (Б), избыточное
давление в котором измеряется с помощью манометра М2. Кран (К) служит
для соединения (отключения) баллона с МРД.
66
Рис. 3.
Порядок выполнения работы
Упражнение 1. Исследование зависимости величины реактивной силы
от давления в камере МРД.
Приступая к работе на установке, отыщите на приборной доске краны
управления и приборы контроля (рис. 3). Затем включите в сеть шнуры
осветителя и компрессора, включите осветитель и убедитесь в совмещении
отсчетного индекса с нулевой отметкой шкалы (смотрите в зеркало
шкалы).
Установите редуктор на нулевое давление в камере МРД вращением
маховика редуктора Р против хода часовой стрелки в пределах свободного
хода. После этого положите в чашку весов гирьку 1 г, закройте кран и
включите компрессор. Следя по манометру М2, произведите накачку
воздуха в баллон Б до давления 2-3 кг/см2 и выключите компрессор.
Откройте кран К и вращением маховика редуктора по ходу часовой
стрелки подберите такое давление в камере МРД, чтобы отсчетный индекс
крутильных весов вновь возвратился на нулевую отметку. Так как плечи
67
весов равновелики, то в этом случае реактивная сила струи равна весу
гирьки, установленной в чашке весов.
Аналогичным образом определите давление в камере МРД для
реактивной силы, уравновешенной 2, 3, 4, 5,…10-граммовыми гирьками.
Это будет давление ΔPK .После этого проведите измерения в обратном
порядке, то есть нужно начинать с 10 г и постепенно убирать по одному
грамму. Это будет давление ΔPK′ (mg для 1 г гирьки равна 9,8⋅10-3 Н = 9,8
мН).
Полученные данные занесите в табл. 1.
Таблица 1
FR
(г.с.)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ΔPK
(кгс/см2)
ΔPK′
(кгс/см2)
ΔPK
(кгс/см2)
Примечание. Для экономии времени за одну накачку можно определить давление для
нескольких величин разновесов. Во избежание потери времени на
успокоение крутильных весов установить новые гирьки и убрать
лишние, остановить вращение чашечки, вывести редуктор в начальное
положение и открыть кран К для определения давления по манометру
М1. Если давления в камере не хватает, то есть при вращении маховика
редуктора стрелка на манометре М1 не двигается, нужно открыть кран у
баллона и произвести накачку для дальнейшего выполнения
упражнения.
Полученные данные усредните для каждого случая и постройте график
зависимости FR = K ⋅ ΔPK . Возьмите масштаб по оси абсцисс ( ΔPK )
40 мм = 0,1 кгс/см2, а по оси ординат (FR) - 10 мм = 1г⋅g, где g - ускорение
свободного падения. По полученному графику определите коэффициент
пропорциональности К.
Упражнение 2. Исследование зависимости скорости истечения струи
из сопла от давления в камере МРД.
В данном упражнении крутильные весы не используются. Чтобы
избежать ненужных колебаний, загрузите чашку весов гирькой 20 г.
Осветитель выключите.
Далее откройте кран К и не закрывайте его в течение всего опыта.
68
1. Включите компрессор и накачайте воздух в баллон до давления 3,1
кгс/см2 (следите по манометру М2).
2. Во время накачки редуктором установите одно из значений давления
ΔPK (указанного в таблице) в камере МРД (манометр М1).
3. После того как давление в камере достигнет 3,1 кгс/см2, компрессор
выключите. Так как кран К открыт, давление на манометре М2 будет
постепенно падать.
4. В тот момент, когда манометр М2 будет показывать давление, равное
3,0 кгс/см2, включайте секундомер. Это будет давление ΔP1 . Оно для всех
опытов будет одинаково.
5. Далее нужно внимательно следить одновременно за манометрами М1
и М2. Как только стрелка на манометре М1 начнет падать, выключайте
секундомер (получили время Δt) и в это же время на манометре М2
замечайте давление, при котором стрелка начинает падать. Это будет
давление ΔP2 . Округлив в большую сторону, запишите его в таблицу.
6. Заполнив таблицу для одного значения ΔPK , откройте кран у
баллона Б, выпустите до конца воздух, закройте кран и проделайте опыт
для другого значения ΔPK . И так для всех значений ΔPK , указанных в
таблице.
Скорость истечения u определить по формуле:
u=
VБ ⎛ ΔP1 − ΔP2 ⎞
⎜
⎟,
S ⎝ Pатм Δt ⎠
где VБ - емкость баллона, равная 24⋅103 см3;
S - площадь сечения сопла (d=1,48±0,01 мм);
Ратм - атмосферное давление, пересчитанное в кгс/см2;
Δt - промежуток времени, в течение которого давление газа упало от
ΔP1 до ΔP2 .
2
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
Таблица 2
0,30
2
3,0
3,0
3,0
3,0
3,0
3,0
ΔPK (кгс/см )
ΔP1 (кгс/см )
2
ΔP2 (кгс/см )
Δt(сек)
u (м/с)
По полученным данным постройте график зависимости u = f ( ΔPK ) .
Масштаб: по оси абсцисс ΔPK - 40 мм = 0,1 кгс/см2;
по оси ординат u - 40 мм = 102 м/с.
69
Упражнение 3. Исследование зависимости величины реактивной силы
струи от скорости истечения газа из сопла камеры.
Из теории известно, что реактивная сила струи пропорциональна
квадрату скорости истечения газа. Чтобы проверить выполнимость
данного положения на предложенной установке, дополним табл. 2
значением u2, а из графика упражнения 1 соответствующие им значения
реактивной силы струи для значений ΔPK = 0,05, 0,1,…0,3 кгс/см2.
Таблица 3
2
ΔPK (кгс/см )
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
u (м/с)
2
2
u 2 (м /с )
FR (г.с.)
Далее постройте график FR = f (u 2 ) .
Масштаб: по оси абсцисс u 2 - 20 мм = 1⋅104 м2/с2,
по оси ординат FR - 10 мм = 1 г⋅g, где g - ускорение свободного
падения.
Если закономерность выполняется, то график представляется прямой
линией.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. М.: Высш. шк., 1986.
§§ 37, 38.
2. Сивухин Д.В. Общий курс физики: Механика. М.: Наука. § 21.
Лабораторная работа № 11
ИЗУЧЕНИЕ СТОЯЧИХ ВОЛН В СТРУНЕ
Цель работы: познакомиться с простейшей теорией поперечных волн в
струнах, экспериментально определить спектр собственных частот струны
и снять зависимость частоты собственных колебаний струны от натяжения.
Оборудование: механическое приспособление с закрепленной струной,
динамометр, генератор звуковых сигналов.
Основные теоретические положения
Гибкая однородная струна, натянутая между двумя точками и
выведенная из положения равновесия, может совершать колебания
различного вида. Если одному из концов натянутой струны сообщить
колебательное движение в поперечном направлении (например,
вибратором), то по струне будет распространяться поперечная бегущая
70
волна. От другого закрепленного конца струны она будет отражаться и
двигаться в противоположном направлении (рис. 1).
Рис. 1.
В результате сложения двух бегущих волн одинаковой частоты,
распространяющихся в противоположные стороны, возникают стоячие
волны. Явления, возникающие при сложении волн одинаковой частоты,
носят общее название интерференции .
Получим уравнение стоячей волны. Уравнения обеих плоских волн
можно написать в следующем виде. Для волны, идущей в сторону
положительной оси x:
⎛
х⎞
⎛
⎝
⎞
+π ⎟ ,
υ
⎠
ξ 1 ( x, t ) = A sin 2πν ⎜ t − ⎟ .
(1)
⎝ υ⎠
Для отраженной от конца струны волны и идущей в сторону
отрицательной оси x
ξ 2 ( x, t ) = A sin 2πν ⎜ t +
х
(2)
где ν- частота;
υ - скорость распространения волны в струне.
Сложение двух волн дает
х⎞
х⎞
⎛
⎛
⎛ 2πx ⎞
ξ = ξ 1 + ξ 2 = A sin 2πν ⎜ t − ⎟ − A sin 2πν ⎜ t + ⎟ = −2 A sin ⎜
(3)
⎟ cos(2πνt ) ,
⎝ υ⎠
⎝ υ⎠
⎝ λ ⎠
где λ=υ /ν- длина волны.
Множитель cos(2πνt) показывает, что в струне возникает колебание с
той же частотой ν, что и колебания встречных волн.
⎛ 2πx ⎞
⎟ =ξ ,
Множитель 2 A sin⎜⎝
(4)
λ ⎠ 0
не зависящий от времени, выражает амплитуду ξ0 результирующего
колебания. Возникшее колебание, описываемое уравнением (3), называется
стоячей волной. В определенных точках амплитуда стоячей волны равна
сумме амплитуд обоих колебаний, такие точки называются пучностями, в
71
других точках результирующая амплитуда равна нулю, эти точки
называются узлами стоячей волны.
Определим координаты точек пучностей и узлов. Амплитуда,
определяемая равенством (4), максимальна в точках, для которых
⎛ 2πx ⎞
sin⎜
⎟ = 1,
⎝ λ ⎠
(5)
в этих точках ξ0=2A.
Отсюда положение пучностей определяется из условия:
2πx
1⎞
⎛
= ±⎜ n + ⎟ π ,
⎝
λ
2⎠
где n = 0, 1, 2…
Следовательно, координаты пучностей равны:
λ
x = ±( 2n + 1) ,
4
(6)
(7)
где n = 0, 1, 2…
В узлах стоячей волны амплитуда результирующего колебания равна
нулю, откуда по формуле (4) вычислим условие образования узлов:
⎛ 2πx ⎞
sin⎜
⎟ =0
(8)
⎝ λ ⎠
или
2π
λ
x = ±πn ,
(9)
следовательно, координаты узлов равны
λ
x = ±n ,
2
(10)
где n = 0, 1, 2…
Стоячая волна является результатом сложения двух бегущих волн
равной амплитуды, распространяющихся в противоположные стороны.
Обе бегущие волны несут с собой одинаковую энергию в
противоположных направлениях. Поэтому результирующая стоячая волна ,
в отличие от бегущей волны, не переносит энергию.
Для того чтобы в струне могли установиться стоячие волны, на концах
струны длиной l должен быть всегда узел смещения, то есть
l=
λ
2
n,
где n = 0, 1, 2…
В остальных случаях несогласованные отражения приведут к гашению
волн. Так как длина волны λ связана со скоростью распространения волны
72
вдоль струны υ и частотой колебаний струны ν соотношением υ = λν, то
νn =
n
υ,
2l
(11)
где n = 0, 1, 2…
Струна, следовательно, может колебаться не с одной частотой, а с
целым спектром частот, что соответствует тому факту, что струна может
рассматриваться как система, состоящая из бесконечного числа
материальных точек. Поэтому в общем случае спектр стоячей волны
дискретен.
Опыт показывает, что скорость υ распространения волны вдоль струны
определяется величиной натяжения FH и линейной плотностью ρ
материала струны
FН
υ=
ρ
(12)
.
Отсюда получаем окончательное выражение для частот колебаний
струны
vn =
n
2l
FH
ρ
.
(13)
Это частота так называемых собственных колебаний струны, зависящая
от параметров колебательной системы: l, ρ, FH.
При колебаниях с любой собственной частотой vn струна в каждый
момент имеет определенную форму.
Рис. 2.
Частота, отвечающая n = 1, называется основной, остальные
называются гармониками основной частоты, или обертонами. Стоячие
волны широко используются в музыкальной технике для получения
звуковых волн различной частоты. Проще всего наблюдать собственные
73
колебания струны в режиме вынужденных колебаний, возбуждаемых
внешним генератором через вибратор.
Вопросы к зачету
1. Объясните, как возникают стоячие волны в струне. Получите
уравнение стоячей волны в струне.
2. Что такое узлы и пучности стоячей волны? Каково расстояние между
соседними узлами - пучностями? Найдите координаты узлов и пучностей.
3. От каких параметров зависят собственные частоты струны с
закрепленными концами? Что такое основной тон струны - обертоны? Что
называется длиной волны?
4. Какие колебания называются вынужденными? Почему при
некоторых частотах внешнего воздействия наблюдается резкое увеличение
амплитуды колебаний струны?
5. Как в данной работе определяется скорость распространения волны в
струне?
6. Зависит ли скорость распространения волны в струне от частоты, от
длины волны, спектр стоячих волн дискретен?
7. От чего зависит частота основного тона, обертонов?
Описание лабораторной установки
Установка для изучения волн в струне собрана на деревянной
платформе (рис. 3). Она состоит из струны, вибратора и электрического
генератора, возбуждающих стоячие волны в струне, а также механизма для
натяжения струны. Сила натяжения струны калибруется с помощью
динамометра, проградуированного в ньютонах (большие деления). Этим
динамометром можно произвести измерение силы с точностью до десятых
долей ньютона непосредственно по шкале. Вибратор представляет собой
систему, состоящую из постоянного магнита, катушки подмагничивания и
колеблющегося якоря. Струна, скрепленная одним концом с якорем
вибратора, получает вибрирующие колебания, которые распространяются
вдоль струны и отражаются от другого ее закрепленного конца . Вибратор
питается от генератора переменного тока Г3-109, частота которого может
произвольно изменяться экспериментатором.
74
Рис. 3.
Порядок выполнения работы
Упражнение 1. Исследование зависимости скорости распространения
поперечных волн в струне от силы ее натяжения.
Как известно, длина волны определяется соотношением λ = υT = υ /ν.
Отсюда скорость распространения волны υ = λν.
(1)
Учитывая, что для стоячей волны в струне справедливо выражение
ν=
n
2l
FH
(2)
ρ
скорость υ можно найти из выражения υ =
λn
2l
λn FH
, для первой гармоники
2l ρ
= 1.
Для исследования экспериментальной зависимости υ = f(FH)
ограничимся случаем, когда n = 1. При изменении силы натяжения струны
FH будет меняться и частота возбуждения стоячих волн, но всегда можно
найти такую частоту возбужденных колебаний, чтобы в струне
укладывалась одна полуволна - тон или первая гармоника. В задачу
упражнения входит проверка выполнимости соотношения υ ∼ FH или
более удобного υ 2 ∼ FH .
Приступая к измерениям, включите генератор и дайте ему прогреться в
течение 2-3 минут. Далее, последовательно устанавливая указанные в
таблице натяжения струны, каждый раз подбирайте такую частоту
вынужденных колебаний, чтобы наблюдалось явление резонанса для
первой гармоники. В этом случае амплитуда колебаний струны должна
быть максимальной, сами колебания устойчивы, а поведение струны –
спокойное, без биений. Опыт повторите не менее трех раз, а данные
занесите в табл. 1.
Таблица 1
0,5
F, (H)
ν
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
1
2
75
3
Ср.
υ = λν
υ2
Примечание. Длина волны для первой гармоники равна удвоенной длине струны. В
нашей установке l = 0,72м.
Для каждого случая определите среднее значение частоты и по этим
значениям скорости распространения волн в струне. Затем вычислите
квадраты скоростей. Далее постройте графики зависимости квадрата
скорости распространения волны от силы натяжения струны.
Рекомендуемый масштаб: ось абсцисс 0,5Н -1 см ; ось ординат 103 м2/с2 1 см.
Упражнение 2. Изучение зависимости частоты колебания струны от
номера гармоники.
В этом упражнении по выбору преподавателя проводят указанное
исследование для двух значений силы натяжения струны в пределах от 0,5
Н до 2 Н. Устанавливать силу натяжения струны более 2 Н нежелательно,
так как из-за малости амплитуд наблюдать стоячие волны для высших
гармоник затруднительно.
Сначала, плавно увеличивая частоту вынужденных колебаний,
получите и зарисуйте вид стоячих волн для всех гармоник от 1 до 6
включительно. Одновременно проведите предварительную запись частот
для каждой гармоники. Из-за так называемого явления затягивания
максимальная амплитуда колебаний может фиксироваться при частоте
несколько выше резонансной (изменение частоты от меньшей к большей).
Для избежания этого эффекта подбор частот гармоник следует вести,
приближаясь к резонансу со стороны более высоких частот. Таким
образом, наблюдение гармоник следует вести каждый раз, начиная с 6-й и
заканчивая 1-й. Таких опытов для каждой силы натяжения струны
проводится не менее трех.
Примечание. Вблизи резонанса изменение частоты следует вести медленно и
плавно, все время зрительно отмечая рост амплитуды и частоту
генератора.
Получив резонанс, запишите частоту в табл. 2 и переходите к
отысканию резонансной частоты для гармоники меньшего номера. Данные
сведите в табл. 2.
Таблица 2
F, (H)
ν1
ν2
ν3
ν4
ν5
ν6
1
2
3
Ср.
76
1
2
3
Ср.
Установите связь между основной частотой стоячей волны и
частотами гармоник, найдите
эти отношения. Сделайте вывод о
зависимости частоты стоячей волны от номера гармоники.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Стрелков. §§ 138, 139, 141,143.
2. Савельев И.В. Курс общей физики. § 84.
77
Лабораторная работа 12
ИЗУЧЕНИЕ РЕЗОНАНСА В МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ
Цель работы: на примере простой механической колебательной
системы изучить особенность вынужденных колебаний – резонанс и снять
резонансную амплитудно-частотную характеристику этой системы.
Основные теоретические положения
Рассмотрим простейшую механическую колебательную систему – груз
массой т на упругой пружине с жесткостью k (рис. 1).
Рис. 1.
Предположим, что на груз действует некоторая периодически
меняющая сила F = F0 cosω t , где F0 – амплитудное значение силы; ω –
циклическая частота. Под действием этой вынуждающей силы, силы
упругой деформации и силы тяжести груз начнет совершать вынужденные
колебания. При движении на груз начнет дополнительно действовать сила
сопротивления воздуха. , пропорциональная скорости движения груза v, α
– коэффициент пропорциональности – зависит от формы тела, его
поверхности и плотности воздуха.
На рис. 1 изображена растянутая пружина. В положении равновесия,
когда пружина неподвижна, mg= –kx0.
Запишем в векторной форме второй закон Ньютона для груза с учетом
всех действующих сил: ρ ρ
ρ
ρ
ρ
ma = F + Fуп р. + Fсоп р. + mg
(1)
или в скалярном виде для сжатой пружины:
77
dx
d2x
m 2 = F0 cos ω t − k ( x − x 0 ) − α
− mg ,
dt
dt
(2)
где х – координаты груза на оси Х. Введя обозначения, перепишем
уравнение (2) в виде:
d2x
dx
+ ω 02 x = f 0 cosωt ,
2 + 2γ
dt
dt
(3)
где γ – коэффициент затухания, определяемый из соотношения 2γ =
ω0
–
собственная
частота
колебаний,
зависящая
от
α
m
;
параметров
F
k
колебательной системы ω 02 = , f 0 = 0 .
m
m
При действии всех перечисленных сил груз будет совершать
установившиеся колебания на частоте вынуждающей силы ω, с некоторым
сдвигом фазы по отношению к фазе этой силы. Другими словами,
смещение является следующей функцией времени и частоты
вынуждающей силы:
х = А(ω) cos (ω t+ϕ)
(4)
где А – амплитуда колебаний;
ϕ – фаза колебательной системы.
Подставляя выражение (4) в (3), можно получить явное выражение для
амплитуды А и фазы ϕ вынужденных колебаний как функций параметров
колебательной системы: ω, ω0, γ, f0.
Амплитуда А определяется выражением:
A=
f0
(ω
2
−ω
а фаза ϕ выражением:
2γ =
)
2 2
0
α
m
+ 4γ ω
2
2
.
,
(5)
(6)
Соотношение (5) называется амплитудно-частотной характеристикой
вынужденных колебаний. Эта зависимость для фиксированных значений γ
изображена на рис. 2.
Рис. 2.
Как видно (см. рис. 2), для малых γ амплитуда вынужденных колебаний
принимает максимальное значение на частоте вынуждающей силы,
78
близкой к частоте собственных колебаний (ω ≈ ω0). Более точное
соотношение ωрез. и ω можно получить, исследуя функцию (5) на
экстремум по переменной ω.
В этом случае получим:
ωрез = ω 02 − 2γ 2 .
Колебания с максимальной амплитудой называются резонансными, а
само явление – резонансом. Частота ωрез в этом случае называется
резонансной. Анализ выражения (5) показывает, что форма резонансной
кривой зависит от коэффициента затухания γ. Чем меньше значение этого
параметра, тем выше резонансное значение амплитуды и резче кривая. Для
характеристики формы резонансной кривой вводится понятие ширины
резонансной кривой. Под шириной резонансной кривой понимается такое
смещение по частоте Δω от резонансной частоты ω = ω0 , при котором
амплитуда А2 убывает в два раза. Можно показать, что ширина
резонансной кривой:
Δω = 2 γ .
(7)
Качество колебательной системы часто характеризуется величиной
добротности Q:
ω р ез .
Q=
.
(8)
Δω
Чем больше добротность колебательной системы, тем чувствительней
она к воздействию вынуждающей периодической силы и тем острее
резонанс.
Фазо-частотная характеристика вынужденных колебаний (6) приведена
на рис. 3.
Рис.3
При резонансе фаза колебательной системы отстает от фазы
вынуждающей силы на π/2 (см. рис. 3).
Описание лабораторной установки
Установка для изучения свойств пружинного маятника состоит из
следующих частей.
79
1. Преобразователя вращательного движения в возвратно-поступательное (колебательное) движение.
2. Измерителя частоты вынуждающей силы.
3. Шкалы для измерения амплитуды колебаний груза (малая шкала) и
для определения удлинения пружин (большая шкала).
4. Двух исследуемых пружин и набора грузов.
Для возбуждения в пружинном маятнике вынужденных колебаний
служит преобразователь вида движения. Электродвигатель с помощью
резинового шкива передает движение на валик преобразователя через
червячную пару. На передней части валика находится эксцентрик. Далее
круговое движение эксцентрика передается двум пластинам, одна из
которых может перемещаться только по горизонтали, а другая – по
вертикали. Перемещающаяся по вертикали пластина соединена со штоком,
который и возбуждает вынужденные колебания в исследуемом пружинном
маятнике.
На большой (метровой) линейке может перемещаться измерительная
каретка. Нанесенная на ее прозрачной пластине белая риска служит для
отсчета величины амплитуды вынужденных колебаний маятника. Кроме
того каретка имеет два выступа. Один (с сине-белой границей) служит для
установки положения груза или конца пружины, а другой (продолжение
прозрачной пластины) – для определения растяжения пружины по
большой шкале. Для определения частоты вынуждающей силы служит
датчик частоты и частотомер.
Датчик частоты состоит из алюминиевого диска, находящегося на
заднем конеце валика преобразователя движения. Диск имеет на
периферии 100 упорядоченно расположенных отверстий. При вращении
диска с помощью фотоэлектрической схемы вырабатываются
электрические импульсы, которые и регистрируются частотомером.
Очевидно,
что
при
одном повороте диска за одну секунду (частота колебаний равна 1 Гц)
датчик пошлет 100 электрических импульсов, а частотомер отметит
частоту 0,1 кГц.
Таким образом, чтобы по частотомеру определить частоту
вынуждающей силы, следует показания частотомера умножить на 10.
Частота определяется с точностью до 0,01 Гц. Частоту колебаний можно
менять в небольших, но достаточных для работы пределах с помощью
изменения напряжения на электродвигателе. Это осуществляется
автотрансформатором, укрепленным на деревянной части панели. Под
панелью управления расположен понижающий трансформатор для
питания фотоэлектрической схемы.
Порядок выполнения работы
Упражнение 1. Определение коэффициента жесткости пружины.
80
Коэффициент жесткости пружины – величина, измеряемая отношением
величины приращения силы, приложенной к пружине, к величине
вызванного этим приращением силы удлинения пружины, т.е.
K=
ΔF
Δl
Учитывая то, что в качестве сил, действующих на пружину, в работе
используются веса известных грузов P = mg, в задаче предлагается
установить зависимость:
Δl =
1
( Δm) .
K1
Очевидно, коэффициент жесткости пружины определится:
K = K1 ⋅ g, где g – ускорение свободного падения.
Приступая к измерениям, определите положение отсчетного кольца
пружины 1. Далее последовательно подвешивайте грузы, указанные в
таблице, каждый раз определяя новые положения отсчетного кольца.
Проведя необходимые измерения, данные занесите в таблицу, а затем
по ним постройте график зависимости Δl =
1
( Δm) .
K1
Для этого на оси массы грузов (ось абсцисс) отложите отрезки с
масштабом 0,1 кг – 10 мм, а по оси удлинений (ось ординат) – 0,1 м – 25
мм. Из графика найдете уточненное значение коэффициента K1, а затем и
коэффициент жесткости пружины K = K1 ⋅ g.
Таблица 1
Массы грузов (m), кг
Координаты
пружины xi
Координаты
пружины xi′
0 0,05 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00
конца
конца
Усредненные координаты конца пружины xi
Удлинение пружины
l = xi − x 0
Упражнение 2. Исследование влияния массы пружины на частоту
колебаний пружинного маятника.
Теория колебаний пружинного маятника дает формулы:
ω∗ =
K
,
m
или ν * =
1
2π
K
m
и T * = 2π
m
k
в предположении, что масса пружины равна 0 или много меньше массы
груза (идеальный или математический маятник). На практике такого
маятника не существует, а наличие массы пружины влияет на частоту и
81
период колебания маятника. Суть этого упражнения и состоит в
исследовании данного влияния. Вследствие того что массу пружины
изменять без изменения коэффициента жесткости пружины невозможно,
приходится изменять массу груза, каждый раз вычисляя новое значение
ω * (или Т* ).
Частоту же реального маятника определяют экспериментально, находя
период колебания Т или непосредственно ν (ν – обычная частота в Гц).
Как известно, теория дает исследуемую зависимость в сложной форме:
⎛ m0 ν * ⎞
m
ν
=
⋅ arctg ⎜
⋅ ⎟,
m0
ν*
⎝ m ν⎠
где m – масса груза;
m0 – масса пружины (151,00 ± 0,05 г);
ν – реальная частота маятника;
ν 0* – частота идеального маятника, вычисленная по массе подвешенного
груза (в предположении m0 << m).
ν
m
Принимая отношение * = Y , а
= X , получим Y = Ф(х), где Ф –
ν
m0
некоторая функция, которую и следует представить в графическом виде.
Последовательно подвешивая грузы, массы которых указаны в таблице,
определите время п колебаний. Измерения можно проводить однократно,
но с достаточной тщательностью. Для маятников с малым грузом (25 г,
10 г) бывает затруднительно вести счет числа колебаний. Для облегчения
рекомендуется вести счет десятками.
При проведении эксперимента следует обратить внимание на то, чтобы
амплитуда колебаний маятника была мала (≈ 1 см), а колебания
происходили бы только по вертикали.
Полученные данные занесите в табл. 2, произведите необходимые
вычисления, а затем постройте график на миллиметровой бумаге. При
построении ось абсцисс примите за ось квадратного корня из отношения
ν
m
с масштабом 1 – 50 мм, а ось ординат – ось * с масштабом
масс
ν
m0
0,1 – 10 мм.
Таблица 2
Массы грузов (m), кг
1
50
Число колебаний п
Время п колебаний, сек.
Экспериментальная
частота ν
Частота
математического
маятника ν*
82
0.75 0.50 0.35 0.20 0.15 0.10 0.05 0.02 0.01
50
50
75
75
75
100
100
100
100
ν/ν*
m m0
Упражнение 3. Исследование резонансных свойств пружинного
маятника.
Для исследования резонансных свойств пружинного маятника к
установке прилагается второй маятник с постоянным грузом, имеющим на
длинном конце отсчетную метку.
Первый маятник уберите, а к штоку преобразователя движений
подвесьте второй маятник.
Включите установку и частотомер в сеть. Следя за показаниями частотомера,
автотрансформатором
запустите
электродвигатель.
Предварительно научитесь устанавливать заданную частоту. Регулировка,
подстройка частоты производится очень небольшими перемещениями
рукоятки автотрансформатора. Частотомер должен показывать одно и то
же число. Например, при частоте 1,03 Гц он должен показывать 0,103 кГц,
и лишь изредка может появляться число, отличающееся на единицу
последнего разряда. Если смена последней цифры идет часто, надо
подрегулировать напряжение. Резонансная частота маятника лежит в
области 1.00÷1.03 Гц. Измерения в этой области следует вести особенно
тщательно. Приступая к измерениям, определите координату груза в
положении равновесия (по малой шкале).
Таблица 3
Частота вынуждающей силы, Гц
0,94 0,96 0,98 1,00 1,01 1,02 1,03 1,05 1,07 1,09
Координаты
максимального
смещения xi
1.
2.
3.
xi
Максимальная амплитуда Аi = xi – x0
Максимальная амплитуда в относительных единицах
A0i =
Ai
Aр ез .
Далее устанавливайте описанным выше способом рекомендуемые в
табл. 3 частоты колебаний вынуждающей силы и следите за поведением
маятника. При несовпадении частот вынуждающей силы и собственной
частоты маятника будут наблюдаться так называемые биения. Биения
83
проявляются в том, что амплитуда колебаний будет периодически
меняться от нуля до некоторого максимума и снова до нуля и т.д.
Наблюдая за колебаниями маятника, перемещайте измерительную
каретку, фиксируя координаты максимального смещения груза вниз для
выбранной частоты. Определив эту координату, запишите в табл. 3 и
переходите к измерениям для другой частоты. По мере приближения к
резонансной частоте измерения следует вести так, чтобы каждый раз
маятник начинал колебания после его остановки вручную.
В таблице:
xi – координата максимальных смещений;
xi – средняя координата максимальных смещений;
Аi = xi – х0 – максимальная амплитуда колебаний, мм;
A0i =
Ai
– максимальная амплитуда в относительных единицах.
Aрез.
По полученным данным необходимо построить график резонансной
кривой. Рекомендуемые масштабы: по оси абсцисс (ось частот) – 0,01 Гц –
10 мм, по оси ординат (начинается с точки 0,93 Гц) – 10 мм – 0,1
относительных единиц амплитуды.
Измерив ширину резонансной кривой, определите коэффициент
затухания γ из соотношения Δω = 2γ и добротность Q.
ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ
1. Дайте определения колебаниям: гармоническим, затухающим и
вынужденным.
2. Запишите дифференциальные уравнения и их решения. Проведите
сравнения между решениями и определите на каких частотах происходят
свободные гармонические, затухающие и вынужденные колебания.
3. Дайте
определение
явлению
резонанса
в
механической
колебательной системе и получите математическое условие резонанса.
4. От чего зависит высота и ширина амплитудно-частотной
характеристики?
5. Из фазо-частотной характеристики определите, как соотносятся
между собой фазы колебательной системы и вынужденной силы при
резонансе?
6. Что такое собственная частота колебательной системы и от чего она
зависит?
7. Что такое добротность колебательной системы, от чего она зависит и
как ее определить из амплитудно-частотной характеристики?
8. Какие практические применения явления резонанса вам известны
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
84
1. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. М.: Высш. шк., 1986.
Гл. 13.
Лабораторная работа 13
ИЗУЧЕНИЕ РЕГУЛЯРНОЙ ПРЕЦЕССИИ ГИРОСКОПА
Цель работы: экспериментальная проверка основ теории регулярной
прецессии гироскопов.
Основные теоретические положения
Гироскопом
называется
массивное,
аксиально-симметричное,
вращающееся относительно оси симметрии тело. Большие по величине
масса и угловая скорость вращения гироскопа создают значительный по
величине момент импульса L . Динамика этого момента, а следовательно,
гироскопа зависит от действия моментов внешних сил и определяется
уравнением моментов
dL
=M,
dt
(1)
где M - момент внешних сил.
Если момент внешних сил таков, что за достаточно малый интервал
времени Δt
(2)
M Δt = Δ L ⟨⟨ L ,
то выполняются следующие ограничения:
1) вектор момента импульса L в любой момент времени примерно
совпадает по направлению с осью симметрии гироскопа, вокруг которой
было задано первоначальное вращение;
2) модуль момента импульса L практически не меняется по величине.
Он меняет только свою ориентацию.
Из данных ограничений следует, что при наличии внешних сил ось
гироскопа будет двигаться и изменять свое направление в пространстве.
Это движение под действием момента внешних сил оси гироскопа
называется прецессией. В случае действия постоянных по величине и
направлению сил прецессия называется регулярной.
Рассмотрим регулярную прецессию для случая гироскопа,
изображенного на рис. 1,
85
Рис. 1.
где 1 – опора; OZ – ось симметрии и быстрого вращения гироскопа; OX и
OY – оси, образующие с осью OZ правую систему координат, причем ось
OY проходит через шарнирные крепления в точке O, F – внешняя сила,
действующая на гироскоп и создающая момент сил M ; L - вектор момента
импульса гироскопа, равный L = Iω .
Ось гироскопа OZ расположена горизонтально, и сила F, действующая
на него, направлена вдоль оси OY. В этом случае момент силы F направлен
горизонтально и перпендикулярен моменту импульса L .
Как видно на рис. 1, вектор L и, следовательно, ось гироскопа
совершают вращение в горизонтальной плоскости с угловой скоростью
прецессии Ω , которая легко может быть определена:
dϕ
M
,
(3)
Ω =
=
dt
L
так как dL = Mdt = Ldϕ.
Так как вращение гироскопа происходит в горизонтальной плоскости,
то угловая скорость прецессии Ω направлена вдоль оси OY. Характерно,
что направление вектора Ω совпадает с направлением вектора силы.
Три вектора: Ω , L и M – связаны друг с другом простым
соотношением
Μ = [Ω × L ] .
(4)
Выражение (4) справедливо, так как векторы L и d L взаимно
перпендикулярны и вектор L совершает вращение в пространстве с
угловой скоростью Ω . Применяя для данного случая к уравнению
моментов теорему Кориолиса, получим
dL
= Ω × L = M.
dt
[
]
(5)
Вопросы к зачету
1.Какие условия необходимы для возникновения регулярной прецессии?
2.Что произойдет,если действие момента силы на гироскоп исчезнет ?
3.Зависит ли угловая скорость прецессии гироскопа Ω от угла наклона
гироскопа к горизонтальной плоскости?
4.Почему угловая скорость прецессии детского волчка возрастает по мере
увеличения наклона оси вращения?
5.Что такое нутация гироскопа?
Описание лабораторной установки
86
Конструкция лабораторной установки FRM – 10 приведена на рис. 2.
Рис.2.
На основании 1, оснащенном ножками с регулируемой высотой,
позволяющими произвести выравнивание прибора, закреплена колонка 2.
На колонке находится кронштейн 3, на котором закреплен
фотоэлектрический датчик
N1 4 и внешняя втулка вращающего
соединения 5. Соединитель позволяет гироскопу вращаться вокруг
вертикальной оси и обеспечивает питание электрическим током
фотоэлектрический датчик N2 6 и электрический двигатель 7 через
разъем. Электрический двигатель смонтирован на кронштейне 8. На вале
двигателя закреплен груз 9, защищенный экраном 10. Рычаг 11 ,
закрепленный на корпусе двигателя, имеет нанесенную метрическую
шкалу. На рычаге закреплен груз 12. Перемещая груз по рычагу и изменяя
положение центра масс системы, можно уравновесить гироскоп. Угол
поворота гироскопа вокруг вертикальной оси можно измерять. На диске 13
нанесена угловая шкала и имеется указатель 14. На окружности диска
через каждые 50 просверлены отверстия, которые подсчитываются
фотоэлектрическим датчиком N1, и информация об угле поворота
гироскопа передается в блок управления и измерений FPM-10 15. Груз 9
имеет
на
окружности
насечки,
которые
подсчитываются
87
фотоэлектрическим датчиком N2, и информация о скорости оборотов
электрического двигателя передается в блок управления и измерений.
Нетрудно видеть, что конструкция установки полностью повторяет
основные элементы несвободного гироскопа, представленного на рис. 1.
Также, как и на рис. 1, ось OZ проходит вдоль оси симметрии
гироскопа, оси двигателя и центр груза 9. Ось OX проходит горизонтально
через подшипник подвески двигателя. Ось OY проходит вертикально через
ось двигателя.
Порядок выполнения работы
Упражнение 1. Измерение времени и угла прецессии гироскопа.
Перемещая груз, установить рычаг гироскопа перпендикулярно
вертикальной оси.
Включить питание двигателя.
Отрегулировать обороты двигателя вблизи величины 6 000 об/ мин.
Переместить груз на 2 см влево или вправо.
Нажать кнопку СБРОС.
После поворота гироскопа на угол не менее 30° нажать «стоп».
dϕ
после
Вычислить угловую скорость прецессии Ω =
dt
считывания показателей значений угла и времени прецессии.
Сместить груз на 3 см и повторить опыт.
Упражнение 2. Измерение кинетического момента гироскопа.
По известным угловым скоростям прецессии и заданным моментам
внешней силы по формуле (3) рассчитать момент импульса гироскопа L.
Упражнение 3. Измерение момента инерции ротора двигателя и диска.
По известному моменту импульса гироскопа L и известной угловой
скорости вращения ротора ω по формуле
J =
L
ω
вычислить момент
инерции ротора двигателя и диска.
Получить формулы для вычисления погрешностей измерений ΔΩ, ΔM,
ΔL, Δω, пользуясь методом расчета погрешностей для прямых и косвенных
измерений. Произвести расчеты.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Киттель Ч., Найт У., Рудершан М. Механика. 1971. § 8.5.
2. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. М.: Высш. шк., 1986.
§35.
3. Савельев И.В. Курс общей физики. М.: Наука, 1977. Т.1. § 44.
88
Лабораторная работа 14
ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ И ИЗМЕРЕНИЕ ЗЕМНОГО УСКОРЕНИЯ
С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО И ОБОРОТНОГО МАЯТНИКОВ
Цель
работы:
изучить
закономерности
малых
колебаний
математического и оборотного маятников и определить ускорение
свободного падения из зависимости периода колебаний от земного
тяготения.
Основные теоретические положения
Математический маятник, представляющий собой идеальную модель,
состоит из материальной точки, подвешенной на длинной нерастяжимой
нити. Для малых углов отклонения Θ колебания оказываются
гармоническими, и их период не зависит от углов отклонения. Он зависит
только от параметров самого маятника: его длины и ускорения свободного
падения:
T = 2π
l
,
g
(1)
где Т - период колебаний;
l - длина маятника;
g - ускорение свободного падения.
Физическим маятником является любое твердое тело, которое может
совершать колебания относительно точки закрепления, не совпадающей с
центром масс. Так же, как и в случае математического маятника, для малых
углов отклонения период колебаний физического маятника не зависит от
углов отклонения:
T = 2π
J
,
mgd
(2)
где J - момент инерции относительно точки закрепления;
m - масса маятника;
d - расстояние между точкой закрепления и центром масс.
Оборотным маятником называется физический маятник, у которого
можно обратить верх и низ. Обычно оборотный маятник выполняется в
виде длинного металлического стержня, опорных ножей и роликов. Схема
конструкции оборотного маятника приведена на рис. 1.
Примечательной особенностью оборотного маятника является то, что
для численного определения периода его гармонических колебаний не
нужно вычислять момент инерции J относительно точки закрепления. Для
этого достаточно подобрать такое положение опор – ножей маятника,
чтобы периоды колебаний на одной и другой опорах совпали. В этом
случае
89
lr
,
(3)
g
где lr - приведенная длина оборотного маятника, равная расстоянию между
ножами-опорами.
Tr = 2π
Стержень
Ролики
Центр
тяжести
Ножи
Рис. 1.
Покажем справедливость формулы (3). Пусть периоды колебаний
оборотного маятника на обеих опорах равны:
T1 = 2π
J1
;
mgd1
J2
T2 = 2π
,
mgd 2
(4)
где J1 и J2 - моменты инерции маятника относительно точек-опор;
d1 и d2 - расстояния от опорных точек до центра массы маятника.
В соответствии с теоремой Гюйгенса-Штейнера
J1 = J 0 + md12 ;
J 2 = J 0 + md 22 ,
(5)
где Jо - момент инерции оборотного маятника относительно центра масс.
При совпадении периодов колебаний Т1 = Т2,
J 0 + md12 J 0 + md 22
=
.
mgd1
mgd 2
Откуда следует, что
90
(6)
J 0 = m d 1d 2 .
Подставляя это значение Jо в любую из формул (4), найдем
Tr = 2π
d1 + d 2
l
= 2π r ,
g
g
(7)
(8)
где lr = d1 + d 2 .
Функциональные зависимости периодов маятников (1) и (3) могут
быть использованы для определения ускорения свободного падения:
4π 2 l
g= 2 ;
T
(9)
4π 2 lr
g=
.
Tr2
(10)
Вопросы к зачету
1. Как выглядят уравнения колебаний математического и физического
маятника для произвольных углов отклонения?
2. Как осуществляется предельный переход этих уравнений к малым
углам?
3. Что такое линейные и нелинейные колебания?
4. Как будет меняться период колебаний физического маятника по мере
подъема на большие высоты? Как будет меняться период колебаний
физического маятника по мере погружения под землю?
5. Что будет происходить с периодом колебаний физического маятника
при движении его вверх или вниз с ускорением?
6. Изменится ли период колебаний физического маятника, если под
ним в земле будет находиться неоднородность: сферическая полость или
крупный слой руды?
7. Как зависит период колебаний физического маятника от угла
отклонения?
Описание лабораторной установки
Общий вид универсального маятника представлен на рис. 2. Основание
1 оснащено регулируемыми ножками 2, которые позволяют произвести
выравнивание прибора. В основании закреплена колонка 3, на которой
зафиксирован верхний кронштейн 4 и нижний кронштейн 5 с
фотоэлектрическим датчиком 6. После отвинчивания воротка 11 верхний
кронштейн можно поворачивать вокруг колонки. Кронштейн можно
фиксировать в любом произвольно выбранном положении с помощью
воротка 11. С одной стороны кронштейна 4 находится математический
маятник 7, с другой – на вмонтированных вкладышах оборотный маятник
8.
91
Рис. 2.
Длину математического маятника можно регулировать при помощи
второго воротка 9, а ее величину можно определить при помощи шкалы на
колонке 3.
Оборотный маятник выполнен в виде стального стержня, на котором
закреплены два повернутые друг к другу лезвиями ножа и два ролика.
На стержне через 10 мм нанесены кольцевые насечки, служащие для
точного определения длины оборотного маятника (расстояния между
ножами). Ножи и ролики можно перемещать вдоль оси стержня и
фиксировать с кратностью 10 мм при помощи воротков. Нижний
кронштейн вместе с фотоэлектрическим датчиком можно перемещать
вдоль колонки и фиксировать в произвольно выбранном положении.
Порядок выполнения работы
Упражнение 1. Исследование зависимости периода малых колебаний
математического маятника от длины.
Нижний кронштейн вместе с фотоэлектрическим датчиком установить
в нижней части колонки, обращая внимание на то, чтобы верхняя грань
кронштейна показывала на шкале длину не менее 50 см. Затянуть вороток,
фиксируя фотоэлектрический датчик в выбранном положении.
Поворачивая верхний кронштейн, поместить над датчиком
математический маятник.
92
Вращая вороток на верхнем кронштейне, установить первоначальную
длину математического маятника, измерив ее по шкале прибора. Обратить
внимание на то, чтобы черта на шарике была продолжением черты на
корпусе фотоэлектрического датчика.
Привести математический маятник в движение, отклоняя шарик на 4 7° от положения равновесия.
Нажать кнопку «zer – сброс».
После подсчета измерителем 10 колебаний нажать клавишу «stop –
стоп».
Занести данные измерений в табл. 1.
Таблица 1
№
l, м
t, c
T=
t10
,c
10
g,
м
с2
Δg,
м
с2
1
2
3
4
5
Измерить длину математического маятника и повторить предыдущую
процедуру измерений.
Провести измерения для пяти произвольных длин маятника.
Упражнение 2. Определение приведенной длины оборотного маятника.
Повернуть верхний кронштейн на 180°.
Зафиксировать ролики на стержне несимметрично, таким образом,
чтобы один из них находился вблизи конца стержня, а другой вблизи его
середины.
Ножи маятника закрепить по обеим сторонам центра тяжести
полученной по вышеуказанному способу системы таким образом, чтобы
они были обращены друг к другу лезвиями. Один из них поместить вблизи
свободного конца стержня, а второй на половине расстояния между
роликами.
Проверить, совпадают ли грани лезвий ножей с насечками на стержне.
Закрепить маятник на вкладыше верхнего кронштейна на ноже,
находящемся вблизи конца стержня.
Нижний кронштейн вместе с фотоэлектрическим датчиком переместить
таким образом, чтобы стержень маятника пересекал оптическую ось.
Отклонить маятник на 4 - 5° от положения равновесия и отпустить.
Нажать клавишу «zer – сброс».
После подсчета измерителем 10 полных колебаний нажать клавишу
«stop – стоп».
По формуле (3) определить период колебаний оборотного маятника Тr.
93
Снять маятник и закрепить его на втором ноже.
Нижний кронштейн с фотоэлектрическим датчиком переместить таким
образом, чтобы маятник пересекал оптическую ось.
Отклонить маятник на 4 - 5° от положения равновесия, измерить
период колебаний оборотного маятника Т выше указанным способом и
сравнить результат с полученной раньше величиной Тr.
Если Т > Тr, то второй нож переместить в направлении ролика,
находящегося в конце стержня, если Т < Тr - то в направлении середины
стержня.
Размещения роликов и первого ножа не менять.
Повторно измерить период Т и сравнить с величиной Тr.
Изменять положение второго ножа до момента получения равенства Т
= Тr с точностью до 0,5%.
Определить приведенную длину оборотного маятника lr, подсчитывая
количество насечек на стержне между ножами, нанесенных через каждые
10 мм.
Обработка результатов измерений
Для всех величин, занесенных в табл. 1, определить погрешности
измерений: Δl, Δt10, ΔT.
По формуле (1) определить земное ускорение g для каждого измерения.
Получить формулу для расчета погрешности измерения ускорения
свободного падения Δg и выполнить расчеты.
Построить график зависимости периода Т от длины математического
маятника.
По формуле (3) определить ускорение свободного падения g в случае
измерений с оборотным маятником.
Найти погрешность измерений Δg для этого случая.
Проверить точность измерений земного ускорения по формуле:
σ=
g − gT
⋅ 100% ,
gT
(11)
где g - земное ускорение, полученное в результате измерений на
универсальном маятнике в м/с2;
gT - теоретическое значение земного ускорения в м/с2.
В случае, если рабочая погрешность будет больше 1%, необходимо
проверить правильность работы схемы генератора импульсов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. М.: Высш. шк., 1986.
§56.
2. Савельев И.В. Курс общей физики. М.: Наука, 1982. Т.1. §15, 54.
94
Лабораторная работа 15
КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Цель работы: исследование особенностей колебаний двух одинаковых
маятников, связанных упругой пружиной
Основные теоретические положения
Рассмотрим колебательную систему, состоящую из двух одинаковых
математических маятников, связанных друг с другом упругой пружиной
(рис. 1). Такая система обладает двумя степенями свободы, причем
пружина обеспечивает перераспределение энергии между маятниками.
Запишем уравнения движения маятников с учетом упругой связи
2
2 d Θ1
ml
= −mgl sinΘ1 + kd 2 (Θ 2 − Θ1 );
d t2
ml
2
d 2Θ 2
d t2
= −mgl sinΘ 2 − kd (Θ 2 − Θ1 ),
(1)
2
где m и l - масса и длина маятника;
Θ1 и Θ2 - углы отклонения от положения равновесия;
k - жесткость пружины;
d - расстояние, на котором закреплена пружина.
Сила упругости F= K d (Θ2 - Θ1) создает момент силы равный
M=F d = =K d2 (Θ2 - Θ1 ).
Рис. 1.
В случае малых колебаний sin Θ1
могут быть приведены к виду:
≅ Θ1, sin Θ2 ≅ Θ2. Уравнения (1)
95
d 2Θ1
d t2
=(
g k d2
k d2
+
) Θ1 −
Θ 2 = 0;
l m l2
m l2
d 2Θ 2
g k d2
k d2
=( +
)Θ 2 −
Θ1 = 0.
l m l2
d t2
m l2
(2)
Складывая и вычитая уравнения системы (2), получим
d 2Θ1
dt
2
+
d 2Θ 2
dt
2
=−
g
( Θ 2 + Θ1 );
l
d Θ1 d 2Θ 2
g
2k d2
−
= − ( Θ 2 − Θ1 ) −
( Θ 2 − Θ1 ).
l
d t2
d t2
ml2
(3)
Уравнения (3) описывают гармонические колебания с частотами ω1 и
ω2 соответственно:
ω1 =
g
;
l
ω2 =
g 2k d2
+
.
l
ml2
(4)
Решения уравнения (3) имеют вид:
Θ1 + Θ 2 = Α1 cos ω1t + Β1 sin ω1t ;
Θ 2 − Θ1 = Α2 cos ω 2 t + Β 2 sin ω 2 t .
(5)
Меньшую частоту (4) называют основной частотой системы, а
колебание, имеющее эту частоту - основным. С частотой ω1 будет
колебаться каждый из маятников, если убрать связь между ними.
Коэффициенты А1, А2, В1 и В2 определяются из начальных условий.
Рассмотрим ряд частных случаев.
Синфазные колебания.
Зададим начальные условия при t=0 в таком виде:
Θ1( 0 ) = Θ 2 ( 0 ) = Θ 0 ;
d Θ1 d Θ 2
=
.
dt
dt
(6)
Подставляя (6) в (5), получим:
А1 = 2Θ0; А2 = В1 = В2 = 0
и
Θ1 = Θ0 сos ω1t;
Θ2 = Θ0 сos ω1t.
(7)
Таким образом, маятники колеблются синфазно с одинаковой частотой
ω1.
Противофазные колебания.
Пусть теперь
Θ2 = - Θ1 = Θ0 при t = 0 и
dΘ 1
dΘ 2
=
= 0.
dt
dt
Из (5) имеем
Θ1 = - Θ0 сos ω2t;
96
Θ2 = Θ0 сos ω2t.
(8)
Маятники совершают
частотой ω2.
Биения.
Пусть теперь
Θ1 = Θ0
асимметричные
Θ2 = 0 при t = 0 и
Коэффициенты в (5) имеют вид:
А1 = А2 = Θ0;
Θ1 =
Θ2 =
колебания
с
одинаковой
dΘ 1
dΘ 2
=
= 0.
dt
dt
В1 = В2 = 0.
Θ0
Θ0
ω1 - ω 2
ω1 + ω 2
cos ω1 t +
cos ω 2 t = Θ 0 cos
t + cos
t ; (9)
2
2
2
2
Θ0
Θ
ω -ω2
ω +ω2
cos ω 2 t - 0 cos ω 1t = Θ 0 sin 1
t + sin 1
t.
(10)
2
2
2
2
При слабой связи (малое к):
Θ1 (t) = А1 (t) cos Ω t;
ω1 + ω 2
2π
=
Ω=
.
2
Θ2 (t) = - А2 (t) sin Ω t;
t
(11)
(12)
Функции À1(t) и A2(t) меняются со временем по гармоническому закону
с частотой
ω=
ω1 −ω 2
2
, значительно меньшей Ω.
Такие колебания называются биениями. Для характеристики биений
вводится период биений Тδ:
2π
.
(13)
Тδ=
ω1 −ω 2
Вынужденные колебания.
Если на систему двух связанных маятников подействовать внешней
вынуждающей периодической силой, то маятники будут совершать
колебания на частоте внешней силы. Амплитуда этих колебаний будет
зависеть от частоты внешней силы и будет наблюдаться “ двугорбый “
резонанс, диаграмма которого изображена на рис. 2.
Рис. 2
97
Вопросы к зачету
1.Сохраняется ли механическая энергия в системе связанных
маятников? Если да, то в каком случае?
2.Нарисуйте графики функций Θ1(t) и Θ2(t) для случая биений. Укажите
на этих графиках период биений Тδ и Τ =
4π
.
ω1 +ω 2
3. Запишите явные зависимости от времени углов отклонений Θ1 и Θ2,
воспользовавшись выражением (5).
Описание лабораторной установки.
Общий вид прибора FRM-13 представлен на рис. 3.
Основание 1 оснащено регулируемыми ножками, обеспечивающими
выравнивание прибора.
Рис. 3.
В основании закреплена колонка 2. На колонке закреплена втулка 3 и
кронштейн 4. На стержне 5 втулки находятся три подвески 6, на которых
посредством шариковых подшипников подвешены два маятника и
стержень 7 возбуждающий колебания.
98
Маятник состоит из стержня 8 и перемещаемого груза 9.Маятники
сопряжены друг с другом при помощи двух пружин 10, закрепленных в
специальной С-образной обойме 11, которую можно перемещать вдоль
стержней маятников. Возбуждение колебаний осуществляется при помощи
приводного диска, закрепленного на вале электродвигателя, который
двигая стержень 7, сопряженный при помощи двух пружин 10 со стержнем
маятника, возбуждает его колебания. Электродвигатель находится в блоке
управления и измерений 12. К нижнему кронштейну прикреплена угловая
шкала 13 , при помощи которой определяется амплитуда колебаний
маятников. К нему также прикреплен фотоэлектрический датчик 14,
световой поток которого пересекает стержень одного из совершающих
колебания сопряженных маятников.
Порядок выполнения работы
Упражнение 1. Определение частоты синфазных и противофазных
колебаний связанных маятников.
Используя формулу (4), можно теоретически рассчитать эти частоты.
Практически измерение частоты синфазных колебаний выполняется по
следующему способу.
Установить обоймы, крепящие пружины, на верхней части стержней
маятников, а грузы на нижней части стержней для обоих маятников на
одинаковом расстоянии ( одинаковые грузы и пружины);
отсоединить пружины от обоймы, соединяющей маятники со стержнем
возбуждающим колебания;
нажать кнопку «сеть»;
отклонить маятники в одинаковую сторону на угол около 6º и
отпустить их;
нажать переключатель «сброс»;
после 10 периодов колебаний маятников нажать кнопку «стоп»;
записать показания времени и количество периодов колебаний.
По представленной ниже формуле вычислить частоту синфазных
колебаний сопряженных маятников:
ω=
2Π n
(рад/с),
t
где n – количество периодов колебаний;
t – время колебаний.
Изучение противофазных колебаний проводится аналогично изучению
синфазных колебаний, но маятники нужно отклонить в противоположные
стороны на одинаковые углы около 60 и отпустить.
Упражнение 2. Возбуждение связанных маятников внешней силой
синусоидального характера.
99
Для этой цели надо:
заложить пружины в обойму сопрягающую маятники со стержнем,
возбуждающим колебания;
включить питание двигателя;
регулируя обороты двигателя, наблюдать амплиуду колебаний
маятников;
когда маятники колеблются с амплитудой около 200, происходит
явление резонанса;
определить частоты резонансов ω1 и ω2.
Упражнение 3. Наблюдение явления “биений” связанных маятников.
отсоединить пружины от обоймы, сопрягающей
маятники
со
стержнем, возбуждающим колебания;
установить произвольные параметры маятников;
один из маятников отклонить на любой угол и отпустить;
наблюдать происходящее явление.
Упражнение 4. Проверка точности и правильности работы прибора.
Проверка точности и правильности работы прибора производится на
основании измерения погрешности определения частоты синфазных
колебаний (ω1) и противофазных колебаний(ω2) сопряженных маятников
по следующим формулам:
(ω − ω 1 )
δ1 = x
⋅100 (%) ,
ω1
где ωx – значение частоты синфазных колебаний,определенное экспериментально;
ω1 – значение частоты синфазных колебаний, определенное теоретически.
δ2 =
(ω x − ω 2 )
ω2
⋅100 (%) ,
где ωx - значение частоты противофазных колебаний, определенное экспериментально;
ω2 - значение частоты противофазных колебаний, определенное теоретически.
В случае рабочих погрешностей больше 8% необходимо проверить
правильность работы схемы кварцевого генератора.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. М.: Высш. шк., 1986.
§55.
2. Кроуфорд Ф. Берклеевский курс физики М., 1974. Т.3. Волны. 15, 54. §1.4;
Свободные колебания систем с двумя степенями свободы. § 1.5; Биения. §3.3;
Резонанс в системе с двумя степенями свободы.
100
СОДЕРЖАНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лабораторная работа № 1. Изучение гармонических колебаний на
осциллографе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лабораторная работа № 2. Изучение статистических закономерностей
естественного радиоактивного фона. . . . . . .
Лабораторная работа № 3. Исследование движения тел в поле тяжести
на приборе Атвуда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лабораторная работа № 4. Определение коэффициента трения качения
методом
исследования
колебаний
наклонного маятника. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.......
Лабораторная работа № 5. Исследование
столкновения шаров. . . . . . . . .
Лабораторная работа № 6. Определение скорости снаряда с помощью
баллистического маятника. . . . . . . . . . . . . . .
Лабораторная работа № 7. Определение момента инерции твердого тела
с помощью крутильного маятника. . . . . . . . .
Лабораторная работа № 8. Изучение вращательного движения тела с
помощью маятника Обербека. . . . . . . . . . . . .
Лабораторная работа № 9. Маятник Максвелла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лабораторная работа № 10. Определение реактивной силы и скорости
истечения газовой струи. . . . . . . . . . . . . . . . .
Лабораторная работа № 11. Изучение стоячих волн в струне. . . . . . . . . . .
Лабораторная работа № 12. Изучение резонанса в механических
колебаниях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.....
Лабораторная работа № 13. Изучение
регулярной прецессии гироскопа .
Лабораторная работа № 14. Изучение колебаний и измерение земного
ускорения с помощью математического и
оборотного маятников . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лабораторная работа № 15. Колебания системы с двумя степенями
свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
3
4
12
23
28
35
39
44
51
57
62
70
77
85
89
95
101